Geometria Plana Teoria - Ferreto Matemática

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CIRCUNFERÊNCIA E CÍCÍRC RCUL ULOO Pa Partrtee 1 Elementos Raio: Corda: Arco: Setor Circular Segmento Circular

Ângulos na CircunferÊncia e Propriedades

1.1. Propriedade Propriedade da Tangente

1

Determine a medida de x, sabendo que os raios das circunferências medem 8cm e 2cm.

x

2. Propriedade da Secante

2

Em uma circunferência de raio 15 cm, determine o tamanho da corda que se encontra a 12 cm do seu centro.

3. Segmentos tangentes

A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o raio da circunferência inscrita a esse triângulo t riângulo mede 1 cm. Calcule o perímetro do triângulo.

3

4. Ângulo Central e Ângulo Inscrito Ângulo Central: Ângulo Inscrito: Propriedade

A circunferência abaixo possui raio medindo 5 cm. Determine x.

x 60°

4



CIRCUNFERÊNCIA E CÍCÍRC RCUL ULOO Pa Partrtee 2 Comprimento e Área Comprimento Área

Uma pista de atletismo é formada por duas raias cujo percurso é formado por duas partes retas intercaladas com duas semicircunferências, conforme a figura.

Dois atletas estavam correndo, um na raia I e outro na raia II, quando pararam para descansar. O atleta da raia II disse que dera 10 voltas na pista e correra mais, pois sua raia é maior; já, o outro atleta discordou, pois ele acreditava ter dado mais voltas. Se a semicircunferência tracejada da raia I tem raio igual i gual a 10 metros, a da raia II tem raio de 12 metros, e as partes retas têm 100 metros de comprimento, então o número mínimo de voltas que o atleta da raia I deve completar para correr mais que o outro é a) 11. b) 12. c) 13. d) 14. e) 15. 1

(Espm) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo retângulo e ADE é um quadrante de círculo de centro D. Se o lado AB e o arco AE têm comprimentos iguais a  , a medida da área sombreada, em cm2, é:

a) 4 b)  c) 2 d) /2 e) 2

2

Comprimento de um Arco de CircunferÊncia O comprimento de um arco de circunferência (ℓ) é proporcional à medida do ângulo central ().

Área do Setor Circular

(Unicamp) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central  = 60°. Determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.



3



HEXÁGONO REGULAR Definição Hexágono regular é o hexágono que possui os ângulos internos e os lados congruentes entre si.

Área

(Upe) A figura a seguir representa um hexágono regular de lado medindo 2 cm e um círculo cujo centro coincide com o centro do hexágono, e cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado do hexágono. he xágono.

Considere:  ≅ 3 e √ 3 ≅ 1,7

1

Inscrição e Circunscrição

Hexágono

Hexágono

Inscrito

Circunscrito

(Ufsj) Observe a figura abaixo. abaixo.

Calcule a razão entre a área e o perímetro do hexágono regular inscrito na circunferência de diâmetro k.

2



POLÍGONOS REGULARES Introdu ão Polígono é Polígono é uma figura plana com lados, no qual o número de lados é igual ao número de ângulos.

Soma dos Ângulos Internos A soma soma dos ângu ângulos los int intern ernos os de um um polígo polígono no conv convexo exo é dada dada pela pela seguin seguinte te fórmula: ( − 2)  = 180 180°° ⋅ (

Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno delimitado por quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno e pela rua Júpiter é 90°; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110° e o ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100°. Nessas condições, determine a medida do ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa.

1

Polígono Regular Um polígono convexo é regular se possuir todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.

Em um pentágono regular, determine a medida do seu ângulo interno e a medida do seu “ângulo cêntrico”.

2

Apótema Apótema Apótema de um polígon polígonoo regular regular é o segme segment ntoo com com uma uma extr extremi emidade dade no no centro e a outra no ponto médio de um lado.

Nota Todo polígono regular é inscritível e circunscritível em uma circunferência.

Pentágono Regular circunscrito a uma circunferência

Pentágono Regular inscrito em uma circunferência

3



QUADRILÁTEROS (Parte 1) Paralelogramo

Paralelogramo é Paralelogramo é o quadrilátero que possui os lados opostos paralelos e congruentes.

Área

(Upe) Dois retângulos foram superpostos, e a intersecção formou formou um paralelogramo, como mostra a figura abaixo:

Sabendo-se que um dos lados do paralelogramo mede 4,5 cm, quanto mede a área desse paralelogramo?

1

Trapézio

Trapézio é Trapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos entre si. Área

(Uece) O palco de de um teatro tem a forma forma de um trapézio trapézio isósceles cujas medidas de suas linhas de frente e de fundo são respectivamente 15 m e 9 m. Se a medida de cada uma de suas diagonais é 15 m, calcule, em m2, a medida da área do palco.

2



UADR UA DRILÁ ILÁTER TEROS OS Pa Partrtee 2 Retângulo é Retângulo é o quadrilátero que possui os quatro ângulos congruentes.

Área

(FUVEST) O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja lagura é 3/5 do comprimento. A parte sombreada representa um jardim retangular cuja largura é também3/5 do comprimento. Qual é a razão entre a área do jardim e a área do terreno?

1

Losango

Losango é Losango é o quadrilátero que possui os quatro lados congruentes.

Área

O perímetro de um losango é 40 cm e uma diagonal mede 16 cm. Calcule a área desse losango.

2

Quadrado

Quadrado é Quadrado é o quadrilátero que possui os quatro ângulos e os quatro lados congruentes.

Diagonal

Área

(Uftm) Uma placa retangular, retangular, de 60 cm por 40 cm, será inicialmente inicialmente recortada ao longo de uma de suas diagonais e, em seguida, ao longo de duas direções paralelas aos seus lados, de modo a se obter um quadrado, conforme indicado na figura.

Calcule a razão entre as medidas da área do quadrado recortado e da área total da placa.

3



SEME SE MELH LHAN AN A DE TRI TRIÂN ÂNGU GULO LOSS Introdução SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos serão semelhantes se possuírem os três ângulos congruentes e os lados homólogos proporcionais.

Determine os valores de a e b nas figuras abaixo: 3

a

b

5 7

6

1

Teorema Fundamental Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em dois pontos distintos, então o triângulo que ele determina é semelhante ao primeiro.

b

c

a

(FUVEST) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre o chão plano, mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1m de altura mede 0,6m. Determine a altura do poste.

2

Notas Com base na semelhança de triângulos, se a razão de semelhança é k, então:   

A razão entre os lados homólogos é k; A razão entre os perímetros é k; A razão entre as alturas homólogas é k;

....

Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura abaixo. Sendo assim, determine o raio aproximado do disco-voador, em m.

3

Razão entre Áreas de dois Triângulos Semelhantes Dois A razão entre as áreas de de dois triângulos semelhantes é igual ao da razão de semelhança. quadrado da

4



TEOREMA DE TALES

Introdu ão Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.

Determine o valor de x em cada caso abaixo, considerando que as retas r, s e t são paralelas:

r

x 3

2 s

x+6

t

x

6

4

1

3

Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura.

Considere que – os pontos A, B, C e D estão alinhados; – os pontos H, G, F e E estão alinhados; – os segmentos AH, BG, CF e DE são, dois a dois, paralelos entre si; – B = 500 m, C = 600 m, D = 700 m e E = 1980 .

Nessas condições, a medida do segmento GF é, em metros, a) 665. b) 660. c) 655. d) 650. e) 645.

2



TRIÂNGULOS Propriedades P1. Soma dos Ângulos Internos

P2. Ao maior ângulo opõe-se o maior lado a 60

50

b

c

P3. Desigualdade Desigualdade Triangular

Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois.

a b

c 1

Dois lados de um triângulo medem 8 cm e 21 cm. Quanto poderá medir o terceiro lado, sabendo que é múltiplo de 6?

Área de um Triângulo

2

(UERJ) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40 cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, de modo que ̂  = 45° e ̂  = 30°, conforme ilustrado a seguir. A

D

B

E

C

Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros. Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que √ 3 = 1,7, determine a área área do triângulo triângulo CAE, em cm2.

Triângulo Equilátero Altura

3

Área

Inscrição e Circunscrição

(UECE) Os pontos médios dos lados de um triângulo equilátero cuja medida da área é 9√ 3 2 são ligados dividindo o triângulo em quatro outros triângulos equiláteros congruentes. Calcule a medida da altura de cada um destes triângulos menores.

4

Geometria Plana Teoria - Ferreto Matemática

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