ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Tόμος A

ΑΣΠΡΑΓΚΑΘΟΣ ΝΙΚΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ & ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΤΟΥ Β’ ΕΤΟΥΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΤΟΜΟΣ Α: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΠΑΤΡΑ 2013

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σκοπός Ο τόμος αυτός γράφτηκε ως διδακτικό βοήθημα για τους φοιτητές του τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών, που παρακολουθούν το μάθημα κορμού «Ηλεκτροτεχνία και Ηλεκτρικές Μηχανές» στο 3ο εξάμηνο σπουδών. Σκοπός του είναι να εισαγάγει τις βασικές έννοιες και μεθόδους ανάλυσης των ηλεκτρικών κυκλωμάτων, ώστε οι Μηχανολόγοι Μηχανικοί να γίνουν κοινωνοί των βάσεων της Ηλεκτρικής Τεχνολογίας που είναι η θεωρία κυκλωμάτων. Επόμενα, απευθύνεται στους φοιτητές ή/και Μηχανικούς άλλων ειδικοτήτων εκτός των Ηλεκτρολόγων Μηχανικών, που θέλουν να ασχοληθούν με την Ηλεκτρική Τεχνολογία. Το περιεχόμενο περιορίζεται στα αντικείμενα της θεωρίας κυκλωμάτων που θεωρήθηκαν απαραίτητα για ένα εισαγωγικό μάθημα Ηλεκτρικής Τεχνολογίας σε Μηχανολόγους Μηχανικούς, οι οποίοι στην χώρα μας έχουν επαγγελματικό δικαίωμα μελέτης και επίβλεψης ηλεκτρικών εγκαταστάσεων. Το περιεχόμενο του Τόμου δεν είναι αρκετό για όποιον Μηχανολόγο ασχοληθεί επαγγελματικά με τον σχεδιασμό και επίβλεψη ηλεκτρομηχανολογικών συστημάτων και εγκαταστάσεων. Η βιβλιογραφία στην επιστήμη του Ηλεκτρολόγου Μηχανικού είναι πολύ πλούσια και όποιος κατανοήσει τις βασικές αρχές της θεωρίας κυκλωμάτων, που περιλαμβάνονται στον παρόντα τόμο, δεν θα αντιμετωπίζει δυσκολίες στην αυτοεκπαίδευσή του.

Προαπαιτούμενα Προϋπόθεση για την παρακολούθηση του μαθήματος και την μελέτη του παρόντος τόμου είναι οι γνώσεις του Ηλεκτρισμού σε επίπεδο Λυκείου. Επίσης ο φοιτητής θα πρέπει να έχει στοιχειώδεις γνώσεις τριγωνομετρίας, γραμμικών συστημάτων, συνήθων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης και δεύτερης τάξης και μιγαδικών αριθμών. Τα μαθηματικά αυτά είναι απαραίτητα για την επίλυση των εξισώσεων που παριστάνουν την συμπεριφορά ενός κυκλώματος.

Οργάνωση και περιεχόμενο Το περιεχόμενο του τόμου περιορίζεται στις πολύ βασικές ενότητες της θεωρίας κυκλωμάτων. Εισάγει τις βασικές έννοιες και μεθόδους ανάλυσης κυκλωμάτων συγκεντρωμένων στοιχείων σε αντιστατικά κυκλώματα, και κυκλώματα που περιλαμβάνουν όλα τα ηλεκτρικά στοιχεία στη μεταβατική και μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση. Η ανάλυση περιορίζεται σε κυκλώματα με γραμμικά, χρονικώς αμετάβλητα ηλεκτρικά στοιχεία. Ο τόμος χωρίζεται σε πέντε κεφάλαια, ακολουθώντας τη δομή των περισσότερων βιβλίων ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Το πρώτο κεφάλαιο αρχίζει με την αναγκαιότητα της σύνδεσης της Μηχανολογίας με την Ηλεκτρική και Ηλεκτρονική Τεχνολογία (Μηχανοτρονική). Επίσης δίνεται η συσχέτιση της ανάλυσης με την σύνθεση (σχεδιασμό), που είναι ο τελικός σκοπός της επιστήμης του μηχανικού. Η αποστολή του μηχανικού είναι ο σχεδιασμός και η κατασκευή χρήσιμων συσκευών, διατάξεων και μηχανών. Στο κύριο μέρος του πρώτου κεφαλαίου δίνονται οι ορισμοί των βασικών ηλεκτρικών μεγεθών και οι νόμοι του Kirchhoff. Οι τελευταίοι εισάγονται σε γενικά συγκεντρωμένα κυκλώματα για να φανεί η γενική ισχύς των νόμων αυτών. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δώσει ο αναγνώστης στον ορισμό των φορών αναφοράς του ρεύματος και της τάσης για να γράψει σωστά τις εξισώσεις που προκύπτουν από τους νόμους του Kirchhoff. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται αντιστατικά κυκλώματα, η μεθοδολογία ανάλυσης των κυκλωμάτων και οι ορισμοί και τα βασικά θεωρήματα ισοδυναμίας. Αν και τα παραδείγματα ανάλυσης κυκλωμάτων περιορίζονται μόνο σε αντιστατικά κυκλώματα, η παρουσιαζόμενη μεθοδολογία ισχύει και σε κυκλώματα που περιλαμβάνουν πυκνωτές και πηνία στη μεταβατική και μόνιμη κατάσταση. Στο τέλος του κεφαλαίου δίνεται ένα απλό παράδειγμα σχεδιασμού κυκλώματος για να αρχίσει με μικρά βήματα η κατανόηση της συσχέτισης της ανάλυσης με τον σχεδιασμό.

II Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγονται τα δίθυρα δίκτυα και οι εξαρτημένες πηγές. Όμως ο βασικός στόχος του κεφαλαίου είναι να δείξει ότι ο Μηχανικός που κατανοεί τις βασικές έννοιες και τους νόμους είναι ικανός να σχεδιάσει πρακτικά συστήματα. Οι τελεστικοί ενισχυτές έχουν πάρα πολλές εφαρμογές σε μηχανολογικά συστήματα (μετρήσεις, αυτόματος έλεγχος). Στο κεφάλαιο αυτό φαίνεται πόσο εύκολο είναι να μελετήσουμε κυκλώματα που περιλαμβάνουν στοιχεία των οποίων γνωρίζουμε μόνο την εξωτερική συμπεριφορά, χωρίς να γνωρίζουμε την εσωτερική τους δομή. Προφανώς δεν αναμένεται ένας Μηχανολόγος να σχεδιάσει έναν τελεστικό ενισχυτή, αλλά είναι ανάγκη να μπορεί να σχεδιάσει ένα απλό κύκλωμα μέτρησης στο οποίο θα περιλαμβάνονται τελεστικοί ενισχυτές. Πέρα από την πρακτική αξία των τελεστικών ενισχυτών, σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να συνειδητοποιήσει ο Μηχανολόγος ότι μπορεί να σχεδιάσει απλά, πρακτικά κυκλώματα. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα δυναμικά στοιχεία (πηνίο και πυκνωτής) και η σχέση που συνδέει το ρεύμα με την τάση σε κάθε δυναμικό στοιχείο. Το χαρακτηριστικό των δυναμικών στοιχείων είναι η εξάρτηση από την προϊστορία της διέγερσης, που εμφανίζεται μαθηματικά με την ολοκλήρωμα (παράγωγο). Παρουσιάζεται η ανάλυση απλών κυκλωμάτων RC και RL για να γίνει κατανοητή η έννοια και η φυσική της μεταβατικής κατάστασης. Τέλος παρουσιάζεται η μεθοδολογία για την ανάλυση οπουδήποτε κυκλώματος πρώτης και δεύτερης τάξης. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η ανάλυση των κυκλωμάτων στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση ή κυκλωμάτων εναλλασσόμενου ρεύματος. Δείχνεται με πρακτικό τρόπο γιατί είναι απαραίτητη η άλγεβρα των μιγαδικών αριθμών στην ανάλυση των κυκλωμάτων στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση. Ορίζονται οι διάφορες μορφές ισχύος στο εναλλασσόμενο ρεύμα. Τέλος το κεφάλαιο κλείνει με την ανάλυση τριφασικών συμμετρικών κυκλωμάτων.

Εκπαιδευτική προσέγγιση Για συστηματικούς και διδακτικούς λόγους, η ανάλυση αντιστατικών κυκλωμάτων και κυκλωμάτων στη μεταβατική και μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση, παρουσιάζονται χωριστά. Όμως η φιλοσοφία που διαπερνάει τον τρόπο γραφής του βιβλίου είναι ενοποιητική. Η λύση οποιουδήποτε κυκλώματος συγκεντρωμένων παραμέτρων στηρίζεται στους νόμους του Kirchoff και στη σχέση μεταξύ του ρεύματος και της τάσης σε κάθε ηλεκτρικό στοιχείο.

Αντίσταση

Πηνίο

Πυκνωτής

Μαθηματικά

Συνεχές

Μεταβατική κατάσταση

Μόνιμη ημιτονοειδή

V RI

 t   R it 

V RI

Βραχυκύκλωμα

 t   LD it 

V   jL  I

V  0

Ανοικτοκύκλωμα

I 0

Εξισώσεις στην Άλγεβρα των πραγματικών

 1   it   CD  

 t   

Διαφορικές εξισώσεις,

d D dt

 1   I V   j  C   Εξισώσεις στην Άλγεβρα των μιγαδικών

Όπως παρατηρούμε, σε οποιαδήποτε κατάσταση η σχέση για κάθε στοιχείο μεταξύ ρεύματος και τάσης παίρνει τη μορφή του νόμου του Ohm

V   I όπου το  είναι μια γενικευμένη έκφραση της «αντίστασης» του στοιχείου.

III Άρα η μεθοδολογία κατάστρωσης των εξισώσεων αντιστατικών κυκλωμάτων μπορεί να εφαρμοσθεί στη μεταβατική και την μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση. Όπως φαίνεται από τον πίνακα, διαφέρουν τα μαθηματικά για την γραφή και λύση των εξισώσεων. Επόμενα, αν ο φοιτητής κατανοήσει τις μεθόδους ανάλυσης των αντιστατικών κυκλωμάτων, με την ίδια λογική μπορεί να αντιμετωπίσει την ανάλυση σύνθετων κυκλωμάτων σε οποιαδήποτε κατάσταση. Προϋπόθεση για την σωστή ανάλυση ενός κυκλώματος, όπως και στην μηχανική, είναι ο ορισμός του συστήματος αναφοράς. Επόμενα, σε όλες τις μεθόδους ανάλυσης των κυκλωμάτων το πρώτο βήμα είναι ο ορισμός της φοράς αναφοράς των ρευμάτων και τάσεων. Επειδή η χρήση των υπολογιστών έχει επεκταθεί στην εργασία όλων των μηχανικών, έχει δοθεί έμφαση στη συστηματική διαμόρφωση και την αλγοριθμική παρουσίαση των μεθόδων ανάλυσης των κυκλωμάτων. Γίνεται σαφές ότι ένα κύκλωμα με πολλούς κόμβους και βρόχους δεν μπορεί να λυθεί με ευριστικές μεθόδους και ειδικά τρυκ. Η εφαρμογή των νόμων του Kirchhoff με τυχαίο και διαισθητικό τρόπο, εκτός από τον πολύ κόπο και την μεγάλη διάρκεια, συχνά οδηγεί σε λάθη. Τα βήματα διαδικασίας ανάλυσης κυκλωμάτων, που παρουσιάζονται για κάθε μέθοδο, εφαρμόζονται πιστά στα λυμένα παραδείγματα, τα οποία λύνονται όπως στον πίνακα της αίθουσας διδασκαλίας. Για παράδειγμα, το κύκλωμα εμφανίζεται σε διαδοχικά σχήματα όπου φαίνονται οι διαδοχικές αλλαγές του σχήματος από τον ορισμό του συστήματος αναφοράς, την μετάβαση από μια κατάσταση σε μία άλλη κλπ. Αν και το αντικείμενο περιορίζεται σε γραμμικά κυκλώματα συγκεντρωμένων σταθερών με το χρόνο στοιχείων, η παρουσίαση των μεθόδων ανάλυσης είναι γενική και μπορεί να επεκταθεί εύκολα σε μη γραμμικά μεταβλητά με το χρόνο κυκλώματα. Το βασικό διακριτικό στοιχείο της επιστήμης του μηχανικού, είναι η ικανότητα σχεδιασμού, γι αυτό δίνεται έμφαση στο σχεδιασμό απλών ηλεκτρικών κυκλωμάτων που έχουν πρακτικές εφαρμογές. Είναι πολύ σημαντικό για την εκπαίδευση του μηχανικού να συνειδητοποιηθεί από τα πρώτα στάδια της εκπαίδευσης ότι ο τελικός σκοπός της ανάλυσης είναι ο σχεδιασμός. Με την εκπαίδευση του Μηχανικού προς αυτή την κατεύθυνση διαλύεται ο μύθος της απόστασης της θεωρίας από την πράξη. Ειδικά στη σημερινή εποχή του περιορισμού των πόρων, η ελαχιστοποίηση της χρήσης των υλικών και της εργασίας είναι κύριες παράμετροι στον σχεδιασμό και την κατασκευή βιομηχανικών προϊόντων. Ο οριακός ολικός σχεδιασμός βασίζεται στην βαθιά κατανόηση της θεωρίας και των αναλυτικών μεθόδων. Τα πλέον εξελιγμένα προϊόντα στηρίζονται στα επιτεύγματα της επιστημονικής έρευνας και της επιστημονικής μελέτης και του σχεδιασμού. Είναι αλήθεια ότι η τεχνολογία αλλάζει με πολύ γοργούς ρυθμούς και ο μηχανικός δεν πρέπει μόνο να κατανοεί τις αλλαγές, αλλά να συμβάλλει στην προώθηση των τεχνολογικών αλλαγών σε όφελος της κοινωνίας. Η επιστημονική εξέλιξη βασίζεται σε μια συνολική κοινωνική προσπάθεια εδώ και πολλούς αιώνες και τα αποτελέσματά της ανήκουν στην κοινωνία και όχι σε κάποια επιχείρηση επειδή πρόλαβε και κατέθεσε μία πατέντα. Επίσης είναι αλήθεια ότι οι βάσεις και οι νόμοι των επιστημών που έχουν ανακαλυφθεί μένουν αναλλοίωτες εδώ και πάρα πολλές δεκαετίες. Η ανάλυση των μηχανικών συστημάτων στηρίζεται στους νόμους του Νεύτωνα, και η θεωρία κυκλωμάτων βασίζεται στους νόμους του Kirchhoff που ανακαλύφθηκαν τον 19ο αιώνα. Η ανάλυση και σχεδίαση οποιουδήποτε ηλεκτρομηχανικού συστήματος της τελευταίας τεχνολογίας στηρίζεται κατά βάση σ’ αυτούς τους νόμους. Η βαθιά κατανόηση της θεωρίας για την ανάλυση κυκλωμάτων είναι η κόκκινη κλωστή που διαπερνάει τον τρόπο γραφής του τόμου αυτού. Με την έκρηξη της ποικιλίας των εφαρμογών, ο προσανατολισμός της εκπαίδευσης σε επιλεγμένες εφαρμογές ή/και την απόκτηση δεξιοτήτων, δεν έχει καμία προοπτική, τόσο για την κοινωνία, όσο και για την επιστημονική ολοκλήρωση του μηχανικού.

Ευχαριστίες Η αλληλεπίδραση με τους φοιτητές μου στην εικοσάχρονη διδασκαλία του μαθήματος, συνέβαλε στην ωρίμανση της εκπαιδευτικής προσέγγισης στην οποία στηρίχτηκε η γραφή του παρόντος τόμου. Ένα μεγάλο ευχαριστώ σ’ όλους τους φοιτητές αλλά κύρια σε εκείνους τους φοιτητές που στα πρώτα χρόνια της διδασκαλίας του μαθήματος δοκίμασαν τους πειραματισμούς μου.

IV Επίσης θέλω να εκφράσω τις ευχαριστίες στους συνεργάτες μου, που με το ερευνητικό τους έργο βοήθησαν στην ολοκληρωμένη θεώρηση της έρευνας της διδασκαλίας και των εφαρμογών. Ευχαριστώ πολύ τον Επιστημονικό Συνεργάτη κ. Παναγιώτη Κουστουμπάρδη για την άριστη σχεδίαση των σχημάτων, την ελκυστική διαμόρφωση και την τελική παρουσίαση του τόμου. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω την δ. Ιωάννα Σαμψώνη για την υπομονή της στην μεταφορά των σχετικά δυσανάγνωστων χειρογράφων μου σε ηλεκτρονικό κείμενο.

Νίκος Α. Ασπράγκαθος

V

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΈΝΝΟΙΕΣ 1.1 Ηλεκτρική Τεχνολογία 1.2 Ανάλυση και Σχεδιασμός Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων 1.3 Πρότυπα συγκεντρωμένων κυκλωμάτων 1.4 Ηλεκτρικά μεγέθη 1.5 Στοιχεία κυκλωμάτων 1.6 Πολικότητες αναφοράς 1.7 Οι Νόμοι του Kirchhoff Ερωτήσεις Ασκήσεις

Κεφάλαιο 2 ΑΝΤΙΣΤΑΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Αντιστάτης (αντίσταση) Μεθοδολογία επίλυσης κυκλωμάτων Συστηματικές μέθοδοι Ισοδυναμία μονόθυρων δικτύων Υπέρθεση (επαλληλία) και γραμμικότητα Τα θεωρήματα Thevenin και Norton Μοντέλα πραγματικών πηγών και μεταφορά ισχύος Σχεδιασμός κυκλωμάτων Ερωτήσεις Ασκήσεις

Κεφάλαιο 3 ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Δίθυρα δίκτυα Ιδανικός μετασχηματιστής Εξαρτημένες πηγές – Ενισχυτές Γενικά για τους τελεστικούς ενισχυτές Μη αναστρέφων τελεστικός ενισχυτής Αναστρέφων ενισχυτής και αθροιστές ενισχυτές Διαφορικός ενισχυτής Άλλοι τελεστικοί ενισχυτές Πραγματικοί τελεστικοί ενισχυτές Ερωτήσεις Ασκήσεις

1 3 5 7 8 12 15 18 23 24

27 29 31 34 40 44 46 48 51 52 52

61 63 63 64 67 69 71 74 75 75 77 77

Κεφάλαιο 4 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

81

Εισαγωγή Πυκνωτής και χωρητικότητα Πηνίο και αυτεπαγωγή Απόκριση κυκλωμάτων πρώτης τάξης με μηδενική είσοδο Πλήρης απόκριση: Μεταβατική και μόνιμης κατάστασης Μεταβατικά δεύτερης τάξης Διαδικασία επίλυσης κυκλωμάτων δεύτερης τάξης

83 83 89 93 98 109 113

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

VI Ερωτήσεις Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Εισαγωγή Κυκλώματα εναλλασσόμενου και παραστατικοί μιγάδες Βασική ανάλυση κυκλωμάτων εναλλασσόμενου Ισχύς εναλλασσόμενου Τριφασικά κυκλώματα Σχεδιασμός Ερωτήσεις Ασκήσεις

118 118

123 125 126 136 142 150 156 157 158

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α

163

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

165

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

167

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1

Gustav Robert Kirchhoff 1824 - 1887 Σ ΤΟΧΟΙ :

 Ο ρόλος της Ηλεκτρικής Τεχνολογίας στη σύγχρονη κοινωνία. Η σύνδεση με την επιστήμη του Μηχανολόγου Μηχανικού. Μηχανοτρονική.  Η θεωρία κυκλωμάτων αποτελεί τη βάση ανάπτυξης της Ηλεκτρικής Τεχνολογίας. Ανάλυση Κυκλωμάτων και Σχεδιασμός.  Ηλεκτρικά μεγέθη: ρεύμα, τάση, ενέργεια, ισχύς.  Ενεργητικά και παθητικά ηλεκτρικά στοιχεία: πηγές, αντίσταση, πυκνωτής, πηνίο.  Πολικότητες και σύστημα αναφοράς.  Νόμοι του Kirchhoff.

3


1.1 Ηλεκτρική Τεχνολογία Αν κοιτάξουμε γύρω μας θα δούμε ότι περιστοιχιζόμαστε από συσκευές και όργανα που λειτουργούν με ηλεκτρική ισχύ: Λαμπτήρες, υπολογιστές, πλυντήριο, ψυγείο, τηλέφωνο. Η παραγωγή προϊόντων και οι υπηρεσίες στηρίζονται σε μηχανήματα, συσκευές και διατάξεις που καταναλώνουν ηλεκτρική ενέργεια. Η ανάπτυξη και ο σχεδιασμός αυτών των συσκευών και μηχανημάτων στηρίζεται στην πρόοδο της ηλεκτρικής τεχνολογίας, καθώς και στις άλλες επιστήμες του μηχανικού. Η ανάπτυξη της σημερινής τεχνολογίας είναι αποτέλεσμα της συνεργασίας και της αλληλεπίδρασης όλων των επιστημών του μηχανικού. Για παράδειγμα, η σχεδίαση και η κατασκευή ολοκληρωμένων κυκλωμάτων συμπεριλαμβάνει την επίλυση προβλημάτων χημείας, μηχανικής, μεταλουργίας, θερμότητας σε συνδυασμό με την ηλεκτρονική. Η σχεδίαση και παραγωγή ενός ηλεκτρικού κινητήρα απαιτεί την στενή συνεργασία ηλεκτρολόγου και μηχανολόγου μηχανικού. Από την άλλη πλευρά, ηλεκτρικά όργανα και μικροϋπολογιστές είναι ζωτικά στοιχεία των συστημάτων ελέγχου και μετρήσεων που χρησιμοποιούνται στην αεροναυπηγική, την εμβιομηχανική, την μηχανολογία, σε οικοδομικά έργα, σε πυρηνικούς αντιδραστήρες, στην ιατρική και σε όλες σχεδόν τις επιστήμες. Οι δύο βασικές περιοχές της ηλεκτρικής τεχνολογίας σχετίζονται με την ισχύ και την πληροφορία. Η πρώτη περιοχή περιλαμβάνει την παραγωγή, μεταφορά, διανομή και κατανάλωση ηλεκτρικής ισχύος, ενώ η δεύτερη περιλαμβάνει τη συλλογή, μετάδοση και επεξεργασία της πληροφορίας. Η διάκριση μεταξύ των δύο περιοχών, που ονομάζονταν περιοχή του ηλεκτρολόγου και του ηλεκτρονικού μηχανικού αντίστοιχα, μπορεί να γίνει δεκτή μόνο για συστηματικούς λόγους και σήμερα έχει ξεπεραστεί, αφού τείνουν να γενικευθούν οι ηλεκτρονικές διατάξεις που ελέγχουν την παραγωγή, μεταφορά, διανομή και κατανάλωση της ηλεκτρικής ενέργειας. Όλες οι ηλεκτρικές ή ηλεκτρονικές συσκευές και διατάξεις περιλαμβάνουν κυκλώματα ηλεκτρικών στοιχείων. Η θεωρία κυκλωμάτων αποτελεί την βάση για την ανάπτυξη της ηλεκτρικής τεχνολογίας και περιλαμβάνει μεθόδους ανάλυσης και σχεδιασμού ηλεκτρικών κυκλωμάτων κάθε τύπου.

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ

Ν. ΑΣΠΡΑΓΚΑΘΟΣ

4 Μηχανοτρονική Όπως φαίνεται στο Σχ. 1.1, πριν την χρησιμοποίηση της ηλεκτρικής ενέργειας στην κίνηση, τα μηχανήματα και οι διατάξεις ήταν καθαρά μηχανολογικά και ο ατμός, το νερό, και ο αέρας παρείχαν την απαραίτητη ενέργεια για την κίνησή τους. Μετά την παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας τα μηχανήματα γίνονται ηλεκτρομηχανολογικά και αναπτύσσεται η επιστήμη του Μηχανολόγου – Ηλεκτρολόγου. Η πρόοδος της τεχνολογίας απαιτούσε μεγαλύτερη εξειδίκευση και οι δύο περιοχές χωρίσθηκαν.

Τεχνολογία Πληροφορικής

Μηχανολογία

Εκμηχανισμός

Ηλεκτρομηχανικά Συστήματα

Ηλεκτρική Τεχνολογία

Ηλεκτρονική Τεχνολογία

ΜΗΧΑΝΟΤΡΟΝΙΚΗ

Σχ. 1.1 Από τη Μηχανολογία στη Μηχανοτρονική

Τα ηλεκτρομηχανολογικά συστήματα, όπως για παράδειγμα το αυτοκίνητο, είχαν χωριστές μηχανολογικές διατάξεις (ανάρτηση, πέδηση, κύκλωμα καυσίμου, κλπ) από τις ηλεκτρολογικές (φώτα, μίζα, δυναμό). Με την ανάπτυξη της ηλεκτρονικής και της πληροφορικής εισάγεται η ιδέα της ολοκληρωμένης σχεδίασης των συσκευών και διατάξεων με την συνεργατική προσέγγιση των παρακάτω κλάδων της επιστήμης του μηχανικού: μηχανολόγου, ηλεκτρολόγου – ηλεκτρονικού, πληροφορικής. Το σημερινό αυτοκίνητο είναι ένα παράδειγμα της ολοκληρωμένης σχεδίασης και τα συστήματα πέδησης (φρένα ABS), ανάρτησης, καυσίμου, είναι παραδείγματα συνδυασμού μηχανολογίας, ηλεκτρονικής, ελέγχου και πληροφορικής. Η προσέγγιση της ολοκληρωμένης συνεργατικής σχεδίασης συσκευών και μηχανημάτων ονομάζεται Μηχανοτρονική (Mechatronics), από τον συνδυασμό των λέξεων Μηχανο-(λογία) και (Ηλεκ)-τρονική και μπορεί να ορισθεί από την τομή των περιοχών της Μηχανολογίας, του Αυτομάτου Ελέγχου και της

5

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ηλεκτρικής Τεχνολογίας (Ηλεκτρολογία – Ηλεκτρονική, Υπολογιστές), όπως φαίνεται στο Σχ. 1.2 Η είσοδος στην περιοχή της Μηχανοτρονικής δείχνει την ανάγκη για κατανόηση από τον Μηχανολόγο Μηχανικό των θεμελιωδών εννοιών και των μεθόδων ανάλυσης στις οποίες βασίζεται η ηλεκτρική τεχνολογία. Αντίστοιχα ο ηλεκτρολόγος μηχανικός είναι απαραίτητο να κατανοεί τις θεμελιώδεις αρχές της Μηχανικής.

ΜΗΧΑΝΟΤΡΟΝΙΚΗ

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

1.2 Ανάλυση και Σχεδιασμός Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Η θεωρία κυκλωμάτων αποτελεί το θεμέλιο της ηλεκτρικής τεχνολογίας, που περιλαμβάνει τις αρχές και τις μεθόδους ανάλυσης των ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Η θεωρία κυκλωμάτων στηρίζεται στον Ηλεκτρισμό, που είναι μέρος της Φυσικής, αλλά το αντικείμενο και οι ρόλοι τους διακρίνονται σαφώς. Η εξέταση των φαινομένων στον Ηλεκτρισμό είναι κυρίως ποιοτική και εκεί ο στόχος είναι η απόδειξη των νόμων που διέπουν τα φαινόμενα, ενώ στη θεωρία κυκλωμάτων κυριαρχεί η ποσοτική ανάλυση των κυκλωμάτων με στόχο τον σχεδιασμό χρήσιμων συσκευών και μηχανών. Επόμενα, είναι απαραίτητη η κατανόηση σε βάθος του Ηλεκτρισμού για την μελέτη της θεωρίας κυκλωμάτων, γιατί τα αποτελέσματα της ποσοτικής ανάλυσης πάντοτε υπόκεινται στην κρίση της ποιοτικής και της φυσικής ερμηνείας. Στο πλαίσιο με την διακεκομμένη γραμμή του Σχ. 1.3 εμπεριέχονται οι διαδικασίες ανάλυσης των κυκλωμάτων, που είναι παρόμοιες με αυτές της ανάλυσης σε μηχανολογικές κατασκευές. Η προσομοίωση (μοντελοποίηση) μιας φυσικής συσκευής είναι από τα πιο δύσκολα προβλήματα. Στο παρόν βιβλίο περιγράφονται τα πρότυπα (μοντέλα) απλών ηλεκτρικών στοιχείων. Τα περιγραφόμενα πρότυπα είναι ιδεατά, συγκεντρωμένα, γραμμικά, ενώ σε μερικές περιπτώσεις δίνονται προσεγγιστικά πρότυπα για πραγματικά στοιχεία. Επίσης η ανάλυση θα περιορισθεί σε κυκλώματα με παθητικά στοιχεία (αντίσταση, πυκνωτής, πηνίο), αμετάβλητα με το χρόνο.


ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ


ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

Σχ. 1.2 Μηχανοτρονική

6

Φυσική Συσκευή

Γραμμικό κυκλωματικό πρότυπο της φυσικής συσκευής

Διαδικασία Επίλυσης  ορισμός συστήματος αναφοράς και μεταβλητών  Εξαγωγή Εξισώσεων  Επίλυση Εξισώσεων

Ερμηνεία των αποτελεσμάτων

Σχ. 1.3 Ανάλυση κυκλωμάτων

Παρ’ όλα αυτά, οι νόμοι και οι μέθοδοι που θα παρουσιασθούν στο βιβλίο ισχύουν και σε κυκλώματα με μη γραμμικά, μεταβλητά με το χρόνο παθητικά στοιχεία. Από τον Ηλεκτρισμό είναι γνωστή η επίλυση κυκλωμάτων αλλά περιορίζεται σε ειδικές περιπτώσεις. Στην θεωρία κυκλωμάτων θα παρουσιασθούν μέθοδοι με τις οποίες μπορεί να αναλυθεί συστηματικά οποιοδήποτε ηλεκτρικό κύκλωμα. Η επίλυση των κυκλωμάτων σκοπό έχει να υπολογίσει τάσεις ή/και ρεύματα σε δοσμένα στοιχεία του κυκλώματος. Πρώτη και πολύ σημαντική εργασία για την επίλυση ενός κυκλώματος είναι ο ορισμός της πολικότητας (φοράς) του ρεύματος και της τάσης αναφοράς σε κάθε στοιχείο του κυκλώματος ή αλλιώς του συστήματος αναφοράς του κυκλώματος. Ακολουθεί η κατάστρωση των εξισώσεων, που περιγράφουν το κύκλωμα στη συγκεκριμένη κατάσταση. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την επίλυση των εξισώσεων ελέγχονται με ποιοτικές προσεγγίσεις και δίνεται η φυσική τους ερμηνεία. Για παράδειγμα, δεν είναι δυνατό σε ένα απλό κύκλωμα συνεχούς με αντιστάσεις και πηγές να εμφανισθεί τάση μεγαλύτερη από αυτή της πηγής, επόμενα, ένα τέτοιο αποτέλεσμα δείχνει ότι έγινε λάθος στην επίλυση του κυκλώματος. Η ερμηνεία των αποτελεσμάτων μας βοηθάει στην κατανόηση της λειτουργίας του κυκλώματος και του σχεδιασμού, όπως θα δούμε παρακάτω. Παρ’ όλο που το κύριο μέρος του βιβλίου αναφέρεται στην ανάλυση των κυκλωμάτων, είναι αναγκαίο να συνδεθεί η ανάλυση με τον σχεδιασμό, που είναι ο τελικός στόχος της επιστήμης του μηχανικού. Η αποστολή του μηχανικού είναι να κάνει «χρήσιμα πράγματα», δηλ. μηχανήματα, συσκευές και γενικά κατασκευές, που είναι χρήσιμες για τον άνθρωπο.

7

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στο Σχ. 1.4 φαίνεται ένα απλοποιημένο διάγραμμα ροής της διαδικασίας του σχεδιασμού κυκλωμάτων, όπου κεντρικό ρόλο έχει η ανάλυση κυκλωμάτων. Η διαδικασία σχεδιασμού είναι επαναληπτική. Ο μηχανικός σχεδιάζει μια αρχική διαμόρφωση της συσκευής, που με την εμπειρία του ή από ανάλογα παραδείγματα, υποθέτει ότι μπορεί να ικανοποιήσει τις προδιαγραφές. Η ανάλυση του κυκλώματος της συσκευής δείχνει αν ικανοποιούνται οι προδιαγραφές. Αν δεν ικανοποιούνται κάνει μετατροπές, αναλύει πάλι το τροποποιημένο μοντέλο και ο κύκλος επαναλαμβάνεται μέχρι να ικανοποιηθούν οι προδιαγραφές για την συμπεριφορά του κυκλώματος. Επιπλέον των τεχνικών προδιαγραφών, που αφορούν την συμπεριφορά του κυκλώματος, ο σχεδιασμός πρέπει να ικανοποιεί και άλλα κριτήρια, όπως οικονομικά, περιβαλλοντικά, ή ασφάλειας. Για παράδειγμα, ένα κύκλωμα που ικανοποιεί τις προδιαγραφές με βάση την ανάλυση κυκλωμάτων μπορεί να μην είναι οικονομικό ή να μην είναι ασφαλές, οπότε ο μηχανικός πρέπει να κάνει τις μετατροπές που χρειάζονται μέχρι να ικανοποιηθούν όλες οι προδιαγραφές.

Σχεδιασμός Συσκευής

Μετατροπές

ΟΧΙ

Ανάλυση Κυκλωμάτων

Ικανοποιούνται οι προδιαγραφές;

ΝΑΙ ΤΕΛΟΣ

Σχ. 1.4 Σχεδιασμός κυκλωμάτων

1.3 Πρότυπα συγκεντρωμένων κυκλωμάτων Η εξαγωγή προτύπων (μοντέλων) μιας συσκευής είναι μια πολύ σημαντική εργασία του μηχανικού και για αυτό θα περιγράψουμε σε μεγαλύτερη έκταση το είδος της προτυποποίησης των κυκλωμάτων και τα όριά της. Για να αναλύσουμε ένα φυσικό σύστημα πρέπει να το περιγράψουμε με ένα ιδεατό (ιδανικό) πρότυπο, που αποτελείται από την διασύνδεση ιδεατών στοιχείων. Τα ιδεατά στοιχεία είναι απλά πρότυπα που αναπαριστούν κατά προσέγγιση τις ιδιότητες και την συμπεριφορά απλών φυσικών στοιχείων. Με την χρήση ιδεατών στοιχείων και με διαδοχικές προσεγγίσεις είναι δυνατό να πετύχουμε ένα πρότυπο, που η συμπεριφορά του να είναι πολύ κοντά σ’ αυτή του φυσικού συστήματος. Τα ιδεατά μοντέλα των ηλεκτρικών κυκλωμάτων είναι ανάλογα των ιδεατών μοντέλων που χρησιμοποιούνται στην κλασσική μηχανική, όπως είναι το υλικό σημείο και το απαραμόρφωτο σώμα. Είναι γνωστό ότι τέτοια σώματα δεν υπάρχουν στη φύση, όμως πολλά προβλήματα της μηχανικής λύνονται με την βοήθεια αυτών των εννοιών. Τα πρότυπα των φυσικών κυκλωμάτων είναι δύο ειδών, τα συγκεντρωμένα και τα κατανεμημένα. Σ’ αυτό το βιβλίο περιλαμβάνεται η ανάλυση των συγκεντρωμένων κυκλωμάτων. Τα συγκεντρωμένα κυκλώματα αποτελούνται από την διασύνδεση συγκεντρωμένων ηλεκτρικών στοιχείων, όπως ο αντιστάτης, ο πυκνωτής, το πηνίο και ο ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ

Προδιαγραφές


8 μετασχηματιστής. Η βασική ιδιότητα των συγκεντρωμένων στοιχείων είναι το μικρό τους μέγεθος, συγκρινόμενο με το μήκος κύματος που αντιστοιχεί στην μεγαλύτερη συχνότητα λειτουργίας του στοιχείου. Ανάλογο του συγκεντρωμένου ηλεκτρικού στοιχείου είναι το υλικό σημείο. Για παράδειγμα, ο συγκεντρωμένος αντιστάτης θεωρούμε ότι έχει μηδενική διατομή και μήκος, ενώ προβάλλει αντίσταση στη διέλευση του ηλεκτρικού ρεύματος. Η πραγματικότητα είναι διαφορετική γιατί ακόμη και ο αντιστάτης με το πιο μικρό φυσικό μέγεθος που μπορεί να επιτευχθεί, έχει διαστάσεις διάφορες του μηδενός. Για να γίνουν κατανοητά τα όρια μέσα στα οποία μπορούμε να εξάγουμε ένα συγκεντρωμένο μοντέλο ενός φυσικού κυκλώματος, θα δώσουμε το παράδειγμα ενός ηχητικού συστήματος. Η μεγαλύτερη ακουστική συχνότητα είναι 25 KHz, που αντιστοιχεί σε μήκος 8 25 103  12Km , πάρα πολύ κύματος   3 10 μεγαλύτερο από τις συνηθισμένες διαστάσεις ενός ηχητικού συστήματος. Από την άλλη πλευρά, στα κυκλώματα μικροκυμάτων το μήκος κύματος είναι μεταξύ 10cm και 1mm, μεγέθη συγκρίσιμα με τις διαστάσεις των κυκλωμάτων.







Οι νόμοι του Kirchhoff ισχύουν μόνο για τα συγκεντρωμένα κυκλώματα. Αυτός ο περιορισμός απορρέει από το γεγονός ότι Οι Νόμοι του Kirchhoff είναι προσέγγιση των εξισώσεων Maxwell, που είναι οι γενικές εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Επόμενα, οι νόμοι του Kirchhoff ισχύουν για το ηχητικό σύστημα αλλά δεν ισχύουν για ένα σύστημα εκπομπής μικροκυμάτων, όπου ισχύουν οι εξισώσεις του Maxwell.

Διακόπτης

Συσωρευτής (μπαταρία)

1.4 Ηλεκτρικά μεγέθη Λαμπτήρας

Σχ. 1.5 Κύκλωμα αναβοσβησίματος λαμπτήρα

Το Σχ. 1.5 παριστάνει το κύκλωμα αναβοσβησίματος ενός απλού λαμπτήρα (απλοποιημένο κύκλωμα φορητού φωτισμού) αποτελούμενο από τον συσσωρευτή (μπαταρία), τον λαμπτήρα, τον διακόπτη και τους αγωγούς. Όταν κλείσει ο διακόπτης, το ρεύμα περνά από τον λαμπτήρα, εξ’ αιτίας της τάσης της μπαταρίας, και μετατρέπεται σε θερμότητα και φως. Έτσι το ρεύμα είναι το μέσον για να μεταφερθεί ενέργεια από την μπαταρία στον λαμπτήρα. Όπως είναι γνωστό, το ρεύμα είναι κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο. Αυτό το φορτίο παραλαμβάνει ενέργεια από την μπαταρία και παρέχει ενέργεια στον λαμπτήρα. Σ’ αυτή την παράγραφο θα παρουσιαστούν το ρεύμα, η τάση, η ισχύς και οι βασικές σχέσεις μεταξύ τους.

9

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Φορτίο και ρεύμα Το ηλεκτρικό φορτίο έχει δύο χαρακτηριστικά: την ποσότητα που μετριέται σε Coulombs (Cb) και το πρόσημο ή την πολικότητα. Το φορτίο που μεταφέρει ένα ηλεκτρόνιο είναι

qr  1.60 1019 Cb και έχει αρνητική πολικότητα. Ρεύμα είναι η διέλευση φορτίου από μία δοσμένη διατομή σε δοσμένο χρόνο. Αν η μεταφορά του φορτίου q γίνεται σε χρόνο Δt, τότε το μέσο ρεύμα είναι Πίνακας 1.1

i

q t

(1.1)

Η συμβατική φορά του ρεύματος καθορίζεται υποθέτοντας ότι το q είναι θετικό. Γενικεύοντας μπορούμε να ορίσουμε το στιγμιαίο ρεύμα σαν

Περιπτώσεις Κεραυνός

104 Μεγάλος βιομηχανικός κινητήρας 102



dq i dt

Ρεύμα (Α) 106

(1.2)

Οικιακή κατανάλωση 100 Ηλεκτροπληξία 10-2

όπου το σύμβολο  παριστάνει ορισμό. Το ρεύμα μετράται σε Amperes (A) που ισοδυναμεί με τη μεταφορά ενός Cb ανά δευτερόλεπτο (s).

1   1Cb s Στον πίνακα 1.1 φαίνονται οι τιμές συνηθισμένων ρευμάτων Ενέργεια και τάση Στο Σχ. 1.5 είδαμε ότι το κινούμενο φορτίο μετέφερε και απέδωσε ενέργεια στον λαμπτήρα. Έτσι η δυναμική ενέργεια του φορτίου μεταβάλλεται. Το ηλεκτρικό μέγεθος που σχετίζεται με την μεταβολή της δυναμικής ενέργειας, ονομάζεται διαφορά δυναμικού ή τάση, και μετριέται σε Volts (V). Ειδικότερα, αν φορτίο dq προσφέρει ενέργεια dw, όταν κινηθεί από ένα σημείο a σε ένα σημείο b, τότε η τάση μεταξύ των δύο αυτών σημείων ορίζεται από την σχέση



dw dq


(1.3)


Κατώφλι αίσθησης 10-4 10-6 Μνήμες υπολογιστή 10-8 10-10 10-12 Συνάψεις νευρώνων 10-14

10 με το σημείο a σε υψηλότερο δυναμικό αν το (dw/dq) είναι θετικό. Αν εκφράσουμε την ενέργεια σε joules (J), τότε η μονάδα της τάσης δίνεται από την σχέση

1V  1 J Cb

Πίνακας 1.2

Τάση (V) 108

Περιπτώσεις Κεραυνός

106 Γραμμές μεταφοράς Καθοδικός σωλήνας τηλεόρασης 104 Μεγάλος βιομηχανικός κινητήρας Οικιακή κατανάλωση

Αν τα dq και dw έχουν το ίδιο πρόσημο, τότε ενέργεια αποδίδεται από ένα θετικό φορτίο, που κινείται από το a στο b, ή από αρνητικό φορτίο κινούμενο σε αντίθετη φορά. Αντίστροφα, αν τα dq και τα dw έχουν αντίθετες πολικότητες, τότε φορτισμένα σωματίδια παραλαμβάνουν ενέργεια μέσα σε μια πηγή. Στον πίνακα 1.2 φαίνονται οι περιοχές της τιμής της τάσης σε συνηθισμένες περιπτώσεις. Ηλεκτρική ισχύς Η στιγμιαία ισχύς ορίζεται σαν ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας

102 Μπαταρία αυτοκινήτου Τροφοδοτικό υπολογιστή 0

10 10-2 Τάση κατά μήκος του θώρακα παραγόμενη από την καρδιά 10-4 10-6

p

dw dt

(1.4)

Η ηλεκτρική ισχύς μετρούμενη σε Watts (W) που καταναλώνεται ή παράγεται από ένα στοιχείο κυκλώματος είναι απλά το γινόμενο της τάσης επί το ρεύμα

Κεραία λήψης ραδιοφώνου 10-8

p  i

(1.5)

Από την σχέση αυτή προκύπτει

1W  1V Η εξίσωση (1.5) προκύπτει από το γεγονός ότι η τάση είναι το έργο ανά μονάδα φορτίου, ενώ το ρεύμα είναι το μεταφερόμενο φορτίο ανά μονάδα χρόνου. Επόμενα ισχύει:

 dw   dq  dw      p  dq   dt  dt

  i  

Όλες οι ηλεκτρικές συσκευές χαρακτηρίζονται από την ισχύ τους, όμως όταν πληρώνουμε τον λογαριασμό του ηλεκτρικού, ο υπολογισμός γίνεται με βάση την ηλεκτρική ενέργεια που κατανάλωσαν οι συσκευές μας. Η ολική ενέργεια σε ένα χρονικό διάστημα Τ, υπολογίζεται με την ολοκλήρωση της ισχύος

11

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ T

w   p dt

(1.6)

O

Η ενέργεια εκφράζεται σε Joules (J) ή Wattseconds. Όμως οι λογαριασμοί ηλεκτρικής ενέργειας για τις διάφορες καταναλώσεις υπολογίζονται σε κιλοβατώρες (KiloWatthour) (KWh).

1KWh  3.6 106 Joules που ισοδυναμεί σε ολική ενέργεια που καταναλώθηκε σε μια ώρα όταν η μέση ισχύς είναι P=1000W.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.1 Σε μια τυπική μπαταρία αυτοκινήτου των 12V μπορεί να αποθηκευθεί περίπου 6106 J ενέργειας. Αν η μπαταρία συνδεθεί με ένα λαμπτήρα που απορροφά 6Α επί ένα λεπτό, να βρεθούν: α) η ισχύς του λαμπτήρα β) η ενέργεια που καταναλώθηκε γ) το ολικό φορτίο που πέρασε απ’ τον λαμπτήρα δ) η αποθηκευμένη ενέργεια της μπαταρίας σε A-h Λύση: α) p  12 V  6  72 W β) w  72 W  60 sec  4320 J γ) q  6   60 sec  360 Cb δ) Στις μπαταρίες η ολική αποθηκευμένη ενέργεια ή «η χωρητικότητα» μετριέται σε αμπερώρια Α-h, όπου ένα αμπερώριο είναι



1   h  1 Cb

sec

 3600 sec  3600 Cb

Για την προαναφερθείσα τυπική μπαταρία, η χωρητικότητά της είναι

6 106 J 12 V  5 105 Cb  139   h

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.2 Ένας λαμπτήρας αυτοκινήτου έχει τα εξής χαρακτηριστικά: 6W, 12V. Να βρεθεί το ρεύμα που απορροφάται από τον λαμπτήρα. Λύση:




P 6W I   0.5 A V 12 V


12 1.5 Στοιχεία κυκλωμάτων Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιασθούν τα μαθηματικά μοντέλα που περιγράφουν ορισμένα ιδανικά στοιχεία κυκλωμάτων ή ηλεκτρικά στοιχεία δύο ακροδεκτών. Σε επόμενα κεφάλαια θα δοθούν προσεγγίσεις πραγματικών ηλεκτρικών στοιχείων με την χρήση των ιδανικών στοιχείων. Τα ηλεκτρικά στοιχεία διακρίνονται σε ενεργά και παθητικά. Τα ενεργά στοιχεία είναι ικανά να παρέχουν ενέργεια, ενώ τα παθητικά δεν μπορούν να παράγουν ενέργεια, αλλά καταναλώνουν ή αποθηκεύουν. Στα επόμενα κεφάλαια θα περιγραφούν τα παθητικά στοιχεία: αντιστάτης, πυκνωτής και πηνίο καθώς επίσης και ο μετασχηματιστής, που είναι στοιχείο τεσσάρων ακροδεκτών. Τα ενεργά στοιχεία περιλαμβάνουν τις μπαταρίες, γεννήτριες και μοντέλα τρανζίστορ: Εδώ θα περιγραφούν μόνο οι ιδανικές ανεξάρτητες πηγές τάσης και ρεύματος με την βοήθεια των οποίων μπορούμε να αναπαραστήσουμε τα πραγματικά ενεργά στοιχεία. Οι πηγές δεν παρέχουν πάντα ισχύ στο κύκλωμα, αλλά κάτω από ορισμένες συνθήκες μπορεί να απορροφούν ισχύ. Για παράδειγμα, κατά την φόρτιση ενός συσσωρευτή (μπαταρία), αυτός απορροφά ενέργεια από το δίκτυο φόρτισης (δυναμό). Καμπύλες i-υ Πολλοί τύποι ηλεκτρικών στοιχείων δυο ακροδεκτών έχουν μια άμεση σχέση μεταξύ της τάσης και του ρεύματος, που μπορεί να εκφρασθεί από μια εξίσωση ή να σχεδιασθούν σ’ ένα διάγραμμα ονομαζόμενο καμπύλη i-υ. Αυτές οι καμπύλες παρέχουν χρήσιμες πληροφορίες για την φύση και την συμπεριφορά της συσκευής. Μπορούν να προσδιορισθούν πειραματικά με την βοήθεια μιας μεταβλητής ρυθμιζόμενης πηγής, ένα βολτόμετρο και ένα αμπερόμετρο για την μέτρηση της τάσης και του ρεύματος αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.6α για τον λαμπτήρα.

13


i Α

0.1 A i V

-3 V

υ

3V

0 Λαμπτήρας -0.1 A

(α)

(β) Σχ. 1.6 Ένας λαμπτήρας και η i-υ καμπύλη του.

Όπως φαίνεται στο Σχ. 1.6β, η καμπύλη i-υ του λαμπτήρα πλησιάζει περίπου μια ευθεία γραμμή ή μια γραμμική χαρακτηριστική με κλίση,

i 0.1    0.05  V  2V επόμενα, για μικρές τιμές του ρεύματος και της τάσης προκύπτει

i  0.05  3V    3V ισχύει για και  0.1 A  i  0.1  . Για μεγαλύτερες τιμές τάσης και ρεύματος θα πρέπει να πάρουμε υπόψη μας την καμπυλότητα ή την μη γραμμικότητα της καμπύλης i   . Το αποτέλεσμα θα είναι μια πιο περίπλοκη σχέση ρεύματος και τάσης. Στοιχεία με μη γραμμικές καμπύλες i-υ δεν αποτελούν αντικείμενο του παρόντος τόμου, όπου η ανάλυση περιορίζεται σε κυκλώματα με γραμμικά στοιχεία. που

Ιδανικές ανεξάρτητες πηγές Η μπαταρία είναι μια συνήθης ηλεκτρική πηγή τάσης γιατί κατά προσέγγιση η τάση μπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητη από το ρεύμα. Για αναλυτικούς λόγους είναι σημαντικό να ορίσουμε την έννοια της ιδανικής πηγής. Ορισμός: Ιδανική ανεξάρτητη πηγή τάσης είναι η πηγή ηλεκτρικής ενέργειας της οποίας η τάση  s είναι μια προσδιορισμένη συνάρτηση του χρόνου, που δεν εξαρτάται από το ρεύμα που διέρχεται μέσω της πηγής. Το Σχ. 1.7α δείχνει το σύμβολο που θα χρησιμοποιούμε για μια ιδανική πηγή τάσης με ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ


υ

14 αυθαίρετη χρονική μεταβολή. Όπως φαίνεται στο σχήμα, η τάση  s παίρνει αρνητικές τιμές σε διάφορες χρονικές στιγμές. Σ’ αυτή την περίπτωση, ο ακροδέκτης που σημειώνεται με +, είναι σε χαμηλότερο δυναμικό σε σχέση με τον άλλο ακροδέκτη. Μια ιδανική μπαταρία (ιδανική πηγή συνεχούς τάσης) έχει σταθερή τάση ως προς το χρόνο, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.7β, όπου χρησιμοποιούμε το σύμβολο VS για να δείξουμε την σταθερότητα.

i κύκλωμα

+

υs

υs(t)

t

0

(α)

Vs

+

κύκλωμα

I

Vs 0

t

(β)

Σχ. 1.7

α) Ιδανική πηγή τάσης β) Ιδανική μπαταρία ή ιδανική πηγή συνεχούς τάσης

Μερικές φορές είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε την έννοια της ιδανικής πηγής ρεύματος. Ορισμός: Ιδανική ανεξάρτητη πηγή ρεύματος είναι η πηγή της οποίας το ρεύμα is είναι μια προκαθορισμένη συνάρτηση του χρόνου, ανεξάρτητη από την τάση στους ακροδέκτες της πηγής. Αν και είναι πολύ ασυνήθιστες πηγές, παίζουν πολύ σπουδαίο ρόλο στην μελέτη ηλεκτρονικών συσκευών, π.χ. του τρανζίστορ. Επίσης θα μπορούσαμε να πούμε ότι η ηλεκτροσυγκόληση δρα περίπου σαν μια

15


Η διαφορά μεταξύ της ιδανικής πηγής τάσης από την ιδανική πηγή ρεύματος μπορεί να φανεί με την βοήθεια του Σχ. 1.9. Σε κάθε χρονική στιγμή μια πηγή τάσης έχει μια προκαθορισμένη τιμή τάσης  s , αλλά μπορεί να παρέχει ένα ρεύμα οποιασδήποτε τιμής, έτσι η καμπύλη i   της ιδανικής πηγής τάσης είναι μια κατακόρυφη γραμμή που τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο    s . (Η ιδανική μπαταρία των 4.5V τέμνει τον άξονα στη θέση   4.5V ). Aντίστροφα η πηγή ρεύματος έχει μια προκαθορισμένη τιμή ρεύματος ανεξάρτητη από την τάση που επικρατεί στα άκρα της, έτσι η i   καμπύλη της, είναι μια οριζόντια ευθεία γραμμή που τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο i  iS . Επισήμανση:

Η τάση στα άκρα της πηγής ρεύματος, όπως και το ρεύμα που διαρρέει την πηγή τάσης, καθορίζονται από το κύκλωμα στο οποίο συνδέονται οι πηγές.

Είναι σημαντικό να σχολιασθούν οι περιορισμοί του προτύπου (μοντέλου) των πηγών. Γενικά, ένα μαθηματικό πρότυπο προσεγγίζει την συμπεριφορά ενός φυσικού συστήματος μόνο κάτω από ορισμένες συνθήκες. Για παράδειγμα, τα ιδανικά πρότυπα των πηγών υποτίθεται ότι μπορεί να δώσουν απεριόριστη ισχύ, πράγμα που δεν συμβαίνει στην φύση. Δηλαδή αν βραχυκυκλώσουμε μια πραγματική μπαταρία θα περάσει ένα πολύ μεγάλο ρεύμα (η θερμοκρασία του αγωγού βραχυκύκλωσης ανεβαίνει αισθητά) και σε λίγο η μπαταρία θα αποφορτιστεί. Ενώ στο ιδανικό πρότυπο πηγής τάσης, αν βραχυκυκλώσουμε τους ακροδέκτες του, το ρεύμα θα γίνει άπειρο με σταθερή τάση, πράγμα που δεν στέκει από την πλευρά της φυσικής και της φύσης. Οι εξαρτημένες ιδανικές πηγές θα ορισθούν σε επόμενο κεφάλαιο.

1.6 Πολικότητες αναφοράς Στα επιστημονικά αντικείμενα που περιλαμβάνουν την ανάλυση φυσικών φαινομένων, συσκευών και κατασκευών, είναι απαραίτητο να ορισθεί ένα σύστημα αναφοράς πριν την κατάστρωση των εξισώσεων. Αυτή η πρακτική ακολουθείται στην μηχανική, την αναλυτική γεωμετρία, κ.λ.π. Για παράδειγμα, στον υπολογισμό της ροπής, θετική φορά περιστροφής θεωρείται συνήθως η ανθωρολογιακή. Αυτό σχετίζεται με τον ορισμό ενός δεξιόστροφου συστήματος αναφοράς που χρησιμοποιείται στην στατική. Το σύστημα αυτό αναφοράς είναι αυθαίρετο και η ανάλυση θα μπορούσε να γίνει σ’ οποιοδήποτε άλλο σύστημα αναφοράς. ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ


is

κύκλωμα

πηγή ρεύματος. Το σύμβολο που θα χρησιμοποιήσουμε για την ιδανική πηγή ρεύματος φαίνεται στο Σχ. 1.8.

υ

Σχ. 1.8 Ιδανική πηγή ρεύματος

i

υs

0

υ

(α) i is υ

0 (β) Σχ. 1.9 Καμπύλες i   α) Ιδανικές πηγές τάσης β) Ιδανικές πηγές ρεύματος

16

α

+

i

υ

α

υ

β

β

(α)

(β)

Σχ. 1.10 Συμβατικές πολικότητες αναφοράς

i

Ενώ στη μηχανική ο ορισμός του συστήματος αναφοράς είναι αναμφισβήτητη προϋπόθεση για την ανάλυση, δεν συμβαίνει το ίδιο στον ηλεκτρισμό. Όμως το ρεύμα και η τάση είναι μεγέθη που έχουν μέτρο και φορά (πολικότητα). Είναι ανεπαρκές να ορισθεί μόνο ότι η τάση μεταξύ δύο σημείων του κυκλώματος είναι 15V, αν δεν προσδιορισθεί και η πολικότητα. Συνήθως η πολικότητα σηματοδοτείται με ένα από τα πρόσημα (+) ή (-), τα οποία έχουν νόημα μόνο όταν έχει ορισθεί η πολικότητα αναφοράς πριν την κατάστρωση των εξισώσεων. Για παράδειγμα, τάση +15V σημαίνει ότι η πολικότητα της τάσης συμπίπτει με την πολικότητα αναφοράς, ενώ -15V σημαίνει ότι είναι αντίθετη με την πολικότητα αναφοράς. Όπως στην μηχανική, το σύστημα αναφοράς είναι αυθαίρετο, έτσι και στην θεωρία κυκλωμάτων οι πολικότητες αναφοράς είναι αυθαίρετες. Στη μηχανική έχει καθιερωθεί το δεξιόστροφο σύστημα για λόγους ευκολίας. Το ίδιο και στην θεωρία των ηλεκτρικών κυκλωμάτων, έχει καθιερωθεί η λεγόμενη σύμβαση παθητικού πρόσημου (passive sign convention), ή αλλιώς οι συσχετισμένες φορές αναφοράς. Πρόκειται για ένα σταθερό τρόπο ορισμού της πολικότητας αναφοράς σ’ ένα παθητικό ηλεκτρικό στοιχείο με διαφορετικές ονομασίες. Σύμφωνα με την σύμβαση αυτή, σ’ ένα παθητικό διπολικό στοιχείο (αντιστάτης, πυκνωτής, πηνίο) η συμβατική φορά αναφοράς του ρεύματος δείχνει από το υψηλότερο προς το χαμηλότερο δυναμικό, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.10. Στο Σχ. 1.10α το βέλος της τάσης δείχνει το υψηλότερο δυναμικό, ενώ στο Σχ. 1.10β το (+) δείχνει το σημείο με το υψηλότερο δυναμικό σε σχέση με τον ακροδέκτη στον οποίο αντιστοιχεί το (-). Το βέλος του ρεύματος είναι κλειστό για να διακρίνεται από αυτό της τάσης και η συμβατική φορά αναφοράς, ορίζεται υποχρεωτικά από το συμβατικά υψηλότερο προς το χαμηλότερο δυναμικό. Από αυτή τη σύμβαση προκύπτει η ονομασία: συσχετισμένη φορά αναφοράς. Αν από την ανάλυση προκύψει ρεύμα i  5V , αυτό σημαίνει ότι η φορά του ρεύματος είναι αντίθετη από την φορά αναφοράς, την οποία δεν αλλάζουμε επειδή πρόκυψε αρνητικό πρόσημο. Αν η ισχύς p    i , που υπολογίζεται με βάση τις συσχετισμένες πολικότητες αναφοράς, είναι θετική, τότε το στοιχείο απορροφά ενέργεια (καταναλώνει ή αποθηκεύει) συμπεριφέρεται σαν παθητικό στοιχείο. Από εδώ προέρχεται η ονομασία σύμβαση παθητικού προσήμου. Στην περίπτωση που p    i  0 τότε το στοιχείο αποδίδει ενέργεια στο δίκτυο. Είναι φανερό ότι οι συσχετισμένες φορές αναφοράς σε κάθε στοιχείο του κυκλώματος αποτελούν το σύστημα των πολικοτήτων αναφοράς του κυκλώματος

17

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ και είναι σταθερά συνδεδεμένο μ’ αυτό σε οποιαδήποτε αλλαγή συμβεί στο κύκλωμα, όπως το άνοιγμα ή το κλείσιμο ενός διακόπτη. Η διατήρηση του αρχικού συστήματος πολικοτήτων αναφοράς είναι προϋπόθεση για τη σωστή επίλυση ενός κυκλώματος. Πρακτικά, σ’ ένα κύκλωμα η σύνδεση του παλμογράφου στα άκρα ενός ηλεκτρικού στοιχείου γίνεται αυθαίρετα αλλά διατηρείται σταθερή και ως προς αυτή την σύνδεση ερμηνεύουμε το αποτέλεσμα, δηλαδή για ποιες χρονικές στιγμές η τάση είναι θετική και για ποιες αρνητική. Ο ορισμός των συσχετισμένων πολικοτήτων αναφοράς είναι απαραίτητος τόσο στο συνεχές, όσο και στο εναλλασσόμενο ρεύμα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.3 Στο κύκλωμα του Π1.3 να ορισθούν οι συσχετισμένες πολικότητες (φορές) αναφοράς στα παθητικά στοιχεία 1 και 2.

1

Vs

+

2

Σχ. Π1.3

Λύση:

i

(α)

1

Vs

υ1

+

υ2

2

υ2

2

i

(β)

1

Vs

+

υ1

Στο συγκεκριμένο κύκλωμα, επειδή έχουμε δύο παθητικά στοιχεία σε σειρά, είναι καλύτερα να ορίσουμε πρώτα την φορά αναφοράς του ρεύματος και μετά τις πολικότητες αναφοράς της τάσης σε κάθε στοιχείο. Για τη φορά αναφοράς του ρεύματος υπάρχουν δύο επιλογές, όμως θα επιλέξουμε την φορά, από το χαμηλότερο προς το υψηλότερο δυναμικό της πηγής, γιατί γνωρίζουμε ότι αυτή είναι η συμβατική φορά του ρεύματος σε μία πηγή. Η επιλογή της αντίθετης φοράς αναφοράς είναι εξίσου σωστή. Θα παρουσιασθούν και οι δύο λύσεις.

Με βάση την σύμβαση του παθητικού πρόσημου η δεύτερη λύση είναι προτιμότερη γιατί οι φορές αναφοράς του ρεύματος και της τάσης στην πηγή είναι συσχετισμένες και η ισχύς που θα προκύψει είναι αρνητική, όπως αναμένεται σ’ ένα τέτοιο κύκλωμα, που σημαίνει ότι η πηγή τροφοδοτεί το κύκλωμα.



18 1.7 Οι Νόμοι του Kirchhoff Οι νόμοι του Kirchhoff είναι δύο: Ο νόμος των ρευμάτων και ο νόμος των τάσεων και εκφράζουν την αρχή της διατήρησης του φορτίου και της ενέργειας αντίστοιχα. Όπως έχουμε πει, ισχύουν σε κυκλώματα συγκεντρωμένων ηλεκτρικών στοιχείων. Η παρουσίαση των νόμων θα γίνει πάνω στο κύκλωμα του Σχ. 1.11 που αποτελείται από μία ανεξάρτητη ιδανική πηγή τάσης και μία ανεξάρτητη πηγή ρεύματος, καθώς και άλλα τέσσερα άγνωστα στοιχεία, τα B, C, E και F. Στο κύκλωμα έχουν ορισθεί οι συσχετισμένες πολικότητες αναφοράς. Οι νόμοι του Kirchhoff ισχύουν σε κυκλώματα συνεχούς, εναλλασσόμενου (μόνιμη ημιτονοειδής κατάσταση), μεταβατική κατάσταση, ή οποιαδήποτε άλλης μορφής ρεύματα και τάσεις εμφανίζονται στο κύκλωμα. Επίσης ισχύουν και σε κυκλώματα που περιλαμβάνουν μη γραμμικά ηλεκτρικά στοιχεία εκτός των γραμμικών. Ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff Ορισμός: Κόμβος κυκλώματος ονομάζεται ένα σημείο σύνδεσης δύο ή περισσότερων ακροδεκτών ηλεκτρικών στοιχείων. Στο Σχ. 1.11 τα σημεία a, b, c, d, είναι κόμβοι. Ο νόμος του Kirchhoff περιγράφει την σχέση των ρευμάτων σ’ ένα κόμβο. Ένας ηλεκτρικός κόμβος είναι ανάλογος της σύνδεσης δύο ή περισσοτέρων σωλήνων νερού. Προφανώς όσο νερό προσέρχεται στην κοινή σύνδεση, τόσο και φεύγει, το ίδιο βέβαια ισχύει και για το ηλεκτρικό φορτίο. Ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff έχει την παρακάτω μορφή: Σε κάθε κύκλωμα συγκεντρωμένων στοιχείων, κάθε χρονική στιγμή το αλγεβρικό άθροισμα των τιμών των ρευμάτων σε ένα κόμβο είναι μηδέν.

iΒ

a

Β

iΑ υs

υΒ +

iE

b

υΕ

iC υC

c

Ε

is

C

υD

υF

F

d Σχ. 1.11 Κόμβοι σ’ ένα κύκλωμα

Στο νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται στην φορά του ρεύματος. Πρακτικά θέτουμε πρόσημο (+) σε κάθε προσερχόμενο ρεύμα και

19

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ (-) σε κάθε απερχόμενο. Έτσι ο νόμος των ρευμάτων για τον κόμβο b του Σχ. 1.12α, γράφεται:

i  iC  iS  iE  0 Αν επιλέξουμε θετικό πρόσημο (+) για κάθε απερχόμενο ρεύμα και αρνητικό πρόσημο (-) για κάθε προσερχόμενο τότε για τον κόμβο b προκύπτει η εξίσωση

 i  iC  iS  iE  0 που είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη, αφού προκύπτει πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με το (–1). Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

i  iS  iC  iE που σημαίνει ότι το άθροισμα των εισερχομένων ρευμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των απερχομένων. Επιπρόσθετα, ο ίδιος νόμος ισχύει και για κάθε μέρος κυκλώματος που μπορεί να περιληφθεί σε μια κλειστή επιφάνεια εξαιτίας του γεγονότος ότι δεν συσσωρεύεται καθαρό φορτίο σε κανένα κυκλωματικό στοιχείο. Έτσι το Σχ. 1.12β, ισχύει i1  i2  i3  i4 ανεξάρτητα από τις λεπτομέρειες του κυκλώματος μέσα στην περικλειόμενη περιοχή. Παρόμοια, μπορούμε να γράψουμε i1  i2  i3  i4 για το Σχ. 1.12γ. Σ’ έναν απλό τύπο κόμβου, όπου συνδέονται μόνο δύο στοιχεία, όπως στο Σχ. 1.12δ, ισχύει iE  iC  0 ή iE  iC . Αυτή η σύνδεση καλείται σύνδεση σε σειρά. Επόμενα δύο ή περισσότερα στοιχεία είναι συνδεδεμένα σε σειρά όταν διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα.



20 Σχ. 1.11

Κόμβος b

B

E

iB

i4

i3

iΕ iC

i2 is

C

i1

(α)

i1

(β)

n

n΄

i4

c

Ε iΕ

i2

iF

i3 F

(γ)

(δ)

Σχ. 1.12 Εφαρμογή του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff α) σ’ ένα κόμβο

β) σε μια κλειστή επιφάνεια

γ) σε δυο κόμβους συνδεδεμένους με έναν αγωγό δ) σε δυο στοιχεία σε σειρά

Ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff Ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff εκφράζει την αρχή διατήρησης της ενέργειας σε όρους τάσεων γύρω από ένα βρόχο κυκλώματος. Ορισμός: Βρόχος κυκλώματος ονομάζεται κλειστή διαδρομή σ’ ένα κύκλωμα.

κάθε

Το Σχ. 1.13α δείχνει ένα βρόχο του κυκλώματος του Σχ. 1.11. Αν ένα φορτίο κινηθεί γύρω από τον βρόχο, αυτό παίρνει ενέργεια από την πηγή και την αποδίδει στις αντιστάσεις, άρα

S  dq  B  dq  C  dq και επόμενα

 B  C   S  0

21

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Γενικά ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff διατυπώνεται ως εξής: Σε κάθε κύκλωμα συγκεντρωμένων στοιχείων, κάθε χρονική στιγμή, το αλγεβρικό άθροισμα των τάσεων σ’ ένα βρόχο κυκλώματος είναι μηδέν. Ο νόμος των τάσεων εφαρμόζεται σε κάθε βρόχο κυκλώματος, ανεξάρτητα του είδους των στοιχείων που περιέχει. Για τον προσδιορισμό του προσήμου των τάσεων στο αλγεβρικό άθροισμα χρησιμοποιούμε την παρακάτω σύμβαση: ορίζουμε αυθαίρετα μια φορά κίνησης γύρω από τον βρόχο, τότε οι τάσεις που έχουν βέλος αντίθετο προς το βέλος της κίνησης, έχουν πρόσημο (+), ενώ αυτές που έχουν την ίδια φορά έχουν πρόσημο (-). Έτσι στον βρόχο του Σχ. 1.13β ισχύει  E   F   C  0 .

υΒ a

υs

υΕ b

Β +

C

b

υC

C

d

υΕ

Ε

υC

b

c

F

υF

d

(α)

υC

F

d (β)

(γ)

Σχ. 1.13 Εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff α)

γύρω από βρόχο που περιλαμβάνει πηγή

β)

γύρω από βρόχο χωρίς πηγή

γ)

γύρω από έναν βρόχο που δεν είναι ηλεκτρικά κλειστός

Επίσης ο νόμος ισχύει και στην περίπτωση που ο βρόχος δεν είναι ηλεκτρικά κλειστός. Έτσι και στο Σχ. 1.13γ ισχύει ότι

C   E   F Μια ειδική περίπτωση εφαρμογής είναι στην παράλληλη σύνδεση δυο στοιχείων, όπως δείχνει το Σχ. 1.14. Σ’ αυτή την περίπτωση ο νόμος των τάσεων δείχνει ότι  D  C  0 ή  D  C . Επόμενα δύο ή περισσότερα στοιχεία είναι συνδεδεμένα παράλληλα όταν στα άκρα τους επικρατεί η ίδια τάση.



c

Ε

υF

22 b

b

υC

υD

C

υC

is

is

C

d

d

(α)

(β)

υD

Σχ. 1.14 Παράλληλη σύνδεση δύο στοιχείων

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.4 b Στο κύκλωμα του Σχ. Π1.4 να:

1

a

α) Να ευρεθούν όλοι οι βρόχοι του κυκλώματος

is

c

4

υs

+

β) Να ορισθούν οι πολικότητες αναφοράς του ρεύματος και της τάσης σε όλα τα στοιχεία

2

3

d

Σχ. Π1.4

Λύση: α) abca, acda, bcdb, abda, abdca, adbca, abcda

γ) Να γραφεί ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff στους κόμβους a, b. δ) Να γραφεί ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff στους βρόχους abda, bcadb.

23

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ β) b i2 υ1 1 i1

υcs

is υ4

i4 a

c i3

4

2

υ2

ivs υs +

3

υ3

d

γ) Κόμβος a: i1  i4  iVS  0 Κόμβος b: iS  i1  i2  0 δ) Βρόχος abda:  1   2   S  0 Βρόχος bcadb: CS   4   S   2  0

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ: 1.1

Μπορούμε να συνδέσουμε δύο ιδανικές πηγές τάσης σε παραλληλία αν έχουν διαφορετική ονομαστική τάση; Δικαιολογήστε την απάντηση. Πότε επιτρέπεται η σύνδεση δύο πηγών τάσης σε παραλληλία;

1.2

Μπορούμε να συνδέσουμε δύο ιδανικές πηγές τάσης σε σειρά αν έχουν διαφορετική ονομαστική τάση; Δικαιολογήστε την απάντηση

1.3

Μπορούμε να συνδέσουμε δύο ιδανικές πηγές ρεύματος σε σειρά αν έχουν διαφορετικό ονομαστικό ρεύμα; Δικαιολογήστε την απάντηση. Πότε επιτρέπεται η σύνδεση δύο πηγών ρεύματος σε σειρά;

1.4

Μπορούμε να συνδέσουμε δύο ιδανικές πηγές ρεύματος σε παραλληλία αν έχουν διαφορετικό ονομαστικό ρεύμα; Δικαιολογήστε την απάντηση.

1.5

Το μέγιστο μήκος μιας αντίστασης είναι 15 εκατοστά του μέτρου και είναι συνδεδεμένη σε δίκτυο συχνότητας 10 KHz. Μπορεί να θεωρηθεί συγκεντρωμένο στοιχείο;

1.6

Σε ποιό από τα παρακάτω είδη κυκλωμάτων ισχύουν οι νόμοι του Kirchhoff; Συγκεντρωμένων παραμέτρων α) Γραμμικά β) Μη γραμμικά



24 γ) Μεταβλητά με το χρόνο Κατανεμημένων παραμέτρων α) Γραμμικά β) Μη γραμμικά γ) Μεταβλητά με το χρόνο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: 1.1

Στο κύκλωμα του Σχ. Α1.1 να ορισθούν οι πολικότητες αναφοράς των τάσεων και ρευμάτων σε όλα τα στοιχεία. Αν i1  1  , i3  2  και i6  3  , βρείτε τις τιμές των ρευμάτων που διαρρέουν τα υπόλοιπα στοιχεία.

2 i1 υ1

υ3 1

i6 5

3

6 υ6

i3 4 Σχ. Α 1.1

1.2

Στο Σχ. Α1.1, αν υποθέσουμε ότι τα ρεύματα είναι ημιτονοειδή και i1  1 cos100t ,









i3  2  cos 100t  90o  και i6  3  cos 100t  30o  , να βρεθούν οι τιμές των

ρευμάτων στα υπόλοιπα στοιχεία στην μορφή i  I m  cos100t    .

1.3

Στο Σχ. Α1.1 δίνονται οι τάσεις 1  2 V, 3  4 V και  6  6 V. Να βρεθούν οι τάσεις στους ακροδέκτες των υπολοίπων στοιχείων.

1.4

Στο Σχ. Α1.1 οι τάσεις και τα ρεύματα είναι ημιτονοειδή. Αν 1  2  cos100t V,

1.5

Στο Σχ. Π1.4 βρείτε όλους τους δυνατούς βρόχους. Απλός βρόχος ονομάζεται αυτός που δεν περικλείει μέσα του κανένα κλάδο. Βρείτε όλους τους απλούς βρόχους του Σχ. Π1.4

1.6

Μια μπαταρία χωρητικότητας 6106 J και 12V τροφοδοτεί ένα λαμπτήρα 50W. Υποθέτοντας ότι η τάση και το ρεύμα της μπαταρίας μένουν σταθερά και τα σύρματα σύνδεσης καταναλώνουν μηδενική ενέργεια, βρείτε επί πόση ώρα ο λαμπτήρας θα φωτίζει πριν εκφορτισθεί πλήρως η μπαταρία.

1.7

Ο εκκινητής ενός αυτοκινήτου (μίζα) απορροφά αρχικό ρεύμα 20  από τον συσσωρευτή (μπαταρία) ονομαστικής τάσης 12V και η εσωτερική του αντίσταση είναι αμελητέα.

3  3  cos100t  120o V και 6  5  cos100t  90o  V, να βρεθούν οι τάσεις στους ακροδέκτες των υπολοίπων στοιχείων στη μορφή   Vm  cos100t    V.

25


1.8

α)

Να υπολογισθεί η αρχική ισχύς εισόδου του εκκινητή.

β)

Αν το ρεύμα ελαττώνεται γραμμικά ως την μηδενική τιμή σε χρόνο 2sec, να υπολογισθεί η ενέργεια που απορρόφησε ο εκκινητής.

Στο κύκλωμα του Σχ. Α1.8 δίνονται οι τάσεις 1  5 V , 3  3V , 5  10V ,

 7  8V , 10  4V . Να υπολογισθούν οι τάσεις στους ακροδέκτες όσο το δυνατόν περισσότερων στοιχείων, αφού πρώτα ορισθούν οι φορές αναφοράς των τάσεων.

υ3 a

b

3

4

2 c 1

6 υ7 5

7 υ5 e

d 8

9

υ10

10

f Σχ. Α 1.8

1.9

Στο Σχ. Α1.8 ορίσατε τις συσχετισμένες φορές αναφοράς των ρευμάτων και τάσεων. α)

Εφαρμόστε το νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff στους κόμβους a, b, c, d, e και f.

β)

Δείξτε ότι ο νόμος των ρευμάτων στον κόμβο c προκύπτει από τις άλλες εξισώσεις.

1.10

Στο κύκλωμα του Σχ. Α1.8 βρείτε όλους τους απλούς βρόχους.

1.11

Η τάση στους ακροδέκτες ενός ηλεκτρικού στοιχείου είναι 12  e2tV , ενώ το ρεύμα που διαρρέει το στοιχείο είναι 2  e 2t  . Να βρεθεί η ισχύς που απορροφά το στοιχείο όταν t=1sec, και η ενέργεια που απορρόφησε σε 1.5sec, αρχίζοντας από t=0.

1.12

Στο κύκλωμα του Σχ. Α1.12 οι πηγές απορροφούν ή προσδίδουν ισχύ και πόση;



26 6V

υs +

9Α

10V

8V

3A Σχ. Α 1.12

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ: 1.13

Να βρεθεί η ελάχιστη ονομαστική χωρητικότητα μπαταρίας αυτοκινήτου 12 V ώστε να μπορεί να εκκινήσει την μηχανή αν ξεχάσουμε τα φώτα αναμμένα για 10 ώρες. Η ισχύς των φώτων είναι 120 W ή δε ενέργεια που απαιτείται ώστε να είναι ασφαλής η εκκίνηση είναι 30 Ah.

ΑΝΤΙΣΤΑΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

2

Georg Simon Ohm 1789 - 1854 Σ ΤΟΧΟΙ :

 Ορισμός του ιδανικού αντιστάτη και ο νόμος του Ohm. Χαρακτηριστικά αντιστατών σε πρακτικές εφαρμογές.  Μεθοδολογία επίλυσης αντιστατικών κυκλωμάτων που μπορεί να γενικευθεί σε οποιαδήποτε κυκλώματα. Ευριστικές και συστηματικές μέθοδοι.  Ισοδυναμία μονόθυρων δικτύων. Ισοδυναμία μονόθυρου δικτύου που περιλαμβάνει μόνο αντιστάτες. Ισοδύναμα κυκλώματα πραγματικών πηγών και θεώρημα προσαρμογής. Θεωρήματα ισοδυναμίας Thevenin και Norton.  Παραδείγματα σχεδιασμού αντιστατικών κυκλωμάτων σε πρακτικές εφαρμογές.

29

2.1 Αντιστάτης (αντίσταση) Όπως γνωρίζουμε από την φυσική, το ηλεκτρικό ρεύμα είναι ροή ηλεκτρονίων. Κατά την διέλευσή τους μέσα σ’ ένα αγώγιμο σώμα, τα ηλεκτρόνια συναντούν αντίσταση εξαιτίας των συγκρούσεών τους με άλλα ατομικά σωματίδια. Η απώλεια ενέργειας των ηλεκτρονίων κατά τις συγκρούσεις μετατρέπεται σε θερμότητα και συγχρόνως εμφανίζεται πτώση τάσης μεταξύ των ακροδεκτών του αγώγιμου σώματος.

κύκλωμα

ΑΝΤΙΣΤΑΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

1/R

(β)

Νόμος του Ohm

(2.1)

όπου η αντίσταση R μετριέται σε Ohms (Ω).



α) Ιδανική αντίσταση β) Η i   καμπύλη ιδανικής αντίστασης

Μία ιδανική ή γραμμική αντίσταση είναι ένα στοιχείο κατανάλωσης ενέργειας που η συμπεριφορά του περιγράφεται από το νόμο του Ohm.

G

υ

0

Σχ. 2.1

  Ri

κύκλωμα

Η αγωγιμότητα G είναι το αντίστροφο της αντίστασης,

R

i

Νόμος του Ohm

Το Σχ. 2.1 δείχνει το σύμβολο και την καμπύλη i   για την ιδανική αντίσταση. Σημειώστε ότι η κλίση της καμπύλης είναι 1/R αφού από το νόμο του Ohm είναι i   / R . Η αντίσταση εμποδίζει την ροή του ρεύματος και όσο μεγαλύτερη είναι η R τόσο μικρότερο είναι το ρεύμα που δίνει την ίδια διαφορά δυναμικού  στα άκρα της.

υ

(α)

Ο αντιστάτης είναι το ιδανικό ηλεκτρικό στοιχείο που παριστάνει την αντίσταση του αγώγιμου σώματος στην διέλευση των ηλεκτρονίων. Το ηλεκτρικό αυτό στοιχείο καταναλώνει ενέργεια σε μορφή θερμότητας. Μερικές φορές η αντίσταση σ’ ένα κύκλωμα είναι επιθυμητή για να γίνει μετατροπή ηλεκτρικής ενέργειας σε θερμική και άλλες φορές ανεπιθύμητη, όπως στους αγωγούς μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας και σύνδεσης των ηλεκτρικών συσκευών.

  R i

i

i υ=0

1 R

(R=0)

(α)

i  G  Η αγωγιμότητα μετριέται σε αντίστροφα Ohm ή Siemens (s) στο σύστημα SI. Όμως ο πιο συνηθισμένος όρος είναι το mho και θα ακολουθηθεί στα παρακάτω. Οι τιμές των αντιστάσεων στην πράξη κυμαίνονται από κλάσματα του ohm μέχρι Kilohm (ΚΩ) ή ακόμη και megohm (ΜΩ). Ένας απλός διακόπτης ONOFF μπορεί να μοντελοποιηθεί με βάση τον ορισμό της



κύκλωμα

έτσι ο νόμος του Ohm μπορεί να γραφεί

i=0 υ

(G=0)

(β) Σχ. 2.2

Εξομοίωση διακόπτη

30 αντίστασης. Στη θέση ΟΝ (κλειστός) του Σχ. 2.2α ο διακόπτης δημιουργεί ένα βραχυκύκλωμα ή μια αγώγιμη σύνδεση μηδενικής αντίστασης R  0 , δηλ.   0  i  0 για οποιαδήποτε τιμή του ρεύματος. Αλλά στη θέση OFF (ανοιχτός) του Σχ.2.2β ο διακόπτης γίνεται ένα ανοιχτό κύκλωμα με μηδενική αγωγιμότητα G  0 ή άπειρη αντίσταση R   , έτσι i  0   0 για οποιαδήποτε τιμή του  . Κατανάλωση ενέργειας και ωμική θέρμανση Συνδυάζοντας το νόμο του Ohm με τον ορισμό της ηλεκτρικής ισχύος p    i , βρίσκουμε δυο εκφράσεις για την ισχύ που καταναλώνεται στην αντίσταση.

p    i  R  i   i  i 2  R     R    2 R

(2.2)

Η ηλεκτρική ισχύς που καταναλώνεται από την αντίσταση μετατρέπεται σε θερμότητα, μια διαδικασία που είναι γνωστή σαν ωμική θέρμανση.

Σχ. 2.3

Τυπικοί αντιστάτες

ΠΙΝΑΚΑΣ 2.1 Ειδική αντίσταση υλικών σε

Τύπος Αγωγοί

Υλικό

Χαλκός Αλουμίνιο Χρωμονικέλιο Άνθρακας Ημιαγωγοί Γερμάνιο Πυρίτιο Μονωτικά Λάστιχο (Καουτσούκ) Πολυστηρένιο

20O C  .m  1.7  108 2.8  108 10 6 3.5  105 0.46 2300 1012 1015

Τυλίγματα από κατάλληλο σύρμα χρησιμοποιούνται σε ηλεκτρικές συσκευές όπως φούρνους, ξηραντές μαλλιών, τοστιέρες κ.λ.π. Παρόμοια, το σύρμα του λαμπτήρα μετατρέπει την ηλεκτρική ενέργεια σε φωτεινή ενέργεια και θερμότητα. Η ωμική θέρμανση είναι η βάση της λειτουργίας της συντηκτικής ασφάλειας των ηλεκτρικών κυκλωμάτων: όταν το ρεύμα φθάσει μια προκαθορισμένη μέγιστη τιμή τότε το σύρμα λειώνει και διακόπτεται το κύκλωμα. Όμως, η ωμική θέρμανση μπορεί να προκαλέσει ζημιές στα ηλεκτρικά ή ηλεκτρονικά κυκλώματα και στις ηλεκτρονικές ή ηλεκτρικές συσκευές και γι’ αυτό προβλέπονται διατάξεις απαγωγής της θερμότητας όπως ανεμιστήρες. Για διάφορες εφαρμογές, πραγματικοί ηλεκτρικοί αντιστάτες υπάρχουν στο εμπόριο σε τυποποιημένες τιμές. Στο Σχ. 2.3 φαίνονται διάφοροι τυπικοί αντιστάτες. Τα υλικά από τα οποία αποτελούνται οι αντιστάτες είναι άνθρακας ή τυλιγμένα σύρματα, επίσης διάφορα οξείδια ή λεπτά μεταλλικά φύλλα. Στα ολοκληρωμένα μικροηλεκτρικά κυκλώματα τα υλικά αυτά διαχέονται μέσα στους ημιαγωγούς για να σχηματίσουν τους αντιστάτες. Όπως είναι γνωστό από την φυσική, η τιμή της αντίστασης εξαρτάται από τις διαστάσεις του αντιστάτη και από ένα χαρακτηριστικό του υλικού που ονομάζεται ειδική αντίσταση. Η αντίσταση ενός αντιστάτη σε μορφή σύρματος δίνεται από την σχέση:

31


R

Αντίσταση σύρματος

l A

Διαρροή μονωτικού

Για κάποια τυπικά υλικά, η ειδική αντίσταση φαίνεται στον πίνακα 2.1. Τα υλικά αλουμίνιο και χαλκός που έχουν μικρή ειδική αντίσταση και είναι σχετικά χαμηλού κόστους χρησιμοποιούνται σε αγωγούς σύνδεσης.

Συσσωρευτής (μπαταρία) (α)

Κυκλώματα συγκεντρωμένων παραμέτρων Στο γνωστό κύκλωμα για το αναβοσβήσιμο του λαμπτήρα, αν εφαρμόσουμε ότι γνωρίζουμε για την αντίσταση, θα πάρουμε το κύκλωμα του Σχ. 2.4α. Όπως παρατηρούμε, έχει προστεθεί η κατανεμημένη αντίσταση των συρμάτων σύνδεσης και η αντίσταση διαρροής της μόνωσης. Αν μας ενδιαφέρουν οι μεταβλητές του ρεύματος και της τάσης στους ακροδέκτες των στοιχείων, μπορούμε να συγκεντρώσουμε την κατανεμημένη αντίσταση σ’ ένα σημείο και οι γραμμές σύνδεσης να παρασταθούν σαν ιδανικοί αγωγοί (μηδενικής αντίστασης), όπως φαίνεται στο Σχ. 2.4β. Αυτό είναι ένα παράδειγμα μοντέλου συγκεντρωμένων παραμέτρων ή συγκεντρωμένων χαρακτηριστικών, που είδαμε στο πρώτο κεφάλαιο. Όλα σχεδόν τα κυκλωματικά διαγράμματα χρησιμοποιούν αυτή την προσέγγιση συγκεντρώνοντας την προσοχή κυρίως στα χαρακτηριστικά που παρουσιάζουν μεταξύ των ακροδεκτών παρά στην εσωτερική τους συμπεριφορά. Μια παραπέρα απλοποίηση είναι να αγνοήσουμε την αντίσταση των συρμάτων σύνδεσης επειδή η τιμή της είναι πολύ μικρή συγκρινόμενη με την αντίσταση του λαμπτήρα. Παρόμοια μπορούμε να παραλείψουμε την αντίσταση διαρροής της μόνωσης επειδή είναι τόσο μεγάλη, ώστε το ρεύμα που την διαρρέει να είναι μηδαμινό. Το τελικό προσεγγιστικό μοντέλο φαίνεται στο Σχ. 2.4.γ

2.2 Μεθοδολογία επίλυσης κυκλωμάτων Η μεθοδολογία επίλυσης γραμμικών κυκλωμάτων θα παρουσιασθεί σε κυκλώματα που περιέχουν αντιστάσεις και ανεξάρτητες ιδανικές πηγές. Όμως όλες οι μέθοδοι που θα παρουσιασθούν μπορούν να εφαρμοσθούν σε οποιοδήποτε κύκλωμα και σε οποιαδήποτε κατάσταση. Δηλαδή μπορούν να


Λαμπτήρας

όπου  η ειδική αντίσταση, l το μήκος και A το εμβαδόν της διατομής του σύρματος.


RW

RL RB

Συσσωρευτής (μπαταρία) (β)

RB Συσσωρευτής

Vs +

Rs (γ)

Σχ. 2.4

Εξέλιξη ενός μοντέλου κατανεμημένων χαρακτηριστικών σε μοντέλο συγκεντρωμένων χαρακτηριστικών.

32 εφαρμοσθούν σε κυκλώματα που περιλαμβάνουν εξαρτημένες πηγές, πυκνωτές, πηνία και μετασχηματιστές, τόσο στη μεταβατική, όσο και στη μόνιμη κατάσταση. Τις μεθόδους που θα παρουσιασθούν μπορούμε να τις κατατάξουμε σε ευριστικές και συστηματικές. Και οι δύο κατηγορίες μεθόδων στηρίζονται στους νόμους του Kirchhoff και το νόμο του Ohm. Στις πρώτες μεθόδους, αφού ορίσουμε πολικότητες αναφοράς, γράφουμε τους νόμους του Kirchhoff σε έναν αριθμό κόμβων και βρόχων και με μια σειρά που βασίζεται στην διαίσθησή μας και στην εμπειρία μας. Προφανώς κινδυνεύουμε να γράψουμε εξισώσεις που δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους και σε τελευταία ανάλυση να είναι περισσότερες από όσες χρειαζόμαστε. Στις ευριστικές μεθόδους μπορούμε να κατατάξουμε και τις τεχνικές επίλυσης που χρησιμοποιούν τις έννοιες και τα θεωρήματα ισοδυναμίας για την απλοποίηση κυκλωμάτων που θα παρουσιασθούν σε επόμενες παραγράφους. Οι συστηματικές μέθοδοι είναι εκείνες με τις οποίες μπορούμε να γράψουμε τον αναγκαίο και ικανό αριθμό εξισώσεων για την επίλυση ενός κυκλώματος, ακολουθώντας καθορισμένα βήματα που στηρίζονται σε αυστηρούς κανόνες. Η μεθοδολογία περιορίζεται σε γραμμικά επίπεδα κυκλώματα. Ένα κύκλωμα είναι επίπεδο όταν σχεδιασθεί στο χαρτί και κανένας κλάδος του δεν τέμνει έναν άλλο κλάδο. Οι ευριστικές μέθοδοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση απλών κυκλωμάτων με λίγους κλάδους και κόμβους, ενώ οι συστηματικές για σύνθετα κυκλώματα με πολλούς κλάδους και κόμβους. Η ευριστική προσέγγιση για την επίλυση κυκλωμάτων θα παρουσιασθεί με δύο παραδείγματα, ενώ οι συστηματικές μέθοδοι θα παρουσιασθούν στην επόμενη παράγραφο.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.1 Ι 40Ω 70V

+

10Ω 30V

+

Σχ. Π2.1

5Ω

Vα

Στο κύκλωμα του Σχ. Π2.1 να βρεθεί το ρεύμα  και η τάση V . Η πηγή των 30 V απορροφά ή αποδίδει ισχύ και πόση;

33

ΑΝΤΙΣΤΑΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Λύση: α) Ορίζουμε τις πολικότητες αναφοράς ρεύματος και τάσης σε όλα τα στοιχεία.

V1

Ι

Ι2 Ι1

40Ω 70V

+ 1

30V

V2

10Ω

+ 2

5Ω

Vα

β) Γράφουμε το νόμο των τάσεων του Kirchhoff στον βρόχο 1.

 70V  V1  30V  0 , άρα

V1  70V  30V  40V ,

όμως V1  40   , άρα



40V  1 40

Γράφουμε το νόμο των τάσεων του Kirchhoff στον βρόχο 2.

 30V  V2  V  0 . Όμως V2  10   2 και Va  5   2 , άρα

10   2  5   2  30V   2 

και

V  5 2  10V

30V  2 15

Από το νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff:

I  I1  I 2  I1  I  I 2  1A

P  V  I  30V  (1A)  30W αφού P  0 η πηγή αποδίδει ισχύ στο κύκλωμα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.2 Το Σχ. Π2.2 δείχνει ένα τρανζίστορ, συνδεδεμένο σ’ ένα κύκλωμα. Ο διπλός υποδείκτης στο σύμβολο της τάσης είναι πολύ συνηθισμένος στην ηλεκτρονική και ο πρώτος υποδείκτης δείχνει το σημείο με το υψηλότερο δυναμικό ενώ ο δεύτερος το χαμηλότερο δυναμικό. Το τρανζίστορ έχει συμπεριφορά που διέπεται από τις σχέσεις  BE  0.7V και iC  0.9  iE . Βρείτε την τιμή των τάσεων  R ,  CE ,  CB και των ρευμάτων iC , i B .



34

Λύση Από την σύνδεση σε σειρά της πηγής ρεύματος στον κλάδο ΒΕ είναι iE  10m .

υR

2 KΩ 30 V

iC=0.9iE

+

Β

υCB

Εφαρμόζοντας το νόμο των ρευμάτων στο τρανζίστορ έχω iB  iC  iE και επόμενα

iB  iE  iC  1m

iB

υCE

Επίσης

iC  0.9  iE  0.9 10m  9m . υBE=0.7V

Από το νόμο του Ohm είναι:

iE

E

10 mΑ Σχ. Π2.2 Ένα κύκλωμα τραζίστορ.

R  2  iC  18V Χρησιμοποιώντας το νόμο των τάσεων του Kirchhoff στον εξωτερικό βρόχο C E B C έχουμε:

 R  CE  BE  30V  0 ή

CE  0.7V  30V  18V  12.7V και

CB  CE   BE  12V

2.3 Συστηματικές μέθοδοι Η μέθοδος των δυναμικών των κόμβων και η μέθοδος των ρευμάτων των βρόχων ανήκουν στις συστηματικές μεθόδους και θα παρουσιασθούν αναλυτικά. Η κάθε μέθοδος θα παρουσιασθεί πρακτικά με την επίλυση ενός κυκλώματος και στο τέλος θα δοθούν τα βήματα, που ακολουθούμε σε κάθε μέθοδο, σε αλγοριθμική μορφή. Οι μέθοδοι αυτές χρησιμοποιούνται στη λύση κυκλωμάτων με υπολογιστή, επειδή η διαδικασία που ακολουθείται έχει αυστηρή αλγοριθμική μορφή. Η μέθοδος των δυναμικών των κόμβων Στη μέθοδο αυτή, ως μεταβλητές επιλέγονται τα δυναμικά των κόμβων. Τα δυναμικά των κόμβων ορίζονται ως προς ένα κόμβο του δικτύου, που επιλέγεται αυθαίρετα ως κόμβος αναφοράς. Συνήθως επιλέγεται ο κόμβος στον οποίο συνδέεται ο μεγαλύτερος αριθμός των κλάδων. Το δυναμικό του κόμβου αναφοράς θεωρείται ίσο με μηδέν, γι αυτό παριστάνεται με γείωση και μερικές φορές παριστάνει τα σασί ή το ηλεκτρόδιο γείωσης πρακτικών κυκλωμάτων.

35

ΑΝΤΙΣΤΑΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Ας θεωρήσουμε το κύκλωμα του Σχ. 2.5α.

R1

Επιλέγουμε αυθαίρετα τον κόμβο αναφοράς, όπου συνδέεται το σύμβολο της γείωσης και σε καθένα από τους άλλους κόμβους αντιστοιχούμε τις μεταβλητές V1 ,

V2 , V3 που παριστάνουν τα δυναμικά των κόμβων. Προφανώς δεν γνωρίζουμε την κατάταξη των δυναμικών σύμφωνα με την τιμή τους γι αυτό σημειώνουμε τη φορά αναφοράς των ρευμάτων στις αντιστάσεις αυθαίρετα. Τα ρεύματα εκφράζονται συναρτήσει των δυναμικών των κόμβων όπως φαίνεται στο Σχ. 2.5β. Η διαφορά δυναμικού στα άκρα κάθε αντίστασης υπολογίζεται με την εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff ακολουθώντας τη σύμβαση παθητικού προσήμου που είδαμε στον ορισμό των πολικοτήτων αναφοράς. Όταν σε έναν κλάδο παρεμβάλλεται μόνο πηγή τάσης χωρίς να συνδέεται αντίσταση σε σειρά με αυτήν, τότε στον κλάδο αυτόν σημειώνουμε μία μεταβλητή που παριστάνει το ρεύμα του κλάδου με φορά αναφοράς αυθαίρετη. Η περίπτωση αυτή φαίνεται μεταξύ των κόμβων V2 και V3 .

R4

(α) R1 V1 – V3 R1

R2

V1

Ι

V2 ΙV

V5

V3

+ V2 R3

V1 – V2 R2

V3 R4

R3

τέσσερις αγνώστους V1 , V2 , V3 και  V . Όμως μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα με την χρήση της εξίσωσης VS  V2  V3 που προκύπτει από το νόμο των τάσεων του Kirchhoff. Μία άλλη προσέγγιση είναι να θεωρηθούν οι δύο κόμβοι V2 και V3 σαν υπερκόμβος και να γραφούν οι εξισώσεις από το νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο V1 και στον υπερκόμβο V2 και V3 .

V1  V3 V1  V2  0 R1 R2


V3

+

R3

Εξαιτίας της πηγής τάσης, που συνδέεται μεταξύ των κόμβων V2 και V3 , προέκυψαν 3 εξισώσεις με



VS

V2

Ι

Τώρα γράφουμε τις εξισώσεις, που προκύπτουν από την εφαρμογή του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff σε όλους τους κόμβους εκτός του κόμβου αναφοράς.

V  V3 V1  V2 V1 :   1  0 R1 R2 V  V2 V2 V2 : 1   V  0 R2 R3 V V V V3 : 1 3  V  3  0 R1 R4

R2

V1


(β) Σχ. 2.5

α) Στο κύκλωμα σημειώνεται ο κόμβος αναφοράς και οι μεταβλητές που παριστάνουν τα δυναμικά των υπολοίπων κόμβων. β) Τα ρεύματα των κλάδων συναρτήσει των δυναμικών των κόμβων.

R4

36 V1  V2 V1  V3 V2 V3    0 R2 R1 R3 R4 και

V2  V3  VS οπότε έχουμε τρεις εξισώσεις με τρεις αγνώστους, τα V1 , V2 , V3 . Από την επίλυση του κυκλώματος προκύπτει ότι ακολουθώντας την διαδικασία αυτή παίρνουμε n–1 ανεξάρτητες εξισώσεις, όπου n είναι ο αριθμός των κόμβων του δικτύου με n-1 αγνώστους τα δυναμικά των κόμβων ως προς τον κόμβο αναφοράς. Το ρεύμα και η διαφορά δυναμικού σε κάθε αντίσταση είναι ήδη σημειωμένα πάνω στο δίκτυο του Σχ. 2.5β και αντικαθιστώντας μπορούμε να βρούμε εύκολα τις τιμές τους. Τα βήματα της μεθόδου των δυναμικών των κόμβων:

(α)

 Επιλέγουμε αυθαίρετα έναν κόμβο αναφοράς και τον συνδέουμε με το σύμβολο της γείωσης, θεωρώντας ότι το δυναμικό του είναι μηδέν.  Σημειώνουμε την μεταβλητή που παριστάνει το δυναμικό του κάθε κόμβου εκτός του κόμβου αναφοράς.  Με βάση τις διαφορές δυναμικού σε κάθε κλάδο και το νόμο του Ohm, προσδιορίζουμε τα ρεύματα του κάθε κλάδου συναρτήσει των δυναμικών των κόμβων του κλάδου.  Γράφουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν από την εφαρμογή του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff σε κάθε κόμβο, εκτός του κόμβου αναφοράς. Σε περίπτωση που μία πηγή τάσης περιλαμβάνεται μεταξύ δύο κόμβων, ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff εφαρμόζεται στον υπερκόμβο που σχηματίζουν οι δύο αυτοί κόμβοι. Η μέθοδος των δυναμικών των κόμβων είναι προτιμότερη όταν στο κύκλωμα υπάρχουν περισσότερες πηγές ρεύματος ή μόνο πηγές ρεύματος.

(β) Σχ. 2.6

α) απλός βρόχος β) μή απλός βρόχος

Η μέθοδος των ρευμάτων των βρόχων Στη μέθοδο αυτή οι μεταβλητές είναι τα «ρεύματα» των απλών βρόχων ενός επίπεδου δικτύου. Απλός ονομάζεται ο βρόχος, που δεν περικλείει στο εσωτερικό του κανέναν κλάδο όπως φαίνεται στο Σχ. 2.6α.

37

ΑΝΤΙΣΤΑΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Τα «ρεύματα» των απλών βρόχων δεν είναι αναγκαστικά φυσικά μεγέθη αλλά μεταβλητές που ορίζονται για μαθηματική ευκολία, όμως αποτελούν συνιστώσες των πραγματικών ρευμάτων των κλάδων. Οι απλοί βρόχοι σε ένα επίπεδο κύκλωμα με b κλάδους και n κόμβους είναι b-n+1, επόμενα και οι μεταβλητές θα είναι ισάριθμες. Στα αντιστατικά κυκλώματα οι τάσεις στους αντιστάτες προσδιορίζονται με το νόμο του Ohm. Ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff εφαρμόζεται σε κάθε απλό βρόχο και έτσι προκύπτουν b-n+1 ανεξάρτητες εξισώσεις. Θα εφαρμόσουμε την μέθοδο των ρευμάτων των βρόχων στο κύκλωμα του Σχ. 2.5α. Το κύκλωμα αυτό έχει τρεις απλούς βρόχους στους οποίους ορίζουμε τρία «ρεύματα» βρόχων i1 , i2 και i3 , όπως φαίνεται στο Σχ. 2.7. Μετά προσδιορίζονται οι τάσεις στις αντιστάσεις. Στην περίπτωση που τα «ρεύματα» των βρόχων σε μία αντίσταση δεν έχουν την ίδια φορά, τότε ορίζουμε αυθαίρετα την φορά αναφοράς της τάσης και προσθέτουμε αλγεβρικά την συμβολή του κάθε «ρεύματος» των βρόχων. Για παράδειγμα στην αντίσταση R2 η συμβολή του i3 είναι R2  i3 , ενώ του i1 R1

είναι  R2  i1 επειδή το ρεύμα έχει αντίθετη φορά αναφοράς από τις συμβατικές πολικότητες παθητικού προσήμου. Γράφουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν από το νόμο των τάσεων του Kirchhoff στους βρόχους με «ρεύματα» i1 και i2 . Στον βρόχο με «ρεύμα» i3 δεν χρειάζεται να γράψουμε την εξίσωση των τάσεων επειδή το i3 είναι γνωστό και ίσο με I:

R1i1 i1

+

 R1  i1  V  R2  i3  i1   0 ,

R2(i3-i1)

V  R4  i2  R3  i2  i3   0

και i3  I , οπότε έχουμε τρεις εξισώσεις ανεξάρτητες μεταξύ τους με τρεις αγνώστους. Αν θέλουμε να βρούμε την τάση Vi στους ακροδείκτες της πηγής ρεύματος, γράφουμε το νόμο των τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο με «ρεύμα» i3 .

Ι

Τα βήματα της μεθόδου είναι τα παρακάτω:   

Ένα «ρεύμα» βρόχου ορίζεται σε κάθε απλό βρόχο με αυθαίρετη φορά αναφοράς. Σημειώνουμε τις τάσεις σε κάθε αντίσταση συναρτήσει των «ρευμάτων» των βρόχων. Γράφουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν από την εφαρμογή του


V

R2


Vi

R3(i2-i3) i3

R3

R4i2 i2

Σχ. 2.7

R4

38 νόμου των τάσεων του Kirchhoff σε κάθε απλό βρόχο.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.3 3Ω

3V +

2Ω

1Ω

4Ω 1V

Στο κύκλωμα του Σχ. Π2.3 να υπολογισθεί η τάση V . Η επίλυση να γίνει με την μέθοδο των δυναμικών των κόμβων και με τη μέθοδο των ρευμάτων των βρόχων.

+

Vα

+

2V

Σχ. Π2.3

Λύση: α) Μέθοδος των δυναμικών των κόμβων. Επιλέγεται ένας από τους δύο κόμβους σαν κόμβος αναφοράς και γειώνεται, όπως φαίνεται στο Σχ. Π2.3α. Ο άλλος κόμβος έχει δυναμικό V1 . Σημειώνονται οι σχέσεις που δίνουν τα ρεύματα σε κάθε κλάδο συναρτήσει του V1 . Οι φορές αναφοράς των ρευμάτων επιλέχθηκαν αυθαίρετα. 3Ω

V1

+

V1 – 1V 1Ω 1Ω

3V

V1 – 2V 2Ω

2Ω

V1 + 3V 7Ω 4Ω

1V

+

2V

+

Σχ. Π2.3α

Ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο V1 δίνει

V1  1V V1  2V V1  3V 22    0  V1  V , 1 2 7 23 άρα

V 

V1  3V 52  4  V 7 23

β) Μέθοδος των ρευμάτων των βρόχων

Vα

ΑΝΤΙΣΤΑΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 3Ω

3V +

3Ωi2 2Ω

1Ωi1

1Ω

2Ω(i1 – i2)

1V

+

4Ωi2

i2

i1

4Ω

+

2V

Το κύκλωμα έχει δύο απλούς βρόχους, επόμενα σε καθένα από αυτούς αντιστοιχεί ένα «ρεύμα» βρόχου, όπως φαίνεται στο Σχ. Π2.3β. Σημειώνονται οι τάσεις σε κάθε αντιστάτη και οι εξισώσεις που προκύπτουν από την εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff είναι οι παρακάτω:

Σχ. Π2.3β

 1V  1  i1  2  i1  i2   2V  0  2  i1  i2   3  i2  3V  4 i2  2V  0 από την επίλυση των εξισώσεων προκύπτει

i1 

1 13 52  και i2   , οπότε V  4  i2  V . 23 23 23

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.4 2Ω 3A

2Ω

1Ω

1Ω

1Ω

Στο κύκλωμα του Σχ. Π2.4 να υπολογισθεί η τάση στα άκρα της πηγής των 3Α και η ισχύς της πηγής.

2Ω

1A

Σχ. Π2.4

Λύση:



39

40 Επειδή το κύκλωμα έχει πηγές ρεύματος, είναι καλύτερα να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο των δυναμικών των κόμβων. Το κύκλωμα έχει τέσσερις κόμβους, αφού οι δύο κόμβοι στην κάτω οριζόντια γραμμή συνδέονται με βραχυκύκλωμα. Γειώνεται ο διπλός αυτός κόμβος και σε καθέναν V1 – V3 από τους άλλους 2Ω 2Ω τρεις αντιστοιχεί ένα δυναμικό από 3A τα V1 , V2 και V3 , όπως φαίνεται στο V2 – V3 V1 – V2 Σχ. Π2.4α. 2Ω

V1

2Ω

1Ω

V2

1Ω

V2 1Ω

V1 1Ω 1Ω

1Ω

V3 V3 2Ω

2Ω

Σχ. Π2.4α

V1:

V V V1 V1  V2   3  1 3  0 1 2 2

V2:

V2 V2  V3 V V   3  1 2  0 1 1 2

V3:

V3 V  V V  V3  1  1 3  2 0 2 2 1

1A

Εφαρμόζοντας το νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff στους κόμβους V1 , V2

V3 , και προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις:

Από την λύση του κυκλώματος προκύπτει V1  3.91V , V2  1.41V και V3  0.98V , οπότε η λύση στα άκρα της πηγής σύμφωνα με τη σύμβαση παθητικού προσήμου θα είναι V1  V2  3.91  1.41  5.32V και η ισχύς είναι p  V1  V2  3  15.96 Watt .

2.4 Ισοδυναμία μονόθυρων δικτύων Ένα μονόθυρο δίκτυο μπορεί να περιλαμβάνει έναν οποιονδήποτε αριθμό στοιχείων, αλλά έχει ένα ζεύγος δύο ακροδεκτών για την σύνδεσή του με εξωτερικές συσκευές και στοιχεία. Η ισοδυναμία είναι πολύ σημαντική έννοια, γιατί μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε ένα μονόθυρο δίκτυο με ένα απλούστερο για την ανάλυση ή το σχεδιασμό κυκλωμάτων. Ο ορισμός της ισοδυναμίας: Δυο μονόθυρα δίκτυα είναι ισοδύναμα αν έχουν τις ίδιες i   χαρακτηριστικές.

41

ΑΝΤΙΣΤΑΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Με άλλα λόγια, δύο ισοδύναμα μονόθυρα Ν1, Ν2 παράγουν πάντα την ίδια τάση στους δυο ακροδέκτες τους και το ίδιο ρεύμα όταν συνδεθούν με το ίδιο εξωτερικό κύκλωμα Ν, ανεξάρτητα από το είδος του κυκλώματος, όπως φαίνεται στο Σχ. 2.8.

i υ

N1

Η ισοδυναμία ισχύει μόνο ως προς τους δυο ακροδέκτες του μονόθυρου δικτύου και όχι ως προς τις εσωτερικές λειτουργίες του δικτύου. Όταν ένα κύκλωμα αποτελείται από αντιστάσεις που συνδέονται μεταξύ τους σε σειρά και παράλληλα, τότε το ισοδύναμό του βρίσκεται εύκολα και είναι ένα κύκλωμα μιας αντίστασης που ονομάζεται ισοδύναμη αντίσταση: 

Req



i

(2.3)

N

i υ

N2

Σχ. 2.8

N

Ισοδύναμα μονόθυρα κυκλώματα Ν1 και Ν2.

Η ισοδυναμία φαίνεται παραστατικά στο Σχ. 2.9. Σύνδεση αντιστάσεων σε σειρά Είναι γνωστό (ν’ αποδειχθεί από τον αναγνώστη) ότι η ισοδύναμη αντίσταση n αντιστάσεων R1, R2, ……….Rn που συνδέονται σε σειρά ισούται με το άθροισμα των αντιστάσεων:

i Αντιστατικό κύκλωμα

υ

Req  R1  R2  ......  Rn (2.4) Με σύνδεση δυο αντιστάσεων σε σειρά μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα διαιρέτη τάσης όπως του Σχ. 2.10. Είναι προφανές ότι

1  R1  i και i  οπότε

1 



R1  R2 

R1  R1  R2

(α) i υ

,

(β)

(2.5)

Ο λόγος R1 R1  R2  ονομάζεται λόγος διαιρέτη τάσης. Το όνομα προέρχεται από το γεγονός ότι η τάση  διαιρείται μεταξύ δυο αντιστάσεων αναλογικά.

Req = υ/i

Σχ. 2.9

α) Ένα τυχαίο μονόθυρο που αποτελείται μόνο από αντιστάσεις. β) Η ισοδύναμη αντίσταση.

Παράλληλη σύνδεση αντιστάσεων

1 1 1 1    ...  Req R1 R2 Rn

(2.6)

Η σχέση αυτή μετά από πράξεις για n=2, δηλαδή για δυο αντιστάσεις σε παράλληλη σύνδεση, γίνεται:

Req  R1 // R2 

R1  R2 R1  R2


(2.7)


i

Κύκλωμα

Είναι γνωστό ότι η ισοδύναμη αντίσταση n αντιστάσεων συνδεδεμένων σε παραλληλία δίνεται από την παρακάτω σχέση:

R1

υ1

R2

υ2

υ

Σχ. 2.10 Διαιρέτης τάσης.

42 Στο Σχ. 2.11 φαίνεται ένα κύκλωμα δυο αντιστάσεων σε παράλληλη σύνδεση, που δρα σαν ένας διαιρέτης ρεύματος. Ειδικότερα, αν γνωρίζουμε το συνολικό ρεύμα i στο Σχ. 2.11, τότε το ρεύμα μέσω της αντίστασης R1 δίνεται από την σχέση:

Κύκλωμα

i i2

i1

R1

R2

υ

R2 i (2.8) R1  R2  Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις των ισοδύναμων αντιστάσεων για την παράλληλη και σε σειρά σύνδεση για να βρούμε την ισοδύναμη αντίσταση ενός πολύπλοκου κυκλώματος όπως στο παράδειγμα 2.5. Σε περίπτωση που οι αντιστάσεις δεν είναι συνδεδεμένες μόνο παράλληλα και σε σειρά, τότε μπορούμε να βρούμε την ισοδύναμη αντίσταση, όπως φαίνεται στο παράδειγμα 2.6 i1 

Σχ. 2.11 Κύκλωμα διαιρέτη ρεύματος.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.5 i 8Ω

1Ω 24V +

20Ω 15Ω

υ 20Ω

Να βρεθεί το ρεύμα i και η τάση  του κυκλώματος του σχήματος Π.2.5

25Ω Συσσωρευτής

Φορτίο Σχ. Π2.5

Λύση:

i 8Ω

1Ω 24V +

υ 20Ω

60Ω

Παρατηρούμε ότι υπάρχουν τρεις αντιστάσεις, οι 20 , 15 25 και συνδεδεμένες σε σειρά. Αντικαθιστούμε τις αντιστάσεις αυτές με την ισοδύναμή τους

20  15  25  60

και παίρνουμε το ισοδύναμο κύκλωμα του Σχ. Π2.5α. Οι αντιστάσεις των 20 και 60 του νέου κυκλώματος είναι συνδεδεμένες παράλληλα και η ισοδύναμή τους είναι συνδεδεμένη σε σειρά με την αντίσταση των 8 . Αν κάνουμε τις αντικαταστάσεις παίρνουμε την ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος Σχ. Π2.5α

43

ΑΝΤΙΣΤΑΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 8+20//60= 8 

20  60  23 20  60

που φαίνεται στο Σχ. Π.2.5β. Το κύκλωμα του Σχ. Π2.5 είναι τελικά ισοδύναμο με αυτό του Σχ. Π2.5β. Από το Σχ. Π2.5β υπολογίζουμε πολύ εύκολα το ρεύμα

i i

1Ω 24V +

24V 24V   1 23  1 24

και την τάση

υ

  i  23  1  23  23V

23Ω

Σχ. Π2.5β

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.6 Να βρεθεί η ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος (Σχ. Π2.6), ως προς τους ακροδέκτες α, β.

1Ω α 1Ω

1Ω 1Ω

2Ω β Σχ. Π2.6

Λύση:

1Ω υ – υ2 1Ω

i

1Ω υ1

i

α

υ

1Ω

υ2

υ2 1Ω

1Ω

υ1 – υ2 1Ω

υ – υ1 1Ω υ1 2Ω

2Ω

βρίσκουμε το λόγο 

i

που

αποτελεί την ισοδύναμη αντίσταση σύμφωνα με το νόμο του Ohm. Συνδέουμε μία πηγή ρεύματος και

β Σχ. Π2.6α


Επειδή υπάρχουν αντιστάσεις που δεν είναι συνδεδεμένες ούτε σε σειρά ούτε παράλληλα, δεν μπορούμε να ακολουθήσουμε τρόπο επίλυσης όμοιο με του Παραδείγματος 2.5. Στις περιπτώσεις αυτές συνδέουμε μία ανεξάρτητη ιδανική πηγή στους ακροδέκτες α, β και


44 βρίσκουμε το λόγο 

i

εφαρμόζοντας την μέθοδο των τάσεων των κόμβων όπως φαίνεται στο

Σχ.Π.2.6α. Η διαδικασία αυτή μπορεί να ακολουθηθεί σε οποιοδήποτε αντιστατικό κύκλωμα, π.χ. όταν έχουμε αμφιβολία για το είδος της συνδεσμολογίας κάποιων αντιστάσεων. Εφαρμόζω το νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff στους τρεις κόμβους εκτός του κόμβου αναφοράς:

:

1 :

2 :

  2 1

  1 1

  2 1



  1



1



1

2



i

1   2

1   2 1

1 

2 1

0 0

Το σύστημα των εξισώσεων γράφεται:

2  1  2  i 1 2  51  2 2  0

  1  3 2  0 απαλείφουμε τα  1 και  2 , οπότε

 i



17  23

2.5 Υπέρθεση (επαλληλία) και γραμμικότητα Μια άλλη τεχνική για την ανάλυση γραμμικών κυκλωμάτων, που περιλαμβάνουν δύο ή περισσότερες πηγές, προέρχεται από την αρχή της υπέρθεσης (επαλληλίας) ή το θεώρημα της υπέρθεσης (επαλληλίας): Όταν ένα ρεύμα ή τάση σ’ ένα γραμμικό κύκλωμα είναι το αποτέλεσμα πολλών πηγών που δρουν ταυτόχρονα, η τιμή του είναι το αλγεβρικό άθροισμα της συμβολής της κάθε πηγής, όταν δρουν η κάθε μια μόνη της. Έτσι ένα πιο πολύπλοκο πρόβλημα μεταπίπτει στη λύση πολλών απλούστερων προβλημάτων. Η συμβολή της κάθε πηγής υπολογίζεται με την απαλοιφή (μηδενισμό) των άλλων πηγών. Η υπέρθεση ισχύει σε κάθε γραμμικό σύστημα. Μια πιο θεωρητική αντιμετώπιση της αρχής της υπέρθεσης παρουσιάζεται παρακάτω. Ας υποθέσουμε ότι σ’ ένα σύστημα η αιτία (διέγερση) είναι το x και το αποτέλεσμα (απόκριση) είναι y και σχετίζονται με την

y  f x 

(2.9)

ΑΝΤΙΣΤΑΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Η συνάρτηση f(x) είναι γραμμική όταν για x  x   x  ισχύει:

f x   x   f x   f x 

(2.10)

Η αντίσταση που υπακούει στο νόμο του Ohm είναι ένα γραμμικό σύστημα και ο νόμος του Ohm   R  i είναι μία γραμμική σχέση. Αν θέσω: i  i   i  , τότε

  R  i  i  R  i  R  i και έτσι η τάση είναι γραμμική συνάρτηση του ρεύματος. Ένα αντίθετο παράδειγμα είναι η ισχύς p  R  i 2 που ισχύει:

R  i  i  R  i2  R  i2 2

Η αρχή της επαλληλίας είναι πολύ σημαντική για την απόδειξη θεωρημάτων της ανάλυσης κυκλωμάτων, όμως δεν συνιστάται για την επίλυση κυκλωμάτων γιατί είναι μακρά και χρονοβόρα διαδικασία που εγκυμονεί κινδύνους λαθών.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π2.7 i

Να βρεθεί το ρεύμα i στο κύκλωμα του Σχ. Π2.7 που παριστάνει ένα κύκλωμα επαναφόρτισης της μπαταρίας. Να εφαρμοσθεί η αρχή της υπέρθεσης.

2Ω +

4Α

8V

14Ω

Σχ. Π2.7

Λύση:

i' 2Ω 4Α

α) Ξανασχεδιάζουμε το κύκλωμα μηδενίζοντας (βραχυκύκλωση) την πηγή τάσης (Σχ. Π2.7α). Τότε

14Ω

i 

Σχ. Π2.7α



14  4  3.5 16

45

46 i''

β) Ξανασχεδιάζουμε το κύκλωμα μηδενίζοντας (ανοικτοκύκλωση) την πηγή ρεύματος (Σχ. Π2.7β). Τότε

2Ω +

i  

8V

14Ω

8  0.5 16

Εφαρμόζοντας την υπέρθεση προσθέτω τις επιμέρους συμβολές των πηγών και

Σχ. Π2.7β

i  i   i   3.5   0.5  3

2.6 Τα θεωρήματα Thevenin και Norton Το θεώρημα Thevenin βοηθάει στην εύρεση των ισοδύναμων πολύπλοκων κυκλωμάτων. Το Σχ. 2.12 παριστάνει ένα τυχαίο μονόθυρο που αποτελείται από πηγές και αντιστάσεις. Θέτουμε  oc την τάση

i Πηγές & Αντιστάσεις

υ

ανοικτοκυκλώματος και i sc το ρεύμα βραχυκύκλωσης και ορίζουμε την αντίσταση Thevenin

(α)



Ro

i RO υOC

υ

Κάθε μονόθυρο κύκλωμα που αποτελείται από ιδανικές πηγές και γραμμικές αντιστάσεις είναι ισοδύναμο με ένα κύκλωμα που αποτελείται από μια πηγή τάσης  oc σε σειρά με μια αντίσταση

Ro ή μια πηγή ρεύματος i sc παράλληλα με μια αντίσταση Ro .

i

RO

(2.11)

sc

Τότε το θεώρημα του Thevenin λέει ότι:

+

(β)

iSC

 oc

i

υ

(γ) Σχ. 2.12 α) Μονόθυρο που περιλαμβάνει πηγές και αντιστάσεις. β) Το ισοδύναμο Thevenin. γ) Το ισοδύναμο Norton

Το κύκλωμα με την πηγή τάσης (Σχ. 2.12β) ονομάζεται ισοδύναμο Thevenin. Το κύκλωμα με την πηγή ρεύματος (Σχ. 2.12γ) ονομάζεται ισοδύναμο Norton. Την αντίσταση Thevenin Ro μπορούμε να την βρούμε βασιζόμενοι στο παρακάτω λήμα του θεωρήματος Thevenin: Η αντίσταση Thevenin είναι ίση με την ισοδύναμη αντίσταση μεταξύ των δυο ακροδεκτών του μονόθυρου, όταν απαλειφθούν οι ανεξάρτητες πηγές. Οι ανεξάρτητες (μηδενίζονται) όταν:

πηγές

απαλείφονται

ΑΝΤΙΣΤΑΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ α) Οι πηγές τάσης βραχυκυκλώνονται β) Οι πηγές ρεύματος ανοικτοκυκλώνονται που κάνει τις πηγές να μην παράγουν ενέργεια. Ένα κύκλωμα με μηδενισμένες όλες τις πηγές ονομάζεται «νεκρό» ή «παθητικό» δίκτυο. Προσοχή: Το λήμμα αυτό δεν ισχύει για την περίπτωση εξαρτημένων πηγών, που θα δούμε παρακάτω. Το θεώρημα Thevenin αποδεικνύεται με βάση την αρχή της επαλληλίας, όμως η απόδειξη ξεφεύγει από τους σκοπούς του βιβλίου αυτού. Ο ενδιαφερόμενος μπορεί να βρει την απόδειξη στα βιβλία που αναφέρονται στη βιβλιογραφία.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π 2.8 Να βρεθούν τα ισοδύναμα Thevenin και Norton του κυκλώματος που φαίνεται στο Σχ. Π 2.8, ως προς τους ακροδέκτες α, β. Λύση:

6Ω

2Ω

Η εύρεση του ισοδύναμου i Thevenin απαιτεί τον υπολογισμό της τάσης μεταξύ 12Ω 24V + υOC υ των ακροδεκτών του μονόθυρου, και της ισοδύναμης β αντίστασης του Σχ. Π2.8 κυκλώματος όταν μηδενίσουμε τις ανεξάρτητες πηγές. Για την εύρεση της τάσης και της αντίστασης Thevenin ακολουθούμε τις μεθόδους ανάλυσης κυκλωμάτων που παρουσιάσθηκαν στα προηγούμενα.

i

i1=0

α

Το ισοδύναμο Norton προκύπτει είτε με την μετατροπή του Thevenin σε Norton, όπως φαίνεται στο Σχ. 2.12β, είτε με τον υπολογισμό του ρεύματος βραχυκύκλωσης των ακροδεκτών του μονόθυρου και της ισοδύναμης αντίστασης όταν μηδενίσουμε τις ανεξάρτητες πηγές. α) Υπολογισμός της  oc

6Ω

Επειδή το κύκλωμα είναι απλό, θα ακολουθήσουμε μια ευριστική μέθοδο για τον υπολογισμό της  oc . Το ρεύμα στην αντίσταση των 2 είναι μηδέν, οπότε και η πτώση τάσης  στην αντίσταση αυτή είναι μηδέν, άρα η  oc είναι ίση με την πτώση τάσης στην αντίσταση των 12 . Το κύκλωμα είναι ένας διαιρέτης τάσης, άρα

2Ω α

12Ω

β Σχ. Π2.8α ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ

Ro Ν. ΑΣΠΡΑΓΚΑΘΟΣ

47

48

oc   

12  24V  8V 12  6

β) Υπολογισμός της Ro Μηδενίζουμε την πηγή τάσης που υπάρχει στο κύκλωμα βραχυκυκλώνοντάς την, όπως φαίνεται στο Σχ. Π2.8α. Οι αντιστάσεις 6 και 12 είναι σε παραλληλία και η ισοδύναμη αντίστασή τους είναι συνδεδεμένη σε σειρά με την αντίσταση των 2 , άρα

Ro 

6Ω α

8V

+

α Στο Σχ. Π2.8β φαίνεται το 8 Α 6

8Ω

β Σχ. Π2.8γ

Σχ. Π2.8β

6 12  2  6 6  12

ισοδύναμο Thevenin. Από το ισοδύναμο Thevenin προκύπτει το ισοδύναμο Norton ως εξής: Αν βραχυκυκλώσουμε τους β ακροδέκτες α, β τότε το ρεύμα βραχυκύκλωσης είναι:

isc 

oc Ro



8  6

ενώ η ισοδύναμη αντίσταση είναι ίδια. Το ισοδύναμο Norton φαίνεται στο Σχ. Π2.8γ.

2.7 Μοντέλα πραγματικών πηγών και μεταφορά ισχύος

i

Πηγή

υ

Φορτίο

(α)

Οι πραγματικές πηγές διαφέρουν από τις ιδανικές πηγές. Στις πραγματικές πηγές υπάρχει εσωτερική αντίσταση. Επομένως, όταν συνδέουμε ένα φορτίο σε μια πηγή, όπως στο Σχ. 2.13α, η χαρακτηριστική του   i θα έχει αρνητική κλίση, όπως φαίνεται στο Σχ. 2.13β. Αυτό οφείλεται στην αύξηση της εσωτερικής πτώσης τάσης. Ισοδύναμα κυκλώματα πραγματικών πηγών

υ

Αν η καμπύλη   i της πηγής τάσης προσεγγίζει την ευθεία γραμμή του Σχ. 2.13β, τότε μπορεί να αποδοθεί μαθηματικά ως εξής

υS - RS

0

υS / R S

i

(β) Σχ. 2.13 Χαρακτηριστικά μιας πραγματικής πηγής τάσης.

  S  RS  i

(2.12)

όπου  S είναι η τομή της ευθείας με τον άξονα  και  RS είναι η κλίση της ευθείας, και έτσι η τομή της

49

ΑΝΤΙΣΤΑΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ευθείας με τον άξονα i είναι στο σημείο i   S RS . Η εξίσωση (2.12) δείχνει ότι η πραγματική πηγή τάσης μπορεί να παρασταθεί μ’ ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται από μια ιδανική πηγή τάσης  S σε σειρά με

i RS +

Us

μια αντίσταση RS , όπως φαίνεται στο Σχ. 2.14. Η  S

Φορτίο

υ

ονομάζεται τάση της πηγής και η αντίσταση RS εσωτερική αντίσταση της πηγής.

Πηγή

Στις πραγματικές πηγές ρεύματος, αν η καμπύλη i   είναι γραμμική, τότε η χαρακτηριστική των ακροδεκτών έχει την μορφή

i  iS 

 RS

Σχ. 2.14 Κυκλωματικό μοντέλο πραγματικής πηγής τάσης.

i

(2.13)

Στο Σχ. 2.15, η χαρακτηριστική αυτή παριστάνεται από μια ιδανική πηγή ρεύματος i S συνδεδεμένη

is

Φορτίο

υ

RS

παράλληλα με μια αντίσταση RS . (Πώς μπορούμε να μετρήσουμε το ρεύμα της πηγής i S και την εσωτερική

Πηγή

αντίσταση RS ;)

Σχ. 2.15 Κυκλωματικό μοντέλο πραγματικής πηγής ρεύματος.

Επίδραση του φορτίου Ας υποθέσουμε ότι μια αντίσταση R L (φορτίο) συνδέεται σε μια πραγματική πηγή τάσης, όπως φαίνεται στο Σχ. 2.16α. Η τάση των ακροδεκτών της πηγής θα είναι

i RS Us

RL   S  RS  i   S RL  RS

+

υ

(α)

που δείχνει ότι η τάση ακροδεκτών  είναι μικρότερη από την τάση ανοικτού κυκλώματος,  S , και οφείλεται στην πτώση τάσης RS  i στην εσωτερική αντίσταση της πηγής. Μια συνηθισμένη εμφάνιση του φαινομένου αυτού είναι κατά την εκκίνηση της μηχανής του αυτοκινήτου με αναμμένα τα φώτα του. Το υψηλό ρεύμα που απορροφά ο εκκινητής (μίζα) μειώνει την τάση της πηγής (μπαταρία) και στιγμιαία έχουμε ελάττωση της έντασης φωτισμού που εκπέμπουν οι λαμπτήρες του αυτοκινήτου. Η πτώση τάσης στην εσωτερική πηγή είναι αμελητέα όταν RS RL και επόμενα RS  iS .

i

is

RS

υ

(β) Σχ. 2.16 Σύνδεση φορτίου σε πραγματικές πηγές (α) τάσης (β) ρεύματος.


RL

(2.14)


RL

50 Παρόμοια, όταν συνδέσουμε ένα φορτίο αντίστασης R L σε μια πραγματική πηγή ρεύματος, όπως στο Σχ. 2.16β, το ρεύμα i S διαιρείται μεταξύ των RS και

RL και i  iS 

 RS



RS  iS RL  RS

(2.15)

Έτσι το ρεύμα του φορτίου είναι μικρότερο από το ρεύμα i S βραχυκύκλωσης της πηγής επειδή μέρος του ρεύματος ίσο με  RS περνάει από την εσωτερική αντίσταση της πηγής. Από τα παραπάνω φαίνεται ότι μια «καλή» πηγή τάσης («καλή» είναι αυτή που η συμπεριφορά της πλησιάζει τη συμπεριφορά της ιδανικής πηγής) πρέπει να έχει πολύ μικρή εσωτερική αντίσταση, ενώ μια «καλή» πηγή ρεύματος πρέπει να έχει πολύ μεγάλη εσωτερική αντίσταση. Μεταφορά ισχύος Όταν συνδέσουμε ένα φορτίο σε μια πηγή, τότε ισχύς αποδίδεται στο φορτίο και καταναλώνεται στο εσωτερικό της πηγής. Για να μελετήσουμε την κατάσταση αυτή θα πάρουμε το μοντέλο της πραγματικής πηγής τάσης (Σχ. 2.16α) και θα υπολογίσουμε την ισχύ που αποδίδεται στο φορτίο και την ισχύ που καταναλώνεται στο εσωτερικό της πηγής

 S2 RS

PS Pmax

RL  S2 2 RL  RS  RS PS  i 2  RS   S2 2 RL  RS  PL  i 2  RL 

PL

 S2 4 RS

0

1

2

3

4

Σχ. 2.17 Η ισχύς του φορτίου PL και η εσωτερικά καταναλωνόμενη στην πηγή ισχύς PS σαν συνάρτηση του λόγου R L RS .

RL RS

(2.16)

Μια σύγκριση των δυο εκφράσεων δείχνει ότι ο λόγος των ισχύων είναι αντίστροφος του λόγου των αντιστάσεων

PL RL  PS RS PL

Το Σχ. 2.17 δείχνει τις γραφικές παραστάσεις των και PS σαν συναρτήσεις του λόγου RL RS .

Παρατηρούμε ότι η PS μειώνεται σταθερά και τείνει στο μηδέν όταν το RL RS τείνει στο μηδέν. Από την άλλη πλευρά, η καμπύλη της ισχύος PL έχει ένα διακριτό μέγιστο


Pmax 

 S2 4  RS

(2.17)

και συμβαίνει όταν RL RS  1 . (Ο υπολογισμός είναι απλός: μέγιστο έχουμε όταν μηδενίζεται η παράγωγος της ισχύος, δηλαδή dPL dRL  0 ). Το αποτέλεσμα τυποποιείται στο παρακάτω θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος. Σε μια πηγή σταθερής εσωτερικής αντίστασης RS , η μεταφερόμενη ισχύς στο φορτίο είναι μέγιστη όταν η αντίσταση του φορτίου R L είναι ίση με την αντίσταση RS . Η συνθήκη αυτή ονομάζεται προσαρμογή του φορτίου στην πηγή. Προσαρμογή χρειαζόμαστε σε κυκλώματα επεξεργασίας σημάτων (κυκλώματα χαμηλής ισχύος), όπως σε υπολογιστές, ραδιόφωνα, κ.λ.π.

2.8 Σχεδιασμός κυκλωμάτων Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάσθηκαν μέθοδοι για την ανάλυση κυκλωμάτων με αντιστάσεις και ανεξάρτητες πηγές. Παρά τον περιορισμό αυτό, θα χρησιμοποιηθούν οι γνώσεις για τον σχεδιασμό κυκλωμάτων σε μία απλή εφαρμογή. Στόχος της παραγράφου αυτής είναι το ξεκίνημα του μηχανικού στο δρόμο του σχεδιασμού των κυκλωμάτων.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.9 Στο κύκλωμα ενός ενισχυτή απαιτείται η χρήση τριών τάσεων τροφοδοσίας: 24V , 12V και 4V . Επειδή το βάρος και οι διαστάσεις του ενισχυτή πρέπει να είναι όσο το δυνατόν μικρότερα, δεν μπορούμε να τοποθετήσουμε τρεις πηγές, αλλά μόνο μία. Επιπλέον το τροφοδοτικό θα πρέπει να καταναλώνει ισχύ 2.5W . Υποθέστε ότι το φορτίο δεν επηρεάζει την συμπεριφορά του τροφοδοτικού και σχεδιάστε ένα διαιρέτη τάσης που θα ικανοποιεί τις προδιαγραφές.

I

Λύση:

R1

Στο Σχ. Π.2.9 φαίνεται ο διαιρέτης τάσης που θα σχεδιασθεί για την κατασκευή του τροφοδοτικού τριών τάσεων.

I1  0 24V

+ R2 I2  0 16V R3

4V

Από την μέγιστη κατανάλωση ισχύος προκύπτει το ρεύμα που πρέπει να παρέχει η πηγή στο δίκτυο.

P V I  I 

Σχ. Π2.9 ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ


P  0.104  V

51

52 Κάνουμε στρογγυλοποίηση του ρεύματος, άρα αντιστάσεων θα είναι

R1  R2  R3 

I  0.1  , οπότε το άθροισμα των

24V  240 0.1

Από τον διαιρέτη της τάσης είναι

R3 R3 4V    R3  40 R1  R2  R3 240 24V επίσης

R2  R3 R  40 12V  2   R2  80 R1  R2  R3 240 24V Άρα R1  120 , αφού το άθροισμα των τριών αντιστάσεων είναι 240 .


Σε ποιες περιπτώσεις (εφαρμογές) η αντίσταση είναι χρήσιμη και σε ποιες είναι ανεπιθύμητη;

2.2

Να δοθεί η καμπύλη i-v ενός διακόπτη στη θέση ανοιχτός και στη θέση κλειστός.

2.3

Σε δύο ισοδύναμα μονόθυρα δίκτυα οι καταναλισκόμενες ισχείς είναι ίσες;

2.4

Συνδέουμε φορτίο 5V/10W σε πραγματική πηγή ισχύος 5V/5W επιτρέπεται η σύνδεση τι θα συμβεί;

2.5

Τι θα συμβεί αν βραχυκυκλώσουμε τους ακροδέκτες μιας μπαταρίας; Πώς μεταβάλλεται η θερμοκρασία, το ρεύμα, η τάση και το φορτίο της και γιατί;

2.6

Ένας λαμπτήρας πυρακτώσεως έχει τα εξής χαρακτηριστικά 12V /24 W . Τι σημαίνει το καθένα από αυτά και ποια είναι η αντίστασή του και το ρεύμα που απορροφά όταν συνδεθεί σε δίκτυο 12 V;

2.7

Τον λαμπτήρα της προηγούμενης ερώτησης μπορούμε να τον συνδέσουμε σε δίκτυο 24 V ή 6 V. Τι θα συμβεί στην κάθε περίπτωση;

2.8

Αν γυρίσουμε τη «μίζα» με τα φώτα αναμμένα, τι παρατηρούμε στην ένταση του φωτισμού;

2.9

Ποιες είναι οι βασικές διαφορές ανάμεσα σε μία ιδανική ανεξάρτητη πηγή τάσης και την αντίστοιχη πραγματική;

2.10

Τι είναι η αρχή της επαλληλίας και σε ποια κυκλώματα εφαρμόζεται;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.1

Βρείτε την ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος του Σχ. Α2.1 ως προς τους ακροδέκτες α, β.

53


1KΩ

α

4KΩ 2KΩ

5KΩ 1KΩ

β Σχ. Α2.1

2.2

Επαναλάβετε το ίδιο και για το κύκλωμα του Σχ. Α2.2.

4KΩ

α

1KΩ 2KΩ

1KΩ 2KΩ

1KΩ

β Σχ. Α2.2

2.3

Επαναλάβετε το ίδιο και για το κύκλωμα του Σχ. Α2.3.

α 40Ω

10Ω 100Ω 20Ω

50Ω

β Σχ. Α2.3

2.4

Επαναλάβετε το ίδιο και για το κύκλωμα του Σχ. Α2.4, όπου R  1 .



54 R R

R

R

α

R R

β Σχ. Α2.4

2.5

Μια αντίσταση 5 τροφοδοτείται από μια ιδανική πηγή τάσης 100V . Βρείτε το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση και την ισχύ που καταναλώνει.

2.6

Βρείτε τις τάσεις και τα ρεύματα στο κύκλωμα του τρανζίστορ που φαίνεται στο Σχ. Α2.6. Το τρανζίστορ έχει  BE  0.7V και iC  0.9i E .

C υCB

iC iB

Β υBE

υCE iΕ

0.6 mA υR

+ 20 V

E

1 KΩ Σχ. Α2.6

2.7

Στο Σχ. Α2.7 φαίνεται ένα κύκλωμα φόρτισης μπαταρίας. Χρησιμοποιήστε την μέθοδο των κομβικών τάσεων για να βρείτε όλες τις άγνωστες τάσεις και ρεύματα.

55


2Ω i2 2Α

υ1

+ 4V

10Ω

Σχ. Α2.7

2.8

Βρείτε όλα τα ρεύματα στο κύκλωμα του Σχ. Α2.8.

10Ω

1A

4Ω

12Ω 3Ω +

10V

Σχ. Α2.8

2.9

Βρείτε όλες τις άγνωστες μεταβλητές του κυκλώματος του Σχ. Α2.9 με την χρήση της μεθόδου των ρευμάτων των κλάδων και της μεθόδου των δυναμικών των κόμβων.

1 kΩ

24V

+

υα

2 kΩ

4 kΩ

ib

1 kΩ

Σχ. Α2.9

2.10 Στο κύκλωμα του Σχ. Α2.10 βρείτε το ρεύμα στην αντίσταση του 1 .



8mA

56 6V

2 kΩ

3V

2 kΩ

+

+ 1 kΩ

2 kΩ

+ 2V

Σχ. Α2.10

κύκλωμα του Σχ. Α2.11 βρείτε το ρεύμα στην αντίσταση των 6 . Επίσης υπολογίστε την ισχύ της πηγής των 6m , προσδίδει ή απορροφά ισχύ;

2.11 Στο

4 kΩ

6mA

6 kΩ

12 kΩ

4mA

Σχ. Α2.11

2.12 Βρείτε

ένα κατάλληλο ισοδύναμο κύκλωμα για μια πραγματική πηγή, που δίνει τις παρακάτω τιμές σε μέτρηση ρεύματος και τάσης.

i



0.14 

11.2 V

0.10 

12.0 V

Βρείτε την τιμή της τάσης  όταν RL  200  .

2.13 Δίκτυο διανομής συνεχούς ρεύματος με δύο αγωγούς μήκους 300m έκαστος έχει στο ένα άκρο την πηγή και τροφοδοτεί τα παρακάτω φορτία που είναι συνδεδεμένα στις αντίστοιχες αποστάσεις από την πηγή. Φορτία σε Amperes Απόσταση

20A

40A

30A

100m

200m

300m

Αν η αντίσταση των αγωγών είναι 10 Ω/m να βρεθεί η ολική πτώση τάσης. -4

2.14 Σε

μία πραγματική πηγή τάσης VS και εσωτερικής αντίστασης RS συνδέουμε ένα

φορτίο RL και μετράμε το ρεύμα της πηγής. Αν συνδέσουμε ένα ακόμη φορτίο RL σε παραλληλία με το αρχικό α) Το ρεύμα της πηγής θα αυξηθεί ή θα ελαττωθεί και γιατί;

57

ΑΝΤΙΣΤΑΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ β) Η τάση των ακροδεκτών της πραγματικής πηγής θα αυξηθεί ή θα ελαττωθεί και γιατί;

2.15 Με την χρήση του ισοδύναμου Thevenin ή Norton βρείτε το ρεύμα i

του κυκλώματος

του Σχ. Α2.15.

+

3 kΩ

25V

2 kΩ 2mA

1 kΩ

i

2 kΩ

Σχ. Α2.15

2.16 Βρείτε το ισοδύναμο Norton με την χρήση του θεωρήματος Thevenin του κυκλώματος του Σχ. Α2.16 ως προς τους ακροδέκτες α, β.

4A

α

4Ω 64V

+

8Ω

20 Ω

β Σχ. Α2.16

2.17 Βρείτε το ισοδύναμο Thevenin του κυκλώματος του Σχ. Α2.17 1 kΩ

α 3 kΩ

3mA

5 kΩ

+ 9V β

Σχ. Α2.17



58 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2.18 Στο κύκλωμα του Σχ. Α2.18 βρείτε την τιμή της αντίστασης του φορτίου που πρέπει να συνδεθεί στους ακροδέκτες α, β ώστε η μεταφερόμενη ισχύς, το φορτίο, να είναι μέγιστη. Επίσης βρείτε την μέγιστη μεταφερόμενη ισχύ.

β

α

6 kΩ

3V

4 kΩ

+ 3 kΩ

2mA

Σχ. Α2.18

2.19 Σε δίκτυο διανομής τάσης 220V συνδέεται αντιστατικό φορτίο ισχύος 1KW με καλώδιο από χάλκινους αγωγούς μήκους 50m. Αν η επιτρεπόμενη πτώση τάσης είναι μέχρι 1% να υπολογιστεί η ελάχιστη διατομή του αγωγού.

220V

καλώδιο

φορτίο

50m Σχ. Α2.19

2.20 Μία ηλεκτρική θερμάστρα έχει δύο αντιστάσεις R1  R2

και λειτουργεί σε 220 V. Ένας πολλαπλός διακόπτης μπορεί να συνδέσει στο δίκτυο, μόνο την μία ή μόνο την άλλη ή και τις δύο αντιστάσεις σε παραλληλία. Σε ποια από τις τρεις περιπτώσεις η θερμότητα που εκπέμπει η θερμάστρα είναι μεγαλύτερη και γιατί; Αν η μέγιστη ισχύς είναι 2500 W και η ελάχιστη 1000 W να βρεθούν οι τιμές των αντιστάσεων.

2.21 Ένας ερασιτέχνης ηλεκτρονικός που κατασκευάζει έναν ενισχυτή επιθυμεί να προσθέσει ενδεικτικά λαμπάκια που το ένα να λειτουργεί στα 12V/10mA και τα άλλα δύο στα 5V/5mA. Έχει ένα τροφοδοτικό 12 V και για να μην αγοράσει δεύτερο κατασκευάζει ένα διαιρέτη τάσης όπως φαίνεται στο Σχ Α2.21. Να βρεθούν οι τιμές των αντιστάσεων R1 και R2 ώστε η μέγιστη τάση στις δύο λάμπες να είναι 5.5V και η ελάχιστη 4.5V.

59


R1

12V

+

R2

12V 10mA

5V 65mA

Σχ. Α2.21



5V 5mA

60

ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ

3

Καθιερώθηκε ο όρος: Operational Amplifier (op amp)

1940

1952

Σ ΤΟΧΟΙ :

Ιδανικός Τελεστικός Ενισχυτής

2003

 Ορισμός και μοντελοποίηση εξαρτημένων πηγών και δίθυρων δικτύων (ενισχυτές, μετασχηματιστές).  Τελεστικοί ενισχυτές: Χαρακτηριστικά, Εφαρμογές.  Ανάλυση κυκλωμάτων που περιλαμβάνουν σύνθετα στοιχεία (τελεστικοί ενισχυτές) των οποίων είναι γνωστά μόνο τα χαρακτηριστικά εισόδου – εξόδου.  Σχεδιασμός τυπικών συνδεσμολογιών τελεστικών ενισχυτών.

63


3.1 Δίθυρα δίκτυα Ένα δίθυρο δίκτυο έχει τέσσερις ακροδέκτες διατεταγμένους κατά τέτοιον τρόπο ώστε το ένα ζεύγος των ακροδεκτών να αποτελεί την θύρα εισόδου και το άλλο ζεύγος την θύρα εξόδου. Στο Σχ. 3.1 φαίνονται οι φορές αναφοράς των ρευμάτων και τάσεων εισόδου και εξόδου σ’ ένα δίθυρο δίκτυο. Δίθυρα δίκτυα είναι οι μετασχηματιστές, οι ενισχυτές, τα φίλτρα και άλλες διατάξεις χρήσιμες στις εφαρμογές της ηλεκτρολογίας, ηλεκτρονικής, αυτόματου ελέγχου και μετρήσεων. Στο κεφάλαιο αυτό θα δοθούν οι ορισμοί των ιδανικών μετασχηματιστών και των ιδανικών εξαρτημένων πηγών που αποτελούν τα βασικά δίθυρα ηλεκτρικά στοιχεία. Επίσης θα γίνει ανάλυση και σχεδιασμός απλών κυκλωμάτων τελεστικών ενισχυτών, σαν παραδείγματα εφαρμογής της ανάλυσης δικτύων σε δίθυρα στοιχεία των οποίων δεν γνωρίζουμε την εσωτερική δομή αλλά μόνο την σχέση εισόδου – εξόδου.

io

ii Δίθυρο υi

υo

Δίκτυο

Σχ. 3.1

i1

Δίθυρο Δίκτυο.

Ν1 : Ν2

i2

3.2 Ιδανικός μετασχηματιστής Ο ιδανικός μετασχηματιστής είναι μια δίθυρη συσκευή που αποτελείται από δύο πηνία, μαγνητικά συζευγμένα όταν το ένα από τα δύο τυλίγματα διαρρέετε από ρεύμα μεταβλητό με το χρόνο. Το τύλιγμα εισόδου ονομάζεται πρωτεύον, ενώ το τύλιγμα εξόδου δευτερεύον, όπως φαίνονται στο Σχ. 3.2. Η συμπεριφορά του ιδανικού μετασχηματιστή περιγράφεται από το λόγο των σπειρών ή λόγο μετασχηματισμού



2 1

υ1

υ2

Πρωτεύον Σχ. 3.2

Δευτερεύον

Ιδανικός μετασχηματιστής.

(3.1)

όπου  1 και  2 είναι ο αριθμός των σπειρών του πρωτεύοντος και δευτερεύοντος αντίστοιχα. Επίσης ισχύει

1  1  2  2

(3.2)

i1  2  i2  1

(3.3)

και

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.1 Να βρεθεί το ισοδύναμο κύκλωμα ιδανικού μετασχηματιστή ως προς τους ακροδέκτες του πρωτεύοντος, όταν στο δευτερεύον συνδεθεί μία αντίσταση RL .



64 Ν1 : Ν2

i1

α

Λύση:

i1

υ1

υ2

RL

β (α)

Στο Σχ. Π3.1α φαίνονται η σύνδεση της αντίστασης RL στο δευτερεύον του μετασχηματιστή. Το ισοδύναμο του κυκλώματος ως προς τους ακροδέκτες του πρωτεύοντος θα είναι μία αντίσταση που δίνεται από το νόμο του Ohm:

RL 

i1 α

1 i1

Από την Εξ.(3.2) η τάση

υ1

 R N1 2 N2

β (β)

RB

βi

O

2

είσοδος

Ε

έξοδος (α) C

Β

3.3 Εξαρτημένες πηγές – Ενισχυτές Εξαρτημένες πηγές τάσης ή ρεύματος είναι οι πηγές των οποίων οι τιμές εξαρτώνται από τάσεις ή ρεύματα που εμφανίζονται στο κύκλωμα, στο οποίο είναι συνδεδεμένη η εξαρτημένη πηγή. Ένα παράδειγμα εξαρτημένης πηγής ρεύματος από ρεύμα φαίνεται στο Σχ. 3.3α, όπου η πηγή ρεύματος στον κλάδο CO παρέχει ρεύμα  i , ανάλογο του ρεύματος i στον κλάδο BO και  μία σταθερά. Το κύκλωμα αυτό παριστάνει το τρανζίστορ του Σχ. 3.3β. Οι εξαρτημένες πηγές παριστάνονται με ρόμβο αντί για κύκλο. Οι εξαρτημένες πηγές είναι δίθυρα δίκτυα, όπου στην έξοδο είναι η εξαρτημένη πηγή, ενώ στην είσοδο το ρεύμα ή η τάση από την οποία εξαρτάται η πηγή. Είναι φανερό ότι οι δυνατοί συνδυασμοί των εξαρτημένων πηγών είναι τέσσερις, όπως φαίνονται στο Σχ. 3.4. Τα κυκλώματα του Σχ. 3.4α και 3.4β παριστάνουν πηγή τάσης i και ρεύματος g mi

Ε (β)

Σχ. 3.3

κύκλωμα φαίνονται στο Σχ. Π.3.1β.

C

i

L

  RL   1  RL και το ισοδύναμο  2 

Σχ. Π3.1

Β

1  2 και από την Εξ.(3.3) το 2  ρεύμα i1  2  i2 . Αντικαθιστώντας 1 στην προηγούμενη εξίσωση, η

1 

Εξαρτημένη πηγή. α) Κυκλωματικό μοντέλο του τρανζίστορ β) Τρανζίστορ

αντίστοιχα εξαρτημένες από την τάση εισόδου  i . Οι εξαρτημένες αυτές πηγές είναι ιδανικές γιατί η αντίσταση εισόδου (ανοικτοκύκλωμα α, β) είναι άπειρη, ενώ η εσωτερική αντίσταση της πηγής είναι μηδενική.

65

ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ Τα κυκλώματα των Σχ. 3.4γ και 3.4δ παριστάνουν πηγή τάσης rm ii και ρεύματος  ii αντίστοιχα εξαρτημένες από το ρεύμα εισόδου ii . Οι εξαρτημένες αυτές πηγές είναι ιδανικές γιατί η αντίσταση εισόδου (βραχυκύκλωμα) είναι μηδενική, όπως και η εσωτερική αντίσταση της πηγής.

iο

ii=0 μυi +

υi

iο

ii=0

υο

gmυi

υi

(α)

(β) iο

ii

υi=0

υο

rmii +

iο

ii

υο

aii

υi=0

(γ)

υο

(δ)

Σχ. 3.4 Ιδανικές εξαρτημένες πηγές.

(α)

α) πηγή τάσης εξαρτημένη από τάση εισόδου υi β) πηγή ρεύματος εξαρτημένη από τάση εισόδου υi γ) πηγή τάσης εξαρτημένη από ρεύμα εισόδου ii δ) πηγή ρεύματος εξαρτημένη από ρεύμα εισόδου ii

Οι πηγές των Σχ. 3.4α και 3.4β ονομάζονται και ενισχυτές τάσης και ρεύματος αντίστοιχα, ενώ ο λόγος  i   0 και   0 , κέρδος ενίσχυσης τάσης και i ii ρεύματος αντίστοιχα.

(β)

Ενισχυτής είναι ένα δίθυρο δίκτυο που περιέχει ηλεκτρονικά στοιχεία και είναι ικανό να μεγενθύνει το πλάτος ενός ηλεκτρικού σήματος. Σήμα ή κυματομορφή είναι μία τάση ή ρεύμα, μεταβλητή με το χρόνο. Στο Σχ. 3.5α φαίνεται ένας ενισχυτής ηχητικού συστήματος, ενώ στο Σχ. 3.5β φαίνεται το δομικό του διάγραμμα, όπου τα x t  και y t  είναι τα σήματα εισόδου και εξόδου αντίστοιχα.


Πηγή Source

Τροφοδοσία Power supply

x(t) Ενισχυτής Amplifier

Σήμα εισόδου Σχ. 3.5


y(t)

Φορτίο Load

Σήμα εξόδου

Σύστημα ενισχυτή και το δομικό του διάγραμμα.

66 Οι ενισχυτές χρησιμοποιούνται στην ραδιοφωνία, τηλεόραση, μετρήσεις, αυτόματο έλεγχο, και σε πολλές άλλες εφαρμογές. Γενικά η ισχύς του σήματος εξόδου είναι μεγαλύτερη από το σήμα εισόδου, και η διαφορά ισχύος παρέχεται από το τροφοδοτικό.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.2 rP g

α Στο κύκλωμα του Σχ. Π3.2, που παριστάνει το μοντέλο τρίοδης λυχνίας, να

μυgk υgk

RL

+

e(t) +

k

υ0(t) rk

βρεθεί η τάση εξόδου 0  t  , όταν είναι γνωστή η τάση της πηγής εισόδου et  .

n Σχ. Π3.2

Λύση:

rP g

i

μυgk υgk

α

r pi RL

+

e(t) +

k r ki

υ0(t)= RL i

rk n

n Σχ. Π3.2α

Στο κύκλωμα του Σχ. Π3.2 ορίζουμε τις φορές αναφοράς των ρευμάτων και των τάσεων στις αντιστάσεις, όπως φαίνεται στο Σχ. Π3.2α. Επειδή η φορά αναφοράς της τάσης  0 t  είναι δεδομένη, τότε η φορά αναφοράς του ρεύματος, σύμφωνα με τη σύμβαση παθητικού προσήμου, θα είναι υποχρεωτικά αυτή

που φαίνεται στο Σχ. Π3.2α. Γράφουμε το νόμο των τάσεων του Kirchhoff στον nknn : rk i  gk  rpi  RLi  0 και στον βρόχο gnkg : et    gk  rk i  0 Από το σύστημα των δύο εξισώσεων υπολογίζω το ρεύμα

i

e t 

   1 rk  rp  RL

οπότε

0  t   RLi  

 RL

   1 rk  rp  RL

e t 

βρόχο

67


3.4 Γενικά για τους τελεστικούς ενισχυτές Ο τελεστικός ενισχυτής είναι ένας ενισχυτής μεγάλου κέρδους, που χρησιμοποιεί ανατροφοδότηση για να ελέγχει τα λειτουργικά χαρακτηριστικά του. Έχει δε τα εξής χαρακτηριστικά: μεγάλο κέρδος ενίσχυσης, μεγάλη αντίσταση εισόδου και μικρή αντίσταση εξόδου. Ο τελεστικός ενισχυτής έχει την ικανότητα να ενισχύει, να ελέγχει ή να παράγει μια εναλλασσόμενη ή μη εναλλασσόμενη κυμματομορφή από συνεχές ρεύμα, μέχρι πολλά MHz. Όλες οι κλασικές πράξεις στον αναλογικό υπολογιστή, όπως αφαίρεση, πρόσθεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, ολοκλήρωση και διαφόριση (παραγώγιση), είναι δυνατές με την χρήση τελεστικών ενισχυτών. Είναι επίσης χρήσιμος σε πολλές εφαρμογές αυτόματου ελέγχου και μετρήσεων. Οι τελεστικοί ενισχυτές έχουν χαμηλό κόστος και είναι τυποποιημένοι..

ip

+

in

(α)

+ υp

υd -

υo

υn

(β)

Αν εφαρμοστεί μια θετική τάση στην είσοδο  p ,

d   p n

(3.4)

Το Σχ. 3.6β δείχνει πιο καθαρά τις φορές αναφοράς αυτών των τάσεων και δίνει μια ιδέα για το πώς είναι συνδεδεμένες οι πηγές τροφοδοσίας VCC και

VCC και η αντίσταση του φορτίου. Να τονιστεί ότι οι τάσεις  p ,  n ,  o μετριούνται ως προς τον αγωγό της γείωσης. Στο Σχ. 3.6γ φαίνεται η γραμμικοποιημένη κατά περιοχές καμπύλη μεταφοράς του τελεστικού ενισχυτή, που αποτελείται από δύο τμήματα κορεσμού και την αναλογική περιοχή. Η κλίση της αναλογικής περιοχής της καμπύλης ονομάζεται διαφορικό κέρδος ανοιχτού βρόχου, είναι δε

o   d     p  n 

(3.5)

έτσι όταν  p   n , είναι  o  0 . Όπως είπαμε, χαρακτηριστικό του τελεστικού ενισχυτή είναι το γιγαντιαίο κέρδος του   100000 . Για τους σκοπούς ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ


RL + VCC

Όπως φαίνεται στο Σχ. 3.6, ο τελεστικός ενισχυτής έχει μια έξοδο, που είναι ελεγχόμενη από δύο εισόδους. που έχει χαρακτηρισθεί με (+), τότε η έξοδος θα είναι θετική. Ενώ αν μια θετική τάση εφαρμοστεί στον ακροδέκτη  n , που χαρακτηρίζεται με (-), τότε η έξοδος θα είναι αρνητική. Ο ακροδέκτης εισόδου, που χαρακτηρίζεται με (+) και (-), ονομάζεται μη αναστρέφουσα και αναστρέφουσα είσοδος αντίστοιχα. Η έξοδος εξαρτάται από την διαφορά των τάσεων εισόδου.

+ VCC

υ0

 +VCC A

-υmax

υmax

υd = υp - υn

 -VCC (γ) Σχ. 3.6 Τελεστικός ενισχυτής α) Σύμβολο λειτουργικού ενισχυτή β) Εξωτερική συνδεσμολογία γ) Η καμπύλη μεταφοράς

68 της ανάλυσης κυκλωμάτων το κέρδος του ιδανικού τελεστικού ενισχυτή μπορεί να θεωρηθεί ίσο με  .

ip

υp υd

Ri

in

υn

Ro υο

+

Aυd

Όταν λειτουργεί στην αναλογική περιοχή, ο τελεστικός ενισχυτής μπορεί να εξομοιωθεί με το κύκλωμα του Σχ. 3.7. Εδώ τα Ri και Ro συμβολίζουν τις αντιστάσεις εισόδου και εξόδου αντίστοιχα του τελεστικού ενισχυτή με αντιπροσωπευτικές τιμές Ri  1 και Ro  100 . Ο ιδανικός θεωρείται ότι έχει Ri   και Ro  0 . Βέβαια το παραπάνω ισοδύναμο κύκλωμα ισχύει μόνο για την περιορισμένη περιοχή

Σχ. 3.7

  max   d   max

Ισοδύναμο κύκλωμα τελεστικού ενισχυτή.

(3.6)

όπου

 max 

VCC 

(3.7)

έτσι που

VCC  o  VCC

(3.8)

Για να παραμείνει η λειτουργία στην γραμμική περιοχή, αν π.χ. VCC  100 V και   105 , τότε

 d  103V  1 mV

και

αντίστοιχα

τα

ρεύματα





9 εισόδου θα είναι στην περιοχή των nanoamp 10  .

Κάτω από αυτούς τους περιορισμούς στο  d , μικρή αξία θα είχε σαν ενισχυτής, γιατί για ένα σήμα εισόδου της τάξης του ενός mV , θα περνούσε τα όρια λειτουργίας με συνέπεια την παραμόρφωση του σήματος εξόδου. Επόμενα όλοι οι τελεστικοί ενισχυτές έχουν συνδεσμολογία ανατροφοδότησης (feedback), που σχηματίζει ένα κλειστό βρόχο από τον ακροδέκτη εξόδου πίσω στον αναστρέφοντα ακροδέκτη ώστε

ip=0 υp

+ υd=0

υn

υo -

in=0

Σχ. 3.8

Ιδανικός τελεστικός ενισχυτής με “ουσιαστικό βραχυκύκλωμα”.

 d  i . Αυτό προλαβαίνει τον κορεσμό, ακόμα και όταν

 i   max . Το κέρδος κλειστού βρόχου  o /  i

είναι επίσης μεγάλο, αλλά πολύ μικρότερο από το κέρδος  ανοιχτού βρόχου. Με την σύνδεση ανατροφοδότησης, η είσοδος του τελεστικού ενισχυτή δρα σαν ένα «ουσιαστικό βραχυκύκλωμα» ή «ουσιαστική γείωση», με την έννοια ότι  d  0 (χαρακτηριστική βραχυκυκλώματος), αλλά

i p  in  0 . Τυποποιούμε την έννοια του «ουσιαστικού βραχυκυκλώματος» ορίζοντας το μοντέλο του ιδανικού τελεστικού ενισχυτή, που φαίνεται στο Σχ. 3.8. Το διπλό βέλος παριστάνει το «ουσιαστικό βραχυκύκλωμα». Αντίθετα με το μοντέλο του Σχ. 3.7, αυτό το μοντέλο δεν μπορεί να δώσει μια σχέση λυμένη και

69

ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ ως προς  o σαν συνάρτηση του  d . Για να υπάρχει πεπερασμένη τιμή του  o διάφορη του μηδενός με συνθήκες  d  0 και i p  in  0 υπονοείται ότι ο τελεστικός ενισχυτής έχει άπειρο κέρδος. Γενικά το ιδανικό μοντέλο δίνει αποτελέσματα αιτιολογημένης ακρίβειας, όταν το κέρδος κλειστού βρόχου

 o /  i είναι μικρό σε σχέση με το κέρδος

ανοιχτού βρόχου  , και όταν η τάση εξόδου είναι μέσα στα όρια της γραμμικής περιοχής  o  VCC . Στις επόμενες παραγράφους θα παρουσιαστούν τυπικές συνδεσμολογίες τελεστικών ενισχυτών με ανατροφοδότηση. Τα κυκλώματα αυτά είναι αντιστατικά και εμπεριέχουν τον τελεστικό ενισχυτή του οποίου γνωρίζουμε μόνο την εξωτερική συμπεριφορά, ενώ δεν χρειάζεται να ξέρουμε την εσωτερική του δομή. Οι μηχανικοί πολλές φορές σχεδιάζουν σύνθετα συστήματα που αποτελούνται από απλούστερα, των οποίων γνωρίζουν μόνο την εξωτερική συμπεριφορά. Οι παρακάτω περιπτώσεις σχεδίασης κυκλωμάτων με τελεστικούς ενισχυτές μπορούν να θεωρηθούν παραδείγματα ανάλυσης αντιστατικών κυκλωμάτων που περιλαμβάνουν στοιχεία των οποίων γνωρίζουμε την σχέση εισόδου – εξόδου και τα χαρακτηριστικά εισόδου και εξόδου. Επιπλέον είναι χρήσιμα κυκλώματα για εφαρμογές σε μετρήσεις και αυτόματο έλεγχο.

3.5 Μη αναστρέφων τελεστικός ενισχυτής Στο κύκλωμα του Σχ. 3.9, η τάση εισόδου  in εφαρμόζεται κατευθείαν στον μη αναστρέφοντα ακροδέκτη έτσι που  p  i και ii  i p  0 . Η αντίσταση RF είναι η αντίσταση ανατροφοδότησης, που επιστρέφει μέρος της τάσης εξόδου  o στην είσοδο

υp

υn i1

υi R1

io

-

iF RF

R1 i1

RF i F

Σχ. 3.9 Συνδεσμολογία μη αναστρέφοντος τελεστικού ενισχυτή.

o και να κάνουμε την προσέγγιση με βάση την d παραδοχή ότι το κέρδος  είναι πάρα πολύ μεγάλο, ή 


+

υd i n  0

n . Με την ανάλυση του κυκλώματος του μη αναστρέφοντα τελεστικού ενισχυτή αναζητείται ο λόγος της τάσης o προς την τάση i . Για την ανάλυση του κυκλώματος μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε την σχέση

ii = i p  0


υo

70 να θεωρήσουμε ότι  d  0 . Στην προκειμένη περίπτωση θα ακολουθήσουμε την πρώτη προσέγγιση. Θέτουμε το σύστημα αναφοράς ρευμάτων και τάσεων όπως φαίνεται στο Σχ. 3.9, και γράφουμε το νόμο των τάσεων του Kirchhoff στους δύο βρόχους του δικτύου.

i  d  R1  i1  0

(Α)

 o  RF  iF  R1  i1  0

(Β)

και

Όμως από το νόμο των ρευμάτων στον κόμβο  n βρίσκω iF  in  i1  i1 . Αντικαθιστώ στην (Β) το i F και i1 

o R1  RF

βρίσκω d  i  και επειδή  d 

, οπότε αντικαθιστώντας στην (Α)

R  R1 R1 o , αν θέσω   F RF  R1 R1

o



, τότε

o   i   

(Γ)

Επειδή απαιτείται σχετικά χαμηλό κέρδος του νέου ενισχυτικού κυκλώματος, οι αντιστάσεις RF και

R1 επιλέγονται έτσι ώστε    , οπότε η εξίσωση (Γ) γίνεται

o R  R1  F i R1

+ υi

υo

Σχ. 3.10 Ακόλουθος τάσης.

(3.9)

Επόμενα, με έναν τελεστικό ενισχυτή κέρδους  και κατάλληλη επιλογή των αντιστάσεων RF και R1 , μπορεί να σχεδιασθεί ένας ενισχυτής με επιθυμητό κέρδος  . Ο ενισχυτής αυτός σχεδιάζεται εύκολα και έχει χαμηλό κόστος. Το Σχ. 3.10 δείχνει έναν ειδικό τύπο μη αναστρέφοντα ενισχυτή, γνωστό σαν ακόλουθο τάσης. Το όνομα προέρχεται από το γεγονός ότι η τάση εισόδου  in είναι ίση με την τάση εξόδου. Έχει κέρδος κλειστού βρόχου ίσου με την μονάδα αλλά πολύ μεγάλο κέρδος ρεύματος και ισχύος και χρησιμοποιείται στην αποσύζευξη κυκλωμάτων.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.3 Ένας τελεστικός ενισχυτής έχει   105 και VCC  18V , και θα πρέπει να ενισχύσει ένα σήμα

i (t )  0,15V . Κατασκευάστε έναν μη αναστρέφοντα ενισχυτή με το μέγιστο

71

ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ δυνατό ασφαλές κέρδος κλειστού βρόχου. Βρείτε το  o /  i , την μέγιστη τιμή του  d και το

 o max . Λύση: Για να λειτουργήσει ο τελεστικός ενισχυτής στην αναλογική περιοχή, θα πρέπει

o  18V , οπότε o / i  18 / 0,15  120 . Όμως για να λειτουργεί σε ένα καλό επίπεδο ασφάλειας επιλέγουμε   100 . Για να το πετύχουμε επιλέγουμε RF  99 και

R1  1 , οπότε   99  1 1  100 . Αντικαθιστώντας στην Εξ. (3.9), προκύπτει

o 100 105   99,9  100 i 100  105

και

o max  100  i max  100  0.15  15V , ενώ από την Εξ. (3.5), έχουμε

d

max



o max 



15V  0.15mV 105

3.6 Αναστρέφων ενισχυτής και αθροιστές ενισχυτές Για τον αναστρέφοντα ενισχυτή, που φαίνεται διαγραμματικά στο Σχ. 3.11 εφαρμόζουμε την  i δια μέσου της

i1

R1 στον αναστρέφοντα ακροδέκτη και γειώνουμε τον άλλο ακροδέκτη, έτσι  p  0 . Τώρα το «ουσιαστικό

υn = 0

R1

RF

in = 0

iF -

υd = 0

υi

βραχυκύκλωμα» λειτουργεί σαν «ουσιαστική γείωση», οπότε  n  0 , ενώ για τους τελεστικούς ενισχυτές ισχύει in  0 .

υp = 0

+

Άρα Σχ. 3.11 Συνδεσμολογία αναστρέφοντος ενισχυτής.

ii  i R1 , iF  ii και

o  n  RF  iF  0  RF   i R1   RF R1 i Επόμενα, αυτό το κύκλωμα έχει αρνητικό κέρδος κλειστού βρόχου



υo

72 o R  F i R1 Αν R1  RF , τότε  o   i αναστροφέα μοναδιαίου κέρδους.

i3

υ2

R2 i1

υ2

R1

και

έχουμε

Προσθέτοντας μία ή περισσότερες αντιστάσεις εισόδου, όπως φαίνεται στο Σχ. 3.12, μεταβάλουμε τον αναστρέφοντα ενισχυτή σε αθροιστικό ενισχυτή. Ειδικά, o  RF  iF , όπου

R3

i2

(3.10)

RF

   iF  i1  i2  ...   1  2  ...   R1 R2 

iF -

Επόμενα,

υ1

+

υo

Σχ. 3.12 Αθροιστικός ενισχυτής με τρεις εισόδους.

R  R o    F 1  F 2  ... R2  R1 

(3.11)

ή, αν R1  R2  .....

o  

RF 1  2  ... R1

(3.12)

έτσι αυτό το κύκλωμα ενισχύει, αναστρέφει και προσθέτει τις τάσεις εισόδου. Μερικές φορές η αναστροφή της φοράς είναι μειονέκτημα, όμως μπορεί να διορθωθεί με την πρόσθεση ενός επιπλέον αναστρέφοντα τελεστικού ενισχυτή στην έξοδο του αθροιστή.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.4 (ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ) Δίνονται δύο πηγές σήματος που παράγουν

 s1 t   30mV και  s 2 t   100mV ,

και έχουν Rs  20 η κάθε μία. Να σχεδιάσετε ένα κύκλωμα με τελεστικούς ενισχυτές, που να παράγει το σύνθετο σήμα o (t )  200s1 (t )  40s 2 (t ) .

73


5 kΩ 20 Ω

1 kΩ

-

-5υs1

+ υs1

+

20 Ω

 υs1 υs2

1 kΩ

1 kΩ

 υs2

+

40 kΩ

+

υο

Σχ. Π3.4

Λύση: Το πρόβλημα αυτό αποτελεί ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα σχεδιασμού κυκλώματος με τελεστικό ενισχυτή. Η λύση παρουσιάζεται αναλυτικά για να φανεί πώς ο μηχανικός χρησιμοποιεί τις γνώσεις του για να λάβει αποφάσεις για το είδος των κυκλωμάτων που θα χρησιμοποιήσει και την ανάλυση κυκλωμάτων για να βρει τις τιμές των αντιστάσεων των κυκλωμάτων. Υπάρχουν πολλές λύσεις για το πρόβλημα αυτό, αλλά η αφαίρεση των σημάτων μας οδηγεί στην χρήση δύο ενισχυτών. Στο Σχ. Π.3.4 φαίνεται ένα κύκλωμα, που μπορεί να ανταποκριθεί στις απαιτήσεις του προβλήματος. Ο πρώτος τελεστικός ενισχυτής χρησιμοποιείται σαν αναστρέφων ενισχυτής και ο δεύτερος σαν αθροιστής με αναστροφή. Οι τιμές των αντιστάσεων θα επιλεγούν με την παρακάτω διαδικασία. Σχεδιασμός του αθροιστικού ενισχυτή Α Γράφουμε την επιθυμούμενη έξοδο στην μορφή o  40   5s1   s 2  , έτσι οι είσοδοι στον αθροιστικό ενισχυτή θα είναι  5 s1 και  s 2 , και ο αθροιστικός ενισχυτής Α θα πρέπει να έχει κέρδος  RF R1  40 και R1  R2 . Η τιμή της R2 θα πρέπει να είναι πολύ μεγάλη σε σχέση με την Rs για να ελαχιστοποιείται η επίδραση της εσωτερικής αντίστασης της πηγής. Έτσι παίρνουμε R1  R2  1  20 και RF  40  R1  40 . Σχεδιασμός του αναστρέφοντα ενισχυτή Β Η είσοδος  5 s1 πετυχαίνεται με την επιλογή των αντιστάσεων έτσι ώστε

RF R1  5 και R1  Rs . Μια επιλογή είναι: R1  1 και RF  5 . Αν λάβουμε υπόψη την εσωτερική αντίσταση της πηγής, τότε  RF

Rs  R1   4,902 . Για να πετύχουμε

ακριβώς την τιμή 5 μπορούμε να συνδέσουμε σε σειρά με την αντίσταση των 5 ένα ποτενσιόμετρο για να την αυξήσουμε ελαφρά. Το ίδιο μπορούμε να κάνουμε και για τον ενισχυτή Α. Τέλος υπολογίζουμε τη μέγιστη τάση εξόδου κάτω από τις χειρότερες συνθήκες. Δηλαδή όταν η έξοδος ισούται με το άθροισμα των απόλυτων τιμών. Τότε

o max  200 1 max  40 2 max  200  30mV  40 100mV  10V Επόμενα, ο τελεστικός ενισχυτής Α πρέπει να έχει VCC  10V για να εξασφαλιστεί λειτουργία στη γραμμική περιοχή. ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ


74 3.7 Διαφορικός ενισχυτής Ο διαφορικός ενισχυτής του Σχ. 3.13 παράγει έξοδο  o , που εξαρτάται από τη διαφορά δυναμικού

RF i1 i2 υ1

R1

υn in0

R2

υp ip0

iF +

i2 υ2

μεταξύ των δύο εισόδων, 1 ,  2 .

υo R3

Σχ. 3.13 Διαφορικός ενισχυτής.

Έτσι η ανάγκη για την χρησιμοποίηση ενός διαφορικού ενισχυτή παρουσιάζεται σε πολλές μετρήσεις φυσικών μεγεθών, όπου απαιτείται απόκριση από συνεχές ρεύμα μέχρι πολλά MHz. Αποτελεί την βασική βαθμίδα του ολοκληρωμένου τελεστικού ενισχυτή διαφορικής εισόδου. Η ανάλυση του διαφορικού τελεστικού γίνεται με την υπόθεση ότι το κέρδος Α είναι πάρα πολύ μεγάλο. Επειδή i p  0 , τότε η R3 διαρέεται από ρεύμα i2 

2 R2  R3

 p  i2  R3 

, άρα

R3 2 R2  R3

(Α)

Η πτώση τάσης στην R1 είναι

1  n  R1i1

(Β)

Επειδή in  0 , τότε

 i1  iF 

 o  1 R1  RF

και αντικαθιστώντας στην (Β) έχουμε

n  1 

o  1 R1  RF

 R1

(Γ)





Από την Εξ. (3.5) είναι o     p  n , αντικαθιστώ τα  p ,  n από τις εξισώσεις (Α) και (Γ) και μετά από πράξεις

1 R1    R1  RF

 o 

  R3 RF    2  1 R1  RF   R1  R3 όμως

1 R1 , οπότε   R1  RF

  , 

75


R    1 1  R1  RF  R3 RF  RF  RF   o   2   1   2   1    R R1 R  R R  R R 2 2 3 1 F  1  1   R3   R1 R2 και αν επιλέξω αντιστάσεις έτσι ώστε , τότε  RF R3 R o  F  2  1  R1

Cf

(α)

R1

-

υi

υo

+

(3.13)

Κάτω από αυτές τις συνθήκες, κάθε σήμα ή συνιστώσα σήματος κοινή και στους δύο ακροδέκτες δεν έχει καμιά επίδραση στην έξοδο. Αυτή η ιδιότητα είναι ζωτική για μερικά μετρητικά συστήματα γιατί έτσι απορρίπτεται ο θόρυβος, που είναι κοινός και στις δύο πηγές. Συνήθως ο θόρυβος είναι τάση εξ επαγωγής που προέρχεται από τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία του περιβάλλοντος. Συχνά τέτοιοι ενισχυτές ονομάζονται ενισχυτές – δότες. Βέβαια η απόρριψη του κοινού σήματος από τον διαφορικό ενισχυτή προϋποθέτει να είναι ακριβώς ίσοι οι λόγοι των αντιστάσεων, πράγμα που απαιτεί λεπτή ρύθμιση.

Rf

(β) C1 υi

υo

+

Σχ. 3.14 Άλλοι τελεστικοί ενισχυτές. α) Ολοκληρωτής

3.8 Άλλοι τελεστικοί ενισχυτές

β) Διαφοριστής

Εκτός των πράξεων της αλλαγής προσήμου, πρόσθεσης και αφαίρεσης που εκτελούνται με τους παραπάνω ενισχυτές, μπορούν να σχεδιασθούν και άλλοι που κάνουν διαφόριση (παραγώγιση) και ολοκλήρωση. Δεν θα δώσουμε την ανάλυση, αλλά μόνο τα κυκλώματα: Στο Σχ. 3.14α φαίνεται ο ολοκληρωτής και στο Σχ. 3.14β ο διαφοριστής.

(α) Rg

io υi

Πέρα δε από τους τελεστικούς ενισχυτές που είδαμε για την μετατροπή τάσης σε τάση, μπορούν να σχεδιασθούν και τελεστικοί ενισχυτές που μετατρέπουν τάση σε ρεύμα (Σχ. 3.15α) και ρεύμα σε τάση (Σχ. 3.15β), ή ρεύμα σε ρεύμα (Σχ. 3.16).

Rf

Rf

(β)

Οι τελεστικοί ενισχυτές στο εμπόριο διατίθενται σε πολλά σχήματα και μεγέθη. Επιλέγουμε εκείνους που ταιριάζουν στις απαιτήσεις του όλου κυκλώματος από άποψη διαμόρφωσης και με τα χαρακτηριστικά που επιβάλει η κάθε εφαρμογή. Οι μικρές μονάδες τελεστικών ενισχυτών, όπως αυτές του Σχ. 3.17, συνήθως περιέχουν ένα απλό μονολιθικό (ολοκληρωμένο) κύκλωμα.

RL

RS

3.9 Πραγματικοί τελεστικοί ενισχυτές

ii υi

+

υo

Σχ. 3.15 Τελεστικοί ενισχυτές.

Οι πραγματικοί διαφέρουν από το ιδανικό μοντέλο που δώσαμε παραπάνω. Εδώ θα αναφερθούν οι κυριότερες διαφορές στα χαρακτηριστικά και πώς αυτές ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ

+


α) Μετατροπέας τάσης σε ρεύμα β) Μετατροπέας ρεύματος σε τάση

76 επιδρούν στις διάφορες εφαρμογές. Η παρακάτω περιληπτική αναφορά είναι ένας απλός οδηγός για την ερμηνεία των τιμών των χαρακτηριστικών παραμέτρων, που συνοδεύουν τον κάθε τυποποιημένο τελεστικό ενισχυτή.

Rf ii υi

+

RL io

RS

Σχ. 3.16 Μετατροπέας ρεύματος σε ρεύμα.

Τάση απόκλισης. Η έξοδος ενός πρακτικού τελεστικού ενισχυτή περιλαμβάνει μια μικρή τάση απόκλισης ανάλογη του κέρδους κλειστού βρόχου, αλλά ανεξάρτητη από την τάση εισόδου. Δηλαδή στην έξοδο υπάρχει μια τάση ακόμη και όταν οι δύο ακροδέκτες εισόδου είναι γειωμένοι. Αυτή λέγεται τάση απόκλισης εξόδου. Για να εξαλειφθεί η τάση απόκλισης εξόδου πρέπει να εφαρμόσουμε μια τάση  os , αυτή λέγεται τάση απόκλισης εισόδου.


Ρεύμα πόλωσης εισόδου είναι η μέση τιμή των ρευμάτων πόλωσης της εισόδου ibn και ibp . Στην


ιδανική περίπτωση είναι μηδέν, όμως στους πραγματικούς τελεστικούς ενισχυτές είναι από 1n μέχρι 1 .


Ρεύμα απόκλισης εισόδου. Τα ρεύματα i p και in που εισέρχονται στις εισόδους του τελεστικού ενισχυτή, δεν είναι ίσα. Η διαφορά i p  in μεταξύ των ρευμάτων αυτών ονομάζεται ρεύμα απόκλισης εισόδου. Αυτό θα πρέπει στην ιδανική περίπτωση να είναι μηδέν. Στην πράξη όμως κυμαίνεται από 1 μέχρι μερικές εκατοντάδες n . Ρυθμός ανταπόκρισης και απόκριση συχνότητας. Ένας πραγματικός τελεστικός ενισχυτής δεν μπορεί να αποκριθεί στιγμιαία σε μια απότομη αλλαγή της τάσης εισόδου. Ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της τάσης εξόδου ονομάζεται ρυθμός ανταπόκρισης του τελεστικού ενισχυτή. Για παράδειγμα, ένας τελεστικός ενισχυτής με ρυθμό ανταπόκρισης 1V s απαιτεί τουλάχιστον 20s για να πάει από

 out  10V

στο  10V . Αυτό σημαίνει ότι ο τελεστικός ενισχυτής δεν μπορεί να ακολουθήσει ημιτονοειδή απόκριση όταν η συχνότητα εισόδου υπερβαίνει ένα όριο. Δηλ. πάνω από αυτή τη συχνότητα η έξοδος γίνεται σήμα τριγωνικό. Σχ. 3.17 Διαμορφώσεις τελεστικών ενισχυτών.

Λόγος απόρριψης κοινού σήματος. Όταν έχουμε

 p   n σε έναν ιδανικό τελεστικό ενισχυτή, τότε    p  n   0 , που σημαίνει τέλεια απόρριψη του

κοινού σήματος εισόδου. Όμως αν εφαρμόσουμε  p   cm και  n   cm σε έναν πραγματικό τελεστικό ενισχυτή, τότε θα έχουμε ένα ccm  cm cm . Το  cm ονομάζεται κέρδος κοινού σήματος. Ο λόγος απόρριψης κοινού σήματος CMRR  ορίζεται:

77

ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ 

CMRR 10  log cm 

2

σε decibels.


Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των τελεστικών ενισχυτών;

3.2

Ποιες είναι οι χρήσεις των τελεστικών ενισχυτών;

3.3

Ποιες «αλγεβρικές πράξεις» μπορούμε να τελέσουμε («εκτελέσουμε») μέσω των τελεστικών ενισχυτών;

3.4

Σε έναν τελεστικό ενισχυτή η ισχύς εξόδου είναι πολύ μεγαλύτερη από την ισχύ εισόδου. Από που αναπληρώνεται η διαφορά;

3.5

Ποιος είναι ο λόγος που στις πρακτικές εφαρμογές απαιτείται συνδεσμολογία ανατροφοδότησης στους τελεστικούς ενισχυτές;

3.6

Στον ιδανικό μετασχηματιστή ποια ισχύς είναι μεγαλύτερη της εισόδου ή της εξόδου και γιατί;

3.7

Ο μετασχηματιστής μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο συνεχές και γιατί;


Χρησιμοποιήστε το μοντέλο του ιδανικού τελεστικού ενισχυτή για να δείξετε ότι ο ακόλουθος τάσης έχει o / i  1 .

3.2

Στο κύκλωμα του Σχ. Α3.2 να δείξετε ότι η τάση  o (t ) είναι γραμμικός συνδυασμός των τάσεων e1 t  και e2  t  , δηλαδή o (t )  e1 (t )  e2 (t ) , όπου  και  σταθερές που εξαρτώνται από τα R1 , R2 ,  και R .

ib

μib

R1 R2

e1(t) +

R

e2(t) +

υο(t)

Σχ. A3.2

3.3

Δείξτε ότι το κύκλωμα του Σχ. Α3.3 είναι ένας αναστρέφων ενισχυτής ρεύματος με i  io is   RF  R1  R1 ανεξάρτητο των Rs και RL , με την υπόθεση ότι ο τελεστικός ενισχυτής είναι ιδανικός.



78 RF

-

RL

RS

is

+

io

R1

Σχ. A3.3

3.4

Σχεδιάστε το  o σαν συνάρτηση του  i για έναν αναστρέφοντα ενισχυτή με

RF  4 , R1  1 και VCC  10V .

3.5

Στο κύκλωμα του Σχ. Α3.5 να υπολογιστεί ο λόγος

 o (t )

et 

.

g μe(t) RL

+ e(t) +

υο(t)

rp

Σχ. A3.5

3.6

Το σχήμα Α3.6 δείχνει έναν μετατροπέα τάσης σε ρεύμα και Rm παριστάνει την εσωτερική αντίσταση ενός αμπερόμετρου. Δείξτε ότι i F σε m είναι ίσο με  i σε Volts και βρείτε το  o συναρτήσει του  i .

+ υi

1 kΩ

Rm iF

Σχ. A3.6

υo

79

ΔΙΘΥΡΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΤΕΛΕΣΤΙΚ ΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ

3.7

Στο Σχ. Α3.7 φαίνεται ένας μετατροπέας αρνητικής αντίστασης. Να δειχθεί ότι

i ii

  RL .

RL ii +

υi υi

R

R

υo

Σχ. A3.7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 3.8

Το Σχ. Α3.8 παριστάνει ένα κύκλωμα εξόδου ενός ενισχυτή ακουστικής συχνότητας. Η αντίσταση των 20 παριστάνει ένα μεγάφωνο. Για την βελτίωση της λειτουργίας (μέγιστη μεταβίβαση ισχύος) στους ακροδέκτες εξόδου α, β του ενισχυτή, πρέπει να συνδέεται φορτίο 500 . Να βρεθεί ο λόγος σπειρών του μετασχηματιστή που πρέπει να παρεμβληθεί μεταξύ του ενισχυτή και του μεγαφώνου.

α Ενισχυτής 20 Ω β Σχ. A3.8

3.9

3.10

Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τελεστικό ενισχυτή που να παρέχει στην έξοδο out  3 1  2  5 3  , όταν οι τρεις πηγές εισόδου έχουν Rs  50 . Σχεδιάστε ένα κύκλωμα τελεστικού ενισχυτή που να παράγει o    2 s1  s 2  , με  πρακτικά όσο το δυνατόν μεγαλύτερο. Οι πηγές σήματος έχουν

Rs1  100 ,  s 2 (t )  0.5V και Rs 2  80 .



 s1 (t )  0.2V ,

80 3.11

Ένα θερμοζεύγος είναι στοιχείο δύο ακροδεκτών που παράγει μια μικρή τάση ανάλογη της θερμοκρασίας. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να σχεδιάσουμε έναν αυτοματισμό που θα ανοίγει το διακόπτη ενός ηλεκτρικού βραστήρα όταν η θερμοκρασία φθάνει τους 1000 C . Το διαθέσιμο θερμοζεύγος παράγει τάση 6mV για κάθε 10 C αύξησης της θερμοκρασίας και για να λειτουργήσει το ρελαί που ανοίγει τον διακόπτη χρειάζεται 5V , ενώ η τάση στην έξοδο του θερμοζεύγους είναι 0V όταν η θερμοκρασία είναι 0 0 C . Να σχεδιασθεί ένα κύκλωμα με τελεστικό ενισχυτή για να διεγείρει το ρελαί.

3.12

Σχεδιάστε ένα κύκλωμα τελεστικού ενισχυτή που έχει κέρδος –60 με την χρήση αντιστάσεων μεγαλύτερων των 1 α) Επιλέξτε το κύκλωμα του τελεστικού ενισχυτή β) Υπολογίστε τις τιμές των αντιστάσεων.

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ i

i C

υ

L

Σ ΤΟΧΟΙ :

υ

 Ορισμός και συμπεριφορά των δυναμικών στοιχείων: πυκνωτής και πηνίο.  Κυκλώματα που η συμπεριφορά τους στη μεταβατική κατάσταση περιγράφεται από διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ή κυκλώματα πρώτης τάξης.  Κυκλώματα δεύτερης τάξης.  Διαδικασία επίλυσης κυκλωμάτων στη μεταβατική κατάσταση. Διαφορικοί τελεστές και προσδιορισμός της διαφορικής εξίσωσης ενός κυκλώματος.

4

83

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

4.1 Εισαγωγή Δυναμικά στοιχεία ή στοιχεία μνήμης είναι εκείνα τα ηλεκτρικά στοιχεία των οποίων η στιγμιαία τιμή της απόκρισης δεν εξαρτάται μόνο από την τιμή της εισόδου της ίδιας χρονικής στιγμής, αλλά και από την προϊστορία της λειτουργίας του στοιχείου. Τέτοια στοιχεία είναι ο πυκνωτής και η αυτεπαγωγή. Τα στοιχεία αυτά αποθηκεύουν ενέργεια από ένα κύκλωμα και σε κάποιο άλλο χρονικό διάστημα την αποδίδουν στο κύκλωμα. Τα κυκλώματα που περιέχουν στοιχεία μνήμης ή δυναμικά στοιχεία, έχουν συμπεριφορά που εν γένει περιγράφεται με διαφορικές εξισώσεις. Όταν μεταβληθεί η κατάσταση του κυκλώματος (π.χ. άνοιγμα ενός διακόπτη) το κύκλωμα οδηγείται σε μια νέα μόνιμη κατάσταση. Η συμπεριφορά από τη μια μόνιμη κατάσταση στην άλλη ονομάζεται μεταβατική κατάσταση ή μεταβατική απόκριση. Η ανάλυση των κυκλωμάτων στην μεταβατική κατάσταση είναι χρήσιμη για τον υπολογισμό της αντοχής σε βραχυκύκλωμα. Επίσης στο σχεδιασμό συστημάτων προστασίας από υπερτάσεις, φίλτρων, γεννητριών κυμματομορφών και ανορθωτών. Η παρουσίαση θα αρχίσει από απλά κυκλώματα πρώτης τάξης και θα καταλήξει σε πιο σύνθετα κυκλώματα δεύτερης τάξης ώστε να γίνει κατανοητή η φυσική σημασία και ποιοτική αιτιολόγηση των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από την μαθηματική ανάλυση. Η ανάλυση θα περιορισθεί σε γραμμικά και χρονικά σταθερά κυκλώματα.

Εμβαδόν Α d

Διηλεκτρικό

4.2 Πυκνωτής και χωρητικότητα Πυκνωτής είναι ένα στοιχείο κυκλώματος, που αποθηκεύει ενέργεια σε ηλεκτρικό πεδίο, αλλά δεν την καταναλώνει. Ένας τυπικός φυσικός πυκνωτής αποτελείται από δυο αγώγιμες πλάκες ή επιφάνειες, που χωρίζονται από ένα διηλεκτρικό μονωτικό υλικό, όπως φαίνονται στο Σχ. 4.1, και το οποίο επιτρέπει την αποθήκευση ηλεκτρικού φορτίου και ενέργειας στο ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των πλακών. Ο ιδανικός πυκνωτής είναι μια εξιδανίκευση του φυσικού πυκνωτή, όπου υποθέτουμε ότι το διηλεκτρικό είναι τέλειο μονωτικό και δεν παρουσιάζει διαρροή φορτίου μεταξύ των πλακών. Όπως είναι γνωστό από την φυσική, το φορτίο qt  που συσσωρεύεται στις αγώγιμες

πλάκες του πυκνωτή, εξαρτάται από την τάση  t  που εφαρμόζεται στους ακροδέκτες του πυκνωτή.



Σχ. 4.1

Τυπικός πυκνωτής.

84 qt   f  t 

(4.1)

Αν η συνάρτηση f   είναι γραμμική και ο συντελεστής αναλογίας είναι αμετάβλητος με το χρόνο, τότε η Εξ. (4.1) γίνεται

qt   C  t 

(4.2)

Η σταθερά C της αναλογίας είναι η χωρητικότητα του πυκνωτή και μετριέται σε Farads (F):

1F 

1Cb 1Cb s 1    1  s V 1V 1V s 1V s

Το farad είναι μια πάρα πολύ μεγάλη ποσότητα χωρητικότητας γι αυτό σε πρακτικές εφαρμογές η χωρητικότητα εκφράζεται σε microfarads ( 6 1F  10 F ). Για παράδειγμα, η χωρητικότητα του πυκνωτή στο Σχ. 4.1 είναι

C    d

(4.3)

όπου  είναι το εμβαδόν των πλακών d , η απόστασή τους και  η διηλεκτρική σταθερά του υλικού μεταξύ των πλακών. Ένα τυπικό διηλεκτρικό όπως η 11 μίκα έχει   6 10 F m , έτσι πλάκες ενός τετραγωνικού μέτρου απέχουσες 1mm αντιστοιχούν σε χωρητικότητα

C  6 1011 1 103  6 108 ή 0,06F . Σχ. 4.2

Πραγματικοί πυκνωτές.

Οι κοινοί πυκνωτές του εμπορίου έχουν 12 χωρητικότητα από μερικά pF ( 1 pF  10 F ) μέχρι μερικές χιλιάδες F . Οι μεγάλες τιμές πετυχαίνονται με την περιτύλιξη στρώσεων αλουμινίου σε κυλινδρική μορφή. Επίσης κατασκευάζονται και ηλεκτρολυτικοί πυκνωτές. Στο Σχ. 4.2 φαίνονται πυκνωτές, που χρησιμοποιούνται σε διάφορες συσκευές. Χωρητικότητα μπορεί να παρουσιαστεί και μεταξύ δύο οποιωνδήποτε αγώγιμων επιφανειών. Όταν αγωγοί πλησιάζουν μεταξύ τους, όπως στα καλώδια ή σε μια ηλεκτρονική συσκευή, η δημιουργημένη χωρητικότητα μπορεί να έχει σημαντική επίδραση στη συμπεριφορά του κυκλώματος. Αυτή ονομάζεται παρασιτική χωρητικότητα, και μερικές φορές δημιουργεί σοβαρά προβλήματα.

85

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Αποθήκευση ενέργειας Αν υποθέσουμε ότι εφαρμόζουμε προς στιγμή μια πηγή τάσης στους ακροδέκτες του πυκνωτή, τότε θα συσσωρευτεί φορτίο q  C   στην θετική πλάκα και ίσο και αντίθετο φορτίο στην αρνητική πλάκα. Το έργο w που χρειάστηκε από την πηγή για να φορτιστεί ο πυκνωτής υπολογίζεται ως εξής, με βάση τον ορισμό της τάσης



dw dq

και την σχέση (4.2)

dw    dq 

q 1 1   dq   d  q 2  C C 2 

άρα

q2 1 w   C  2 2C 2

(4.4)

Το έργο αυτό είναι ισοδύναμο με την αποθηκευμένη ενέργεια στον πυκνωτή. Στον ιδανικό πυκνωτή αυτό το φορτίο και η ενέργεια παραμένουν αποθηκευμένα μέχρι που να συνδεθεί ο πυκνωτής με μια συσκευή κατανάλωσης (π.χ. μια αντίσταση). Επόμενα οι πυκνωτές είναι χρήσιμοι για σημειακή ηλεκτροσυγκόλληση, ηλεκτρονικά φλας κ.λ.π. που απαιτούν στιγμιαία μεγάλη εκφόρτιση ενέργειας και προσφέρεται σχετικά μικρό χρονικό διάστημα για επαναφόρτιση. Το σύμβολο του πυκνωτή και οι φορές αναφοράς της τάσης και του ρεύματος με βάση την σύμβαση παθητικού προσήμου φαίνονται στο Σχ. 4.3.

i υ

Σχ. 4.3

C

Το σύμβολο του πυκνωτή και οι συμβατικές φορές αναφοράς.

Πυκνωτής

Ρεύμα – Τάση Με βάση τον ορισμό του παραγωγίσουμε την Εξ. (4.2), τότε

it  

ρεύματος,

αν

dqt  d t   C dt dt

που συνήθως γράφεται

i  C

d dt


(4.5)


iC

d dt

86 Εδώ υπονοείται ότι το ρεύμα και η τάση γενικά είναι μεταβλητές με το χρόνο. Αν ολοκληρώσουμε την προηγούμενη εξίσωση: t

1  t    i dt C 

Επόμενα η τάση στους ακροδέκτες ενός πυκνωτή είναι το αποτέλεσμα όλης της προϊστορίας της διέλευσης του ρεύματος διαμέσου του πυκνωτή, δηλ. από t   μέχρι την χρονική στιγμή t που μετράμε την τάση  t  . Με άλλα λόγια ο πυκνωτής «θυμάται» την προϊστορία των τιμών του ρεύματος. Η ικανότητα αυτή μνήμης σχετίζεται άμεσα με την αποθήκευση ενέργειας.

i(t) I

0

T

t

Μια πιο χρήσιμη έκφραση της τάσης είναι

(α)

t

1  t   V0   i dt , C 0

υ(t) IT V0  C

t0

(4.7)

όπου

V0 T

t

(β) Σταθερό ρεύμα και η αντίστοιχη τάση σε μορφή ράμπας.

0

V0   0    i dt 

0

Σχ. 4.4

(4.6)



είναι η αρχική τιμή της τάσης, τη στιγμή t  0  . Για παράδειγμα, αν ένα σταθερό ρεύμα  περάσει από τον πυκνωτή για χρόνο 0  t   , τότε η τάση θα είναι

 t   V0 

 t C

που είναι μια ράμπα όπως φαίνεται στο Σχ. 4.4β.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.1 Να βρεθεί η κυμματομορφή της τάσης στους ακροδέκτες ενός πυκνωτή όταν η κυμματομορφή του ρεύματος είναι ορθογωνικός παλμός του Σχ. Π.4.1α. Λύση: Αν V0  0 τότε

 t     t C για 0  t   Επόμενα τη χρονική στιγμή

87


i(t) I (α) 0

2T

T

3T

4T

t

-I υ(t) (β)

IT C

0

2T

T

3T

4T

t

Σχ. Π4.1.

t είναι       C Στο επόμενο διάστημα θα είναι

i t    έτσι θα έχουμε γραμμική μεταβολή με αρνητική κλίση στην τάση  t  , με βάση τη σχέση

 t      C -  C  ∙ t    για   t  2 . Αν θέσουμε t  2 , τότε  2   0 . Παρατηρούμε ότι η τάση είναι μια τριγωνική κυμματομορφή, που φαίνεται στο Σχ. Π.4.1β. Συνθήκη συνέχειας και η συμπεριφορά στο συνεχές ρεύμα (σταθερή τάση) Η ανάλυση των κυκλωμάτων στην μεταβατική κατάσταση θα στηριχθεί στην συνθήκη της συνέχειας και στην συμπεριφορά των δυναμικών στοιχείων στο συνεχές ρεύμα. Από την Εξ. (4.7), για t  0  προκύπτει 0

1  0    0    i t  dt C 0 



Αν i t    , όπου  πεπερασμένη σταθερά, που σημαίνει ότι το ρεύμα είναι φραγμένη συνάρτηση, τότε ο



88 δεύτερος όρος του αθροίσματος ισούται με μηδέν. Επόμενα

 0    0    0

(4.8)

Η εξίσωση αυτή παριστάνει την συνθήκη της συνέχειας της τάσης στα άκρα του πυκνωτή. Επειδή δε η επιλογή της χρονικής στιγμής t  0 είναι αυθαίρετη, η Εξ. (4.8) ισχύει για κάθε t  t0 . Επόμενα

t=0

   

 t0    t0    t0 

R i

V0

+

υ

C

Πρακτικά το ρεύμα είναι συνάρτηση φραγμένη, όταν μεταξύ δύο πυκνωτών ή πυκνωτή και πηγής παρεμβάλλεται μία τουλάχιστον αντίσταση, όπως  φαίνεται στο Σχ. 4.5α, όπου  0  0 . Στην αντίθετη

(α) t=0

 

i V0

+

C

Άρα, όταν το ρεύμα είναι συνάρτηση φραγμένη, η τάση στους ακροδέκτες του πυκνωτή είναι συνάρτηση συνεχής.

υ

περίπτωση το ρεύμα τείνει στο άπειρο για 0  t  0 ,  όπως φαίνεται στο Σχ. 4.5β, όπου  0  0 , αφού η φόρτιση του πυκνωτή γίνεται ακαριαία, δηλ. αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη  0   V0 , όπως προκύπτει από το νόμο των τάσεων του Kirchhoff. Αντίθετα στο κύκλωμα 4.5α το ρεύμα δεν μπορεί να τείνει στο άπειρο γιατί η τάση στα άκρα της αντίστασης μετά το κλείσιμο του διακόπτη θα έτεινε στο άπειρο, γεγονός που είναι ασυμβίβαστο με το νόμο των τάσεων.

 

 

(β) Σχ. 4.5

Φόρτιση πυκνωτή σε κύκλωμα. α) με αντίσταση β) χωρίς αντίσταση

Η συμπεριφορά του πυκνωτή στο συνεχές ρεύμα, ή σωστότερα υπό σταθερή τάση όταν μηδενιστούν τα μεταβατικά φαινόμενα (μόνιμη κατάσταση) προκύπτει από την Εξ. (4.5) θέτοντας όπου  t   V0

it   C 

dV0 0 dt

(4.9)

Σ’ ένα κλάδο το ρεύμα είναι πάντα μηδέν, όταν υπάρχει ανοικτοκύκλωμα. Επόμενα, στη μόνιμη κατάσταση ενός κυκλώματος συνεχούς, ο πυκνωτής συμπεριφέρεται σαν ανοικτό κύκλωμα ( i t   0 ). Ισοδύναμη χωρητικότητα

89

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η ισοδύναμη χωρητικότητα δυο πυκνωτών χωρητικότητας C1 και C 2 που συνδέονται παράλληλα δίνεται από τη σχέση

Ceq  C1  C2

i i

(4.10)

Ceq 

C1  C2 C1  C2

Μαγνητικό πεδίο

(4.11)

(α)

4.3 Πηνίο και αυτεπαγωγή

Σχ. 4.6

Ένα ιδανικό πηνίο (στοιχείο αυτεπαγεγωγής) αποτελείται από ένα αγώγιμο τύλιγμα σύρματος μηδενικής αντίστασης όπως αυτό που φαίνεται στο Σχ. 4.6α. Τα πηνία αποθηκεύουν ενέργεια στο μαγνητικό τους πεδίο. Η μαγνητική ροή  t  εξαρτάται από το ρεύμα i t  που διαρρέει το πηνίο, και η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών ονομάζεται χαρακτηριστική του πηνίου.

Αν η χαρακτηριστική είναι γραμμική συνάρτηση και αμετάβλητη με το χρόνο τότε,

 t   L  it 

(4.12)

όπου L είναι ο συντελεστής αυτεπαγωγής ή απλά η αυτεπαγωγή του πηνίου και μετριέται σε Henrys (H). Η μονάδα της αυτεπαγωγής αντιστοιχεί

 1sec  1  1V    1  Όταν το μήκος του πηνίου είναι πολύ μεγαλύτερο από την διάμετρό του, αποδεικνύεται ότι

L  

2   h

(4.13)

όπου  είναι η μαγνητική διαπερατότητα του πυρήνα του πηνίου,  ο αριθμός των σπειρών,  η διατομή του πηνίου και h το μήκος του πηνίου. Οι πρακτικές τιμές της αυτεπαγωγής κυμαίνονται μεταξύ H 10 6  και μερικών  . Οι μεγαλύτερες τιμές απαιτούν πολλές σπείρες (  ) και μεγάλη τιμή μαγνητικής διαπερατότητας που επιτυγχάνεται με την








L

και στην περίπτωση σύνδεσης σε σειρά


(β) Ιδανικό πηνίο και το κυκλωματικό σύμβολό του.

Πηνίο

L

di dt

90 διέλευση της ροής μέσω μαγνητικών υλικών (πυρήνας του πηνίου). Σύμφωνα με το νόμο του Faraday η επαγόμενη τάση δίνεται από

 t  

d t  dt

οπότε με την παραγώγιση της Εξ. (4.12) βρίσκουμε

 t   L 

dit  dt

(4.14)

Οι φορές αναφοράς της τάσης και του ρεύματος και το σύμβολο του πηνίου φαίνονται στο Σχ. 4.6β. Σταθερό ρεύμα δεν προκαλεί διαφορά δυναμικού στους ακροδέκτες του πηνίου, όμως αν το ρεύμα είναι μεταβλητό με το χρόνο αναπτύσσεται τάση διάφορη του μηδενός. Από την Εξ. (4.14) προκύπτει ότι t

1 i t     dt L 

(4.15)

Μια πιο χρήσιμη σχέση είναι:

it    0 

t

1  dt , L 

t  0

(4.16)

όπου  0 είναι το αρχικό ρεύμα. Από την Εξ. (4.15) προκύπτει ότι η αυτεπαγωγή «θυμάται» τις παρελθούσες τιμές της εφαρμοζόμενης τάσης. Επίσης παρατηρούμε ότι σταθερή τάση  t   V εφαρμοζόμενη για t  0 δίνει ρεύμα που αυξάνει γραμμικά

it    0 

V t , L

t  0

Εύκολα αποδεικνύεται ότι αποθηκεύεται στο πηνίο δίνεται από

w

1  L  i2 2

η ενέργεια που

(4.17)

Ένα πραγματικό πηνίο δεν μπορεί να κρατήσει την ενέργεια όπως μπορεί ένας πυκνωτής. Η διατήρηση της ενέργειας απαιτεί βραχυκύκλωση των ακροδεκτών του

91

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ πηνίου. Όμως ένα πραγματικό πηνίο έχει πάντα σημαντική αντίσταση στα τυλίγματά του και γι αυτό το ρεύμα εξασθενεί πάρα πολύ γρήγορα και η μαγνητική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική.

Τύλιγμα έναυσης

i Ακροδέκτες “μπουζί”

υ

Ένα παράδειγμα εφαρμογής της αποθήκευσης επαγωγικής ενέργειας είναι το σύστημα έναυσης του καυσίμου στη μηχανή του αυτοκινήτου, όπως φαίνεται απλοποιημένο στο Σχ. 4.7. Ο διακόπτης («πλατίνες») είναι αρχικά κλειστός για να αποκαταστήσει ένα ρεύμα

Μπαταρία

V

L

+

“Πλατίνες”

C

i  V t L διαμέσου της αυτεπαγωγής που είναι το πρωτεύον σε ένα μετασχηματιστή ανύψωσης τάσης ονομαζόμενο πηνίο έναυσης (“πολλαπλασιαστής”). Έτσι μετά από  δευτερόλεπτα στο μαγνητικό πεδίο αποθηκεύεται ενέργεια

Σχ. 4.7

w  1 2 L  i 2  V 2  2 2  L Αν ο διακόπτης ανοίξει, το ρεύμα πέφτει απότομα στο μηδέν και σύμφωνα με την Εξ. (4.14) παράγει μια μεγάλη μεταβολή της τάσης, που μετατρέπεται σε μια πολύ μεγαλύτερη τάση στα άκρα του δευτερεύοντος του μετασχηματιστή. Έτσι δημιουργείται τάση ικανή να προκαλέσει σπινθήρα στο «μπουζί», που είναι δυο ακροδέκτες πολύ κοντά μεταξύ τους και συνδέονται στους ακροδέκτες του δευτερεύοντος. Συνθήκη συνέχειας και συμπεριφορά σε συνεχές Με διαδικασία αντίστοιχη με αυτήν που παρουσιάσθηκε για τον πυκνωτή, με βάση την Εξ. (4.16), προκύπτει ότι το ρεύμα στο πηνίο είναι συνάρτηση συνεχής, όταν η χρονική συνάρτηση της τάσης είναι φραγμένη:

i t0   i t0   i t0 

(4.18)

και για t 0  0 , όπως θα εφαρμοσθεί στην επίλυση των κυκλωμάτων

i 0   i 0   i 0

(4.18α)

Ο ιδανικός πυκνωτής και το ιδανικό πηνίο έχουν εντελώς αντίστροφη συμπεριφορά όταν λειτουργήσουν σε δίκτυο συνεχούς. Ο ιδανικός πυκνωτής συμπεριφέρεται σαν ανοικτός διακόπτης ( it   0 ),



Σύστημα έναυσης κινητήρα αυτοκινήτου.

92 ενώ το ιδανικό πηνίο βραχυκύκλωμα (  t   0 ).

συμπεριφέρεται

σαν

Ισοδύναμη και αμοιβαία επαγωγή

i1

Μ

Αποδεικνύεται εύκολα ότι όταν δύο πηνία αυτεπαγωγής L1 και L2 συνδεθούν σε σειρά, η ισοδύναμη αυτεπαγωγή δίνεται από τη σχέση

i2

υ1

υ2

Leq  L1  L2

(4.19)

Επίσης όταν συνδεθούν παράλληλα, τότε

L1

Σχ. 4.8

L2

Αμοιβαία επαγωγή.

Leq 

L1  L2 L1  L2

(4.19α)

Όταν τα μαγνητικά πεδία δύο πηνίων αλληλοεπηρεάζονται, η αλληλοεπίδραση αυτή εκφράζεται από την αμοιβαία επαγωγή  που φαίνεται στο Σχ. 4.8. Η συνολική τάση στους ακροδέκτες των πηνίων τότε δίνεται από τις σχέσεις

1  L1 

di1 di  2 dt dt (4.20)

2  L2 

di2 di  1 dt dt

Το θετικό σύμβολο λαμβάνεται όταν η συμβατική φορά του ρεύματος δείχνει ότι το ρεύμα εισέρχεται από τους ακροδέκτες που έχουν τις τελείες όπως φαίνεται στο Σχ. 4.8, αλλιώς παίρνουμε το αρνητικό πρόσημο.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.2 Πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L  1 διαρρέεται από ρεύμα με κυμματομορφή, που φαίνεται στο Σχ. Π. 4.2α. Να σχεδιασθεί η κυμματομορφή της τάσης, της ισχύος και της αποθηκευμένης ενέργειας.

93

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Λύση:

Η χρονική συνάρτηση του ρεύματος είναι

i, Α

it   2  t  , 0  t  5sec

I0

0

i t   10  , 5sec  t  15sec

T

2T (α)

3T

4T t, sec

it   2  t  40  , 15sec  t  20 sec α) Από την σχέση

υ, V

 t   L 

LI0 T

dit  dt

προκύπτει

t, sec 

 t   0 , 5sec  t  15sec

LI0 T

 t   2 , 15sec  t  20 sec

(β)

Η γραφική παράσταση της  t  φαίνεται στο Σχ. Π4.2β.

p, W LI0 T

 t   2 , 0  t  5sec

2

β) Από την σχέση

pt    t  it 

t, sec 

LI0 T

2

(γ)

και με πολλαπλασιασμό των συναρτήσεων κατά τμήματα προκύπτει η γραφική παράσταση του Σχ. Π4.2γ. γ) Από την σχέση

w, joules

1 2 LI 0 2

w

T

2T

(γ)

3T

4T

t, sec

Σχ. Π4.2.

4.4 Απόκριση κυκλωμάτων πρώτης τάξης με μηδενική είσοδο Ένα κύκλωμα που αποτελείται από μια ή περισσότερες αντιστάσεις και έναν πυκνωτή ή ένα πηνίο, ονομάζονται κυκλώματα πρώτης τάξης RC ή RL αντίστοιχα και η συμπεριφορά τους παριστάνεται από μια γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές.



1  L  i2 2

προκύπτει η αποθηκευμένη ενέργεια της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο Σχ. Π4.2δ.

94 α

V0

i=0

R

i

β

+

Η απόκριση κυκλωμάτων με μηδενική είσοδο (ή φυσική απόκριση), αναφέρεται στην εύρεση των ρευμάτων και τάσεων σε ένα κύκλωμα πρώτης τάξης που προκαλούνται από την αποθηκευμένη ενέργεια στο πηνίο ή στον πυκνωτή. Ενώ εξαναγκασμένη απόκριση έχουμε στην περίπτωση που οι τάσεις και τα ρεύματα προκαλούνται από πηγή που συνδέεται στο κύκλωμα.

υ

C

(α) Ri(0+) α

V0

+

Φυσική απόκριση RC κυκλώματος

i(0+)

(β)

Ας θεωρήσουμε ένα απλό RC κύκλωμα, όπως του Σχ. 4.9α. Στο κύκλωμα έχουν ορισθεί οι φορές αναφοράς του ρεύματος και της τάσης στον πυκνωτή, σύμφωνα με τη σύμβαση παθητικού προσήμου. Η επιλογή της φοράς αναφοράς του ενός από τα δύο μεγέθη έγινε αυθαίρετα.

t

Ο διακόπτης είναι στην θέση α για αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα, ώστε να φορτιστεί ο πυκνωτής σε τάση  0   V0 , ενώ το ρεύμα έχει μηδενιστεί. Τότε ο διακόπτης μεταφέρεται ακαριαία στην θέση β, αφαιρώντας την πηγή από το κύκλωμα. Για ευκολία θεωρούμε ότι η αλλαγή γίνεται τη στιγμή t  0 . Από την συνθήκη της συνέχειας της τάσης στον πυκνωτή (Εξ. (4.8)), τη χρονική στιγμή t  0  θα ισχύει

β

C υ(0+)=V0

υ(t)

i(t) 0

t

V0

0



V0 R

 

 0     0    V0

(γ) Σχ. 4.9

α) Ένα κύκλωμα RC σε φυσική απόκριση. β) Αρχικές συνθήκες για

t  0

γ) Κυματομορφές τάσης και ρεύματος

Όμως το ρεύμα στον πυκνωτή μπορεί να μεταβληθεί απότομα, δηλ. μπορεί να κάνει πήδημα ή να παρουσιάσει ασυνέχεια, και αυτό συμβαίνει για t  0 . Ας θεωρήσουμε το κύκλωμα του Σχ. 4.9β, όπου

   

 

 

R  i 0   0  0  i 0    0 R   V0 R

  

Το γεγονός ότι το ρεύμα i 0 είναι αρνητικό, σημαίνει ότι το ρεύμα ρέει με φορά αντίθετη του βέλους της φοράς αναφοράς και ότι ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται, καταναλώνοντας στην αντίσταση την αποθηκευμένη ενέργεια σαν θερμότητα. Ο πυκνωτής εκφορτίζεται παντελώς, καθώς το t τείνει στο άπειρο, οπότε

i   0 και    0

95

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Τα αποτελέσματα αυτά συμφωνούν με τη μορφή των  t  και i t  του Σχ. 4.9γ. Στο παρακάτω θα προσδιορίσουμε τις συναρτήσεις  t  και i t  . Το κύκλωμα του Σχ. 4.9δ παριστάνει το κύκλωμα του Σχ. 4.9α για t  0 και ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff δίνει

Ri α

R  i   0

V0

β

+

iC

d dt

C

Αντικαθιστώντας το ρεύμα από την Εξ. (4.5) βρίσκουμε

R  C  d dt     0

Σχ. 4.9δ Κύκλωμα του Σχ. 4.9α για

που περιγράφει τη συμπεριφορά του κυκλώματος, ή πιο συγκεκριμένα τη μορφή της συνάρτησης  t  . Η εξίσωση αυτή είναι ομογενής διαφορική πρώτης τάξης. Όπως είναι γνωστό από τα μαθηματικά, η λύση της διαφορικής εξίσωσης με αρχικές συνθήκες  0   V0 είναι

 

 t   V0  e

t RC


t  0.


t  0.


t  0.

(4.21)

Y0

Ως σταθερά χρόνου του κυκλώματος ορίζεται η ποσότητα:

  R C

(4.22)

y(t)

0.368Y0

Στο Σχ. 4.10 φαίνεται μια γενική συνάρτηση εκθετικής πτώσης

yt   Y0  e

0 t 

τ

2τ

3τ

0.007Y0 4τ 5τ t

(4.23)

που μπορεί να παριστάνει την i t  ή  t  . Η αρχική κλίση της y t  είναι ίση με

Σχ. 4.10 Γραφική παράσταση της εκθετικής πτώσης.

dy  t  Y  0 dt t 0  και η σταθερά χρόνου  δείχνεται γραφικά στο Σχ. 4.10. Η σταθερά χρόνου μας δείχνει το ρυθμό της εκθετικής μεταβολής. Μικρότερη σταθερά χρόνου, ταχύτερο πλησίασμα στην τελική τιμή. Παρόλο που η συνάρτηση είναι ασυμπτωτική, πρακτικά η τελική τιμή προσεγγίζεται για t  5 , όπως φαίνεται στο Σχ. 4.10.

Φυσική απόκριση RL κυκλώματος ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ

t  0.


υ

96 Σ’ ένα κύκλωμα RL, όπως αυτό του Σχ. 4.11(α), ο διακόπτης παραμένει ανοικτός για μεγάλο χρονικό διάστημα, αρκετό για την αποκατάσταση μηδενικής τάσης στους ακροδέκτες του πηνίου,  0   0 και

 

R i I0

t=0 L

i 0    0 . Μετά το κλείσιμο του διακόπτη, τα R και L σχηματίζουν ένα βρόχο χωρίς να παρεμβάλλεται η πηγή του ρεύματος, και από την συνθήκη συνέχειας του ρεύματος στο πηνίο (Εξ. (4.18α)) ισχύει 

υ

i 0    i 0     0

 0    R  i0    R0

(α) i(t) Ι0

έτσι η τάση  στους ακροδέκτες του πηνίου παρουσιάζει πήδημα στο t  0 . Στο κύκλωμα RL που διαμορφώνεται για t  0 αντιστοιχεί η διαφορική εξίσωση

0 υ(t)

L dit    it   0 R dt

t (β)

Η λύση της εξίσωσης δίνει

0

t

it    0  et  t  0 όπου   L R , κυκλώματος RL.

-RΙ0

 t   L

(γ) Σχ. 4.11 α) Κύκλωμα RL. β) κυμματομορφή ρεύματος γ) κυμματομορφή τάσης

η

σταθερά

(4.24) χρόνου

του

di(t )   0  R  e t  dt

Η χρονική συνάρτηση του ρεύματος και της τάσης φαίνονται στο Σχ. 4.11(β) και Σχ. 4.11(γ) αντίστοιχα. Διαδικασία επίλυσης κυκλωμάτων πρώτης τάξης με μηδενική είσοδο 

Ορίζουμε τις φορές αναφοράς των ρευμάτων και τάσεων, που είναι σταθερές για όλες τις καταστάσεις του κυκλώματος.



Υπολογίζουμε την τάση  C στον πυκνωτή ή το ρεύμα i L στο πηνίο για t  0  , πριν την αλλαγή της θέσης του διακόπτη. Επειδή το πηνίο και ο πυκνωτής φέρονται σαν βραχυκύκλωμα και ανοικτοκύκλωμα αντίστοιχα, το κύκλωμα, που προκύπτει για λύση, είναι ένα κύκλωμα με αντιστάσεις και πηγές συνεχούς.

97

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 

Από την συνθήκη της συνέχειας προκύπτουν οι αρχικές συνθήκες

 C 0     C 0   ή iL 0   iL 0 



Βρίσκουμε την διαφορική εξίσωση ως προς την τάση του πυκνωτή ή το ρεύμα του πηνίου. Η διαφορική εξίσωση είναι ομογενής πρώτης τάξης.



Από την λύση της διαφορικής εξίσωσης προκύπτει η τάση στον πυκνωτή ή το ρεύμα του πηνίου για t  0 :

C t   C 0  et  ή iL t   iL 0  et 

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.3 Στο κύκλωμα του Σχ. Π4.3, ο διακόπτης είναι στην θέση α για πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα. Την στιγμή t  0 , ο διακόπτης μετατοπίζεται ακαριαία στην θέση β. Να βρεθεί το ρεύμα και η τάση του πηνίου.

α

10Ω 20V

+

t=0

i Λύση:

β υ 1Ω

1H

Σχ. Π4.3.

10Ω i(0-) i(0-)

10Ω 20V

+

Ορίζουμε τη φορά αναφοράς του ρεύματος και της τάσης του πηνίου όπως φαίνεται στο Σχ. Π4.3. Οι φορές αναφοράς της τάσης και του ρεύματος στις αντιστάσεις θα είναι αντίστοιχες σε κάθε κατάσταση του κυκλώματος. Οι φορές αναφοράς δεν αλλάζουν παρά την μεταβολή των καταστάσεων του κυκλώματος.

υ(0-)=0 1Ω Σχ. Π4.3α

t  0 , Για το πηνίο συμπεριφέρεται σαν βραχυκύκλωμα επειδή η πηγή της τάσης είναι σταθερή. Οπότε

 0    0 και το κύκλωμα έχει

την μορφή του Σχ. Π4.3α που είναι ένα κύκλωμα με αντιστάσεις και πηγές συνεχούς. Από το νόμο των τάσεων του Kirchhoff προκύπτει

 20V  10  i0    0   0

 

άρα i 0  

   

20V  2 . Με βάση τη συνθήκη της συνέχειας i 0   i 0   2 . 10

Για t  0 το κύκλωμα λαμβάνει τη μορφή του Σχ. Π4.3β, σύμφωνα με το νόμο των τάσεων



98   1  i  0 και επειδή   L 

1 

i

10Ω +

υ

1Ω i

20V

1H

1Ω

di , τότε dt

di di  1  i  0   i  0 dt dt

Η σταθερά χρόνου είναι   1sec και η λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι

it   2  et  Σχ. Π4.3β

Η τάση θα είναι

 t   L 

di  2  e tV dt

4.5 Πλήρης απόκριση: Μεταβατικής και μόνιμης κατάστασης β i

iR iS(t)

α R

υ

C

Σχ. 4.12 Ο διακόπτης μεταφέρεται από το α στο β την στιγμή t  0 . Ο πυκνωτής είναι φορτισμένος σε τάση  0  V0 .



Η απόκριση ενός κυκλώματος σε πηγή (είσοδος) και στις αρχικές συνθήκες ονομάζεται πλήρης απόκριση του κυκλώματος. Σ’ αυτή την παράγραφο θα δείξουμε ότι για ένα κύκλωμα γραμμικό με σταθερούς συντελεστές πρώτης τάξης, η πλήρης απόκριση είναι το άθροισμα της απόκρισης στην είσοδο της πηγής και της απόκρισης που οφείλεται στις αρχικές συνθήκες. Η παραπάνω πρόταση προέρχεται από την επίλυση της διαφορικής που περιγράφει την συμπεριφορά του κυκλώματος πρώτης τάξης, όπως θα φανεί από την ανάλυση που ακολουθεί για το κύκλωμα του Σχ. 4.12. Η αντίσταση και ο πυκνωτής είναι συνδεδεμένα σε παραλληλία, οπότε στα άκρα και των δύο επικρατεί η τάση  . Ο πυκνωτής είναι αρχικά φορτισμένος,  0  V0 και ο διακόπτης μεταφέρεται ακαριαία από το α στο β την στιγμή t  0 . Από το νόμο των ρευμάτων

iR  i  is t  αντικαθιστώντας όπου i R  

R

και i  C 

d dt

προκύπτει

C

d    is t  , t  0 dt R

με αρχική συνθήκη

(4.25)


 0  V0 Οι δύο εξισώσεις περιγράφουν πλήρως την συμπεριφορά του κυκλώματος και η απόκριση προκύπτει από την επίλυσή τους. Είναι γνωστό από την θεωρία επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων ότι η πλήρης λύση  t  της μη ομογενούς διαφορικής εξίσωσης (Εξ. (4.25)), είναι το άθροισμα της λύσης   t  της ομογενούς

C

d    0, t  0 dt R

με αρχική συνθήκη

 0  V0 και της λύσης  F t  της μη ομογενούς

C

F dt



F R

 is t  , t  0

με μηδενική αρχική συνθήκη

 F 0  0 Η λύση της ομογενούς   t  ονομάζεται φυσική

απόκριση, ενώ η λύση  F t  ονομάζεται εξαναγκασμένη απόκριση, γιατί προκαλείται από την πηγή. Επομένως η πλήρης απόκριση του κυκλώματος δίνεται από

 t    F t    N t  , t  0

(4.26)

Παρακάτω θα παρουσιασθεί ο προσδιορισμός της πλήρους απόκρισης σε πηγές συνεχούς και εναλλασσόμενου. Μεταβατική απόκριση σε πηγές συνεχούς Θεωρείστε το κύκλωμα του Σχ. 4.13α, όπου η εφαρμοζόμενη τάση της πηγής αλλάζει ακαριαία (σε μηδενικό χρονικό διάστημα) από την τιμή Vi στην τιμή

V f κάποια χρονική στιγμή t  0 , αφού είχε μείνει στην θέση α για άπειρο χρόνο.



99

100 υ1

i

α t=0

γ

R1 Vi

Για t  0  ο πυκνωτής λειτουργεί ως ανοικτοκύκλωμα ( i  0 ) και από την επίλυση του κυκλώματος προκύπτει

β

+ Vf

+

C

R2

 0  

υ

Από την συνέχεια της τάσης ισχύει

δ

 0     0    V0

(α) υ(t)

Για t  0 ο διακόπτης είναι στην θέση β και για να προσδιορίσουμε την απόκριση του κυκλώματος θα πρέπει να βρούμε την διαφορική εξίσωση.

V0

Για διευκόλυνση της ανάλυσης του κυκλώματος του Σχ. 4.13α βρίσκουμε πρώτα το ισοδύναμο Thevenin ως προς τους ακροδέκτες γ, δ του μέρους του κυκλώματος που είναι αριστερά από τον πυκνωτή και παίρνουμε το ισοδύναμο κύκλωμα που φαίνεται στο Σχ. 4.14, όπου

VS 0

t (β)

Σχ. 4.13 α) RC κύκλωμα β) Μεταβατική απόκριση

R

Ri(t) i(t)

R VS

R2 Vi  V0 R1  R2

+ C

υ(t)

R1  R2 R2 και Vs  V f R1  R2 R1  R2

Σημειώστε ότι αυτή η μορφή του ισοδύναμου μπορεί να ληφθεί για κάθε κύκλωμα που αποτελείται από οποιονδήποτε αριθμό αντιστάσεων και ένα πυκνωτή. Οι φορές αναφοράς παραμένουν αμετάβλητες. Η διαφορική εξίσωση του κυκλώματος προκύπτει από το νόμο των τάσεων

R  i    Vs  R  C  Σχ. 4.14 Ισοδύναμο του κυκλώματος του Σχ. 4.13α.

d    Vs dt

που είναι μη ομογενής πρώτης τάξης, οπότε η πλήρης λύση αποτελείται από την λύση της ομογενούς

 N t     et  όπου   R  C και  είναι μια σταθερά, που υπολογίζεται από τις αρχικές συνθήκες. Η εξαναγκασμένη απόκριση είναι μια μερική λύση της μη ομογενούς

 F t   Vs που είναι και η τελική τιμή της τάσης του πυκνωτή, όταν το t τείνει στο άπειρο και έχει αποκατασταθεί η μόνιμη κατάσταση, δηλ. ο πυκνωτής

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ είναι ανοικτοκύκλωμα ( i  0 ). Επόμενα η πλήρης λύση είναι

 t     et   Vs , t  0 Το  υπολογίζεται από την αρχική συνθήκη

 0      Vs  V0 οπότε   V0  Vs άρα η τάση του πυκνωτή είναι

 t   V0  Vs  et   Vs

(4.27)

και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο Σχ. 4.13β. Αρχίζει με την τιμή  0  V0 και μειούμενη

εκθετικά, τείνει ασυμπτωτικά στην τιμή     Vs .

Με την ίδια διαδικασία, μπορούμε να λύσουμε κυκλώματα RL πρώτης τάξης, που αποτελούνται από αντιστάσεις, πηγές συνεχούς και ένα πηνίο (ή περισσότερα πηνία που μπορούν να αντικατασταθούν με ένα ισοδύναμο). Με βάση την Εξ. (4.27), μπορούμε να γενικεύσουμε την μεταβατική απόκριση σε ένα γενικό γραμμικό κύκλωμα πρώτης τάξης με σταθερά στοιχεία και είσοδο συνεχή για t  0 . Η απόκριση δίνεται από την σχέση

yt    y0  y   et   y

(4.28)

 

όπου y 0 είναι η αρχική συνθήκη y 0   y 0 και

y  η τελική τιμή lim y  t   y . t 

Επόμενα, για ένα γενικό γραμμικό κύκλωμα πρώτης τάξης με συνεχή είσοδο, η διαδικασία επίλυσης μπορεί να είναι η παρακάτω:  Ορισμός της φοράς αναφοράς των ρευμάτων και τάσεων.

 

  Υπολογισμός της αρχικής συνθήκης y 0 .

 Υπολογισμός της τελικής τιμής της μεταβλητής y   .  Υπολογισμός της ισοδύναμης αντίστασης R για τον προσδιορισμό της σταθεράς χρόνου από τις σχέσεις



101

102   R C ή  

L R

(4.29)

Όπως θα φανεί στα παραδείγματα, ο υπολογισμός της αρχικής συνθήκης και της τελικής τιμής γίνεται σε κύκλωμα που περιλαμβάνει μόνο αντιστάσεις και πηγές συνεχούς, αφού ο πυκνωτής παριστάνεται με ανοικτοκύκλωμα, ενώ το πηνίο με βραχυκύκλωμα. Απόκριση σε πηγές μεταβλητές με το χρόνο Αν υποθέσουμε ότι η πηγή V f του Σχ. 4.13α

αντικατασταθεί με μία πηγή μεταβλητής τάσης  f t  , τότε η πηγή του ισοδύναμου του Σχ. 4.14 είναι μεταβλητή με το χρόνο και ίση με

 s t  

R2  f t  R1  R2

Άρα η διαφορική εξίσωση γίνεται

R C 

d    s t  ,  0    V0 dt

και τότε η μερική λύση της διαφορικής είναι της μορφής  s t  και η λύση προσδιορίζεται με τα γνωστά από την θεωρία των διαφορικών εξισώσεων. (Βλέπε παράδειγμα 4.8)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.4 Να υπολογισθεί η απόκριση του κυκλώματος του Σχ. 4.14, όταν η τάση της πηγής είναι βηματική και ο πυκνωτής είναι αρχικά αφόρτιστος. Λύση:

VS

0.63VS

y(t)

0

τ

Σχ. Π4.4 Βηματική διέγερση και βηματική απόκριση

t

Μια ειδική περίπτωση μεταβατικής απόκρισης είναι η βηματική απόκριση, που είναι η συμπεριφορά ενός κυκλώματος που δεν έχει στοιχεία φορτισμένα, την στιγμή που μια πηγή σταθερής τάσης εφαρμόζεται απότομα. Η εξομοίωση αυτής της διαδικασίας γίνεται με την παρακάτω συνάρτηση

 0, t  0 s  t    Vs , t  0

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ που φαίνεται με παχιά γραμμή στο Σχ. Π4.4. Τη χρονική στιγμή t  0 η συνάρτηση  s t  είναι ασυνεχής. Επειδή η αρχική

συνθήκη είναι V0  0 και η τελική συνθήκη     Vs , με βάση την Εξ. (4.28) η απόκριση θα είναι

 t   Vs  1  et   t  0 Στο Σχ. Π4.4 φαίνεται η βηματική διέγερση με παχιά γραμμή και η βηματική απόκριση με λεπτή γραμμή.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.5 Επαναλάβετε το παράδειγμα 4.4 όταν η τάση της πηγής είναι ορθογωνικός παλμός. Λύση: Η μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων σε ορθογωνικό παλμό έχει μεγάλη σημασία στα ψηφιακά ηλεκτρονικά. Ένας ορθογωνικός παλμός διάρκειας  φαίνεται στο Σχ. VS Π4.5α. Για τους σκοπούς της ανάλυσης, μπορούμε να θεωρήσουμε αυτόν τον παλμό σαν άθροισμα δυο βηματικών VS t 0 Τ συναρτήσεων (κυμματομορφών): μια θετική βηματική στο t  0 και μια VS t αρνητική στο t   , όπως Τ t 0 φαίνονται στο Σχ. Π4.5β. Αν αθροίσουμε τις δυο βηματικές -VS συναρτήσεις, έχουμε τον ορθογωνικό παλμό. Η δεύτερη (α) (β) βηματική καθυστερεί χρονικό διάστημα  σε σχέση με την Σχ. Π4.5 α) Ορθογωνικός παλμός πρώτη. β) Οι δύο βηματικές συνιστώσες του παλμού

Η χρονική καθυστέρηση είναι μια σημαντική έννοια, γι αυτό θα επιμείνουμε περισσότερο στην κατανόησή της. Η καθυστέρηση μιας χρονικής συνάρτησης x t  κατά χρόνο  , κάνει όλη τη συνάρτηση να ολισθαίνει προς τα δεξιά και να παράγει μια νέα συνάρτηση που γράφεται x t    . Αντίστροφα η x t    σημαίνει ολίσθηση της x t  προς τα αριστερά κατά  . Θα εφαρμόσουμε την αρχή της υπέρθεσης για τον υπολογισμό της απόκρισης του κυκλώματος RC σε ένα ορθογωνικό παλμό. Ο πυκνωτής αρχικά δεν είναι φορτισμένος σε t  0 , οπότε η απόκριση σε παλμό αρχίζει όπως και στην περίπτωση της βηματικής διέγερσης

 t   Vs  1  et   , t  0 που διαρκεί μέχρι να τελειώσει ο παλμός στο t   . Αλλά έχουμε μοντελοποιήσει το τέλος του παλμού σαν μια βηματική με καθυστέρηση  και ύψος  Vs και η απόκριση μπορεί να



103

104 βρεθεί από την απόκριση στη βηματική διέγερση του παραδείγματος 4.4, αν θέσουμε όπου Vs το  Vs και όπου t το t   

 t   Vs  1  et    

t  

Η ολική απόκριση σε διέγερση παλμού είναι

 t    t    t  στην οποία το  t   0 για t   . Επόμενα, το τελικό αποτέλεσμα μπορεί να γραφεί σαν δυο συναρτήσεις

 t   Vs 1  et   , 0  t   και

 t   Vs  1  et    Vs  1  et     Vs  et     et   , t  

(Α)

Η πρώτη εξίσωση περιγράφει την μεταβατική συμπεριφορά για όλη την διάρκεια  του παλμού και η δεύτερη μετά το τέλος του παλμού. Δεύτερη Λύση: Θέτοντας σε κάθε μια από τις δυο προηγούμενες εξισώσεις t   , παίρνουμε την τιμή της απόκρισης στο τέλος του παλμού.

   Vs  1  e  

(Β)

Αυτή αποτελεί την αρχική συνθήκη για την εκφόρτιση του πυκνωτή, οπότε θέτοντας στην εξίσωση (4.28) y0   () ,

VS

Τ

0 τ

t

VS

(γ)

VSΤ/τ

VS

Τ

0 υ(T) Τ

0 (δ)

  

  ε)   

δ)

 t    T  et    , t   που παριστάνει την απόκριση του κυκλώματος για t   .

t (ε)

Σχ. Π4.5 Απόκριση σε παλμό κυκλώματος RC. γ)

t

y  0 και αντί για t το t-T επειδή η συνάρτηση είναι χρονικά μετατοπισμένη λαμβάνουμε:

Τα Σχ. Π4.5γ-ε δείχνουν την απόκριση σε παλμό για τρεις διαφορετικές τιμές της σταθεράς χρόνου  σε σχέση με την διάρκεια του παλμού  . Όταν    , η απόκριση ανέρχεται πολύ

105

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ γρήγορα και φτάνει ουσιαστικά την τελική τιμή του παλμού     Vs και μετά το τέλος του παλμού φθίνει πάλι πολύ γρήγορα, όπως φαίνεται στο Σχ. Π4.5γ. Όταν ισχύει    , η άνοδος και η πτώση της απόκρισης έχουν μικρότερο ρυθμό, όπως φαίνεται στο Σχ. Π4.5δ και η τιμή του    πρέπει να υπολογιστεί από την Εξ. (Β). Αν    , τότε

   Vs  1  e1   0.63Vs Όταν όμως    , τότε η γραφική παράσταση της ανόδου και της φθίνουσας πορείας είναι περίπου γραμμικές, όπως φαίνεται στο Σχ. Π4.5ε, δηλαδή

   Vs     Vs

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.6 t=0 γ 100V

iL(t)

α

Vαγ

10H

+

Vαβ

20Ω

5Ω β

Στο κύκλωμα του Σχ. Π4.6α, ο διακόπτης είναι κλειστός για άπειρο χρόνο και ανοίγει απότομα. Να βρεθεί το ρεύμα i L t  , η τάση στην αντίσταση των 20 και η τάση μεταξύ των επαφών του διακόπτη αμέσως μετά το άνοιγμα. Τέλος να βρεθεί ο ρυθμός απώλειας της ενέργειας του πηνίου 0.3sec μετά την διακοπή. Λύση:

Σχ. Π4.6α.

α) Ορίζουμε τις φορές αναφοράς όπως φαίνονται στο Σχ. Π4.6α. β) Αρχικές συνθήκες ( t  0  )

i L 0   

   

100  20 για t  0  , iL 0  iL 0  20 5

γ) Τελικές συνθήκες iL   0 δ) Σταθερά χρόνου  

L 10   0.4 sec R0  20  5

2,5t  ε) iL t   20  e

   400V

Η τάση V t   20  iL t   20  20  e2,5t  400  e2,5tV , άρα V 0



Vαβ(t) 100V 0.4sec

iL(t)

t

20Α

V 0 

-400 0.4sec


βρίσκεται

από το νόμο των τάσεων:

t

Σχ. Π4.6β

Η τάση στις επαφές του διακόπτη

Σχ. Π4.6γ Ν. ΑΣΠΡΑΓΚΑΘΟΣ

106  100  V 0   V 0   0  V 0   V 0   100  400  100  500V Ο ρυθμός απώλειας της ενέργειας του πηνίου υπολογίζεται από την παράγωγο της ενέργειας του πηνίου.

d WL t  d  1 di     L  iL2 t   L  L  iL  10000  e 5t t 3 sec  10000  e 1.5  2230Watt dt dt  2 dt 

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.7 Ο διακόπτης ήταν ανοιχτός για θεωρητικά άπειρο χρόνο και την χρονική στιγμή t  0 κλείνει. Να υπολογισθεί το ρεύμα i t  για t  0 .

i(t)

6kΩ

2kΩ

Λύση:

4kΩ

iC 36V

+

+

υC

100μF

12V

t=0

Σχ. Π4.7α

α) Ορίζουμε τις φορές αναφοράς που τις διατηρούμε αμετάβλητες στις αλλαγές του κυκλώματος

β) t  0 

i(0-)

36V

+

6kΩ

2kΩ

2kΩ i(0-)

iC(0-)=0 + 12V

υ(0-)

Σχ. Π4.7β

i 0   

36  12V 12

 2m ,

 36V  2  2m   0   0

 0   36V  4V  32V

   

4kΩ

  γ) t  0  ,  0   0  32V

107


6kΩ

2kΩ

4kΩ

6kΩ i(0+)

+

36V

i(0+)

+ 12V

υ(0+)

Σχ. Π.4.7γ

 

 

 

  0  6  i 0  0  i 0 

32V 16  m 6 3

δ) Υπολογισμός της σταθεράς χρόνου 

6kΩ

2kΩ

4kΩ

Req Σχ. Π.4.7δ

Req 

2   6  3   2  6 2 3 2

  Req  C  103 100 106  0.15 sec ε) t   ,

6kΩ

2kΩ

36V

+

i(  )

4kΩ

6kΩ i(  )

2kΩ i(  )

+ 12V

Σχ. Π.4.7ε

 36V  2  i  6  i  0

i   

36V 9  4.5m  m 8 2

 16 9  στ) it       e t  3 2





9  5 t 0.15 9    e  m 2 6 2



108 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.8





Στο κύκλωμα του Σχ. Π4.8α, η τάση της πηγής είναι ημιτονοειδής s t   170  cos 377  t  900 .

 

Η αρχική συνθήκη είναι i 0   0 . Να βρεθεί το ρεύμα i t  για t  0 . Λύση: Η ομογενής διαφορική εξίσωση του κυκλώματος είναι 0.1

di  12i  0 dt

οπότε η φυσική απόκριση του κυκλώματος είναι iN t     e120t Για την εξαναγκασμένη απόκριση έχουμε την μη ομογενή διαφορική

0.1



di  12  i  170  cos 337  t  900 dt



Η ειδική λύση είναι

iF t   170 40 cos337  t  900  720 

Επόμενα





it   iF t   iN t   4.25  cos 337  t  1620    e120t

 

  άρα it   4.25  cos377  t  162   4.04  e

 0 και επειδή i 0  4.25  cos  162    0 , τότε   4.04 , 0

120t

. Στο Σχ. Π4.8β φαίνονται οι δυο όροι της απόκρισης και η πλήρης απόκριση i t  .

t=0 12Ω i(t) +

Us

~

0.1Η

Παρατηρούμε ότι η φυσική απόκριση γίνεται ουσιαστικά μηδέν σε 40ms , χρόνο που αντιστοιχεί σε

υ(t)

5   5  1 120  40ms

(α)

4

0

-4

i(t)

iN(t)

10

30

20

40

t, ms

Γενικά, η απόκριση ενός γραμμικού με σταθερούς συντελεστές κυκλώματος σε ημιτονοειδή είσοδο, μετά την παρέλευση των μεταβατικών φαινομένων, είναι ημιτονοειδής.

iF(t) (β)

Σχ. Π4.8 Το RL κύκλωμα με ημιτονοειδή είσοδο και η απόκριση του i t  .

109


4.6 Μεταβατικά δεύτερης τάξης Όταν ένα κύκλωμα περιλαμβάνει δυο ή περισσότερα δυναμικά στοιχεία (πυκνωτές ή πηνία), τότε η συμπεριφορά του μπορεί να περιγραφεί από μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης. Στην παράγραφο αυτή θα μελετηθούν κυκλώματα δεύτερης τάξης. Οι τεχνικές ανάλυσης κυκλωμάτων δεύτερης τάξης μπορούν να επεκταθούν και σε κυκλώματα ανώτερης τάξης. Φυσική απόκριση Η φυσική απόκριση ενός δυναμικού συστήματος απαιτεί την εύρεση της διαφορικής εξίσωσης του συστήματος και τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση των κυκλωμάτων δεύτερης τάξης, η διαφορική εξίσωση θα έχει την γενική μορφή

yt   2    y t   02  yt   0

(4.30)

Η λύση της θα έχει την μορφή

yN t   1  e s1t  2  e s2t

(4.31)

όπου s1 , s 2 θα είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής του κυκλώματος

s 2  2    s  0  0 2

(4.32)

Το  είναι ο συντελεστής απόσβεσης και το  0 η φυσική συχνότητα. Οι σταθερές  1 ,  2 υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες

υL(t)

V

+

dy 0  s1  1  s2  2 dt

C

υ(t)

(α)

Ας θεωρήσουμε το κύκλωμα που αποτελείται από τα στοιχεία RLC, που είναι συνδεδεμένα σε σειρά, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.15α. Ο διακόπτης για μεγάλο χρονικό διάστημα συνδέει την πηγή με το κύκλωμα, ώστε να έχει αποκατασταθεί η μόνιμη κατάσταση. Ο διακόπτης αλλάζει θέση όταν t  0 (Σχ. 4.15β). Πριν από οποιονδήποτε υπολογισμό ορίζουμε τις φορές αναφοράς όπως φαίνονται στο Σχ. 4.15α. Για χρόνο t  0 , δηλ. αμέσως πριν την αλλαγή της θέσης του διακόπτη, το ρεύμα iN 0   0 και η τάση στα άκρα του πυκνωτή

 L (0  )

 R (0  )

iN(0+)

R V

+

   0   V . Επειδή ισχύει η συνέχεια της τάσης 

0

στα άκρα του πυκνωτή και του ρεύματος στο πηνίο, θα έχουμε παραγόμενες αρχικές συνθήκες συνέχειας


iΝ(t)

R

y N 0  1   2 (4.33)

υR(t)

t=0


C

(β) Σχ. 4.15 α) Κύκλωμα RLC β) Αρχικές συνθήκες

υ(0+)

110  0    V0 και iN 0   0

(4.34)

Όμως πρέπει να βρούμε και τις παραγόμενες αρχικές συνθήκες που απαιτούνται στη λύση της διαφορικής εξίσωσης του κυκλώματος. Το κύκλωμα του Σχ. 4.15β είναι σχεδιασμένο για t  0  . Η τάση στα άκρα του πηνίου για t  0  , βρίσκεται με την βοήθεια του νόμου των τάσεων του Kirchhoff

 L 0    R 0    0   0

  και  0   V

όπου  L 0  L 

diN  (0 ) , R 0   R  iN (0 ) dt



0

άρα

L

υL=L

diN (t ) dt

V

+

Η διαφορική εξίσωση προκύπτει από την εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff

iN(t) C

 

Το επόμενο βήμα είναι να βρούμε τη διαφορική εξίσωση για t  0 . Το κύκλωμα για t  0 φαίνεται στο Σχ. 4.16.

υR=RiN(t) R

 

di  di V 0  0  V0  0   0   0 dt dt L

 L t    R t    t   0

υC(t)

με μία διαφόριση και με αντικαταστάσεις, συναρτήσει του ρεύματος i t  , προκύπτει Σχ. 4.16 Το RLC κύκλωμα για

d 2i t  R di t  i t     0 dt 2 L dt L C

t  0.

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι

s 2  R L s  1 L  C   0 αν θέσω 2    R L και 0  1 L  C , τότε η χαρακτηριστική εξίσωση παίρνει την γενική μορφή

s 2  2    s  0  0 2

(4.35)

Για να υπολογίσουμε τους συντελεστές  1 ,  2 της λύσης, χρησιμοποιούμε τις αρχικές συνθήκες

iN 0    1   2  0 (4.36)

 

di  V 0  1  s1  2  s2   0 dt L

111

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Με τη λύση του γραμμικού αυτού συστήματος, υπολογίζονται οι τιμές των  1 και  2 . Η διερεύνηση της λύσης μας κάνει να διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: Α. Υπερασποσβενύμενη απόκριση (    0 ) Τότε οι πραγματικές

ρίζες

της

χαρακτηριστικής

s1    a 2   0 και s2    a 2   0 2

είναι 2

Τότε το σύστημα των αρχικών συνθηκών δίνει πραγματικές τιμές στα  1 και  2 .

0.2 0.2e-200t

Εφαρμογή: Ας

υποθέσουμε ότι R  100 , L  0.4 , C  250F και

V0  12V .

Τότε

30

iN(t) 0

5

προκύπτει ότι   125 και  0  100 , άρα

  0 .

20

10 -0.2e-50t

-0.2

Τότε

Σχ. 4.17 Υπεραποσβενύμενη απόκριση.

s1  50 και s2  200

και οι εξισώσεις (4.36) των αρχικών συνθηκών γίνονται

1   2  0 1   50  2   200   12 0.4 Λύνοντας βρίσκουμε

1  0.2 και  2  0.2 οπότε iN t   0.2  e50t  0.2  e200t A , t  0 , φαίνεται στο Σχ. 4.17, με την παχιά γραμμή.

που

Β. Υποαποσβενύμενη απόκριση (    0 ) Στην περίπτωση αυτή, η χαρακτηριστική Εξ. (4.35) θα έχει δυο ρίζες μιγαδικές συζυγείς με αρνητικά πραγματικά μέρη:

s1 , s2    j  ή s2  s1



t, ms

112 όπου     0   2 2

και η φυσική απόκριση παίρνει τη μορφή

yN t     et  cos   t   

η γραφική παράστασή της φαίνεται στο Σχ. 4.18.

ΥΝ(t) Α 2

N 0

(4.37)

1/α

t

Η απόκριση ονομάζεται υποαποσβενύμενη γιατί ο συντελεστής απόσβεσης είναι σχετικά χαμηλός, οπότε η κυμματομορφή εμφανίζει φθίνουσα ταλάντωση. Στην Εξ. (4.37) είναι

  2 1 και  )1 όπου Σχ. 4.18 Υποαποσβενύμενη απόκριση.

1  1 e  j και  2  1

(συζυγείς) και υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες, Εξ. (4.36), που γράφονται

y  0  1  1  1 e  j  1 e j 

dy 0  s1  1  s2  2  s1 1 e j  s1 1 e j dt (Άσκηση: Να υπολογιστεί η 1  1 e

 j

).

Γ. Κρίσιμη απόσβεση (    0 ) Στην περίπτωση αυτή έχουμε μια ρίζα διπλή

s1  s2  

(4.38)

Τότε είναι γνωστό από τα μαθηματικά ότι

y t   1  et  2  t  et

(4.39)

Οι σταθερές  1 ,  2 υπολογίζονται από τις εξισώσεις των αρχικών συνθηκών.

1  y  0  

(4.40)

113

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ και    1  2 

 

dy  0 dt

Η κρίσιμα αποσβενύμενη απόκριση φαίνεται στο Σχ. 4.19.

A2 ae

Εφαρμογή: Αν υποθέσουμε ότι στο κύκλωμα του Σχ. 4.15α είναι

R  2 L C  2 0.4 250F  80 , τότε    0  100 .

0

Από τις Εξ. (4.40) είναι

1  0 ,  100  1  2  30

Σχ. 4.19 Κρίσιμα αποσβενύμενη συνιστώσα

 

αφού i 0   0 και

di dt 0    12 0.4  30 . Επόμενα

i t   30  t  e100t A

4.7 Διαδικασία επίλυσης κυκλωμάτων δεύτερης τάξης Η διαδικασία που ακολουθεί είναι γενική και μπορεί να εφαρμοστεί σε κυκλώματα πρώτης και δεύτερης τάξης. 

Εύρεση των αρχικών συνθηκών για t  0 .



Εύρεση παραγόμενων αρχικών συνθηκών ( t  0 ) από την συνέχεια της τάσης του πυκνωτή και του ρεύματος του πηνίου.



Εύρεση της διαφορικής εξίσωσης.



Λύση της διαφορικής εξίσωσης.



Ερμηνεία των αποτελεσμάτων.

Σε πολύπλοκα κυκλώματα η εύρεση της διαφορικής εξίσωσης μπορεί να διευκολυνθεί με την χρήση του διαφορικού τελεστή D 

d , που τελεί την dt

πράξη της παραγώγισης. Δηλαδή η παράγωγος του ρεύματος

di μπορεί ν’ αντικατασταθεί με Di ή της dt



t

1/α

 2 t e t .

114 τάσης

d με D . Για μια τυχαία συνάρτηση x t  dt

ισχύει

D  xt  

Με την χρήση των διαφορικών τελεστών, οι σχέσεις τάσης – ρεύματος του πηνίου και του πυκνωτή μπορεί να πάρουν την μορφή της σχέσης ρεύματος – τάσης στην αντίσταση, οπότε σ’ ένα κύκλωμα με αντιστάσεις, πηνία και πυκνωτές μπορεί να βρεθούν οι διαφορικές εξισώσεις με τις μεθόδους που παρουσιάστηκαν για τα αντιστατικά κυκλώματα.

Σχέση τάσης-ρεύματος στη μεταβατική κατάσταση Αντίσταση

  Ri

Πηνίο

  LD i

Πυκνωτής

 

dxt  1 d 2 xt  ,  xt    xt dt , D 2  xt   D dt dt 2

Η σχέση ρεύματος – τάσης του πηνίου

 1  i  CD 

  L

di dt

γίνεται

  L  D   i

(4.41)

όπου το LD υπέχει τη θέση της αντίστασης στο νόμο του Ohm. Με την ίδια λογική για τον πυκνωτή ισχύει

 1   i CD

 

(4.42)

Η εύρεση της διαφορικής εξίσωσης φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.9 Να βρεθεί η διαφορική εξίσωση του κυκλώματος του Σχ. Π4.9α ως προς την τάση του πυκνωτή  .

R υs

LD

+

υ C

Σχ. Π4.9α

115

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Λύση:

R υs

Με την χρήση των διαφορικών τελεστών, το κύκλωμα γράφεται όπως φαίνεται στο Σχ. Π4.9β.

LDi

Ri

i

LD

+

Από το νόμο των τάσεων προκύπτει



1 CD

1 i CD

Ri  LDi     s με την χρήση της i  CD η εξίσωση γίνεται

RCD  LCD2     s

Σχ. Π4.9β

Αντικαθιστώντας τους διαφορικούς τελεστές με το σύμβολο της παραγώγου

LC

d 2 d  RC   s 2 dt dt

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.10 t=0 50Ω i 18V

iC

iL 400Ω

+ υL

υ(t)

Να βρεθεί η τάση  t  μετά το κλείσιμο του διακόπτη την χρονική στιγμή t  0 . Πριν το κλείσιμο του διακόπτη, από το πηνίο δεν περνούσε ρεύμα, ενώ ο πυκνωτής είχε φορτίο 30Cb .

10μF 100mΗ

Σχ. Π4.10α

Λύση: α) Ορίζω τις φορές αναφοράς όπως φαίνονται στο Σχ. Π4.10α. β) Αρχικές συνθήκες.

 

 

 Για t  0  είναι i L 0  0 και  0  

q  3V . Από την συνέχεια των i L t  και  t  C

προκύπτει

iL 0    iL 0    0 ,  0     0    3V



116 Οι παραγόμενες αρχικές συνθήκες υπολογίζονται με βάση τις συνθήκες συνέχειας όπου το πηνίο θεωρείται 50Ω «πηγή» ρεύματος i L 0  και ο

 

+

iL(0 )=0 18V

 

πυκνωτής «πηγή» τάσης  0 

iC(0 ) +



για t  0 , όπως φαίνεται στο Σχ. Π4.10β.

400Ω

+

+

3V

υL(0+) Από το κύκλωμα του Σχ. Π4.10β, εύκολα προκύπτει ότι

Σχ. Π4.10β

iC 0   

υ

R1

   18V 18V

R1

+

R2

CDυ

18V  3V 15   50 50 και

R2  LD

d  i (0  ) (0 )  C  3 104 V sec dt C

υ

 

LD

Επειδή το ρεύμα iL 0  0 , τότε η πτώση τάσης αντίσταση των 400 Ω

στην είναι

 

μηδενική άρα L 0  3 V , και

Σχ. Π4.10γ

diL   (0  ) (0 )  L  0,3 A sec dt L γ) Η διαφορική εξίσωση βρίσκεται με την χρήση των διαφορικών τελεστών και τη λύση του κυκλώματος με την μέθοδο των δυναμικών των κόμβων. Στο Σχ. Π4.10γ φαίνεται ο κόμβος αναφοράς, ο κόμβος δυναμικού και τα ρεύματα των κλάδων. Από το νόμο των ρευμάτων στον κόμβο  βρίσκω

  18V R1



 R2  LD

 CD  0

μετά από την απαλοιφή των παρονομαστών προκύπτει

 1 R D 2    2  R1C L

 1  R2   D     LC   R1 

 1   R2      LC   R1

ή

d 2 d 8 18  2  3000   30002   2 dt dt LC άρα    0  3000 sec 1 και η φυσική απόκριση είναι

 18   LC


  t   1e t   2 te t ενώ η μερική λύση της μη ομογενούς  F t   16V . Η πλήρης λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι

 t     t    F t  Οι εξισώσεις των αρχικών συνθηκών είναι

1  16  3V  1   2  3 10 4 V

sec

Από την λύση τους 1  13V και  2  3V

sec

και αντικαθιστώντας προκύπτει η πλήρης

λύση

 t   16  13  3t  e 3000tV

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.11 Να βρεθεί ο λόγος των τάσεων

0 στο κύκλωμα του Σχ. 3.14α i Λύση: Με την χρήση των διαφορικών τελεστών και τον ορισμό των φορών αναφοράς το κύκλωμα γράφεται όπως στο Σχ. Π4.11.

1 iF Cf D R1i1 i1

n R1

υi

1/CfD

in0 -

Από το νόμο των ρευμάτων στον κόμβο n προκύπτει:

iF

i1  iF (Α) επειδή in  0

d  0 ip0 p

+

από το νόμο των τάσεων προκύπτει:

υo

i  R1  i1  d  0 και 0 

Σχ. Π4.11

1 iF  d  0 Cf D

επειδή d  0 τότε

i1  και αντικαθιστώντας στην (Α) προκύπτει 0  

i R1

και iF  CF D0

1 1 1 i   i dt R1C f D R1C f 

Άρα η τάση εξόδου είναι ανάλογη του ολοκληρώματος της τάσης εισόδου, γι’ αυτό το κύκλωμα ονομάζεται ολοκληρωτής.



117

118 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ: 4.1

Ποια είναι τα δυναμικά ηλεκτρικά στοιχεία και γιατί ονομάζονται δυναμικά; Ποιά είναι η εναλλακτική ονομασία τους;

4.2

Σε τι χρησιμεύει η ανάλυση κυκλωμάτων στη μεταβατική κατάσταση;

4.3

Πως συμπεριφέρεται ο πυκνωτής όταν αποκατασταθεί η μόνιμη κατάσταση σε κύκλωμα με πηγές συνεχούς;

4.4

Πως συμπεριφέρεται το πηνίο όταν αποκατασταθεί η μόνιμη κατάσταση σε κύκλωμα με πηγές συνεχούς;

4.5

Γιατί όταν θέλουμε να πάρουμε στιγμιαία μία πολύ υψηλή τάση σε σχέση με την τάση της πηγής χρησιμοποιούμε κύκλωμα με αντίσταση και πηνίο;

4.6

Γιατί όταν θέλουμε να πάρουμε στιγμιαία ένα πολύ υψηλό ρεύμα χρησιμοποιούμε κύκλωμα με αντίσταση και πυκνωτή;


Η κυμματομορφή του Σχ. Α4.1 είναι της μορφής των τάσεων που κάνουν οριζόντια σάρωση σε συσκευή τηλεόρασης. Σχεδιάστε το ρεύμα i t  που παράγει την τάση αυτή

 t  στους ακροδέκτες ενός πυκνωτή C  0.02F . Σημειώστε ότι ο χρόνος μετριέται σε  sec .

υ(t) 100V

0

53.5

63.5 t, μsec

Σχ. A4.1

4.2

Στην προηγούμενη άσκηση ας υποθέσουμε ότι συνδέεται ένα πηνίο 0.1 σε σειρά με τον πυκνωτή ώστε να περνά και από τα δύο στοιχεία το ίδιο ρεύμα, αυτό που βρήκατε στην προηγούμενη άσκηση. Βρείτε και σχεδιάστε την τάση στους ακροδέκτες του πηνίου και την αποθηκευμένη ενέργεια στο πηνίο. Σχεδιάστε την τάση στους ακροδέκτες του συνολικού κυκλώματος (πηνίο και πυκνωτής σε σειρά).

4.3

Το κύκλωμα του Σχ. Α4.3 βρίσκεται στη μόνιμη κατάσταση. Υπολογίστε τα  L και VC .

119


2Ω

iL

L 12V

+ 6Ω

C

υC

Σχ. Α4.3

4.4

Ο διακόπτης του Σχ. Α4.4 συνδέει για μεγάλο χρονικό διάστημα το κύκλωμα στην πηγή ώστε να έχει αποκατασταθεί η μόνιμη κατάσταση. Ο διακόπτης αλλάζει θέση όταν t  0 . Βρείτε την τάση  t  και το ρεύμα i t  για t  0 , αν το στοιχείο  είναι πυκνωτής χωρητικότητας 10F .

1Ω

t=0

2Ω i

24V

+ 4Ω

3Ω

X

υ

Σχ. Α4.4

4.5

Επαναλάβετε την άσκηση 4.4 αν το στοιχείο  είναι πηνίο αυτεπαγωγής 0.6 .

4.6

Ας υποθέσουμε ότι το κύκλωμα του Σχ. Α4.6 έχει R1  10 και R2  3 . Βρείτε τις τιμές των ρευμάτων και των τάσεων σε χρόνο t  0  αν   18V για t  0 και   12V για t  0 . Επίσης βρείτε τις τελικές τιμές των ρευμάτων και των τάσεων όταν το t τείνει στο άπειρο.



120 υC

υ2

i R2

C

i2

υ

i1

R1

υ1

L

υL

Σχ. Α4.6

4.7

Επαναλάβετε τους ίδιους υπολογισμούς για το κύκλωμα του Σχ. Α4.7., αν  t   10V για t  0 και  t   20V για t  0 .

4kΩ

υ(t)

5kΩ

+ 3μF

10mH

Σχ. Α4.7

4.8 4.9

Για το κύκλωμα του Σχ. Α4.7 υπολογίστε την τάση στους ακροδέκτες του πυκνωτή για t  0 . Υποθέστε ότι η πηγή  s t  του κυκλώματος του Σχ. Α4.9 είναι βηματική, δηλαδή

0, t  0 s  t    Vs , t  0 και

 C 0  V0 ,

i 0  0 . Βρείτε την τάση

  R 2L  125 και  0  1

LC  395 .

 C t  για

t0

όταν

121


υR(t)

υL(t) L

υS(t)

R

i(t)

+

υC(t) C

Σχ. Α4.9

4.10

Να αποδειχθούν οι σχέσεις (4.10) και (4.11).

4.11

Να αποδειχθούν οι σχέσεις (4.19).

4.12

Στο κύκλωμα του Σχ. Α4.12 ο διακόπτης είναι ανοιχτός για άπειρο χρόνο και κλείνει την χρονική στιγμή μηδέν. Να υπολογιστεί και να σχεδιαστεί η τάση στον πυκνωτή για χρόνο μεγαλύτερο του μηδενός.

0.03A

A 1kΩ

150V +

1kΩ 1kΩ 2kΩ

350μF

B Σχ. Α4.12

4.13

Στο κύκλωμα του Σχ. Α4.13 ο διακόπτης είναι στην θέση Α για άπειρο χρόνο και μετατοπίζεται ακαριαία στην θέση Β. Να βρεθεί η τάση και η ισχύς του πυκνωτή για t  0.



122

+

2V

2kΩ

2mA

A

1kΩ B

2kΩ

1V

1kΩ

1V

2kΩ

1kΩ +

+

1kΩ

250μF

1mA

Σχ. Α4.13

4.14

Στο κύκλωμα του Σχ. Α4.14 ο διακόπτης βρίσκεται στην θέση α για άπειρο χρόνο (θεωρητικά) και μετακινείται ακαριαία στην θέση β την χρονική στιγμή μηδέν. Να βρεθεί και να σχεδιαστεί η τάση στα άκρα του πυκνωτή.

i

60V

8i 5Ω

+

a

10Ω

5Ω

β

R

+

30Ω C

3R

12V

Σχ. Α4.14

0 στο κύκλωμα του Σχ. 3.14β. i

4.15

Να βρεθεί ο λόγος των τάσεων

4.16

Να βρεθεί η διαφορική εξίσωση του κυκλώματος του Σχ. Α4.3 ως προς το ρεύμα iL .

4.17

Να επαναληφθεί η Άσκηση 4.16 ως προς την τάση  C .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ: 4.18 Έχετε μία μπαταρία 24V και εσωτερικής αντίστασης 1Ω. Σχεδιάσετε ένα κύκλωμα με τη χρήση ενός διακόπτη, μίας αντίστασης και ενός πηνίου ώστε το κύκλωμα να παράγει μια τάση αιχμής 6000V με τ = 2 μsec. Χρησιμοποιείστε ένα κύκλωμα όπως του Σχ Π4.3.

4.19 Επαναλάβετε

το ίδιο για να παράγετε ένα ρεύμα αιχμής 80Α. Αντί για πηνίο χρησιμοποιείστε πυκνωτή.

4.20 Έχετε ένα πηνίο 0.72H και ένα πυκνωτή 0.2μF και θέλετε να σχεδιάσετε ένα κύκλωμα κρίσιμης απόσβεσης. Σχεδιάστε τη συνδεσμολογία της επιλογής σας και υπολογίστε την τιμή της αντίστασης που θα αγοράσετε.

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΣΤΟΧΟΙ:

 Αναπαράσταση των ημιτονοειδών μεγεθών με παραστατικούς μιγάδες (phasors).  Ανάλυση κυκλωμάτων στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση (ή κυκλωμάτων εναλλασσόμενου) με τη χρήση της μιγαδικής άλγεβρας.  Εύρεση της ισοδύναμης αντίστασης (εμπέδησης) σε μονόθυρα κυκλώματα.  Ισχύς εναλλασσόμενου και ανάλυση κυκλωμάτων όταν είναι γνωστή η καταναλισκόμενη ισχύς.  Τριφασικά κυκλώματα.

5


5.1 Εισαγωγή Ένα κύκλωμα βρίσκεται στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση ή είναι κύκλωμα εναλλασσόμενου όταν: α.

Όλες οι πηγές του κυκλώματος παρέχουν τάση ή ρεύμα ημιτονοειδή, με σταθερή κυκλική συχνότητα  .

β.

Έχει παρέλθει ικανοποιητικός χρόνος από την σύνδεση των πηγών ώστε να έχουν αποσβεσθεί τα μεταβατικά φαινόμενα που οφείλονται στις αρχικές συνθήκες.

Τα κυκλώματα εναλλασσόμενου, που θα αναλυθούν, αποτελούνται από σταθερά γραμμικά ηλεκτρικά στοιχεία. Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η συμπεριφορά τους περιγράφεται από συνήθεις, μη ομογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Είναι δε γνωστό από τα μαθηματικά ότι σε μια γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, η λύση της μόνιμης κατάστασης ( t   ) είναι μια ειδική λύση της διαφορικής. Όταν δε η διέγερση είναι ημιτονοειδής, τότε και η ειδική λύση έχει ημιτονοειδή μορφή με την ίδια κυκλική συχνότητα, αλλά διαφορετικό μέτρο και φάση (βλέπε Παράδειγμα 4.8). Άρα για να περιγραφεί μια τάση ή ένα ρεύμα στη μόνιμη κατάσταση κυκλωμάτων εναλλασσόμενου, χρειάζεται να υπολογισθούν δύο στοιχεία: Το μέτρο  και η φάση  που είναι δύο πραγματικοί αριθμοί. Επόμενα, χρειαζόμαστε μία άλγεβρα που να ορίζεται σ’ ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών (  ,  ). Μία παράσταση διατεταγμένου ζεύγους είναι το διδιάστατο διάνυσμα, γι αυτό στον Ηλεκτρισμό του Λυκείου η ανάλυση των κυκλωμάτων εναλλασσόμενου γίνεται με διανύσματα. Επειδή στις πράξεις των διανυσμάτων δεν ορίζεται η διαίρεση, παρουσιάζονται δυσκολίες στην ανάλυση πολύπλοκων κυκλωμάτων εναλλασσόμενου. Μία άλλη προσέγγιση είναι: Σε κάθε ημιτονοειδή συνάρτηση να αντιστοιχηθεί ένας μιγαδικός αριθμός, οπότε οι διαφορικές εξισώσεις μετατρέπονται σε αλγεβρικές μιγαδικές. Θα δειχθεί ότι οι νόμοι του Kirchhoff ισχύουν για τους μιγάδες, που αντιστοιχούν σε μία ημιτονοειδή τάση ή ρεύμα. Επόμενα, όλες οι μέθοδοι που παρουσιάσθηκαν για κυκλώματα συνεχούς μπορούν να εφαρμοσθούν και στην ανάλυση κυκλωμάτων στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση. Είναι φανερό ότι η ανάλυση των κυκλωμάτων συνεχούς έγινε με την άλγεβρα των πραγματικών αριθμών, ενώ των κυκλωμάτων εναλλασσόμενου με την άλγεβρα των μιγαδικών αριθμών.



125

126 Εφαρμογές: Η ανάλυση των κυκλωμάτων εναλλασσόμενου στη μόνιμη κατάσταση είναι χρήσιμη για τους παρακάτω λόγους: α.

υR(t)

(α)

R υ

i

iS(t)

(β)

ω LIm

L

υL(t)

RIm

ωt + 90 ° ωt

β.

RIm cos ωt ω LIm cos (ωt + 90 °)

Vm

(γ)

ω LIm ωt + 90 °

θυ ωt

RIm

υ(t) = Vm cos (ωt + θu ) Σχ. 5.1

Κύκλωμα εναλλασσόμενου και διανυσματική παράσταση των μεταβλητών.

Η παραγωγή, μεταφορά, διανομή και κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας γίνεται με εναλλασσόμενο ρεύμα συχνότητας 50 Hz στην Ευρώπη και 60 Hz στην Βόρεια Αμερική και την Ιαπωνία. Επίσης οι περισσότεροι κινητήρες στη βιομηχανία αλλά και στις οικιακές συσκευές είναι εναλλασσόμενου. Επόμενα, η μελέτη (σχεδιασμός) σχεδόν όλων των ηλεκτρικών εγκαταστάσεων βασίζεται στην ανάλυση των κυκλωμάτων εναλλασσόμενου (μόνιμη ημιτονοειδής κατάσταση). Οι μέθοδοι που αναπτύσσονται για την ανάλυση γραμμικών κυκλωμάτων με σταθερούς συντελεστές στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση, μπορούν να επεκταθούν εύκολα σε γενικά δυναμικά προβλήματα. Επίσης μπορεί να επεκταθεί και στην ανάλυση κυκλωμάτων με πηγές, που δεν παρέχουν τάση ή ρεύμα ημιτονοειδούς μορφής, αλλά άλλης μορφής.

5.2 Κυκλώματα εναλλασσόμενου και παραστατικοί μιγάδες Για να δούμε πώς η ανάλυση κυκλωμάτων εναλλασσόμενου γίνεται με τη βοήθεια της άλγεβρας των μιγαδικών αριθμών, θα μελετήσουμε το κύκλωμα του Σχ. 5.1.α. Το κύκλωμα τροφοδοτείται από μια πηγή εναλλασσόμενου ρεύματος.

is t   I m cos  t Οι τάσεις μόνιμης κατάστασης είναι

 R t   R i s  R I m cos  t


 L t   Ldi s t  dt   L I m  sin t   L  I m cost  90 0  Ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff δίνει

 t   R t   L t   R I m cos(t )  L  I m cost  900  Μια προσεκτική παρατήρηση δείχνει ότι η τάση

 t  είναι το άθροισμα των προβολών των δυο διανυσμάτων του Σχ. 5.1β. Παρατηρούμε ότι τα δυο διανύσματα αλλάζουν προσανατολισμό συναρτήσει του χρόνου (περιστρέφονται με ταχύτητα  ) αλλά η μεταξύ τους γωνία παραμένει 90 0 . Το αλγεβρικό άθροισμα των προβολών υπολογίζεται διανυσματικά όπως δείχνει το Σχ. 5.1.γ. Έτσι μπορούμε να γράψουμε

 t   Vm cost   

(5.2)

Τα Vm και  είναι συναρτήσεις των I m ,  , R και L . Με την βοήθεια του ορθογωνίου τριγώνου στο Σχ. 5.1γ, εύκολα προκύπτει ότι





Vm  R I m    L I m   R 2   L I m 2

2

2

tan 

 L Im R Im



2

2

L R

Επόμενα,

Vm  R 2   L  I m ,   tan 1  L R  2

(5.3)

όπου " tan 1" σημαίνει αντίστροφη εφαπτόμενη. Οι Εξ. (5.2) και (5.3) μπορούν να προκύψουν και με απλή τριγωνομετρική ανάλυση, αλλά η διαδικασία είναι πολυπλοκότερη. (Άσκηση για τον αναγνώστη.) Από το παραπάνω παράδειγμα προκύπτει ότι όταν ένα κύκλωμα RL διεγείρεται από μια ημιτονοειδή πηγή ρεύματος συχνότητας  και πλάτους (εύρους) I m , τότε όλες οι τάσεις που δημιουργούνται,  R ,  L και  , είναι επίσης ημιτονοειδής, με την ίδια συχνότητα  , αλλά διαφορετικά πλάτη και σχετικές γωνίες φάσης. Η διαπίστωση αυτή μπορεί να επεκταθεί και για κάθε γραμμικό κύκλωμα στην μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση (όταν αποσβεσθούν τα μεταβατικά φαινόμενα), όταν διεγείρεται από πηγή ημιτονοειδούς ρεύματος ή τάσης.



(5.1 )

127

128 Το γενικό γραμμικό κύκλωμα του Σχ. 5.2 τροφοδοτείται από μια πηγή τάσης  S t   Vm cos t ,

Γραμμικό Κύκλωμα

τότε η τάση  t  και το ρεύμα i t  σε ένα τυχαίο στοιχείο του κυκλώματος στη μόνιμη κατάσταση, θα είναι ημιτονοειδείς συνάρτηση του χρόνου:

 t   Vm cost   

i(t)

+ υs(t)

και

υ(t)

it   I m cost  i  Το ίδιο θα συνέβαινε αν το κύκλωμα τροφοδοτούνταν από πηγή ρεύματος ή πολλές πηγές τάσης και ρεύματος της ίδιας κυκλικής συχνότητας  .

Σχ. 5.2

Η απόκριση σ’ ένα τυχαίο στοιχείο του κυκλώματος.

Ημιτονοειδείς κυμματομορφές και παραστατικοί μιγάδες Κάθε ημιτονοειδής κυμματομορφή ρεύματος μπορεί να γραφεί με την μορφή

xt   X m cos t    x(t)

T

Xm

t0 0

τάσης

ή

(5.4)

που φαίνεται σχεδιασμένη στο Σχ. 5.3.α. Τρεις και μόνο τρεις παράμετροι είναι αρκετές για να περιγράψουν πλήρως αυτή την κυμματομορφή:

t

α) Το μέτρο (εύρος) X m β) Η κυκλική συχνότητα  και γ) Η γωνία φάσης 

-Xm (α) ω

Αυτές οι τρεις παράμετροι δείχνονται με διαφορετικό αλλά ισοδύναμο τρόπο στο Σχ. 5.3β, όπου xt  είναι η οριζόντια προβολή του διανύσματος μήκους X m και γωνίας  , όταν

t  0 που στρέφεται με κυκλική συχνότητα  .

rad

Xm ωt + θ

Η κυκλική συχνότητα  μετριέται σε sec , η συχνότητα f σε Hertz  και η

περίοδος

T

Xm cos (ωt + θ) (β) Σχ. 5.3

α) Ημιτονοειδής κυμματομορφή. β) Παράσταση με την βοήθεια στρεφόμενου διανύσματος

1 2 sec  f 

(5.5)

Η γωνία φάσης  μετρούμενη σε rads ή πιο συχνά σε μοίρες, υποδηλώνει ότι η κυμματομορφή δεν παίρνει την μέγιστη τιμή για t  0 , αλλά σε κάποια χρονική στιγμή

t0  

 

129

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Με βάση την Εξ. (5.4), η ημιτονοειδής τάση και το ημιτονοειδές ρεύμα, μπορούν να παρασταθούν ως εξής:

 t   Vm cos  t    (5.6)

it   I m cos  t  i 

Από το γεγονός ότι στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση όλες οι τάσεις και τα ρεύματα ενός κυκλώματος έχουν κοινή κυκλική συχνότητα  , τότε τα διαφοροποιά στοιχεία είναι το μέτρο και η γωνία φάσης, άρα μπορούν να παρασταθούν με τη μορφή παραστατικών μιγάδων

V  Vm     t   Vm cos  t    (5.7)

I  I m  i  it   I m cos  t  i 

Είναι φανερό ότι αν γνωρίζουμε τον παραστατικό μιγάδα μπορούμε να κατασκευάσουμε την ημιτονοειδή συνάρτηση, αφού η κυκλική συχνότητα δεν αλλάζει. Αντίστροφα, αν γνωρίζουμε την ημιτονοειδή συνάρτηση, μπορούμε να κατασκευάσουμε τον παραστατικό μιγάδα. Η χρήση των παραστατικών μιγάδων μας βοηθάει να συγκεντρώσουμε την προσοχή μας στα άγνωστα μέτρα και τις γωνίες φάσης των τάσεων και ρευμάτων, χωρίς να είναι ανάγκη να γράψουμε τις πλήρεις εξισώσεις των χρονικών μεταβλητών σε κάθε βήμα της ανάλυσης κυκλωμάτων στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση. Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι: Οι νόμοι του Kirchhoff, εκτός από τις στιγμιαίες τιμές των ρευμάτων και τάσεων, ισχύουν και για τους παραστατικούς μιγάδες, που παριστάνουν τάσεις ή ρεύματα.

Im Im [x] = xi

Προσοχή: Είναι λάθος να εφαρμοσθούν οι νόμοι του Kirchhoff μόνο για τα μέτρα των τάσεων και ρευμάτων. Κάθε παραστατικός μιγάδας, που είναι διάνυσμα, μπορεί να παρασταθεί από ένα μιγαδικό αριθμό. Το μιγαδικό επίπεδο, Σχ. 5.4, είναι ένας διδιάστατος χώρος, όπου το σημείο  προσδιορίζεται με δυο ορθογώνιες συντεταγμένες: Την οριζόντια ή πραγματική, R e   r και την κατακόρυφη ή φανταστική συντεταγμένη, Im   i .

Έτσι μπορούμε να παραστήσουμε τον μιγαδικό αριθμό σαν



x x θ Re Re [x] = xr

Σχ. 5.4

Το μιγαδικό επίπεδο και ένας μιγαδικός αριθμός  .

130   R e  j Im   r  ji Σε πολικές συντεταγμένες ο μιγαδικός αριθμός παριστάνεται με το μέτρο και την γωνία φάσης με βάση τον τύπο του Euler:

   e j   cos   j sin 

(5.8)

όπου    r   i , το μέτρο του μιγαδικού και 2

2

  tan 1  i  . Περισσότερα για τις πράξεις στο r σύνολο των μιγαδικών αριθμών, στο Παράρτημα Α.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.1 Στο κύκλωμα του Σχ. Π5.1α να βρεθεί το συνολικό ρεύμα

i t  , όταν

i1 t   3 cos100t  60   και i2 t   4 cos100t  30   . Η λύση να γίνει με χρονικές 0

0

συναρτήσεις και με παραστατικούς μιγάδες. Ποια είναι απλούστερη;

i (t) i1 (t)

i2 (t)

+ U(t) ~

Σχ. Π5.1α

Λύση: α) Λύση στο πεδίο του χρόνου (χρονικές συναρτήσεις) Σύμφωνα με το νόμο των ρευμάτων

it   i1 t   i2 t   3cos100t  600  4 cos100t  300  

 3cos100t cos600  sin100t sin 600   4cos100t cos 300  sin100t sin 300   3 3 3  3  cos100t    sin 100t      2   2  2 2    

 2.36 cos100t  4.6 sin100t 

131


4.6    2.36 cos100t  sin 100t   2.36  







2.36 cos100t  cos 62.80  sin 100t  sin 62.80  cos 62.80





 5.16 cos 100t  62.8 0  Ο

λόγος

4.6 2.36  tan 62.8

και

cos     cos  cos   sin  sin  είναι

τριγωνομετρική σχέση που στηρίχθηκε ο τελευταίος μετασχηματισμός.

Ι Ι1

Ι2

+ ~

V

η

β) Λύση στο πεδίο της συχνότητας (παραστατικοί μιγάδες) Ξανασχεδιάζω το κύκλωμα και σημειώνω τους παραστατικούς μιγάδες των ρευμάτων και της τάσης της πηγής, όπου

Σχ. Π5.1β

3 0 3 3  I 1  3e j 60  3 cos 60 0  j3 sin 60 0    j 2  2  3  0 I 2  4e j 30  4 cos 30 0  j 4 sin 30 0    j 2    2  Σύμφωνα με το νόμο των ρευμάτων

3 3  I  I 1  I 2     2 2  

3 3  j  2   2.36  j 4.6  5.17e j 62.8   2 

άρα

it   5.17 cos100t  62.8 0  

Είναι προφανές ότι η δεύτερη λύση είναι η απλούστερη, γιατί δεν χρειάζεται τύπους τριγωνομετρίας και έχει πολύ λιγότερες πράξεις. Σχέσεις τάσης και ρεύματος για τα ιδανικά ηλεκτρικά στοιχεία Σε κάθε κυμματομορφή τάσης

 t   Vm cost    αντιστοιχεί με βάση τον τύπο του Euler μια μιγαδική τάση

 t   Vm cost     jVm sint   

(5.9)

ή



132  t   R e  Η σχέση (5.9) μπορεί να γραφεί και με τη μορφή

 t   Vm e j t    Vm e j e jt  V e jt

(5.10)

Παρόμοιες σχέσεις μπορούν να βρεθούν και για το ημιτονοειδές ρεύμα

it   I m e j t i   I m e ji e jt  I e jt

(5.11)

Αν αντί των απλών κυμματομορφών χρησιμοποιήσουμε τις μιγαδικές παραστάσεις στις εξισώσεις που διέπουν τη σχέση τάσης και ρεύματος στα ιδανικά ηλεκτρικά στοιχεία, τότε ισχύει: α)

Αντίσταση

  R i  V e jt  R I e jt  V  R I β)



Πυκνωτής



 1  d V e jt d jt  I ή V    j  I i C I e C  V jC e jt  V   dt dt  C   jC  γ)

L

(5.12)

(5.13)

Πηνίο

di d I e jt   V e jt  L  I jL e jt  V   jL  I dt dt

(5.14)

Οι παραπάνω σχέσεις καταλήγουν σε μια συσχέτιση των παραστατικών μιγάδων της τάσης και του ρεύματος, της μορφής του νόμου του Ohm.

I

~

V

Z (jω)

Αντίσταση

V  RI

Πυκνωτής

 1   I V    jC 

Πηνίο

V   jL  I

Με αυτές τις σχέσεις για το κάθε ηλεκτρικό στοιχείο και τους νόμους του Kirchhoff για μιγαδικά μεγέθη, μπορούμε να αναλύσουμε τα ηλεκτρικά κυκλώματα στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση. Από τα παραπάνω μπορούμε να γενικεύσουμε ότι σε κάθε παθητικό δίκτυο (Σχ. 5.5) που βρίσκεται στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση ισχύει

Σχ. 5.5

Μονόθυρο παθητικό κύκλωμα με ημιτονοειδή διέγερση.

V  Z I  Z  j  I

(5.15)

133

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ όπου Z ονομάζεται σύνθετη αντίσταση ή εμπέδηση και είναι ένας μιγαδικός αριθμός, που εξαρτάται από την κυκλική συχνότητα  και τις τιμές των ηλεκτρικών στοιχείων του παθητικού δικτύου, και μετριέται σε Ohms, όπως και η αντίσταση. Σημαντική παρατήρηση: Ό,τι ισχύει για τα ισοδύναμα κυκλώματα με αντιστάσεις, ισχύει και για την περίπτωση των σύνθετων αντιστάσεων, π.χ. ισχύει ο ίδιος τύπος για τον υπολογισμό της ισοδύναμης σύνθετης αντίστασης ενός κυκλώματος δυο σύνθετων αντιστάσεων συνδεδεμένων παράλληλα:

Z

Z1 Z 2 Z1  Z 2

Επίσης ισχύουν τα θεωρήματα Thevenin και Norton. Αν

V  V e j και

I  I e ji , τότε

Z

V V  Z  e j  i   Z e jZ I I

(5.16)

άρα

Z

V και Z    i I

Η σύνθετη αγωγιμότητα Y είναι

Y

1 Z

Για τα τρία βασικά ηλεκτρικά στοιχεία, η σύνθετη αντίσταση είναι:

Im ZL = jωL

Αντίσταση

ZR  R

Πυκνωτής

1 j ZC   jC C

Πηνίο

ZR = R (5.17)

Z L  jL

ZC = -j/ωC Σχ. 5.6

και φαίνονται διανυσματικά στο Σχ. 5.6. Στη γενική περίπτωση σύνθετης αντίστασης, αυτή παριστάνεται σαν ένας μιγαδικός αριθμός


Re


Διανυσματική παράσταση των σύνθετων αντιστάσεων ZR , ZC , ZL.

134 Z  R   jX  

(5.18)

όπου

R   R eZ  και X    ImZ  Το πραγματικό μέρος ονομάζεται αντίσταση και το φανταστικό μέρος αντίδραση, της σύνθετης αντίστασης. Σε πολικές συντεταγμένες η σύνθετη αντίσταση μπορεί να γραφεί ως εξής:

Im Z

Z  R 2    X 2  

Z

Im |Z| = X(ω)

θz

(5.19)

 Z ) Z  tan 1

Re

X   R 

Re |Z| = R(ω) όπως παραστατικά φαίνονται στο Σχ. 5.7. Σχ. 5.7

Σύνθετη αντίσταση.

Η διερεύνηση της Εξ. (5.18) μπορεί να γίνει με την βοήθεια του Σχ. 5.7. Αν Z  0 , τότε X    0 , άρα η σύνθετη αντίσταση είναι καθαρά ωμική. Αν Z  900 , τότε R   0 και η σύνθετη αντίσταση

 X    0 , ενώ Z  90 0 , είναι καθαρά χωρητική  X    0 .

είναι

καθαρά

επαγωγική

Αν 0   Z 

 2

επαγωγική, ενώ για 

για

, η σύνθετη αντίσταση είναι

 2

  Z  0 , είναι χωρητική.

Αντίστοιχα συμπεράσματα προκύπτουν από την Εξ. (5.16) για την σχέση ανάμεσα στο ρεύμα και την τάση. Αν η σύνθετη αντίσταση είναι επαγωγική (

0  Z 



2

), η τάση προηγείται του ρεύματος, ενώ

στην περίπτωση της χωρητικής ( 

 2

  Z  0 ), το

ρεύμα προηγείται της τάσης. Στην περίπτωση του RLC κυκλώματος σε συνδεσμολογία σειράς, όταν το φανταστικό μέρος X    0 , τότε το κύκλωμα βρίσκεται σε συντονισμό. Η συχνότητα συντονισμού συμπίπτει με την ρίζα της εξίσωσης X    0 . (Άσκηση: Δίνεται ένα κύκλωμα RLC σε συνδεσμολογία σειράς. Να βρεθεί η συνθήκη συντονισμού και η συχνότητα συντονισμού).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.2

135


Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση ενός κυκλώματος που αποτελείται από μια αντίσταση R εν παραλλήλω με ένα πηνίο L. Λύση:

Z

ZR ZL R jL R jL R  jL  R  2 L2 R 2 L     j Z R  Z L R  jL R 2   2 L2 R 2   2 L2 R 2   2 L2

άρα

Z  R   jX   , όπου R  

R 2 L R  2 L2 ,   X   R 2   2 L2 R 2   2 L2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.3 3Ω + U(t)

~

0.2 Η

Στο κύκλωμα του Σχ. Π5.3α να υπολογισθεί το ρεύμα i t  , όταν η πηγή της τάσης είναι  t   30 cos 50t V .

0.02 F

Σχ. Π5.3α

Λύση:

I R + V

~

ZL ZC

Στο κύκλωμα σημειώνονται όλα τα μεγέθη με τους αντίστοιχους παραστατικούς μιγάδες, όπως φαίνεται στο Σχ. Π5.3β, R  3, όπου V  30 V ,

Z L  jL  j5  1 ZC    j1  . jC

και

Η σύνθετη αντίσταση κυκλώματος ως προς την πηγή είναι

του

Z  R  Z L  Z C  3  j 4  Σχ. Π5.3β

επειδή είναι συνδεδεμένες σε σειρά.

Οπότε σύμφωνα με την Εξ. (5.15) που είναι της μορφής του νόμου του Ohm για το εναλλασσόμενο



136 I

0 V 30V   6 e  j 53 A Z 3  j 4

και σύμφωνα με την απεικόνιση (5.7) προκύπτει





it   6 cos 50 t  530 A

5.3 Βασική ανάλυση κυκλωμάτων εναλλασσόμενου Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι νόμοι του Kirchhoff ισχύουν για τους παραστατικούς μιγάδες των τάσεων και ρευμάτων ενός κυκλώματος εναλλασσόμενου. Επόμενα, πριν την ανάλυση οποιουδήποτε κυκλώματος, πρέπει να εκφράσουμε τις τάσεις, τα ρεύματα και τις σύνθετες αντιστάσεις με παραστατικούς μιγάδες. Επειδή δε για κάθε ηλεκτρικό στοιχείο, η σχέση ανάμεσα στον μιγάδα της τάσης και του ρεύματος είναι όμοια με το νόμο του Ohm, τότε μπορούμε να λύσουμε το κύκλωμα ακολουθώντας τις τεχνικές που είδαμε στο δεύτερο κεφάλαιο: Διαδικασία επίλυσης α) Αντικαθιστούμε την αυτεπαγωγή και την χωρητικότητα με την αντίστοιχη αντίδραση (εμπέδηση)

L  jL και C 

1 j  jC C

β) Ορίζουμε σύστημα αναφοράς των ρευμάτων και τάσεων με βάση την σύμβαση παθητικού προσήμου (όπως στα κυκλώματα συνεχούς). Σημειώνουμε τους παραστατικούς μιγάδες των τάσεων και ρευμάτων αντί των χρονικών συναρτήσεων

 t   V και it   I γ) Γράφουμε τις μιγαδικές εξισώσεις του κυκλώματος σύμφωνα με τους νόμους του Kirchhoff για απλά κυκλώματα. Όταν τα κυκλώματα είναι πολύπλοκα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ισοδύναμα κυκλώματα (βλέπε θεώρημα Thevenin) ή/και τις μεθόδους των δυναμικών των κόμβων, ή των ρευμάτων των κλάδων, όπως στο δεύτερο κεφάλαιο. δ) Λύνουμε τις μιγαδικές εξισώσεις ως προς τις άγνωστες τάσεις και ρεύματα και

137

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ προσδιορίζουμε τους παραστατικούς μιγάδες.

αντίστοιχους

Από τους παραστατικούς μιγάδες ερμηνεύουμε τα αποτελέσματα και προσδιορίζουμε τις αντίστοιχες χρονικές συναρτήσεις, αν χρειάζεται. Τα παραδείγματα που ακολουθούν είναι πρακτική εφαρμογή της παραπάνω διαδικασίας.


10 mH

+ 200 cos 1000t

Στο κύκλωμα του Σχ. Π.5.4α, να βρεθούν τα ρεύματα στους κλάδους και το συνολικό ρεύμα, ώστε να επιλεγούν οι διατομές των αγωγών σύνδεσης. Επίσης να δοθούν οι χρονικές συναρτήσεις των ρευμάτων και η διανυσματική παράστασή τους.

10 Ω

~

20 Ω Σχ. Π5.4α

Λύση: α) Σχεδιάζω το κύκλωμα όπως φαίνεται στο Σχ. Π5.4β και σημειώνω τον παραστατικό μιγάδα της αυτεπαγωγής

Ι

Ι2

jL  j 1000 10 103  j10 

Ι1 j10 Ω

+ 200 V

10 Ω

~

β) Ορίζω φορές αναφοράς των ρευμάτων και σημειώνω τους παραστατικούς μιγάδες των ρευμάτων, όπως φαίνεται στο Σχ. Π5.4β

20 Ω Σχ. Π5.4β

γ) Το κύκλωμα είναι πολύ απλό, οπότε

I1 

200 V 200 V  20 A , I 2   8  j 4 A  8.95e  j 26.6 A 10  20  j10  0

και

I  I 1  I 2  20  8  j 4  28.3e  j 8.13  0



138 δ) Τα μέτρα των ρευμάτων I 1  20 A , I 2  8.95 A και I  28.3  , είναι αρκετά για να υπολογίσουμε την διατομή των αγωγών από τους αντίστοιχους πίνακες των κανονισμών ηλεκτρικών εγκαταστάσεων. ε) Με βάση την αντιστοίχηση της Εξ. (5.7) προκύπτει i1 t   20 cos1000t  A . Το ρεύμα είναι συμφασικό με την τάση της πηγής, αφού περνάει από μια απλή αντίσταση.

i2 t   8.95 cos1000t  26.6 0  A

Το ρεύμα έπεται της τάσης, αφού η σύνθετη αντίσταση είναι επαγωγική και

it   28.3 cos1000t  8.130  A

Το ρεύμα έπεται της τάσης, αφού το συνολικό κύκλωμα έχει επαγωγική συμπεριφορά. στ) Στο Σχ. Π5.4γ φαίνονται τα διανύσματα που αντιστοιχούν στα ρεύματα.

Ιm

I1 8.13°

I2

V

Re

26.6°

I Σχ. Π5.4γ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.5 3Ω

5mF

2 cos 50t

Στο κύκλωμα του Σχ. Π 5.5α να υπολογισθούν οι τάσεις σε κάθε στοιχείο: αντίσταση, πυκνωτής και πηγή ρεύματος. Να δοθούν η διανυσματική παράσταση και οι χρονικές συναρτήσεις των τάσεων.

Σχ. Π5.5α

Λύση: α) Σχεδιάζω το κύκλωμα θέτοντας τους παραστατικούς μιγάδες, όπως φαίνεται στο Σχ. Π 5.5β

ZC  

j  - j4  50  5 103

β) Ορίζω τις φορές αναφοράς των τάσεων.

139


3Ω

VR 2A

-j4 Ω

VC

V

Σχ. Π5.5β

γ) V R  3   2   6 V

V C   j 4   2   j8 V  8e  j 90 V 0

Σύμφωνα με το νόμο των τάσεων

V  V R  V C  6 - j8 V  10e -j53.1 V δ) Η τάση έπεται του ρεύματος γιατί η σύνθετη αντίσταση

Im

Z  3  j 4  έχει

X    0 .

2

2

4

53.1

VR

συμπεριφορά

I

4 V

6 VC

χωρητική

Re

ε) Οι χρονικές συναρτήσεις είναι:

 R t   6 cos 50t V  C t   8 cos50t  90 0 V

 t   10 cos50t  53.10 V

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.6 Να βρεθεί το ισοδύναμο Thevenin του κυκλώματος του Σχ. Π5.6α ως προς τους ακροδέκτες α, β.

V  100 V , R  20  ,

1  L  10  C

και

  1000 rad sec



140 R

C a

+ υ(t)

~

L

β Σχ. Π5.6α

Λύση:

α) Εύρεση της τάσης V 0 μεταξύ των ακροδεκτών α, β, από το κύκλωμα του Σχ. Π5.6β μετά τον ορισμό των μιγαδικών μεγεθών και των φορών αναφοράς:

I

100 V  j 900 V  5 A και V 0  j10   5   j50 V  50e 20  j 10  10

20 Ω

-j10 Ω

I + 100V

V0

j10 Ω

~

Σχ. Π5.6β

β) Εύρεση της ισοδύναμης σύνθετης αντίστασης, αφού βραχυκυκλωθεί η πηγή τάσης όπως φαίνεται στο Σχ. Π5.6γ. Οι δύο σύνθετες αντιστάσεις, 20  j10  και j10  , είναι σε παράλληλη σύνδεση, άρα

Z0 

20 

j10 j10  5  j10  20  j10  j10

20 Ω

-j10 Ω α

j10 Ω

Ζ0

β Σχ. Π5.6γ

141

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ γ) Το ισοδύναμο Thevenin φαίνεται στο Σχ. Π5.6δ.

5Ω

j10 Ω α

190 o

50e

+ ~

β Σχ. Π5.6δ






Στο κύκλωμα του Σχ. Π5.7α, η πηγή ρεύματος δίνει i s t   10 cos 2t  30 0 A . Να υπολογισθεί η τάση στην αντίσταση των 2  .

2F

1Ω

is

1Ω

1Ω

2H

2Ω

Σχ. Π5.7α

Λύση: Το κύκλωμα θα λυθεί με την μέθοδο των δυναμικών των κόμβων. Σημειώνονται οι παραστατικοί μιγάδες της αντίστασης του πηνίου και του πυκνωτή και οι παραστατικοί μιγάδες των τάσεων V 1 , V 2 , V 3 στους κόμβους, εκτός του κόμβου αναφοράς. Σημειώνονται τα ρεύματα σε κάθε στοιχείο του κυκλώματος, συναρτήσει των τάσεων των κόμβων, όπως φαίνεται στο κύκλωμα του Σχ. Π5.7β.



142 (V1 –V3)j4 1/j4Ω 1Ω

V1

(V2 –V1)

V1/1

1Ω

V2 V2/j4

V3 (V2 –V3)/1

V3/2

o

10ej30 A 1Ω

j4Ω

2Ω

Σχ. Π5.7β

Γράφουμε το νόμο των ρευμάτων σε κάθε κόμβο, εκτός του κόμβου αναφοράς:

V 1 : 10e j 30  V 2  V 1   V 1  j 4V 1  V 3   0 0

V 2 : V 2 V1 

V2 V 2 V 3  0 j4

V 3 : V 1  V 3  j 4  V 2  V 3 

V3 0 2

Λύνουμε το σύστημα

V3  άρα

0 0 2  j8 10e j 30  6.45e j 44 V 6  j11  25

 t   6.45 cos2t  44 0 V

5.4 Ισχύς εναλλασσόμενου Στα κυκλώματα συνεχούς ορίστηκε η στιγμιαία ισχύς που καταναλώνεται ή παρέχεται, η οποία είναι σταθερή, αφού η τάση και το ρεύμα είναι σταθερά. Ένα ηλεκτρικό στοιχείο χαρακτηρίζεται από την μέση ισχύ που μπορεί ν’ αποδώσει ή να καταναλώσει, και η οποία αν ξεπεραστεί, μπορεί να προκληθεί βλάβη, ή να καταστραφεί η συσκευή. Η ισχύς του εναλλασσόμενου διαφέρει από την στιγμιαία ισχύ, για αυτό είναι ανάγκη να αναλυθεί η σχέση μεταξύ στιγμιαίας και μέσης ισχύος. Όλες οι ηλεκτρικές μηχανές και συσκευές στις οικιακές ή βιομηχανικές εγκαταστάσεις,

143

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ χαρακτηρίζονται από την ονομαστική τάση και συχνότητα λειτουργίας και την ισχύ διαρκούς λειτουργίας. Επόμενα, για τον σχεδιασμό ηλεκτρικών εγκαταστάσεων είναι πολύ σημαντικό να αναλυθούν κυκλώματα όπου είναι γνωστές οι ισχείς των ηλεκτρικών στοιχείων.

i(t)

Στιγμιαία ισχύς και μέση ισχύς

+

Η στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς είναι το γινόμενο της στιγμιαίας τιμής της τάσης στους ακροδέκτες μιας συσκευής επί τη στιγμιαία τιμή του ρεύματος που διέρχεται από την συσκευή Στο απλό κύκλωμα του Σχ. 5.8, η τάση της πηγής είναι εναλλασσόμενη, οπότε και το ρεύμα θα είναι εναλλασσόμενο.

Z

υ(t)

Σχ. 5.8

Απλό κύκλωμα εναλλασσόμενου.

 t   Vm cost    it   I m cost  i  τότε

pt    t  it   Vm cost    I m cost  i  

 1 2Vm I m cos  i   1 2Vm I m cos2t    i 

(5.20)

Η μέση ισχύς προκύπτει από την σχέση

P

1 T



t 0 T t0

pt dt

Αν αντικαταστήσουμε από την Εξ. (5.20), τότε προκύπτει ότι η μέση ισχύς P ή πραγματική ισχύς που παραλαμβάνει η Z , είναι ίση με τον πρώτο όρο της Εξ. (5.20), που είναι σταθερός. Ενώ ο δεύτερος όρος παριστάνει το μέρος που αποθηκεύεται και αποδίδεται πάλι προς την πηγή. Δηλαδή το μέρος της ισχύος που παλινδρομεί μεταξύ του παθητικού κυκλώματος και της πηγής. Στο Σχ. 5.9 φαίνονται η τάση, το ρεύμα, η στιγμιαία και η μέση ισχύς. Για να εκφράσουμε την μέση ισχύ σε όρους σύνθετης αντίστασης, χρησιμοποιούμε τις γνωστές σχέσεις

10

p(t)

5

P

0.0 -5

i(t) υ(t)

-10 Σχ. 5.9

V  ZI , και Z    i επειδή δε είναι Vm  V και I m  I , τότε η μέση ισχύς (πραγματική) είναι


t


144 2

V 2 P  1 2Vm I m cos  i   1 2 m cos Z  1 2 I m Z cos Z Z

(5.21)

Επειδή όμως ισχύει ότι

Z cosZ  R  τότε

P  1 2 I m R  2

(5.22)

Αν το κύκλωμα έχει μόνο δυναμικά στοιχεία (πυκνωτές ή/και πηνία), τότε η πραγματική ισχύς που καταναλώνει είναι μηδέν, P  0 .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.8 I

1Ω

+ 10e ° V

Να υπολογισθεί η μέση ισχύς που καταναλώνεται από την σύνθετη αντίσταση (εμπέδηση) του κυκλώματος που φαίνεται στο Σχ. Π5.8

~

j60

j1 Ω

Σχ. Π5.8

Λύση: 0

0

V 10e j 60 10e j 60 10 j150 I   e A 0  Z 1  j1 2 2e j 45 άρα

Im 

10

A

2

και

i  150 1 1 10 P  Vm I m cos  i   10 cos 45 0  25 W 2 2 2 Το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει από την σχέση

P

1 2 I m R  25 W 2 Πραγματική και άεργος ισχύς

145

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Ας εξετάσουμε την ισχύ που αποδίδεται στην σύνθετη αντίσταση του Σχ. 5.10.

I

Στις περιπτώσεις αυτές είναι πιο εύκολο να εργαζόμαστε με τις ενεργές τιμές, αντί των μέτρων των τάσεων και ρευμάτων. Ένας λόγος που συνηγορεί υπέρ αυτής της επιλογής, είναι ότι τα αντίστοιχα όργανα μέτρησης μετρούν ενεργές τιμές. Για παράδειγμα, η ονομαστική τάση στις οικιακές εγκαταστάσεις είναι 220V . Αυτή είναι η ενεργός τιμή της τάσης τροφοδοσίας όλων των οικιακών συσκευών στο ελληνικό και ευρωπαϊκό δίκτυο.

R V

~ jX

Γενικά, η ενεργός τιμή ενός περιοδικού μεγέθους

X t  δίνεται από X 

1 T



T 0

X 2 t dt , όπου T , η

Σχ. 5.10 Απλό κύκλωμα εναλλασσόμενου.

περίοδος. Αποδεικνύεται ότι η ενεργός τιμή στο εναλλασσόμενο, συνδέεται με το αντίστοιχο μέτρο από τις παρακάτω σχέσεις

V  Vm

2 και I  I m

2

(5.23)

Επόμενα, οι παραστατικοί μιγάδες

V  Ve j και I  Ie ji παριστάνουν τις ημιτονοειδείς κυμματομορφές

 t   2V  cost    και

it   2 I  cost  i  ενώ ο «γενικευμένος» νόμος του Ohm ισχύει όπως και πρώτα

V Z I Στα παρακάτω για απλότητα, αντί του συμβολισμού Z για την γωνία φάσης της Z , θα χρησιμοποιήσουμε απλά το  . Με βάση τις ενεργές τιμές, η στιγμιαία ισχύς θα είναι

pt    t  it   2 V I cos t    cos t  i    V I cos 1  cos2t  2   V I sin  sin2t  2  Τότε ορίζουμε

P  V I cos  Q  V I sin 

(5.24)

έτσι που



146 pt   pR t   p t 

p(t) όπου

P

pR t   P 1  cos2t  2  και

0

t

t

p t   Q sin2t  2 

Έτσι χωρίσαμε την στιγμιαία ισχύ σε δυο συνιστώσες που φαίνονται στο Σχ. 5.11. Στην προκειμένη περίπτωση του κυκλώματος του Σχ. 5.10, επειδή

2P pR (t) P

R  Z cos  και X  Z sin  0

από τις Εξ. (5.24) προκύπτει

t

P  I 2 R και Q  I 2 X

Q pX (t) 0

t

-Q

Σχ. 5.11 Στιγμιαία ισχύς εναλλασσόμενου και η πραγματική και άεργος συνιστώσα της.

Η p R t  έχει μέση τιμή την P , όπως φαίνεται στο Σχ. 5.11. Η P είναι η πραγματική ισχύς που φανερώνει την ισχύ που καταναλώνεται στο φορτίο (στις αντιστάσεις). Η άλλη συνιστώσα μεταβάλλεται μεταξύ των  Q και  Q και έχει μέση τιμή μηδέν, όπως φαίνεται στο Σχ. 5.11. Αυτή η ισχύς παριστάνει παλινδρόμηση αποθηκευόμενης ισχύος στην αντίδραση και η Q ονομάζεται άεργος ισχύς.

Η P έχει μονάδες Watts , ενώ η Q έχει μονάδες

VAR . Αν το φορτίο είναι μόνο αντίδραση, δηλ. R   0 και X    0 , τότε ισχύει P  0 και Q  0 . Για πυκνωτή ισχύει

QC 

I2   C V 2 C

(5.25)

και για επαγωγή

V2 QL   L I  L 2

(5.26)

Παρατηρούμε ότι ο πυκνωτής «παράγει» άεργο ισχύ, αφού QC  0 , ενώ η επαγωγή «καταναλώνει» άεργο ισχύ, αφού QL  0 .

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Αν και η άεργος δεν συμβάλλει στην κατανάλωση πραγματικής ισχύος στο φορτίο, έχει σημαντική επίδραση στην μεταφορά ενέργειας από την πηγή στο φορτίο. Ειδικότερα για δεδομένες τιμές των P και V , η απαιτούμενη ενεργός τιμή του ρεύματος αυξάνει, καθώς αυξάνει η άεργος, όπως φαίνεται από την σχέση

I

P2  Q2

(5.27)

V

Αν για παράδειγμα είναι Q  P , τότε I  1.25 P

2

V

,

που σημαίνει ότι για την μεταφορά πραγματικής ισχύος P , απαιτείται 12% περισσότερο ρεύμα από ότι στην περίπτωση που είναι Q  0 . Επειδή οι γραμμές μεταφοράς έχουν αντίσταση R , καταναλώνουν ενέργεια P  I 2 R , άρα η ύπαρξη μεγάλης αέργου αυξάνει τις απώλειες των γραμμών μεταφοράς.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.9 Στο κύκλωμα του παραδείγματος 5.3 να υπολογισθεί η άεργος και η πραγματική ισχύς του κάθε στοιχείου και της πηγής.

Λύση: Αντίσταση

PR 

1 2 1 I m R  6 2 3  54W , QR  0 2 2

Πηνίο

PL  0

, QL 

1 2 1 I m  L  6 2  5  90 VAR 2 2

Πυκνωτής

1 2 1 2 PC  0 , QC   I m  6  18 VAR  C 2 2 1 Πηγή

1 1 P  Vm I m cos   i   Vm I m cos  Z  54 W 2 2 1 1 Q  Vm I m sin   i   Vm I m sin Z  72 VAR 2 2



147

148 Παρατηρούμε ότι η πραγματική ισχύς της πηγής είναι ίση με την πραγματική ισχύ που καταναλώνει η αντίσταση, ενώ η άεργος της πηγής είναι ίση με το άθροισμα των αέργων της αυτεπαγωγής και του πυκνωτή Q  QL  QC . Το αποτέλεσμα ήταν αναμενόμενο από την αρχή της διατήρησης της ενέργειας. Φαινομένη ισχύς και συντελεστής ισχύος Το γινόμενο της ενεργού τιμής της τάσης και του ρεύματος ενός φορτίου, ονομάζεται φαινομένη ισχύς και έχει μονάδες Volt  Ampere VA . Η φαινομένη ισχύς, όπως προκύπτει από την Εξ. (5.27), σχετίζεται με την πραγματική και άεργο ισχύ ως εξής:

|S| (VA)

V I  P2  Q2

Q (VAr)

Από την εξίσωση αυτή είναι φανερό ότι η φαινομένη ισχύς είναι η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές P και Q . Έτσι μπορούμε να εισαγάγουμε την μιγαδική φαινομένη ισχύ

θ P(W) 

Σχ. 5.11α Τρίγωνο ισχύος. S  V I  V I e

j

 V I cos   j V I sin   P  jQ

(5.28)

όπου I  I e  ji  I e j    , ο συζυγής του ρεύματος 

I . Στην περίπτωση που i  0 τότε i   . Το διανυσματικό διάγραμμα των ισχύων που φαίνεται στο Σχ. 5.11α και ονομάζεται τρίγωνο ισχύος με υποτείνουσα μέτρου S  V I . Αυτό το τρίγωνο είναι όμοιο με το διανυσματικό διάγραμμα της σύνθετης αντίστασης, αφού

S  I2 R j I2 X  I2 Z όπως

προκύπτει

από

την

Εξ.

(5.24)

και

την

Z  R j X . Η οριζόντια προβολή της S παριστάνει την πραγματική ισχύ, έτσι ορίζουμε τον συντελεστή ισχύος (Σ.Ι.)

.. 

P cos  S

(5.29)

Όταν ο Σ.Ι. γίνεται μονάδα, τότε S  P ,   0 και Q  0 . Κάτω από αυτή την συνθήκη το απαιτούμενο ρεύμα για την μεταφορά της πραγματικής ισχύος γίνεται ελάχιστο. Οι επιχειρήσεις ηλεκτρισμού όπως η ΔΕΗ, δίνουν στους καταναλωτές οικονομικά κίνητρα όταν έχουν συντελεστή ισχύος κοντά στη μονάδα. Ο συντελεστής ισχύος είναι επαγωγικός όταν   0 και χωρητικός όταν   0 . Επειδή τα συνήθη βιομηχανικά φορτία (κύρια αποτελούνται από

149

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ επαγωγικούς κινητήρες) έχουν συντελεστή επαγωγικό, τότε πρέπει να προστεθούν πυκνωτές στο φορτίο τους, ώστε να «βελτιώσουν» το συντελεστή ισχύος, δηλ. να τον κάνουν να πλησιάσει τη μονάδα. Οι πυκνωτές συνδέονται παράλληλα με τα φορτία όπως όλες οι ηλεκτρικές συσκευές. Έτσι οι βιομηχανικοί καταναλωτές μπορούν να πετύχουν την ευνοϊκή τιμολογιακή πολιτική της επιχείρησης ηλεκτρισμού.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.10 Στο δίκτυο χαμηλής τάσης της ΔΕΗ συνδέονται τα παρακάτω φορτία: α) Φορτίο θέρμανσης 700 W και ..  1. β) Κινητήρας 709 W , βαθμού απόδοσης 0.9 με ..  0.8 επαγωγικό. Να βρεθεί η ολική φαινομένη, ενεργός και άεργος ισχύς, το ολικό ρεύμα και ο ολικός συντελεστής ισχύος. Σημείωση: Η ονομαστική ισχύς του κινητήρα είναι η μηχανική ισχύς που αποδίδει στον άξονά του. Λύση: Όλα τα φορτία συνδέονται εν παραλλήλω στο δίκτυο χαμηλής τάσης της ΔΕΗ, άρα η τάση στα άκρα τους είναι 220V (ενεργός τιμή). Όταν γνωρίζουμε την πραγματική ισχύ P , τότε από τις Εξ. (5.24) με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι Q  P tan  , όπου tan   ισχύος (Σ.Ι.).

1  cos 2  και cos  είναι ο συντελεστή cos 

Pm , όπου Pm η μηχανική ισχύς στον Pe P άξονα και Pe η ηλεκτρική ισχύς που καταναλώνει ο κινητήρας, τότε Pe  m . Επειδή ο βαθμός απόδοσης ενός κινητήρα είναι  



Υπολογίζω τις ισχείς στα δύο φορτία α) P1  700W , Q1  0 VAR β) P2 

709W  788 W , Q2  P2 tan 2  591VAR 0.9

P  P1  P2  1488 W , Q  591VAR S  P  Q  1601VA 2

2



150 S  V I  I  ..  cos  

S 1601VA   7.27 A V 220 V

P 1488   0.93 S 1601

5.5 Τριφασικά κυκλώματα Η ισχύς του εναλλασσόμενου έχει πολύ σημαντικά πρακτικά πλεονεκτήματα έναντι της ισχύος του συνεχούς στην παραγωγή, μεταφορά και διανομή ηλεκτρικής ισχύος. Το μεγαλύτερο μειονέκτημά της όμως είναι η ταλαντωτική φύση της στιγμιαίας ισχύος στα μονοφασικά κυκλώματα. Τα τριφασικά κυκλώματα ξεπερνούν αυτό το μειονέκτημα και είναι δυνατό να παρέχουν στιγμιαία ισχύ σταθερής τιμής που απαλλάσσει τον εξοπλισμό της παραγωγής και κατανάλωσης ηλεκτρικής ισχύος από την ταλαντωτική καταπόνηση. Ένα άλλο πλεονέκτημα της τριφασικής μεταφοράς, είναι η αύξηση της μεταφερόμενης ισχύος ανά μονάδα αγώγιμου υλικού, σε σχέση με την μονοφασική μεταφορά. Γι αυτό το λόγο η μεταφορά ηλεκτρικής ισχύος γίνεται με τριφασικά δίκτυα. Η ανάλυση των τριφασικών κυκλωμάτων γίνεται με τις μεθόδους ανάλυσης των κυκλωμάτων εναλλασσόμενου. Για διευκόλυνση στα συμμετρικά τριφασικά κυκλώματα, μπορούμε να αναλύσουμε τη μία φάση από τις τρεις και να βρούμε τα άλλα μεγέθη, μεταβάλλοντας απλώς τις γωνίες φάσης. Τριφασικές πηγές και συμμετρικά μεγέθη Το αριστερό μέρος του κυκλώματος του Σχ. 5.12α, παριστάνει μια τριφασική πηγή (τριφασική γεννήτρια). Αυτή αποτελείται από τρεις πηγές εναλλασσόμενης τάσης με ίσα μέτρα

2 V p , συχνότητα  και διαφορά

φάσης 120 0 της μιας από την άλλη. Έτσι

 a  2 V p cos t

b  2 V p cos t  1200  c  2 V p cos t  1200 

(5.30)

ως προς το ουδέτερο σημείο n . Οι αντίστοιχες κυμματομορφές φαίνονται στο Σχ. 5.12β. Οι Εξ. (5.30) ονομάζονται συμμετρικό τριφασικό σύστημα τάσεων με ευθεία ακολουθία φάσεων a  b  c .

151

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Η γεννήτρια έχει συνδεθεί με ένα φορτίο αποτελούμενο από τρεις ίσες αντιστάσεις που ο ένας ακροδέκτης της κάθε μιας συνδέεται με τον αντίστοιχο ακροδέκτη των άλλων δυο σε ένα κοινό σημείο n' . Τα ρεύματα ia , ib και ic είναι απ’ ευθείας ανάλογα με τις αντίστοιχες τάσεις και οι αντίστοιχες κυμματομορφές είναι όμοιες. Αν προσέξουμε καλύτερα το Σχ. 5.12β, θα δούμε ότι σε κάθε χρονική στιγμή ισχύει  a  b   c  0 , το οποίο μπορεί να αποδειχθεί εύκολα και με την βοήθεια των εξισώσεων (5.30) και γνωστές τριγωνομετρικές σχέσεις.

α΄

α ia

+ ~

υa

R

in = 0 n

n΄

υb

υb

υc

υa υc

~ +

~ +

c΄

b

c

b΄ ib

ic

(α) 2

υb

υa

Vp

υc

0

t

(β) 2V p

pa + pb + pc = p= 3Vp2/R

2

(Άσκηση: Δείξτε ότι ισχύει η τριγωνομετρι κή ταυτότητα

pc

pb

pa

R

0

(γ)

0 Σχ. 5.12   0α) Τριφασικό κύκλωμα. cos   cos 1200   cos  120

β) Κυμματομορφές τάσης

για κάθε τιμή του  ).

γ) Κυμματομορφές ισχύος

Επόμενα ισχύει

in  ia  ib  ic    a  b  c  R  0 και αγωγός που συνδέει το n με το n' (ουδέτερος αγωγός) μπορεί να απαλειφθεί. Επίσης μπορούμε να δείξουμε ότι η στιγμιαία συνολική ισχύς

pt   pa t   pb t   pc t   3V p R 2

που παρέχεται από την τριφασική γεννήτρια στο τριφασικό φορτίο είναι σταθερή και ίση με 3V p

2

R . (Η

απόδειξη προτείνεται σαν άσκηση).



t

152 Μπορούμε τώρα να κάνουμε δυο θεμελιώδεις παρατηρήσεις που αφορούν τα τριφασικά συστήματα:  Απαιτούν λιγότερους αγωγούς και λιγότερο αγώγιμο υλικό από τα μονοφασικά για την μεταφορά της ίδιας ισχύος.

a + V ~ a

Vab Vb ~

n

Vca

b

+

~ Vc

Vbc

+

Η δεύτερη παρατήρηση έχει σαν αποτέλεσμα μικρότερες δυναμικές καταπονήσεις στις γεννήτριες και στους κινητήρες.

c

(α)

Το τριφασικό συμμετρικό σύστημα των τάσεων της γεννήτριας μπορεί να γραφεί με την βοήθεια παραστατικών μιγάδων και να παρασταθεί όπως στο Σχ. 5.13β. Οι παραστατικοί μιγάδες

Vc Vca 120° Vbc

V a  Vp e j0

Va

120°

V b  V p e  j120

120°

(β) Vp

Va

30°

1Vp 2

(5.31)

V c  V p e j120

Vab Vb

 Η στιγμιαία τριφασική ισχύς είναι σταθερή, ενώ η μονοφασική έχει και ταλαντωτική συνιστώσα.

1VL 2

Vb

(γ) Σχ. 5.13 Συνδεσμολογία αστέρος και η διανυσματική παράσταση των τάσεων.

παριστάνουν τις τάσεις των τριών ακροδεκτών a , b , c ως προς το κοινό σημείο n και ονομάζονται φασικές τάσεις. Ενώ οι τάσεις V ab , V bc και V ca ονομάζονται πολικές τάσεις. Συνήθως η ονομαστική τάση των γεννητριών αναφέρεται στην πολική τάση (τάση γραμμής). Με βάση το νόμο των τάσεων, από το Σχ. 5.13α, προκύπτει ότι

V ab  V a  V b και το διανυσματικό διάγραμμα του Σχ. 5.13γ, δείχνει ότι η γωνία φάσης της V ab είναι 30 0 . Αν ονομάσουμε

VL  V ab την πολική τάση, από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται στο Σχ. 5.13γ έχουμε

V p2  VL 2  V p 2 2

2

και λύνοντας ως προς VL βρίσκουμε

VL  3 V p Στο ελληνικό δίκτυο χαμηλής τάσης είναι η φασική τάση V p  220 V και η πολική τάση VL  3 V p  380 V .

(5.32)

153

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Για λόγους συμμετρίας, η φασική διαφορά των πολικών τάσεων είναι πάλι 120 0 σε σχέση με την V ab . Πιο συγκεκριμένα

V ab  VL e j 30 V bc  VL e  j 90 V ca  VL e j150

a +

(5.33)

που είναι το συμμετρικό τριφασικό σύνολο των πολικών τάσεων.

Vab

~

b

~ +

Η συνδεσμολογία του Σχ. 5.13α ονομάζεται συνδεσμολογία αστέρα   , ενώ η συνδεσμολογία του

~ +

Vbc

Σχ. 5.14 ονομάζεται συνδεσμολογία τριγώνου   . Είναι φανερό ότι η πολική τάση συμπίπτει με την φασική.

c Σχ. 5.14 Συνδεσμολογία τριγώνου.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.11 Μία τριφασική πηγή συνδεσμολογίας αστέρα έχει πολική τάση V ab  380e βρεθούν οι φασικές τάσεις.

 j 300

. Να

Λύση: Από την σχέση μεταξύ πολικής και φασικής τάσης στη συνδεσμολογία αστέρα προκύπτει

Vp 

VL 3

 220 V

Επειδή η V ab προηγείται της V a κατά 30 0 , τότε

V a  220V  e j 60 V 0

και οι άλλες δύο φασικές τάσεις απλά διαφέρουν κατά 120 0 με την V a και μεταξύ τους.

V b  220 e  j180 V 0

V c  220 e  j 60 V 0

Συμμετρικά φορτία Ένα τριφασικό φορτίο γενικά αποτελείται από αντίσταση και αντίδραση και μπορεί να είναι συνδεσμολογίας τριγώνου ή αστέρα, ανεξάρτητα από την συνδεσμολογία της πηγής. Ένα φορτίο ονομάζεται συμμετρικό, όταν οι σύνθετες αντιστάσεις των τριών φάσεων είναι ίσες μεταξύ τους. Στο Σχ. 5.15α φαίνεται



Vca

154 ένα συμμετρικό τριφασικό φορτίο συνδεσμολογίας αστέρα   , όπου

Ia

a

Z   Z  e j Vab

ZΥ

Va Ib

Vca

ZΥ

b

n’ ZΥ

Vbc

Το κοινό σημείο n' έχει το ίδιο δυναμικό με το ουδέτερο σημείο της γεννήτριας, άρα στα άκρα της κάθε σύνθετης αντίστασης έχουμε φασική τάση, οπότε το ρεύμα

I V a Z  

Ic c

Vp ZY

Ic

3

Z

e

Ib 

0 VL e  j  120  3Z

Ic 

0 VL e j  120  3Z

θ

Ια

L

 j

(5.33)

ρεύματα είναι 120 0 , όπως φαίνεται στο Σχ. 5.15β.

Vc

θ

V

Η φασική διαφορά του I  με τα δυο άλλα

(α)

Ib

e  j 

θ Ia

Va

Η πραγματική και η άεργος ισχύς ανά φάση θα είναι

Vb

  sin   1 3 V

P  V p I L cos  1 3 VL I L cos

(β)

Q  Vp I L

Σχ. 5.15 α) Συμμετρικό φορτίο συνδεσμολογίας αστέρα.

L

I L sin 

Η ολική πραγματική ισχύς θα είναι

β) Διανυσματική παράσταση τάσεων και ρευμάτων

P  3 P  3 VL I L cos

(5.34)

και η άεργος

Q  3 Q  3 VL I L sin 

(5.35)

και

S  

P 2  Q 2

 3 VL I L

(5.36)

αφού

cos 2   sin 2   1 Στην περίπτωση του συμμετρικού τριφασικού φορτίου συνδεσμολογίας τριγώνου, η πολική τάση εφαρμόζεται σε κάθε σύνθετη αντίσταση, όπως φαίνεται στο Σχ. 5.16. Επόμενα, η φασική τάση συμπίπτει με την πολική τάση.

155

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Από το νόμο των ρευμάτων στον κόμβο α:

I a  I1  I 3  Όμως V ca  V ab e

j1200

Ia

V ab V ca  Z Z

, άρα

Vca Ia 

0 0 V ab 3e  j 30  3 I 1e  j 30 Z

a

ZΔ

ZΔ

Vab c

(5.37)

Ι3

Ib

Ι1

ZΔ

ή

Vbc

I a  3 I1  IL  3 I p

Ic

(5.38)

Στη συνδεσμολογία τριγώνου το ρεύμα

Σχ. 5.16

γραμμής I L είναι 3 φορές μεγαλύτερο από το φασικό ρεύμα I p . Αποδεικνύεται ότι στη συνδεσμολογία τριγώνου οι ισχείς δίνονται από τις ίδιες σχέσεις (5.24)(5.36).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.12 Ένα συμμετρικό τριφασικό φορτίο συνδεσμολογίας αστέρα και σύνθετης αντίστασης Z  30  j 40  , συνδέεται στο δίκτυο της ΔΕΗ χαμηλής τάσης. Να βρεθεί το ρεύμα που απορροφά και η συνολική πραγματική ισχύς που καταναλώνεται στο φορτίο. Λύση: Η ονομαστική φασική τάση του δικτύου της ΔΕΗ είναι 220 V . Στη συνδεσμολογία αστέρα, σε κάθε σύνθετη αντίσταση εφαρμόζεται η φασική τάση, άρα το απορροφώμενο ρεύμα θα είναι

I  220 Z  220 30  j 40  220 50e ji όπου i  arctan 40 30  530 άρα

I  4.4 e  j 53 A Η συνολική πραγματική ισχύς είναι

P  3 Vp I cos   3  220  4.4  cos 530  1748 W



b Ι2

156 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.13 Ένα συμμετρικό φορτίο συνδεσμολογίας τριγώνου αποτελείται από μια αντίσταση

10 συνδεδεμένη σε σειρά με ένα πηνίο 20 mH . Το δίκτυο τροφοδοσίας είναι τριφασικό,

V και συχνότητα 60 Hz . Να υπολογισθούν τα συνδεσμολογίας αστέρα με V a  120e ρεύματα γραμμής και φάσης και η συνολική πραγματική, άεργος και φαινομένη ισχύς. j 300

Λύση: Η σύνθετη αντίσταση σε κάθε φάση είναι Z   10  j 7.54   12.52e πολική τάση V ab  3 120 e

0

j 60

j 370

 και η

V . Οπότε

0

0 120 3 e j 60 I1   16.6 e j 22.98 A 10  j 7.54

και επειδή τα φασικά ρεύματα έχουν την ίδια ενεργό τιμή, αλλά διαφέρουν οι γωνίες φάσεις κατά 120 0 , τότε

I 2  16.6 e  j 97.02 , I 3  16.6 e j142.98 0

0

Από την (5.37), τα ρεύματα γραμμής είναι

I a  28.78 e  j 7.01 A , 0

I b  28.78 e  j127.01 A 0

και

I c  28.78 e  j112.99 A 0

Οι ισχείς προκύπτουν από τις Εξ. (5.34) – (5.36).

P  3 VL I L cos   3 3 120  28.78  8274.5 Watt Q  3 VL I L sin   6235 VAR S   P  Q  10360 VA 2

2

5.6 Σχεδιασμός Όπως έχουμε πει, η ανάλυση κυκλωμάτων έχει σκοπό να στηρίξει τον σχεδιασμό που είναι ο τελικός στόχος της εργασίας του Μηχανικού. Πολλές φορές θα χρειαστεί να υπολογισθεί το ρεύμα μιας γραμμής μεταφοράς ώστε να προσδιοριστεί η διατομή του αγωγού, η συντηκτική ασφάλεια και ο διακόπτης. Εδώ δίνεται ένα παράδειγμα σχεδιασμού όπου υπολογίζουμε ένα στοιχείο του κυκλώματος για να συνδέσουμε στο

157

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Ευρωπαϊκό δίκτυο μια συσκευή που σχεδιάστηκε για το Αμερικανικό.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.14 Ένας ηλεκτρικός λαμπτήρας ισχύος 100 W και τάσης 110 V , συνδέεται σε δίκτυο 220V και συχνότητας 50 Hz , με προστατευτικό πυκνωτή C σε σειρά. Να βρεθεί η τιμή του πυκνωτή.

C 220 V

~

Λύση:

I 

j j  C 314 C

Η αντίσταση του λαμπτήρα είναι

R

220 V

121 Ω

~

V 2 110 2   121  P 100

και το μέγιστο ρεύμα που

110 Ve

απορροφά

είναι

I

110  0.91 A . 121

Επειδή δεν πρέπει να ξεπεράσουμε την ισχύ λειτουργίας (μέγιστο ρεύμα), από το κύκλωμα βρίσκω τη σχέση μέγιστου ρεύματος και πυκνωτή.

I

220 121 

j 314C

2

220  1   121    C  15.2 F   0.91  314C  2


Τι παριστάνει ο συντελεστής ισχύος, τι σημαίνει η διόρθωσή του και πως γίνεται; Να δοθούν πλήρεις εξηγήσεις.

5.2

Γιατί οι επιχειρήσεις παραγωγής, μεταφοράς και διανομής ηλεκτρικής ενέργειας ζητούν από τους βιομηχανικούς πελάτες τους να κάνουν διόρθωση συντελεστή ισχύος;

5.3

Ποια είναι τα πλεονεκτήματα των τριφασικών δικτύων έναντι των μονοφασικών στη παραγωγή, μεταφορά, διανομή και κατανάλωση της ηλεκτρικής ενέργειας;

5.4

Πως συνδέονται τα φορτία στο μονοφασικό δίκτυο σε σειρά ή σε παραλληλία και γιατί; Σχεδιάστε την συνδεσμολογία τριών λαμπτήρων ενός πολύφωτου.



158 5.5

Στις οικιακές ηλεκτρικές εγκαταστάσεις τα κυκλώματα είναι συνήθως μονοφασικά ή τριφασικά και γιατί;

5.6

Όταν «ανάβετε» τον ηλεκτρικό θερμοσίφωνα του σπιτιού σας, τι παρατηρείτε στην ένταση φωτισμού των λαμπτήρων και γιατί;

5.7

Τι σημαίνει πτώση τάσης στις γραμμές μεταφοράς και όταν αυξηθεί το φορτίο που συνδέεται στο άκρο της γραμμής η πτώση τάσης αυξάνει ή ελαττώνεται και γιατί;


Στο κύκλωμα του Σχ. 5.1α, είναι I m  2 A , f  100 Hz και L  0.1 H . Βρείτε τους

5.2

Αν A  3  j 4 , βρείτε τα A , j A , A A και 1 A σε ορθογωνικές και πολικές συντεταγμένες.

5.3

Στο κύκλωμα της άσκησης 5.1 υποθέστε ότι το ρεύμα της πηγής είναι

παραστατικούς μιγάδες των  R και  L και σχεδιάστε την κυμματομορφή  L t  . 

i  2 e j 40t ,

R  3 και L  0.1H . Βρείτε την συνολική μιγαδική τάση

  R i  L d i dt και δείξτε ότι   Re  . Καταλήξτε στο ίδιο συμπέρασμα χρησιμοποιώντας παραστατικούς μιγάδες με βάση τη σχέση V  Z I .

5.4

Βρείτε την R  και X   ενός κυκλώματος RC με συνδεσμολογία παράλληλη. Αποδείξτε ότι X    0 .

5.5

Σχεδιάστε τη διανυσματική παράσταση των ρευμάτων και τάσεων ενός κυκλώματος RL σε σειρά και ενός παράλληλης σύνδεσης. Δείξτε ότι και για τα δύο κυκλώματα η συνολική τάση V προηγείται του ρεύματος I .

5.6

Ένα τριφασικό φορτίο συνδεσμολογίας αστέρα, απορροφά 48 KW με συντελεστή ισχύος 0.8 επαγωγικό, όταν συνδεθεί σε τριφασική πηγή φασικής τάσης 120 V . Υπολογίστε α) Το ρεύμα της γραμμής. β) Την συνολική φαινομένη ισχύ. γ) Την πολική τάση. δ) Ποια τιμή πρέπει να έχει η χωρητικότητα του πυκνωτή που θα συνδεθεί σε κάθε φάση ώστε ο συντελεστής ισχύος να γίνει ίσος με ένα.

159


5.7

5.8

Επαναλάβετε το προηγούμενο πρόβλημα για φορτίο συνδεσμολογίας τριγώνου που απορροφά συνολική πραγματική ισχύ 36 KW και συνολική άεργο 15 KVAR . Ένα συμμετρικό τριφασικό φορτίο συνδεσμολογίας τριγώνου και Z   66  j12 , συνδέεται με τριφασική γεννήτρια πολικής τάσης 1040 V μέσω γραμμής μεταφοράς που έχει σύνθετη αντίσταση ανά αγωγό Z   (2  j3) . Να βρεθεί το ρεύμα γραμμής, η ολική πραγματική ισχύς που απορροφά το φορτίο και η πολική τάση στο φορτίο.

5.9

Το κύκλωμα του Σχ. Α 5.9 έχει R1  6  , L  2 mH , R2  0 και C  25 F και τροφοδοτείται από μία πηγή ρεύματος

I  2 e j0 A και κυκλικής συχνότητας

  4000 rad sec . α) Δείξτε ότι Z  5 10 e  j18.5 και βρείτε την  t  . β) Βρείτε τα i1 και i2 και επιβεβαιώστε ότι i  i1  i2 με την βοήθεια των παραστατικών μιγάδων.

i

υ

R1

i1

υ1

υ2

R2 i2

υL

υc

C

L Σχ. Α5.9

5.10

6 Το Σχ. Α 5.10 παριστάνει ένα κύκλωμα πηγής V s  260 e j 0 mV ,   10 rad sec

και L  0 . α) Βρείτε το ισοδύναμο Thevenin του κυκλώματος με τη χρήση των παραστατικών μιγάδων. β) Βρείτε το ρεύμα εξόδου i t  όταν στο κύκλωμα συνδεθεί αντίσταση 10  .

5Ω

υs

~

i

L

1 μF 12

Σχ. Α 5.10



υ

160

5.11

Επαναλάβετε το προηγούμενο πρόβλημα όταν L  24 mH .

5.12

Ένα βιομηχανικό φορτίο καταναλώνει 40 KW , ενώ η γραμμή μεταφοράς έχει αντίσταση 0.1  και η παρεχόμενη ισχύς στην αρχή της γραμμής είναι 44 KW . Αν η τάση στο φορτίο είναι 240 V , να βρεθεί ο .. του φορτίου.

0.1

44 KW

240 V

40 KW

γραμμή μεταφοράς Σχ. Α 5.12

5.13

Μία γραμμή μεταφοράς που έχει σύνθετη αντίσταση 0.06  j 0.25  , μεταφέρει ισχύ σε φορτίο ισχύος 12 KW που λειτουργεί σε τάση 240 V και συχνότητα 60 Hz. Αν η απώλεια πραγματικής ισχύος στη γραμμή είναι 500 W , να βρεθεί ο συντελεστής ισχύος του φορτίου.

5.14

Μία ηλεκτρική κουζίνα 3 KW έχει σχεδιαστεί να λειτουργεί σε μονοφασικό δίκτυο 220 V . Από λάθος συνδέεται στην πολική τάση. Τι θα συμβεί; Υπόδειξη: Η κουζίνα έχει σχεδιαστεί για ένα μέγιστο ρεύμα συνεχούς λειτουργίας.

5.15

Ένας λαμπτήρας πυρακτώσεως εναλλασσόμενου με στοιχεία 75 W , 220 V συνδέεται στο δίκτυο εναλλασσόμενου. Βρείτε την ενεργό τιμή του ρεύματος που απορροφά.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 5.16

Ένας επαγωγικός μονοφασικός κινητήρας απορροφά 2 KW με συντελεστή ισχύος 0.6 από δίκτυο εναλλασσόμενου ρεύματος με ενεργό τιμή τάσης 220 V και συχνότητα 50 Hz. Να σχεδιαστεί η συνδεσμολογία και να βρεθεί η χωρητικότητα του πυκνωτή που πρέπει να συνδεθεί στον κινητήρα ώστε να διορθωθεί ο συντελεστής ισχύος για να γίνει μονάδα. Να υπολογιστεί το απορροφούμενο ρεύμα από το δίκτυο πριν και μετά την σύνδεση του πυκνωτή, αυξάνεται ή μειώνεται;

5.17

Στο πολύπριζο μιας μονοφασικής μπαλαντέζας (μακρύ εύκαμπτο καλώδιο) συνδέεται ένα ψυγείο και ένα ηλεκτρικό μάτι (απλή αντίσταση). Η μπαλαντέζα έχει μήκος 136 m

161






και ειδική αγωγιμότητα 34 m  mm 2 . Το ψυγείο έχει επαγωγικό χαρακτήρα που απορροφά ισχύ 150 W με συντελεστή ισχύος 0.7 , ενώ το μάτι απορροφά 250 W . Αν στην πρίζα που συνδέεται η μπαλαντέζα έχουμε την ονομαστική τάση της ΔΕΗ και η επιτρεπόμενη πτώση τάσης είναι 2% , να υπολογιστεί η διατομή του αγωγού του καλωδίου.

5.18

Σε ένα διαμέρισμα έχουμε αντιστατικά φορτία (λάμπες, μπρίζες κλπ) και το προϋπολογιζόμενο φορτίο όλων των συσκευών είναι 10 ΚW/ 220V. Αν ο κανονισμός ηλεκτρικών εγκαταστάσεων προβλέπει ότι κανένας διακόπτης διακλάδωσης στον πίνακα δεν θα είναι πάνω από 20Α και ένα ποσοστό ασφαλείας μέχρι 25% επί του προϋπολογιζόμενου φορτίου, να βρεθεί πόσες διακλαδώσεις πρέπει να κάνουμε στην εγκατάσταση.

5.19

Για να μειώσουμε τις απώλειες μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας χρησιμοποιούμε ένα μετασχηματιστή στην έξοδο της γεννήτριας ώστε να αυξηθεί η τάση και πριν την κατανάλωση υποβιβάζουμε την τάση πάλι με μετασχηματιστή. Ας θεωρήσουμε ότι το κύκλωμα του Σχ. Α5.19 παριστάνει ένα μικρό ηλεκτερνεργειακό σύστημα, όπου το φορτίο 8 KW με συντελεστή ισχύος 0.8 επαγωγικό λειτουργεί σε ονομαστική τάση 220V . Η συνθέτη αντίσταση της γραμμής μεταφοράς είναι 1.5+j4 Ω και η τάση της πηγής 5 KV. Να υποθέσουμε ότι οι μετασχηματιστές είναι ιδανικοί. Να βρεθεί ο λόγος των σπειρών για κάθε μετασχηματιστή αν η τάση στο φορτίο πρέπει να είναι η ονομαστική και οι απώλειες μεταφοράς 0.5% της ολικώς παραγόμενης ισχύος.

1.5Ω

j4Ω

+ 5KV

~

220V

Σχ. Α 5.19



8KW 0.8 επαγ.

162

163

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μιγαδικοί αριθμοί Ορισμός: Ένας μιγαδικός αριθμός A είναι ένα ειδικό διατεταγμένο ζεύγος δύο

πραγματικών αριθμών  Ar , Ai  . Επομένως ένας μιγαδικός αριθμός A   Ar , Ai  αποτελείται από δύο μέρη: το πραγματικό μέρος Ar και το φανταστικό μέρος Ai . Ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί παρασταθεί με τρεις τρόπους: Καρτεσιανό, πολικό και εκθετικό.

Καρτεσιανός

A  Ar  jAi , όπου j   1 η φανταστική μονάδα. Πολικός

A  A  , όπου A  Ai 2  Ar 2 και   tan 1

Ai . Ar

Εκθετικός

A  A e j  A cos  jA sin  Η τελευταία σχέση βασίζεται στην ταυτότητα του Euler:

e j  cos   j  sin  Η συσχέτιση των τριών τρόπων παράστασης ενός μιγαδικού αριθμού φαίνεται στο Σχ. ΠΑ.1. Παρατηρούμε ότι ο μιγαδικός αριθμός μπορεί να παρασταθεί από ένα διάνυσμα δύο διαστάσεων .

Φανταστικός Άξονας

Αi= A sinθ

Α θ Αr= A cosθ

Πραγματικός Άξονας

Σχ. ΠΑ.1



164 Αριθμητικές πράξεις Ισότητα

A  B  A r  Br και Α i  Bi

Άθροισμα

A  B   Ar  Br   j ( Ai  Bi )

Πολλαπλασιασμός

A B   Ar Br  Ai Bi   j ( Ai Br  Ar Bi )

ή

A B  Ae j A Be j B  ABe j  A  B 

Είναι φανερό ότι ο πολλαπλασιασμός είναι ευκολότερος στην εκθετική μορφή. Συζυγής μιγαδικού

A  A r  j  Αi *

Διαίρεση μιγαδικών *  Ar  jAi Br  jBi  A AB   2 2 B B B* Br  Bi

ή

A Ae j A A j  A  B    e B Be j B B Άρα στον πολλαπλασιασμό και στην διαίρεση, η εκθετική μορφή είναι προτιμότερη.

165

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1.

C. A. Desoer, E. S. Knh, “Basic Circuit Theory”, Mc Graw – Hill, 1969.

2.

A. B. Carlson, D. G. Gisser, “Electrical Engineering: Concepts and Applications”, Addison Wesley, 1981.

3.

N. Balabanian, “Electric Circuits”, McGraw – Hill, 1994.

4.

J. D. Irwin, C. – H. Wu, “Basic Engineering Circuit Analysis”, Prentice – Hall, 1999.

5.

Μ. Πρωτονατάριου, “Μαθήματα Ειδικής Ηλεκτροτεχνίας”, Τόμος Ι, Αθήνα, 1979.



166

167

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ

F Farads (F) ............................. 84

H

Γ

Ι

γραμμικά πρότυπα ................. 5 γωνία φάσης ....................... 128

Δ

Henrys (H)............................ 89

Α άεργος ισχύς ............... 145, 146 αθροιστές ενισχυτές ............. 71 άλγεβρα μιγαδικών αριθμών ......... 125 πραγματικών αριθμών .... 125 αμετάβλητα με το χρόνο ........5 ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων......................5 αναστρέφων ενισχυτής ........ 71 αντίσταση ............................. 29 σύνθετη........................... 133 απόκριση πλήρης ............................. 98 υπερασποσβενύμενη ....... 111 υποαποσβενύμενη........... 111 φυσική .............................. 94 απόκριση σε πηγές μεταβλητές με το χρόνο 102 απόσβεση κρίσιμη ........................... 112 συντελεστής .................... 109 αρχικές συνθήκες ................. 95 αρχική συνθήκη ................. 101 αυτεπαγωγή.......................... 89

Β βελτίωση του συντελεστή ισχύος ............................. 149 βηματική απόκριση ........................ 102 διέγερση.......................... 102 βρόχος ...................................20

διανομή ηλεκτρικής ενέργειας ........................................ 126 διανυσματική παράσταση . 133 διαφορικές εξισώσεις .......... 83 διαφορικός ενισχυτής .......... 74 διαφοριστής ......................... 75 δίθυρο δίκτυο ....................... 63 δυναμικά στοιχεία ............... 83

ιδανικές ανεξάρτητες πηγές 13 ιδανική ανεξάρτητη πηγή ... 13 ιδανική ανεξάρτητη πηγή ρεύματος .......................... 14 ιδανικός μετασχηματιστής.. 63 ισοδύναμα κυκλώματα πραγματικών πηγών ....... 48 ισοδύναμο Norton ................ 48 ισχύς ..................................... 10 άεργος..................... 145, 146 εναλλασσόμενου ............ 142 μέση................................ 143 πραγματική ............. 145, 146 στιγμιαία ......................... 143 συντελεστής.................... 148 φαινομένη ....................... 148

Ε εμπέδηση ............................ 133 εναλλασόμενο ισχύς ............................... 142 ενεργά ................................... 12 ενέργεια .................................. 9 ενισχυτές............................... 64 ενισχυτής τελεστικός ........................ 67 εξαρτημένες πηγές ............... 64

Η ηλεκτρικά στοιχεία .............. 12 ηλεκτρική ενέργεια διανομή ........................... 126 κατανάλωση ................... 126 μεταφορά ........................ 126 παραγωγή ....................... 126 ημιτονοειδείς κυμματομορφές ........................................ 128 ημιτονοειδή διέγερση ........ 132

Θ θεώρημα Thevenin .............. 46

Κ καμπύλη i-υ .......................... 29 κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας ........................ 126 κατανεμημένα ........................ 7 κέρδος ενίσχυσης ................. 65 κόμβος .................................. 18 κρίσιμη απόσβεση ............. 112 κυκλική συχνότητα............ 128 κύκλωμα εναλλασσόμενου 125 κυκλώματα δεύτερης τάξης ............... 109 πρώτης τάξης RC ............. 93 πρώτης τάξης RL .............. 93 συγκεντρωμένων παραμέτρων ................. 31 τριφασικά ....................... 150 κυκλώματα πρώτης τάξης RC .................................... 93 RL .................................... 93 κυμματομορφή γωνία φάσης ................... 128 κυκλική συχνότητα ......... 128 μέτρο .............................. 128

Μ μέθοδος δυναμικών των κόμβων ............................ 34



168 μέθοδος ρευμάτων των βρόχων ............................ 36 μέση ισχύς .......................... 143 μεταβατική απόκριση .......................... 83 κατάσταση ....................... 83 μεταβλητά με το χρόνο ......... 6 μετατροπέας ρεύματος σε τάση ................................. 75 μετατροπέας τάσης σε ρεύμα ......................................... 75 μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας ....................... 126 μεταφορά ισχύος ................. 50 μέτρο .................................. 128 μη αναστρέφων τελεστικός ενισχυτής ......................... 69 μη γραμμικά .......................... 6 μηχανοτρονική ...................... 4 μιγαδικοί αριθμοί .............. 163 μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση . 125 κατάσταση ...................... 98 μονόθυρο κύκλωμα ............. 46 μοντέλο πραγματικής πηγής ρεύματος ..................... 49 πραγματικής πηγής τάσης 49

Ν νόμος Ohm ................................. 29 ρευμάτων Kirchhoff ......... 18 τάσεων Kirchhoff ............. 20

Ο ολοκληρωτής ....................... 75 ορθογωνικός παλμός ......... 103

Π παθητικά .............................. 12

παθητικά στοιχεία ................. 5 παθητικό δίκτυο.................. 47 παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας ....................... 126 παραστατικοί μιγάδες126, 128 πηνίο ............................... II, 89 πλήρης απόκριση ................ 98 πολικές τάσεις ................... 152 πολική τάση ....................... 152 πραγματική ισχύς ...... 145, 146 προσαρμογή ......................... 51 πρότυπα ................................. 7 πυκνωτής ............................. 83

Ρ ρεύμα...................................... 9

Σ σταθερά χρόνου ................... 95 στιγμιαία ισχύς .................. 143 στοιχεία κυκλωμάτων......... 12 στοιχεία μνήμης .................. 83 συγκεντρωμένα ..................... 7 συγκεντρωμένα πρότυπα ...... 5 σύμβαση παθητικού πρόσημου ........................ 16 συμμετρικά φορτία ........... 153 συμπεριφορά σε συνεχές ..... 91 συμπεριφορά στο συνεχές ... 87 συνδεσμολογία αστέρα ..... 153 συνδεσμολογία τριγώνου . 153, 154 σύνθετη αντίσταση............ 133 συνθήκη συνέχειας ........ 87, 91 συντελεστής απόσβεσης ..................... 109 ισχύος............................. 148 συντελεστής ισχύος ........... 148 συσχετισμένες φορές αναφοράς ........................ 16 συχνότητα συντονισμού................... 134 φυσική............................ 109

σχεδιασμός ηλεκτρικών κυκλωμάτων ..................... 5

Τ τάσεις πολικές ........................... 152 φασικές .......................... 152 τάση ....................................... 9 πολική ............................ 152 φασική ........................... 153 τελεστικός ενισχυτής .......... 67 τελική τιμή ........................ 101 τριφασικά κυκλώματα ..... 150 τριφασικές πηγές .............. 150

Υ υπερασποσβενύμενη απόκριση ....................... 111 υποαποσβενύμενη απόκριση ....................................... 111

Φ φαινομένη ισχύς ................ 148 φασικές τάσεις .................. 152 φασική τάση ...................... 153 φορτίο .................................... 9 φυσική απόκριση ................ 94 φυσική συχνότητα............. 109

Χ χαρακτηριστική εξίσωση . 110 χαρακτηριστική κυκλώματος ....................................... 109 χωρητικότητα ..................... 83

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Tόμος A

Recommend Documents