UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
“ÁREA DE FIGURAS PLANAS EN COORDENADAS POLARES”
AUTORES:
• •
Rodríguez Romucho, Miguel Ángel Roldán Albinagorta, Bruno
allao, !"#$
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS EN COORDENADAS POLARES
on%ideremo% la cur&a en coordenada% 'olare% dada 'or la (unci)n r : * ∈+ , -. /r0 * 1 ∈, donde r 2 r0*1 e% una (unci)n continua3 4a regi)n A 2 50r,*1 50r,*1 : 6 * 6 -, "6 r 6 r0*17 cu8a área 9ueremo% calcular e% la 9ue %e mue%tra %ombreada en la %iguiente (igura, e%tá limitada 'or la cur&a 8 la% %emirrecta% de ecuacione% * 2 8 * 2 -3
ara obtener una e;'re%i)n de e%ta área tomemo% tomemo% una 'artici)n 'artici)n *" 2 < *# < *! < =3 < * n 2 - del del inte inter& r&al alo o +, +, -. 8 en cada cada %ubint %ubinter& er&alo alo gen>ri gen>rico co +*?@# ,*?. eleg elegim imo% o% un 'unt 'unto o arbi arbitr trar ario io t ?3 Entonce% el área encerrada 'or la cur&a 8 lo% ra8o% * 2 8 * 2 - %e 'uede a'ro;imar 'or la %uma: Área0S#1 área0S!1 == área0Sn1 onde S? e% el %ector circular de radio r0t ?1 8 ángulo * ? C * ?@#
En la (igura %e ha dibuDado la cur&a 8 uno de e%to% %ectore% circulare%3 e (orma 9ue al aumentar el nmero de 'unto% de la 'artici)n, e%ta %uma tiende al área de la regi)n limitada 'or la cur&a r 2 r0*1 8 lo% ra8o% * 2 8 * 2 -3 ada %ubinter&alo gen>rico +* ?@#, *? . determina un %ector circular S ?3 El área de e%te %ector circular e%tá dada 'or: 1
Área0S?1 2
2
1
S?r0t?1 2
2
1
r0t?10*? C *?@#1r0t?1 2
n
2
r0t?1!0*? C * ?@#1
n
1 área ( S k ) ∑ ∑ Entonce% = 2 = 2 r0t?1!0*? C *?@#1 2 k
1 2
n
k
1
1
1
∑ r0t?1!0*? C *?@#1 2 = 2 k
1
1 2
β
∫ r 0*1! d* α
Suma de Riemann de la (unci)n r0*1!
EFGHGGIH: Sea r 2 r0*1 la ecuaci)n en coordenada% 'olare% de una cur&a 8 %u'ongamo% 9ue r0*1 e% continua en el inter&alo cerrado +, -.3 Se de(ine el área de la regi)n limitada 'or la cur&a 8 la% %emirrecta% de ecuacione% * 2 8 1
β
r θ
ara calcular el área de una regi)n com'rendida entre do% cur&a% de ecuacione% 'olare% r 2 r #0*1 8 r ! 2 r0*1 entre lo% ra8o% de ecuacione% * 2 8 * 2 -, %im'lemente re%tamo% la% área% 9ue encierran cada una de ella% en e%te %ector3 Entonce% obtenemo% la %iguiente de(inici)n3
EFGHGGIH3 El área de la regi)n limitada 'or la% cur&a% de ecuacione% 'olare% r 2 r #0*1 8 r 2 r ! 2 0*1 8 lo% ra8o% de ecuacione% * 2 8 * 2 - %e de(ine como la integral 1 2
β
∫r α
0*1! C r #0*1!1d*
!
PROBLEMAS:
#1 alculemo% ahora el área 9ue encierra la cardioide de ecuaci)n r 2 # @ co%* 3 Sabemo% 9ue la ()rmula 'ara el cálculo del área e%: 1
¿ ¿
β
∫ r 0*1! d* 2 2 α
1
¿ ¿
2 π
∫ ¿ # C co%*1 d* 2 !
2 θ
1 2
2 π
! # C !co%* co% *1 d* ¿ ∫ 0
2 ¿ ¿
1
+co% * 2 !
2
0# co%0!*11. 2
1
2 π
¿ # C !co%* ∫ 2 1
0# co%0!*111
2
0
d* 2 1 2
0! J
1 2
0*
1 2
%en0!*1.
2 π 0
¿ 2
1 2
0!J
1 2
!J1 2
3 π 2
!1 Kamo% a calcular el área encerrada 'or la circun(erencia de ecuaci)n 'olar r 2 # 9ue %e encuentra (uera de la cardioide de ecuaci)n 'olar r 2 # C co%*3 En 'rimer lugar dibuDamo% la regi)n 'ara determinar lo% límite% de integraci)n3
Ob%er&a 9ue la cur&a e;terior e% r 2 # mientra% 9ue la cur&a interior e% r 2 # C co%*3 4a &ariable * recorre el inter&alo +
− π π 2
,
2
¿
3
Entonce% el área e%:
¿ ¿
¿ ¿ 1
π
β
# ! ! ! ∫ ¿ r 0*1 C r 0*1 1 d* 2
2 α
2
! ¿ #@0#@co%*1 1 d* 2 ∫ 2 1
− π 2
¿ ¿
¿ ¿
π
π
2
2
!
¿ !co%* @ co% *1 d* 2 ∫ ¿ !co%* @ ∫ 2− − 1
π
2
0#co%0!*111 d* 2
π
2
0!%en* @
1
2
θ 2
@
sen ( 2 θ ) 4
π
.
2 0
2!@
π 4
L1 alcular el área de la regi)n encerrada 'or uno de lo% cuatro '>talo% de la ro%a r 2 co%0!*1 4o% límite% de integraci)n %e obtienen de la% %olucione% de la ecuaci)n: o%0!*1 2 "
→
*2
π 4
, en el 'rimer cuadrante3
π
π
4
A 2
1
1
∫ 2 r ! d* 2 −
4
∫ cos
2 −π
π
4
4
0!*1 d*
!
or %imetría: π
1
A2
2
π
4
; !
4
∫ cos 0!*1d* 2 ∫ 1+ cos2 (4 θ ) d* !
0
0
π
A 2
1 2
4
∫ ( 1+ cos ( 4 θ ) ) d θ 2
π 8
0
1 alcular el área de la regi)n encerrada dentro de la circun(erencia r 2 L%en0*1 8 (uera de la cardioide r 2 # %en0*1 unto% de inter%ecci)n: 1
L%en0*1 2 # %en0*1 N2
π 6
, *2
π
@
%en0*1 2 π 6
2
5 π 6
2
0 en cuadrante% G 8 GG1
¿ ¿
¿ ¿
5 π
A 2
5 π
6
1
! L%en0*11 d* @ ¿ ∫
6
1
! # %en0*11 d* ¿ ∫
2 π
2 π
6
6
or %imetría %e tiene: π
1
A 2
2
π
2
; !
∫ 9 %en!0*1d* @ π
2
1 2
; !
6
2
A 2
+¿ ¿
π
! ∫ 9 %en!0*1d* @ %en0*11 d* ∫¿ 2
π 6
π 6
9
¿
π
A 2
2
! ! %en 0*1 C 0# %en0*11 1d* ∫¿ π 6
8
¿
π
A 2
2
! %en * C #@ !%en*1d* ∫¿ π 6
π 6
1 π
∫ (1+ sen ( θ )) !d*
π 2
A 2 ∫ π
( ( 8 x
1
−cos ( 2 θ ) 2
)− − 1
2 senθ
)
dθ
6
π 2
A 2
∫ ( 4− 4cos 2 θ −1−2 senθ ) d θ π 6
π 2
A 2
∫ ( 3 −4 cos 2 θ −2 senθ ) d θ 2
π
π 6
$1 alcular el área de la regi)n encerrada 'or la lemni%cata: r ! 2 co%!*
or %imetría, %e calculará &ece% el área de la 'orci)n en el 'rimer cuadrante3 o%0!*1 2 " , * 2
A 2 ;
π 2
, en el 'rimer cuadrante3
π
π
4
2
1
π 4
∫ 2 r d* 2 ! ∫ r d* 2 ! ∫ 9cos ( 2 θ ) d θ 0
!
!
0
0
π 4
∫ cos ( 2 θ ) d θ 2
A 2 #P
0
Q1 alcule el área de la regi)n interior a r 2 ! co%*
or %imetría: π
∫ 2 r ! d* 2 ∫ (2+ cos θ ) !d*
A 2 !
0
4
A 2
π
1
0
+ 4 cos θ + cos ¿ π
∫¿ 0
!
*1d*
4
+ 4 cos θ +
1
+ cos2 θ 2
(¿) d θ
A2
π
∫¿ 0
1
A 2
2
1
A 2
2
π
∫ ( 8 + 8 cos θ +1 +cos 2 θ ) d θ 0
π
∫ ( 9 + 8 cos θ +cos2 θ ) d θ 2 0
9 π 2
1 alcule el área de la regi)n e;terior a la cardioide r 2 # co%* e interior a la circun(erencia r 2
√ 3
Soluci)n: unto% de inter%ecci)n: # co%* 2
√ 3
%en*
0# co%*1! 2 L%en!* # !co%* co%!* 2 L0# @ co%!*1 # !co%* co%!* @ L0# @ co% !*1 2 " @! !co%* co%!* 2 " !co%!* co%* C # 2 " 0co%* #10!co%* C #1 2 "
%en*
o%* # 2 " K !co%* C # 2 " N2
π
1
A 2
π
∫¿ π 3
A 2
2
, 0&alore% menore% 9ue !
¿ √ 3 sen ¿
2
1
π
K *2
3
1
!
*1 d* @
2
¿ ¿
π
∫ ¿ # co%*1! d* π 3
¿ ¿
π
∫ ¿ L%en!* C 0# co%*1!1 d* π 3
1
A 2
2
¿ ¿
π
∫ ¿ L%en!* Cco%!* C !co%* @#1d* π 3
1
A 2
2
¿ ¿
π
∫ ¿ L0# C co%!*1 C co%!* C !co%* C #1d* π 3
π
1
2 1
A 2
− 4 cos ¿ π
* C !co%*1 d*
!
∫¿
2
π 3
1
+ cos2 θ 2
1
A 2
2
2
− 4 (¿−2cos θ ) d θ ¿ π
∫¿ π 3
π
1
A 2
2
∫ (−2cos2 θ −2 cos θ ) d θ 2 π
3 √ 3 4
3
P1 alcule el área de la regi)n interior a r ! 2 !co%!* 8 e;terior a r 2 #
or %imetría, %e calculará &ece% el área de la regi)n en el 'rimer cuadrante3 unto% de inter%ecci)n: 1
!co%0!*1 2 # cuadrante3
co%0!*1 2
2
*2
π 6
, &alor en 'rimer
dθ 1
A 2 0
2
π 6
π
1
6
∫ 2cos ( 2 θ ) d θ − 2 ∫ ¿ ¿ 0
0
π 6
A 2 !
√ 3
∫ ( 2cos ( 2 θ )−1 ) d θ 2
@
π 3
0
1 alcule el área de la regi)n interior a la% cur&a%: r 2 %en0!*1 8 r 2 co%0!*1
unto% de inter%ecci)n: Sen0!*1 2 co%0!*1 * 2
π 8
, menor &alor en el 'rimer cuadrante3
or %imetría, el área interior a la% cur&a% e% P &ece% el área de la regi)n coloreada de color amarillo3 Tambi>n corre%'onde a #Q &ece% el área de la regi)n %ombreada3
π
1
A 2 #Q ;
π
8
8
∫ sen 0!*1d* 2 P ∫ sen !0!*1d* !
2
0
0
π 8
A 2 P
∫ 0
π
−cos ( 4 θ )
1
2
8
dθ
2
∫ ( 1 −cos ( 4 θ ) ) d θ 2
π 2
C #
0
#"1 Encontrar el área de la regi)n R 9ue %e encuentra (uera de la cur&a r2 Qco%* 8 dentro de la cur&a r 2 !co%* !
¿ ¿
A 2 !+
1
π 2
1
π
¿ !co%* !1!d* @ ∫ 2
∫ (6 cos θ ) !d*.
2
π
π
3
3
cos
¿ ¿
¿
π
π
A 2
∫ ¿ co%* #1!d * C LQ ∫ ¿ *1! d* 2
π
π
3
3
+
1 cos2 θ
¿ ¿
2
(¿) d θ
π
A 2 +
∫ ¿ co%!* !co%* #1d*. C LQ π 3
π 2
∫¿ π 3
1
A 2 +
+ cos 2 θ 2
π
(¿+ 2cos θ +1 ) d θ
2
π
∫¿
C #P
∫ ( 1 +cos2 θ ) d θ π 3
π 3
A2 +!* %en!* P%en* *
¿ π π 3
1
C #P+*
2
π
%en!* ¿ π 2 2
π
3
##1 alcular el área de la regi)n R 9ue e%tá encerrada 'or la cur&a r ! 2 !co%!* 8 (uera de la cur&a r 2 #
# 2 !co%* , * 2
1
A 2 5
2
π 6
− π 6
π
π
6
6
∫ (2cos2 θ −1)} dθ 2 ∫ cos2 θ d θ−2 θ 0
A 2 !%en!
6 0
0
π
θ06
π
@
π 3
2
√ 3
@
π 3
#!1 alcular el área de la regi)n R encerrada 'or la% cur&a% r 2 %en * 8 r 2 co%*
%en* 2 co%* , tg* 2 # , * 2
π
A 2
4
5 ∫ (4cos θ) !d* ∫ (4 senθ ) ! d* 7
2
π
0
4
π
π
2
∫
A 2 P
4
cos
!
* d* P
π
∫ sen !* d* 0
4
π 2
A 2P
∫ π
1
+ cos2 θ 2
π
d θ +8
4
θ dθ ∫ 1−cos2 2 0
4
π
π
2
A 2 ∫π ( 1 + cos2 θ ) d θ 4
A 2
4
π
2
1
π
π
C !
π
C ! 2 !
4
∫ ( 1− cos2 θ ) d θ 0
π
C
#L1 Obtener el área del rizo interior de la cur&a r 2 # co%*
2 π
1
# !co%* 2 " , co%* 2 @
2
,*2 1
4 π 3
1
A 2
∫
2
(1+ cos θ ) !
2 π
2
3
4 π 3
+ 4 cos θ + 4 cos ¿
1
4 π
2
∫¿
3
3
!
*1d*
2 π 3
4 π 4 π
1
A 2
0* %en*
2
¿
3 2 π
3
1+ cos2 θ dθ ∫ ! 2 2 π
3
3
4 π
1
A 2
0* %en* ¿
2
1
A 2 0%en A 2
0
2
8 π 3
π
@
4 π
2 π
3
3
−
C %en
3 2 π 3
1
0*
1 !0%en 4 π 3
4 π 3
2
4 π
%en!* ¿
@ %en
2 π 3
3 2 π 3
10
4 π
2 π
3
3
−
¿
1
2
1
3 √ 3 2
#1 Obtener el área de la regi)n 9ue e% e;terior a la cur&a r 2# e interior a la cur&a r 2 !%en!*
1
# 2 %en!* *2
π
%en!* 2 5 π
12
12
( 2 sen 2 θ ) ¿
4 sen
¿
5 π
5 π
A 2 ;
1
12
∫¿
!
C #.d* 2 !
2 π
12
∫¿
!
!* C #1d*
π 12
12
sen
¿
5 π
5 π
5 π
12
12
12
θ dθ ∫ 1 −cos4 @ 2
A 2 P ∫ ¿ !*1d* C 0!* ¿ π 2 P !
π
12
12
π 12
5 π 12
A 2 ∫ (1− cos4 θ ) @ π
π
θ 5 π
2 0 ¿ ¿ π C 0%en* 12
6
A 2 0
6
¿ π
12
12
π
5 π
√ 3 4
12
2 π 3
√ 3
#$1 allar el área interior a la cur&a r 2 %en!*
12
12
π 6
2
sen 2 1
A 2 ;
2
¿
π 2
∫¿
π 2
!
*1 d* 2 !
θ dθ ∫ 1−cos4 2 0
0
π 2
A 2
∫ ( 1− cos4 θ ) d θ 2 0* @
1 4
π
%en* ¿ 2 2
0
π 2
0
#Q1 Encuentre el área de la regi)n comn de la% cur&a% r 2 L !co%* 8 r 2 !
1
L !co%* 2 ! co%* 2 @
2
*2@
π 3
2 π
1
A 2 !+
π
(3 + 2cos θ ) ! ∫ 2 !d* ∫ d*7. 3
5
2
2 π
0
3
9 2 π
A 2 5
+ 12cos θ + 4 cos ¿ π
3
θ0
!
*1d*7
∫¿ 2 π 3
❑
π
A 2 5
8 π
+* #!%en*
3
π 2 π
¿
3
∫ cos !*d*7
2 π 3
A 2
8 π
0
3
π
2 π
@
1 #!0%en
3
π
2 π
@ %en
3
π
1
4 2 π 3
co%!*d*7 A 2 A 2 A 2
17 π 3
17 π 3
17 π 3
@Q @ Q
−6 √ 3
√ 3
√ 3
1
!0* !0 2 π 3
2
π
@ √ 3 2
%en!* 2 π 3
2
¿ π π 2
3
1 %en! 19 π 3
@
π
@ %en
4 π 3
11 √ 3 2
#1 allar el área de la regi)n com'rendida entre el lazo% interior del caracol r 2 # C !%en*
# C !%en* 2
" ,*2
5 π 6
− 4 senθ + sen ¿
1 5 π 6
1
A 2
5 π
∫ (1− 2 senθ ) !d* 2
2
6
!
*1d*
1
∫¿ 2
π 6
π 6
1
1
−cos2 θ 2
)
¿
1
A 2
− 4 senθ + 4 ( 5 π
2
6
∫¿
1d*
π 6
5 π
A 2
1
6
∫ (3 −4 senθ −2cos2θ )
2 π 6
5 π
1
A 2
2
0L* co%* C %en!*
¿ π
6
6
1
2
2
0!
π −3 √ 3
1
π 6
A 2
π
@
3 √ 3 2
#P1 allar el área de un '>talo de la ro%a de ecuaci)n r 2 Lco%L*
Lco%L* 2 " , * 2
− π 6
π
6
¿
¿ ¿
1
+ cos 6 θ 2
¿
π
A 2
6
1
! Lco%L*1 d* 2 ¿ ∫
2 − π
π
9
1 d*
6
∫¿
2 − π
6
6
9
A 2
4
+*
sen 6 θ 6
π
¿−π 6
6
9
2
4
0
π 6
π 6
1 2
3 π 4
#1 Encuentre el área en el interior del círculo r 2 $co%* 8 (uera de la cardioide r 2 ! co%*
1
! co%* 2 $co%* , co%* 2
2
, * 2
π 3
π
@
3
π 3
1
A# 2
∫ 25 cos !* d* −
2
π
3
π 3
1
A! 2
∫ (2 +cos θ) ! d* −
2
π
3
AT 2 A# C A! π
1
3
25 cos ! AT 2 2 ∫ * d* @ − π
3
π
1
3
∫ (2 +cos θ ) ! d* 2 2− π
3
8 π 3
√ 3
