DISEÑO MECÁNICO I
UNIDAD II TEORÍAS Y CRITERIOS DE FALLA POR CARGAS ESTÁTICAS 2.1. CARGAS ESTÁTICAS. Una carga estática es una fuerza estacionaria o un par de torsión que se aplica a un elemento. Para ser estacionaria, la fuerza o el par de torsión no deben cambiar su magnitud, ni el punto de o los puntos de aplicación, ni de dirección. Una carga estática produce tensión o compresión axial, una carga cortante, una carga flexionante, una carga torsional o cualquier combinación de estas. Para que se considere estática, la carga no pude cambiar de ninguna manera. La falla puede significar que una parte de un elemento se ha separado en dos o mas piezas; se ha distorsionado permanentemente, arruinando de esta de esta manera su geometría; se ha degradado su confiabilidad; o se ha comprometido su función, por cualquier razón. Cuando un diseñador habla de falla puede referirse a cualquiera o todas estas posibilidades. Las fotografías siguientes ilustran algunas fallas:
Se han propuesto varios criterios teóricos con el objeto de obtener una correlación adecuada entre la vida o duración estimada del componente y la que realmente se logra en las condiciones de carga de servicio para aplicaciones tanto en materiales frágiles como dúctiles. Para materiales dúctiles se tienen (criterios de fluencia): a).- Teoría del esfuerzo cortante máximo (Criterio de fluencia de Tresca). b).- Teoría de la energía de distorsión (Von Mises-Hencky). M.C. IGNACIO ARRIOJA CÁRDENAS
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Para materiales frágiles se tienen (criterios de fractura): c).- Teoría del esfuerzo normal máximo (Rankine). d).- Teoría de la fricción interna (Coulomb-Mohr). e).- Teoría modificada de Mohr. 2.2. CONCENTRADORES DE ESFUERZO. Las causas de concentraciones de esfuerzos (llamadas también elevadores de esfuerzos) son muy variadas y numerosas. Se deben principalmente a acabados superficiales, inclusiones no metálicas y a otras causas. Una concentración de esfuerzos es cualquier condición que causa que el esfuerzo local sea mayor que el esfuerzo nominal. La geometría o forma del espécimen, es uno de los factores más importantes que contribuyen a la concentración del esfuerzo con bases muy racionales. En el caso de que no sea posible el uso de técnicas analíticas, se usan métodos experimentales (fotoelasticidad, extensómetros, recubrimientos frágiles), en los cuales se prueban elementos reales que proporcionan datos de mucha utilidad para el diseño. Actualmente se continúan los trabajos con el fin de obtener dichos factores para el caso de esfuerzos combinados. A continuación podemos observar en las figuras (2.1) y (2.2) como se distribuyen los esfuerzos:
Figura (2.1).- Concentración de esfuerzos causada por un cambio repentino en la sección transversal.
Figura (2.2).- Concentración de esfuerzos para una barra cargada en tensión y con un agujero. El factor de concentración de esfuerzos está definido por la relación:
σ K t = max --------------------------------(2.1) σo
Kt
= factor de concentración de esfuerzos teórico, dado solamente de acuerdo a la
geometría del espécimen.
σ max = esfuerzo normal máximo en la sección de interés. σ o = esfuerzo nominal en la sección de interés.
Para cortante se tiene:
K ts
τ K ts = max --------------------------------(2.2) τo
= factor teórico para corte.
τ max = esfuerzo cortante máximo en la sección de interés. τ o = esfuerzo cortante nominal en la sección de interés. M.C. IGNACIO ARRIOJA CÁRDENAS
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Los factores de concentración de esfuerzos para diferentes condiciones de carga se muestran en las figuras (2.4 a 2.17). Si todos los materiales fueran uniformemente homogéneos y estuvieran libres sus superficies de rayas o marcas, podría justificarse usar
Kt
“tal cual” para el cálculo de esfuerzos por fatiga, ya
que éste depende solamente de su geometría. Sin embargo, los materiales no son homogéneos y en la superficie no están libres de defectos. Las pruebas de fatiga han demostrado que el factor teórico de concentración de esfuerzos raramente se obtiene (excepto para algunos aceros de alta resistencia). En su lugar se utiliza un valor menor que
Kt .
Por lo tanto es necesario definir un factor de concentración de esfuerzos
Kf
debido a la fatiga, designado por
.
σ (con muesca) --------------------------------------------(2.3) K f = max σ max(sin muesca)
σ max = esfuerzo máximo por carga fluctuante con muesca o sin muesca.
Debido a que se requiere hacer un número ilimitado de pruebas para generar valores de muy deseable relacionar el valor teórico de
Kt
con el de fatiga
Kf
Kf
, es
para diferentes tamaños de
muesca, materiales y tratamientos térmicos. R.E. Peterson sugiere la siguiente relación conocida como factor q de sensibilidad a la muesca:
q=
K f −1 ------------------------------------------------(2.4) Kt −1
q=
K fs −1 ------------------------------------------------(2.5) Kts −1
o por torsión o corte
Resolviendo tenemos:
K f = 1 + q ( K t − 1)
----------------------------(2.6)
K fs = 1 + q ( K ts − 1)
----------------------------(2.7)
La sensibilidad de las muescas
q
también se puede definir a partir de la fórmula de Kun-
Hardrath, en función de la constante de Neuber en pulgadas.
q=
Valores de
a
1 1+ a r
a
y del radio de la muesca r, ambos expresados
------------------------(2.8)
se representan en la siguiente tabla para aceros:
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S ut (kpsi) 50 55 60 70 80 90 100 110 120 130 140 160 180 200 220 240
a (pul0.5) 0.130 0.118 0.108 0.093 0.080 0.070 0.062 0.055 0.049 0.044 0.039 0.031 0.024 0.018 0.013 0.009
Tabla (2.1).- Valores de
a
La ecuación (2.8) se representa gráficamente en la siguiente figura para diferentes valores de Sut de aceros.
Figura (2.3).- Factor de sensibilidad a las muescas q para los aceros.
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Figura (2.4).- Factor de concentración de esfuerzos para un eje con filete en tensión axial.
Figura (2.5).- Factor de concentración de esfuerzos para un eje con un filete en flexión.
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Figura (2.6).- Factor de concentración de esfuerzos para un eje con un filete en torsión.
Figura (2.7).- Factor de concentración de esfuerzos para un eje con una ranura en tensión axial.
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Figura (2.8).- Factor de concentración de esfuerzos para un eje con una ranura en flexión.
Figura (2.9).- Factor de concentración de esfuerzos para un eje con una ranura en torsión.
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Figura (2.10).- Factor de concentración de esfuerzos para un eje con agujero transversal en flexión.
Figura (2.11).- Factor de concentración de esfuerzos para un eje con un agujero transversal en torsión.
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Figura (2.12).- Factor de concentración de esfuerzos para una barra plana con un filete en tensión axial.
Figura (2.13).- Factor de concentración de esfuerzos para una barra plana con filete en flexión.
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Figura (2.14).- Factor de concentración de esfuerzos para una barra plana con una muesca en tensión axial.
Figura (2.15).- Factor de concentración de esfuerzos para una barra plana con una muesca en flexión.
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Figura (2.16).- Factor de concentración de esfuerzos para una barra plana con un agujero transversal en tensión axial.
Figura (2.17).- Factor de concentración de esfuerzos para una barra plana con un agujero transversal en flexión.
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2.3 TEORÍA DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO (TECM). Esta teoría expresa que la falla en una pieza sujeta a un estado multiaxial de esfuerzos, ocurrirá cuando el esfuerzo cortante máximo desarrollado en ella, iguale o exceda al esfuerzo cortante máximo correspondiente al momento de la falla en el ensayo de tensión simple, efectuado con una probeta del mismo material. Si la nomenclatura
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
se usa para los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante
máximo dice que la fluencia ocurrirá cuando:
S
τ max ≥ 2y o bien, recordando que
-------------------------------------(2.16)
σ 1 − σ 3 = 2τ max , tenemos:
σ1 − σ 3 ≥ S y
----------------------------------(2.16.1)
Donde:
S y = resistencia de fluencia del material. Introduciendo el factor de seguridad se tiene que la falla ocurrirá si
S
σ 1 − σ 3 = ny s
-------------------------(2.17)
Para un estado de esfuerzos biaxial, donde σ3 = 0, tenemos:
S
σ 1 − σ 2 = ny s
ns
----------------------------------(2.17.1)
= factor de seguridad.
En la figura (2.19) podemos observar el hexágono de la teoría del esfuerzo cortante máximo en dos dimensiones inscrito dentro de la elipse de energía de distorsión.
Figura (2.19).- Representación gráfica de la teoría del esfuerzo cortante máximo (TECM) Para un estado de esfuerzos biaxial. 2.4 TEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN (TED). Esta teoría postula que la falla es causada por la energía elástica asociada con la deformación por cortante El esfuerzo cortante octaédrico esta dado por:
τ oct = 13 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 M.C. IGNACIO ARRIOJA CÁRDENAS
---------------------(2.9)
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El esfuerzo octaédrico producido por una tensión uniaxial ( σ 2
= σ 3 = 0 ) es:
τ oct = 32 σ 1 ---------------------------------(2.10) El esfuerzo octaédrico máximo ocurre en: (τ oct ) límite = 2 σ e -------------------------------(2.11) 3 donde σ e = esfuerzo de Von Mises. Para un estado de esfuerzos triaxial:
[
]
1/ 2 σ e = 1 (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 2 Para un estado de esfuerzos biaxial, suponiendo
σ e = (σ 12 + σ 22 − σ 1σ 2 )1 / 2
-----------------(2.12)
σ 3 = 0, -----------------------------------------(2.13)
En función de los esfuerzos aplicados, para el caso biaxial:
2 σ e = σ x2 + σ 2y − σ xσ y + 3τ xy
------------------------------(2.14)
De esta forma, la teoría de la energía de distorsión predice la falla si
σe =
Sy ns
-------------------------(2.15)
La ecuación (2.13) describe una elipse, que al ser trazada sobre los ejes
σ1 y σ 2
aparece como
se muestra en la figura (2.18) que se indica a continuación:
Figura (2.18).- Representación gráfica de la teoría de la energía de distorsión (TED) para un Estado de esfuerzos biaxial. 2.5 TEORÍA DEL ESFUERZO NORMAL MÁXIMO (TENM). En esta teoría se estipula que un elemento sujeto a cualquier combinación de cargas fallará cuando el esfuerzo principal positivo mayor exceda la resistencia de fluencia a la tensión, o cuando el esfuerzo principal negativo mayor exceda la resistencia de fluencia a la compresión. Dado que esta teoría funciona razonablemente bien para materiales frágiles en general, debemos considerar la resistencia última en lugar de la resistencia de fluencia. Esta teoría es muy útil para materiales frágiles fibrosos y vidrios, donde la microestructura se orientará en la dirección del esfuerzo normal máximo antes de que pudiera ocurrir la fractura. Por lo anterior, esta teoría nos dice que la falla ocurrirá si
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σ1 =
σ3 =
Sut ns
----------------------------------------(2.18)
Suc ns
---------------------------------------(2.19)
Donde:
σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 = esfuerzos normales principales. S ut = resistencia último uniaxial en tensión. S uc = resistencia último uniaxial en compresión. La figura (2.20) muestra la envolvente de falla en dos dimensiones para la teoría del esfuerzo normal máximo.
Figura (2.20).- Representación gráfica de la teoría del esfuerzo normal máximo (TENM). Para un estado de esfuerzos biaxial. 2.6. TEORÍA DE COULOMB MOHR O DE LA TEORÍA DE LA FRICCIÓN INTERNA (TFI). La teoría del esfuerzo cortante máximo es difícil de aplicar a materiales frágiles, puesto que la resistencia a la compresión es mucho mayor que a la tensión. Una extensión lógica a la teoría del esfuerzo cortante máximo para aplicarse a materiales frágiles, es separar las resistencias a la tensión y a la compresión, o en términos matemáticos para esfuerzo plano son: Si
σ1 ≥ 0 ≥ σ 2
Si
σ1 ≥ σ 2 ≥ 0 ,
Si
0 ≥ σ1 ≥ σ 2
σ1
σ3
= 1 Suc ns S σ 1 = nut s
Sut
−
-------------------------(2.20) -------------------------(2.21)
σ 2 = − Sn
uc
------------------------(2.22)
s
2.7 TEORÍA MODIFICADA DE MOHR (TMM). Esta teoría se originó a través de esfuerzos para ajustar la información de prueba. Por medio de esta teoría se predice mejor el comportamiento de un material frágil, especialmente en el cuarto cuadrante y para esfuerzo plano se tiene: Esta teoría se expresa por: Si
σ1 ≥ 0 ≥ σ 2
y
σ1 ⊳ 1 entonces: σ2
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( Suc − Sut ) σ 1 − σ 2 Suc Sut
Suc
=
1 ns
--------------------(2.23)
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Si
σ1 ≥ σ 2 ≥ 0 , o σ1 ≥ 0 ≥ σ 2
con
σ1 ≤1 σ2 S
σ 1 = nut s Si
0 ≥ σ1 ≥ σ 2
entonces:
--------------------(2.24)
σ 2 = − Sn
uc s
--------------------(2.25)
Las dos teorías anteriores se representan gráficamente en la figura (2.21) que se indica a continuación:
Figura (2.21).- Teoría de la fricción interna y teoría modificada de Mohr para la predicción de falla de materiales frágiles.
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