ˇ FOURIEROVI REDOVI - ZADACI ZA VJEZBU Zadatak 1. Sljede´ce funkcije razvijte u Fourierov red na intervalu [−π, π] : a) f (x) = ex , −π < x < π; Rjeˇsenje: 2 sinh π eπ − eπ = a0 = π π (−1)n (−1)n π π an = (e − e ) = 2 sinh π π(n2 + 1) π(n2 + 1) (−1)n (−1)n π π (e − e ) = −2n sinh π bn = −n π(n2 + 1) π(n2 + 1) ∞ ∞ sinh π 2 sinh π X (−1)n 2 sinh π X n(−1)n f (x) = + cos nx − sin nx. π π n2 + 1 π n2 + 1 n=1 n=1 b) f (x) = x3 , −π < x < π; Rjeˇsenje: a0 = an = 0 π2 6 − bn = 2(−1) n3 n ∞ X π2 6 n − sin nx. f (x) = 2 (−1) n3 n n=1 n
c) ( −2x, −π < x < 0, f (x) = 3x, 0 < x < π; Rjeˇsenje: 5π 2 5 (−1)n − 1 an = πn2 n+1 (−1) bn = n ∞ ∞ X (−1)n+1 5π 5 X (−1)n − 1 f (x) = + cos nx + sin nx. 4 π n=1 n2 n n=1 a0 =
d) ( − 12 , −π < x < 0, f (x) = 0, 0 < x < π;
Rjeˇsenje: a0 = −
1 2
an = 0 1 − (−1)n bn = 2πn ∞ 1 X 1 − (−1)n 1 sin nx. f (x) = − + 4 2π n=1 n e) f (x) = 2x − 3, −π < x < π; Rjeˇsenje: a0 = −6 an = 0 (−1)n+1 bn = 4 n f (x) = −6 + 4
∞ X (−1)n+1 n=1
n
sin nx.
f) f (x) = |x|, −π < x < π. Rjeˇsenje: a0 = π 2 (−1)n − 1 2 πn bn = 0 ∞ π 2 X (−1)n − 1 f (x) = + cos nx. 2 π n=1 n2 an =
Zadatak 2. Koriste´ci razvoj funkcije ( −1, −π < x < 0, f (x) = 1, 0 < x < π; u Fourierov red na intervalu [−π, π] i Parsevalovu jednakost, izraˇcunajte sumu reda ∞ X k=0
1 . (2k + 1)2
Rjeˇsenje: 2 (−1)n − 1 πn ∞ 2 X (−1)n − 1 f (x) = sin nx π n=1 n bn =
∞ X k=0
1 π2 . = (2k + 1)2 8
Zadatak 3. Koriste´ci razvoj funkcije f (x) = |x| u Fourierov red na intervalu [−1, 1], izraˇcunajte sumu reda ∞ X k=0
1 . (2k + 1)2
Rjeˇsenje: a0 = 1 2 n (−1) − 1 π 2 n2 bn = 0 ∞ 1 2 X (−1)n − 1 f (x) = + 2 cos nπx 2 π n=1 n2 an =
za x = 0 ∞ X 1 k=0
(2k + 1)2
=
π2 . 8
*** Zadatak 4. Funkciju f (x) = cos 2x razvijte u Fourierov red po sinus funkcijama na intervalu [0, π]. Rjeˇsenje: L=π−0=π 2n 1 − (−1)n bn = π(n2 − 4) ∞ 2 X n (−1)n − 1 f (x) = sin nx. π n=1 n2 − 4 Zadatak 5. Funkciju f (x) = sin 2x razvijte u Fourierov red po kosinus funkcijama na intervalu [0, π].
Rjeˇsenje: L=π−0=π a0 = 0 4 1 − (−1)n an = π(n2 − 4) ∞ 4 X (−1)n − 1 cos nx. f (x) = π n=1 n2 − 4 Zadatak 6. Koriste´ci razvoj funkcije f (x) = x2 u Fourierov red po kosinus funkcijama na intervalu [0, 1], izraˇcunajte sumu reda ∞ X (−1)n n=1
n2
.
Rjeˇsenje: L=1−0=1 2 a0 = 3 4(−1)n an = 2 2 π n ∞ 1 4 X (−1)n f (x) = + 2 cos nπx 3 π n=1 n2 za x = 0 ∞ X (−1)n n=1
n2
=−
π2 . 12
Zadatak 7. Funkciju ( −1, −π < x < 0, f (x) = 1, 0 < x < π; razvijte u kompleksni eksponencijalni Fourierov red na intervalu [−π, π]. Rjeˇsenje: i (−1)n − 1 cn = πn ∞ X i (−1)n − 1 inx f (x) = e , πn n=−∞
n 6= 0.
NAPOMENA: Zadaci za vjeˇzbu nalaze se i u materijalima Srdana Maksimovi´ca!
