ASIGNATURA
INVESTIGACIÓN OPERATIVA II
El problema de la ruta más corta
Semanas : 3
1 Lic. Araujo Cajamarca, Raul
El problema de la ruta mas corta El modelo de la ruta más corta se refiere a una red en la cual cada arco ( i, j ) tiene asociado un número, cij , el cual se interpreta como la distancia (o tal vez el costo o el tiempo) desde el nodo i hasta el nodo j . Una ruta o camino entre dos nodos es cualquier secuencia de arcos que los
conecte. El objetivo consiste en encontrar las rutas más cortas (o de menor costo o más rápidas) desde un nodo especifico hasta cada uno de los demás nodos de la red. Ejemplo01 La administración de seervada park necesita encontrar la ruta más corta desde la entrada del parque (nodo O) hasta el mirador (nodo T) a través del sistema de caminos que se presenta en la figura siguiente:
7 A
D 5 2
2
4 O
B
T 1
5 3 4
1
7
C
E 4
Métodos de solución: Un método sencillo para aprender a enfrentar este problema es el de la fuerza bruta. Fuerza bruta: consiste en explorar cada uno delos caminos posibles a fin de determinar cuál es el mejor. En el grafo anterior resulta bastante sencillo determinar todas las soluciones posibles. 1. Secuencia: O-A-D-T=14u.
A 2
O
7
D 5
T
2 Lic. Araujo Cajamarca, Raul
2. Secuencia: O-A-B-D-T=13u.
A
D 5 2
2
4 O
B
T
3. Secuencia: O-B-D-T=14u.
D 5 4 O
5
B
T
4. Secuencia: O-B-D-T=14u.
D 5
O
B
T 1
5 3
E
Podríamos seguir así enumerando cada una de las rutas, hasta ahora la mínima es de 13u. Otros métodos mucho más rápidos y eficientes para resolver este tipo de problemas son: 1. Método simplex para redes 2. Algoritmo de Dijkstra 3. Algoritmo de Bellman-Ford
3 Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Algoritmo de Dijkstra Vamos a resolver el Ejemplo 01 para determi nar la ruta más corta desde “O” hasta “T”. Iteración 01: procedemos a etiquetar el nodo origen y lo convertimos en permanente, luego etiquetamos los nodos adyacentes, directamente conectados que serán denominados nodos temporales.
2, O(1) Costo total
7 A
asociado
D 5 2
2
4 O
B
T 1
5
0, (0 )
4
1
5, O(1)
3 7
C
E 4
Procedencia: Nodo anterior
4, O(1) Iteración
Iteración 02: de alguno de los nodos temporales elegimos aquel que tenga el menor costo total asociado y lo convertimos en permanente y actualizamos los nodos temporales.
2, O(1)
9, A(2 ) 7
A
D 5 2
2
4 O
B
T 1
5
0, (0 )
4
1
C
5, O(1) 4, A(2 )
3 7
E
4
4, O(1)
Iteración 03:
4 Lic. Araujo Cajamarca, Raul
2, O(1)
9, A(2 ) 7
A
D 5 2
2
4 O
B
T 1
5
0, (0 )
4
1
C
3
5, O(1) 4, A(2 )
7
E
4
4, O(1)
8, C (3)
Iteración 04:
2, O(1)
9, A(2 ) 8, B(4 ) D
7 A
5 2
2
4 O
B
T 1
5
0, (0 )
4
1
C
3
5, O(1) 4, A(2 )
7
E
4
4, O(1)
8, C (3) 7, B(4 )
Iteración 05:
2, O(1)
9, A(2 ) 8, B(4 ) D
7 A
5 2
2
4 O
B
T 1
5
0, (0)
4
1
C
5, O(1) 4, A(2 )
3 7
14, E (5)
E
4
4, O(1)
8, C (3) 7, B(4 )
5 Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Iteración 06:
2, O(1)
9, A(2 ) 8, B(4 ) D
7 A
5 2
2
4 O
B
T 1
5
0, (0)
4
1
C
3
5, O(1) 4, A(2 )
7
E
14, E (5) 13, D(6)
4
4, O(1)
8, C (3) 7, B(4 )
Al convertir permanente al último nodo nos indica que hemos encontrado la solución óptima, es decir la ruta más corta que sería la siguiente:
2, O(1)
9, A(2 ) 8, B(4 ) D
7 A
5 2
2
4 O
B
T 1
5
0, (0)
4
1
C
5, O(1) 4, A(2 )
3 7
E
14, E (5) 13, D(6)
4
4, O(1)
8, C (3) 7, B(4 )
La ruta con distancia mínima de “O” hasta “T” es de 13u. Lo determinamos ahora de atrás hacia adelante, el cual se ha encontrado con 6 iteraciones.
O-A-B-D-T
6 Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Ejemplo 02 Una persona tiene que trasladarse a diario del pueblo A al pueblo H. está estudiando cual es el trayecto más corto usando un mapa de carreteas. Las carreteras y sus distancias están representadas en la siguiente matriz:
A A B C D E F G H
B 12
C 4
D
E
5 2
3
F
G H
6 8 7 5 3
Encuentre la solución a su problema utilizando el algoritmo de Dijkstra Solución:
12, A(1)
E 7
3 B 12
15, B(5) 5
A
0, (0)
H
3
D
4
2
8 G 2
6, C (2 ) 5
C 6
4, A(1)
17, G (6) 22, E (7 )
14, D(3) 15, F (4 )
F
10, C (2 ) El camino, ruta mínima o más corta será: A-C-D-G-H= 17 Km.
7 Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Ejercicio 01 Determine la ruta más corta entre los nodos 1 y 8 de la siguiente red.
4 2
5 5 2
3
3
1
8
4
2
2
3 4
2
2
4
3
7
6
3
5
Ejercicio 02 2 2
5 3 1
3
3
1
6
3
3
2
2
2
1
4
7 3
G. D. Eppend F. J. Gould C. P. Schmidt Jeffrey H. Moore Larry R. Weatherford. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa 5Ta edición Prentice Hall pp. 244.
Modelo de reemplazo de equipos
8 Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Ejercicio 01 Rentcar está desarrollando un plan de reemplazo para su flotilla de automóviles para un horizonte de planificación de 5 años (1996 a 2000). Al principio de cada año se toma una decisión acerca de si se debe mantener un automóvil en operación o si se debe reemplazar. Un automóvil debe estar en servicio por lo menos un año, pero se debe reemplazar después de tres años. La siguiente tabla proporciona el costo de reemplazo como una función del año en el cual se adquiere un automóvil y el número de años de operación.
Año que se adquirió 1996 1997 1998 1999
Costo de reemplazo ($) por determinados años en operación 1 2 3 4000 5400 9800 4300 6200 8700 4800 7100 4900 --
Ejercicio 02 Los cinco nodos que aparecen en la red siguiente representan puntos en el tiempo, a un año de distancia, durante un periodo de 4 años. Cada nodo señala el momento en el que se debe tomar una decisión con respecto a conservar o reemplazar el equipo de computación de la compañía. Si se toma la decisión de reemplazar el equipo se debe también tomar una decisión con respecto a cuánto tiempo se utilizará el nuevo equipo. El arco que va del nodo 0 al nodo 1 representa la decisión de conservar el equipo actual durante un año y reemplazarlo al final de ese año. El arco que va del nodo 0 al nodo 2 representa la decisión de conservar el equipo actual durante 2 años y remplazarlo al final de esos 2 años. Los números que aparecen por encima de los arcos señalan los costos totales correspondientes a las decisiones de reemplazo de equipo; estos costos incluyen el precio de compra descontando, el valor de reventa, los costos de operación y los costes de mantenimiento. Determine la política de remplazo de equipo de costo mínimo para el periodo de 4 años.
2800 2000 1000
0
600
1
500
800
2
3
700
4
1400 1600 2100
9 Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Ejercicio 03 Un taller de automotores debe tener siempre un analizador de motor disponible. Un analizador nuevo cuesta 1000$. El costo mi por el mantenimiento de un analizador durante su i ésimo año de funcionamiento es como sigue: m1
60$, m2
80$, m3
120$ . Un analizador se podrá
tener durante 1;2ó3 años y después de usarlo i años ( i 1;2;3 ) se podría vender y realizar un pago inicial de uno nuevo. Si se compra un analizador nuevo y se vende el de i años de
800$ , s2 600$ antigüedad, se obtiene un valor de salvamento (equipo viejo) si , donde s1 500$ . Dado que una maquina nueva se debe comprar hoy (tiempo 0, ver figura), el taller , s3 desea determinar una política de reemplazo o reposición y de valor de equipo viejo para darlo como pago inicial de uno nuevo que minimice: Los costos netos=(costo de mantenimiento)+(costo de reposición)-(valor de salvamento o de reventa) durante los siguientes 5 años.
0
Tiempo 0
Año 1
Año 2
1
Tiempo 1
2
Año 3
Tiempo 2
Año 4
3
Tiempo 3
4
Tiempo 4
Año 5
5
Tiempo 5
años
Costos 1
2
3
Mantenimiento mi
60
80
120
Salvamento si
800
600
500
Costo de reposición: 1000$ Costos netos= (costo de mantenimiento)+(costo de reposición)-(valor de salvamento) 0-1: 60+1000-800=260 0-2: 140+1000-600=540 0-3: 260+1000-500=760 1-2: 1-3: 1-4: Solución óptima: costo mínimo 1280$ Ruta más corta: 1-4-5 y 3-4-5
10 Lic. Araujo Cajamarca, Raul
Solucionario Ejercicio 01 1. El problema se puede formular como una red en la cual los nodos 1 al 5 representan los años, 1996 al 2000. 2. Los arcos del nodo 1 (año 1996) pueden llegar solo a los nodos 2; 3 y 4, debido a que un automóvil debe estar en operación entre uno y tres años. 3. Los arcos de los otros nodos se pueden interpretar de manera similar. 4. El largo de cada arco es igual al costo del reemplazo 5. La solución al problema es equivalente a encontrar la ruta más corta entre los nodos 1 y 5. 8700
9800 5400
0, (0 )
1
4000
2
4300
4000,1(1)
1996
4800
3
4
4900
6200
5
2000
7100
5400,1(1) 9800,1(1) 12700,2(2 ) 8300,2(2 ) 10200,2(2 ) 12500,3(3) 10200,3(3) 14700,4(4 ) Utilizando el algoritmo de Dijkstra la ruta más corta entre el nodo 1 y 5 es: 1-3-5, con un costo total de 12,500 dolares. Esta solución significa que: el automóvil adquirido en el año 1996(nodo 1) debe ser reemplazado después de dos años, en 1998 (nodo 3). Así, el automóvil de reemplazo se mantendrá en operación hasta finales del año 2000. El costo total de esta política de reemplazo es de 12,500$ (5400+7100 dolares). Ejercicio 02
2800 2000 1000
0, (0 )
0
600
1
6, o(1)
500
800
2
3
700
4
1400 1600
10, o(1) 2100 20, o (1) 11,1(2 ) 20,1(2 ) 18,2(3)
28, o(1) 27,1(2 ) 26,2(3) 25,3(4 ) 11
Lic. Araujo Cajamarca, Raul
o
o
o
La solución al problema es equivalente a encontrar la ruta más corta entre los nodos 0 y4 Utilizando el algoritmo de Dijkstra tenemos que la ruta más corta entre el nodo 0 y 4 es: 0-2-3-4 con un costo total mínimo de 2500 dolares. Esto quiere decir que el equipo que se adquiere en el nodo 0 se debe conservar 2 años y luego reemplazarlo, y el equipo que se adquiere en el nodo 2 se conservará un año y luego se renueva y este último también se conserva solo un año.
o
Con esta política el costo total en el que se incurre es de 2500 dolares.
12 Lic. Araujo Cajamarca, Raul
