Teorija površinskih nosača Zadaci za vežbe Školska godina 2015/2016.
SADRŽAJ
1. Traka ploče .................................................................................................................... 3 2. Slobodno oslonjena ploča .............................................................................................. 9 3. Kružna ploča ................................................................................................................ 26 4. Prstenasta ploča ........................................................................................................... 37 5. Kontinualni zidni nosač ............................................................................................... 41 6. Sferna kupola ............................................................................................................... 45 7. Cilindrična ljuska ........................................................................................................ 49 8. Konusna ljuska ............................................................................................................ 52
SADRŽAJ
1. Traka ploče .................................................................................................................... 3 2. Slobodno oslonjena ploča .............................................................................................. 9 3. Kružna ploča ................................................................................................................ 26 4. Prstenasta ploča ........................................................................................................... 37 5. Kontinualni zidni nosač ............................................................................................... 41 6. Sferna kupola ............................................................................................................... 45 7. Cilindrična ljuska ........................................................................................................ 49 8. Konusna ljuska ............................................................................................................ 52
1. Traka ploče Za zadatu traku ploče odrediti i nacrtati dijagram ugiba u x pravcu i karakteristične dijagrame sila u presecima. Podaci: E = = 30,5 GPa, ν = 0,2, d p = 15 cm.
:
Komentar
varirati “gustinu” mreže konačnih elemenata,
varirati oblik i odnos dimenzija konačnih elemenata,
porediti vrednosti ugiba i sila u presecima između trake ploče i grede jedinične širine poprečnog preseka sa karakteristikama i opterećenjem koje odgovaraju traci ploče i varirati konturne uslove.
AxisVM 10 i Tower 7 demo verzije programa.
Strana 3 od 53
REŠENJE: Dimenzije konačnog elementa 0,5x0,5 m AxisVM 10: dijagram ugiba w[mm]
Tower 7: dijagram ugiba w[mm]
Rešenje diferencijalne jednačine: Program: Maple 18 wmax = 9.11 mm
Strana 4 od 53
AxisVM 10: Mx[kNm/m]
Tower 7: Mx[kNm/m]
Rešenje diferencijalne jednačine: Program: Maple 18 Mxmax = 31.25 kNm/m
Strana 5 od 53
AxisVM 10: Mx[kNm/m]
Tower 7: Mx[kNm/m]
Strana 6 od 53
AxisVM 10: Tx[kN/m]
Tower 7: Tx[kN/m]
Rešenje diferencijalne jednačine Program: Maple 18 Txmax = 25.0 kN/m
Strana 7 od 53
AxisVM 10: My[kNm/m]
Tower 7: My[kNm/m]
Rešenje diferencijalne jednačine My = νMx = 6.25 kN/m
Strana 8 od 53
2. Slobodno oslonjena ploča Za zadati sistem odrediti i nacrtati reakcije oslonaca, dijagrame ugiba za sredinu raspona i karakteristične dijagrame sila u presecima. Podaci: E = 30,5 GPa, ν = 0,2, d p = 15 cm.
:
Komentar
varirati dimenziju ploče b (4 m, 6 m, 10 m, 12 m, 14 m i 20 m) i analizirati promenu ugiba i dijagrama sila u presecima sa istom “gustinom” mreže konačnih elemenata,
varirati “gustinu” mreže i oblik i odnos dimenzija konačnih elemenata za različite odnose dimenzija ploče u osnovi i
varirati konturne uslove.
AxisVM 10 i Tower 7 demo verzije programa.
Strana 9 od 53
REŠENJE: Dimenzije konačnog elementa 0,5x0,5 m AxisVM 10: dijagram ugiba w[mm] Oslonci zadati opcijom “Line Support”
Oslonci zadati opcijom “Nodal Support”
Tower 7: dijagram ugiba w[mm]
Strana 10 od 53
Navier-ovo rešenje Program: Wolfram Mathematica Dijagram ugiba u x i y pravcu koji sadrze maksimalni ugib Maksimalni ugib: w(3.0, 4.0) = 9.61441 [mm]
Strana 11 od 53
Elastična površina: AxisVM 10
Tower 7
Navier-ovo rešenje Program: Wolfram Mathematica
Strana 12 od 53
AxisVM 10: dijagram Mx [kNm/m] Oslonci zadati opcijom “Line Support”
Oslonci zadati opcijom “Nodal Support”
Tower 7: dijagram Mx [kNm/m]
Strana 13 od 53
Navier-ovo rešenje Program: Wolfram Mathematica Dijagram Mx (sredina raspona) Maksimum Mx: Mx(3.0, 4.0) = 24.598 [kNm/m]
Strana 14 od 53
AxisVM 10: dijagram My [kNm/m] Oslonci zadati opcijom “Line Support”
Oslonci zadati opcijom “Nodal Support”
Tower 7: dijagram My [kNm/m]
Strana 15 od 53
Navier-ovo rešenje Program: Wolfram Mathematica Dijagram My (sredina raspona) Maksimum My: My(3.0, 4.0) = 15.8994 [kNm/m]
Strana 16 od 53
AxisVM 10: dijagram Tx [kN/m] Oslonci zadati opcijom “Line Support”
Oslonci zadati opcijom “Nodal Support”
Tower 7: dijagram Tx [kN/m]
Strana 17 od 53
Navier-ovo rešenje Program: Wolfram Mathematica Dijagram Tx (sredina raspona) Maksimum Tx: Tx(0, 4.0) = 23.851 [kN/m]
Strana 18 od 53
AxisVM 10: dijagram Ty [kN/m] Oslonci zadati opcijom “Line Support”
Oslonci zadati opcijom “Nodal Support”
Tower 7: dijagram Ty [kN/m]
Strana 19 od 53
Navier-ovo rešenje; Program: Wolfram Mathematica Dijagram Tx (sredina raspona) Maksimum Ty: Ty(3.0, 0) = 21.224 [kN/m]
Strana 20 od 53
AxisVM 10: dijagram Mxy [kNm/m] (ivice ploče) Oslonci zadati opcijom “Line Support”
Oslonci zadati opcijom “Nodal Support”
Tower 7: dijagram Mxy [kNm/m] (ivice ploče)
Strana 21 od 53
AxisVM 10: dijagram Mxy [kNm/m]
Tower 7: dijagram Mxy [kNm/m]
Strana 22 od 53
Navier-ovo rešenje Program: Wolfram Mathematica Dijagram Mxy (ivice ploče) Apsolutni maksimum Mxy: Mxy(0, 0) = 16.6897 [kNm/m] Dijagram Mxy u x pravcu za y=0 - ivica ploce u x pravcu
Dijagram Mxy u y pravcu za x=0 - ivica ploce u y pravcu
Strana 23 od 53
AxisVM 10: Reakcije oslonaca u Z pravcu (Rz [kN]) Oslonci zadati opcijom “Line Support”
Oslonci zadati opcijom “Nodal Support”
Strana 24 od 53
Tower 7: Reakcije oslonaca u Z pravcu (Rz [kN/m])
Navier-ovo rešenje Program: Wolfram Mathematica Dijagrami zamenjujucih transverzalnih sila TTx Maksimum TTx: TTx(0, 4.0) = 28.6736 [kN/m]
Dijagrami zamenjujucih transverzalnih sila TTy Maksimum TTy: TTy(3.0, 0) = 28.6462 [kN/m]
Koncentrisane sile u uglovima ploče:
P = 33.38 kN Strana 25 od 53
3. Kružna ploča Za zadatu kružnu ploču odrediti i nacrtati dijagram ugiba i karakteristične dijagrame sila u presecima. Podaci: E = 30,5 GPa, ν = 0,2, d p = 12 cm.
:
Komentar
varirati “gustinu” mreže konačnih elemenata i oblik i odnos dimenzija konačnih elemenata i
varirati konturne uslove.
AxisVM 10 i Tower 7 demo verzije programa.
Strana 26 od 53
REŠENJE: AxisVM 10: Mreža konačnih elemenata A („Mreža A“) Prečnik kružne ploče podeljen na 16 konačnih elemenata Paralelni krug podeljen na 48 konačnih elemenata
Mreža konačnih elemenata B („Mreža B“) Opcija programa „Domain“ i „Domain Meshing“ Average Mesh Element Size: 0.5 m
Strana 27 od 53
Tower 7: Mreža konačnih elemenata
Strana 28 od 53
Dijagram ugiba w[mm] AxisVM 10: Mreža A
Mreža B
Strana 29 od 53
Tower 7:
Analitičko rešenje:
Strana 30 od 53
Mr [kNm/m] AxisVM 10: Mreža A
Mreža B
Strana 31 od 53
Tower 7:
Analitičko rešenje:
Strana 32 od 53
Mφ [kNm/m] AxisVM 10: Mreža A
Mreža B
Strana 33 od 53
Tower 7:
Analitičko rešenje:
Strana 34 od 53
Rz [kN/m] AxisVM 10: Mreža A
Mreža B
Strana 35 od 53
Tower 7:
Analitičko rešenje:
Strana 36 od 53
4. Prstenasta ploča Za zadatu prstenastu ploču odrediti i nacrtati dijagram ugiba i karakteristične dijagrame sila u presecima. Podaci: E = 30,5 GPa, ν = 0,2, d p = 12 cm.
:
Komentar
varirati “gustinu” mreže konačnih elemenata i oblik i odnos dimenzija konačnih elemenata i
varirati konturne uslove.
AxisVM 10 demo verzija programa.
Strana 37 od 53
AxisVM 10 Mreža konačnih elemenata
Opterećenje
Strana 38 od 53
Dijagram ugiba w[mm] AxisVM 10: Teorija površinskih nosača – S. Zdravković – 142 strana Analitičko rešenje: 6.01 mm
Mr [kNm/m] AxisVM 10: Teorija površinskih nosača – S. Zdravković – 142 strana Analitičko rešenje: 16.175 kNm/m
Strana 39 od 53
Mφ [kNm/m] AxisVM 10:
Teorija površinskih nosača – S. Zdravković – 142 strana Analitičko rešenje: 3.925 kNm/m i 24.850 kNm/m
Reakcije oslonaca Rz [kN/m] AxisVM 10:
Teorija površinskih nosača – S. Zdravković – 142 strana Analitičko rešenje: 14.565 kN/m i 47.185 kN/m
Strana 40 od 53
5. Kontinualni zidni nosač Za zadati zidni nosač odrediti i nacrtati dijagram ugiba i karakteristične dijagrame sila u presecima. Podaci: E = 30,5 GPa, ν = 0,2, d z = 20 cm.
:
Komentar
varirati “gustinu” mreže konačnih elemenata i oblik i odnos dimenzija konačnih elemenata i
varirati konturne uslove.
AxisVM 10 i Tower 7 demo verzije programa.
Strana 41 od 53
AxisVM 10: Mreža konačnih elemenata (0,5x0,5 m):
Tower 7: Mreža konačnih elemenata (~0,55x0,55 m):
Strana 42 od 53
Nx [kN/m] AxisVM 10:
Tower 7:
Strana 43 od 53
Dijagram ugiba AxisVM 10:
Tower 7:
Strana 44 od 53
6. Sferna kupola Za zadatu sfernu kupolu odrediti i nacrtati karakteristične dijagrame sila u presecima. Podaci: E = 30,5 GPa, ν = 0,2, d p = 12 cm.
:
Komentar
varirati “gustinu” mreže konačnih elemenata i oblik i odnos dimenzija konačnih elemenata i
varirati konturne uslove.
AxisVM 10 demo verzija programa.
Strana 45 od 53
REŠENJE: AxisVM 10: Mreža konačnih elemenata
Opterećenje
Strana 46 od 53
Nφ [kN/m] AxisVM 10:
Analitičko rešenje: Teme:
Oslonac:
Strana 47 od 53
Nθ [kN/m] AxisVM 10:
Analitičko rešenje: Teme:
Oslonac:
Strana 48 od 53
7. Cilindrična ljuska Za zadatu cilindričnu ljusku odrediti i nacrtati karakteristične dijagrame sila u presecima. Podaci: E = 30,5 GPa, ν = 0,2, d p = 10 cm.
:
Komentar
varirati “gustinu” mreže konačnih elemenata i oblik i odnos dimenzija konačnih elemenata i
varirati konturne uslove.
AxisVM 10 demo verzija programa.
Strana 49 od 53
REŠENJE: AxisVM 10: Mreža konačnih elemenata
Opterećenje
Strana 50 od 53
Nθ [kN/m] AxisVM 10:
Analitičko rešenje:
Vrh:
Oslonac:
Strana 51 od 53
8. Konusna ljuska Za zadatu konusnu ljusku odrediti i nacrtati karakteristične dijagrame sila u presecima. Podaci: E = 30,5 GPa, ν = 0,2, d p = 10 cm.
:
Komentar
varirati “gustinu” mreže konačnih elemenata i oblik i odnos dimenzija konačnih elemenata i
varirati konturne uslove.
AxisVM 10 demo verzija programa.
Strana 52 od 53
