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TEMA: SISTEMAS TÉRMICOS 1. DEFINICIÓN : Los sistemas térmicos son todos aquellos que involucran almacenamiento y flujo de calor. Sus modelos están basados en las leyes de la termodinámica. Ejemplos de ellos son: el termómetro, un sistema de enfriamiento del motor de un carro, un horno, un refrigerador, un intercambiador de calor, un tanque de mezcla de flujo continuo. 2. VARIABLES: para establecer el comportamiento de un sistema térmico se utilizan: a. : temperatura absoluta ( (K) b. q: tasa de flujo de calor (Julios/s, vatios) Para la modelización y análisis se hacen preliminarmente los siguientes supuestos: Todos los puntos tienen en el cuerpo la misma temperatura. Normalmente la temperatura se selecciona como una variable de estado en un sistema térmico ya que es una medida de la cantidad de calor o energía almacenada en un cuerpo. Siempre en los sistemas térmicos existirá una condición de equilibrio que define la operación nominal. Nos interesa conocer las desviaciones alrededor de estos valores nominales. Por ello se establecen temperaturas, tasas de flujo de calor, desviaciones incrementales. (t ) ˆ
(t )
(t ) : desviación ˆ
valor _ no min al
Se define a como la temperatura ambiente que rodea el cuerpo. 3. LEYES FUNDAMENTALES. Como consecuencia de las dos leyes de la termodinámica existen dos tipos de elementos pasivos térmicos: la Capacitancia y la Resistencia térmicas. a. Capacitancia térmica: un cuerpo físico a temperatura uniforme tendrá una relación algebraica entre su temperatura y la energía almacenada en él. Esta relación se puede considerar lineal siempre y cuando no haya cambio de fase. Si tenemos: Tasa _ de _ flujo fl ujo _ net _ en _ el _ cuerpo qentrada (t ) q salida (t ) t
Calor _ neto
q
entrada
(t ) q salida (t )dt
t 0
Y asumiendo que el calor suministrado durante ese tiempo (t-to) es proporcional a la variación de temperatura , , tendremos que en general: Calor suministrado = C* C*
2
(t )
(t 0 )
1
t
q
C t 0
entrada
(t ) q salida (t )dt
[1]
C Capaci tan cia _ térmica( J / K )
Para un cuerpo con masa M y calor específico (J/K*Kg): C=M*
[2]
Derivando [1]:
(t )
1
C
qentrada (t )
q salida (t )
[3]
La ecuación [3] se puede interpretar como: Tasa de cambio en la temperatura = Tasa instantánea neta de flujo dentro del cuerpo
Resistencia Térmica. El calor puede fluir entre varios puntos por medio de
b.
tres mecanismos: i. Conducción ii. Convección iii. Radiación En sistemas térmicos solamente se considera la conducción por cuanto el calor fluye a través de medios que los conecta a una tasa que es proporcional a la diferencia de temperatura entre los puntos. Específicamente el flujo de calor por conducción de un cuerpo con temperatura 1 a un cuerpo con temperatura 2, obedece a la siguiente relación: q (t ) R
1
R
1 (t )
2 (t )
[4]
resistenci _ térmica( K s / J ) _ o _( K / W )
Para un cuerpo con sección A y longitud d compuesto por material de conductividad térmica tenemos: R
d
A *
[5]
3
EJEMPLO. Modelar un sistema térmico de un tanque de flujo continuo, consistente en un recipiente aislado tal como se representa en la figura 1. El recipiente se llena con líquido a una temperatura que se mantiene uniforme por medio del recipiente aislado y un mezclador. El líquido se alimenta a una tasa de flujo volumétrico constante (m3/s) y a una temperatura inicial dada. El líquido sale a la misma tasa de flujo o caudal pero a diferente temperatura. Debido a la mezcla perfecta, la temperatura de salida es la misma que la temperatura del líquido dentro del recipiente.
e(t), w a R qh(t) s, w
, , ,V
Variables y constantes: V: volumen del recipiente (m3/s) : calor específico (J/KgK) 3 : densidad del líquido (Kg/m ) R: resistencia térmica del recipiente (K/w) qh(t): Tasa del flujo de calor (J/s o vatios) W: tasa de flujo volumétrico ((m3/s) e(t): Temperatura del líquido que entra (K) s(t): Temperatura de líquido que sale((K) : Temperatura del líquido en el tanque (K)
Relaciones:
Calor que entra al recipiente = Calor del calentador + calor del líquido de entrada Calor que sale del recipiente = calor de la corriente de salida + calor perdido en paredes del recipiente
M V
M
* V
La capacitancia térmica del líquido: C
* * V
[6]
4
En la ecuación [3]: qentrada(t) = w***e(t) + qh(t) qsalida(t) = w*** + [ -a]/R Reemplazando: (t )
1 1 w * * * e (t ) q h (t ) w * * * a C R
(t )
1 1 w * * * e (t ) ) q h (t ) a C R
C * (t ) w * * * e (t ) q h (t ) ( w * *
1 R
) *
a R
C * * V w * * (t ) e * * V
( w * *
q h (t ) * * V
1
R * * V
) *
a R * * * V
q h (t ) a 1 w w ...............[7] e (t ) V * * V R * * * V V R * C
(t )
Aplicando Transformada de Laplace:
Qh ( s ) a 1 w w ( s) e ( s) V * * V R * * * V V R * C Qh ( s) a w 1 w ( s) s ( s ) e V R * C V * * V R * * * V
s( s )
Se _ identifica _ a _
1 w
como _ la _ cons tan te _ del _ proceso
1
V R * C Para _ 0, _ entonces _ R * C Para _ R , _ entonces _
Para esta última expresión:
V
w
V w
_ aislamient o _ perfecto
, se puede hablar del tiempo requerido para reemplazar el
volumen total del tanque V, a una tasa de w. Como los valores iniciales de las variables deben ser iguales a 0 cuando se calculan las funciones de transferencia, debemos entonces reescribir el modelo en términos de variables incrementales definidas con respecto al punto de operación:
5 Si (t ) =0 en [7], tenemos los valores nominales de; q h
,
e a ,
,
qh a w 1 w e * * V R * * * V V R * C V qh a w 1 w * C 1 * e C V R V * * V R * * * V q * C a * C w * C 1 w * C e h R V * * V R * * * V V C * * V qh
w * C V
e
1
R
a
Escribiendo [7[, en función de las variables incrementales:
e
e e e e e
qh qh qh qh qh * qh
(
w
V Finalmente :
w
1
) R * C V
e
e
1 C
q h * q h
1
w 1 1 w q h * V V R * C C
Entonces _ el _ mod elo _ incremental _ será :
1
e
w V
1 C
q h ....................................................[8]
La operación de equilibrio o punto de operación corresponde a la condición:
(0)=0 y a las entradas: q h =0 y =0
e
Tomando la transformada Laplace de [8]:
a
R * C
6
1 1 w s( s ) ( s ) e ( s ) Qh ( s ) V
C
1 1 w ( s )( s ) e ( s ) Qh ( s ) V C Si _ e cons tan te e 0
( s ) 1 1 1 Qh ( s ) C s ( s ) / C ......[9] G1 ( s ) Qh ( s ) 1 s * 1 w G (0)
G (0)
C
1 V R * C
V
C
1 R
1
1 C w V R * C
C
1 w
1
1 w
1 R
. Se observa entonces que para w grande o R pequeña se reduce el efecto de estado estacionario de un cambio en la entrada del calentador.
7
Otra función de transferencia sería con : Qh
1 w 1 ( s )( s ) e ( s ) Qh ( s ) V C w ( s ) V G 2 ( s ) 1 e ( s ) ( s ) w w 1 w G 2 (0) V 1 1 V V w w V R * C R * C w
G 2 (0) w
1 R * *
w
w
1 R * *
1
1
1 R * w * *
Entonces se deduce que un cambio en la entrada paso a la temperatura
e
, manteniendo
constante la entrada del calentador afectará el valor en estado estacionario de la temperatura del líquido sólo en una fracción del cambio.
8
EJEMPLO. Un tanque con líquido es sellado y luego calentado a una temperatura definida. El objetivo fundamental es el de calcular de antemano el tiempo que requiere el líquido para alcanzar la temperatura deseada. Se dispone de un vaso cerrado y aislado térmicamente, que se llena con líquido. El vaso dispone de un circuito calefactor inmerso en el líquido dentro de una camisa metálica y con una resistencia térmica dada. La temperatura del calentador y la del líquido se mantienen homogéneas por medio de un sistema de mezcla o agitación uniforme. El calentador y el líquido están inicialmente a una temperatura ambiente dada.
qe(t)
H
R HL
CH R La a CL,
L
Variables: R HL R La CH CL H a d L qe(t)
; resistencia térmica camisa metálica de resistencia calefactora a líquido (s-K/Julio) ; resistencia térmica líquido a ambiente (s-K/Julio) ; capacidad térmica del calefactor (Julios/K) ; capacidad térmica del líquido (Julios/K) ; temperatura del calentador ((K) ; temperatura ambiente (K) ; temperatura deseada (K) ; temperatura del líquido (K) ; Tasa del flujo de calor entrando al sistema (J/s o vatios)
Relaciones entre variables: La energía en el calentador: 1
H
C H
qe (t )
q HL (t )
[1]
La energía en el líquido:
L
1 C L
q HL (t )
q La (t )
[2]
9 Ahora bien; q HL (t ) q La (t )
H
L
R HL
L
a
[3]
R La
Reemplazando [3] en [1] y [2]: 1
H
q e (t )
C H
1 H L
L
H L
R HL
L a
C L R HL
[4]
R La
Con las condiciones iniciales: H(0)=L(0)=a Utilizando variables incrementales: H H a H H
L
L
a
L
[5]
L
qe (t ) qe (t )
Reemplazando [5] en [4]:
H
L
1
qe (t )
H a L a
C H
R HL
1 H a L a
C L
R HL
L a a R La
Simplificando:
H
L
1
qe (t )
C H
C L R HL
R HL
1 H L
H L
L
R La
Aplicando Transformada de Laplace, con condiciones iniciales cero:
10 H (0)
0, L (0) 0
s H ( s ) H (0)
H ( s ) L ( s ) 1 Qe ( s ) C H R HL
Qe ( s ) 1 1 ( ) H ( s ) s 0..................[6] s L * * C R C R C H HL H HL H 1 H ( s ) L ( s ) L ( s ) s L ( s ) L (0) C L R HL R La 1 1 1 ¨ L ( s ) s H ( s ) * * C R R C R L HL La L HL 1 1 1 ¨ H ( s ) L ( s ) s 0.......................[7] C L * R HL C L * R HL R La
Queda entonces el sistema de ecuaciones [6] y [7]:
Q ( s ) 1 1 H ( s ) s L ( s) e 0..................[6] * * C R C R C H HL H HL H 1 1 1 ¨ H ( s) L ( s) s 0.......................[7] * C L * R HL C R R L HL La De este sistema de ecuaciones se pueden derivar las funciones de transferencia de interés, ( s ) por ejemplo eliminando H ( s ) , se obtiene L : Qe ( s )
Qe ( s ) 1 1 1 1 1 s H ( s ) s ( ) 0..................[6] L C R C R C R C R C C R * * * * * H HL L HL H HL L HL H L HL 1 1 1 1 1 s s s s s ( ) ( ) ¨ H L 0..................[7] C R R C R * * C H * R HL C L * R HL L HL La H HL Sumando :
Qe ( s ) 1 1 1 1 1 1 L ( s ) s ¨ s C H C L * R HL C L * R HL R La C H * R HL C H * R HL C L * R HL 1
L ( s ) Qe ( s )
C L * R HL * C H
1 1 1 1 1 s s ¨ C L * R HL R La C H * R HL C H * R HL C L * R HL
.....................................[8]
