INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL OCCIDENTE DEL ESTADO DE HIDALGO
INGENIERÍA INDUSTRIAL MATERIA INVESTIGACION DE OPERACIONES II
TEMA OPTIMIZACION DE REDES
SUBTEMA PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA PROBLEMA DE ARBOL DE MINIMA EXPANSION
DOCENTE: JUAN MANUEL CAMACHO GOMEZ ALUMNO: SERRANO BRAVO JOSÉ MANUEL GRADO Y GRUPO: 5 A
16011726
24 DE SEPTIEMBRE DE 2018.
Introducción Uno de los mayores desarrollos recientes en Investigación de Operaciones ha sido el rápido avance tanto en la metodología como en la aplicación de los modelos de optimización de redes. Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones como por ejemplo las redes de transporte, eléctricas en fin una inmensa lista que predominan en la vida diaria. La representación de redes se utiliza en áreas tan diversas como producción, distribución, localización de instalaciones en fin un sin número de áreas. De hecho, una representación de redes nos proporciona un panorama general tan poderoso y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre los componentes del sistema que se utiliza casi en todas las áreas científicas, sociales y económicas. Se darán a conocer en este trabajo diversos tipos importantes de problemas de redes y algunas ideas básicas sobre cómo resolverlos.
Objetivo
Conocer el concepto de optimización de redes, así como la aplicación y el desarrollo de los modelos de optimización.
Problema de la ruta más corta Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada arco no dirigido se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la más mínima distancia total) del origen al destino. Se dispone de un algoritmo sencillo, la esencia del procedimiento es que analizara toda la red a partir del origen, identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias desde el origen.
Ejemplo: Una compañía arrendadora de automóviles está desarrollando un plan de reemplazo de su flotilla para los próximos cinco años. Un automóvil debe de estar en servicio cuando menos un año antes de que se considere ser reemplazado. La tabla 8-1 resume el costo de reemplazo por unidad (en miles de unidades monetarias) como función del tiempo y el número de años en operación. El costo incluye la compra, prima del seguro, operación y mantenimiento. Este problema se puede representar mediante una red como sigue. Cada año está representado por un nodo. La “longitud” de una rama que une a dos nodos es igual al
costo de reemplazo asociado que se da en la tabla 8-1. La figura 8-6 representa la red. El problema se reduce a determinar la “ruta” más corta del nodo 1 al 5. La “ruta” más
corta se puede determinar mediante el uso de algoritmo que representaremos en la sección 8.3.2. la solución óptima producirá la ruta 1 - 2 - 5 Año 1 2 3 4
1
2
3
4
5
4.0
5.4
9.8
13.7
4.3
6.2
8.1
4.8
7.1 4.9
1
2
4
3
5
Con un costo total de 4+ 8.1 = 12.1 (miles de unidades monetarias). Esto quiere decir que cada automóvil debe reemplazarse al segundo año de uso y desecharse al quinto año. Apliquemos el procedimiento a la red en la figura8-10. Una hipótesis básica del algoritmo es que en todas las distancias en la red son no negativas.
2 100
1
15
4 20 10
3
50
5
Iteración 0: el nodo 1 lleva la etiqueta permanente [0,-]. Iteración 1: los nodos 2 y 3, que se pueden alcanzar directamente desde el nodo 1 (el ultimo nodo rotulado permanentemente), llevan ahora las etiquetas temporales [0+100, 1] y [0+30,1] o bien [100,1], respectivamente. Entre las etiquetas temporales corrientes, el nodo 3 tiene la menor distancia d =30(=min {100,30}). Si el nodo 3 este etiquetado permanentemente. Iteración 2: los nodos 4 y 5 se pueden alcanzar desde el ultimo nodo rotulado permanentemente (nodo 3) y sus etiquetas temporales son [30+10,3] y [30+60,3] (o bien
[40,3] y [90,3]), respectivamente. En este punto tenemos las 3 etiquetas temporales [100,1], [40,3] y [90,3] asociados con los nodos 2, 4 y 5, respectivamente. El nodo 4 etiquetado temporalmente tiene la menor d = 40 (=min {100, 40,90}) y, por consiguiente, su etiqueta [40,3] se convierte a un estado permanente. Iteración 3: del nodo cuatro rotulamos ahora el nodo 2 con la etiqueta temporal [40+15,4] = [55,4], que reemplaza a la etiqueta temporal anterior [100,1]. A continuación, el nodo 5 se etiqueta temporalmente con [40+50,4] = [90,4]. Las etiquetas temporales incluyen ahora a [55,4] y [90,4] asociadas con los nodos 2 y 5, respectivamente. Rotulamos entonces al nodo 2 en forma permanente con la etiqueta [55,4]. El único nodo restante es el nodo destino 5, que convierte su etiqueta [90,4] a una etiqueta permanente, con lo que se termina el procedimiento. Los pasos de cálculo anteriores se resumen gráficamente en la figura 8-11 observe que los cálculos se basan en el concepto de recursión empleado en el algoritmo a cíclico. La diferencia principal entre los dos algoritmos estriba en que un nodo en el algoritmo cíclico puede rotularse (temporalmente) sin tener en cuenta que todos los nodos que llegan directamente a él se hayan o no rotulado. La solución en la figura 8-11 proporciona la distancia más corta a cada nodo en la red, junto con su ruta.
Problema de árbol de mínima expansión Es un gráfico en el que existe un único nodo desde el que se puede acceder a todos los demás y cada nodo tiene un único predecesor, excepto el primero que no tiene ninguno. También podemos definir al árbol como:
Un grafo conexo y sin ciclos Un grafo sin ciclos y con n – 1 aristas, siendo n el número de vértices
Grado de un nodo en un árbol es el número de subárboles de aquel nodo (en el ejemplo, el grado de v1 es 2 y de v2 1). Denominamos hojas en un árbol a los nodos finales (v3, v5 y v6). Un árbol de máximo alcance es aquel que obtenemos en un grafo conexo y sin ciclos. Árbol de mínima expansión: Árbol de máximo alcance cu yo valor es mínimo, es decir, la suma de sus aristas es mínima.
ALGORITMO DE KRUSKAL El algoritmo de Kruskal permite hallar el árbol minimal de cualquier grafo valorado (con capacidades). Hay que seguir los siguientes pasos:
Se marca la arista con menor valor. Si hay más de una, se elige cualquiera de ellas. De las aristas restantes, se marca la que tenga menor valor, si hay más de una, se elige cualquiera de ellas. Repetir el paso 2 siempre que la arista elegida no forme un ciclo con las ya marcadas. El proceso termina cuando tenemos todos los nodos del grafo en alguna de las aristas marcadas, es decir, cuando tenemos marcados n-1 arcos, siendo n el número de nodos del grafo.
Ejemplo: Determinar el árbol de mínima expansión para el siguiente grafo:
Siguiendo el algoritmo de Kruskal, tenemos:
Elegimos, por ejemplo, la arista (5, 6) = 1 (menor valor) y la marcamos. Elegimos la siguiente arista con menor valor (1, 3) = 1 y la marcamos. Elegimos la siguiente arista con menor valor (5, 7) = 2 y la marcamos, ya que no forma ciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente. Elegimos la siguiente arista con menor valor (1, 2) = 3 y la marcamos, ya que no forma ciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente. Elegimos la siguiente arista con menor valor (6, 7) = 4 y la desechamos, ya que forma ciclos con las aristas (5, 7) y (5, 6) marcadas anteriormente. Elegimos la siguiente arista con menor valor (2, 5) = 5 y la marcamos, ya que no forma ciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente. Elegimos la siguiente arista con menor valor (4, 5) = 6 y la marcamos, ya que no forma ciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente. FIN. Finalizamos dado que los 7 nodos del grafo están en alguna de las aristas, o también ya que tenemos marcadas 6 aristas (n-1).
Por tanto, el árbol de mínima expansión resultante sería:
CONCLUSION La importancia de la optimización de redes es muy grande ya que a través de ella se pueden tomar decisiones tonto para empresas como para negocios pequeños ya que se puede establecer rutas alternas a las que ya se tenían para optimizar recursos. Estos modelos de optimización han sido una herramienta muy importante ya que proporciona algoritmos fáciles de entender y aplicar.
Bibliografía
José Luis Albornoz Salazar. (2011). Optimización de redes 23 de septiembre del 2018, de monografías Sitio web:
https://www.monografias.com/trabajos-pdf4/optimizacion-redes/optimizacionredes.shtml
UNIVERSIDAD PONTIFICA DE MADRID. (2009). Optimización en redes. Flujos en redes 23 de septiembre del 2018, de Universidad de Madrid Sitio web:
https://www.iit.comillas.edu/aramos/simio/transpa/t_nf_ar.pdf
