AJUSTE DE CURVAS MEDIANTE MÍNIMOS CUADRADOS.doc

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

 AJUSTES DE RECTAS RECTAS POR POR MINIMOS CUADRADOS  CUADRADOS 

Toda Toda funci función ón Lineal o Curvilínea  se puede puede ajus ajustar tar a un un polino polinomio mio por por métodos numéricos.  Presentaremos a continuación el caso más simple: el ajuste de una funi!n  lineal "esto es# el ajuste de una reta o de un $olino%io de &rado uno'( La técnica que presentaremos se conoce como )El M*todo de los Míni%os  Cuadrados+  , se funda%enta en el -e-o de .ue el %ejor ajuste se  o/tiene uando la su%a de los uadrados de las desviaiones de la  varia/le de$endiente alan0a su valor %íni%o . Para Para enco encont ntra rarr el valo valorr míni mínimo mo de las las de desv svia iaci cion ones es de la vari variab able le dependiente se varían parámetros; en el caso de una recta los parámetros libres a variar son precisamente la pendiente de la recta y el valor de la ordena ordenada da en el orien orien !esto !esto es" se #arán #arán variar variar % y /" las cuales #emos considerado #asta a#ora como constantes" de modo de encontrar los valores que correspondan a la recta que mejor se ajuste a los datos e$perimentales%. &onsideremos la ecuación que describe a la recta buscada" , i "teorio' 

1 % 2 i i  3 /# i 1 4#5# (((((# '

'ote 'ote que que #emo #emoss intr introd oduc ucid idoo índi índice cess pues pues esta estamo moss trab trabaj ajan ando do con con un conj conjun unto to de '  puntos discretos. (l problema consiste en determinar los

valores de %  y / por la vía de minimi)ar las diferencias entre los

, i "teorio'  y

los ,  i "e2$eri%entales'  La suma de los cuadrados de las desviaciones entre los datos e$perimentales y los correspondientes a la recta ajustada es"

S1 S1

" , i " e2$eri%entales'  8 , i " te!rio'  '5 , i "e2$eri%entales'  9" % 2 i   3 / ' 5 con

i + 4"-"5..'

*ualando a cero las derivadas de S con respecto a las variación de % y /" estamos aplicando la condición de e$tremos a la función:

dS 6d%  + Σ  !  ,-y i  $ i  - %  $ i  -  - /  $ i  %+/  dS 6d% + Σ  !  ,-y i  - % $ i  - /  %+/  0e puede demostrar por la vía de sacar la seunda derivada que éstas son !en este caso% condiciones de mínimo necesarias y suficientes. 1e estas dos relaciones se puede despejar %  y /7

%

+ [ ' Σ  ! $ *   y *  % , Σ  $ * Σ  y * ] 2 ' Σ   $ *  -  3 ! Σ   $ *   % - 

/ + ! Σ  y *  3 % Σ  $ * % 2 ' / +

[  Σ  y *  Σ  $ * 

- 

 , Σ  $ *  Σ  $ *  y *  ]  2 ' Σ   $ *  -  , ! Σ   $ *   % - 

Por lo tanto #emos encontrado las e$presiones !en función de los datos e$perimentales% de los parámetros que dan el mejor ajuste.

(n rior" la recta que se debe tra)ar en el ráfico es aquella que se obtiene mediante el método de los mínimos cuadrados: una ve) determinada la pendiente y la ordenada en el orien basta utili)ar la ecuación de la recta y obtener los valores de la ordenada que corresponden a dos valores cualesquiera de la variable independiente. 6inalmente" enfati)amos que al #acer el ajuste de una recta en un ráfico semiloarítmico o loarítmico se #an de reempla)ar las variables 2 I   y2o , I  por sus loaritmos en el par de ecuaciones precedentes. 'ote que el error en la determinación de la pendiente y la ordenada en el orien por el método de los mínimos cuadrados" podría en principio calcularse vía propaación de errores. Los proramas comerciales que se utili)an en los computadores personales suelen dar estos errores y también suelen incluir otros criterios más sofisticados para revelar la calidad del ajuste de los puntos a la recta.

 AJUSTES DE CURVAS POR MINIMOS CUADRADOS 

0uponamos a#ora que tenemos un conjunto de puntos que mostramos en la siuiente ráfica

1e los puntos mostrados nos podemos dar cuenta que parece tener la forma de un polinomio de seundo rado de la forma: !4% (sta ecuación !4% puede usarse para representar el conjunto de valores obtenidos e$perimentalmente para la cual debemos determinar los valores de a 4" a -" a 7" etc. Para determinar estos valores utili)amos el siuiente procedimiento: 4. (stablecer el criterio para determinar la ecuación que represente a los valores !obtenidos e$perimentalmente%. -. (scribir la ecuación que e$presa el error o desviación entre el valor observado y los valores dados por la ecuación. 7. 8abiendo obtenido la ecuación del error" minimi)ar dic#o error.

E:ALUACI;N DEL ERROR  0i consideramos las parejas de datos" como se muestra en la ráfica donde:

d 1

Distania 1
O/tenida $or la euai!n

1onde:

 
O/tenida $or la euai!n  +

9alor de la función evaluada en cualquier valor 

bservando la ráfica" parece que esta distancia se puede usar para representar el error" pero #abrá distancias positivas y neativas" !como se puede observar la distancia d4  es positiva y la distancia d-   es neativa% de modo que el error promedio para los puntos como los mostrados será peque
!7%

0iendo el caso de que la curva supuesta es una ecuación de seundo rado" se tiene la ecuación: !>% Para minimi)ar la función anterior" derivando parcialmente con respecto a

a4 " a-  y a7

e iualando a cero:

!?%

!bsérvese que las variables son a 4" a -  y a 7 " mientras que @i"  i  son constantes% Las ecuaciones se pueden e$presar de acuerdo como siue:

!A%

Lo anterior lo podemos e$presar en forma matricial:

!B%

La fórmula eneral para un polinomio de rado n en donde #ay datos es:

% parejas de

!C %

&omo se puede observar el problema consiste en lo siuiente: 4. btener la matri) de coeficientes. -. Desolver el sistema de ecuaciones resultantes. Decordando que: 4. 0i n es el rado del polinomio" #ay n34  valores de la matri) de coeficientes y n34 ecuaciones. -. (l má$imo e$ponente de   en los términos de la sumatoria de 5n puede ser que los datos no representen un polinomio de -o rado sino que representen uno de 7o y >o rados. (l ajuste de curvas es un procedimiento de tanteo y error" si una curva no representa los datos" entonces se intenta con un polinomio de rado superior.

(E(=PL;:  

@



@

/.//

/.////

/.A/

/.A7AB

/.4/

/.4//-

/.B/

/.B?CA

/.-/

/.-/47

/.C/

/.CCC4

/.7/

/.7/>?

/.F/

4./-A?

/.>/

/.>4/C

4.//

4.4B?-

/.?/

/.?-44

1e la tabla de datos" usando =ínimos &uadrados " determine los polinomios de -o" 7er y >o rado; raficar para determinar la curva más apro$imada.

0;LG&*H'

=OLINOMIO DE SE>UNDO >RADO

Primero determinamos los coeficientes de la matri) y los elementos constantes. Los elementos de la matri) son: =

Los términos constantes son:

1e acuerdo con esto" el sistema de ecuaciones a resolver es el siuiente:

+44

Desolviendo por Iauss se obtienen los siuientes resultados. a4 + /.//AB-B a- + /.CF?>Aa7 + /.-A?FA7  y el polinomio de seundo rado es:

PL*'=* 1( T(D&(D IDJ1 Para el caso del polinomio de 7er rado se requiere:

= +44

 y el sistema de ecuaciones a resolver es:

cuya solución es:

a4 + , /.///44a- + 4.//>4?/ a7 + , /./4F/B? a> + /.4F//7-

 y el polinomio queda:

PL*'=* 1( &GJDT IDJ1 Depitiendo el procedimiento anterior" se obtienen los siuientes resultados a4 + , /.///44a- + /.FF>?F? a7 + /./-CB47 a> + /.447?A7 a? + /./7C-7B Kuedando el polinomio como se muestra: