4.
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS 1.
b.
c. d.
Despejamos una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones. Sustituimos el valor encontrado en la otra ecuación, obteniéndose de esta manera una ecuación con una incógnita. Resolvemos esta ecuación. Sustituimos el valor obtenido en la ecuación donde se había despejado una de las incógnitas y se encuentra el valor de la otra incógnita.
MÉTODO DE IGUALACIÓN:
a. b. c. d.
3.
E1 : a1x b1y c1 E2 : a2 x b2 y c2
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
a.
2.
Despejamos una de las incógnitas o variables en ambas ecuaciones. Igualamos los resultados obtenidos. Resolvemos la ecuación lineal resultante para la variable que queda. Sustituimos la solución obtenida en el paso anterior en una de las ecuaciones despejadas en el primer paso, y encontramos el valor de la otra incógnita.
MÉTODO DE REDUCCIÓN:
a. b.
c. d. e.
Escribimos ambas ecuaciones en la forma: ax by c Multiplicamos una o ambas ecuaciones por un número tal que los coeficientes de una variable o incógnita sean iguales y opuestos en las dos ecuaciones. Adicionamos miembro a miembro las dos ecuaciones y obtenemos una ecuación con una sola incógnita. Despejamos la variable de la nueva ecuación. Sustituimos este valor en una de las ecuaciones originales y despejamos la segunda variable.
Aplicando la Regla de Cramer : c1 x
b.
c. d.
2.
a. b. c. d.
3.
Despejamos una de las incógnitas o variables en ambas ecuaciones. Igualamos los resultados obtenidos. Resolvemos la ecuación lineal resultante para la variable que queda. Sustituimos la solución obtenida en el paso anterior en una de las ecuaciones despejadas en el primer paso, y encontramos el valor de la otra incógnita.
MÉTODO DE REDUCCIÓN:
a. b.
c. d. e.
Escribimos ambas ecuaciones en la forma: ax by c Multiplicamos una o ambas ecuaciones por un número tal que los coeficientes de una variable o incógnita sean iguales y opuestos en las dos ecuaciones. Adicionamos miembro a miembro las dos ecuaciones y obtenemos una ecuación con una sola incógnita. Despejamos la variable de la nueva ecuación. Sustituimos este valor en una de las ecuaciones originales y despejamos la segunda variable.
y s
c1
a2
c2
a1
b1
a2
b2
b2
; s 0
MÉTODO DE DETERMINANTES: Sea el sistema:
a11 a12 a 13 E1 : a1 1x a12 y a13z k1 E2 : a21x a22 y a23z k 2 ; s a 21 a 22 a 23 0 E : a x a y a z k a 31 a 32 a 33 31 32 33 3 3
Aplicando la Regla de Cramer :
x
k1
a12
a13
a11
k1
a13
a11
a12
k1
k2
a22
a23
a21
k2
a23
a21
a22
k2
x k3 s
a32
a33
a31
k3
a33
z a31 a32 s s
k3
s
;y
y s
s
; z
Si: s 0 Sistema no tiene solución Si: x y z s 0
4.
Sistema es compatible indeterminado
MÉTODO DE DETERMINANTES: Sea el sistema:
E1 : a1x b1y c1 E2 : a2 x b2 y c2
Despejamos una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones. Sustituimos el valor encontrado en la otra ecuación, obteniéndose de esta manera una ecuación con una incógnita. Resolvemos esta ecuación. Sustituimos el valor obtenido en la ecuación donde se había despejado una de las incógnitas y se encuentra el valor de la otra incógnita.
MÉTODO DE IGUALACIÓN:
y
;
a1
SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
a.
b1
c b x 2 2 a1 b1 s a2
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS 1.
MÉTODO DE DETERMINANTES: Sea el sistema:
Aplicando la Regla de Cramer : c1 x
b1
c b x 2 2 a1 b1 s a2
y
;
y s
b2
a1
c1
a2
c2
a1
b1
a2
b2
; s 0
SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS MÉTODO DE DETERMINANTES: Sea el sistema:
a11 a12 a 13 E1 : a1 1x a12 y a13z k1 E2 : a21x a22 y a23z k 2 ; s a 21 a 22 a 23 0 E : a x a y a z k a 31 a 32 a 33 31 32 33 3 3
Aplicando la Regla de Cramer :
x
k1
a12
a13
a11
k1
a13
a11
a12
k1
k2
a22
a23
a21
k2
a23
a21
a22
k2
x k3 s
a32
a33
a31
k3
a33
z a31 a32 s s
k3
s
;y
y s
s
; z
Si: s 0 Sistema no tiene solución Si: x y z s 0
Sistema es compatible indeterminado
SISTEMAS ESCALONADOS:
Son aquellos en los que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior, y donde los coeficientes de las incógnitas situados por debajo de la diagonal principal, son nulos:
Al final de proceso, se llegará a uno de los siguientes casos: 1.
0 0 0
E1 : ax by cz d ey fz g E2 : E : hz i 3 Los sistemas escalonados se los resuelve fácilmente de abajo hacia arriba.
2.
0 0
El proceso se realiza muy ventajosamente empleando exclusivamente los coeficientes y términos independientes del sistema, estructurados en matrices:
b) c)
Son aquellos en los que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior, y donde los coeficientes de las incógnitas situados por debajo de la diagonal principal, son nulos:
0 0 0
Al final de proceso, se llegará a uno de los siguientes casos: 1.
0 0 0
Los sistemas escalonados se los resuelve fácilmente de abajo hacia arriba.
a dos transformaciones elementales:
a) b) c)
UNA FILA DE CEROS: Corresponde a una ecuación trivial, y podemos prescindir de ella. DOS FILAS IGUALES O PROPORCIONALES: Corresponde a ecuaciones equivalentes, y podemos prescindir de una de ellas. UNA FILA DE CEROS EXCEPTO EL TÉRMINO INDEPENDIENTE: Corresponde a una ecuación imposible, en cuyo caso el sistema es INCONSISTENTE O INCOMPATIBLE.
0
2.
0 0
El proceso se realiza muy ventajosamente empleando exclusivamente los coeficientes y términos independientes del sistema, estructurados en matrices:
Pueden presentarse los siguientes casos o situaciones:
0
Un número distinto de cero
Es un sistema COMPATIBLE DETERMINADO.
Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero. Adicionar a una ecuación, otra multiplicada por un número.
E1 : a11x a12 y a13z k1 a11 a12 a 13 k 1 E2 : a21x a22 y a 23z k 2 a 21 a 22 a 23 k 2 E : a x a y a z k a 31 a 32 a 33 k 3 31 32 33 3 3
0
Un número cualquiera
Permite transformar un sistema de ecuaciones
lineales en otro escalonado. Para ello, “hacemos ceros”, sometiendo las ecuaciones
0 0 0 0 0
El sistema es INCONSISTENTE O INCOMPATIBLE; NO tiene solución.
E1 : ax by cz d ey fz g E2 : E : hz i 3
MÉTODO DE GAÜSS – JORDAN:
0
3.
UNA FILA DE CEROS: Corresponde a una ecuación trivial, y podemos prescindir de ella. DOS FILAS IGUALES O PROPORCIONALES: Corresponde a ecuaciones equivalentes, y podemos prescindir de una de ellas. UNA FILA DE CEROS EXCEPTO EL TÉRMINO INDEPENDIENTE: Corresponde a una ecuación imposible, en cuyo caso el sistema es INCONSISTENTE O INCOMPATIBLE.
SISTEMAS ESCALONADOS:
Si existen menos ecuaciones válidas que incógnitas, el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO.
Pueden presentarse los siguientes casos o situaciones: a)
0
Es un sistema COMPATIBLE DETERMINADO.
Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero. Adicionar a una ecuación, otra multiplicada por un número.
E1 : a11x a12 y a13z k1 a11 a12 a 13 k 1 E2 : a21x a22 y a 23z k 2 a 21 a 22 a 23 k 2 E : a x a y a z k a 31 a 32 a 33 k 3 31 32 33 3 3
0
Un número distinto de cero
Un número cualquiera
MÉTODO DE GAÜSS – JORDAN:
Permite transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro escalonado. Para ello, “hacemos ceros”, sometiendo las ecuaciones a dos transformaciones elementales:
0
0
Si existen menos ecuaciones válidas que incógnitas, el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO. 3.
0 0 0
0 0 0 0 0
El sistema es INCONSISTENTE O INCOMPATIBLE; NO tiene solución.
