Unidad 2 Segmentos y Angulos

UNIDAD 2.

SEGMENTOS Y ÁNGULOS

SEGMENTOS

Recordemos que dados los puntos A y B, se llama segmento de recta AB ( AB ) al conjunto formado por los puntos A, B y todos los puntos P entre A y B Los puntos A y B se llaman extremos . Las semirrectas determinadas por los extremos de un segmento y que no tienen más puntos comunes con el segmento, se llaman las prolongaciones del segmento.

AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE SEGMENTOS: En toda semirrecta OA , para

cada real positivo “x” , existe un único punto B sobre OA , distinto de O, tal tal que m( OB ) = x. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Es el

punto entre los extremos del segmento que lo divide en dos segmentos congruentes. M es punto medio de AB  AM  MB 

SEGMENTOS

MEDIDA DE SEGMENTOS:

La medida de un segmento AB, denotada por m( AB ) o AB, es la distancia entre sus puntos extremos: m( AB )=d(A,B)=AB SEGMENTOS

CONGRUENTES:

ADYACENTES:

Son dos segmentos de extremos colineales y que tienen un extremo común situado entre los extremos no comunes. SUMA DE SEGMENTOS: Si AB y

Son

segmentos que tienen igual medida: AB  CD  m(AB)=m(CD)  AB=CD

CONVENCIÓN:

Cuando no haya lugar a confusión en lugar de AB usaremos AB y en lugar de AB  CD usaremos AB=CD.

1 AB 2

son segmentos adyacentes entonces el segmento AC es la suma de los segmentos AB y BC : AC



BC

AB  BC

Además AB  AC  BC y BC  AC  AB Para sumar dos segmentos no adyacentes se construyen dos segmentos adyacentes respectivamente congruentes a ellos.

TEOREMA: La congruencia de segmentos es

una relación de equivalencia, es decir, cumple las siguientes propiedades: 1. Reflexiva: AB  AB 2. Simétrica: AB  CD  CD  AB 3. Transitiva: AB  CD  CD  EF  AB  EF SEGMENTOS DESIGUALES: Son segmentos

no congruentes. Entre dos segmentos desiguales será menor el que tenga menor medida: AB  CD  m(AB)
Unidad dos, segmentos y ángulos, Página 1 de 27

ÁNGULOS

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA:

ÁNGULO:

Según su medida los ángulos se clasifican así:  es NULO: si m=0°  es AGUDO: si 0° < m  < 90°  es RECTO: si m=90° si 90° < m  < 180°  es OBTUSO:  es LLANO: si m =180°

Es la figura formada por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Si ellas son OA y OB , se denota por AOB. El origen O es el vértice del ángulo y las semirrectas OA y OB son los lados del ángulo. INTERIOR DE UN ÁNGULO: Es el conjunto

formado por los puntos que están en la intersección de dos semiplanos, (cada uno de ellos con un lado sobre su borde y conteniendo al lado restante), excepto los que están sobre los lados del ángulo. EXTERIOR

DE

UN

ÁNGULO:

Es el subconjunto del plano del ángulo formado por los puntos que no están sobre los lados del ángulo ni en el interior del ángulo. ÁNGULO NULO: Es el ángulo que forma toda

semirrecta consigo misma. ÁNGULO LLANO: Es el ángulo formado por por

dos semirrectas opuestas. AXIOMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS: Dado

un semiplano con una semirrecta OA , fija en su borde, entonces a cada semirrecta OB de dicho semiplano, se le asigna un único número real “a” en el intervalo 0,180. Para la semirrecta OA se asigna el 0 y para su semirrecta opuesta el 180. MEDIDA SEXAGESIMAL DE UN ÁNGULO:

La “medida” (sexagesimal) de un AOB es igual a “a” grados grados sexagesimales, tomando el número real a en el intervalo 0,180, que le asigna el axioma anterior y lo denotaremos por: m AOB=a o simplemente AOB=a “

”

ÁNGULOS CONGRUENTES: Son ángulos que

tienen igual medida: ABCDEF 

mABC=mDEF

CONVENCIÓN:

Cuando no haya lugar a confusión en lugar ABCDEF o de mABC=mDEF usaremos ABC=DEF. TEOREMA: La congruencia de ángulos es una

relación de equivalencia, es decir, cumple las siguientes propiedades: 1. Reflexiva: ABCABC 2. Simétrica: ABCDEF  DEFABC 3. Transitiva: ABCDEFDEFPQRABC PQR ÁNGULOS DESIGUALES: Son dos ángulos no

congruentes. Entre dos ángulos desiguales será menor el que tenga menor medida. AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS: Dado un semiplano y fijada una

semirrecta OA sobre su borde, entonces para cada real “x” en el intervalo 0,180, existe solamente una semirrecta OB en dicho semiplano, tal que m AOB = x°. BISECTRIZ

DE

UN

ÁNGULO: Es

la semirrecta interior que lo divide en dos ángulos congruentes. Si BX es una semirrecta interior al ABC entonces: BX es bisectriz del ABCABXXBCABC/2


ÁNGULOS ADYACENTES: Son dos ángulos

coplanares que tienen el mismo vértice, un lado común y cada uno de los lados no comunes está en el exterior del otro ángulo. SUMA DE ÁNGULOS: Si

ABC

y CBD son adyacentes, entonces el ABD es la suma de los ángulos ABC y CBD: ABDABC+CBD

Además

= 90°–=90° – 180°–=180° –

Luego

 =   C = C  S =  S

TEOREMA:

Si dos ángulos forman un par lineal entonces son suplementarios. Dm:

+ XBC = 1llano = 180°, luego ABX y XBC son suplementarios

ABCABD–CBD

y CBDABDABC.

ABX

TEOREMA: Si dos ángulos adyacentes,

Para sumar dos ángulos no adyacentes se construyen dos ángulos adyacentes respectivamente congruentes a ellos. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Son dos ángulos cuyas medidas suman 90° . De cada uno de ellos se dice que es el complemento del

otro: A

Dm:

+ B = 90°

ABC

y CBD son suplementarios entonces forman un par lineal y por lo tanto los puntos A, B y D son colineales. ** Este teorema se utilizará para probar que tres puntos son colineales. TEOREMA:

Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Dm:

B

C

= 90°  A = A y

A

C

= 90°  B = B

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: Son dos ángulos cuyas medidas suman 180° . Cada uno de ellos es el suplemento del otro:  A B

+ B = 180° S

= 180°A = A Y

A

S

= 180°B = B

Los ángulos opuestos por el vértice tienen igual suplemento, luego son congruentes. TEOREMA:

Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas opuestas. (Ejercicio) RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas secantes L y M son perpendiculares , L  M, si

PAR LINEAL:

forman por lo menos un ángulo recto. En caso contrario son oblicuas .

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE:

Dos segmentos (semirrectas) son perpendiculares si están contenidos en rectas perpendiculares.

Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las semirrectas opuestas de los lados del otro.

TEOREMA:

Son dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes son semirrectas opuestas.

TEOREMA: Dos ángulos son congruentes si y

sólo si sus complementos son congruentes si y sólo si sus suplementos son congruentes.

Dos rectas perpendiculares forman cuatro ángulos rectos. (Ejercicio) TEOREMA:

Las bisectrices de un par lineal son perpendiculares. (Ejercicio)


TEOREMA: Por cada punto de una recta pasa

POLÍGONO: Es la región del plano limitada

por una poligonal cerrada.

una y solamente una recta perpendicular a ella. Según el número de lados se llaman:

Dm:

Por el axioma de construcción de ángulos para x=90 existe una y sólo una semirrecta que determina la recta pedida. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO:

Es la recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular al segmento. Si M es el punto medio de AB entonces: L mediatriz de AB  L pasa por M y L  AB LÍNEA POLIGONAL: Sea nZ y n  3. Si A 1

, A2 , ... , An son puntos coplanares, tales que ninguna tripleta de consecutivos son colineales entonces a la unión de los segmentos A1A2 , A2 A3 , ..., An 1 An . se le llama poligonal A1A2...An 

Los extremos de cada segmento son los vértices de la poligonal, los segmentos son los lados y la suma de las medidas de sus lados es el perímetro . Si el extremo final del último segmento coincide con el inicial del primero entonces la poligonal es cerrada , en caso contrario la poligonal es abierta .

Triángulo (3), Cuadrilátero (4), Pentágono (5), Hexágono (6), Heptágono (7), Octágono (8), Eneágono (9), Decágono (10), Dodecágono (12), Pentedecágono (15), polígono de n lados (n). POLÍGONO

CONVEXO: Un polígono es

convexo si al unir dos puntos cualesquiera situados sobre dos lados distintos, el segmento está contenido en el polígono. En caso contrario es no convexo. Ángulo interior de un polígono convexo es el formado por dos lados consecutivos y ángulo exterior es el que forma un par lineal con un ángulo interior. POLÍGONO REGULAR: Es un polígono con todos sus lados congruentes y todos sus

ángulos interiores congruentes. CIRCUNFERENCIA:

Dados un plano , un punto O en dicho plano, y un número real positivo r, (r > 0), se llama “Circunferencia de ” y se centro O y radio r en el plano denota por: C(O;r) , al conjunto formado por todos los puntos P del plano  tales que su distancia al centro es igual a r, es decir tales que OP = r. “

”


CRUCIGRAMA ELEMENTOS BASICOS,SEGMENTOS Y

ÁNGULOS (Elaboró: Carlos Albero Ríos villa)

1

2

3

4

5

6 7

8

11

18

9 12

13

15

16

10 14 17

19

20 21

22

23

24

25 26

27

28 29

30

31

32

33

34

35

36 37

38

39 40

41 42

43

44 45 46 47

48

49 50

51

52 53

54

55 56 57

58 59

60 61

62


HORIZONTALES

1 Es suficiente para que dos segmentos o dos ángulos sean congruentes 2 ¡Tranquilo!... yo le creo, no tiene necesidad de probarme nada 4 Dos ángulos que suman 90° 8 Subconjuntos en los que un punto sobre una recta la dividen 10 Igual que la 4, pero suman 180° 11 Antes de escribir la demostración debes conocer un camino, esto te permitirá encontrarlo 13 Para serlo, estos dos ángulos solo deben tener la misma medida 15 Axioma que nos dice lo que le hace un punto a una recta 17 Relación que compara la forma de dos figuras geométricas 18 Estos ejercicios solo debes hacerlos luego de haber comprendido muy bien los conceptos y los ejercicios resueltos 20 Debes usarlos para tener una visión más amplia de cada tema 21 Los primeros ejercicios que debes estudiar y comprender muy bien 23 Son soporte fundamental para usar eficientemente el tiempo independiente de estudio 24 Un conjunto toma este nombre si entre sus elementos se puede determinar cual está antes o después de otro o si está entre otros dos 26 Esta propiedad permite concluir que si dos cosas son iguales y una de ellas es igual a una tercera, entonces las tres son guales 27 Estos dos ángulos solo se originan si dos rectas son secantes 29 Esta relación, entre dos figuras geométricas se da solo si tienen Igual forma y medida 31 Para serlo, estos dos segmentos solo deben tener igual medida 32 Es indispensable si quieres tener éxito en tu estudio 35 Este axioma garantiza la existencia de semiplanos opuestos 37 Subconjunto propio del espacio que tiene solo dos dimensiones 38 Estas dos rectas resultaron ser la misma por tener dos puntos distintos en común 39 Siempre son colineales 40 Estos dos ángulos tienen el vértice y un lado común, pero además el otro lado (el no común) está por fuera del otro ángulo, o mejor dicho está en el semiplano opuesto respecto al lado común. ¡Hay amá que enredo! 41 Sin comprenderlos, será imposible realizar los ejercicios propuestos 42 Puntos en un mismo plano 44 Este axioma concluye que solo por tener tres puntos no colineales en común, dos planos son el mismo 45 Dos puntos siempre lo son 46 Una recta en un plano da origen a ellos 50 Semirrecta que divide un ángulo en dos, pero igualitos 51 Estudio de las medidas y formas de la tierra 52 Si en este polígono unimos dos puntos de dos lados cualesquiera todo el segmento resultante queda adentro del polígono; o si prolongamos alguno de sus lados esta prolongación nunca cortará a otro lado del polígono

53 Estas dos rectas solo tienen un punto en común y además son coplanares 54 Son los datos y por lo tanto el punto de partida de una demostración, siempre son verdad y debemos tenerlas presentes durante la solución del problema, pues sin ellas es imposible resolverlo. 55 Afirmación con sentido completo, de la cual tenemos certeza de su veracidad o falsedad 56 Siempre invirtiendo las cosas, en este caso la hipótesis y la tesis 57 conjunto de propiedades inequívocas que se usan para identificar algo 58 Dos puntos sobre una recta y todos lo que están entre ellos 59 Son las únicas rectas que no son coplanares 60 Esta es la clave, debes hacerlo y hacerlo y hacerlo 61 Esta propiedad afirma que toda figura geométrica es congruente con ella misma 62 Estos tres, si no son colineales, siempre son coplanares VERTICALES

1 3 5 6 7 9 12 14 16 19 22 25 28 30 33 34 36 43 47 48 49 52

Número de puntos que forman cualquier segmento Este ángulo es más grande que uno recto pero más pequeño que uno llano Estas dos rectas no tienen puntos en común, pero además siempre son coplanares Este axioma justifica el hecho de que dos puntos siempre sean colineales Ángulo que mide 180° Estos segmentos tienen un punto (extremo) en común que está entre los otros dos Lo que debemos probar en un ejercicio Cada uno de los conjuntos en los que un punto divide una recta Éste ángulo mide más de 0° y menos de 90° Se dice de una relación que cumple las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva Solo si me demuestran lo creo Propiedad que permite cambiar el orden en que nombramos las figuras geométricas Subconjunto que no es igual al universal, o sea que al menos le falta un elemento del universal Figura formada por dos semirrectas con origen común Este ángulo es como pocas personas Conjunto linealmente ordenado, sin principio ni fin ni tampoco puntos consecutivos Ángulos cuya medida es cero grados Justifica el hecho de que tres puntos siempre sean copleares Solo realizando muchos podrás aprender Otro nombre para los ángulos opuestos por el vértice Este pequeño elemento es capaz de dar origen a todas las figuras geométricas Lo que debes hacer aunque en un principio creas que no podrás ¡SI PODRAS!


UNIDAD 2

SEGMENTOS Y ANGULOS

En esta primera parte del módulo, correspondiente a los elementos básicos de geometría, segmentos y planos debes tener presente los postulados sobre punto, recta y plano; así como los teoremas y corolarios relacionados con la adición y resta de segmentos y ángulos adyacentes. Elementos para recordar: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

axioma de existencia del espacio segmento de recta medida de segmentos segmentos congruentes punto medio de un segmento segmentos adyacentes suma de segmentos axioma de medida de ángulos clasificación según su medida bisectriz de un ángulo ángulos adyacentes suma de ángulos ángulos complementarios ángulos suplementarios par lineal ángulos opuestos por el vértice mediatriz de un segmento


1. Encontrar la medida del suplemento de cada uno de las siguientes ángulos: 100 , 80 , n , 140, (180n).

                      

Recordemos que el suplemento de un ángulo es un ángulo cuya medida es tenemos:

por lo tanto

-

90 +

2. Dados dos ángulos suplementarios, si uno de ellos mide 30° más que el otro, ¿cuánto mide cada uno?

 

suplementarios

                180°

2

2 2

180° - 30°

3. Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a cinco veces la medida de su suplemento. Recordar: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180° -

              180

= 5veces

180

4. Si la medida del complemento de un ángulo es un tercio de la medida del suplemento del ángulo, ¿cuál es la medida del ángulo?. Recordar: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90° Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180° El presente ejercicio podemos solucionarlo generando dos ecuaciones con dos incógnitas y aplicando los métodos de sustitución o igualación

Unidad dos, segmentos y2 ángulos, Página 8 de 27

                    

Si el resultado obtenido en

lo remplazamos en

obtenemos que

5. Sean OA, OB, OC y OD semirrectas coplanares, tales que AOB=COD y Demostrar que tanto OA y OC como OB y OD, son semirrectas opuestas.



BOC=DOA.

Recordar que dos semirectas opuestas forman un ángulo de 180°

                      ⃗  ⃗        

Dividiendo en ambos términos de la igualdad por 2

GRAFICA 13

os

= 180

20. Sean OX y OY las bisectrices de dos ángulos agudos adyacentes AOB y BOC, tales que BOCAOB=36. Sea OZ la bisectriz del XOY. Calcular el ángulo que hace OZ con: a. La semirrecta OB. b. La bisectriz OK del AOC.

       ⃗  Bisectriz de


                                 Hallar

=

=

–

=

=

=

⃗      ⃗    GRAFICA 14 bisectriz de

la solución del literal b. Se deja al estudiante

Bisectriz de BOC

21. Sean OX y OY semirrectas opuestas. En un mismo semiplano se trazan las semirrectas OA y OB y las bisectrices de los ángulos XOA, AOB y BOY. Calcular las medidas de los ángulos, cuando la bisectriz del ángulo AOB es perpendicular a la recta XY y si las bisectrices de los ángulos extremos forman un ángulo de 100 . 1. 2. 3. 4.

⃗  ⃡            ⃗                            

definición de directriz

5. 2

reemplazando

6. 2 GRAFICA 15

22. Las semirrectas consecutivas OA, OB, OC, OD y OE forman cinco ángulos adyacentes consecutivos. Calcular dichos ángulos si los cuatro primeros son entre sí como 1, 2, 3, 4 y además OD es la prolongación de la bisectriz del AOB. 1.

̂ ̂    ⃗ 


Bisectriz

  {   ⏟        

2. Datos

3.

4.

GRAFICA 16 5.

+

           

23. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que: OB = (4OA+ 3OC)/7

1.

        4

4

2.

3.

4.

⃗

- 3

=3

Por propiedad de las igualdades

= 0

    ( ) () 4

=?

-3

=0

Resta de segmentos

       

Reemplazando

  en

Propiedad de las igualdades


24. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/m) = (BC/n). Demostrar que: OB = (n OA+ m OC)/(n + m) Al igual que el ejercicio anterior ejercicio partamos de

Nuevamente

  

()() () ()     (       )() ()( ()())(  ) () () ()      (  )  ()  –


EJERCICIOS UNIDAD 2

1.

Si BXC=45 y CXD=85, ¿cuánto mide el BXD si: a. C es interior al BXD? b. C es exterior al BXD?

2.

Grafica 9

Grafica 10

Observa la gráfica y resuelve el problemA

Observa la gráfica y resuelve el problema

Determinar la medida del complemento de cada uno de los siguientes ángulos: 20, 60, 35, x, (90  n), 40.

Completa la tabla θ

 es complemento de θ  = 90°- θ

20° 60° X° 90°-n° 40°


3.

Encontrar la medida del suplemento de cada uno de las siguientes ángulos: 100, 80, n, 140, (180n).

θ

Completa la tabla  es suplemento de θ  = 180°- θ

100° 80° n° 180°-n° 140° 180°-n° 4. Si un ángulo mide el doble de su suplemento, encontrar su medida.

Para resolver el ejercicio debes tener presente como palabras claves: el doble y el suplemento

5.

Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a cinco veces la medida de su suplemento.

Para resolver el ejercicio debes tener presente como palabras claves: cuatro veces doble y el suplemento


6.

Cuatro veces la medida de un ángulo es 60 más que dos veces la medida de su suplemento. ¿Cuánto mide el ángulo?.

Interpreta y resuelve el problema identificando las palabras claves

7.

Uno de los ángulos de un par vertical (ángulos opuestos por el vértice) mide 128 . Encontrar la medida de los otros tres ángulos que se forman. Grafica 11

8.

Observa la gráfica y resuelve el problema

Cuatro semirrectas consecutivas OA, OB, OC y OD forman ángulos tales que DOA=COB=2AOB y COD = 3 AOB. Calcular las medidas de tales ángulos y demostrar que las bisectrices de AOB y COD están en línea recta. Grafica 12

Observa la gráfica y resuelve el problema teniendo presente los conceptos y definiciones sobre ángulos.


9. Las semirrectas OA y OB forman con la semirrecta OX los ángulos  y  . Probar que la bisectriz OC del AOB forma con OX un ángulo (+) / 2 con > Grafica 13

Observa la gráfica y resuelve el problema teniendo presente los conceptos y definiciones sobre ángulos.

10.

Dados A-B-C tal que M es punto medio de BC. Demostrar que AM = (AB+AC)/2 Completa la información y argumenta tu respuesta.

Grafica 14

      

 

 

 

   

 

 

   


11. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que: OB = (4 OA+ 3 OC)/7 Grafica 15

Completa la información y argumenta tu respuesta.

 



 

    ̅  ̅ )  ( ̅   ( ) ̅      ̅      ̅      ̅      ̅   ̅   ̅   ̅  

̅     

12. Sean A-B-C-D tales que M punto medio de AB, N punto medio de CD. Demostrar que: MN = (AC + BD)/2

Grafica 16

Debes determinar la Hipotesis y la tesis, luego completa la razon.


AFIRMACION 1 2

   

3 4 5 6 7

13.



   

  

RAZON





                     

     

(   )  (  ) 

 

   

Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/m) = (BC/n). Demostrar que: OB = (n OA+ m OC)/(n + m)

Grafica 17



̅ 



̅ 

̅ )  ( ̅ )  (


̅  ̅)  ( ̅  ̅)  ( ̅ )  ( ̅ )  ( ̅ )  ( ̅ )  ( ̅ )  ( ̅ )  ( ̅ )  ( ̅ )  ( ̅ )  ( ̅ )  ( ̅ )  (  )(

 ̅ 

̅ ̅ ) ()  ( 


14. Dados los puntos P,Q,O,R y S colineales con O punto medio de PS y QR demostrar que PR es congruente con QS Grafica 18

̅  ̅    ̅  ̅   ̅  ̅  ̅  ̅     ̅  ̅  ̅ ̅  ̅  Debes determinar la Hipotesis y la tesis, luego completa la razon.

15.

Sean A-B-C y D-H-E tales que AB=DH y BC=HE demostrar que AC=DE Grafica 19

1. 2. 3. 4. 5.

̅  ̅  ̅  ̅  ̅  ̅   ̅  ̅  ̅  ̅  ̅  ̅ 



EJERCICIOS UNIDAD 2.SEGMENTOS Y ÁNGULOS 1.

Si  BXC=45° y  CXD=85°, ¿cuánto mide el  BXD si: a. C es interior al  BXD? b. C es exterior al  BXD? 2. Determinar la medida del complemento de cada uno de los siguientes ángulos: 20°, 60°, 35°, x°, (90 - n)°, 40°. 3. Encontrar la medida del suplemento de cada uno de las siguientes ángulos: 100°, 80°, n°, 140°, (180-n)°. 4. Dados dos ángulos suplementarios, si uno de ellos mide 30° más que el otro, ¿cuánto mide cada uno?. 5. Si un ángulo mide el doble de su suplemento, encontrar su medida. 6. Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a cinco veces la medida de su suplemento. 7. Cuatro veces la medida de un ángulo es 60° más que dos veces la medida de su suplemento. ¿Cuánto mide el ángulo?. 8. Si la medida del complemento de un ángulo es un tercio de la medida del suplemento del ángulo, ¿cuál es la medida del ángulo?. 9. Uno de los ángulos de un par vertical (ángulos opuestos por el vértice) mide 128°. Encontrar la medida de los otros tres ángulos que se forman. 10. Sean OA, OB, OC y OD semirrectas coplanares, tales que  AOB=  COD y  BOC=  DOA. Demostrar que tanto OA y OC como OB y OD, son semirrectas opuestas. 11. Cuatro semirrectas consecutivas OA, OB, OC y OD forman ángulos tales que  DOA =  COB=2  AOB y  COD = 3  AOB. Calcular las medidas de tales ángulos y demostrar que las

12.

13.

14.

15.

16.

bisectrices de  AOB y  COD están en línea recta. Sean OX y OY las bisectrices de dos ángulos agudos adyacentes  AOB y  BOC, tales que  AOB -  BOC=36°. Sea OZ la bisectriz del  XOY. Calcular el ángulo que hace OZ con: a. La semirrecta OB. b. La bisectriz OK del  AOC. Las semirrectas OA y OB forman con la semirrecta OX los ángulos  y  . Probar que la bisectriz OC del  AOB forma con OX un ángulo (  +  ) / 2 , si X es exterior a el  AOB y a la semidiferencia si es interior. Sean OX y OY semirrectas opuestas. En un mismo semiplano se trazan las semirrectas OA y OB y las bisectrices de los ángulos  XOA,  AOB y  BOY. Calcular las medidas de los ángulos, cuando la bisectriz del ángulo  AOB es perpendicular a la recta XY y si las bisectrices de los ángulos extremos forman un ángulo de 100°. Las semirrectas consecutivas OA, OB, OC y OD forman cuatro ángulos adyacentes consecutivos que son entre sí como 1, 2, 3, 4. Calcular dichos ángulos y los ángulos adyacentes consecutivos formados por sus bisectrices. Las semirrectas consecutivas OA, OB, OC, OD y OE forman cinco ángulos adyacentes consecutivos. Calcular dichos ángulos si los cuatro primeros son entre sí como 1, 2, 3, 4 y además OD es la prolongación de la bisectriz del  AOB.


EJERCICIOS SOBRE SEGMENTOS (Recopilados por: Carlos Ríos)

17. Determine cuales de las siguientes afirmaciones son falsas y cuales verdaderas y justifique su respuesta. a. Dos rectas son congruentes si y solo si tienen igual longitud. b. Dos rectas son congruentes si y solo si coinciden todos sus puntos. c. Dos rectas no pueden ser congruentes. d. Si M Є AB y AM  MB , entonces M es el punto medio de AB. e. Si AB  AC  BC entonces A-B-C

f. Dados A-B-C-D entonces AD  AC  BD g. Si AB  CD , entonces AB = CD 18. Dados A-B-C-D y O punto medio de AD y

25. Dados A-B-C-D con que

AD 

nAB



OX 

26. Dados O-A-B-C demuestre que

OB 

con

que

21. Dados A-B-C-D que

AC 



AO

2

con 2BC = CD demuestre

2 AB  AD 3

22. Dados A, B, C, D colineales, con demuestre que

AD 

7 AB  4 AC 3

BD 4

CD 

7

, analice las

posibilidades.

23. Dados O-A-B-C con 4 AB = 5 BC demuestre que

OB 

4OA  5OC 9

24. Dados O-A-B-C que

OB 

con

AB

7

BC 

8

nm

M de un segmento AB a un punto K sobre la prolongación del segmento, es igual a la semisuma de las distancias de los extremos del segmento al punto K, y a la semidiferencia si es K esta sobre el segmento.

2

OB

n AB = m BC

27. Demuestre que la distancia del punto medio

OA  OB

OX 

demuestre

nOA  mOC

20. Dados A-O-X-B con X punto medio de AB Demuestre

n

nm

demuestre que AB  CD y que AC  BD 19. Dados O-A-X-B con X punto medio de que

m

CD 

mAC

BC

AB Demuestre

BD

demuestre

8OA  7OC 15


TALLER N°1- SEGMENTOS

01

Dados      tal que  es punto medio de . Demostrar que ̅   ̅  ̅ 

02

Se tienen los puntos      colineales en dicho orden, sean ,  y  los puntos medios de los segmentos     respectivamente. Si AB mayor que BC demostrar que: ̅  

03

̅  ̅

̅ 

̅  ̅





̅     ̅  Se tienen los puntos O-A-B-C colineales en dicho orden tales que  demostrar que: ̅    ̅    ̅  

04

̅     ̅  Se tienen los puntos O-A-B-C colineales en dicho orden tales que  demostrar que ̅    ̅    ̅    

05

̅   , Se tienen los puntos O-A-B colineales en dicho orden tales que  ̅    determinar el valor del segmento cuya medida  ̅    debe  cumplir que ̅   ̅   ̅  

06

̅   ̅ Se tienen los puntos A, B, C, y D colineales en dicho orden. Si  demostrar que: ̅  

07



̅    ̅  Dados los puntos A, B, C y D colineales en dicho orden. Si  demostrar que: ̅  

08

̅  ̅ 

̅  ̅  

̅   y  ̅  Las distancias de dos puntos A y B a un punto O entre ellos son  ̅   ̅   ̅   y con      hallar la distancia ̅   si se cumple 


09

Dados los puntos  , y  colineales y en dicho orden tales que  es punto ̅ y  es punto medio de  ̅ . Demostrar que  ̅ medio de   ̅  ̅

10

̅  ̅   y AB > BC. si , Sean    puntos colineales en dicho y orden y  ̅ ̅ y ̅ respectivamente. Demuestre que N y P son punto medio de  ,  ̅   . 

11

Demuestre que la distancia del punto medio M de un segmento AB a un punto K sobre la prolongación del segmento, es igual a la semisuma de las distancias de los extremos del segmento al punto K.

12

̅  ̅. Sea  el punto Sean    puntos colineales en dicho orden tal que  ̅ . Demostrar que la medida del segmento ̅ es igual a  ̅  ̅⁄ medio de 

13

̅ . Demostrar que la medida del Sean        con  punto medio de  ̅  ̅⁄. segmento ̅ es igual a  

14

Dados M - N - O - P puntos colineales y OP =

1

a

MP =

1

b

NP ,

demostrar que

a NO  b MO ba

15

Sobre un segmento se dan los puntos A-O-B-C tales que 2OC=3BC Demostrar que se cumple AC = 3AB – 2AO

16

Dados A  B  C  D , M y

N son

los puntos medios respectivos de AB y CD .

Demostrar que MN



MD  MC 2

17

Dados los puntos M, N, R y S, colineales en el orden enunciado, tales que A es punto medio de MN y B es punto medio de RS. Demostrar que: 2AB = MR + NS

18

Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que: OB = (4OA+ 3OC)/7

19

En una recta sean los puntos consecutivos A, B, C, D y E; tal que F sea el punto medio de AB y G punto medio de DE. Además AB =BC y CD = DE. También AB + DE = 10. Calcular FG.


20

Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C, y D, de tal manera que: a AB + BC = 2BM. Calcular la longitud del segmento MC, si M es el punto medio de AB y DC=BC


TALLER N°2- ANGULOS

1.

Las semirrectas

OA y OB forman

Probar que la bisectriz exterior al 2.

con la semirrecta

OC del  AOB forma

con

OX lo

OX un

ángulos  y  .   

ángulo

2

; si

OX

 AOB .

Las semirrectas

OA y OB forman

Probar que la bisectriz interior al  AOB .

con la semirrecta

OC del  AOB forma

con

OX lo

OX un

ángulos  y  .  

ángulo

; si

OX

es

3.

Dados los ángulos adyacentes y consecutivos POQ, QOR y ROS tales que QOR = 4 ROS demostrar que POQ = 5POR – 4 POS

4.

En los ángulos consecutivos    se cumple que      , además,     . Determine  .

5.

Dadas dos semirrectas opuestas ⃗ y ⃗ y 5 semirrectas ⃗, ⃗, ⃗, ⃗ y ⃗ ⃡ , si ⃗ es la bisectriz situadas en un mismo semiplano con respecto a la recta  ⃗ es bisectriz de  AOB y  ⃗ bisectriz de  BOY . de  AOX ;  Tal que  DOY es el doble de  DOX y  EOC  110º . Hallar las medidas de los ángulos ,  AOB y  BOY .

6.

Dados tres ángulos adyacentes y consecutivos AOB, BOC y COD tales que:        Demostrar que:   

 

7.

En los ángulos adyacentes suplementarios  y  se traza la bisectriz ⃗ del  . Calcular , si   

8.

Dados tres ángulos adyacentes y cuyos lados extremos son semirrectas opuestas, si los dos primeros son como 3:4 y las bisectrices del segundo y el tercero forman un ángulo de 60°, calcular la medida de cada ángulo.


9.

Se tienen tres ángulos consecutivos cuyos lados extremos son semirrectas opuestas, el primero y el tercero son como dos a tres y sus bisectrices forman un ángulo de 130º, calcular la medida de los ángulos.

10.

Desde el punto O sobre la semirrecta XOY se trazan las semirrectas OA y OB en un mismo semiplano y las bisectrices de los ángulos XOA, AOB y BOY. Halle las medidas de los ángulos, sabiendo que la medida del ángulo YOB es igual a la medida del ángulo XOA y que las bisectrices de los ángulos extremos forman un ángulo de 100 grados

11.

Cuatro semirrectas consecutivas OX , OY , OZ y OW forman ángulos tales que Calcular las medidas de tales WOX   ZOY  2 XOY Y  ZOW  3XOY . ángulos y demostrar que las bisectrices de  XOY y  ZOW están en línea recta.

12.

En los ángulos consecutivos    se cumple que      y   . Calcular .

13.

⃗ bisectriz En los ángulos adyacentes suplementarios  y  se trazan  ⃗ bisectriz del . Hallar , si    . del  y 

14.

Indicar el menor de dos ángulos si su suma es 47° y la diferencia de sus complementos es igual a 9°.

15.

Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3 a 5. Calcular la medida del ángulo menor.

16.

Sean los ángulos adyacentes AOB y BOC, tales que AOB-BOC=40° sean OX y OY bisectrices de los ángulos AOB y BOC respectivamente. Sea OZ la bisectriz del ángulo XOY. Hallar la medida del ángulo que hacen OZ y OB.

17.

Un ángulo llano es dividido en cinco ángulos consecutivos cuyas medidas se encuentran en progresión aritmética. Calcular la medida del ángulo mayor, sabiendo que éste es igual al cuadrado del ángulo menor.

18.

Los ángulos consecutivos  y  su diferencia es , se traza ⃗ bisectriz del  . Hallar .


19.

El suplemento del complemento del suplemento de la medida de un ángulo es igual a ocho veces la medida del ángulo. Encontrar el suplemento del triple de la medida del ángulo.

20.

En los ángulos consecutivos     se cumple que          . Calcular .


Unidad 2 Segmentos y Angulos

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