Ajuste de curvas. Método aproximado por mínimos cuadrados de Carl Friedrich Gauss 1795. 1. Se examinaron cinco corredores a fin de determinar su absorción máxima de oxígeno, medida que refleja el estado cardiovascular de una persona. Los resultados se presentan en la siguiente tabla, donde X segundos es el mejor tiempo del corredor al correr una milla y Y mililitros por minuto por kilogramo de peso en la absorción máxima de oxígeno del corredor. Corredor. A B C D E X 300.5 350.6 407.3 326.2 512.8 Y 418.5 375.6 350.2 400.2 325.8 a) Obtenga una ecuación de la recta de regresión para los datos de la tabla. b) Emplee la recta de regresión para estimar la absorción máxima de oxígeno de un corredor si su mejor tiempo al correr una milla es de 340.4 segundos. Resolución. a) Obtención de la ecuación de la recta. numero de renglones de la matriz A=2 numero de columnas de la matriz A=5
i2=,j=4=1 i2=,j=5=1 matriz Y de los valores observados de "y" i1=,j1=418.5
matriz A de los valores X pobservados
i2=,j1=375.6
i1=,j=1=300.5
i4=,j1=400.2
i1=,j=2=350.6
i5=,j1=325.8
i1=,j=3=407.3
X=
i3=,j1=350.2
i1=,j=4=326.2
-0.4232
i1=,j=5=512.8
534.6708
i2=,j=1=1
intervalo de graficación
i2=,j=2=1
inserte el valor de a=300
i2=,j=3=1
inserte el valor de b=500
-0.4232
534.6708
Por lo tanto la ecuación de la recta será:
y=−0.4232 x+534.6708 Cuyo gráfico es (línea azul):
b) Absorción máxima de oxígeno del corredor si su mejor tiempo al correr una milla es de 340.4 segundos.
y=−0.4232∗(340.4)+534.6708
y=390.6135 Absorción máxima de oxigeno de 390.6135 a los 340.4 segundos.
2. La tabla presenta datos acerca de la resistencia del papel Kraft y el porcentaje de madera dura en un lote de pulpa con el que se fabrica. En el diagrama de dispersión para estos datos parecen indicar que un modelo cuadrático puede describir en forma adecuada la relación entre la resistencia a la tensión y la concentración de fibra corta (es decir de madera dura). X(%) 1 1.5 2 3 4 4. 5 5. 6 6.5 7 8 9 1 11 1 13 14 15 Concentración 5 5 0 2 De madera. Y(psi) 6. 11. 2 2 26. 30 33. 34 38. 39. 4 46. 53. 5 52. 4 42. 27. 21. Resistencia 3 1 0 4 1 8 1 9 2 1 1 2 5 8 8 8 9 A la tensión a) Obtenga una ecuación cuadrática de regresión para los datos de la tabla. b) Emplee la ecuación cuadrática de regresión para estimar la resistencia a la tensión del papel Kraft si la concentración de madera es de 9.5 %. Resolución a) Obtención de la recta. numero de renglones de la matriz B=3 numero de columnas de la matriz B=19
i1=,j=9=36 i1=,j=10=42.25 i1=,j=11=49
matriz B de los valores X pobservados
i1=,j=12=64
i1=,j=1=1
i1=,j=14=100
i1=,j=2=2.25
i1=,j=15=121
i1=,j=3=4
i1=,j=16=144
i1=,j=4=9
i1=,j=17=169
i1=,j=5=16
i1=,j=18=196
i1=,j=6=20.25
i1=,j=19=225
i1=,j=7=25
i2=,j=1=1
i1=,j=8=30.25
i2=,j=2=1.5
i1=,j=13=81
i2=,j=3=2
i3=,j=10=1
i2=,j=4=3
i3=,j=11=1
i2=,j=5=4
i3=,j=12=1
i2=,j=6=4.5
i3=,j=13=1
i2=,j=7=5
i3=,j=14=1
i2=,j=8=5.5
i3=,j=15=1
i2=,j=9=6
i3=,j=16=1
i2=,j=10=6.5
i3=,j=17=1
i2=,j=11=7
i3=,j=18=1
i2=,j=12=8
i3=,j=19=1
i2=,j=13=9
matriz Y de los valores observados de "y"
i2=,j=14=10 i2=,j=15=11 i2=,j=16=12 i2=,j=17=13 i2=,j=18=14 i2=,j=19=15 i3=,j=1=1 i3=,j=2=1 i3=,j=3=1 i3=,j=4=1 i3=,j=5=1 i3=,j=6=1 i3=,j=7=1 i3=,j=8=1 i3=,j=9=1
i1=,j1=6.3 i2=,j1=11.1 i3=,j1=20 i4=,j1=24 i5=,j1=26.1 i6=,j1=30 i7=,j1=33.8 i8=,j1=34 i9=,j1=38.1 i10=,j1=39.9 i11=,j1=42 i12=,j1=46.1 i13=,j1=53.1 i14=,j1=52 i15=,j1=52.5
i16=,j1=48
11.7742
i17=,j1=42.8
-6.5171
i18=,j1=27.8
intervalo de graficación
i19=,j1=21.9
inserte el valor de a=0
X = -0.6331
inserte el valor de b=16
Por lo tanto la ecuación del polinomio de segundo grado será:
y=−0.6331 x2 +11.7 742 x−6. 5171 Cuyo grafico es (línea azul)
b) ¿Cuál es resistencia a la tensión del papel Kraft si la concentración de madera es de 9.5 %?
y=−0.6331 ( 9.5 )2 +11.7742(9.5)−6.5171 y=48.2005 La resistencia a la tensión del papel Kraft a 9.5 % de concentración de madera es de 48.2005 psi.
