Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión) del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la utilización de la equivalencia de sistemas, ya vista anteriormente, y simples operaciones aritméticas. Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres: sustitución, igualación y reducción. Por contra, el método gráfico (sólo hay uno), consiste, como su propio nombre indica) en resolver (y discutir) el sistema mediante la representación gráfica de sus ecuaciones. En primer lugar, hay que saber que, en realidad, resolver adecuadamente un sistema es un proceso que consta de dos fases: discusión y resolución. La discusión consiste en clasificar el sistema según el esquema visto en la sección anterior, es decir, analizar si el sistema tiene o no solución y, en caso de tenerla, cuántas soluciones. Por otro lado, para la resolución, una vez comprobado que el sistema tiene solución, se utilizará uno de los métodos que en esta Unidad se describen.
En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que remplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices. Clasificación de los sistemas. Un sistema de ecuaciones sobre [pic]puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones en: • Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución. • Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en: ❖ Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de
soluciones que forman una variedad continua. ❖
Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de
soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas con a lo sumo un número finito de puntos de acumulación. Método de reducción
El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una ecuación con una incógnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incógnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la segunda. Ejemplo de este método.
Sea el sistema Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema
8x=24 x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos y=2
Método de igualación
El método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Sea cual sea el valor de esta incógnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por tanto podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que podemos resolver con facilidad. Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y calculamos la segunda. Podemos resolver el sistema independientemente de qué incógnita despejemos
primero o en qué ecuación sustituyamos después su valor, por lo que podemos hacerlo del modo que nos resulte más cómodo, según los coeficientes que tengan las incógnitas. Ejemplo de este método.
Sea el sistema Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita
Igualamos ambas ecuaciones 11-3x=-13+5x 8x=24 x=3 Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y y=11-9 y=2
Método de sustitución: De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases: i. ii. iii.
Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso. Ejemplo de este método
Sea el sistema
Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Hallemos la y en la primera ecuación supuesto conocido el valor de x y=11-3x Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado 5x-(11-3x)=13 Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la resolvemos 5x-11+3y=13 5x+3x=13+11 8x=24 x=3 Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema y=11-3x y=11-9 y=2 Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2
En conclusión podemos decir que este sistema de ecuaciones se resuelve de la manera muy metódica, la discusión es un proceso anterior al de resolución. Ahora bien, estas fases sólo se realizan en ese orden cuando se utilizan métodos para la resolución de los sistemas distintos de los que se vio en este nivel. Por ello, hace u momento se explicaron, ambos procesos, la discusión y la resolución del sistema, se hacen de manera simultánea.
