Instituto Tecnológico de Saltillo
Métodos Numéricos UNIDAD 4: Ajuste de curvas e interpolación
Catedrático: Ing. María Isabel Piña Villanueva
Alumnos: Luis Rodríguez Sánchez y Jesús David González Valdés
Fecha de entrega: jueves 30 de abril de 2015
Índice Introducción…………………………………………………………………………… 1 Interpolación: Lineal y cuadrática ………………………………………………….. ………………………………………………….. 2 2 Polinomios de interpolación………………………………………………………… interpolación ………………………………………………………… 5 5 Regresión por mínimos cuadrados: Lineal y cuadrática ………………………… ………………………… 11 11 Aplicaciones……………… Aplicaciones……………………………… ………………………………… ………………………………… ……………………….. ……….. 16 16 Conclusiones…………………………………………………………………………. 18
Introducción Este trabajo consiste en explicar cómo la interpolación se presenta en varios casos de la vida diaria, nos referimos a que diariamente se producen fenómenos en los que se necesitan utilizar estos métodos o procesos para llegar a un dato aproximado, en el caso de que este entre un rango de datos o fuera de ellos. En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente. La Interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. La Extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.
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4.1 Interpolación: Lineal y cuadrática ¿Qué es? Calcular el valor aproximado de una magnitud en un intervalo cuando conocemos algunos de los valores que toma a uno y otro lado de dicho intervalo. En la vida real, encontramos situaciones carentes de información que permiten determinar valores dependientes (y), en función de una o más variables independientes. Es aquí cuando utilizamos la interpolación.
INTERPOLACION LINEAL La interpolación lineal es un método matemático para aproximar el valor de un punto. Utiliza un polinomio de interpolación de grado 1. P(x) = ax + b La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma: (xo, yo), (x1, y1),........., (x n, yn) Se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x 0 y xn) de esta función. La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres.
INTERPOLACIÓN LINEAL Cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal…
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Sean dos puntos (x o, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x 0
LA INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide. En el ejemplo 1 se da el método de resolver el sistema para encontrar los valores que determinan a la función cuadrática (a, b y c) También podemos utilizar la expresión del polinomio interpolador así: y= a + b(x-x0) + c(x-x0)(x-x1), con lo que la búsqueda de los coeficientes es muy sencilla. Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa por los puntos (x 0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2):
Que es la fórmula de Lagrange para n=2. Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. El método mas común empleado para este propósito es la interpolación polinomial . s i m o orden es: Recuerdese que la fórmula general de un polinomio de n -é
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s i m o orden o menor que pasa a Para n + 1 puntos, puntos, existe uno y sólo un polinomio de n -é través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (es decir un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos. El polinomio de interpolación consiste en determinar el s i m o orden que se ajusta a los n + 1 puntos 1 puntos dados. Este polinomio único polinomio de n - é proporciona una fórmula para calcular los valores intermedios. s i m o orden que se ajusta a los n + 1 puntos, Aunque existe existe uno y sólo un polinomio de de n -é puntos, existen una gran variedad de fórmulas matemáticas mediante las cuales se puede expresar este polinomio. En esta unidad se estudian dos técnicas alternativas que están bien condicionadas para implementarse en una computadora. Estos son los polinomios de Newton y de Lagrange. Lagrange .
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4.2 Polinomios de interpolación Diferencias divididas de Newton La forma general del polinomio interpolante de Newton para n+1 datos ( x 0, ƒ( x x 0)), ( x x 1, ƒ( x x 1)), ..., ( x x n, ƒ( x x n)) es:
Los coeficientes a i i se se obtienen calculando un conjunto de cantidades denominadas diferencias divididas. La notación para las diferencias divididas de una función ƒ( x ƒ( x ) están dadas por:
Las diferencias divididas de orden superior se forman de acuerdo con la siguiente regla recursiva:
Retomando el polinomio interpolante de Newton: P n( x x ) = a0 + a1( x x – x – x 0) + a2( x x – x – x 0)( x x – x – x 1) + ... +a + an( x x – x – x 0)( x x – x – x 1)…( x x – x – x n-1) Observe que P n( x x 0) = a0. Como P n( x x ) interpola los valores de ƒ en x i i, i =0,1,2,..., =0,1,2,..., nentonces P ( x x i i ) = ƒ( x x i i), x 0) = ƒ( x x 0) = a0. Si se usa la notación de diferencia dividida a0= ƒ[ x x 0]. ), en particular P n( x Ahora, P n( x x 1)= a0 + a1( x x 1 – x – x 0), como P n( x x 1)= ƒ( x x 1) y a0= ƒ( x x 0), entonces reemplazando se tiene
ƒ( x x 1)=ƒ( x x 0) + a1( x x 11 – x 0), donde
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Si se usa la notación de diferencia dividida a1= ƒ[ x x 0, x 1]. De manera similar cuando se evalúa P n( x x ) en x en x = x = x 2 se obtiene a2 = ƒ[ x x 0, x 1, x 2] En general ai = ƒ[ x x 0 , x x 1 , x x 2, ..., x ..., x i i], ] , y el polinomio interpolante de Newton se escribe como:
(2) En la figura la figura 3.2 se s e muestra la forma recursiva para calcular los coeficientes del polinomio interpolante de Newton para 4 pares de valores ( x ( x , ƒ( x x )) )) Los elementos de la diagonal (superior) en la figura 3.2 son los coeficientes del polinomio interpolante de Newton para el caso de un polinomio de grado 3.
EJEMPLO: Halle el polinomio que interpola los datos: x
1
2
3
5
f ( x x )
4
3.5
4
5.6
Solución: El polinomio interpolante de Newton es de grado 3 ya que se tienen 4 puntos, usando la fórmula (2) el polinomio que resulta es:
En este caso x caso x 0=1, x =1, x 1=2, x =2, x 2=3
Para determinar el valor de los coeficientes, se construye la tabla de diferencias divididas x i i f ( x x i i) 1
4 -0.5
2
3.5
0.5 0.5
3
4
-0.1 0.1
0.8 5
5.6
6
Luego P 3( x x )=4 – )=4 – 0.5( 0.5( x x - 1) + 0.5( x - 1)( x x - 2) – 2) – 0.1( 0.1( x x - 1)( x x - 2)( x x - 3) Observe que P 3(1) = 4, P 3(2) = 3.5, P 3(3) = 4, P 3(5) = 5.6 El ejercicio si se resuelve con el método de Lagrange el cálculo para encontrarlo es mucho mayor.
Método Lagrangeano El matemático francés Joseph Louis Lagrange descubrió que se puede encontrar un polinomio de grado a lo más n tal que P n( x x i i ) = f = f ( x x i i ), ), para i = = 0, 1, 2, ... n usando un método distinto. Por ejemplo para 3 puntos ( x 0, f ( x x 0)), ( x x 1, f ( x x 1)) y ( x x 2, f ( x x 2)) el polinomio interpolante de Lagrange de grado 2 es:
Observe que
El polinomio P 2(x) se escribe en forma simplificada como
donde
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observe que La forma general del polinomio de Lagrange P ( x x ) de grado menor o igual a n y que pasa por los n + 1 puntos ( x 0, f ( x x 0)), ( x x 1, f ( x x 1)), ..., ( x x n, f ( x x n)) es la fórmula:
P n( x x ) = L0( x x )f ( x x 0 x 1) + ... + Ln( x x )f ( x x n) = 0) + L1f ( x Donde L Donde Lk ( x x ) se llaman polinomios coeficientes de Lagrange y se definen como:
Observe que hay n factores en el numerador, de modo que cada Lk ( x x ) es un polinomio de grado n. En Lk ( x x ) esta ausente el factor ( x ( x - x - x k k) en el numerador; el denominador es el numerador evaluado en x en x = x = x k k. Por consiguiente
EJEMPLO: Encuentre el polinomio de interpolación de grado 3 con los siguientes puntos y aproxime ƒ(3.5). x i i
1
2
3
5
f ( x x i i)
4
3.5
4
5.6
Solución: En este caso f ( x x 0) = 4, f ( x x 1) = 3.5, f ( x x 2) = 4, y f ( x x 3) = 5.6. El polinomio de Lagrange P 3( x x ) tiene la forma:
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Ahora se calcula calcula L0( x x ), ), L1( x x ), ), L2( x x ) y L3( x x ) con x con x 0=1, x =1, x 1 = 2, x 2, x 2 = 3, x 3, x 3 = 5
Luego
Verificación: P (1) (1) = - 0.1 + 1.1 – 1.1 – 3.1 3.1 + 6.1 = 4 P (2) (2) = - 0.8 + 4.4 – 4.4 – 6.2 6.2 + 6.1 = 3.5 P (3) (3) = - 2.7 + 9.9 – 9.9 – 9.3 9.3 + 6.1 = 4 P (5) (5) = - 12.5 + 27.5 – 15.5 – 15.5 + 6.1 = 5.6 Para aproximar a f en x en x = = 3.5 se utiliza P 3( x x ) = - 0.1 x 3 + 1.1 x 2 – 3.1 – 3.1 x + + 6.1 3 2 f (3.5) (3.5) P (3.5) (3.5) = - 0.1(3.5) + 1.1(3.5) – 3.1(3.5) – 3.1(3.5) + 6.1 = 4.4375
Teorema. Si x x 0, x 1,..., x ,..., x n son números distintos en el intervalo [ intervalo [a a, b] y f C n+1 [a [a, b]. Entonces para cada x en [ en [a a, b] existe un número z (que depende de x) en (a (a, b)tal
que: interpolante de Lagrange.
donde P n( x x ) es el polinomio
El teorema establece que cuando ƒ( x ƒ( x ) se aproxima por P n( x x ), ), entonces el error que se comete en la aproximación es:
(3)
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Observe que la forma del error del polinomio de Lagrange se parece mucho a la del polinomio de Taylor. El polinomio de Taylor de grado n alrededor de x de x 0concentra toda la información conocida en x en x 0 y tiene un término de error de la forma:
donde z esta esta entre x entre x 0 y x y x
El polinomio de Lagrange de grado n utiliza la información en todos los números distintos x 0, x 1, ..., x ..., x n y en lugar de ( x - x - x 0)n+1, su fórmula de error utiliza un producto de n+1 términos ( x – x – x 0), ( x x – x – x 1), ..., ( x - x - x n)
EJEMPLO: Hallar una cota para el error al aproximar ln(1.2) usando un polinomio de Lagrange de grado 3 en los puntos x i i
1
f ( x x i i)
0
1.1
1.3
1.4
0.0953118 0.262364 0.336472
Solución: Se aplica la fórmula la fórmula (3) con n=3, ƒ( x x )=ln x )=ln x y x y x =1.2, f =1.2, f (4)( x x ) = -6/ x x 4
Por lo tanto E 10-4 = 0.1 x 10 -3Esto indica que si se aproxima ln(1.2) con los datos de la tabla usando un polinomio de grado tres, entonces la aproximación tiene tres decimales exacto s2. El uso de los polinomios de Lagrange plantea dos problemas. El primero es que si se desea sumar o restar un punto del conjunto de puntos usados para obtener el polinomio, esencialmente deben volver a empezarse los cálculos ya que no se dispone de un procedimiento simple que permita medir la contribución de cualquier punto particular al polinomio. El segundo problema es que pueden ocurrir grandes oscilaciones en el polinomio, de modo que entre los puntos (datos) no se representa en forma realista la función que originó los datos.
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4.3 Regresión por mínimos cuadrados: Lineal y cuadrática
La dependencia entre dos (o más) variables puede ser tal que se base en una relación funcional (matemática) exacta, como la existente entre la velocidad y la distancia recorrida por un móvil; o puede ser estadística. La dependencia estadística es un tipo de relación entre variables tal que conocidos los valores de la (las) variable (variables) independiente(s) no puede determinarse con exactitud el valor de la variable dependiente, aunque si se puede llegar a determinar un cierto comportamiento (global) de la misma. (Ej. la relación existente entre el peso y la estatura de los individuos de una población es una relación estadística) . Pues bien, el análisis de la dependencia estadística admite dos planteamientos (aunque íntimamente relacionados):
El estudio del grado de dependencia existente entre las variables que queda recogido en la teoría de la correlación. La determinación de la estructura estructura de dependencia que mejor exprese la relación, lo que es analizado a través de la regresión.
Una vez determinada la estructura de esta dependencia la finalidad última de la regresión es llegar a poder asignar el valor que toma la variable Y en un individuo del que conocemos que toma un determinado valor para la variable X (para las variablesX1, X2,..., Xn ). En el caso bidimensional, dadas dos variables X e Y con una distribución conjunta de frecuencias ( xi, yj ,nij ), llamaremos regresión de Y sobre X ( Y/X) a una función que explique la variable Y para cada valor de X, y llamaremos regresión de X sobre Y (X/Y) a una función que nos explique la variable X para cada valor de Y.(Hay que llamar la atención, como se verá más adelante, que estas dos funciones, en general, no tienen por qué coincidir).
REGRESION LINEAL Hemos enfatizado sobre la importancia de las representaciones gráficas y hemos visto la utilidad de las versiones linealizadas de los gráficos (X, Y) junto a las distintas maneras de llevar a cabo la linealización. A menudo nos confrontamos con situaciones en las que existe o suponemos que existe una relación lineal entre las variables X e Y. Surge de modo natural la pregunta: ¿cuál es la relación analítica que mejor se ajusta a nuestros datos? El método de cuadrados mínimos es un procedimiento general que nos permite responder esta pregunta. Cuando la relación entre las variables X e Y es lineal, el método de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también método de regresión lineal.
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Observamos o suponemos una tendencia lineal entre las variables y nos preguntamos sobre cuál es lamejor recta: y(x) = a x + b Que representa este caso de interés. Es útil definir la función:
Que es una medida de la desviación total de los valores observados yi respecto de los predichos por el modelo lineal a x + b. Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada al origen b son aquellos que minimizan esta desviación total, o sea, son los valores que remplazados en la Ec.(1) minimizan la funciónc2. Ec.(2). Los parámetros a y b pueden obtenerse usando técnicas matemáticas que hacen uso del cálculo diferencial. Aplicando estas técnicas, el problema de minimización se reduce al de resolver el par de ecuaciones:
Actualmente, Actualmente, la mayoría mayoría de los programas programas de análisis de de datos y planillas de cálculo, realizan el el proceso de minimización en forma automática y dan los resultados de los mejores valores de a y b, o sea los valores indicados por las ecuaciones.
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Gráfico de datos asociados a un modelo lineal. La cantidad yi - y(xi) representa la desviación de cada observación de yi respecto del valor predicho por el modelo y(x).
El criterio de mínimos cuadrados reemplaza el juicio personal de quien mire los gráficos y defina cuál es la mejor recta. En los programas como Excel, se realiza usando la herramienta “regresión lineal” o “ajuste lineal”. Los resultados se aplican en el caso lineal cuando todos los datos de la variable dependiente tienen la misma incertidumbre absoluta y la incertidumbre de la variable independiente se considera despreciable.
REGRESION CUADRAT CUADRATICA ICA Consiste en explicar una de las variables en función de la otra a través de un determinado tipo de función (lineal, parabólica, exponencial, etc.), de forma que la función de regresión se obtiene ajustando las observaciones a la función elegida, mediante el método de MínimosCuadrados (M.C.O.). Elegido el tipo de función ¦ ( ) la función de regresión concreta se obtendrá minimizando la expresión:
(y j - ¦ (x i i ) ) ) 2 . nij en en el caso de la regresión de Y/X
(x i i - ¦ (y j ) ) ) 2 . nij en en el caso de la regresión de X/Y
Puede probarse que es equivalente ajustar por mínimos cuadrados la totalidad de las observaciones (toda la nube de puntos) que realizar el ajuste de los puntos obtenidos por la regresión de la media; de forma que la regresión mínimo-cuadrática viene ser, en cierto modo, la consecución de una expresión analítica operativa para la regresión en sentido estricto.
Coeficientes de regresión. Se llama coeficiente de regresión a la pendiente de la recta de regresión:
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en la regresión Y/X : b = S xy / Sx2 en la regresión X/Y b ' = Sxy / Sy2 El signo de ambos coincidirá con el de la covarianza, indicándonos la tendencia (directa o inversa a la covariación).Es interesante hacer notar que b.b '= r 2
BONDAD DEL AJUSTE (Varianza residual, varianza de la regresión y coeficiente de determinación) Por bondad del ajuste hay que entender el grado de acoplamiento que existe entre los datos originales y los valores teóricos que se obtienen de la regresión. Obviamente cuanto mejor sea el ajuste, más útil será la regresión a la pretensión de obtener los valores de la variable. Obtener indicadores de esta bondad de ajuste es fundamental a la hora de optar por una regresión de un determinado tipo u otro. Puesto que la media de los residuos se anula, el primer indicador de la bondad del ajuste (no puede ser el error medio) será el error cuadrático medio, o varianza del residuo, o varianza
residual : Considerando la regresión Y/X:
Que será una cantidad mayor o igual que cero.De forma que cuanto más baja sea mejor será el grado de ajuste.Si la varianza residual vale cero el ajuste será perfecto (ya que no existirá ningún error ). Del hecho de que y i=y*i+ei ,y de que las variables y* ý e están incorrelacionadas se tiene que:
Donde S2y* es la llamada varianza de la regresión y supone la varianza de la variable regresión:
Igualdad fundamental anterior de la que se deduce que la varianza total de la variable y puede descomponerse en dos partes una parte explicada por la regresión( la varianza de la regresión) y otra parte no explicada (la varianza residual). Considerando que la varianza nos mide la dispersión de los datos este hecho hay que entenderlo como que la dispersión total inicial queda, en parte explicada por la regresión y en parte no.Cuanto mayor sea la proporción de varianza explicada (y menor la no explicada) tanto mejor será el ajuste y tanto más útil la regresión.
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A la proporción proporción de varianza varianza explicada explicada por por la regresión regresión se le llama llama coeficiente de determinación ( en nuestro caso lineal):
que evidentemente estará siempre comprendido entre 0 y 1 y, en consecuencia, da cuenta del tanto por uno explicado por la regresión. Una consecuencia importante en la práctica es que la varianza residual será obviamente:
Es sencillo probar que en el caso lineal que nos ocupa el coeficiente de determinación coincide con el cuadrado del coeficiente de correlación:
R2 = r 2 Con lo cual la varianza residual y la varianza debida a la regresión pueden calcularse a partir del coeficiente de correlación:
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4.4 Aplicaciones En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenado.
Interpolación Segmentaria Lineal Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b. Definiremos Definiremo s una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en general.
Interpolación Segmentaria Cuadrática En este caso, los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar como condiciones:
Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos. Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.
Esto sin embargo no es suficiente, y necesitamos una condición más. ¿Por qué?. Tenemos 3 incógnitas por cada P(x). En un caso sencillo con f(x) definida en tres puntos y dos ecuaciones P(x) para aproximarla, vamos a tener seis incógnitas en total. Para resolver esto necesitaríamos seis ecuaciones, pero vamos a tener tan sólo cinco: cuatro que igualan el P(x) con el valor de f(x) en ese punto (dos por cada intervalo), y la quinta al igualar la derivada en el punto común a las dos P(x).
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Se necesita una sexta ecuación. Esto suele hacerse con el valor de la derivada en algún punto, al que se fuerza uno de los P(x).
Interpolación Segmentaria Cúbica En este caso, cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [m,n] tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una nueva condición para cada punto común a dos intervalos, respecto a la derivada segunda:
Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos. Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.
Como puede deducirse al compararlo comparar lo con el caso de splines cuadráticos, cuadrático s, ahora no nos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas que tenemos. La forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así, podemos usar:
Splines cúbicos naturales: La forma más típica. La derivada segunda de P se hace 0 para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n]. Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual", en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n]. Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n]
Splines cúbicos sujetos: La derivada primera de P debe tener el mismo valor que las derivada primera de la función para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n].
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Conclusiones Con esto hemos concluido que la interpolación es muy necesaria en los casos que se presenten así como el ajuste de curvas que podemos llegar a plasmar en una gráfica con los datos que obtenemos al hacer iteraciones o al estar siguiendo el proceso específico para llegar a obtener los datos que se solicitan. La Unidad nos sirve de mucho ya que gracias a las Unidades anteriores hemos podido relacionar como se van conectando cada una de estas, y nos damos cuenta como los métodos numéricos son muy esenciales para el trabajo como para la vida.
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