TEORIA DE FALLAS POR CARGA ESTATICA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN En los cursos de mecánica de materiales previos se centró en las relaciones existentes entre fuerzas y deformaciones bajo diferentes condiciones de carga. El análisis estuvo basado en dos conceptos fundamentales, el concepto de esfuerzo y el concepto de deformación. Ahora se estudia un tercer concepto de importancia, el concepto de energía de deformación. Se define la energía de deformación de un elemento como el aumento de energía asociada con la deformación del elemento. Considérese una barra BC de longitud l y sección transversal A, empotrada en B y sometida en C a una carga axial P que se incrementa graficando la magnitud P de la carga contra la deformación x de la barra como se muestra en la figura 1, y se obtiene un diagrama carga-deformación que es característico de la barra BC (figura 2).
Figura 1
Figura 2
Considérese ahora el trabajo dU realizado por la carga P cuando la barra se alarga una pequeña cantidad dx. Este trabajo elemental es Igual al producto de la magnitud P de la carga y del pequeño alargamiento dx. Se tiene:
= Se observa que la expresión obtenida es igual al elemento de área de ancho dx localizado bajo el diagrama carga-deformación El trabajo total U efectuado por la carga cuando la barra experimenta una deformación x1 es:
= El trabajo realizado por la carga P, cuando se le aplica Ientamente a la barra, debe producir el incremento de alguna energía asociada con la deformación de la barra, esta energía es la energía de deformación de la barra Por definición,
1
ó =
=
El trabajo y energía se expresan en unidades obtenidas das multiplicando unidades de longitud por unidades de fuerza. Así en el sistema SI, trabajo y energía se expresan en N.m o julio (J). En unidades americanas se tendrá lb. pie o lb. pulg.
=
=
= En donde P1 es el valor de carga que corresponde a la deformación x1
DENSIDAD DE ENERGÍA DE DEFORMACIÓN el diagrama carga-deformación de una barra BC depende de la longitud L y del área A de la sección transversal de la barra, La energía de deformación, dependerá también da las dimensiones de la barra. Para eliminar el efecto de tamaño de nuestra discusión y dirigír nuestra atención a las propiedades del material, considérese la energía deformación por unidad de volumen, dividiendo la energía de deformación U por el volumen V = AL da la se tiene:
= Recordando que P/A es el esfuerzo normal σx en la barra, y x/L la deformación normal se escribe:
=
2
,
En donde , es la deformación correspondiente a la elongación x1 La energía de deformación por unidad de volumen, U/V es la densidad de energía de deformación y se designará por la letra u. Se tiene, entonces:
!"#$%$ $
! &#% $ $ '()*%+#ó! = , =
.
-
La densidad de energía de deformación u se expresa en unidades que se obtienen dividiendo unidades de energía por unidades de volumen. En el sistema SI se tendrá J/m3 o sus múltiplos kJ/m3 y MJ/m3; en el sistema americano seria lb . pulg/pulg3 En a la figura se observa que la densidad de energía de deformación a es igual al área situada bajo la curva esfuerzo – deformación medida desde = 0 hasta = Si permanece dentro del límite de proporcionalidad del material, se aplica la ley de Hooke y puede escribirse
- =/ Al sustituir esta expresión se tiene:
0=
=
0=
=
O Expresando ε1 en función de σ1
0=
Y finalmente se tendría
=
3
TEORIAS DE FALLAS Tipo de carga ya sea estática o dinámica. Las cargas estáticas se aplican lentamente y permanecen constantes en el tiempo. Las cargas dinámicas se aplican repentinamente (cargas de impacto) o con variaciones cíclicas en el tiempo (cargas de fatiga), o ambas. FALLA DE MATERIALES DUCTILES BAJO CARGA ESTATICA. Los materiales dúctiles se fracturan si se esfuerzan estáticamente más allá de su resistencia última a la tensión, por lo general se considera que fallan como piezas de una máquina cuando ceden bajo una carga estática. La resistencia a la fluencia de un material dúctil es mucho menor que su resistencia última. Se han formulado varias teorías para explicar esta falla: La teoría del esfuerzo normal máximo, la teoría de la deformación normal máxima, la teoría de la energía de deformación total, la teoría de la energía de distorsión (de Von Mises – Hencky) y la teoría del esfuerzo cortante máximo. Las últimas dos están de acuerdo con los datos experimentales. TEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN DE VON MISES – HENCKY O DE ENERGIA DE DISTORSIÓN ENERGIA TOTAL DE DEFORMACION. La energía de deformación U en una unidad de volumen (densidad de la energía de deformación) asociada con cualquier esfuerzo es el área bajo la curva de esfuerzo – deformación unitaria, hasta el punto donde se aplica el esfuerzo para un estado de esfuerzos unidireccional. Insertar figura Suponiendo que la curva de esfuerzo-deformación unitaria sea esencialmente lineal hasta el punto de fluencia, entonces, se expresa la energía de deformación total por unidad de volumen en cualquier punto de ese intervalo como:
=
…………………………………………………………………………………………..1a
Ampliando esto a un estado de esfuerzos tridimensional,
= (
+
+
3 3)
……………..……………………………………………………..1b
Usando los esfuerzos principales y las deformaciones principales que actúan sobre los planos de esfuerzo cortante igual a cero.
4
Esta expresión se plantea tan solo en términos de esfuerzos principales, sustituyendo las relaciones
=
(
56
56
3)
. = / (- 5 7- 5 7-3 ) ...…………………………………………………………………….1c 3
=
(
3
+6
+6
)
Donde 7 es la relación de Poisson y da
=
8(
+
+
3
5 6(
+
3
+
3 )9
……………………………………1d
CARGA HIDROSTATICA. En los materiales se pueden almacenar cantidades muy grandes de energía de deformación sin que fallen, cuando están cargados hidrostáticamente para crear esfuerzos uniformes en todas direcciones. Muchos experimentos han demostrado que los materiales se pueden esforzar hidrostáticamente sin que fallen, a niveles más allá de sus resistencias últimas a la compresión. La explicación es que los esfuerzos uniformes en todas direcciones, si bien crean un cambio en él y las energías de deformación potencialmente grandes, no causan distorsión en la pieza y por lo tanto, no hay esfuerzo cortante volumen COMPONENTES DE LA ENERGIA DE DEFORMACION Se puede considerar que la energía de deformación total en una pieza cargada tiene dos componentes una debida a carga hidrostática que cambia su volumen, y otra debida a la distorsión que cambia su forma. Si se separan las dos componentes, la energía de distorsión dará una medida del esfuerzo cortante presente. Si : representa la componente hidrostática o volumétrica y la componente de energía de distorsión, entonces.
=
:
+
.…………………………………………………………………………………….2
También se podría expresar cada uno de los esfuerzos principales en términos de la componente hidrostática (o volumétrica) : que es común a cada cara, y una componente de distorsión ;<= que es única en cada cara, donde el subíndice i representa la dirección del esfuerzo principal, 1, 2 ó 3
= =
: :
+ +
………………………………………………………………………………3a 5
=
3
+
:
3
Sumando los tres esfuerzos principales en la ecuación
+
+
+
3
:
3
+
=
+
3
=
=3
+
:
:
+
3
+
+(
5(
:
+
+
+
+
+
+
:
3
)
3
)
+
3
……………………………………………….3b
Para un cambio volumétrico sin distorsión, el término entre paréntesis de la ecuación 3b debe ser cero, dando así una expresión para la componente volumétrica o hidrostática del esfuerzo : :
>
=
3
> 3
…………………………………………………………………………………3c
Ahora la energia de deformación : asociada con el cambio de volumen hidrostático se determina sustituyendo cada esfuerzo principal en la ecuación 1d por : : :
= :
8(
= 83 =
:
:
+
+
:
5 6?3
3 5 6)
:
: @9
5 6(
: :
+
: :
+
: : )9
.……………………………………………………………..............4a
:
Y sustituyendo la ecuación 3c :
=
=
3 5 6)
A 6) B
8(
+
(
+
+
3
3
+
3
)
5 (
+
3
+
3 )9
…………………………………….4b
ENERGIA DE DISTORSION Ahora la energía de distorsión ecuación 4b de la 1d de acuerdo a la ecuación 2:
= {
5
D?
:
+
+ 5{
=
>6)
3
se obtiene restando la
8
+
3
5 6(
5 6 D? B +
3
5
+ +
3
+ +
3 )EF
+
3
+ (
3
+
+ 39
3
+
3 )EF
……………………………………….5
La prueba de tensiones un estado de esfuerzo uniáxica donde, en la fluencia
= GH y
= 3 = La energía de distorsión asociada con la fluencia en la prueba de tensión se calcula sustituyendo estos valores en la ecuación 5 6
=
>6)
3
GH …………………………………………………………………………………….6a
Y el criterio de falla se obtiene igualando la ecuación general 5 con la expresión de falla especifica 6a para obtener
+ 6) GH = 3
GH =
GH = I
+
+
+ 6) 8 3
= +
3
+
5 3
5
+ 5
+ 3
5
3
5
5 3
5
3
5
3
5
39
……..……………………………………….6b 3
que se aplica para el estado de esfuerzos tridimensional. Para el estado de esfuerzo bidimensional,
GH = I
5
3
+
3
=
y la ecuación 6b se reduce a:
………………………………………………………………………6c
La ecuación bidimensional de la energía de distorsión 6c describe una elipse, la cual al graficarse sobre los ejes , 3 queda como se muestra la figura 1. El interior de esta elipse define la región segura contra la fluencia bajo carga estática, para los esfuerzos biaxiales combinados.
Figura 1 La ecuación de la energía de distorsión tridimensional 6b describe un cilindro circular inclinado en relación con los ejes , , 3 con cada uno de sus tres ángulos de Euler a 45M como se muestra en la figura. El interior de este cilindro define la región segura contra la fluencia para los esfuerzos combinados , , 3 . El eje del cilindro es el lugar geométrico de todos los esfuerzos hidrostáticos y se extiende a ± infinito, una señal más de que el esfuerzo hidrostático por si solo no hará fallar un material dúctil. Las intersecciones de este cilindro con cada uno de los tres planos principales son elipses, como se indica en las figuras 3 y 4b
7
ESFUERZO EFECTIVO DE Von Mises El esfuerzo efectivo de Von Mises se define como el esfuerzo de tensión uniaxial que crearía la misma energía de distorsión que la combinación real de los esfuerzos aplicados. El esfuerzo efectivo de Von Mises ´ para el caso tridimensional es, a partir de la ecuación 6b
´=I
+
+
3
5
5
3
5
3
…………………………………………..7a
Esto también se expresa en términos de los esfuerzos aplicados como:
´=I
(
A H ) >( H A P ) >( P A
) >B(Q H >QHP >QP
……………………………………………7b
Y para el caso bidimensional partiendo de la ecuación 6c con (;R = 0):
´=I
5
3
+
3
……………………………………………………………………..7c
Y si se expresa en términos de los esfuerzos aplicados:
´=I
+
H
5
H
+ 3Q
H
…………………………………………………………......7d
Se usan estos esfuerzos efectivos para cualquier situación de esfuerzos combinados.
T=
GH ´
……………………………………………………………………………………………8a
Para el caso de esfuerzo tridimensional esto se convierte en,
GH T
= I
+
+
3
5
5
3
5
3
……………………………………………8b
Y para el caso del esfuerzo bidimensional:
GH T
= I
5
3
+
3
……………………………………………………………………8c
CORTANTE PURO Para el caso de cortante puro como se vio en la carga de torsión pura, los esfuerzos principales se vuelven =Q=5 3H = La figura 3 ilustra el estado de esfuerzos de torsión pura graficando sobre los ejes H 3 . El lugar geométrico 8
del esfuerzo cortante a la torsión pura es una línea recta que pasa por el origen a -450. Esta línea intercepta la elipse de falla en dos puntos A y B. Los valores absolutos de H 3 en estos puntos se obtiene de la ecuación 6c para el caso bidimensional.
GH = =
+ GH
√3
+
=3
= 0.577GH = Q
= 3Q
……………………………………………………………………9a
Esta relación define la resistencia a la fluencia de corte GHX de cualquier material dúctil, como una fracción de la resistencia a la fluencia en tensión GH determinada en una prueba de tensión.
GHX = . YZZGH …………………………………………………………………………………9b Con base en experimentos y en la teoría de la energía de distorsión, la falla en el caso de los materiales dúctiles con carga estática a la tensión es provocada por los esfuerzos cortantes.
TEORIA DEL ESFUERZO CORTANTE MAXIMO La teoría del esfuerzo cortante máximo fue propuesta primero por coulomb (1736-1806) y descrita más tarde por Trasca en una publicación de 1864. La teoría del esfuerzo cortante máximo (o simplemente la teoría de cortante máximo) establece que la falla ocurre cuando el esfuerzo cortante máximo en una pieza excede el esfuerzo cortante por fluencia en una muestra sujeta a tensión (la mitad de la resistencia de fluencia por tensión). Esto predice que la resistencia a la fluencia por cortante de un material es.
GHX = . YGH ...…………………………………………………………………………………..10
Figura 2 9
La figura 2 muestra la falla hexagonal encerrada por las dos teorías bidimensionales de cortante máximo, supuestas sobre la elipse de la energía de distorsión. Se inscribe dentro de la elipse y la toca en seis puntos. Las combinaciones de esfuerzos principales H 3 que se encuentran dentro de este hexágono se consideran seguras, y se piensa que la falla ocurre cuando el estado de esfuerzos combinados alcanza el límite hexagonal. Evidentemente, se trata de una teoría de falla más conservadora que la de la energía de distorsión, ya que está contenida dentro de la última. Las condiciones para el cortante por torsión (puro) se muestran en los puntos C y D. Para aplicar esta teoría en materiales homogéneos, isotrópicos, dúctiles, con esfuerzos estáticos bidimensionales, se calculan primero los tres esfuerzos normales principales , H 3 (uno de los cuales será cero para el caso bidimensional) y el esfuerzo máximo cortante, Q 3 Luego se compara el esfuerzo cortante máximo con el criterio de falla de la ecuación10. El factor de seguridad para la teoría del esfuerzo cortante máximo es
T=
GHX
Q
=
M.[ GHX Q
=
(
GHX /
A 3 )/
=
(
GH
A 3)
...…………………………………………………..11
TEORIA DEL ESFUERZO NORMAL MAXIMO La teoría del esfuerzo normal máximo no es una teoría segura para usarla en materiales dúctiles. Las modificaciones de esta teoría son válidas y útiles para materiales frágiles, cuyas resistencias ultimas a la tensión son más bajas que sus resistencias al cortante y a la compresión. La teoría del esfuerzo normal máximo establece que la falla ocurrirá cuando el esfuerzo normal en la muestra alcance algún límite de resistencia normal tal como la resistencia a la fluencia por tensión o la resistencia última a la tensión. En materiales dúctiles, la resistencia a la fluencia es el criterio que se suele emplear.
Figura 3
Figura 4
El recuadro de la figura muestra la envoltura de la falla bidimensional en la teoría del esfuerzo normal máximo. 10
La figura 3 y la figura 4, muestran que en el primero y tercer cuadrante, la envoltura del esfuerzo normal máximo coincide con la de la teoría del cortante máximo. No obstante en el segundo y cuarto cuadrante, la envoltura del esfuerzo normal está muy afuera, tanto de la elipse de la energía de distorsión como del hexágono inscrito correspondiente a la teoría de cortante máximo. Como los experimentos muestran que los materiales dúctiles fallan en carga estática cuando sus estados de esfuerzos se encuentran fuera de la elipse, la teoría del esfuerzo normal es un criterio de falla inseguro en el segundo y cuarto cuadrante. FALLA DE MATERIALES FRAGILES BAJO CARGAS ESTATICAS. Los materiales frágiles se fracturan en vez de ceder. Materiales uniformes y no uniformes. Materiales uniformes: Estos materiales tienden a presentar resistencias a la compresión iguales a sus resistencias a la tensión (materiales forjados como una herramienta de acero totalmente endurecido). Materiales no uniformes: Estos materiales presentan resistencias a la compresión mucho mayores que sus resistencias a la tensión (materiales colados, hierro colado gris). Algunos materiales colados frágiles es que su resistencia al cortante puede ser mayor que su resistencia a la tensión. La teoría de Coulomb-Mohr. La teoría de Coulomb-Mohr para fallas frágiles, la cual es una adaptación de la teoría del esfuerzo normal máximo.
11
T=
T=
T=
G0]
⃒G0 ⃒
……………………………………………………………………………………….12a
G0] |G0 | A G0] (
> 3)
G0] |G0 | |G0 | 5 G0]
` = a|
5
` = a|
5
`3 = a|
3
5
|+ 3|
+
|+
………………………………………………………………………12b
3
G0] A|G0 | ( A|G0 |
+
)b
G0] A|G0 | ( A|G0 |
+
3 )b
G0] A|G0 | ( 3 A|G0 |
+
)b
…………………………………………………12c
12
Como sugirió Dowling, el esfuerzo efectivo deseado es el más grande del conjunto de seis valores (C1, C2, C3, más los tres esfuerzos principales).
c = d e(` , ` , `3 , c= T=
X d e< G0] c
,
,
3)
…………………………………………………………………………..12d
…...……………………………………………………………………………………12e
13
BIBLIOGRAFIA
Diseño de máquinas, Un enfoque integrado, Robert L. Norton, Cuarta Edición, Ed. Pearson
14
