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VERDAD Y VALIDEZ Carolina Leyva Arciniega Segundo cuatrimestre
VERDAD Y VALIDEZ En lógica simbólica, las nociones de verdad y de validez son claramente diferentes. La verdad es una noción semántica que alude a una relación entre una expresión y un estado de cosas. Si tomamos una forma proposicional, como ésta no posee significado semántico referido a l mundo – –aunque aunque sí significado lógico-, la verdad se refiere a posibilidades, a la posibilidad de ser verdadera en interpretaciones eventuales. Por ejemplo, p y q, será verdadera en toda interpretación donde p sea verdadera y q también sea verdadera, y sólo en ese caso. Otra forma de decirlo es que esa forma proposicional será verdadera en todo m undo posible donde p por un lado y q por otro sean verdaderas. Una tautología, entonces, es una expresión verdadera en todo mundo posible, lo que significa que es imposible que haya una interpretación (bajo el principio de no contradicción) en la que sea f alsa. La validez en cambio es una propiedad formal de una forma o estructura de razonamiento, definida como la imposibilidad de que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa para cualquier interpretación posible bajo el principio de no contradicción .
VALORES DE LA VERDAD Y TERMINOS DE ENLACE Tablas de verdad Son un instrumento empleado en la lógica proposicional, para indicar indicar las diferentes interpretaciones de una fórmula y el resultado de las mismas. Representan de manera gráfica todas las posibles combinaciones de los valores de verdad que se formen de las proposiciones. Sus valores pueden ser V (verdadero) o F (falso), 1 (encendido) o 0 (apagado), para saber cuántas filas deben utilizarse se aplican la fórmula 2 Donde “2” representa los dos posibles valores que puede tomar y “n” es el número de proposiciones con las que se forme la formula. (Este tema lo abundaremos más adelante). Proposiciones atómicas y moleculares Las proposiciones pueden constar de un solo enunciado o de varios, en el primer caso las denominamos proposiciones atómicas y en segundo moleculares. Proposición Atómica Una proposición es atómica cuando no posee conectivos lógicos. Son entonces las más simples. Ejemplos: · En el invierno hace frio. · México está en crisis económica.
Proposición compuesta o molecular Es una o más proposiciones atómicas adecuadamente escritas, unidas con términos de enlace. Ejemplos: · En el invierno hace frio y en algunos lugares cae nieve. · México está en crisis económica si y solo si se devalúa la moneda. · No es difícil desarrollar un software. Proposición con forma Disyuntiva o Disyunción Una proposición Disyuntiva, es aquella que está formada por proposiciones atómicas o moleculares, digamos p y q, con el conectivo Lógico “o”. Se simboliza así: “V”, se escribe: p v q y se lee: “p o q” Existen dos operadores de disyunción: La disyunción disyunción exclusiva o excluyente y la disyunción disyunción inclusiva o incluyente. Disyunción Inclusiva Son dos o más proposiciones de las cueles puedo elegir una o más de una, se caracteriza por permitir que las proposiciones que contiene sean todas verdaderas, así que se le llama también Incluyente. A continuación se presenta una tabla de los valores que puede te ner la Disyunción Inclusiva: El joven se encuentra ante dos situaciones que reflejaremos en las siguientes proposiciones: · p: Juan saca 10 en su examen ex amen semanal. · q: Juan lava el coche de su papá de lunes a viernes. · p v q: Juan saca 10 en e n su examen semanal o lava el coche de su papá de lunes a viernes. pq VV VF FV FF pqpvq VVV VFV FVV FFF Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan:
“Para que te deje ir al antro el fin de semana debes cumplir una de e stas dos condiciones: Traer 10 en tu examen de est a semana o lavarme el coche todos los los días desde el lunes hasta el viernes” Matemáticas discretas Debemos fijarnos que su papá le pidió cumplir con p o cumplir con q, significa que Juan puede cumplir con una sola de estas tareas para poder ir al antro. Las posibles situaciones en las que Juan se podría caer para ir al antro son: Con esto podemos ver que para que Juan no vaya al antro, tanto p como q deben ser falsas. falsas. La disyunción inclusiva entre dos proposiciones es falsa solo si ambas proposiciones son falsas. Disyunción Exclusiva Son dos o más proposiciones de las cueles puedo elegir solo una, no permite que las proposiciones que contiene sean todas verdaderas, así que se le llama también excluyente. La siguiente tabla muestra los posibles valores que puede tomar la disyunción Excluyente: Excluyente: El joven se encuentra ante dos situaciones que reflejaremos en dos proposiciones: · p: Juan se inscribe en ing. en sistemas. · q: Juan se inscribe en ing. en mecatrónica. · p q: Juan se inscribe en ing. en sistemas o se inscribe en ing. en mecatrónica. En este caso Juan tiene ambas opciones y puede cumplir solo con una de ellas: Las posibilidades de que Juan siga estudiando se reducen a pesar de te ner dos opciones. Situaciones p q p q Juan pudo sacar 10 en su examen y lavó el coche todos los días. V V V Juan pudo sacar 10 en su examen, pero no pudo lavar el coche todos los días. V F V Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero lavó el coche todos los días. F V V Juan no pudo sacar 10 en su examen y tampoco lavó el coche todos los días. F F F pqp q VVF VFV FVV FFF Situaciones p q p q Juan se inscribe en ing. en sistemas y e n ing. en mecatrónica V V F Juan solo se inscribe en ing. en sistemas. V F V Juan solo se inscribe en ing. en mecatrónica. F V V Juan no se inscribe en ningunas de las dos carreras F F F
Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan: “Para poder seguir estudiando debes tomar la decisión de inscribirte en Ing. en sistemas o en Ing. en mecatrónica, pero no en ambas” Nota Frecuentemente y cuando no es claro en el contexto de la oración se indica que una disyunción es incluyente oexcluyente respectivamente, terminando la frase con o ambas o pero no ambas. Asi pudimos haber dcho: Juan se inscribe en ing. en sistemas o se inscribe en ing. en mecatrónica, pero no en ambas.Matemáticas discretas Proposición conjuncional o conjunción Una conjunción de proposiciones proposiciones es verdadera si y sólo si cada una de ellas es verdadera. Basta que un solo término de la conjunción sea falso para que toda la conjunción sea falsa. En español, normalmente normalmente la conjunción se expresa por medio de la ’y’, de comas o de una combinación de estas, o palabras como ’pero’. Se dice que una conjunción es verdadera solamente cuando cada una de las proposiciones que la conforman son verdaderas: Juan se encuentra ante las mismas dos situaciones anteriores, que reflejaremos en dos proposiciones: · p: Juan saca 10 en su examen ex amen semanal. · q: Juan lava el coche de su papá de lunes a viernes. Pero en este caso Juan debe cumplir con ambas proposiciones para poder ir al antro, ya que su papá utilizó la conjunción “y”: Las posibilidades de que Juan vaya al antro se reducen. Proposición con forma de Negación “La negación es una operación unitaria que se aplica a una proposición y tiene el efecto de revertir el valor de verdad”. verdad”. Se simboliza así: “¬” o con el símbolo “ ’ ”, se escribe: ¬ p y se lee: No p; negación de p; o, No es cierto que p, esto es, si p es verdadera entonces ¬p es falsa, y si p es falsa entonces ¬p es verdadera. Una proposición de este tipo, puede estar formada por una proposición atómica o molecular a diferencia de los otros conectivos que afectan a más de una, digamos p, con el conectivo Lógico “No”.
p ¬p VF FV O puede estar formado por una proposición compuesta o molecular.Ejemplo: pqp q VVV VFF FVF FFF Situaciones p q p q Juan pudo sacar 10 en su examen y lavó el coche todos los días. V V V Juan pudo sacar 10 en su examen, pero no pudo lavar el coche todos los días. V F F Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero lavó el coche todos los días. F V F Juan no pudo sacar 10 en su examen y tampoco lavó el coche todos los días. F F F p q p q ¬(p q) VVVF VFFV FVFV FFFV Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan: “Para que te deje ir al antro el fin de semana debes traer 10 en tu examen de esta semana y lavarme el coche todos los días desde el lunes hasta e l viernes” p: Juan va al antro ¬p: Juan no va al antro En este caso la negación afecta a toda una proposición
DIAGRAMAS DE VALORES DE VERDAD TABLAS DE VERDAD DE LAS OPERACIONES LOGICAS: DEFINICIONES NEGACIÓN La negación de una una proposición sustituida sustituida por la variable p es la proposición proposición no p, ∼pcuya tabla de valores de verdad verdad es: P ∼p V F F V
Se trata de una operación unitaria o monádica, pues a partir de una proposición seobtiene otra, que es su negación CONJUNCIÓN La conjunción de las prop. p y q es la prop. "p ∧ q" cuya tabla de verdad es ( cuatro combinaciones posibles) P q p∧q V V V V F F F V F F F F
La conjunción de dos proposiciones es V si y solo si ambas proposiciones son verdaderas; en todo otro caso es F. Es una operación binaria o diádica porque porque a partir de dos proposiciones proposiciones atómicas obtenemos una molecular. Ejemplo: Sea p : llueve, q : sale el sol p∧q: Llueve y sale el sol ò p∧q: A la vez llueve y sale el sol ò p∧q: Llueve pero sale el sol ò p∧q: Llueve aunque sale el sol ò p∧q: Llueve sin embargo sale el sol DISYUNCIÓN Una disyunción es una prop. molecular formada por el término de enlace " o". En ladisyunción se utiliza el sentido incluyente. Esto significa que en cualquier disyunción, porlo menos una de las dos prop. es cierta y quizás ambas. Hay cuatro combinacionesposibles de valores de certeza: p q p∨q V V V V F V F V V F F F Es una operación binaria o diádica, porque a partir de dos proposiciones atómicas seobtiene una molecular.
Ejemplo: La lógica es difícil o la profesora e xplica mal . p: la lógica es difícil q: la profesora explica mal Si por lo menos una de las proposiciones atómicas es V, entonces la disyunción es V; además, si ambas proposiciones proposiciones son V, entonces, entonces, la disyunción también será V. Si las proposiciones proposiciones son ambas F, la disyunción será F. CONDICIONAL CONDICIONAL ( p⇒q ) Los elementos del condicional se denominan antecedente y consecuente. El condicionalusual en matemática es material en el sentido de que no es necesario que los consecuentes e derive lógicamente del antecedente. Cuando esto ocurre, el condicional se llama formal y queda incluido en el primero. Ej. de condicional material: Si 2+2= 4 entonces hoy es lunes Ej. de condicional formal: Si 2+2= 4 entonces 4= 2+2 La tabla de valores de verdad es: e s: p q p⇒q V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
Ejemplo: sea p la variable que sustituye a la proposición “Curso la licenciatura en Pedagogía De la Matemática”, q representa a la proposición “Estoy entusiasmado”, el condicional entre ambas está dado por: p ⇒ q: Si curso la licenciatura en Pedagogía De la Matemática entonces estoy e ntusiasmado p ⇒ q: Si curso la tecnicatura, estoy entusiasmado p ⇒ q: Cursar la te cnicatura implica estar entusiasmado p ⇒ q: Curso la tecnicatura sólo si estoy entusiasmado p ⇒ q: Estoy entusiasmado si curso la tecnicatura p ⇒ q: Para estar entusiasmado, es suficiente cursar la tecnicatura p ⇒ q: Estar entusiasmado es necesario para cursar la tecnicatura p ⇒ q: Cuando curso la tecnicatura, e stoy entusiasmado
CONCLUSIONES NO VALIDAS
BIBLIOGRAFÍA
Genesereth, M.R. Computational Logic (27 March 2000) Cap. 4 “Proposicional “Proposicional proofs” Nilsson, N.J. N.J. Inteligencia artificial (Una nueva s´ıntesis) (McGraw–Hill, (McGraw–Hill, 2000) Cap. 13 “El cálculo proposicional”
