x Teoria de Geometria okokok acad rai.doc

Academia ANTONIO RAIMONDI GEOMETRÍA

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http://www.antorai.com.pe E-mail: [email protected] [email protected] PROHIBIDA LA REPRODUI!" #O#AL O PARIAL

Academia ANTONIO RAIMONDI 2 GEOMETRÍA TÉRMINOS MA MATEMÁ TEMÁTICOS TICOS ,I!URA RA !EOM !EOMÉT ÉTRI RICA CA:: 1. PROPOSICIÓN: Enun Enunci cia a una una ver verdad dad ,I!U demostrada o por demostrar. Toda con4unto de puntos. proposición tiene un solo valor lógico: o es verdadero verdadero !" o es #also $".

Es

cual' ual'u uier ier

2. AXIOMA: %ropo %roposic sición ión evide evidente nte por s& misma 'ue no necesita demostración.

CLASI,ICACIÓN DE LAS ,I!URAS !EOMÉTRICAS 3. POSTULADO: Es una proposición evid eviden ente te 'ue 'ue sin sin tene tenerr la evid eviden enci cia a del del 1. C(&-%*&'*/: 5i tienen igual #orma , a(ioma se acepta sin demostración. tama6o. 4. TEOREMA: Es una proposición 'ue para R R ser evidente re'uiere ser demostrada) tiene dos partes: a" *ipótesis: Es lo 'ue se plantea para la demostración del teorema. 2. S*0*)&'*/: 7uando tienen igual #orma +" Tesis: Es la demostración del teorema. pero tama6os di#erentes. di#erentes. 5. COROLARIO: Es una una co cons nsec ecue uenc ncia ia deducida de un teorema ,a demostrado. R r 6. LEMA: Es una proposición 'ue sirve de +ase para la demostración de un teorema.

3. E%)#* E%)#*&'*/: &'*/: 5i tien tienen en igua iguall 2rea 2rea o 7. ESCOLIO: Es una proposición 'ue sirve volumen sin importar su #orma. para para ac acla lara rarr- res estr trin ingi girr o am ampl plia iarr algu alguna na proposición. 8. PROLEMA. Enun Enunci ciad ado o en el cual cual se pide pide all allar ar una una ca cant ntid idad ad o co cons nstr trui uirr una una /gura geom0trica seg1n condiciones dadas. ELEMENTOS DE LA !EOMETR"A 1. E# $%&'(: Es un ente matem2tico- es la m&ni m&nima ma repr epres esen enta taci ción ón geom geom0t 0tri rica ca de cual cual'u 'uie ierr /gur /gura a geom geom0t 0tri rica ca.. El punt punto o no tiene dimensiones- por lo tanto no e(iste en la natu natura rale le3a 3a)) per pero s& en el pens pensam amie ient nto o umano.

CONUNTOS !EOMÉTRICOS ,UNDAMENTALES 1. C(& C(&%& %&'(/ '(/ C(& C(&*( *(/: /: 5e llama con4unto conve(o conve(o a una /gura geom0trica si el segmento de recta 'ue une dos puntos cuales'uiera de dico con4un 4unto est2 st2 contenido en 0ste. 9

2. L) R*+'): Es una sucesión in/nita de puntos 'ue siguen una misma dirección , 'ue es ilimitada en am+os sentidos. 3. E# P#)&(: Es una super/cie llana- lisa- sin espesor 'ue es ilimitada en todo sentido.

Qg

L

P A

S



R

8na Recta

8na Región 8na Triangular Triangular Es#era

Academia ANTONIO RAIMONDI 3 GEOMETRÍA S*-0*&'( ;* R*+'): %orción de recta comprendido entre entre dos puntos 'ue son los 2. C(& C(&%& %&'( '(/ / N( C(& C(&* *(/ (/:: 5e llama llama e(tremos. g g con4unto no conve(o cóncavo" a una /gura A 9 geom0trica si por lo menos una parte del A9 segm se gmen ento to de rec ecta ta 'ue 'ue une une dos dos punt puntos os cual cuales es'u 'uie iera ra de dic dico o co con4 n4un unto to no es est2 t2 MÁXIMO N
9

( ) M = n n−= >

C

8na Región 7uadrangul ar 7óncava

8n 5 Tri2ngulo Tri2ngulo

 %ara ;n< circun#erencias secantes

R M = n ( n − =)

8na 5uper/cie 7il&ndrica

 %ar a ;n< tri2ngulos secantes M = ?n ( n − =)

POSTULADOS DE LA SEPARACIÓN

1. 8n punto contenido en una recta divide a esta recta en dos semirrectas. 2. 8na recta contenida en un plano divide a  %ar a ;n< cuadril2teros secantes este plano en dos semiplanos. 3. 8n plano divide al espacio en dos M = @n ( n − =) semiespacios. L&*) *+'): sucesión contin1a de puntos 'ue se despla3a acia am+os e(tremos en #orma ilimitada.

g A

A9

g 9

S*09*+'): %arte de la recta 'ue carece de punto de origen.

o A

g 9 A ∉ A9

7ON!E 7ON!EO5 O5

g 9 A ∉ A9

de ;B<

M = B n ( n − =)

 %ara dos pol&gonos di#erente n1mero de lados:

R)(: %arte %arte de la recta 'ue posee punto de origen.

o A

EN !ENERAL: %ara ;n< %o %ol&gono l&gonoss Bados:

7ON!EO5

de

%ol&gono de ma,or # de lados: ;m< %ol&gono de menor # de lados: ;n< ;n< M = >n

Academia ANTONIO RAIMONDI 4 GEOMETRÍA  %ara ;n< /guras cuales'uiera ;* #) n = n+= HH.  II " 0/0 0/0) ) */$* */$*+ +* * conve(as o no ⇒ A9 + AD = A7 conve(as"- el M2(imo N1mero de %untos de 7orte es: 2. S*++=& Á%*): Ba sección 2urea es la n( n − =) media geom0trica entre el segmento menor M= Donde:  es el MN%7 de > de , el se segm gmen ento to tota totall 'ue 'ue se dete determ rmin ina a al > toma tomarr un punt punto o inte interi rior or en un se segm gmen ento to dicas /guras. dado.

SE!MENTO Es a'uel con4unto de puntos pertenecientes a una l&nea recta limitados por dos puntos denominados e(tremos. e(tremos.

A 9 A- 9 : E(tremos A9 : 5egmento A9 O$*)+(&*/ +(& S*-0*&'(/: a" 5uma: A9  97 F A7 A

B

P R Q D/=& A0=&+) D* U& S*-0*&'(: 5e dice 'ue los puntos colineales , consec consecuti utivos vos A- 9- 7 , D consti constitu, tu,en en una >C%)'*&) >C%)'*&) A0=&+) A0=&+)? ?. 5 i 9 , D s o n con4 co n4ug ugad ados os arm armón ónic icos os de de A , 7 ó 9 , D dividen armónicamente al segmento A7. En toda cuaterna armónica se cumple:

Donde:



A9 ) ( 7D ) = ( 97 ) ( AD ) = + = = > @T. @T. ;* D*/+)'*/ D*/+)'*/  A9 AD A7

E& B(0) -*&*)#);): -*&*)#);): 5i se cumple 'ue: (

A9 ) ( 7 D ) = n ( 97 97 ) ( AD )

HH..  I "

A9 =

>

( J − =) A7 >

ÁN!ULOS 7on4un 7on4unto to de puntos puntos perten pertenec ecien ientes tes a dos ra,os 'ue tienen un mismo origen denominado v0rtice. A

g D

(

>

J − = es N N1m 1mero ero Aureo >

O



−a + a J = ( J − =) a

A9 es la sección aurea de A7

g 7

a− (

g 7

( = a( a − ( ) ⇒ ( > = a( a − ( ) (> = a> − a( ⇒ (> + a( − a> =  %or 9asara se tiene: ( = −a ± a J > (=

C

g 9

(

g 9

consideramos solo con el signo positivo "

+" Resta: %R  CR F %C

g A

a

g A

α

B E#*0*&'(/ OA , O9 : Bados O : !0rtice AO9 : Kngulo del 2ngulo AO9 α : Medida del

/*+' ;* %& A&-%#( 5e llama +isectri3 de un 2ngulo a un ra,o 'ue partiendo del v0rtice- divide el 2ngulo

Academia ANTONIO RAIMONDI 5 GEOMETRÍA en dos 2ngulos congruentes de la misma α medida" II. S*-& /%/ +))+'*/'+)/ +))+'*/'+)/ A OM es +isectri3 del ) Á&-%#(/ C(0$#*0*&')(/ 2ngulo AO9

β β

O

M B

α

α

θ

I

θ

CLASI,ICACIÓN DE LOS ÁN!ULOS Bos 2ngulos se clasi/can seg1n su  Á&-%#(/ S%$#*0*&')(/ magnitud- seg1n sus caracter&sticas , seg1n su posición de sus lados. α

I. S*-& /% M)-&'%;:

θ

1. Á&-%#( N%#(:

θ

=LI =LI

α

III. S*-& #) $(/+=& ;* /%/ #);(/

α = 

O 2. Á&-%#( C(&*(: 

α

) Á&-%#(/ );)+*&'*/ );)+*&'*/ /%$#*0*&')(/ /%$#*0*&')(/ α θ =L

=L

α θ agud agudo o: o ( e v n o 7

α

 < α < 

reccto : re o+tus o+tuso o:

 Á&-%#(/ C(&/*+%'(/ 7 9

α = I I α

 < α < =L

=L 3. Á&-%#( ##)&(: α =L

α 4. Á&-%#( C=&+)(: =L α ?

θ

α

O A + Á&-%#(/ ($%*/'(/ $( *# F'+* 9

AP

α

θ

θ

A

9P

; Á&-%#(/ B(0);(/ $( ;(/ *+')/ $))#*#)/  %&) *+') /*+)&'* =

α

@



5. Á&-%#( Á&-%#( ;* %&) %&) %*#') %*#') @$* @$*-(&( -(&( ? se da cuando: α ?

α

L

J

>

B=

?

sur suur B =  B > B>

Q

Á&-%#(/ A#'*&(/ /(& @+(&-%*&'*/ @+(&-%*&'*/

Academia ANTONIO RAIMONDI 6 GEOMETRÍA

Internos: ?F , @FJ E(ternos: >FL , =FQ Á&-%#(/ C(&%-);(/ @/%$#*0*&')(/

/(&

Internos: E(ternos:

?JF=L , @F=L =LF=L , >QF=L Á&-%#(/ C(*/$(&;*&'*/ @+(&-%*&'*/

E#*0*&'(/: !0rtices: A) 9 , 7 /(& Bados: A9) 97 , A7 Kngulos interiores: α ) θ , β =F - >FJ - @FL , ?FQ Kngulos e(teriores: ( ) , ) 3 P($*;);*/ *&'* ;(/ *+')/ $))#*#)/ P($*;);*/: 1. En todo triangulo la suma de las medidas 1. 5i: MN de sus 2ngulos interiores es =L M α 9 (

θ

θ

, β α

θ

α

( ,

2. 5i: B =  B > L1

δ ω

θ

θ

β α

L2

lineal

Kngulo #ormado +isectrices de un par

(Fα + θ

( 7 A 3. En todo tri2ngulo la suma de las medidas de sus 2ngulos e(teriores es ?.

α

α  β  θ  ω  δ F 3.

β

7 A 2. En todo tri2ngulo la medida de un 2ngulo e(terior es igual a la suma de las medidas de dos 2ngulos del tri2ngulo no ad,acentes a 0l. 9

N β

α + θ + β = =LI

por

las

9 θ> θ= + θ > + θ ? = ?I

α+θ=

α θ θ α



θ?

7

A

θ=

4. En todo tri2ngulo la longitud de uno de TRIÁN!ULOS lados est2 comprendido entre la suma , Es a'uel con4unto 9 ,de puntos pertenecientes sus la sustracción de las longitudes de los otros a tres rectas secantes 'ue se interceptan dos lados. θ dos a dos al unir tres puntos no colineales. 5i: a c> + > c

3 α A

β

7

+

Academia ANTONIO RAIMONDI 7 GEOMETRÍA + ( = m n >

+− c < a< ++ c

5. En todo tri2ngulo se cumple 'ue a ma,or 3. lado se le opone ma,or 2ngulo , viceversa. 5i: a > + > c

θ

c

α

+

a

+

m+ n = a + +

θ>α>β

m

β

a

n

4.

m

C#)/G+)+=& ;* TH&-%#(/: I. P( /%/ #);(/

a + + = m+ n

+

a n 5.

escaleno

isosceles

II. P( /%/ H&-%#(/

e'uilatero

7

,

( 6. A

9

9

θ

θ α

β

Triangulo Acutangulo α <  ) θ <  ) β < 

A

Triangulo O+tusangulo α > 

α

α=θ

α



 >



α

@J

(Fθ + α + β

θ A θθ

9( m ( n

>



9

1.

7

TH&-%#(/ N(')#*/:

@J

P($*;);*/

2.

( + , = m+ n

n

Tri2ngulo Rectangulo o l u g n a u c i l + O o l u g n a i r T

m

?



 ?

β

J?

Q@

7 Q

>J

α α

?

J

=

7

>@

?Q @


Q=-J

?-J  = LINEAS Y PUNTOS  J NOTALES DE UN TRIÁN!ULO 



LINEA NOTALE

=L-J

PUNTO NOTALE

>-J

?

>

I: Incentro

α

Bisectriz Interior

I

α

β β

Bisectriz Exterior E: Excentro

E

gg G

2c

Mediana G: Baricentro

a

 2a

c

2

O

Altura O: Ortocentro

C

PROPIDADES:

C: Circuncentro Mediatriz

Academia ANTONIO RAIMONDI  GEOMETRÍA

ββ ββ

x

θ

x xx

α

β β S + (xx= ! $% # xα β " θ " > 2 2

N)'%)#*) ;* %& TH&-%#(

( = a+ +

9 a

c A 5i: a>

Donde: a

a c

C(&/*+%*&+):

7

+ +>

+

c>

∆ esacut2ngulo

a>

+>

c>

∆ esrect2ngulo

a>

+>

c>

∆ eso+tus2ngulo

θ

En un tri2ngulo isósceles al tra3ar la altura relativa a su +ase- este tam+i0n cumple la #unción de +isectri3- mediana , mediatri3  9isectri3  Altura  Mediana  Mediatri3  7eviana

Ba suma de las distancias de un punto cuales'uiera de la +ase en un tri2ngulo isósceles a sus lados congruentes es igual a cual'uiera de las alturas congruentes.

( a

+ θ

P($*;);*/ *& *# ')&-%#( *%#H'*(. 1

En un triangulo e'uil2tero los puntos nota+les coinciden en un 1nico punto

 ortocentro  incentro  +aricentro  circuncentro 

2 2

( a

Ba suma de las distancias de un punto interior a un tri2ngulo e'uil2tero acia sus lados es igual a cual'uiera de las alturas congruentes.

c

+

( = a+ +

%

P($*;);*/ *& *# ')&-%#( /=/+*#*/. 1

θ

 + a

 = a+ ++ c

Academia ANTONIO RAIMONDI 1K GEOMETRÍA Dos tri2ngulos son congruentes- si tienen congruentes dos lados , el 2ngulo comprendido entre ellos. 9 9P P($*;);*/ *& *# 'H&-%#( *+'H&-%#(

≅

 En un tri2ngulo rect2ngulo el ortocentro+aricentro , el circuncetro pertencen a la mediana relativa acia la ipotenisa

α

α

7

A

7P

AP

∆ A97 ≅ ∆ A P9 P7 P

9

Ortocentro >a

?a

A

T*+* C)/(: LLL 9

9aricentro

g

9P

7ircuncentro

a

?a

M

7

≅ 7

A

J En un tri2ngulo rect2ngulo la mediana relativa acia la ipotenusa es la mitad de esta.

9 9M =

@L);(9L);(9L);(

A7 >

7P

AP

∆ A97 ≅ ∆ A P9 P7 P

C%)'( C)/(: LLA0 @L);(9L);(9Á&-%#( 0)( Dos tri2ngulos son congruentes si tienen dos lados congruentes , un 2ngulo congruente opuesto al lado ma,or. 9

A

≅

7

M

CON!RUENCIA DE TRIÁN!ULOS P0* C)/(: ALA @A&-%#(9L);(9 A&-%#( Dos tri2ngulos son congruentes si tienen congruentes un lado , los 2ngulos ad,acentes a 0l. 9 9P

A

θ

AP

T*(*0) ;* #) )/* 0*;) En todo tri2ngulo el segmento 'ue une los puntos medios de dos lados- es paralelo al tercer lado , su longitud igual a su mitad. A7 = >MN

AP

θ

7P

M θ

N

A7  MN

∆ A97 ≅ ∆ A P9 P7 P

S*-%&;( C)/(: LAL L);(

@L);(9A&-%#(9

7P

∆ A97 ≅ ∆ A P9 P7 P

9 α

7

7

A

≅ α

9P

θ A 7 T*(*0) ;* #) /*+'

Academia ANTONIO RAIMONDI 11 GEOMETRÍA  8n punto cuales'uiera de la +isectri3 de un 2ngulo e'uidista de los lados del 2ngulo  Ba distancia del v0rtice ;O< acia los pies de las perpendiculares son congruentes

R %C = %R

%

O

OC = OR

C

T*(*0) ;* #) M*;)' 5i B es Mediatri3 de A9 , % es un punto cual'uiera de B- entonces se cumple 'ue: B %

A

%A = %9

9

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CUADRILATEROS Es el con4unto de puntos pertenecientes a una poligonal cerrada de cuatro lados.

C B

A

δ

α &

E#*0*&'(/. A9: Bado 9D: Diagonal 7: !0rtice α: Kngulo Interno δ: Kngulo E(terno

PROPIEDADES AN!ULARES DE UN CUADRILÁTERO 58MA DE KNG8BO5 INTERIORE5

α=  αβ>  α?  α@ F ? 2 β1

α2

α'

β

α1 DE KNG8BO5 ETERIORE5 ' 58MA α( ? β=  β>  β?  β@ F β( CLASI,ICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS Rom+oide Rom+o

PARALELO!RAMO Rect2ngulo

5on a'uellos cuadril2teros 'ue tienen sus lados opuestos paralelos , congruentes.

7uadrado Rect2ngulo

TRAPECIO

Isósceles Escaleno

5on a'uellos cuadril2teros 'ue tienen solo un par de lados paralelos denominados ;+ases< del trapecio.


5im0trico

TRAPEZOIDE Asim0trico

Es a'uel en 'ue una de sus diagonales es mediatri3 de la otra diagonal. No tiene ninguna simetr&a.

ROMOIDE 9

7 M

A

Es el paralelogramo propiamente dico. A9  7D 97  AD ) A9 F 7D 97 F AD AM F M7 9M F MD ) A F 7 9F D A  9 F =L ) 9  7 F =L

D

RECTÁN!ULO Blamado tam+i0n 7uadrilongoes el paralelogramo e'ui2ngulo.

ROMO Blamado tam+i0n Bosange- es el paralelogramo e'uil2tero.

CUADRADO

Es el paralelogramo regulares decir es e'uil2tero , e'ui2ngulo a la ve3.

Academia ANTONIO RAIMONDI 14 GEOMETRÍA E#*0*&'(/

TRAPECIO 7

9 M

AD , 97: 9ases AD  97  MN MN: Mediana : Altura

N )

A

MN

9 + D >

%C

9 + >5

+ R M

%

N

C

R5 =

>9+ 9++

9

PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS ISÓSCELES 9 7

A

*

%

A* F %D A7 F 9D AF D) 9F 7 A  9 F =L 7  D F =L

D

P($*;);*/ *& #(/ C%);#H'*(/ 1.

a

3.

α

a

(=

( +

+

++

α+θ

>

(

θ 4.

a

aa

a aα

, (= α+ θ >

++ θ

(= θ−α >

α

2.

(

θ

+

a

+ ( + , = =L

d d

( c

c

Academia ANTONIO RAIMONDI 15 GEOMETRÍA 1K.

5.

a

mFn , aF+

n

m

+

6. 5i ;G< es +aricentro del triangulo

(F

( g G

+

a ( = a+ +

7.

+ + ( = 9 + >

(

a+cd @

CUADRILÁTEROS INSCRIPTILES 8n cuadril2tero es inscripti+le si por los cuatro v0rtices pasa una circun#erencia. Bas mediatrices de los lados de este cuadril2tero concurren en un punto- 'ue puede estar u+icado en el interior o en el e(terior- siendo dico punto el centro de la circun#erencia antes mencionada. A dico cuadril2tero tam+i0n se le llama ;7uadril2tero 7&clico<.

9

8.

+ − ( = 9 + >

( 9

. En todo %aralelogramo se cumple 'ue: 7 9 a+ c = ++ d

+

9

A a

D

a

7

β

d

+ A

c

%or lo general se estudian dos condiciones de inscripti+ilidad- 'ue permitan asegurar la e(istencia de la circun#erencia circunscrita al cuadril2tero. 1). C(&;+=&:  8n cuadril2tero es inscripti+le si los 2ngulos opuestos son suplementarios. Es decir 'ue: α  θ F =L ó β  γ F =L.  Esta condición es e'uivalente a decir 'ue un 2ngulo interior del cuadril2tero es igual al 2ngulo opuesto e(terior.

D (

d

c

α

α θ γ

α


2;). C(&;+=&: 8n cuadril2tero es inscripti+le si los 2ngulos #ormados por un lado , una diagonal es igual al 2ngulo #ormado por el lado opuesto , la otra diagonal. B

g7

9g

θ A

I C#)/G+)+=& P( /% ,(0) 1. P(#-(&( P#)&(: Bados coplanares

C

θ

Ag

gD

2. P(#-(&( A#)*);(: Bados no coplanares & Fθ 5i m∠DA7" F m∠79D" A97D : Inscripti+le

OSERACIONES: =. Bos cuadril2teros 'ue 5IEM%RE son inscripti+les son el cuadrado- el rect2ngulo , el trapecio isósceles. >. 5i en un tri2ngulo se unen los pies de dos alturas- se #orma un cuadril2tero inscripti+le.

POLI!ONOS Es todo con4unto de segmentos consecutivos- los cuales siguen di#erentes direcciones. Es decir es toda poligonal cerrada N θ? θ@ α@ 7 α?

A

θJ

αJ α> α=

α

$ θ 

M

θ>

Ag g

E

9g

gD g7

II P( #) M*;;) ;* /%/ Á&-%#(/ ) P(#-(&( C(&*(. 7uando una l&nea au(iliar corta a dico pol&gono a lo muco en dos puntos 2 1

 P(#-(&( C=&+)(. Todos sus 2ngulos interiores son conve(os. %osee por lo menos un 2ngulo interior cóncavo. (

D

θ=

E

E#*0*&'(/

Bados: A9 ) 97 ) 7D ) ..... !ertices: A ) 9 ) 7 ) .... Kngulos interiores: α= ) α > ) α ? ) ..... Kngulos e(teriores: θ= ) θ > ) θ ? ) ..... Diagonal: $7 Diagonal media : MN

' 2 1 III. P( /%/ C))+'*/'+)/


) P(#-(&( E%H&-%#(. Todos sus 2ngulos son congruentes sin αα importar la longitud de la α medida de sus lados. α

α

5uma de 2ngulo e(teriores

5e ?I

%ara todo pol&gono

Kngulo e(terior

e ? n

%ara el %ol&gono E'ui2ngulo

5c

%ara el %ol&gono Regular

5uma de

α

K n g u l o s 7 e n t r a l e s

 P(#-(&( E%#H'*(. Todos sus lados son congruentes sin interesar la medida de sus 2ngulos. + P(#-(&( R*-%#). Es a'uel pol&gono 'ue es e'ui2ngulo , e'uil2tero a la ve3. a Es el 1nico pol&gono 'ue posee 2ngulo central) este a pol&gono se puede inscri+ir , circunscri+ir en circun#erencias conc0ntricas.

a

a

θ θ θ

a

θ

θ θ θ θ a

a

a

Diagonales Totales

; P(#-(&( I*-%#). No cumple con las β α condiciones del pol&gono regular.

γ

θ

Diagonales Tra3adas desde un solo v0rtice

δ φ

PROPIEDADES DE LOS POL"!ONOS P($*;); 5uma de 2ngulos interiores Kngulo interior

,(0%#)

5i =Ln >" i =LIn >" n

Kngulo central

O/*)+=& %ara todo pol&gono %ara el %ol&gono E'ui2ngulo

Diagonales Medias

?I

%ara el %ol&gono Regular

c ? n D

Dv

Dm

Diagonales desde ;v< v0rtices consecutivos Diagonales medias tra3adas desde ;m< puntos

nn ?" >

%ara todo pol&gono

n ?

%ara todo pol&gono

nn =" >

%ara todo pol&gono

D v-n

D m-n

vn

v ="v >" >

mn mm =" >

Academia ANTONIO RAIMONDI 18 GEOMETRÍA consecutivos Diagonales tra3adas desde v0rtices no consecutivos en un pol&gono par de lados

D no cons par

n?n =" L

 7uando el n1mero de lados es di#erente a los anteriores se les menciona de acuerdo a su n1mero de lados) es decir ;pol&gono de UnV lados<- donde el valor de UnV es varia+le de acuerdo al valor dado.

A;+(&)#*/

 N1mero de diagonales totales tra3adas J En todo pol&gono el n1mero de lados es igual al n1mero de v0rtices e igual al n1mero de 2ngulos interiores. n = v =  R si

J 5i en un pol&gono de ;n< lados se tra3an todas la diagonales desde un v0rticeentonces el pol&gono 'ueda dividido en n  >" tri2ngulos. J En un pol&gono de ;n< lados si unimos un punto cuales'uiera de uno de sus lados con todos los v0rtices se determinan n =" tri2ngulos. J En un pol&gono estrellado- los 2ngulos interiores suman =Ln  @"- , los e(teriores suman Q>. NOMRE DE LOS POL"!ONOS: Entre otros- tenemos: N ;* #);(/ ? @ J  Q L  = == => =J >

desde v0rtices no consecutivos en un pol&gono de n1mero impar de lados. N no cons impar F

?( n − =) ( n − ?) L

 N1mero de diagonales medias totales tra3adas desde puntos medios no consecutivos en un pol&gono de n1mero par de lados. D medi no cons par F

n ( ?n − >) L

 N1mero de diagonales medias totales tra3adas desde puntos medios no consecutivos en un pol&gono de n1mero impar de lados. D medi no cons impar F

( n − =) ( ?n − =) L

N(0* Tri2ngulo 7uadril2tero %ent2gono *e(2gono *ept2gono Octógono Non2gono Dec2gono Endec2gono Dodec2gono %entadec2gono Icos2gono

CIRCUN,ERENCIA Es el con4unto de puntos e'uidistantes de un punto /4o denominado centro.

Academia ANTONIO RAIMONDI 1 GEOMETRÍA E#*0*&'(/

L/

+ *

O R OC MN A9 $* B T % B5 - X BN M*N

B LN

O P

R x

Q

0

M

,

L.

: 7entro : %unto A#erente : Radio : 7uerda : Di2metro o 7uerda Ma,or : $leca o 5agita : Recta Tangente : %unto de tangencia : Recta 5ecante : %untos 5ecantes : Recta Normal : Arco de 7ircun#erencia

-

OETIOS J 7onocer la de/nición , los elementos 'ue se asocian a una circun#erencia. J 7onocer sus propiedades , relacionarlos con otras /guras 'ue ,a an sido estudiadas- tales como: 2ngulo- tri2ngulo , cuadril2tero. DE,INICIÓN Es una l&nea curva cerrada cu,os puntos 'ue la constitu,en est2n en un mismo plano , e'uidistan de un punto /4o llamado 7ENTRO. I0$(')&'*: a" > circun#erencias se dice 'ue son congruentes cuando tienen igual radio. +" A la circun#erencia 'ue es tangente a todos los lados de un pol&gono se le llama circun#erencia inscrita en el pol&gono. c" A la circun#erencia 'ue pasa por todos los v0rtices de un pol&gono se le llama circun#erencia circunscrita al pol&gono.

A ÁN!ULO INTERIOR:

III)

7 W

D

A 7

W A9 7D W

α

α

>

D 9

V) ÁN!ULO SEMIINSCRITO: $ormado por una cuerda , una tangente. A

A9 > W

α

α 9

A

r 9

II)

9

I ÁN!ULO EXTERIOR:

gα

W A9

α

VI) ÁN!ULO EX  INSCRITO: $ormado por una cuerda , una secante.

A

r α

W A9 7D >

α

CIRCUN,ERENCIA I) ÁN!ULO CENTRAL:

A9 > W

α

A

ÁN!ULO INSCRITO: α

W A7 97 > W

α

9

α 7

Academia ANTONIO RAIMONDI 2K GEOMETRÍA

PRINCIPALES TEOREMAS TEOREMA DEL RADIO Y LA TAN!ENTE radio ⊥ tangente" Todo radio 'ue llega al punto de tangencia es perpendicular " a la tangente en dico punto.

RECTAS TAN!ENTES COMUNES INTERIORES A

D

9

7

r

A9

TEOREMA DE LAS DOS TAN!ENTES 5i desde un punto e(terior se tra3an dos tangentes a una misma circun#erencia- los segmentos de tangente son congruentes.

7D

DOS TAN!ENTES COMUNES INTERIORES Y UN EXTERIOR

A

A9

97

adem2s α

9

a

=L

θ

α

θ 7

a

TEOREMA DE PONCELET: En todo tri2ngulo rect2ngulo: catetos: a- +" ipotenusa: c"- donde ;r< es el inradio o radio de la circun#erencia inscrita. 5e cumple 'ue: a + a

+

c

TEOREMA DE PITOT: 5e da en todo cuadril2tero circunscrito a una circun#erencia + c

+

RECTAS TAN!ENTES COMUNES EXTERIORES: A 9

AD

d

POSICIONES RELATIAS DE DOS CIRCUN,ERENCIAS COPLANARES I CIRCUN,ERENCIAS EXTERIORES:

c

a

.

R

O1

O2

O=O >

TEOREMA DE STEINER:

d

+ c

R r

II CIRCUN,ERENCIAS TAN!ENTES EXTERIORES

aa−− cc== dd−−++

79

D

7

d

a

+

r

>r

c

a

+

O=

R

O>

r

Academia ANTONIO RAIMONDI 21 GEOMETRÍA M

O=O >

R r

A

III CIRCUN,ERENCIAS INTERIORES

5i MNA9- entonces los arcos AM , N9 son iguales.

N 9

TAN!ENTES

M)/ $($*;);*/ R

O=O >

R r

O>

O=

r

A

T

β

O

R

7

D

θ

r

9

N

I CIRCUN,ERENCIAS SECANTES O=

M

5i OMFON ⇒ A9F7D

θ β

W

W

O>

1. S #)/ ++%&B**&+)/ /(& +(&-%*&'*/ R Y r Z O=O > Z R  r

 C+%&B**&+)/ C(&+F&'+)/ Ba distancia entre los centros es cero.

B

r

gC

D

g

[ [ A7DFAD9

r

A

O/*)+=&: - 5i dos circun#erencias son tangentes- ,a sean interiores o e(teriores- la recta 'ue pasa por los centros- pasa tam+i0n por el punto de tangencia de am+as circun#erencias. O')/ $($*;);*/: J En una misma circun#erencia o en dos circun#erencias congruentes- a arcos congruentes corresponden cuerdas congruentes , viceversa. 9 7 5i el arco A9 es igual al arco 7D entonces: A9 F 7D A D J En una misma circun#erencia- los arcos correspondientes entre dos cuerdas paralelas son congruentes.

C(&+%*&+):

B O= r

g

gO> r

A

[ 9 F=> [ 9FAO AO = >

O/*)+=&: B C

A9  7D

A

D

y

B

x J S /(& A')&-*&'*/ *'*(*/ P

Academia ANTONIO RAIMONDI 22 GEOMETRÍA 2ngulos inscritos en dico congruentes al 2ngulo dado.

arco

son

m R A%9 F (, >

y

x z

( + , + 3 = =LI

S: >R? */ $%&'( ;* ')&-*&+) B

y

(F,

R

x A

S: >T? */ $%&'( ;* ')&-*&+) B

C T

A9 7 D

5ea la medida del 2ngulo M97 F α- el [ mMN 2ngulo dado: α = por ser 2ngulo > inscrito. Tomando los puntos A- 7 so+re el arco M9Npor 2ngulos inscritos: [ Medida del 2ngulo A = α = mMN > [ mMN Medida del 2ngulo 7 = α = > O/*)+=&: Ba semicircun#erencia es el arco capa3 de los 2ngulos 'ue miden 

TRIÁN!ULO ÓRTICO Ó PEDAL 5i en un tri2ngulo acut2ngulo se unen los pies de las alturas- se determina el tri2ngulo órtico o tri2ngulo pedal mientras 'ue al tri2ngulo acut2ngulo dado se le llamar2 tri2ngulo antiórtico. 9

D

C

A

S: >T? */ $%&'( ;* ')&-*&+)

a

aF+

T

+9

7 α

α

A ARCO CAPAZ α El arco capa3 de un 2ngulo dado- es un arco de circun#erencia- de modo N 'ue todos los M

>

%

R A P($*;);*/:

7

=. El Ortocentro del tri2ngulo antiórtico es el Incentro del tri2ngulo %edal. >. 7ada v0rtice del tri2ngulo antiórtico es E(centro del tri2ngulo %edal.

Academia ANTONIO RAIMONDI 23 GEOMETRÍA de los v0rtices del

?. Bas distancias tri2ngulo antiórtico a los lados del tri2ngulo %edalson e(radios de 0ste.

TRIÁN!ULO MEDIANO Ó COMPLEMENTARIO Es a'uel tri2ngulo cu,os v0rtices son los puntos medios de los lados de un tri2ngulo al cual se le denomina tri2ngulo anticomplementario. B

 Ba distancia del ortocentro *" al +aricentro G" es el do+le de la distancia del +aricentro al circuncentro O". *G = > ( GO )

 Ba distancia del ortocentro *" a un v0rtice es el do+le de la distancia del circuncentro O" al lado opuesto al v0rtice mencionado. *9 = > ( O% )

TEOREMA DE TALES: 5i tres o m2s rectas paralelas son cortadas por dos secantes cuales'uiera- entonces las paralelas determinan en las secantes segmentos proporcionales.

G C

A

PROPIEDADES: =. El +aricentro del tri2ngulo anticomplementario es tam+i0n +aricentro del tri2ngulo mediano- en la /gura es el punto ;G<. >. Al tra3ar las mediatrices del tri2ngulo anticomplementario- en el tri2ngulo mediano se determinan alturas. Entonces el circuncentro del tri2ngulo anticomplementario es ortocentro del tri2ngulo mediano.

a

n

+

a m

L1 // L2 // L' // L(:

c

a

( m

n

A

m C

a

(

a m

P

c p

c m

a n

(>

ac mn

T*(*0) ;* #) /*+' E'*(

Recta de Euler

O

+ n

T*(*0) ;* #) /*+' I&'*(

c G

B? B@

B

-

B>

p

c

RECTA DE EULER En todo tri2ngulo- el ortocentro- el +aricentro , el circuncentro pertenecen a una recta llamada R*+') ;* E%#*. A partir de esta condición se puede demostrar los siguientes teoremas:

B=

m

+

c m

a n

(>

mn ac

n

T*(*0) ;* M*&*#)(

n

c

Academia ANTONIO RAIMONDI 24 GEOMETRÍA a+c

mnp

T*(*0) ;* C*)

m

+

RELACIONES MÉTRICAS

7evacentro

a

n

PROYECCIÓN ORTO!ONAL SORE UNA RECTA Ba pro,ección ortogonal de un punto %so+re una recta B- es el pie de la perpendicular tra3ada des % a B. Asimismola pro,ección de un segmento cual'uier /gura- en general"- se o+tiene de pro,ectar todos los puntos de dica /gura- so+re la recta.

a+c mnp

c

p

T*(*0) ;*# I&+*&'(

(

c

( ,

a

a c +

%

I ,

7

$

Dos tri2ngulos son seme4antes si sus tres 2ngulos interiores son respectivamente congruentes , sus lados omólogos son proporcionales. CASOS DE SEMEANZA * 1 C)/(: 5i tienen dos 2ngulos respectivamente congruentes.

9

C

: A

% 7 R 2 C)/(: 5i tienen un par de 2ngulos congruentes , los lados 'ue lo #orman respectivamente proporcionales. ;(

:

a

c 9

R

C

3* C)/(: 5i tienen sus tres lados a proporcionales. c respectivamente a

:

+

7

c

%

N

AP

9P

7P

DP

$P

MP

CP

NP M

+

R

B

 %V es la pro,ección ortogonal de % so+re la recta B) %% P es la pro,ectante.  AP9P es la pro,ección ortogonal de A9 so+re la recta B) AA P es la pro,ectante99 P es la pro,ectanteH. etc.  CPR es la pro,ección ortogonal de CR so+re la recta B.  MPNP es la pro,ección ortogonal de MN so+re la recta B E*0$#(/: 9 D

a

c %

7

C

R %P

C

9

A

D

A

+ SEME ANZA DE TRIÁN!ULOS

A

E

9

A * 7 A* : pro,ección de A9 so+re A A7

R*#)+(&*/ MF'+)/ *& *# 'H&-%#( c R*+'H&-%#(. + 9

m

n

7

Academia ANTONIO RAIMONDI 25 GEOMETRÍA a

J a> F +>c>

J c > F m.a

J +> F n . a

c

J > F m .n

J + . c F a. 

J

= F = = > c> +>

m

c

ma

II E& *# ')&-%#( ('%/H&-%#( 9

c m

c

7 + T*(*0)/ ;* *(& 9

+

A

a

+ 7

+

5i : p a + c se cumple: > Area

+

c A

@ ?

9

c

a

c A

+

9> pp a"p +"p c" m+T*(*0) ;* #) 0*;)&) 7

+

D

n

7

a > m c > n m n+

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUN,ERENCIA TEOREMA DE LAS CUERDAS

( +

+

a

m (> +

7

a

(

A

pp a"p +"p c"

+

+

TEOREMA DE STEART Donde 9D es ceviana:

A

9

7

a> +> c> ma> m+> mc >

a > F c>+> > .+ .m

a

mc

A

7

+

a

m+

J a > F c>+> > .+ . m

n

*

7

9

J c > F a>+> > .+ .n

A

> (+

+

9

a

>m+

+> >

>

a> c >

(

T*(*0)/ ;* E%+#;*/: I E& *# ')&-%#( )+%'H&-%#(

c

c

>

a

m+

A

>

a

,


( ,

a+ (,

a.d +.c

TEOREMA DE CADU TEOREMA DE LAS SECANTES

5i el ∆ A7D es e'uil2tero

7

a

+

9

+

(

,

a

(

a+ (,

A

a

+

( D POLI!ONOS RE!ULARES

TEOREMA DE LA TAN!ENTE

%ol&gono regular es a'uel pol&gono 'ue es e'uil2tero , e'ui2ngulo a la ve3. Todo pol&gono regular tiene la propiedad de ser inscripti+le , circunscripti+le a la ve3- a dos circun#erencias conc0ntricas- es decir- el centro de la circun#erencia inscrita coincide con el de la circun#erencia circunscrita.

(

+ a

(>

a+

TEOREMA DE PTOLOMEO Y IETTE

+ a (

,

c

d ( ,

(., a.c +.d

a.d +.c a.+ c.d

TEOREMA DE PACEIN

+

,

a ( d

c

POL"!ONO RE!ULAR INSCRITO 8n pol&gono regular se dice 'ue est2 &/+'( *& %&) ++%&B**&+) si todos sus v0rtices son puntos de ella. Bos lados de un pol&gono regular inscrito /(& +%*;)/ ;* #) ++%&B**&+) , se designan com1nmente con la letra l min1scula" , un /%&;+* 'ue indica el n1mero de lados del pol&gono regular al 'ue corresponde. El radio de la circun#erencia circunscrita se acostum+ra a designarle con la letra R ma,1scula". As& por e4emplo: l ? : lado del tri2ngulo e'uil2tero inscrito l n : lado del pol&gono regular inscrito de ;n< lados

APOTEMA DE UN POL"!ONO RE!ULAR Es un segmento perpendicular tra3ado desde el centro del pol&gono a cual'uiera de sus lados. 5e designa com1nmente por

Academia ANTONIO RAIMONDI 27 GEOMETRÍA ;)< , un /%&;+* 'ue indica el n1mero l R >= 7osα " n n de lados del pol&gono regular. As& por e4emplo: α l n R @5en> n > a L : apotema del oct2gono regular a n : apotema del pol&gono regular de ;n< α l n >R5en n lados > 2. A$('*0) ;*# P(#-(&( R*-%#) Ba apotema de cual'uier pol&gono regular TRIÁN!ULO ELEMENTAL DE UN viene a ser la distancia del centro de la circun#erencia acia cuales'uiera de los POL"!ONO RE!ULAR lados del pol&gono. 5e llama tri2ngulo elemental del pol&gono regular- a a'uel tri2ngulo cu,os v0rtices son dos v0rtices consecutivos del pol&gono , el tercer v0rtice es el centro de dico pol&gono. R

Elementos

O: Centro R : Circunradio ln : Lado an : Apotema ∆AOB: Triángulo Elemental αn : Ángulo Central

R

O αn an

A

ln

CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DEL POL"!ONO RE!ULAR 1. L);( ;*# P(#-(&( R*-%#)

R

l

αn

n

R

>

ln >

>

ln

ln >

R>

= @R > l > n > ,=0%#) T-(&(0F' +):

αn >

LADO DEL POL"!ONO RE!ULAR DE DOLE Nn" 7on l>n designaremos al lado de un pol&gono A +%( regular inscrito en una circun#erencia&0*( ;* #);(/ */ *# ;(#* 'ue el de otro pol&gono regular de >&? lados 9 inscrito en la misma circun#erencia. R

an

P( L* ;* C(/*&(/: l n> R > R > >R.R.7osα n" >

ln >

R an

an

an R.7os

R

>

%or el teorema de %it2goras: an

9

αn

O

l >n

* 7

R

l >n

>

>R = 7osα n"

D $

E

ln

Academia ANTONIO RAIMONDI 28 GEOMETRÍA 1. E(presando las 2reas en #unción de las apotemas- se tendr2: > A n F  n ( apn > ) , A F   ( ap ) de donde: En el ∆ O7D- por el Teorema de Euclides: 7D > OD > O7 > >O7 "O*" l >n"> R > R > >R"an" = @R > l n> %ero: an > >

l >n" l >n

R

>

R

Aca$emia Raimon$i

el %i%tema efecti&o para t' in(re%o a la 'ni&er%i$a$

>R" = @R > l n > >

>

>R > R @R > l n>

RESUMEN DE LOS POLI!ONOS RE!ULARES

N

&

#&

)&

?

=> 

R ?

R >

@



R >

R > >





R

R ? >

L

@J

R >

>

R > >

>

= >

?

R >

?

R > >

?

= 

?

R >

J

Q>

J =

R = > J >

> > A n n( apn )  n apn F F   > A  ( ap )   ap

R = > J @ R @

J =

R*#)+(&*/ *&'* $(#-(&(/ *-%#)*/ 5ean dos pol&gonos regulares cuales'uiera de ;n< , ;< lados cada uno- estos estar2n relacionados de la siguiente #orma:

Academia ANTONIO RAIMONDI 2 GEOMETRÍA

P(#-(&( R*-%#)

PRINCIPALES POL"!ONOS RE!ULARES P(#-(&( L);( ;*# P. R. R*-%#)

a

? R l ?TH&-%#( E%#H'*(

A$('*0) ;*# P. R.

l? R ?

a?

=>

R >

R l @ C%););( a@ 

l@

a

R  *H-(&( R*-%#)

l

R >

a@

R > >

R

a

R ? >

l

lL O+'H-(&( R R*-%#)a L @J

l=> D(;*+H-(&( R*-%#)

R >

>

aL

R > >

>

l=> R >

?

a=>

R > >

?

lL

R ?

a=> l=>

R >



>

a=> R @



>

l= R D*+H-(&( a= R*-%#) ? 

l=I

R >

J =

a=

R = > J @


R

lJ

aJ lJ P*&'H-(&( Q> R*-%#)

R = > J >

aJ

R @

J =

ÁREAS DE RE!IONES POLI!ONALES SUPER,ICIE Es el espacio ocupado por una super/ciese consideran dos dimensiones. EXTENSIÓN SUPER,ICIAL Es el espacio ocupado por una super/ciese consideran dos dimensiones. RE!IÓN Es la reunión del con4unto de puntos del contorno de una /gura plana con el con4unto de puntos de su interior.

Es la medida 'ue tiene una región- se re/ere al tama6o de la región. Es el n1mero de veces 'ue est2 contenida la unidad de 2rea en dica región- es un n1mero 'ue se e(presa en unidades cuadradas =mm> - =cm> - =m> - =m>- etc.

8nidades de Krea

Á*) ;* %& TH&-%#( C%)#%*)

Región Triangular

Región E(agonal

Q

A

+. >

+

Á*) ;* %& TH&-%#( O'%/H&-%#(

Región 7ircular



A

+. >

UNIDAD DE ÁREA Es la región determinada por un cuadrado cu,o lado mide la unidad =mm.- =cm.=m.- =m.- etc" =u> =u

ÁREA

=u

+

Á*) ;* %& TH&-%#( R*+'H&-%#(

A

a +

a .+ >

Á*) ;* %& TH&-%#( @,=0%#) T-(&(0F'+)


a

A=

α

a +5en α >

+

Á*) ;* %& TH&-%#( E%#H'*(

a



A A

a> ? A @

a

A

A A

> ? ?

a

A=

A

A

A total 

A

,=0%#) ;* *=& A

c

a

A

+ A

pp a"p +"p c"

A A

A

A A Total Total

44

Á*) ;* %& 'H&-%#( *+'H&-%#( +(&(+*&;( 2 /*-0*&'(/ ;* #) Q$('*&%/).

m

a+ ++ c Donde: p = > Á*) ;* %& TH&-%#( *& B%&+=& ;*# /*0$*0*'(  ;*# &);(.

A mn n

A = p. r

a

+

r

a+ ++ c Donde: p = >

Á*) ;* %& 'H&-%#( *& B%&+=& ;*# *);(

Á*) ;* %& c TH&-%#( *& B%&+=& ;* /%/ #);(/  ;*# ++%&);(.

g Ra

9

+

a

R

A

a.+.c @R

+

5

A

7

A

Á*) ;* %& C%););(

M)/ P($*;);*/:

A

a

5 = ( p − a) ra

A A = total >

a

d a

A a

>

A

d> >


E& %& ')$*+( +%)#*/%*)

Á*) ;* %& R*+'H&-%#(

A=

A +.



A>

A

+ Á*) ;* %& R(0(;*



α

A

E& %& ')$*+( +%)#*/%*)

A

a

A

A

+.

A

a.+.5en α

AA T T >>

AA

+ E& %& $))#*#(-)0(

Á*) ;* %& R(0(

A

D

A

D.d >

A5

d Á*) ;* %& T)$*+(

+

A

+

9 + . >

9 Á*) ;* %& C%);#H'*( C%)#%*)

α A

,

(

( , 5enα >

E& %& ')$*+( +%)#*/%*)

A=

A>

AA= AA> = >

AA

AA T T >>

AA

AA T T @@

E& '(;( +%);#H'*( /* +%0$#* %*:

A

A

A T

Á*) ;* %& C%);#H'*( I&/+'(

+ c

a d


A

p a"p +"p c"p d"

Á*) ;* %& C%);#H'*( C+%&/+'(

r

A 55 A T T > >

S

A p.r

L&%#)/ ;* $=+)'*/.

C+%#(

A πr>

r

5> 5= A

S*+'( C+%#)

55= 55> E& %& $))#*#(-)0(. = >

α

AA

> R π α A=

?

r

S

P)) H*)/ /*0*)&'*/.

55

AA T T @@

A>

A=

E& '(;( +%););(: A?

A 5

5

B

B> A = ( π − >) >

5 B

E& '(;( +%););( /* +%0$#* %*:

________________________________

S

AA T T JJ

55 5

A T >

Academia ANTONIO RAIMONDI 34 GEOMETRÍA www.antorai.com.pe C((&) C+%#) S*-0*&'( C+%#) R

A 5eg.7ir. A 5ec.7ir. A

α

r

r

Z(&) = ,)) C+%#) 9 A

A π R> r>

T)$*+( C+%#)

7 D

R

A \ona

r

α

A

A 5eg.AD" A 5eg.97" RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

DETERMINACIÓN DE UN PLANO

9

Tres A puntos no colineales D

B

8na recta A , un punto e(terior a ella

B=

Dos rectas secantes

B> B=

Dos rectas paralelas

B>

POSICIONES RELATIAS DE RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

B=

B>

%aralelas

πα

?

R > r>


B=

5ecantes

B> E&'* R*+')/: B> B=

Ala+eadas o 7ru3adas

%aralelas

E&'* R*+')/  P#)&(/:

5ecantes

7oincidentes

%aralelos

E&'* P#)&(/:

5ecantes

7oincidentes

Academia ANTONIO RAIMONDI 36 GEOMETRÍA A&-%#( ,(0);( $( L1 ;(/ R*+')/ A#)*);)/

B= , B> son rectas Es elL2ngulo #ormado por una de las ala+eadas. 5i B?  B= es α  rectas ala+eadas con una paralela a el 2ngulo #ormado por B= L la otra. 2 , B>.

D/')&+) *&'* A#)*);)/

;(/

R*+')/

L1

d !iene a ser L2 la longitud del segmento perpendicular a dicas rectas ala+eadas.

En la pr2ctica es conveniente pro,ectar am+as rectas en un plano perpendicular a una de ellas: Y Dica recta perpendicular al ;d< es la distancia entre R B= las rectas plano se pro,ecta como unala+eadas B= , B> punto en dico plano- la otra d 'ueda pro,ectada como una N recta. Y O Aora- la distancia del punto a la B> recta pro,ectada viene a ser la m&nima distancia entre las dos rectas 'ue se cru3an.

TEOREMA % DE TALES A $))#*#(/ son 5i tres o m2s planos 9 C interceptados por dos rectas secanteslas longitudes de los 7 segmentos 'ue seR determinan entre los planos tienen longitudes proporcionales. TEOREMA DE LAS TRES B= B ?PERPENDICULARES 5i por el pie de una recta perpendicular a un plano se tra3a ( B > a una A una segunda perpendicular 9 recta contenida en dico plano- el % pie de la segunda perpendicular unida con cual'uier punto de la recta perpendicular al plano- determina

A9 97

5i : B =

%

A9

%C CR

B>

⇒ B?

B> Es

L

Academia ANTONIO RAIMONDI 37 GEOMETRÍA una recta perpendicular a la recta decir: contenida en dico plano. (

I

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO

L1 L 2 L 5i una recta es perpendicular a un ! plano- entonces es perpendicular a todas las rectas contenidas en dico plano.

C(&;+=& $)) %* %&) R*+') L /*) P*$*&;+%#) ) %& P#)&( Ba condición para 'ue una recta sea perpendicular aL1un plano es 'ue dica recta seaL perpendicular a dos ! rectas secantes 2contenidas en dico plano.

5i:

B

%

⇒ B

B =- B > - B ? - ... etc."

5i:

B

B= B

B> ⇒ B

%

ÁN!ULOS DIEDROS Y ÁN!ULOS POLIEDROS A&-%#( D*;( A Es a'uella /gura geom0trica #ormada por dos semiplanos 'ue tienen en com1n su recta de origen. A dico origen se le denomina ARI5TA , a los semiplanos seOle denominan 7ARA5. 

α

X

Á&-%#( P#)&( = Á&-%#( R*+'#&*( ;* %& Á&-%#( D*;(

Es a'uel 2ngulo cu,o v0rtice es un punto cual'uiera de9 la arista , sus lados son C % perpendiculares a dica arista , se encuentra en las caras del diedro. Todo 2ngulo diedro tiene in/nitos 2ngulos rectil&neostodos ellos congruentes. 8n 2ngulo diedro ser2 agudo- recto u o+tuso seg1n como sea su 2ngulo plano.

M*;;) ;*# Á&-%#( D*;(

E#*0*&'(/: % , C: 7aras del Kngulo Diedro A9 : Arista del Kngulo Diedro OX : Kngulo Rectil&neo del 2ngulo Diedro

Academia ANTONIO RAIMONDI 38 GEOMETRÍA Ba medida de cual'uier 2ngulo rectil&neo de un α : Medida del Kngulo Diedro 2ngulo diedro nos da la medida del 2ngulo diedro.

P(*++(&*/ ;* R*-(&*/ P#)&)/ 9 El 2rea de la pro,ección de una región poligonal so+re un plano es igual al 2rea de dica región multiplicado por el coseno del 2nguloαdiedroA'ue #orman el plano del pol&gono pro,ectante , el plano de pro,ección. A

9 . 7osα

A&-%#( P(#*;( O Y Blamado tam+i0n 2ngulo sólido o E#*0*&'(/ anguloide- es a + cla /gura Ogeom0trica : !0rtice d un puntoO7: #ormada al tra3ar delArista espacio e por tres o m2s ra,os- de tal manera + : 'ue 7aratres ra,os no son coplanares. β : Diedro δ ω Y Es la /gura geom0trica determinada por α D la reunión de E tres o m2s regiones A β θ angulares no coplanares- consecutivas , de v0rtice com1n. 9

7

O ca + Es el 2ngulo poliedro m2s importanteαtieneθtres caras. 7 A β A&-%#( T*;(

9 CLASI,ICACIÓN DEL ÁN!ULO TRIEDRO P( #) R*-%#);); ;* /%/ C))/

P( *# &0*( ;* C))/ R*+')/

Academia ANTONIO RAIMONDI 3 GEOMETRÍA T*;( E/+)#*&(. 5us caras , diedros T*;( R*+'H&-%#(. 8na tienen di#erente medida. .

a

+ c

α

β

cara mide

O ca +

θ

θ

α

A

7

β

9 T*;( I/=/+*#*/. Dos caras , dos diedros tienen igual medida respectivamente.

a

c

+

α

θ

β

A

α I

O ca + I

θ

β

T*;( *+'H&-%#(. Dos caras miden  cada una- a las cuales se oponen diedros 'ue miden .

7

9 T*;( E%#H'*(. 5us caras , diedros tienen igual medida respectivamente. a + c O α β θ ca +

A

α

θ βI

I I

7

9

PROPIEDADES DE LOS TRIEDROS:

T*;( T*+'H&-%#(. Es un triedro e'uil2tero cu,as caras miden  cada una de ellas- a las cuales se lo oponen diedros 'ue miden .

Academia ANTONIO RAIMONDI 4K GEOMETRÍA Ba di#erencia de dos caras es menor 'ue la tercera cara , 0sta a su ve3 es menor 'ue la suma de las otras dos caras anteriores. a + c a +

O ca + A

Ba suma de las medidas de las tres caras siempre es ma,or 'ue  pero menor 'ue ?.

θ

α β

9



7

a + c

?

Ba suma de las medidas de los tres diedros siempre es ma,or 'ue =L pero menor 'ue J@. =LIM

α

β

θ

J@IM

En todo triedro la suma de las medidas de dos diedros es menor 'ue la medida del tercero aumentado en =L. α

β

θ

=LIM

A ma,or cara se opone ma,or diedro , viceversa. A menor cara se opone menor diedro , viceversa. 5i dos caras son congruentes- los diedros a los 'ue se oponen tam+i0n son congruentes , viceversa. 5i : a

+

α

β

5i : a

c

α

θ

T*;( P(#) ( S%$#*0*&')(. Es a'uel triedro cu,as aristas son perpendiculares a las caras de otro triedro , viceversa. Bas caras de uno de ellos son los suplementos de los diedros del otro.

POLIEDROS

Academia ANTONIO RAIMONDI 41 GEOMETRÍA Arista SUPER,ICIE POLIÉDRICA Es la super/cie no plana determinada por la reunión de cuatro o m2s regiones poligonales planas no coplanares 7ara de modo 'ue cual'uier par de regiones poligonales- llamadas caras tienen en !0rtic com1n a lo m2s un lado llamado arista. POLIEDRO Es un sólido geom0trico completamente Diagona limitado por una super/cie poli0drica. 8n poliedro- como m&nimo de+e tener cuatro caras.

CLASI,ICACIÓN DE LOS POLIEDROS: 1. POLIEDRO CONEXO Es a'uel 'ue est2 limitado por una super/cie poli0drica conve(a. 8na super/cie poli0drica es conve(a si todos los v0rtices 'uedan en un mismo semiespacio respecto del plano 'ue contiene a cada cara. Adem2s se tiene 'ue al tra3ar una recta secante corta en > puntos de intersección a su super/cie poli0drica. 2. POLIEDRO NO ONEXO @CÓNCAO Es a'uel 'ue est2 limitado por una super/cie poli0drica no conve(a. 8na super/cie poli0drica se llamar2 no conve(a- si los v0rtices 'uedan en uno , otro semiespacio respecto al plano 'ue contiene a una cara convenientemente escogida. Adem2s se tiene 'ue al tra3ar una recta secante corta en m2s de > puntos de intersección a su super/cie poli0drica. T*(*0) ;* E%#*. En todo poliedro conve(o- la suma del n1mero de caras mas el n1mero de v0rtices es igual al n1mero de aristas aumentado en dos. T*(*0). En todo poliedro- la suma de los 2ngulos internos es igual a tantas veces ? como el n1mero de v0rtices

7

!

i

? ! >

5 i

? A 7

5

A

>

Academia ANTONIO RAIMONDI 42 GEOMETRÍA disminuido en dos.

T*(*0). 5i un poliedro est2 #ormado por  pol&gonos de n lados- = pol&gonos de n= lados- ... asta  m pol&gonos de nm lados) el n1mero de aristas viene dado por la siguiente e(presión:

A

n =n=  mnm >

POLIEDROS RE!ULARES 5e llama poliedro regular al poliedro cu,as caras son todas pol&gonos regulares congruentes- compro+2ndose 'ue en cada v0rtice concurren un n1mero igual de aristas. En todo poliedro regular sus 2ngulos diedros son congruentes- lo mismo 'ue sus 2ngulos poliedros. Todo poliedro regular se puede inscri+ir , circunscri+ir en es#eras conc0ntricas- siendo el centro de estas es#eras el centro del poliedro regular. 5ólo e(isten cinco poliedros regulares.

POLIEDRO

,(0) ;* #)/ +))/

A



C

TETRAEDRO



@

@

*EAEDRO

=>

L



O7TAEDRO

=>



L

DODE7AEDRO

?

>

=>

I7O5AEDRO

?

=>

>

POLIEDROS RE!ULARES CONU!ADOS 5e llaman poliedros regulares con4ugados a a'uellos en 'ue el n1mero de caras de uno es igual al n1mero de v0rtices del otro , viceversa. 5eg1n el teorema de Euler de+en tener el mismo n1mero de aristas. 5on poliedros con4ugados: Y El *e(aedro , el Octaedro. Y El Dodecaedro , el Icosaedro. Y El tetraedro es con4ugado por s& mismo. Bos centros de las caras de un poliedro regular son los v0rtices de un poliedro con4ugado al primero.


PRISMAS SUPER,ICIE PRISMÁTICA Generatri

Es a'uella super/cie generada por una recta denominada (eneratri) 'ue se despla3a paralelamente a s& misma apo,2ndose en una poligonal planaDirectri cerrada , conve(a denominada $irectri) . 5uper/cie%r ism2tic

E#*0*&'(/

PRISMA ABC"E: Ba#e Es el poliedro limitado A$%E: por Cara la super/cie Lateral G prism2tica cerrada , por :dos planos *7 Ari#ta paralelos , secantes super/cie los * a dica $ Lateral cuales son pol&gonos congruentes. ]

$G

I

: Ari#ta de la

Ba#e &: Altura

 PRISMA RECTO Es a'uel prisma cu,as aristas laterales son 9 perpendiculares a las +ases.

7

A

E

D


SUPERI,ICIE CIL"NDRICA

Generatri

Es a'uella super/cie generada por una recta denominada (eneratri) 'ue se despla3a paralelamente a s& misma apo,2ndose en una l&nea curva plana , Directri cerrada denominada $irectri). 5uper/cie 7il&ndrica

CILINDRO r O= una super/cie Es el sólido limitador por

cil&ndrica cerrada , por dos planos paralelos entre s& , secantes a todas las g   generatrices. O> CILINDROr RECTO Es a'uel cilindro cu,as generatrices son perpendiculares a sus +ases. E#*0*&'(/ CILINDRO CIRCULAR 7&rculos de centros O= , O>:RECTO 9ases Es O a'uel cilindro recto cu,as +ases son =O > : Altura " c&rculos- tam+i0n es denominado +#&;( : Generatri3 por'ue es generado por ;*g *(#%+=& 7ircun#erencias de centro O = ,una O>: vuelta Directri3 una región rectangular al girar Radioa de +ase enr:torno unolade sus lados.

ÁREA Y OLUMEN DE UN PRISMA Y DE UN CILINDRO Y

Á*) L)'*)# @AL. Es igual al 2rea de su desarrollo lateral. AB

Y

%er&m.+" 

Á*) T(')# @AT. Es igual al 2rea lateral m2s la suma de las 2reas de las dos +ases del prisma. A T

AB

>A +"

Y

(#%0*& @. Es igual al producto del 2rea de la +ase por la longitud de su altura. !

Donde:

A +" 

%er&m.+ : %er&metro de la +ase

A + : Krea de la +ase :

Altura


PARALELEP"PEDO Es a'uel prisma cu,as caras todas son regiones paralelogr2micas.


) R(0(*;( Es a'uel paralelep&pedo cu,as )/*/  +))/ #)'*)#*/ /(& (0(/. Es decir son regiones rom+o0dricas.

 P))#*#*$$*;( R*+'( Es a'uel paralelep&pedo cu,as aristas laterales son perpendiculares a los planos de las +ases. Esθ decir /%/ +))/ #)'*)#*/ /(& *+'H&-%#(/  /%/ )/*/ $))#*#(-)0(/.



θ

+ P))#*#*$$*;( R*+')&-%#) O'(*;( (c D R*+'(*;( Es a'uel paralelep&pedo recto +))/ '(;)/ /(&+ cu,as a *-(&*/ *+')&-%#)*/. D> A T

a> +> c> > a+ +c ac" !

; C%( = *)*;( R*-%#) Es a'uel paralelep&pedo 'ue tiene a sus seis carasD congruentessiendo todas 0stas regiones cuadrangulares a

D

A T

a

a >

a !

?

a?

a+c


TRONCO DE PRISMA RECTO Es una porción de prisma recto comprendido entre una de sus +ases , un plano no paralelo a dica +ase secante a todas sus aristas laterales. 5us caras laterales son trapecios rect2ngulos. a +

AB

5umaA de las caraslaterale"

A T

!

AB

9

A 9

a + c ?

c

TRONCO DE CILINDRO CIRCULAR RECTO Elipse

Es una O >porción de cilindro de Grevolución comprendido entre una de sus +ases e , un plano no paralelo a dica +ase secante a todas sus g generatrices. r O=

AB

>πre A T

!

e

πr

AB

A+

A Elipse

>

G

e

g >

SEMEANZA DE CILINDROS r R



r

*

g

G

A+ A9

r > R

R v !

r R

?

PIRÁMIDE Y CONO

 *

g G

 > *  *

?

...



g > G g G

...

?

...

> ?


SUPER,ICIE PIRAMIDAL !0rtic Generatri

5uper/cie%iramidal

Es a'uella super/cie generada por una recta llamada generatriz 'ue Directri pasando por un punto /4o denominado vértice - se despla3a apo,2ndose en una l&nea poligonal plana cerrada llamada directriz .

Academia ANTONIO RAIMONDI 4 GEOMETRÍA

PIRÁMIDE O

E#*0*&'(/ Es el sólido limitado por una o 71spide super/cie piramidal cerradaO :,!0rtice un plano 'ue intersecta a todas las : 7ara Bateral ∆O7D aristas de una o4a. A97D: 9ase  O% : Apotema 9 7 PIRÁMIDE RE!ULAR O* : Altura % en la cual su Es a'uella *pir2mide +ase es un pol&gono regular , sus A aristas lateralesD son congruentes. Adem2s sus caras laterales son tri2ngulos isósceles congruentes entre s& , su altura cae en el centro de gravedad de la +ase. SUPER,ICIE CÓNICA Es una super/cie generada por una recta llamada !0rtic (eneratri) 'ue pasando por un punto 5uper/cie /4o 7ónica Generatri denominado v0rtice se despla3a por todos los puntos de una l&nea curva plana no secante a s& misma Directri denominada $irectri) .


CONO ! Es el sólido limitado por una super/cie cónica cerrada , un plano secante a ella 'ue intersecta ga  todas glas generatrices de  una misma o4a.

r O CONO RECTO r Es a'uel cono en el cual el pie de su altura coincide con el centro de la +ase deE#*0*&'(/ dico sólido. 7&rculo de centro O: 9ase CONO CIRCULAR RECTO 7ircun#erencia de centro O: Directri3 Es a'uel!:cono recto cu,a +ase es un !0rtice o 71spide c&rculo- tam+i0n : Altura se denomina cono r : Radio de la 9ase $e re&ol'ci*n por'ue se genera g : 'eneratri( con una región triangular rectangular al girar una vuelta en torno a un cateto. Á*) L)'*)# @AL. Es igual al 2rea de su desarrollo lateral. A B 5emiper&metro +" a p" .......%ir2mid

Y

A T

Y

5emiper&metro +"g"

....... 7ono

!

Á*) T(')# @AT. Es igual a la suma del 2rea lateral m2s el 2rea de la +ase.

TRONCO DE PIRÁMIDE RE!ULAR Es la porción de pir2mide comprendida entreapla +ase , la sección plana determinada por un plano secante a la pir2mide , paralelo a su +ase.

AB

A T

5emiper&metro9

AB

A9

A+

(#%0*&. Es igual a la tercera parte del producto del 2rea de la +ase con la altura

Y

e AB

AB

A+

= A " " ? +

5emiper&metro+ "ap"

Academia ANTONIO RAIMONDI 51 GEOMETRÍA  ?

!

A9

A+

A 9 .A +

TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO Es la porción de cono circular r +ase , la recto entre su seccióng plana determinada  por un plano paralelo a dica +ase. 5us +ases son c&rculos. R

r g

 R

Tam+i0n se le denomina tronco $e cono $e re&ol'ci*n por'ue se genera con una región trapecial rectangular al girar una vuelta en torno a su lado perpendicular a sus +ases.

AB

5emiper&me tro9

A T

!

5emiper&me tro+"g"

AB

 A ? 9

A9

A+

A+

A 9 .A +

Aca$emia Raimon$i+ el %i%tema efecti&o para t' in(re%o a la 'ni&er%i$a$ Pla)a ,an ranci%co 0 1 telefono: 234350 1 '%co/Per6

SEMEANZA DE PIRÁMIDES

O

O= * 9=  A=

7= D=

 *

A+ A9

 *

>

9

7 %

%= A

O=%= O%

O=%= O%

>

D

O=A= OA

O=A= OA

A =D= AD >

A =7 = A7

A=D= AD

>

...



A=7= A7

>

...

>

Academia ANTONIO RAIMONDI 52 GEOMETRÍA v !

 *

?

?

O=%= O%

O=A= OA

?

A=D= AD

?

A=7= A7

?

...

?

g G

...

SEMEANZA DE CONOS r R

g

G

*



A+ A9

R

r

r R

v !

r R

 *

>

?

 *  *

ES,ERA 7ircun# . Menor

%lano5ecant

SUPER,ICIE ES,ÉRICA R

7ircun# .Ma,or

O

R

Es a'uella super/cie generada por una semicircun#erenciaR al girar ? en torno a su di2metro.

%lano Tangent

A 7&rculoMenor

@ πR >

%lano5ecant

ES,ERA 7&rculoMa,or R REs a'uel sólido generadoO por

un semic&rculo al girar ? Ren torno a su di2metro. Tam+i0n se puede decir 'ue la es#era es el sólido limitado por una super/cie es#0rica.

%lano Tangent

!

@ ? πR ?

USO ES,ÉRICO Y CUA ES,ÉRICA

>

?

g G g G

 >

?

...

...

> ?


USO ES,ÉRICO 5uper/cie generada por una semicircun#erencia 'ue gira un 2ngulo menor 'ue ? R alrededor de su R di2metro. Tam+i0n se de/ne al uso α de super/cie es#0rico como la porción es#0rica comprendida entre dos semicircun#erencias m2(imas del mismo di2metro. CUA ES,ÉRICA 5ólido generado por un semic&rculo 'ue gira un 2ngulo menor 'ue ? alrededor de su di2metro. Tam+i0n se R de/ne a la cu6a es#0ricacomo la R α porción de es#era comprendida entre dos semic&rculos m2(imos del mismo di2metro , por el uso es#0rico correspondiente.

!7.E.

ZONA ES,ÉRICA Y SE!MENTO ES,ÉRICO

ZONA ES,ÉRICA Es la porción de super/cie es#0rica limitada por dos circun#erencias determinadas por dos planos   R R paralelos , secantes a la super/cie es#0rica.

>

πR α

A *.E.

A \.E.

>πR

SE!MENTO ES,ÉRICO + DE DOS ASES Es la porción de es#era comprendida R entre s& , entre dos planos paralelos  R la es#era. secantes a a

!5.E.

π

?



π

>

a > +>



R? α >Q

π

x Teoria de Geometria okokok acad rai.doc

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