UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AMBIENTAL
TORSIÓN CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES
DOCENTE: Ing. CHAVEZ DIAZ LUIS ALBERTO ERICK
INTEGRANTES:
BUSTAMANTE BUSTAMANTE BEYLLA DIAZ SANCHEZ PERCY JAHZEEL GUTIERREZ ROSPIGLIOSI LUIS EDGARDO MORALES ALCANTARA JUDITH ALEJANDRA RUIZ ALAYO SHERILYN NICOLL DEL FATIMA YGLESIAS ALCANTARA PAMELA VANESSA
Julio del 2017
TRUJILLO – PERÚ
2
INGENIERÍA AMBIENTAL
RESISTENCIA DE MATERIALES
1.
ÍNDICE .................................................................................................................... ........................................................ 3 INTRODUCCIÓN ............................................................
2.
DESARROLLO: ................................................................. ........................................................................................................................ ....................................................... 3 2.1.
.................................................................................................................. ........ 3 DEFINICIÓN: ..........................................................................................................
2.2.
CRITERIOS DE SIGNOS PARA MOMENTOS TORSORES: ............................................... 4
2.3.
DIAGRAMAS DE MOMENTOS TORSORES: ................................................................... 4
3.
TIPOS DE TORSIÓN: ................................................................... ............................................................................................................... ............................................ 5 3.1.
................................................................................................... ........... 5 TORSIÓN UNIFORME: ........................................................................................
3.2.
............................................................................................ 5 TORSIÓN NO UNIFORME: .............................................................................................
3.3.
............................................................................................................ ............................................. 7 TORSIÓN MIXTA...............................................................
....................................................................................... ................... 7 TORSIÓN EN BARRAS CIRCULARES....................................................................
4.
4.1.
FÓRMULA DE TORSIÓN ................................................................................................ 8
4.2.
HIPÓTESIS BÁSICAS PARA MIEMBROS CIRCULARES .....Error! Bookmark not defined.
4.3.
ANGULO DE TORSIÓN
4.4.
LIMITACIONES. ................................................................Error! Bookmark not defined.
∅ ................................................Error! Bookmark not defined.
TORSIÓN EN BARRAS NO CIRCULARES .................................. Error! Bookmark not defined.
5.
5.1.
HIPOTESIS BASICAS. ........................................................Error! Bookmark not defined.
5.2.
SECCION RECTANGUL R ECTANGULAR AR. ................................................Error! Bookmark not defined.
TORSIÓN EN SECCIÓN SECCIÓN DE PARED DELGADA ..................................................................... 13
6.
6.1.
...................................................................................... 1 3 TUBOS DE PARED DELGADA .......................................................................................
6.1.2. 6.2.
FÓRMULA DE TORSIÓN ...................................................................................... 14
..................................................................................................................... ......... 14 EJEMPLO .............................................................................................................
................................................................................................... 15 TORSIÓN NO UNIFORME ....................................................................................................
7.
7.1. BARRA CON SEGMENTOS PRISMÁTICOS Y UN TORQUE CONSTANTE EN CADA ............................................................................................................................. ................................................................. 1 5 SEGMENTO............................................................. 7.2.
BARRA CON SECCIÓN VARIABLE Y TORSIÓN CONSTANTE ........................................ 16
7.3.
.................................. 16 16 BARRA CON SECCIÓN TRANSVERSAL TRANSVERSAL Y TORQUE VARIABLES: VARIABLES: ..................................
8.
TORSIÓN NO LINEAL DE BARRAS CIRCULARES: ................................................................. 17
9.
SECCIONES MAS ADECUADAS PARA TRABAJAR A TORSIÓN ............................................ 17
10.
.............................................................................. 18 TORSIÓN DE SAINT-VENANT PURA. ...............................................................................
11.
RESUMEN DE ECUACIONES ............................................................................................ 18
12.
................................................................................................................... 2 0 PROBLEMAS ....................................................................................................................
13.
.................................................................................................................. 2 3 CONCLUSIÓN ...................................................................................................................
14.
.................................................................................................................. ...................................................... 24 REFERENCIAS ............................................................
2
3
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1.
RESISTENCIA DE MATERIALES
INTRODUCCIÓN
Muchos materiales cuando están en servicio están sujetos a fuerzas o cargas. En tales condiciones es necesario conocer las características del material para diseñar el instrumento donde va a usarse de tal forma que los esfuerzos a los que vaya a estar sometido no sean excesivos y el material no se fracture. El comportamiento mecánico de un material es el reflejo de la relación entre su respuesta o deformación ante una fuerza o carga aplicada. El ensayo de torsión se aplica en la industria para determinar constantes elásticas y propiedades de los materiales. También se puede aplicar este ensayo para medir la resistencia de soldaduras, uniones, adhesivos, etc. La torsión en sí se refiere a un desplazamiento circular de una determinada sección transversal de un elemento cuando se aplica sobre éste un momento torsor o una fuerza que produce un momento torsor alrededor del eje. La torsión se puede medir observando la deformación que produce en un objeto un par determinado. Por ejemplo, se fija un objeto cilíndrico de longitud determinada por un extremo, y se aplica un par de fuerzas al otro extremo; la cantidad de vueltas que dé un extremo con respecto al otro es una medida de torsión. Los materiales empleados en ingeniería para elaborar elementos de máquinas rotatorias, como los cigüeñales y árboles motores, deben resistir las tensiones de torsión que les aplican las cargas que mueven.
La deformación plástica alcanzable con este tipo de ensayos es mucho mayor que en los de tracción (estricción) o en los de compresión.
2.
DESARROLLO: 2.1.DEFINICIÓN:
Una sección de un elemento estructural está solicitada a torsión cuando el momento resultante de las fuerzas interiores tiene la componente Mx = T.
3
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Ilustración 1- momento resultante de las fuerzas interiores
2.2.CRITERIOS DE SIGNOS PARA MOMENTOS TORSORES:
T>0 si su sentido es el de la normal saliente de la sección.
T < 0 si su sentido es contrario al de la normal saliente de la secc ión.
2.3.DIAGRAMAS DE MOMENTOS TORSORES:
Al igual que ocurre con los diagramas correspondientes de la Tracción – Compresión y de la flexión, los diagramas de momentos torsores indicarán el momento torsor correspondiente a cada sección del elemento estructural. Se desarrollará estos diagramas a través de un ejemplo:
Ilustración 2- diagramas de momentos torsores 4
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3.
RESISTENCIA DE MATERIALES
TIPOS DE TORSIÓN: 3.1.TORSIÓN UNIFORME:
Se dice que una barra trabaja a torsión uniforme cuando se cumplen las dos condiciones siguientes: El único esfuerzo presente es el momento torsor, que es constante a lo largo de ella y además los extremos de la barra pueden alabear libremente. En la torsión uniforme, dado que el alabeo que se pueda producir es el mismo en todas las secciones, se podrá afirmar que las tensiones normales serán cero ( ) y solo dará lugar a tensiones cortante: .
0
3.2.TORSIÓN NO UNIFORME:
Se dirá que la torsión no es uniforme cuando no se cumplan algunas de las dos condiciones anteriores, como sería el caso de los dos ejemplos siguientes:
Ilustración 3- torsión no es uniforme
5
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En la torsión no uniforme , el alabeo posible de las diferentes secciones no será el mismo, por lo que se producirán tensiones normales: y tensiones cortantes: .
En la siguiente figura se muestra el efecto del alabeo de una barra IPE laminada sometida a torsión no uniforme (caso del ejemplo 2). Se observa como debido al alabeo, las alas de la viga se flexionan y por tanto aparecerán en ellas tensiones normales.
Ilustración 4- efecto del alabeo de una barra IPE Observaciones:
1. Para medir la susceptibilidad al alabeo por torsión de una determinada sección se utiliza el denominado “módulo de alabeo”: Ia y para medir l a susceptibilidad la torsión se utiliza el “módulo de torsión” : It . ambos valores se pueden
calcular u obtener de tablas. 2. Las piezas sometidas a torsión no uniforme en las que el módulo de alabeo Ia sea nulo o de pequeño valor con respecto al módulo de torsión It se admite aplicar el cálculo como si fuera torsión uniforme. Estos casos se darán en los siguientes tipos de secciones:
Secciones macizas de gran espesor:
Secciones cerradas de pequeño espesor:
Secciones abiertas de pequeño espesor formadas por rectángulos que se cortan en un punto.
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3.3. TORSIÓN MIXTA
En una viga sometida a torsión, el momento externo en una sección es equilibrado por las tensiones originadas por la torsión pura y las originadas por la torsión no uniforme. Las primeras están presentes siempre y las segundas cuando la forma seccional alabea y, o bien existe alguna restricción al alabeo en alguna sección o el momento torsor es variable a lo largo de la viga. Cuando existen los dos tipos de torsión decimos que hay torsión mixta.
4.
TORSIÓN EN BARRAS CIRCULARES
Al aplicarse un momento torsor T (alrededor del eje longitudinal), una sección del elemento gira con respecto a la otra e internamente se produce un efecto de deslizamiento o corte entre dos secciones adyacentes.
Ilustración 5 - Deformación en barras circulares
Ilustración 6 - Fuerzas de torsión
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4.1. FÓRMULA DE TORSIÓN
Una barra circular en torsión pura, si se toma un elemento de esfuerzo infinito, el sentido de los esfuerzos cortantes para las deformaciones unitarias cortantes será el que se observa.
Ilustración 9 - Deformación en barras circulares
Recordemos que ante la presencia de esfuerzos cortantes verticales, se generan automáticamente esfuerzos cortantes verticales iguales.
Ilustración 10 - Ley de Hooke para corte
Relación de esfuerzo deformación unitaria (Ley de Hooke)
Donde:
: ó 8
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: ó . : Los esfuerzos cortantes varían linealmente con la distancia debido a la L ey de Hooke.
Donde:
: . : . : . :. A continuación se presenta un corte transversal y longitudinal, cuyo plano longitudinal es más débil que el transversal. La resultante de esfuerzos sobre la sección transversal es un par de torsión T
Ilustración 11 - Corte transversal de una barra circular
Calculemos a una distancia del centro de la sección transversal:
∑ + Despejando el esfuerzo cortante máximo, se obtiene la ecuación o formula de torsión aplicable a tubos circulares.
Donde:
∫ es el momento polar de inercia. Para un circulo de diámetro d y radio r.
, ∫ 9
,
10
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En el gráfico siguiente, se aprecia la distribución de los esfuerzos descritos por la fórmula de torsión. La distribución de esfuerzos cortantes a lo largo de un diámetro horizontal para una sección transversal circular hueca será:
Ilustración 12 - Distribución de esfuerzos cortantes
4.2. HIPÓTESIS BÁSICAS PARA MIEMBROS CIRCULARES
Se consideran miembros de sección transversal circular maciza o tubular.
Una sección circular plana, perpendicular al eje del miembro, permanece plana después de aplicada la torsión. En otras palabras, no tiene lugar el alabeo o distorsión de planas normales al eje del miembro.
En un miembro de sección circular sometido a torsión, las deformaciones unitarias de corte varían linealmente desde el eje central, alcanzando su máximo valor en la periferia de la sección
Se considera un material homogéneo y linealmente elástico
∅ donde Angulo de torsión total ∅ en torsión pura:
4.3. ANGULO DE TORSIÓN
∅ ∅ () ó á
Ilustración 13- Ángulo de giro
: Rigidez torsional unitaria por requerido para producir rotación de un ángulo unitario. 10
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: Flexibilidad torsional unitaria, ángulo de rotación requerido para
producir un par unitario. Los Tubos Circulares resisten con más eficiencia cargas de torsión que las barras sólidas, debido que la mayor parte del material está cerca del borde exterior donde los esfuerzos cortantes y brazos son grandes. 4.4. LIMITACIONES
Las Ecuaciones anteriores se aplican a barras circulares macizas y huecas. Son válidas en partes alejadas de las concentraciones de esfuerzo, como por ejemplo, agujeros y cambios abruptos de forma.
5.
Los Materiales son elástico – lineales.
TORSIÓN EN BARRAS NO CIRCULARES
En barras de sección no circular, durante la torsión las secciones no permanecen planas, sino que se curvan (alabean). Si el alabeo no es restringido, entonces en las secciones transversales no aparecen tensiones normales. Esta torsión se denomina torsión pura o libre. Corresponden a secciones transversales no circulares, tales como secciones rectangulares, perfiles (pared delgada). Etc. 5.1. HIPOTESIS BASICAS
Las ecuaciones definidas para secciones circulares ya no son aplicables.
Las secciones planas antes de la aplicación del momento torsor no se mantienen planas luego de la aplicación del momento torsor.
Ilustración 14 - Deformación por torsión en secciones planas
. 5.2. SECCION RECTANGULAR
El cálculo de las tensiones tangenciales en las barras de sección no circular representa un problema bastante complicado: las secciones transversales del elemento al ser torsionado no permanecen planas sino que se alabean, que se resuelve por los métodos de la Teoría de la Elasticidad.
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La hipótesis de Coulomb: “las secciones transversales permanecen planas durante
la torsión”, Válida para las secciones circulares, no es válida sin embargo para otro tipo de secciones y por tanto en éstas otras, las secciones se alabearán. El alabeo se produce en la sección transversal.
Ilustración 15 - Alabeo en sección plana
No obstante, en este tipo de secciones, el módulo de alabeo
es pequeño
comparado con el módulo de torsión y entonces, se podrá estudiarlas como si estuvieran sometidas a torsión uniforme, aunque se estuviera en el caso de torsión no uniforme. Así pues, en este tipo de secciones sometidas a Torsión, sólo aparecerán tensiones cortantes t. La determinación exacta de tensiones y deformaciones en una pieza de sección cualquiera sometida a Torsión, se debe a Saint Venant y forma parte de la Teoría de la Elasticidad. Aquí se expondrán a continuación los resultados que se obtienen al aplicar dicha teoría al caso se piezas de sección rectangular.
(Máximo esfuerzo cortante) El ángulo de torsión entre dos secciones separadas una longitud L es:
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13
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y son constantes que dependen de la relación según la siguiente tabla:
El esfuerzo cortante en el contorno de la sección sigue la dirección de la tangente a dicho contorno.
Ilustración 16 - Esfuerzo cortante en el borde
Ilustración 17 - Esfuerzo cortante en las esquinas
El esfuerzo cortante en las esquinas de la sección transversal es cero.
6.
TORSIÓN EN SECCIÓN DE PARED DELGADA 6.1.TUBOS DE PARED DELGADA
A pesar de que la torsión de ejes de sección distinta a la circular necesita métodos de cálculo más avanzados, en el caso de los tubos de pared delgada es sencillo obtener una solución aproximada a la exacta.
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Se considera un tubo de pared delgada con sección transversal arbitraria.
Ilustración 7 - Tubo de pared delgada
El flujo cortante será igual a:
El esfuerzo cortante máximo ocurre donde el espesor del tubo es mínimo y viceversa. En las zonas donde el espesor del tubo es constante, el esfuerzo cortante es constante. Se puede observar que el flujo cortante es igual a la fuerza cortante por unidad de distancia a lo largo de la sección transversal. 6.1.1. CARÁCTERÍSTICAS
El tubo es cilíndrico: su sección no varía a lo largo del tubo.
La sección transversal del tubo es cerrada.
El espesor de la pared es pequeño en comparación con las dimensiones transversales del tubo.
El tubo está sometido solamente a momentos torsores en sus extremos.
6.1.2. FÓRMULA DE TORSIÓN
2
Donde: T y
son propiedades de la sección transversal.
: Es el área encerrada por la línea media, no es el área se la sección transversal del tubo 6.2. EJEMPLO
Un tubo de pared delgada tiene la forma semicircular de la figura. Prescindiendo de la concentración de esfuerzos que se produce en las
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15
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esquinas, calcular el momento torsionante que producirá un esfuerzo cortante de 40 MN/m2.
Solución:
Aplicando la fórmula presentada anterioremente, resulta:
2 7.
2 2[⁄2 (0.025)](0.002)(40∗10) 157.
TORSIÓN NO UNIFORME
No tiene un momento torsor constante a lo largo de la barra El desplazamiento de todos los puntos de la superficie de la barra no es libre. 7.1. BARRA CON SEGMENTOS PRISMÁTICOS Y UN TORQUE CONSTANTE EN CADA SEGMENTO.
Ilustración 8 - Torque en segmentos prismáticos
La fuerza es positiva cuando el vector señala hacia afuera de la sección cortada, o cuando el giro es contra reloj visto desde la punta a la cola del vector. Es negativo si apunta hacia la sección o si gira en sentido horario visto desde la derecha.
: Es el mayor esfuerzo de las calculadas en cada segmento El ángulo de torsión de un extremo respecto al otro es:
=
=
∅ ∑ ∅ ∑ 15
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Donde:
∅ Á ó . # ó ó 7.2. BARRA CON SECCIÓN VARIABLE Y TORSIÓN CONSTANTE
El esfuerzo máximo ocurre en la sección de menor sección transversal.
: á ñ.
Angulo de torsión de toda la barra.
() ∅ () 7.3. BARRA CON SECCIÓN TRANSVERSAL Y TORQUE VARIABLES:
Ángulo de torsión.
() ∅ ()
∶ .
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8.
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TORSIÓN NO LINEAL DE BARRAS CIRCULARES:
Se considerará una barra circular en torsión no lineal cuando los esfuerzos cortantes exceden el límite proporcional, en este caso la Ley de Hooke deja de ser válida, aunque se puede considerar que la deformación unitaria cortante varía linealmente con la distancia ρ al centro del eje como se observa en la figura. Lo que se hace, es que primero
se averigua la deformación unitaria y luego se procede a calcular el esfuerzo cortante correspondiente de la curva esferazo – deformación. La deformación es proporcional a
r.
: : ó
Ilustración 9 - Diagrama esfuerzo deformación constante
9.
SECCIONES MAS ADECUADAS PARA TRABAJAR A TORSIÓN
En las piezas sometidas a torsión cabe distinguir dos tipos: el de las piezas cuya principal función es la transmisión de un par torsor, sólo o combinado con esfuerzos de flexión o axiles, (es el caso de piezas usadas principalmente en las máquinas: ejes, etc.)
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El de piezas en las cuales la torsión es un efecto secundario indeseable (es el caso, no muy frecuente, de algunas piezas de estructuras de edificación, como las vigas carril o las correas en fachadas laterales).
Las piezas correspondientes al primer tipo indicado, se proyectan con secciones macizas de gran espesor o cerradas de pequeño espesor:
10.
TORSIÓN DE SAINT-VENANT PURA.
La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea, esto suele cumplirse en:
Secciones macizas de gran inercia torsional (circulares o de otra forma).
Secciones tubulares cerradas de pared delgada.
Secciones multicelulares de pared delgada.
Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico predice un alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto sólo existe giro.
11.
RESUMEN DE ECUACIONES
LEY DE HOOKE PARA TORSIÓN:
G
G
18
E
2(1 )
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: : ó : ó : ó : ó
ESFUERZO CORTANTE EN BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR DEBIDO A MOMENTO TORSOR T
J
: é ó : ℎ é : ó
ÁNGULO DE GIRO EN BARRAS CIRCULARES SOMETIDAS A MOMENTO TORSOR
B / A
T L AB
J G
: Á ó “” ó “” : á : ó : ó : “” “”
RELACIONES ENTRE TORSOR, POTENCIA Y VELOCIDAD ANGULAR
P
T
m
conductor
conducido
T conducido T conductor
: ( ) : á : : ó ó 19
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12.
RESISTENCIA DE MATERIALES
PROBLEMAS
12.1. Determinar los valores de los momentos torsores T 1 y T2, si ᶲB=1º , ᶲC=2º , G=8.104MPa.
Solución:
-
Graficamos el diagrama de momento torsor, el cual se muestra en la figura:
Tenemos que:
Luego:
1 180 2 90 ( +)0,8 81010 8010− 180 32
+ 7018,38 ( +)0,8 1 81010 + 8010− 81010 6010− 90 32 32 + 1 180 81010 32 6010− 90 1776,53. 20
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5241,85.
12.2. Hallar los momentos en los empotramientos MA y MB. Dibujar el diagrama de momentos torsores.
Solución:
Tomándolo como un sistema hiperestático:
+ 0 + 510. Operando tramo por tramo: AB:
BC:
CD:
−, −), ( −), (
Obtenemos:
+ + 0 00,3+0,5310 0,5+0,4510 0,4 0350012 291,666…. 208,334…. Diagrama de torsores: 21
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12.3.
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Si se sabe que el diámetro interior del eje hueco mostrado es y el diámetro exterior es
0.9
1.6 , determine el esfuerzo cortante
máximo y el esfuerzo cortante en el interior del agujero causado por Momento de Torsión de magnitud
910 .
A. DATOS
0.9 (Diámetro Interior) 1.6 (Diámetro Exterior) 910 . (Momento torsor) B. ANÁLISIS
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C. RESOLUCIÓN 1. ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO
Ʈ DONDE: T= Momento torsor D=Diametro Exterior J=Momento Polar de Inercia para la sección Transversal respecto al eje. 2. HALLAMOS EL MOMENTO POLAR DE INERCIA
( ) 2 ((0.8 ) (0.45)) 0.58
RESOLVIENDO ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO
) 0.8 (910 Ʈá 0.58 Ʈ á 12413.79 3. ESFUERZO CORTANTE EN EL INTERIOR DEL AGUJERO
Ʈá Ʈ 12413.79 Ʈ 0.0.485 Ʈ 6982.76 13.
CONCLUSIÓN
Las secciones que no tienen tendencia al alabeo sólo desarrollarán torsión uniforme. Como se apuntó anteriormente, las únicas secciones que en rigor disfrutan de esta 23
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característica son las circulares, tanto huecas como macizas. No obstante hay otros tipos de sección cuya tendencia al alabeo es pequeña, y generalmente pueden analizarse con suficiente aproximación bajo la hipótesis de torsión uniforme aunque tengan los desplazamientos normales impedidos en alguna sección. Tal es el caso de las siguientes formas de la sección:
Circulares, tanto macizas como huecas (de pared delgada o no).
Macizas, como las rectangulares, cuadradas, elípticas, etc.
Cerradas de pared delgada, como las secciones en cajón y similares.
Secciones formadas por rectángulos de pequeño espesor que se cortan en un punto. Como las secciones en “L” y las secciones en “T”, de pared delgada.
En cuanto a la aptitud para resistir torsión, entendida como aparición de tensiones de valor moderado, bajo la acción de un momento torsor, puede decirse que las secciones más idóneas son las cerradas, de pared delgada. Cuando se compara una sección de este tipo con una sección maciza del mismo área, encontramos que el perfil hueco tiene mayor rigidez a torsión, y desarrolla menores tensiones máximas En particular la sección circular hueca puede ser especialmente conveniente debido tanto a que no alabea, como a que es óptima en cierto sentido. Las secciones huecas de pared gruesa presentarán una mayor variación de la tensión en dirección radial, con lo que presentarán mayores tensiones máximas que un perfil de pared delgada. Pero a cambio alejan el peligro de fenómenos de inestabilidad, como la abolladura de la pared de la sección. Este tipo de secciones son también aptas para resistir torsión. Les siguen en idoneidad las secciones macizas, con los mismos inconvenientes respecto de las secciones de pared delgada que las de pared gruesa, agravados por el hecho de que los puntos más interiores de una sección maciza suelen soportar muy poca tensión en comparación con los exteriores. Por el contrario, las secciones abiertas de pared delgada son muy poco apropiadas para soportar momento torsor, debido a que deben generar grandes tensiones.
14.
REFERENCIAS
http://estructuras.info/articulos/secciones%20de%20pared%20delgada.pdf
https://es.wikipedia.org/wiki/Torsi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
file:///C:/Users/Windows/Downloads/Resistencia%20de%20materiales%20b%C 3%A1sica%20para%20estudiantes%20de%20ingenier%C3%ADa.pdf
BEER Ferdinand P., JOHNSTON E. Rusell and DEWOLF John T. 2004. Mecánica de materiales. 24
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GERE Y TIMOSHENKO. 1998. Mecánica de materiales. México. International Thomson Editores. Cuarta edición..
MOTT Robert L. 1996. Resistencia de materiales aplicada. México. Prentice hall hispanoamericana S.A. 3ª edición.
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