Volumen de un líquido en un cilindro en posición horizontal
Hace unos meses iba en el bus, y se me ocurrió calcular el volumen de un líquido en un cilindro en posición horizontal. Sin embargo tenía el problema de que hace ya rato que no hago nada que tenga ver con mate, y la verdad es que prácticamente lo único ún ico que me acordaba era del área del círculo. Entonces haciendo uso de lo poco que me acordaba, me puse a calcular poco a poco el asunto con poca cantidad de información.
Los datos que hay que tener son: - El radio del cilindro (R) - el largo del cilindro (L) - la altura del líquido (h) Si h <= r (si la altura del líquido no se pasa del centro)
El que llega al gráfico gráfic o de la izquierda, ya tiene prácticamente el problema resuelto. Sacamos el área del sector circular y luego le restamos el área del triángulo. Esa sección se multiplica por 2 y da el área del líquido y luego basta con multiplicar por el volumen para sacar el volumen del líquido. Área de triángulo: base*altura/2 At = b(r-h)/2 Fórmula de la hipotenusa: r2 = (r - h)2 + b2 b2 = r2 - (r - h)2 = r2 - (r2 - 2rh + h2) = 2rh - h2 b = raíz(2rh - h2) => At = raíz(2rh - h2)(r - h)/2
Área del sector circular: r 2*ángulo/2 As = r2*ang/2 Ese de fijo no me acordaba. Entonces con saber que el área de un círculo es πr2, que es dada en radianes (medida a partir del radio), que el círculo tiene 360 grados, y que π en grados es 180, entonces cabría inferir que el área del círculo es su cantidad de grados entre 2 por el radio al cuadrado, y así igual con el sector circular. Obtenemos el ángulo. cos(ang) = (r-h)/r = 1- h/r. Mejor ni digo como llegué a eso sin buscar en libros ni Internet. ang = acos(1-h/r) => As = r2*acos(1-h/r)/2
Ahora, el área de la porción ocupada por el líquido es: Ap = 2(As - At) = (r2*acos(1-h/r)/2 - raíz(2rh-h2)(r - h)/2)*2 = r2*acos(1-h/r) + (h-r)*raíz(2rh-h2)
El volumen del líquido en el cilindro sería:
V = L(r2*acos(1-h/r) + (h-r)*raíz(2rh-h2)) Si h > r (si la altura del líquido se pasa del centro)
Sacamos el área del círculo: 2
Ac = Πr
Ahora, el área de la porción ocupada por el líquido sería: Ap2 = Ac - Ap, donde Ap ahora es el área vacía del círculo => V
= L(Ac - Ap)
Calcular el volumen cuando el liquido esta a 80cm, 1.2 m de la base. L= 12m; D=1.8m. Pensemos que S es el área de las bases (que serían dos círculos en vertical, pues el cilindro está en horizontal) que toca el agua. El volumen de agua será de S * L. Ahora solo tenemos que calcular S para las distintas alturas. Analicemos 80cm: Tenemos una circunferencia de diámetro 180cm. Tenemos un segmento circular con una altura de 80 cm. Calculemos la base. Por pitágoras, si B es la base: (0.5B)^2 + (90cm - 80cm)^2 = (90cm)^2 0.25B^2 + 100cm^2 = 8100cm^2 B^2 = 32000cm^2 B =178,89 cm Calculemos ahora el ángulo central correspondiente a la base B mediante el teorema del coseno. Siendo X este ángulo: 32000cm^2 = 2 * (90cm)^2 - 2 * (90cm)^2 cos X cos X = -0,9753 X = 167,24º Teniendo el ángulo central, el área de la sección circular resulta: Pi * (90cm)^2 * 167,24º / 360º 11821,588cm^2 A la cual tenemos que restar el área del triángulo para obtener finalmente el segmento circular: S = 11821,588cm^2 - 178,89 cm * 10cm / 2 S = 10927,16cm^2 Finalmente, el volumen de agua con 80cm de agua será de:
V = 10927,16cm^2 * 1200cm V = 13112592cm^3 V = 13,1 m^3 Solución. Se hace lo mismo para 1.2m: Tenemos una circunferencia de diámetro 180cm. Tenemos un segmento circular con una altura de 120 cm. Calculemos la base. Por pitágoras, si B es la base: (0.5B)^2 + (120cm - 90cm)^2 = (90cm)^2 0.25B^2 + 900cm^2 = 8100cm^2 B^2 = 28800cm^2 B =169,706 cm Calculemos ahora el ángulo central correspondiente a la base B mediante el teorema del coseno. Siendo X este ángulo: 28800cm^2 = 2 * (90cm)^2 - 2 * (90cm)^2 cos X cos X = -0,77777 X = 141,06º Pero este es el convexo, nosotros queremos el cóncavo. Luego: X = 360º - 141,06º X = 218,94º Teniendo el ángulo central, el área de la sección circular resulta: Pi * (90cm)^2 * 218,94º/ 360º 15476,129cm^2 A la cual tenemos que sumar el área del triángulo para obtener finalmente el segmento circular: S = 15476,129cm^2 + 169,706 cm * 30cm / 2 S = 18021,714cm^2 Finalmente, el volumen de agua con 120cm de agua será de: V = 18021,714cm^2 * 1200cm V = 21626056,351cm^3 V = 21,6 m^3
Solución. Al estar el cilindro horizontal, ¡de ninguna de las maneras e s directamente proporcional a la altura de líquido! *Veamos el caso cuando h (altura del líquido) es menor que r (radio del círculo=D/2). Volumen líquido=V1(h) = L · {r^2 · arc cos [(r-h)/r] (r-h)· raiz_cuadrada( 2·r·h-h^2)} comprobémoslo, cuando h=r , V1(r)=L·r^2 · arc cos 0 V1(r)= L·r^2·pi/2=Mitad volumen cilindro. ¡Bien! *Cuando h es mayor que r y m enor que 2·r: V2(h)=pi· r^2 · L - V1(2r-h) --------------------------------------… L=12m r=D/2=1'8/2=0'9 m V(0'8)=V1(0'8) = L · {r^2 · arc cos [(r-h)/r] (r-h)· raiz_cuadrada( 2·r·h-h^2)} = 12· {0'9^2 · arc cos [ (0'9-0'8)/0'9] (0'9-0'8)· raiz(2·0'9·0'8-0'8^2)} V(0'8)=13,11259301 m^3 menor que 15,2681403 m^3 que es medio cilindro. V(1'2)=pi· 0'9^2 · 12 - V1(2·0'9-1'2)= 21,62605635.... m^3 Saludos.
V=PiXr^2Xh V=PiX0.81m^2X12m V=30.536m^3=30,536 Litros Esto seria lleno al 100% 1.8m----------100% 0.8m-------------X X=44.44%= 13.57m^3=13,570 Litros 1.8m--------------100% 1.2m----------------X X=66.66% o sea =20.355m^3=20,355 Litros
