UNIDAD II. ESTÁTICA DE PARTÍCULA 2.1. FUERZAS SOBRE UNA PARTÍCULA. RESULTANTE DE DOS FUERZAS Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro ot ro y, generalmente, está caracterizado por:
Figura 2.1. Dos vectores con la misma magnitud, línea de acción,
pero diferentes sentidos.
Línea de acción: Es una recta infinita a lo largo
de la cuál actúa la fuerza; se caracteriza por el ángulo que forma con algún eje fijo (figura (fig ura 2.1). Magnitud de la fuerza: Una fuerza se representa mediante un segmento de la línea de acción. Con el uso de una escala adecuada, la longitud de ese segmento representa la magnitud de la fuerza. Sentido: Se indica por una punta de flecha.
Dos fuerzas, como las representadas en la figuras 2.1 a y b, tienen la misma magnitud y la l a misma línea de acción pero diferente sentido, ejercen efectos directamente opuestos sobre una partícula.
que actúan Resultante de dos fuerzas: Las fuerzas P y Q que sobre una partícula A (figura 2.2a) pueden ser remplazadas por una sola fuerza R que tiene el mismo efecto sobre la partícula (figura 2.2c). Esta fuerza, llamada resultante, se obtiene a partir de la ley del paralelogramo.
Ley del paralelogramo para la adición de fuerzas: Se construye un paralelogramo con P y Q como como lados, como se muestra en la figura 2.2b. La diagonal que pasa por A
representa la resultante. Se basa en la evidencia experimental y no puede probarse ni derivarse de manera matemática.
Figura 2.2. Ley del paralelogramo.
2.2. VECTORES Se definen como expresiones matemáticas que poseen magnitud, dirección y sentido; las cuales se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Notación: Vector:
P (negrita),
Magnitud:
P (cursiva),
⃗ ⃗
(dibujando una flecha arriba), ,
P (subrayando la letra)
‖⃗ ‖ ‖‖
Definiciones:
Vector fijo (adherido o ligado): Un vector que representa
una fuerza tiene un punto de aplicación bien definido y no puede cambiarse su posición sin modificar las condiciones del problema (fuerzas que actúan sobre una partícula, figura 2.3.). Figura 2.3. Vector
fijo.
Vector libre: Representan cantidades físicas que se
pueden moverse libremente en el espacio (pares o momentos, figura 2.4).
Figura 2.4. Vector libre.
Vector deslizante: Puede moverse a lo largo de su línea
de acción (fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido, figura 2.5). Figura 2.5. Vector deslizante.
Vectores iguales: Son dos o más vectores que tengan la misma magnitud,
dirección y sentido, tengan o no el mismo punto de aplicación. Pueden ser denotados por la misma letra (figura 2.6).
Figura 2.6.
Figura 2.7. Vector
Vectores Iguales.
negativo.
Vector negativo: Se define como aquel que tiene la misma magnitud que
el vector dado y una dirección opuesta a este vector. Por ejemplo, el vector P, su negativo se denota como – P (figura 2.7). Obviamente se tiene que:
2.3. ADICIÓN O SUMA DE VECTORES Los vectores se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Por lo tanto, la suma de dos vectores P y Q se obtiene fijando los dos vectores al mismo punto A y construyendo un paralelogramo en el que se usan a P y Q como dos de sus lados (figura 2.8). La diagonal que pasa a través de A representa la suma vectorial de P y Q , y esta se denota como P + Q .
Figura 2.8. Ley del paralelogramo para
Se debe señalar que la magnitud del vector P y Q no es, en general, igual a la suma P + Q de las magnitudes de los vectores P y Q.
la suma de vectores
Como se puede ver el paralelogramo formado con los vectores P y Q no depende del orden en que se seleccionen, entonces la adición de dos vectores es conmutativa, es decir:
Figura 2.9. Ley del triángulo para la
suma de vectores.
Regla del triángulo: Derivada a partir de la ley del paralelogramo, la suma de dos vectores puede encontrarse colocando en la punta de P el extremo de Q y uniendo el extremo de P con la punta de Q para obtener el vector P+Q (figura 2.9a). En la figura 2.9b se considera la otra mitad del
paralelogramo y se obtiene el mismo resultado. Esto confirma el hecho que la suma es conmutativa.
Resta de un vector: Se define como la adición del vector negativo correspondiente. De manera que el vector P – Q que representa la diferencia de los vectores P y Q se obtiene agregándole a P el vector negativo –Q (figura 2.10). Esto es:
Figura 2.10. Resta de un vector.
Suma de tres o más vectores: La suma de cualquier número de vectores se
puede obtenerse al aplicar en forma repetida la ley del paralelogramo a pares sucesivos de vectores, hasta que todos los vectores hayan sido reemplazados por un solo vector. Se prefiere la aplicación repetida de la regla del triángulo en vez de la ley del paralelogramo. Por ejemplo, en la figura 2.11, la suma de tres vectores P, Q y S se aplicó la regla del triángulo a los vectores P y Q para obtener la suma P + Q ; y se volvió a aplicar la regla del triángulo a los vectores P + Q y S para obtener el vector suma P + Q + S . Sin embargo, la determinación del vector P + Q pudo haberse omitido; obteniéndose directamente la suma de los tres vectores.
Figura 2.11. Suma de tres vectores
aplicando repetidamente la ley del triángulo.
Regla del polígono: Si los vectores dados son coplanares (están contenidos
en el mismo plano), su suma puede obtenerse de tal forma que la punta de un vector se conecte con el extremo de otro vector y así sucesivamente con los demás vectores (figura 2.12). El vector suma se obtiene conectando el extremo del primer vector con la punta del último. Figura 2.12. Regla del Polígono para
tres vectores.
Se puede observar que el resultado obtenido permanecerá sin cambio sí, como se muestra en la figura 2.13, los vectores Q y S se hubieran reemplazado por la suma de Q + S. Por lo tanto, se puede escribir:
Entonces, por esta ecuación, expresa el hecho de que la adición de vectores es asociativa. Como también la suma vectorial de dos vectores es conmutativa, se puede escribir:
Figura 2.13. Ley asociativa de
vectores.
Figura 2.14. No importa el orden
en que se coloquen los vectores, el vector suma es el mismo.
En la figura 2.14 se muestra que el orden en que se sumen varios vectores es irrelevante.
Es conveniente representar la suma P + P como 2P, a la suma P + P + P como 3P, y en general a la suma de n vectores P iguales como el producto nP.
Figura 2.15. Producto de un
escalar y un vector.
Producto de un escalar y un vector: Se define al producto k P de un escalar k y un vector P como un vector que tiene la misma dirección y sentido que P (si k es positivo), o la misma dirección pero sentido opuesto al de P (si k es negativo) y una magnitud igual al producto de P y el valor absoluto de k (figura 2.15).
2.4. RESULTANTE DE VARIAS FUERZAS CONCURRENTES Considere una partícula A sobre la que actúan varias fuerzas coplanares, esto es, varias fuerzas que están contenidas en el mismo plano (figura 2.16a). Como todas estas fuerzas pasan por el punto A, se dice que tales fuerzas son concurrentes. Los vectores que representan las fuerzas que actúan sobre A pueden ser sumados utilizando la regla del polígono (figura 2.16b).
Figura 2.16. Resultante de tres fuerzas coplanares y
El vector R obtenido representa la resultante de las fuerzas concurrentes que intervienen, es decir, un solo vector que origina el mismo efecto sobre la partícula A que todas las fuerzas que actúan sobre ella.
concurrentes.
2.5. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUS COMPONENTES Se ha visto que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula pueden sustituirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la partícula. De la misma manera, una sola fuerza F que actúa sobre la partícula puede reemplazarse por dos o más fuerzas que, en conjunto, tienen el mismo efecto sobre la partícula. A estas fuerzas se les llama componentes de la fuerza original F, y el proceso de sustituirlas en lugar de F se le denomina descomposición de la fuerza F en sus componentes.
Figura 2.17. Algunas formas de descomponer el vector F en dos componentes P y Q.
Siguiendo un razonamiento estricto, para cada fuerza F existe un número infinito de conjuntos de componentes. Los conjuntos de dos componentes P y Q son los más importantes en cuanto aplicaciones prácticas se refiere. Pero aun, en este caso, el número de formas en las que una fuerza F puede descomponerse en sus componentes es ilimitado (figura 2.17). Dos casos son de particular importancia:
Figura 2.18. Aplicando la ley del triángulo.
1. Una de las dos componentes (P) se conoce. La segunda componente (Q ), se obtiene aplicando la regla del triángulo y uniendo la punta de la componente conocida ( P) a la punta de F (figura 2.18). La magnitud, dirección y sentido de la componente desconocida ( Q ) se determinan gráficamente o por trigonometría. Una vez que se ha determinado (Q ), ambas componentes P y Q deben aplicarse. (ley de cosenos) 2. Se conoce la línea de acción de cada una de las componentes.
La magnitud y el sentido de las componentes se obtiene aplicando la ley del paralelogramo y trazando líneas, por la punta de F, paralelas a la línea de acción dadas (figura 2.19) De esta forma se obtienen dos componentes bien definidas P y Q , que pueden determinarse gráficamente o por trigonometría (ley de senos) . Figura 2.19. Aplicando la ley del paralelogramo.
EJEMPLO: Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho mostrado en la figura 2.20. Sabiendo que P = 75 N y Q = 125 N, determine la magnitud y dirección de la resultante. Solución:
Aplicando la ley del triángulo (figura 2.20a):
√
Para la magnitud de la resultante (ley de cosenos):
Figura 2.20. Aplicación de dos fuerzas P y Q en el punto A sobre un gancho.
Figura 2.20a. Regla del
triángulo para las fuerzas P y Q del ejemplo.
Para la dirección de la resultante (ley de senos):
Del triángulo:
EJERCICIOS: 1. La fuerza de 200 N (figura E2.1) se descompone en componentes a los largo de las líneas a – a’ y b – b’ . a) Determine por trigonometría el ángulo α sabiendo que la componente a lo largo de a – a’ es de 150 N. b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de b – b’ ? 2. Dos cables sujetan un anuncio en el punto A para mantenerlo estable mientras es bajado a su posición definitiva (figura E2.2). Sabiendo que la magnitud de P es de 70 lb, determine: a) El ángulo α requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A es vertical. b) La magnitud correspondiente de R.
Figura E2.1.
Figura E2.2.
2.6. COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA. VECTORES UNITARIOS En muchos problemas será conveniente descomponer una fuerza en dos perpendiculares entre sí. En la figura 2.21, la fuerza F ha sido descompuesta en una componente F x a lo largo del eje x y en una componente F y a lo largo del eje y. El paralelogramo que se dibuja para obtener las dos componentes es un rectángulo, y las fuerzas F x y F y reciben el nombre de componentes rectangulares. Los ejes x y y suelen elegirse a lo largo de las direcciones horizontal y vertical, respectivamente, como se ilustra en la figura 2.21; sin embargo, pueden seleccionarse en cualesquiera otras direcciones perpendiculares, tal como se muestra en la figura 2.22.
Figura 2.22. Componentes rectangulares de la fuerza F en una
Figura 2.21. Componentes rectangulares de la fuerza F.
dirección diferente a la horizontal y vertical.
VECTORES UNITARIOS Se presentan dos vectores de magnitud unitaria dirigidos a lo largo de las direcciones positivas de los ejes x y y. Estos vectores se denominan vectores unitarios y se denotan, respectivamente, como y (figura 2.23).
̂ ̂
De la definición del producto de un escalar y un vector, las componentes rectangulares F x y F y de una fuerza F se puede obtener multiplicando los vectores unitarios y por escalares apropiados (figura 2.23).
̂ ̂
Figura 2.23. Vectores unitarios en las
direcciones de los ejes x y y.
̂̂ } ̂ ̂
Los escalares F x y F y pueden ser positivos o negativos, dependiendo del sentido de los vectores de F x y F y , sus valores absolutos son, respectivamente, iguales a las magnitudes de las componentes de las fuerzas F x y F y .
Figura 2.24. Componentes rectangulares de la fuerza F en una
dirección diferente a la horizontal y vertical.
Si se representa con F la magnitud de la fuerza F y con el ángulo entre F y el eje x, medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj desde el eje positivo (figura 2.24). Se puede expresar los escalares F x y F y, del triangulo rectángulo que se forma, como sigue:
{
Las relaciones obtenidas se satisfacen para cualquier ángulo entre 0° y 360°, y que éstas definen tanto los signos como los valores absolutos de las componentes escalares F x y F y.
2.7. ADICIÓN DE FUERZAS SUMANDO SUS COMPONENTES x Y y. Cuando se van a sumar tres o más fuerzas, no puede obtenerse una solución trigonométrica práctica del polígono de fuerzas que define a la fuerza resultante. En este caso puede obtenerse una solución analítica del problema si se descompone cada fuerza en sus elementos rectangulares. Considérese, por ejemplo, las tres fuerzas P, Q y S que actúan sobre una partícula A (figura 2.25a). Su resultante R está definida por:
Descomponiendo cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares (figura 2.25b):
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ )̂
Igualando componentes, se tiene que:
∑∑
O, en forma breve (figura 2.25c): Figura 2.25. Resultante de tres fuerzas mediante
la suma de sus componentes.
Por lo tanto se puede concluir que las componentes escalares R x y R y de la resultante R de varias fuerzas que actúan sobre una partícula se obtienen sumando algebraicamente las componentes escalares correspondientes de las fuerzas dadas.
Como se ve en la figura 2.25, en la práctica el cálculo de la resultante R se realiza en tres pasos: 1. Las fuerzas mostradas en la figura 2.25a se descomponen en sus componentes x y y (figura 2.25b) 2. Sumando estas componentes se obtienen las componentes x y y de R (figura 2.25c) 3. La resultante se determina aplicando la ley del paralelogramo (figura 2.25d ).
̂ ̂
Este procedimiento se realiza con más eficiencia si los cálculos se tabulan. Aunque éste es el único método analítico práctico para la adición de tres o más fuerzas, con frecuencia también se prefiere sobre la solución trigonométrica en el caso de la suma de dos fuerzas. EJEMPLO: Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura 2.26. Determine la resultante de las fuerzas que actúan sobre el perno. Solución:
Figura 2.26. Cuatro fuerzas aplicadas en un perno.
Las componentes x y y de cada una de las fuerzas se determinan por trigonometría, como se muestra en la figura 2.26 a, y se escriben en una tabla.
Descomponiendo cada fuerza en componentes (figura 2.26 a):
Figura 2.26a.
F 1 = 150 N
F 2 = 80 N
F 3 = 110 N
F 4 = 100 N
Fuerza
Magnitud [N]
Componente x [N]
Componente y [N]
F1 F2 F3 F4
150 80 110 100
+129.90 27.36 0 +96.59
+75 +75.17 110 25.88
Σ
De esta forma, la resultante R de las cuatro fuerzas es:
̂ ̂
Figura 2.26b.
̂̂
La magnitud y la dirección de la resultante se pueden obtener. Del triángulo mostrado en la figura 2.26b:
|̅| √ √
EJERCICIOS: 1. Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la figura E2.3 y determine su resultante. 2. Sabiendo que α = 35°, determine la resultante de las tres fuerzas de la figuraE2.4. 3. Sabiendo que la tensión en el cable BC es de 725 N (figura E2.5), determine la resultante de las fuerzas que actúan en el punto B de la viga.
Figura E2.4.
Figura E2.3.
Figura E2.5.
2.8. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA “Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partcula es cero, la partcula se encuentra en equilibrio”. En las figuras 2.27, 2.28a y 2.28b, la resultante de las fuerzas vale cero.
Figura 2.28b. Aplicando la regla del polígono
Figura 2.27. Una partícula sometida
a la acción de dos fuerzas estará en equilibrio si ambas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción, pero sentidos opuestos.
Figura 2.28a. A la partícula A se le
aplican cuatro fuerzas
para obtener la resultante de las fuerzas se encuentra que la punta de F4 coincide con el punto de partida O, así que la resultante R del sistema de fuerzas dado es cero y la partícula está en equilibrio.
El polígono cerrado de la figura 2.28b representa una expresión gráfica del equilibrio de A. La expresión algebraica para las condiciones de equilibrio de una partícula es:
Descomponiendo cada fuerza F en sus componentes rectangulares, se tiene:
(̂ ̂) ̂ ()̂
Se concluye que las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de una partícula son:
2.9. PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON “Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la partícula permanecerá en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se moverá con velocidad constante en línea recta (si originalmente estaba en movimiento)". De
esta ley y de la definición de equilibrio se deduce que una partícula en equilibrio puede estar en reposo o moviéndose en línea recta con velocidad constante. 2.10. DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) En la práctica, un problema de ingeniería se deriva de una situación física real. Un esquema que muestra las condiciones físicas del problema se conoce como diagrama espacial. Un gran número de problemas que tratan de estructuras pueden reducirse a problemas concernientes al equilibrio de una partícula. Esto se hace escogiendo una partícula significativa y dibujando un diagrama separado que muestra a ésta y a todas las fuerzas que actúan sobre ella. Dicho diagrama se conoce como diagrama de cuerpo libre. Por ejemplo, considérese el embalaje de madera de 75 kg mostrado en el diagrama espacial de la figura 2.29a. Este descansaba entre dos edificios y ahora es levantado hacia la plataforma de un camión que lo transportará a otro lugar. Esta caja está soportada por un cable vertical unido en A a dos cuerdas que pasan sobre poleas fijas a los edificios en B y C . Lo que se requiere es determinar la tensión en cada cuerda AB y AC .
Para resolver el problema debe trazarse un diagrama de cuerpo libre que muestre a la partícula en equilibrio. El punto A parece ser buen cuerpo libre para este problema. El D.C.L. del punto A se representa en la figura 2.29b. Este diagrama muestra al punto A y las fuerzas ejercidas sobre A por el cable vertical y las dos cuerdas. La fuerza ejercida por el cable está dirigida hacia abajo y es igual al peso W del contenedor. Esto es:
Y se indica esta fuerza de peso en el diagrama de cuerpo libre (D.C.L.).
Figura 2.29b. Diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) para el ejemplo del
embalaje.
Figura 2.29a. Diagrama espacial del ejemplo del
embalaje.
Las fuerzas ejercidas por las dos cuerdas no se conocen, representadas por los vectores T AB y T AC , se dibujan hacia fuera de A en las direcciones mostradas en el diagrama de cuerpo libre.
Puesto que el punto A esta en equilibrio (no se mueve o tiene velocidad constante en línea recta), las tres fuerzas que actúan sobre él deben formar un triángulo cerrado cuando se dibujan de punta a extremo. En este triángulo de fuerzas (figura 2.29c) las magnitudes de las fuerzas pueden encontrarse gráficamente su el triángulo se dibuja a escala, o pueden encontrarse mediante trigonometría. Por este último método, por ley de senos:
Figura 2.29c . Triángulo de fuerzas.
Para una solución gráfica del problema:
Para una solución analítica, deben de resolverse las ecuaciones de equilibrio :
Cuando una partícula esta en equilibrio bajo tres fuerzas, el problema siempre puede resolverse dibujando un triángulo de fuerzas. Cuando una partícula esta en equilibrio bajo más de tres fuerzas, el problema puede resolverse dibujando un polígono de fuerzas.
NOTAS:
Las ecuaciones de equilibrio pueden resolverse para no más de dos incógnitas. El triángulo de fuerzas empleado para tres fuerzas solo puede resolverse para dos incógnitas. Las incógnitas más comunes en este tipo de problemas representan: 1) Las 2 componentes (o la magnitud y dirección) de una sola fuerza 2) Las magnitudes de las dos fuerzas, cada una de dirección conocida. 3) Determinación del valor máximo o mínimo de la magnitud de una fuerza.
EJEMPLO:
Sabiendo que (figura 2.30) y que el mástil AC ejerce sobre la articulación C una fuerza dirigida a lo largo de la línea AC , determine: a) La magnitud de esta fuerza b) La tensión en el cable BC (T BC ) Solución: Construyendo el D.C.L. y el triángulo de fuerzas, se tiene:
Figura 2.30. Mástil AC sostenido por una cuerda BC y aplicada una fuerza de 300 lb en C.
Figura 2.30a. Diagrama de Cuerpo
Libre para la figura 2.30.
Figura 2.30b. Triángulo de fuerzas
para la figura 2.30.
Resolviendo el triángulo de fuerzas, por ley de senos:
{
EJEMPLO: La conexión soldada mostrada en la figura 2.31 se encuentra en equilibrio sometida a la acción de cuatro fuerzas. Sabiendo que F A = 8 kN y F B = 16 kN, determine las magnitudes de las otras dos fuerzas. Solución:
En la figura 2.31a se hace el D.C.L., en el cual el punto de interés es en la intersección de las líneas de acción de las fuerzas. Condición de equilibrio:
R = FA + FB + FC + FD = 0
Como aparecen más de tres fuerzas, el procedimiento debe ser por la suma de cada una de las componentes. Figura 2.31. Conexión soldada en la que se aplican
cuatro fuerzas.
Para las fuerzas FA y FB no hay ángulos, pero se dan las proporciones del triángulo rectángulo que da la pendiente de la línea de acción de las fuerzas. Con este triángulo, se puede obtener las razones trigonométricas para la descomposición de las fuerzas en componentes, las cuales son:
Figura 2.31a. Diagrama de Cuerpo Libre.
De las ecuaciones de equilibrio (resolviendo las componentes de las fuerzas en x y y):
EJERCICIOS: 1. Las fuerzas P y Q se aplican el componente de una pieza de ensamble de un avión, como se muestra en la figura E2.6. Si se sabe que la pieza de ensamble se encuentra en equilibrio y que las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre las barras A y B son F A = 750 lb y F B = 400 lb, determine las magnitudes de P y Q . 2. Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como se muestra en la figura E2.7. Sabiendo que Q = 60 lb, determine: a) la tensión en el cable AC y; b) la tensión en el cable BC
Figura E2.6. Figura E2.7.
