DINÁMICA Y VIBRACIONES FECHA DE PRESENTACIÓN: DE ACUERDO AL SILABO EJERCICIOS PROPUESTOS N°01 PRIMERA PARTE: Desarrollar los siguientes ejercicios. Los gráficos en hoja milimetrada. 1. Determine el periodo natural del sistema representado en la figura. No considere la masa de la viga o de los resortes que soportan el peso W.
2. En el problema anterior considerando que la viga tiene una longitud igual a 350 cm, el módulo de elasticidad del material 2.1*106 kp/cm2, de sección transversal rectangular de 0.20cm 0 .20cm de ancho por 0.35 de altura. Además, el peso W= 1520 kp, y k=2500 kp/cm. Si el peso W tiene un desplazamiento inicial x0= 1.5 cm y una velocidad inicial V 0=45 cm/s. Determine el desplazamiento, velocidad y aceleración para cualquier instante “t”. Realice la gráfica X vs t, V vs t, a vs t. 3. Resolver el problema N°1, teniendo en cuenta una longitud
igual a 327.25 cm, el módulo de elasticidad del material 2.1*106 kp/cm2, de sección transversal tal como se muestra en la figura. Además el peso W= 1245.12 kp, y k =2475 =2475 kp/cm. Si el peso W tiene un desplazamiento desplazamiento inicial x0= 1.15 cm y una velocidad inicial V 0=20 cm/s. Considere g=9.81 m/s2. Realice la gráfica X vs t, V vs t, a vs t.
4. Resolver el problema N°1, teniendo en cuenta una longitud
igual a 480 cm, el módulo de elasticidad del material 2.1*10 6 kp/cm2, de sección transversal tal como se muestra en la figura. Además el peso W= 1245.12 kp, y k =2475 =2475 kp/cm. Si el peso W tiene un desplazamiento inicial x 0= 1.15 cm y una velocidad inicial V0=20 cm/s. Considere g=9.81 m/s2. Realice la gráfica X vs t
DINÁMICA Y VIBRACIONES FECHA DE PRESENTACIÓN: DE ACUERDO AL SILABO 5. Considere el sistema mostrado en la figura, si se aplica una fuerza F = 500 N, determine la fuerza y deformación en cada elemento. El elemento k1 es de acero de 20 cm. de claro y de sección transversal circular de 1 cm. de diámetro, el elemento k3 es de aluminio de 25 cm. de claro y de sección transversal cuadrada de 1 cm. *por lado. El resorte es de k2=30 kN/m. El módulo de elasticidad para el acero es 200 GPa y para el aluminio es de 70 GPa. 6. La viga doblemente empotrada de la figura es de acero, E= 2 100 000 kg/cm2, I= 4000 cm4. La viga sola es muy flexible y para comodidad de los que transitan sobre ella se desea que tenga una frecuencia natural mayor o igual a 20 Hertz. Para reducir la vibración se puede colocar una varilla de acero al centro de la luz. Determine el diámetro de la varilla (en los valores comerciales usados en nuestro medio) necesario para cumplir con esta condición. El peso colocado al centro es de 2t. 7. Se tiene un tanque elevado como el que se muestra en la figura adjunta. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica. Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el fuste son cilíndricos. Si se lo somete a una fuerza bruscamente aplicada de 20 t. Calcular cuál es el máximo desplazamiento que puede producirse. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar, explique sus criterios. (E = 230 000 kg/cm2). 8. Determine la frecuencia natural para el movimiento horizontal del pórtico de acero en la figura. Considere las vigas horizontales infinitamente rígidas y desprecie la masa de las columnas (E= 21 Kp/cm2). Las columnas son de sección cuadrada de 0.25 cm de lado y la columna central es de 0.25 m de diámetro. Para la columna empotrada –empotrada (caso columna central) K=12EI/h3, donde h es la altura de la columna. Para la columna empotrada-articulada (caso columna extrema) K=3 EI/h3, donde h es la altura de la columna. Elaborar la gráfica X vs t.
DINÁMICA Y VIBRACIONES FECHA DE PRESENTACIÓN: DE ACUERDO AL SILABO 9. Resolver el problema 8, considerando las columnas son de sección hexagonal regular de 0 .25 cm de lado y la columna central es de 0.25 m de diámetro. Elaborar la gráfica X vs t, V vs t, a vs t. 10. Resolver el problema 8, considerando todas las columnas de sección rectangular de 0.30 m x 0.50 m de lado. Elaborar la gráfica X vs t, V vs t, a vs t. 11. En el problema 8, resolver considerando las tres columnas empotradas de sección rectangular de 0.30 m x 0.50 m de lado. Elaborar la gráfica X vs t, V vs t, a vs t. 12. Calcule la frecuencia natural del movimiento horizontal del pórtico de acero de la figura si el miembro horizontal es infinitamente rígido.
13. Se tiene un edificio de un piso que en la dirección Y está conformado por dos pórticos a los extremos y otros dos que están conformados por una columna y un muro de albañilería Los muros tienen 25cm de espesor y un módulo de elasticidad de 25 000 kg/cm2. Las columnas son de concreto armado y tienen 25cm x 40cm (E=250 000 kg/cm2). Para facilitar los cálculos se puede suponer que las vigas son de rigidez infinita y las columnas están empotradas en ambos extremos. El peso total a la altura del techo se puede considerar 96 toneladas. La altura total es de 2,4m y la losa del techo tiene 20cm de espesor. 14. Se tiene una losa rectangular, maciza, simplemente apoyada en sus cuatro bordes de concreto armado (E=230,000 kg/cm2, γ concreto = 2400kg/m3) de 20cm de espesor y de 6m de luz y 4 de ancho. Se desea calcular el periodo de vibración de la losa ante una fuerza vertical de personas saltando sobre la misma.
DINÁMICA Y VIBRACIONES FECHA DE PRESENTACIÓN: DE ACUERDO AL SILABO 15. Considerando L=3m, EI= 3x1010(Kp.cm2), y W=2300 Kp. Si el desplazamiento y velocidad inicial del peso W son respectivamente yo=1.2cm y Vo= 45cm/s, determine el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de W en el instante t=2s. Elaborar la gráfica X vs t 16. Repita el problema N°3, suponiendo que la amortiguación en el sistema es el 5% de la amortiguación crítica. Elaborar la gráfica X vs t. 17. Repita el problema N°11, suponiendo que la amortiguación en el sistema es el 1% de la amortiguación crítica. Elaborar la gráfica X vs t. 18. Repita el problema N°15, suponiendo que la amortiguación en el sistema es el 3% de la amortiguación crítica. Elaborar la gráfica X vs t. 19. Se ha observado que la amplitud de vibración en la figura decrece en 5% en cada ciclo. Determine el coeficiente de amortiguación “C” del
sistema. En este sistema k=50 Kp/cm y m=12.5 kp.seg 2/cm.
20. Una mujer de 55 kg se halla de pie en el centro de un tabón apoyado por los extremos y produce una flecha de 22 mm en el centro. Si dobla levemente las rodillas con el objeto de provocar una vibración vertical, ¿cuál será la frecuencia natural fn del movimiento? Se supondrá que el tablón responde elásticamente y se despreciará su relativa pequeña masa. 21. Se desea investigar la vibraciòn de una porción de losa maciza de un edificio. Se considera que extrayendo un paño típico formado por una parrilla de sólo dos vigas cruzadas se puede representar adecuadamente, por lo menos para un anàlisis preliminar. Sobre esta parilla se considera un peso trasmitido por la losa de 48 Toneladas y que se puede concentrar en el cruce de las vigas. Las vigas on todas de 25cm x 40cm de sección, 6m de longitud y E=250 000 Kg/cm2 . Considere que este sistema puede representarse por un sòlo grado de libertad que es la deformaciòn vertical del centro del cruce. Considere 5% de amortiguaciòn. Determine:
DINÁMICA Y VIBRACIONES FECHA DE PRESENTACIÓN: DE ACUERDO AL SILABO a) La frecuencia y periodo del sistema. b) Sobre el piso el propietario va a realzar sesiones de aeroóbicos lo que incluye muchos saltos conjuntos. Supóngase que las personas que realizan estos ejercicios lo hacen a una frecuencia de 2 saltos por segundo. ¿cuál será el factor de amplificaciòn dinàmica que se produce y el màximo desplazamiento al centro si se consderan 10 personas de 70 kg de peso saltando con esa frecuencia alrededor de ese punto? c) ¿Cuál tendrìa que ser la frecuencia natural de los saltos que el entrenador debe llegar para evitar la resonancia? 22. Se ha observado experimentalmente que la amplitud de vibración libre de cierta estructura, modela como un sistema con un grado de libertad, decrece de 2.5cm a 2 cm en 10 ciclos. ¿Cuál es el porcentaje de amortiguación en el sistema con respecto a la crítica? 23. Una estructura se modela como un oscilador con amortiguación. La constante de su resorte es K=5000 Kp/cm y su frecuencia natural sin amortiguación ω= 25 rad/s. Experimntalmente se determinó que una fuerza de 500Kp producía una velocidad relativa de 2.5 cm/s en el elemento de amortiguación. Determine: a) la razón de amortiguación b) El periodo de amotiguación c) el decremento logaritmico, d) la razón entre dos amplitudes consecutivas máximas. 24. Un sistema con un solo grado de libertad se compone de un peso de 180 Kp y un resorte de rigidez k=500 kp/cm. Experimentalmente se ha determinado que una fuerza de 50 Kp produce una velocidad relativa de 30 cm/s. Determine: a) la razón de amortiguación b) El periodo de amotiguación c) el decremento logaritmico, d) la razón entre dos amplitudes consecutivas máximas. 25. Un motor de 50 kg, se sostiene directamente mediante una viga ligera horizontal cuya deformación estática es de 6 mm, debida al peso del motor. El desequilibrio del motor es equivalente a una masa de 100 gr situada a 75 mm del eje de rotación. Si se sabe que la amplitud de la vibración del motor es de 0.8 mm a una velocidad de 400 RPM, determínese a) el factor de amortiguamiento y b) el coeficiente de amortiguamiento. 26. Un motor de velocidad variable está unido rígidamente a la viga BC. El motor está ligeramente desequilibrado y hace que la viga vibre con una frecuencia igual a la velocidad del motor. Cuando la velocidad es menor que 600 RPM o mayor de 1200RPM, se observa que un pequeño objeto, colocado en A permanece en contacto con la viga. Para una velocidad entre 600 a 1200 RPM se observa que el objeto “brinca” y realmente pierde
DINÁMICA Y VIBRACIONES FECHA DE PRESENTACIÓN: DE ACUERDO AL SILABO contacto con la viga. Determínese la amplitud (deflexión estática) del movimiento de A cuando la velocidad del motor es a) 600 RPM y b) 1200RPM.Exprésese los resultados en el S.I. 27. Un bloque A de 4 kg se deja caer desde una altura de 800 mm sobre un bloque B de 9 kg. Este está soportado por un muelle de constante K = 1500 N/m y sujeto a un amortiguador de coeficiente de amortiguamiento C = 230 N.seg/m. Sabiendo que no hay rebote, hallar la distancia máxima que recorren los bloques tras el choque. 28. La tolva de cemento tiene una masa total m = 5500 kg y está siendo descendida a 1.2 m/seg cuando el tambor izador se detiene repentinamente. Hallar el desplazamiento descendiente adicional Wh de la tolva y la frecuencia fn de la consiguiente vibración de la tolva para h = 12 m. La longitud del cable de acero de 25 mm de diámetro es L = 15 m entre la polea y el tambor. El módulo elástico del acero es E = 200 GPa. (Recuérdese que E = X/Y, donde el esfuerzo X es fuerza por unidad de superficie y la deformación Y es el alargamiento elástico por unidad de longitud).
29. Un sólido rígido A descansa sobre un muelle de rigidez K, igual a 8.8 N/mm. Un taco de plomo B cae sobre el bloque A con una velocidad de impacto de 7 m/seg. ¿Cuáles serán la frecuencia circular natural y la amplitud del movimiento del sistema, suponiendo que el taco de plomo queda pegado a A durante todo el tiempo? Tomar wA = 134 N y wB = 22 N, ¿cuál será la distancia recorrida por A en 20 m/seg? (Precaución: tener cuidado con las condiciones iniciales).
DINÁMICA Y VIBRACIONES FECHA DE PRESENTACIÓN: DE ACUERDO AL SILABO 30. Una plataforma de 222 N de peso comprime el muelle 50 mm cuando se coloca cuidadosamente sobre éste. Un motor de 22 N de peso está fijado sobre la plataforma y hace girar una masa excéntrica m que pesa 1 N. La masa m se desplaza 150 mm respecto a su eje de rotación y gira con una velocidad angular de 28 rad/seg. El amortiguamiento viscoso que está presente produce una resistencia al movimiento de la plataforma de 275 N/(m/seg), ¿cuál será la amplitud estacionaria del movimiento de la plataforma?
31. Un bloque B de 1,5 kg está unido mediante una cuerda a un bloque A de 2 kg, que cuelga de un muelle de constante de 3000N/m. Sabiendo que se corta la cuerda estando el sistema en reposo. Hallar: a) La frecuencia, la amplitud y la velocidad máxima del movimiento siguiente y b) La velocidad del bloque A, 0.3 seg después de cortarse la cuerda.
32. El ventilador tiene una masa de 25 kg y está unido al extremo de una viga horizontal cuya masa es despreciable. L hoja del ventilador está montada excéntricamente sobre la flecha de tal manera que es equivalente a una masa no balanceada de 3.5 kg localizada a 100 mm del eje de rotación. Si la deflexión estática de la viga es de 50 mm como resultado del peso del ventilador ¿Cuál será la amplitud de la vibración del estado estacionario del ventilador, si la velocidad angular del ventilador es de 18 rad/seg?
33. Una varilla rígida de peso despreciable está restringida a oscilar en un plano vertical, como se muestra en la figura. Determinar la frecuencia natural de la masa “m”.
DINÁMICA Y VIBRACIONES FECHA DE PRESENTACIÓN: DE ACUERDO AL SILABO SEGUNDA PARTE: Efectuar los avances de las aplicaciones sobre su proyecto, indicadas en clase.
