TEORIAS DE CAPACIDAD DE CARGA EN SUELOS 1. Introducción
En este capitulo se trata de los principales esfuerzos teóricos realizados para resolver el problema de la Capacidad de Carga de los suelos. Una buena parte de las teorías desarrolladas tienen su base en hipótesis simplificatorias del comportamiento de los suelos y en desarrollos matemáticos a partir de tales hipótesis en algunas otras teorías, especialmente en las que corresponden a esfuerzos recientes, la observación y el empirismo juegan un papel mucho más importante. Se puede decir que todas las teorías matemáticas tienen como punto de partida la solución de Prandtl al problema de la identación de un solido rígido en un medio continuo, semi-infinito, homogéneo e isótropo bajo condiciones de deformación plana; esta solución, desarrollada en el marco de la Teoría de la Plasticidad, supone al medio rígido-plástico perfecto. Con el objeto de asentar las ideas que presiden estos estudios representan al principio ilustraciones simples de la aplicación de los Teoremas Extremos (capítulos VI) a algunos casos sencillos de interés para lo que sigue. También, con el mismo objeto, se presentan intentos de resolver el problema de capacidad de cargas diferentes a los originados por los trabajos de Prandtl. En general conviene reducir el problema a dos casos: la Capacidad de Carga de los suelos puramente “cohesivos” (c ≠ 0; = 0), y la de los suelos puramente “friccionantes” (c = 0; ≠ 0). Algunas de las teorías mas usadas hoy se presentaran, sin embrago, para el caso mas amplio de suelos con “cohesión” y “fricción”.
2. Una aplicación simple del análisis limite al problema de la capacidad de carga en suelos puramente “cohesivos”
La teoría de la Elasticidad permite establecer la solución para el estado de esfuerzos en un medio semi-infinito, homogéneo, isótropo y linealmente elástico, cuando sobre el actúa una carga uniformemente distribuida, sobre una banda de ancho 2b y de longitud infinita. En efecto, puede demostrarse que para la condición de carga mostrada los máximos esfuerzo cortantes inducidos en el medio vale q/ puntos cuyo lugar geométrico es el semicírculo mostrado, cuyo diámetro es 2b. Por ser una solución obtenida por la Teoría de la Elasticidad puede garantizarse que ese estado de esfuerzos satisface las condiciones de equilibrio y frontera, por lo que la solución será un estado de esfuerzos estáticamente admisible, siempre y cuando el valor de t max max no sobrepase el valor de la resistencia del
material., supuesta igual a c (condición necesaria para que no haya fluencia en ningún punto del medio). Si: t máx = c = q/
Se sigue que: qmáx =
(7-1)
c
lo cual fija el máximo valor de q. De acuerdo con el Primer Teorema de Colapso (capítulos VI), la ec. 7-1 proporciona una cota inferior para el valor de qu carga última que puede colocarse sobre el medio, sin que ocurra falla en ningún punto del mismo. En Anexo VII-a se presenta un análisis mas detallado de la solución anterior. Por otra parte, según se desprende del citado del Anexo, el análisis en estudio no proporciona ningún mecanismo posible de falla general, a pesar de que, a primera vista, pudiera juzgarse que por constituir todos los puntos en que se llega al mismo tiempo a la falla incipiente un semicírculo, la masa del suelo deslizara con movimiento de cuerpo rígido sobre dicha superficie. Pero debe hacerse notar, una vez mas, que dicho semicírculo no es una superficie de deslizamiento por no ser los esfuerzos cortantes de falla tangentes a el. Lo que suceda cuando la carga aumente ligeramente a partir del valor que produzca t máx = c en todos los puntos del semicírculo esta fuera del campo del análisis elástico. Para completar la aplicación del análisis limite a los problemas de capacidad de carga en suelos puramente “cohesivos” se necesita encontrar una co ta superior para el valor de la carga ultima qu. Para lograr tal fin considérese un análisis de la capacidad realizado según los lineamientos de la fig. VII-2 que, básicamente, consiste en una aplicación del Método Sueco al problema de Capacidad de Carga. En efecto, considerase una superficie de falla circular, con centro O, extremos del área cargada y radio 2b, igual al ancho del cimiento. El momento motor, que tiende a producir el giro del terreno de cimentación como cuerpo rígido sobre la superficie de deslizamiento, vale m = q x 2b x b =2q b
2
Comparando ambos se deduce que para el círculo analizado, la carga máxima que puede tener el cimiento, sin falla, será:
Q = 2 c = 6.28c
En realidad puede demostrarse (W. Fellenius) que el circulo analizando no es el mas critico posible. En efecto, si se escoge un centro en 0’, sobre el borde del área cargada, pero mas alto que 0, puede probarse que existe un circulo, el mas critico de todos, para el que qmáx = 5.5 c
(7-2)
representa la carga máxima que puede darse al cimiento, sin que ocurra el deslizamiento a lo largo del nuevo circulo. Debe notarse que una superficie de falla, a lo largo de la cual ocurre una rotación de cuerpo rígido representa, según ya se indico, un campo de velocidades de deslizamiento cinemáticamente admisible y, por lo tanto, un mecanismo posible de falla. Por ello y de acuerdo con el 2 Teorema de Colapso Plástico, el valor dado por la ec. 7-2 es una cota superior de la carga ultima qu. resulta acotada entre los valores c
qu
5.5c
(7-3) La solución de Prandtl, ya mencionada, permite, con otro mecanismo de falla, llegar a otra cota superior del problema que es menor que la obtenida por Fellenius, reduciéndose as aun más el intervalo teórico en que debe encontrarse la solución. 3. La teoria de Terzaghi La teoría de Terzaghi es uno de los primeros esfuerzos por adaptar la mecánica de suelos. Esta teoría cubre el caso mas general de suelos con “COHESION y FRICCION” y su impacto en la mecánica de suelos ha sido de tal trascendencia que aun hoy, es posiblemente la teoría más usas para el calculo de capacidad de carga en los proyectos prácticos, especialmente en el caso de cimientos poco profundos. La expresión cimiento poco profundo se aplica aquí en el que el ancho B es igual o mayor que la distancia vertical entre el terreno natural y la base del cimiento (profundidad de desplante, D f ). En estas condiciones Terzaghi desprecio la resistencia al esfuerzo cortante arriba del nivel de desplante del cimiento considerandola solo de dicho nivel hacia abajo. El terreno sobre la base del cimiento se supone que solo produce un efecto que puede representarse por una sobrecarga, q = γ Df, actuante precisamente en un plano horizontal que pase por la base del cimiento en donde γ es el peso especifico del suelo.
El trabajo original de Terzaghi no desprecia el peso propio de la cuña que se desplaza con el cimiento al considerar el equilibrio de las fuerzas verticales que actúan sobre el mismo. En realidad, la influencia del peso mencionado es ínfima, por lo que, cuando la teoría se presenta en textos suele omitirse el termino respectivo. En lo que sigue, empero y por respetar la presentación origuanl del propio Terzagui, el peso de la cuña I se hará intervenir en los cálculos. Dicho peso vale: ¼ γ b2 tg φ Así la ecuación se trasforma en: qc= 1/B (2PP + c B tg φ – ¼ γ B2 tg φ)
El valor de la presión pasiva, debido al peso de un relleno puramente friccionante, sin sobrecarga, es, dentro de la teoría de Ranking:
Ppγ = Kpγ γz Si el relleno fuera horizontal y el muro vertical, el valor de K pγ seria: Kp γ = tg2 (45º + φ/2) = N φ Cuando la superficie sobre la que actúa la presión es inclinada, como la A’C, el valor de K pγ es diferente, dependiendo del ángulo α. También se estableció que el efecto de una sobrecara q en la presion pasiva es un aumento constante de esta en el valor
Ppq = K pq q Si el relleno es horizontal yn el moro es vertical el valor de K pq es el anotado arriba para K p γ .En este caso en el que la superficie es inclinada este valor también será distinto y función solo del ángulo α. Por ultimo en un relleno friccionante y cohesivo, el aumento de presión pasiva causado por la cohesión es independiente de la profundidad Z y vale: Ppc = K pc c En el caso de relleno horizontal y muro vertical se encontró: K pc = 2(N φ)1/2 = 2 tg (45º + φ/2) De nuevo este valor será diferente si la superficie sobre la que actúa la presión pasiva es inclinada.
En realidad, las expresiones arriba escritas para P pc, Ppq y Ppγ son para presiones normales a la superficie en que obran. Si la presión total no es normal a esta superficie, sino que forma ella el ángulo δ, las expresiones anteriores proporcionan solo la componente normal de las presiones. Por ultimo si como en el Casio en el que la superficie en que actúan las presiones ocurre un contacto de suelo con suelo el ángulo δ será φ: Ppn = K pc c + K pq q + Kpγ γ z
En la ecuación anterior los dos primeros términos son independientes de z en cuanto el tercero si depende de aquella variable.
4. La teoría de Meyerhof
En la teoría de Terzaghi, analizada en la sección VI-6 no se toman en cuenta los esfuerzos cortantes desarrollados en el suelo arriba del nivel de desplante del cimiento, el suelo arriba del plano de apoyo del cimiento se toma en cuenta solamente como una sobrecarga perfectamente flexible, pero no como un medio a través del cual puedan propagase superficies de deslizamiento o en el cual puedan desarrollarse resistencias al esfuerzo cortante. Esta hipótesis es tanto mas alejada de la realidad cuanto mas profundo sea el cimiento considerado. Meyerhof trato de cubrir esta deficiencia en una Teoría de Capacidad de Carga que ha alcanzado amplia difusión en épocas recientes. Desde luego, la Teoría de Meyerhof tampoco resuelve el problema con completo rigor científico y esta sujeta a hipótesis de importancia, que se expondrán en lo que sigue. En esta Teoría y para el caso de cimientos largos se supones que la superficie de deslizamiento con la que falla el cimiento tiene la forma que muestra la fig. VII-13 Según Meyerhof, la cuña ABB’ es una zona de esfuerzos uniformes a la que se puede considerar en estado activo de Ranking, la cuna ABC , limitada por un arco de espiral logarítmica, es una zona de esfuerzo cortante radial y, finalmente, la cuña BCDE es una zona de transición en que los esfuerzos varían desde lo correspondientes al estado de corte radial asta los de una zona en estado plástico pasivo. La extensión del estado plástico en esta última zona depende de la profanidad del cimiento y de la rugosidad de la cimentación. La línea BD es llamada por Meyerhof la superficie libre equivalente y en ella actúan los esfuerzos normales, p0 , y tangenciales, s0 , correspondientes al efecto del material contenido en la cuña BDE .
La expresión a que se llega finalmente al desarrollar la Teoría de Meyerhof es la siguiente: qc = c N c + p0 N q + ½
B N y
(7-20)
En la que el sentido de p0 es el arriba indicado y las demás letras tienen los significados usuales en este capitulo. Como se ve, y este es un ejemplo más de la fuerza de la tradición y de la costumbre, Meyerhof presenta una expresión final cuya forma matemática es enteramente análoga a la de Terzaghi. Las diferencias estriban en p0 , que ahora no es simplemente igual a h y en los tres factores de capacidad de carga, N c, N q y N y , que son diferentes en calor numérico a los que se manejan con la Teoría de Terzaghi. El calculo que se hace en la Teoría de Meyerhof de estos factores también sigue, básicamente, los lineamientos planteados anteriormente por Tezaghi, aunque, naturalmente las superficies de deslizamiento, que sirven de base a los cálculos son diferentes. Sin embargo, en la Teoría de Meyerhof persiste el defecto fundamental de que N c y N q se calculan con una cierta superficie de deslizamiento, en tanto que N y se calcula a [partir de otra determinada con independencia y que,, en general, no coincide con la primera< esta segunda superficie determina de hecho, una zona plástica de menor extensión que la primera,. Así, una misma formula procede de dos mecanismos de falla, vale decir de do fundamentos distintos, por lo que, en rigor, en la expresión 7-20 se suman términos o homogéneos entre si. La verdadera superficie de deslizamiento debería de ser determinada, lo cual hasta hoy no ha ido posible, según se dijo. Implícitamente, Meyerhof espera que esa superficie verdadera resulte intermedia entre las dos utilizadas. En el Anexo VII-c se presenta un desarrollo mas detallado de la Teoría de Meyerhof llega a graficas en las que es posible calcular los valores de N c , N q y N y , Estas graficas se presentan en las figuras VII-14, VII-15 y VII-16, tal como el propio autor las propuso originalmente. Deben notarse que para poder aplicar estas graficas en general, es preciso conocer el valor del ángulo , e inclinación de la superficie libre equivalente con la horizontal y esta es una incertidumbre básica de la Teoría, que no ofrece ningún procedimiento riguroso para su cálculo. En efecto, como se hace ver en el mencionado Anexo VII-c, el valor de depende, a fin de cuentas, de un coeficiente n, llamado “de m ovilización de la residencial al esfuerzo cortante en la superficie libre equivalente”, definido por la expresión: S0 = m (c + p0 tg Ø)
(7-21)
Que indica que en la superficie libre equivalente se acepta que la resistencia al esfuerzo cortante sigue la ley de Coulomb en esencia, pero regulada con un coeficiente m, de valor comprendido entre 0 y 1. Cuando m = 0, no se desarrolla resistencia en la superficie libre y cuando m = 1, la movilización de la resistencia es total. El valor de m es necesario en los cálculos puesto que en la Teoría se hace ver que en la superficie libre equivalente no es necesariamente una superficie de falla y, por lo tanto, no hay razón, en principio, ara que en ella agote la resistencia del material, al ocurrir el deslizamiento del cimiento. Pues bien, este valor de m no puede calcularse en la Teoría, no existe en esta ningún criterio que permita decidir si 0, 1 o un valor intermedio será el conveniente. Afortunadamente, por otra parte, la variación de los factores de capacidad de carga o de con m no es muy abrupta, como puede verse en las figuras VII-14 a VII-16, en las que los valores de N c , N q y N y , se calculan para m = 0 y m = 1, casos extremos. También ha de notarse que en algunos casos especiales puede decirse cuales son las condiciones reales de la superficie libre equivalente y, por tanto, fijar realimente el valor de m; tal es el caso de un cimiento desplantado sobre la superficie del terreno ( Df =0 ), en que dicha superficie es, evidentemente, la libre equivalente ( = 0) y en la que, por no existir esfuerzos cortantes actuando, puede decirse que m = 0; otro tanto ocurre en un cimiento colocado superficialmente sobre taludes simétricos a sus dos lados, ñeque dichos taludes forman la superficie libre equivalente ( < 0 ), donde m vale también 0, por no existir esfuerzo cortantes sobre los taludes abiertos al exterior. Para el caso de cimientos largos profundos, en que la profundidad de hincado sea de 6 a 8 veces mayor que el ancho del elemento, la superficie de deslizamiento se cierra siempre, como en el caso b) de la fig. VII-13 y, por ello, puede afirmarse que = 90º; la indeterminación del valor de desaparece y la Teoría es fácilmente aplicable en los problemas reales. En las figuras VII-14 a VII-16 otros valores de en forma llegar a valores razonables de que esta información ya no prudencia.
se indican otros tipos de cimentación ligados a meramente aproximada o como una guía para los factores de capacidad de carga. Es evidente es tan segura y deberá ser usada con gran
Así pues, la Teoría de Meyerhof, tal como fue presentada originalmente no es de aplicación sencilla a cimentaciones a poca profundidad. Por otra parte, en este caso puede aplicarse fácilmente la Teoría de Terzaghi en las condiciones más favorables, desde el punto de vista de sus hipótesis; además, en estas cimentaciones a poca profundidad, la Teoría de Terzaghi proporciona valores de la capacidad de carga muy parecidos y más conservadores. Por todo lo anterior puede concluirse, desde un punto de vista práctico, que no es importante que la
Teoría de Meyerhof produzca las indeterminaciones señaladas en cimientos poco profundos. La Teoría de Meyerhof es, en cambio, muy atrayente para el cálculo de cimentaciones en talud o de cimentaciones profundas, del tipo de pilas y pilotes, especialmente en este último caso, en que las hipótesis de la Teoría de Terzaghi resultan tan poco apropiadas, al no tomar en cuenta lo que pudiera suceder sobre el nivel de desplante. En este caso precisamente la teoría de Meyerhof no esta indeterminada según se detallará mas adelante. Sin embargo, los autores de esta obra se sienten en la obligación de advertir a sus lectores contra un optimismo excesivo respecto a la Teoría de Meyerhof, como respecto a cualquier otra Teoría de Capacidad de Carga. Las mediciones en obras reales y los estudios en modelos muestran desviaciones notables en los resultados de las teorías, que deberán siempre conjugarse con el criterio del proyectista, la experiencia del constructor y la prudencia del científico que sabe valuar las incertidumbres y complejidades de la naturaleza. Para el caso de cimientos largos en arenas sin cohesión (c = 0; Ø ≠ 0), Meyerhof simplifico aun mas la formula 7-20, substituyéndola por la expresión
qc = ½
BN yq
(7-22)
En que N yq es un nuevo factor de capacidad de carga en el cual están involucrados lo valores de N q y de N y . En la fig. VII-17 se presentan gráficas que dan los valores de N yq para Ø = 30º y Ø = 40º, representativos de arenas sueltas y compactas, respectivamente. El valor de N yq depende de k , coeficiente de presión de tierras, el cual puede teóricamente oscilar entre los valore correspondientes a los estados activo y pasivo y no puede calcularse en forma precisa con la teoría, debiendo ser valuado con pruebas de campo, Meyerhof propone, para fines de proyecto, adoptar k = .5 para arenas sueltas y k = 1.0 para compactas. Además de la compacidad de la arena, influyen en k la resistencia y características de deformación del suelo, la historia previa de esfuerzo-deformación y el método de construcción de la cimentación propiamente dicha. Las anteriores expresiones para el uso de la Teoría de Meyerhof se refieren a cimientos largos en el sentido normal a plano de papel. Para su aplicación al caso de pilotes, que corresponden a cimientos cuadrados o circulares. Las cosas son algo diferente. Refiriéndose a suelo con cohesión y fricción, en los que es aplicable la fórmula 7-20, Meyerhof considero despreciable al término N y , expresando la capacidad de carga con la formula
qc = c N c + k
h N y
(7-23)
En que k tiene el sentido y los valores prácticos arriba discutidos, c , y h los sentidos usuales y N c y de N q los valores que resultan de las graficas de la fig. VII- 18. Es natural que varíen ahora los factores de capacidad de carga, si se considera que en el caso de cimientos cuadrados o circulares, que es el caso de pilotes como ya se hizo notar, las zonas plásticas son menores que en el caso de cimientos largos del mismo ancho y en los cuales la profundidad de hincado sea suficiente para que β valga también 90º. Para el caso de cimientos rectangulares, no muy lagos, en arena, la formula 722 también ha de ser modificada, adoptando la forma qc = ½
λBN yq
(7-24)
Donde λ es un “factor de forma” del cimiento que depende de la relación largo a ancho del mismo, L/B. Los valores de λ aparecen en la grafica de la fi g. VII-19, que involucra a los correspondientes a pilotes cuadrados para los que L/B = 1ó circulares, que se consideran independientemente. Debe notarse que el valor de λ no só lo depende de la relación L/B, sino que también se ve influenciado por la relación profundidad de desplante a ancho del cimiento, Df / B , por el valor del ángulo Ø y por el procedimiento de construcción del cimiento, especialmente si se trata de un cimiento hincado o de uno colocado en el lugar, previa excavación.
En las refs. 8, 9 10, 11 y 12 podrán consultarse los puntos de vista de Meyerhof sobre su Teoría así como algunas aplicaciones importantes de ésta.
