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UNIDAD 5 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5.1ELIMINACION GAUSSIANA

-DEFINICION El método de eliminación Gaussiana paa la solución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en con!eti a ta!és de opeaciones "#sicas llamadas opeaciones de en$lón un sistema en oto e%ui!alente m#s sencillo cu&a espuesta pueda leese de manea diecta' El método de eliminación Gaussiana es el mismo paa sistemas de ecuaciones ()(* +)+* ,), & as sucesi!amente siempe & cuando se espete la elación de al menos una ecuación po cada !aia"le'  Antes de ilusta el método con un e.emplo* es necesaio pimeamente conoce las opeaciones "#sicas de en$lón las cuales son pesentas a continuación/ 1' Am"os miem"os de una ecuación pueden multiplicase po una constante di0eente de ceo' (' Los mltiplos di0eentes de ceo de una ecuación pueden sumase a ota ecuación +' El oden de las ecuaciones es intecam"ia"le' Una !e2 conocidas las opeaciones %ue en mi a0#n po esol!e un sistema de ecuaciones puedo eali2a pocedo a ilusta el método con un e.emplo/ 1' 3esol!e el si$uiente sistema de ecuaciones/ 4 5 (& 5 +2 6 1 ,4 5 7& 5 826 9( :4 5 ;& 5 1<2 6 7 Donde cada ecuación epesenta un en$lón & las !aia"les i$uales de las + ecuaciones epesentan las columnas 1* ( & + especti!amente' Usando el método de eliminación Gaussiana' Solución/ =aa simpli0ica las opeaciones se etian las !aia"les & se mantienen e4clusi!amente los coe0icientes de cada una* el si$no de i$ual tam"ién es eliminado peo se mantienen los datos del lado deec>o de la ecuación' ?uedando como si$ue/ Dia$onal pincipal La dia$onal pincipal de la mati2 "usca %uede con0omada po solo unidades @1 la pate in0eio a la dia$onal de"e %ueda en ceos' Esto se >ace utili2ando las opeaciones "#sicas de en$lón paa las ecuaciones* de ai"a >acia a"a.o & de i2%uieda a deec>a' Multiplico la ecuación 1 po 9, & la esto de la ecuación (* de i$ual 0oma la multiplico po 9: & la esto de la + o"teniendo' Después di!ido la ecuación ( @en$lón ( ente 9+ paa >ace el componente de la dia$onal pincipal 1 %uedando como si$ue/ Multiplico la ecuación ( @en$lón ( po 8 & lo sumo a la ecuación + @en$lón +' Una !e2 lo$ada la dia$onal pincipal 0omada po unidades & los datos po de"a.o de la dia$onal pincipal ceos einte$o las !aia"les en cada ecuación & tam"ién el si$no i$ual de las ecuaciones o"teniendo/ Donde el !alo de 26 1< & al sustitui este !alo en la ecuación esultante (* tendamos & 5 (2 6 ( al sustitui el !alo de 2 o"tenemos %ue/

& 5 (@1< 6 ( & 5 (< 6 ( & 6 (- (< & 6 91;  Al sustitui estos !aloes en la ecuación esultante 1 se tiene/ tiene/ 14 5 (& 5 +2 6 1 Si 26 1< & &691;* entonces el !alo de 4 se#/ 14 5 (& 5 +2 6 1 4 5 (@91; 5 +@1<6 1 4 B +8 5 +< 6 1 4B861 46158 46:  La solución del sistema de ecuaciones sea 46 :* &6 91;* & 26 1<' El sistema de eliminación $aussiana es el mismo no impotando si es un sistema de ecuaciones lineales del tipo ()(* +)+* ,), etc' siempe & cuando se espete la elación de al menos tene el mismo numeo de ecuaciones %ue de !aia"les' >ttps/sites'$oo$le'comsitepnumeicos(<11(eliminacion-$aussiana 5.2 METODO DE GAUSS JORDAN

Desaollo El Método de Gauss B odan o tam"ién llamado eliminación de Gauss B odan* es un método po el cual pueden esol!ese sistemas de ecuaciones lineales con n nmeos de !aia"les !aia"les** enconta matices & matices in!esas* en este caso desaollaemos la pimea aplicación mencionada' =aa esol!e sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método* se de"e en pime lu$a anota los coe0icientes de las !aia"les del sistema sistema de  de ecuaciones lineales en su notación maticial/

Entonces* anotando como mati2 mati2 @tam"ién  @tam"ién llamada mati2 aumentada/

Una !e2 >ec>o esto* a continuación se pocede a con!eti dic>a mati2 en una mati2 identidad identidad** es deci una mati2 e%ui!alente a la oi$inal* la cual es de la 0oma/

Esto se lo$a aplicando a las distintas 0ilas & columnas de las matices simples opeaciones de suma* esta* multiplicación & di!isión teniendo en cuenta %ue una opeación se aplicaa a todos los elementos de la 0ila o de la columna* sea el caso' O"sé!ese %ue en dic>a mati2 identidad no apaecen los téminos independientes* esto se de"e a %ue cuando nuesta mati2 oi$inal alcance la 0oma de la mati2 identidad* dic>os téminos esultaan se la solución del sistema & !ei0icaan la i$ualdad paa cada una de las !aia"les* coespondiéndose de la si$uiente 0oma/ d1 6 4 d( 6 & d+ 6 2  A>oa %ue est#n sentadas las "ases* podemos e4plica paso a paso la esolución de sistemas de ecuaciones lineales po medio de este método' =aa ilustanos me.o lo anali2aemos con un e.emplo conceto/ Sea el sistema de ecuaciones/

=ocedemos al pime paso paa enconta su solución* anotalo en su 0oma maticial/

Una !e2 >ec>o esto podemos empe2a a opea con las distintas 0ilas & columnas de la mati2 paa tans0omala en su mati2 identidad* teniendo siempe en cuenta la 0oma de la misma/

Lo pimeo %ue de"emos >ace es tans0oma el ( de la 1 0ila de la mati2 oi$inal en el 1 de la 1 0ila de la mati2 identidad paa >ace esto de"emos multiplica toda la 1 0ila po el in!eso de (* es deci '

Lue$o de"emos o"tene los dos ceos de la pimea columna de la mati2 identidad* paa lo$a esto* "uscamos el opuesto de los nmeos %ue se u"icaon po de"a.o del 1 de la pimea columna* en este caso el opuesto de + %ue se# -+ & el opuesto de 7 %ue se# -7' Una !e2 >ec>o esto* se pocede# a multiplica los opuestos de estos nmeos po  cada uno de los elemento de la 1 0ila & estos se sumaan a los nmeos de su especti!a columna' =o e.'/ en el caso de la (H 0ila* se multiplicaa a -+ @opuesto de + po cada uno de los elementos de la 1H 0ila & se sumaa su esultado con el numeo %ue le coesponda en columna de la se$unda 0ila' En el caso de la + 0ila se multiplicaa a -7 @opuesto de 7 po cada uno de los elementos de la 1H 0ila & se sumaa su esultado con el nmeo %ue le coesponda en columna de la tecea 0ila'

Nuesto si$uiente paso es o"tene el 1 de la ( 0ila de la mati2 identidad* & pocedemos de i$ual 0oma %ue antes* es deci multiplicamos toda la 0ila po el in!eso del numeo %ue deseamos tans0oma en 1* en este caso -1+(* cu&o in!eso es -(1+  Adem#s si o"se!amos la tecea 0ila* nos damos cuenta %ue todos los elementos poseen el mismo denominado* entonces podemos eliminalos multiplicando todos los elementos de la +H 0ila po ( @el denominado si "ien este no es un paso necesaio paa el desaollo del método* es til paa 0acilita c#lculos posteioes' 5.3 METODO DE GAUSS SEIDEL

El método de eliminación paa esol!e ecuaciones simult#neas suminista soluciones su0icientemente pecisas >asta paa 17 o (< ecuaciones' El nmeo e4acto depende de las ecuaciones de %ue se tate* del nmeo de d$itos %ue se conse!an en el esultado de las opeaciones aitméticas* & del pocedimiento de edondeo' Utili2ando ecuaciones de eo* el nmeo de ecuaciones %ue se pueden mane.a se puede incementa considea"lemente a m#s de 17 o (<* peo

este método tam"ién es imp#ctico cuando se pesentan* po e.emplo* cientos de ecuaciones %ue se de"en esol!e simult#neamente' El método de in!esión de matices tiene limitaciones similaes cuando se ta"a.a con nmeos mu& $andes de ecuaciones simult#neas' Sin em"a$o* e4isten !aias técnicas %ue se pueden utili2a* paa esol!e $andes nmeos de ecuaciones simult#neas' Una de las técnicas m#s tiles es el método de Gauss-Seidel' Nin$uno de los pocedimientos altenos es totalmente satis0actoio* & el método de Gauss-Seidel tiene la des!enta.a de %ue no siempe con!e$e a una solución o de %ue a !eces con!e$e mu& lentamente' Sin em"a$o* este método con!e$i# siempe a una solución cuando la ma$nitud del coe0iciente de una incó$nita di0eente en cada ecuación del con.unto* sea su0icientemente dominante con especto a las ma$nitudes de los otos coe0icientes de esa ecuación' Es di0cil de0ini el ma$en mnimo po el %ue ese coe0iciente de"e domina a los otos paa ase$ua la con!e$encia & es an m#s di0cil pedeci la !elocidad de la con!e$encia paa al$una com"inación de !aloes de los coe0icientes cuando esa con!e$encia e4iste' No o"stante* cuando el !alo a"soluto del coe0iciente dominante paa una incó$nita di0eente paa cada ecuación es ma&o %ue la suma de los !aloes a"solutos de los otos coe0icientes de esa ecuación* la con!e$encia est# ase$uada' Ese con.unto de ecuaciones simult#neas lineales se conoce como sistema dia$onal' Un sistema dia$onal es condición su0iciente paa ase$ua la con!e$encia peo no es condición necesaia' A0otunadamente* las ecuaciones simult#neas lineales %ue se dei!an de muc>os po"lemas de in$eniea* son del tipo en el cual e4isten siempe coe0icientes dominantes' La secuencia de pasos %ue constitu&en el método de Gauss-Seidel es la si$uiente/ 1' Asi$na un !alo inicial a cada incó$nita %ue apae2ca en el con.unto' Si es posi"le >ace una >ipótesis a2ona"le de éstos !aloes* >acela' Si no* se pueden asi$na !aloes seleccionados a"itaiamente' Los !aloes iniciales utili2ados no a0ecta#n la con!e$encia como tal* peo a0ecta#n el nmeo de iteaciones e%ueidas paa dic>a con!e$encia' (' =atiendo de la pimea ecuación* detemina un nue!o !alo paa la incó$nita %ue tiene el coe0iciente m#s $ande en esa ecuación* utili2ando paa las otas incó$nitas los !aloes supuestos' +' =asa a la se$unda ecuación & detemina en ella el !alo de la incó$nita %ue tiene el coe0iciente m#s $ande en esa ecuación* utili2ando el !alo calculado paa la incó$nita del paso ( & los !aloes supuestos paa las incó$nitas estantes' ,' Continua con las ecuaciones estantes* deteminando siempe el !alo calculado de la incó$nita %ue tiene el coe0icniente m#s $ande en cada ecuación paticula* & utili2ando siempe los ltimos !aloes calculados paa las otas incó$nitas de la ecuación' @Duante la pimea iteación* se de"en utili2a los !aloes supuestos paa las incó$nitas >asta %ue se o"ten$a un !alo calculado' Cuando la ecuación 0inal >a sido esuelta* popocionando un !alo paa la nica incó$nita* se dice %ue se >a completado una iteación' 7' Continua iteando >asta %ue el !alo de cada incó$nita* deteminado en una iteación paticula* di0iea del !alo o"tenido en la iteación pe!ia* en una cantidad

meno %ue cieto seleccionado a"itaiamente' El pocedimiento %ueda entonces completo' 3e0iiéndonos al paso 7* mientas meno sea la ma$nitud del seleccionado* ma&o se# la pecisión de la solución' Sin em"a$o* la ma$nitud del epsilonno especi0ica el eo %ue puede e4isti en los !aloes o"tenidos paa las incó$nitas* &a %ue ésta es una 0unción de la !elocidad de con!e$encia' Mientas ma&o sea la !elocidad de con!e$encia* ma&o se# la pecisión o"tenida en los !aloes de las incó$nitas paa un dado' EEM=LO 3esol!e el si$uiente sistema de ecuación po el método Gauss-Seidel utili2ando un 6 <'<<1' <'1 1 5 :'< ( - <'+ + 6 -1J'+< +'< 1 - <'1 ( - <'( + 6 :';7 <'+ 1 - <'( ( - 1<'< + 6 :1',< SOLUCIKN/ =imeo odenamos las ecuaciones* de modo %ue en la dia$onal pincipal esten los coe0icientes ma&oes paa ase$ua la con!e$encia' +'< 1 - <'1 ( - <'( + 6 :';7 <'1 1 5 :'< ( - <'+ + 6 -1J'+< <'+ 1 - <'( ( - 1<'< + 6 :1',< Despe.amos cada una de las !aia"les so"e la dia$onal/

Suponemos los !aloes iniciales ( 6 < & + 6 < & calculamos 1

Este !alo .unto con el de + se puede utili2a paa o"tene (

La pimea iteación se completa sustitu&endo los !aloes de 1 & ( calculados o"teniendo/

En la se$unda iteación* se epite el mismo pocedimiento/

Compaando los !aloes calculados ente la pimea & la se$unda iteación

Como podemos o"se!a* no se cumple la condición Entonces tomamos los !aloes calculados en la ltima iteación & se toman como supuestos paa la si$uiente iteación' Se epite entonces el poceso/

Compaando de nue!o los !aloes o"tenidos

Como se o"se!a toda!a no se cumple la condición

 As %ue >acemos ota iteación

Compaando los !aloes o"tenidos

Dado %ue se cumple la condición* el esultado es/ 1 6 +'< ( 6 -('7 + 6 :'< Como se puede compo"a no se tiene un nmeo e4acto de iteaciones paa enconta una solución' En este e.emplo* se >icieon + iteaciones* peo a menudo se necesitan m#s iteaciones' Se de.a de in!esti$ación al alumno al$una 0oma %ue >a$a %ue este método con!e$a m#s #pidamente' >ttp/aniei'o$'m4pa$inasuamCusoMNcusomn1('>tml Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas estas estarán en operación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de cada uno de los cuatro productos está dado por

Producto 1

Producto 2

Producto 3

1

2

1

Máquina 2

2



1

Máquina 3

1

2

!

Máquina 1

Producto 4

Por e"emplo# en la producción de una unidad del producto 1 la máquina 1 se usa 1 hora# la máquina 2 se usa 2 horas $ la máquina ! se usa 1 hora. Encuentre el número de unidades que se deben producir de cada uno de los % productos un d&a de 8 horas completas.

Souci!n"  'ea

el número de unidades que se deben producir del  x i producto i que se fabrican durante las 8 horas con i = 1# 2# ! $ %.

1 x 1( Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 1. 2 x 2( Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 2. 1 x !( Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto !. 2 x %( Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto %.

)omo la máquina 1 debe ser usada 8 horas diarias# entonces tenemos que

 procediendo de forma similar para las máquinas 2 y 3 obtenemos el sistemas de ecuaciones lineales siguiente

*plicando eliminación de +auss,-ordan lleamos al sistema equi/alente

0e donde#

)ada  x i es no neati/a por representar la cantidad de unidades fabricadas del producto i cada d&a# por lo tanto  x i   no tiene sentido.

'i asumimos que se produce un número completo de unidades# entonces  x i debe ser además un número entero para que todos los  x i # sean no neati/os debe ser un entero menor o iual que 2# $ por lo tanto las posibles  x % soluciones son

 x 1

x 2

x 3

%

2



Souci!n 2

!

1

1

Souci!n 3

2



2

'olución 1

Por e"emplo la solución 1 sinica que en un d&a para las máquinas estar completamente utilizadas se deben producir % unidades del producto 1# 2 del producto 2 $ ninuna de los productos ! $ %.

Para resol/er un problema que in/olucra sistemas de ecuaciones lineales se debe tener en cuenta lo siuiente(

1. Entender el problema. 2. 0eterminar los datos conocidos. !. 3ombrar adecuadamente las incónitas de acuerdo a lo que se pida. %. Establecer las relaciones e4istentes entre los datos conocidos $ las incónitas. 5. 0eterminar el sistema de ecuaciones lineales asociado a las relaciones en %. 6. 7esol/er el sistema de ecuaciones lineales resultante en 5. . 9ericar que las respuestas obtenidas si est:n de acuerdo al problema. 8. ;nterpretar el resultado si es posible.

E#EMPLO 1$ *nálisis de
'uponamos que tenemos una red de calles en una sola dirección en una ciudad. 'e quiere analizar el
En /arios sitios se han colocado contadores# $ el número promedio de carros que pasan por cada uno de ellos en el periodo de 1 hora# aparece tambi:n en la ura. =as /ariables representan el número de carros por hora que pasan de la intersección * a la intersección ># de la intersección > a la intersección )# etc.

Primero determinamos los /alores posibles de cada  x i. *sumiendo que no ha$ paradas en el tráco# el número de carros que llea a una intersección debe ser iual al número de carros que sale de la intersección. )on base a este supuesto obtenemos el siuiente sistema.

?@. ?
?
*plicando el m:todo de +auss,-ordan lleamos al sistema equi/alente

como las  x i son número de carros por hora de una intersección a otra# no son permitidos /alores neati/os para las  x i# $a que como las calles son en una dirección# un /alor neati/o de  x i se interpreta como el número de carros que /an en contra/&a. )on esta restricción tenemos

# es decir#

. ;ualmente#

# es decir#

.

'uponamos ahora que la calle que /a de 0 a E /a a estar en reparación# por lo que se requiere que el tráco en este espacio sea m&nimo. Esto nos lle/a a  x  B 5. Por consiuiente a  x 2 B 5 $  x 5 B . 7ec&procamente si  x 5 B # tenemos  x  B 5# entonces# si cerramos la carretera entre ) $ 0 tendremos el m&nimo tráco posible entre

0

$

E.

=os
no están determinados en forma única. 'i toda la distancia de estu/iera en reparación# requerir&amos que este caso  x 1 B 5#  x ! B 5 $  x % B 65.

$ 0

a

A

fuera m&nimo# o sea cero. En

E#EMPLO 1% Modelos de =eontief de Entrada , 'alida.

'upona que un sistema económico tiene

industrias distintas

n

# cada una de las cuales tiene necesidades de entrada ?materia prima# instalaciones@ $ una salida ?productos terminados@. El coeciente de entrada dij mide la cantidad de entrada que la industria  j,:sima requiere de la industria i,:sima para producir una unidad( =a colección de coecientes de entrada esta dada por la siuiente matriz n 4 n. =as unidades se miden en Ccantidades de dólarD.

Pro/eedor  

Usuario

Esta matriz se denomina matriz de entrada  salida. Para comprender como utilizar esta matriz# imaine que los elementos de están dados en dólares. Por e"emplo# si d12 B .%1# entonces debe utilizarse .%1 dólares del /alor del producto de la industria 1 para producir un /alor de un dólar del producto de la industria 2. =a cantidad total astada por la  j,:sima industria para producir un /alor de un dólar de salida esta dada por la suma de los elementos de la  j,:sima columna. Por tanto# para que funcione este modelo# los /alores de dij  deben ser tales que $ la suma de los elementos de cualquier columna debe ser menor o iual que 1.

El modelo de =eontief cerrado puede aplicarse a

n

industrias $ sus

propiedades básicas son(

1. =a matriz D tiene componentes dij # donde 2. =a suma de los componentes de cualquier columna es 1. 3. Se satisface la condición de equilibrio, es decir, que los gastos debidos al consumo son iguales a los ingresos debidos a las ventas.

E#EMPLO 1& 'upona que una econom&a simple tiene tres industrias que son dependientes entre si# pero que no dependen de industrias e4ternas ?se cumple el modelo cerrado de =eontief@. =as industrias son( aricultura# construcción $ /estuario. =a fracción de cada producto que consume cada industria est a dado por(

*ricultura

)onstrucción

9estuario

 

*ricultura

)onsumo

)onstrucción

9estuario

Producción

=a componente

dij

denota la fracción de bienes producidos por la ente que

traba"a en la industria  j industria

$ que es consumida por la ente que traba"a en la i.

Por e"emplo sinica que la industria del /estuario consume del total de la producción ar&cola.

'uponamos que los inresos de la industria de la aricultura# construcción $ /estuario son $ sector de la econom&a.

respecti/amente. 0etermine los inresos de cada

Souci!n"

este sistema es equi/alente al sistema

Usando eliminación de +auss,-ordan podemos resol/er este sistema

El sistema correspondiente a esta última matriz es

haciendo

#

t

es

un

real

no

neati/o.

*si cualquier solución es de la forma por tanto ha$ innitas soluciones# sin embaro los inresos de la industria de la aricultura# construcción $ /estuario están en la proporción %(!(%.

E#EMPLO 1' Un in/ersionista le arma a su corredor de bolsa que todas sus acciones son de tres compaF&as 0elta# Gilton $ Mc0onaldHs $ que hace dos d&as su /alor ba"ó I!5 pero que a$er aumentó I6. El corredor recuerda que hace dos d&as las acciones de 0elta ba"ó I1 por acción $ las de Gilton I1.5# pero que el precio de las acciones de Mc0onaldHs subió I.5. Jambi:n recuerda que a$er el precio de las acciones de 0elta subió I1.5 por acción# las de Gilton ba"ó otros I.5 por acción $ las de Mc0onaldHs subió I1. por acción. 0emuestre que el corredor no tiene suciente información para calcular el número de acciones que posee el in/ersionista en cada compaF&a# pero que si el dice que tiene 2 acciones en Mc0onaldHs# el corredor puede calcular el número de acciones que tiene en 0elta $ en Gilton.

'olución(

'ea 40

el número de acciones en la compaF&a 0elta.

4G

el número de acciones en la compaF&a Gilton.

4M

el número de acciones en la compaF&a Mc0onaldHs.

*plicando el m:todo de +auss,-ordan podemos resol/er el sistema

El corredor de bolsa no tiene información suciente para determinar el número de acciones que tiene en cada compaF&a el in/ersionista# puesto que el sistema tiene mas incónitas que ecuaciones.

El sistema correspondiente a la última matriz es

'i se sabe que el in/ersionista tiene 2 acciones en Mc0onaldHs# es decir# entonces la solución del sistema es

>ttp/docencia'udea'edu'coGeometiaectoialuni1seccion1+e.emplos1+'>tmle  .17