UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “ANTRONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO VICE-RECTOR ADO “LUÍS CABALLERO MEJÍAS” NÚCLEO CHARALLAVE DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DEPARTAMENTO ASIGNATURA: MECÁNICA RACIONAL/SECC RACIONAL/SECCIÓN:01 IÓN:01 PROFESOR: ANDRÉS HERRERA
CHARALLAVE, FEBRERO 2006
MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS AJUSTES DE RECTAS POR MINIMOS CUADRADOS
Toda función Lineal o Curvilínea se puede ajustar a un polinomio por métodos numéricos. Presentaremos a continuación el caso más simple: el ajuste de una función lineal (esto es, el ajuste de una recta o de un polinomio de grado uno). La técnica que presentaremos se conoce como “El Método de los Mínimos Cuadrados” y se fundamenta en el hecho de que el mejor ajuste se obtiene cuando la suma de los cuadrados de las desviaciones de la variable dependiente alcanza su valor mínimo . Para encontrar el valor mínimo de las desviaciones de la variable dependiente se varían parámetros; en el caso de una recta los parámetros libres a variar son precisamente la pendiente de la recta y el valor de la ordenada en el origen (esto es, se harán variar m y b, las cuales hemos considerado hasta ahora como constantes, de modo de encontrar los valores que correspondan a la recta que mejor se ajuste a los datos experimentales).
Consideremos la ecuación que describe a la recta buscada, y i (teorico) = m x i + b, i = 1,2, ....., N Note que hemos introducido índices pues estamos trabajando con un conjunto de N puntos discretos. El problema consiste en determinar los valores de m y b por la vía de minimizar las diferencias entre los y i (teorico) y los y i (experimentales) La suma de los cuadrados de las desviaciones entre los datos experimentales y los correspondientes a la recta ajustada es,
S = ( y i ( experimentales) - y i ( teórico) )2 S =
y i (experimentales) –( m x i + b ) 2 con
i = 1,2,…..N
Igualando a cero las derivadas de S con respecto a las variación de m y b, estamos aplicando la condición de extremos a la función:
dS /dm = Σ ( -2y i x i +2 m x i 2 + 2 b x i )=0 dS /dm = Σ ( -2y i +2 m x i + 2 b )=0 Se puede demostrar por la vía de sacar la segunda derivada que éstas son (en este caso) condiciones de mínimo necesarias y suficientes. De estas dos relaciones se puede despejar m y b:
m = [ N Σ ( x I y I ) - Σ x I Σ y I ] / N Σ x I 2 – ( Σ x I ) 2 b = ( Σ y I – m Σ x I ) / N b = [ Σ y I Σ x I 2 - Σ x I Σ x I y I ] / N Σ x I 2 - ( Σ x I ) 2
Por lo tanto hemos encontrado las expresiones (en función de los datos experimentales) de los parámetros que dan el mejor ajuste. En rigor, la recta que se debe trazar en el gráfico es aquella que se obtiene mediante el método de los mínimos cuadrados: una vez determinada la pendiente y la ordenada en el origen basta utilizar la ecuación de la recta y obtener los valores de la ordenada que corresponden a dos valores cualesquiera de la variable independiente. Finalmente, enfatizamos que al hacer el ajuste de una recta en un gráfico semilogarítmico o logarítmico se han de reemplazar las variables x I y/o y I por sus logaritmos en el par de ecuaciones precedentes. Note que el error en la determinación de la pendiente y la ordenada en el origen por el método de los mínimos cuadrados, podría en principio calcularse vía propagación de errores. Los programas comerciales que se utilizan en los computadores personales suelen dar estos errores y también suelen incluir otros criterios más sofisticados para revelar la calidad del ajuste de los puntos a la recta. AJUSTES DE CURVAS POR MINIMOS CUADRADOS
Supongamos ahora que tenemos un conjunto de puntos que mostramos en la siguiente gráfica
De los puntos mostrados nos podemos dar cuenta que parece tener la forma de un polinomio de segundo grado de la forma: (1)
Esta ecuación (1) puede usarse para representar el conjunto de valores obtenidos experimentalmente para la cual debemos determinar los valores de a1, a2, a3, etc. Para determinar estos valores utilizamos el siguiente procedimiento: 1. Establecer el criterio para determinar la ecuación que represente a los valores (obtenidos experimentalmente). 2. Escribir la ecuación que expresa el error o desviación entre el valor observado y los valores dados por la ecuación. 3. Habiendo obtenido la ecuación del error, minimizar dicho error.
EVALUACIÓN DEL ERROR
Si consideramos las parejas de datos, como se muestra en la gráfica donde:
d = Distancia = YObservada - Y
Obtenida por la ecuación
Donde:
YObservada = Valor obtenido experimentalmente. YObtenida por la ecuación = Valor de la función evaluada en cualquier valor X Observando la gráfica, parece que esta distancia se puede usar para representar el error, pero habrá distancias positivas y negativas, (como se puede observar la distancia d1 es positiva y la distancia d2 es negativa) de
modo que el error promedio para los puntos como los mostrados será pequeño aunque los errores individuales sean grandes. Esta dificultad podría ser resuelta usando el valor absoluto de las distancias, sin embargo al derivar la función del valor absoluto se generan ciertos problemas. La solución podría ser definir el error como el cuadrado de la distancia, esto elimina la dificultad del signo. Por esta razón el método se llama: Método de Mínimos Cuadrados . (2) en donde S es la suma de los cuadrados de las diferencias entre el valor calculado y el valor observado y por lo tanto es el valor que se debe minimizar (3) Siendo el caso de que la curva supuesta es una ecuación de segundo grado, se tiene la ecuación: (4) Para minimizar la función anterior, derivando parcialmente con respecto a a1 , a2 y a3 e igualando a cero: (5)
(Obsérvese que las variables son a 1, a 2 y a 3 , mientras que Yi, X i son constantes) Las ecuaciones se pueden expresar de acuerdo como sigue:
(6)
Lo anterior lo podemos expresar en forma matricial:
(7)
La fórmula general para un polinomio de grado n en donde hay m parejas de datos es:
(8)
Como se puede observar el problema consiste en lo siguiente: 1. Obtener la matriz de coeficientes. 2. Resolver el sistema de ecuaciones resultantes. Recordando que: 1.
2.
Si n es el grado del polinomio, hay n+1 valores de la matriz de coeficientes y n+1 ecuaciones. El máximo exponente de X en los términos de la sumatoria de 2n puede ser que los datos no representen un polinomio de 2º grado sino que representen uno de 3º y 4º grados.
El ajuste de curvas es un procedimiento de tanteo y error, si una curva no representa los datos, entonces se intenta con un polinomio de grado superior. EJEMPLO:
X 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Y 0.0000 0.1002 0.2013 0.3045 0.4108 0.5211
X 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
Y 0.6367 0.7586 0.8881 1.0265 1.1752
De la tabla de datos, usando Mínimos Cuadrados , determine los polinomios de 2o, 3er y 4o grado; graficar para determinar la curva más aproximada. SOLUCIÓN
POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO
Primero determinamos los coeficientes de la matriz y los elementos constantes. Los elementos de la matriz son: M =11
Los términos constantes son:
De acuerdo con esto, el sistema de ecuaciones a resolver es el siguiente:
Resolviendo por Gauss se obtienen los siguientes resultados.
a1 = 0.006727 a2 = 0.895462 a3 = 0.265963 y el polinomio de segundo grado es:
POLINOMIO DE TERCER GRADO Para el caso del polinomio de 3er grado se requiere: M =11
y el sistema de ecuaciones a resolver es:
a1 = - 0.000112 a2 = 1.004150 a3 = - 0.019075 a4 = 0.190032
cuya solución es:
y el polinomio queda:
POLINOMIO DE CUARTO GRADO Repitiendo el procedimiento anterior, se obtienen los siguientes resultados a1 = - 0.000112 a2 = 0.994595 a3 = 0.028713 a4 = 0.113563 a5 = 0.038237 Quedando el polinomio como se muestra:
