02 Tacka Prava i Ravan - Resenja - VEZBANJE.pdf

OSNOVNA ŠKOLA 8. RAZRED Nastavna tema:

TAČKA, PRAVA I RAVAN REŠENJA – REŠENJA – VEŽBANJE Nivo: SVI

AUTOR: Bogdan Đurić

LEKCIJA:

TAČKA I PRAVA. TAČKA I RAVAN


LEKCIJA:

TAČKA I PRAVA. TAČKA I RAVAN


NIVO

2 – DOVOLJAN


REŠENJE Dve razne tačke određuju jednu pravu , pa je broj raznih prava:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Dve razne tačke određuju jednu pravu , pa je broj raznih prava:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Dve razne tačke određuju jednu duž , pa je broj raznih duži:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Dve razne tačke određuju jednu duž , pa je broj raznih duži:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Dve razne tačke određuju jednu polupravu   ), pa je broj raznih poluprava: (napom. 

   AUTOR: Bogdan Đurić

NIVO

3 – DOBAR


REŠENJE Dve razne tačke određuju jednu pravu . Ako je broj datih tačaka , tada se iz jedne tačke, ka ostalim tačkama, može

                

konstruisati

prava, pa je ukupan broj prava:




REŠENJE Temena konveksnog mnogougla su nekolinearne tačke, pa za njih važi sledeće: Dve razne tačke određuju jednu pravu. Ako je broj datih tačaka , tada se iz jedne tačke, ka prava, pa je ostalim tačkama, može konstruisati ukupan broj prava:

 

         


REŠENJE Dve razne prave mogu imati samo jednu presečnu tačku. Ako je broj datih prava , tada jedna prava sa ostalima ima presečnu tačku, pa je ukupan broj presečnih tačaka:





           


REŠENJE Temena konveksnog mnogougla su nekolinearne tačke, pa za njih važi sledeće: Dve razne tačke određuju jednu polupravu (napomena: ). Ako je broj datih tačaka , tada se iz jedne tačke, ka ostalim tačkama, može



   

konstruisati

   poluprava, pa je ukupan broj poluprava:

          


REŠENJE Dve razne tačke određuju jednu polupravu (napomena: ). Ako je broj datih tačaka , tada se iz jedne tačke, ka ostalim tačkama, može konstruisati poluprava, pa

   

je ukupan broj poluprava:





            AUTOR: Bogdan Đurić

NIVO

4 – VRLO DOBAR


REŠENJE Tri nekolinearne tačke određuju jednu ravan. Ako je broj datih tačaka , tada se iz jedne tačke, ka ostalim ravni, pa je tačkama, može konstruisati ukupan broj ravni:



  

           


REŠENJE



Dve razne prave mogu imati samo jednu presečnu tačku. Ako je broj datih prava , tada je ukupan broj

presečnih tačaka tačkama je:

        

. Broj duži određenih ovim

                   


REŠENJE Vitezovi su temena konveksnog mnogougla, a parovi nesusednih vitezova dijagonale tog mnogougla, pa je ukupan broj parova:

         


REŠENJE Za ravan biramo dva temena konveksnog mnogougla i tačku , a ako je broj temena , tada se ovo može uraditi na sledeći broj načina :



         




REŠENJE Biramo po jednu tačku na svakoj od datih prava. Tada je broj različitih trouglova određenih ovim tačkama:

                          AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Da bi ravan sekla tri paralelne prave, moramo sa svake prave birati po jedni tačku . Tada je broj različitih ravni:

                          AUTOR: Bogdan Đurić

NIVO

5 –

ODLIČAN AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE

       

Možemo birati

  

od tačaka sa prave i jednu od tačaka sa prave ili od tačaka sa prave i 2 od tačaka sa prave . Tada je broj različitih trouglova:

                  


REŠENJE Da nisu posvađani sa susedima, moglo bi se formirati 

trojki. Međutim, zbog posvađanosti sa susedima , ne možemo uzeti u obzir    trojki vitezova, pa je ukupan broj mogućih trojki za    vitezova: 

 

          

      

       

    AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE



Možemo birati jedno od

 





od temena mnogougla u ravni i temena mnogougla u ravni ili obrnuto. Tada je

broj različitih ravni određenih ovim temenima :

                                     AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE



 



Možemo birati od tačaka sa prave i 2 od tačaka sa prave . Tada je broj različitih četvorouglova:

                         


REŠENJE

     

Možemo birati od dečaka i jednu od devojčica ili od dečaka i 2 od devojčica. Tada je broj različitih mešovitih timova:

                   


LEKCIJA:

PRAVA I RAVAN. ODNOS DVE PRAVE. DVE RAVNI.

ODREĐENOST RAVNI AUTOR: Bogdan Đurić

NIVO

2 – DOVOLJAN


REŠENJE Kako su date prave normalne na ravan , to znači da su

međusobno paralelne. Dve paralelne prave određuju jednu ravan, pa je, za  datih paralelnih prava, broj raznih. njima

određenih ravni

 

. U konkretnom slučaju, za   

paralelne prave, broj ravni je:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Tačka

sa svakom od datih prava određuje po jednu ravan, pa je, za jednu datu tačku i  datih prava, broj raznih, njima određenih ravni . U konkretnom slučaju, za    prava, broj ravni je: 

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Kako su date prave normalne na ravan , to znači da su međusobno paralelne. Dve paralelne prave određuju dve poluravni (npr.  i ), pa je, za  datih paralelnih prava, broj raznih. njima određenih poluravni     . U konkretnom slučaju, za    paralelne prave, broj poluravni je:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Kocka ima  strana (njih grade po  ivice) koje određuju  ravni. Parovi dijagonalno paralelnih ivica (npr.  i ) određuju još  ravni, pa je ukupan broj ravni određenih ivicama kocke:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Prava i ravan mogu biti u sledećim međusobnim položajima: - Prava u ravni (beskonačno mnogo zajedničkih tačaka ) - Prava prodire ravan (tačno jedna zajednička tačk a) - Prava i ravan paralelne (nemaju zajedničkih tačaka) Dakle, u ovom slučaju, tačan odgovor je:

Prava i ravan su paralelne. AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Dve

ravni položajima:

mogu

biti

u

sledećim

međusobnim

- Poklapaju se (beskonačno mnogo zajedničkih tačaka ) - Seku se (tačno jedna zajednička prava) - Paralelne (nemaju zajedničkih tačaka) Dakle, u ovom slučaju, tačan odgovor je:

Dve ravni su paralelne. AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Dve prave mogu biti u sledećim međusobnim položajima : - Poklapaju se ( beskonačno mnogo zajedničkih tačaka ) - Seku se (tačno jedna zajednička tačka) - Paralelne (nemaju zajedničkih tačaka i postoji ravan koja ih sadrži ) - Mimoilazne (ne postoji ravan koja ih sadrži)

Dakle, u ovom slučaju, tačan odgovor je:

Dve prave su mimoilazne. AUTOR: Bogdan Đurić

NIVO

3 – DOBAR


REŠENJE Kako sve date prave imaju tačno jednu zajedničku tačku, to znači da se svake dve od njih seku. Dve prave koje se seku određuju jednu ravan, pa  datih prava određuju  

raznih ravni. U ovom slučaju, za   , taj broj ravni

je:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Dve paralelne prave određuju jednu ravan, pa  datih paralelnih prava određuju maksimalno



ovom slučaju, za   , taj broj ravni je:



raznih ravni. U


REŠENJE Kako sve date ravni imaju tačno jednu zajedničku tačku, to znači da se svake dve od njih seku. Dve ravni koje se seku određuju jednu presečnu pravu , pa  datih ravni određuju  

raznih prava. U ovom slučaju, za   , taj broj prava

je:


REŠENJE Prava u ravni deli tu ravan na dve poluravni, pa  datih prava u jednoj ravni određuju  raznih poluravni. U ovom slučaju, za   , taj broj poluravni je:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Ravan deli prostor u kom se nalazi na dva poluprostora, pa  datih ravni određuju  raznih poluprostora. U ovom slučaju, za   , taj broj poluprostora je:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Jedna prava u ravni deli tu ravan na dve oblasti. Dve prave koje se seku dele ravan na  oblasti. Tri prave koje imaju jednu zajedničku presečnu tačku , dele ravan na  oblasti. Dalje,  na ovaj način datih prava određuju  disjunktnih oblasti, pa je za    taj broj oblasti:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Jedna prava u ravni deli tu ravan na dve oblasti. Dve paralelne prave dele ravan na  oblasti. Tri paralelne prave dele ravan na  oblasti. Dalje,  na ovaj način datih prava određuju    disjunktnih oblasti, pa je za    taj broj oblasti:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Jedna ravan deli prostor na dve disjunktne oblasti. Dve ravni koje se seku dele prostor na  oblasti. Tri ravni koje imaju jednu zajedničku presečnu pravu, dele prostor na  oblasti. Dalje,  na ovaj način datih ravni određuju  disjunktnih oblasti, pa je za    taj broj oblasti:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Jedna ravan deli prostor na dve disjunktne oblasti. Dve paralelne ravni dele prostor na  oblasti. Tri paralelne ravni dele prostor na  oblasti. Dalje,  na ovaj način datih ravni određuju    disjunktnih oblasti, pa je za    taj broj oblasti:

   AUTOR: Bogdan Đurić

NIVO

4 – VRLO DOBAR


REŠENJE Jedna prava iz ravni  i jedna tačka iz ravni  određuju jednu ravan. Ako je dato  prava u ravni  i   tačaka u ravni , na ovaj način je određeno     raznih ravni, pa je za    i     taj broj ravni:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Kocka ima  para paralelnih strana. Ako između svaka dva para paralelnih strana postavimo  njima paralelnu ravan koja deli na njih normalne ivice na  podudarna dela, na ovaj način ćemo datu kocku podeliti na  međusobno podudarnih kockica. Dakle, potreban broj ravni je:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Kvadar ima  para paralelnih strana. Ako između svaka dva para paralelnih strana postavimo  njima paralelnu ravan koja deli na njih normalne ivice na  podudarna dela, na ovaj način ćemo dati kvadar podeliti na  međusobno podudarnih kvadara. Dakle, potreban broj ravni je:


REŠENJE Ako u odnosu na svaku stranicu trougla postavimo  njoj paralelne prave koje dele druge dve stranice na po  podudarna dela, na ovaj način ćemo dati trougao podeliti na  međusobno podudarnih trouglova. Dakle, potreban broj prava je:


REŠENJE Kocka ima  ivica. Svaka njena ivica ima  njoj susedne i  njo j paralelne ivice, koje ne mogu određivati sa njom mimoilazne prave. Preostale  ivice određuju mimoilazne prave, pa svaka ivica sa drugima određuje  para mimoilaznih prava. Kako na ovaj način svaki par računamo po dva puta, to je ukupan broj parova:

   AUTOR: Bogdan Đurić

NIVO

5 –


REŠENJE Ako se  datih ravni seku po jednoj pravi , tada one dele prostor na  disjunktnih oblasti. Ako  paralelnih ravni seku ovu pravu , tada one dele svaku od  disjunktnih oblasti na po    disjunktnih delova. To znači da je ukupan broj disjunktnih oblasti     . Za     , imamo da je:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Ako je  broj datih prava, a  broj disjunk. oblasti, tada je:

                                                                 

    

   



pa je, za   , broj oblasti:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Ako je dato  prava koje ispunjavaju date uslove, tada na „krajevima“ svake od njih imamo po jednu polupravu. Svaka poluprava učestvuje u građenju  disjunktne otvorene oblasti. Na ovaj način svaku disjunktnu oblast računamo po  puta, pa je ukupan broj otvorenih disjunktnih oblasti   . Za   , imamo da je:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Ako je dato  prava koje ispunjavaju uslove zadatka, tada je ukupan broj disjunktnih oblasti



, a ukupan broj



otvorenih disjunktnih oblasti , pa je broj disjunktnih zatvorenih oblasti  

 

  

 

. Za   ,

imamo da je:

   AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Ako je  broj datih kružnica, a  broj disjunktnih zatvorenih oblasti, tada je:         



        



        



 

      

pa je, za   , broj oblasti:    AUTOR: Bogdan Đurić

LEKCIJA:

ORTOGONALNA PROJEKCIJA NA RAVAN


NIVO

2 – DOVOLJAN


REŠENJE Zbog svojstva ortogonalne projekcije, trougao   je pravougli, sa pravim uglom kod temena  , pa za njega važi Pitagorina teorema, tj.      . U konkretnom slučaju, za     i     , je:  



 





 



     AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Zbog svojstva ortogonalne projekcije, trougao   je pravougli, sa pravim uglom kod temena  , pa za njega važi Pitagorina teorema, tj.       . U konkretnom slučaju, za     i    , je: 

 



 





  

 

      AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Zbog svojstva ortogonalne projekcije, trougao   je pravougli, sa pravim uglom kod temena  , pa za njega važi Pitagorina teorema, tj.       . U konkretnom slučaju, za      i    , je: 





 





 

 

     AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Zbog svojstva ortogonalne projekcije, trougao   je pravougli, sa pravim uglom kod temena  , pa za njega važi Pitagorina teorema, tj.      . U konkretnom slučaju, za     i     , je    , pa je:

            


REŠENJE Zbog svojstva ortogonalne projekcije, trougao   je pravougli, sa pravim uglom kod temena  , pa za njega važi Pitagorina teorema, tj.       . U konkretnom slučaju, za     i    , je     , pa je:

            


REŠENJE Zbog svojstva ortogonalne projekcije, trougao   je pravougli, sa pravim uglom kod temena  , pa za njega važi Pitagorina teorema, tj.       . U konkretnom slučaju, za      i    , je    , pa je:

            


REŠENJE Zbog svojstva ortogonalne projekcije, trougao   je pravougli, sa pravim uglom kod temena  , pa za njega važi Pitagorina teorema, tj.      . U konkretnom slučaju, za     i     , je    , pa je:



    



    


REŠENJE Zbog svojstva ortogonalne projekcije, trougao   je pravougli, sa pravim uglom kod temena  , pa za njega važi Pitagorina teorema, tj.       . U konkretnom slučaju, za     i    , je     , pa je:



    



    


NIVO

3 – DOBAR


REŠENJE Ako je      , tada je trougao   pravougli, sa pravim uglom kod temena  ,      i      , pa je        . Za date podatke je:          

            AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Ako je      , tada je trougao   pravougli, sa pravim uglom kod temena  ,      i      , pa je        . Za date podatke je:

               AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Ako je      , tada je trougao   pravougli, sa pravim uglom kod temena  ,      i   . Za date podatke je:      , pa je                 

          AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Ako je      , tada je trougao   pravougli, sa pravim uglom kod temena  ,      i   . Za date podatke je:      , pa je                 

          AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Ako je      , tada je trougao   pravougli, sa pravim uglom kod temena  ,      i      , pa je        . Za date podatke je:          

           AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Ako je      , tada je trougao   pravougli, sa pravim uglom kod temena  ,      i      , pa je        . Za date podatke je:

                AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Ako je      , tada je trougao   pravougli, sa pravim uglom kod temena  ,      i   . Za date podatke je:      , pa je                 

               AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Ako je      , tada je trougao   pravougli, sa pravim uglom kod temena  ,      i   . Za date podatke je:      , pa je                 

               AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE Ako je      , tada je trougao   pravougli, sa pravim uglom kod temena  ,      i      , pa je        . Za date podatke je:                             


REŠENJE Ako je      , tada je trougao   pravougli, sa pravim uglom kod temena  ,      i   . Za date podatke je:      , pa je            

                            


REŠENJE Ako je      , tada je trougao   pravougli, sa pravim uglom kod temena  ,      i   . Za date podatke je:      , pa je            

                            


NIVO

4 – VRLO DOBAR


REŠENJE

 

Na snovu crteža i podataka lako se uoč ava da je (2. stav – UU) i oba trougla su karakteristična , pa je:

            


REŠENJE

 


            


REŠENJE Na snovu crteža i podataka lako se uoč ava da je (2. stav – UU) i oba trougla su karakteristična , pa je:



           AUTOR: Bogdan Đurić

REŠENJE



    

Na snovu crteža i podataka lako se uočava da je pravougli

, pa je:

               


REŠENJE




                         


REŠENJE

 

  

Na snovu crteža i podataka lako se uočava da su trouglovi i , karakteristični pa je:

             


NIVO

5 –


REŠENJE

 



Na snovu crteža i podataka lako se uoč ava da je karakterističan i da je (kvadrat), pa je:

                


REŠENJE

 



Na snovu crteža i podataka lako se uoč ava da je i da je (kvadrat), pa je: karakterističan

                        


REŠENJE

                             

Na snovu crteža i podataka lako se uočava da su trouglovi i , karakteristični pa je:


REŠENJE

                             



Na snovu crteža i podataka lako se uoč ava da je pravougli

, pa je:


02 Tacka Prava i Ravan - Resenja - VEZBANJE.pdf

Recommend Documents