Actividades Geometría Unidad 2
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Actividad 2: Ángulos y Triángulos
I.
Demuestra los siguientes enunciados: 1.
Demostrar que la mediatriz de la hipotenusa de un triángulo rectángulo corta en segmentos congruentes a la hipotenusa.
Por definición, la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular trazada al segmento por su punto medio; y todo punto medio divide a un segmento en dos segmentos congruentes entre sí. La hipotenusa de todo triángulo rectángulo es uno de los tres segmentos que lo forman. Por lo tanto, la mediatriz del segmento hipotenusa, divide a éste en dos segmentos congruentes. ̅ , M es el punto medio de ̅ si ̅ ≅ ̅ ; con A – M – B. Dado un segmento
̅ Sea el triángulo rectángulo ∆
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Demostración. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es un segmento, su mediatriz pasa por su punto ̅ , en dos segmentos congruentes ̅ ≅ medio, el punto medio divide al segmento ̅ es la hipotenusa del triángulo rectángulo ∆ ̅ ̅ , como el segmento , entonces la hipotenusa queda divida en dos segmentos congruentes.
2.
Demostrar que, en todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo exterior opuesto a la base es paralela a esta base.
̅ Sea el triángulo isósceles ∆ .
1) ∡ + ∡ + ∡ = 180
La suma de los ángulos interiores todo triángulo es de 180º.
2) ∡ = ∡
Por ser un triángulo isósceles,
3) ∡ + ∡ + ∡ = 180
sustituyendo el valor del ángulo ∡ en 1),
4) 2∡ + ∡ = 180
reduciendo términos semejantes,
5) 2∡ + ∡ − ∡ = 180 − ∡
restando el ángulo ∡ a cada miembro de la igualdad,
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Título Subtítulo 6) 2∡ = 180 − ∡ 7) ∡ = 90 −
reduciendo términos semejantes, dividiendo la ecuación 6) entre 2,
∡
8) ∡ + ∡ + ∡ = 180
porque juntos forman un ángulo llano,
9) ∡ = ∡
̅ es debido a que el segmento bisectriz del ángulo ∡ , y divide a éste en dos ángulos iguales.
10) ∡ + ∡ + ∡ = 180
sustituyendo el valor de ∡ en 5),
11) 2∡ + ∡ = 180
reduciendo términos semejantes,
12) 2∡ + ∡ − ∡ = 180 − ∡
restando el ángulo ∡ a cada miembro de la igualdad,
13) 2∡ = 180 − ∡
reduciendo términos semejantes,
14) ∡ = 90 − 15) ∡ = 90 −
dividiendo la ecuación 13) entre 2,
∡ ∡
= ∡
Aplicando la propiedad transitiva de la igualdad con 14) y 7),
16) ∡ = ∡
̅ interseca a las rectas ̅ y ̅ , y como los ángulos ∡ Debido a que el segmento y ∡ son congruentes, por ser alternos internos; entonces, necesariamente, la ̅ del ángulo exterior opuesto a la base es paralela a esta base. bisectriz
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II.
Resuelve los siguientes ejercicios y justifica. 3.
Dadas dos rectas paralelas y un punto en el “interior” de ambas rectas, hallar un triángulo que tenga un ángulo de 60° y para el cual el punto es uno de sus vértices, una de las rectas es una altura y la otra es una mediatriz.
Una recta paralela a la mediatriz de un triángulo, y que al mismo tiempo represente su altura, es también perpendicular a la misma base de la cual parte la mediatriz. Sea el triángulo ∆ABC, la mediatriz divide a la base por su punto medio en dos segmentos congruentes ̅ ≅ ̅ , como el ángulo que forma la mediatriz con respecto a la base mide 90º, y uno de los ángulos del triángulo debe de medir 60º; entonces, el triángulo resultante es un triángulo equilátero.
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Título Subtítulo 4.
Dado un segmento trazar un triángulo rectángulo para el cual dicho segmento sea la hipotenusa y los ángulos agudos sean respectivamente de 30° y 60°.
Tomando a la hipotenusa como medida de cada lado, se traza un triángulo equilátero ∆ABC; por definición, la medida de sus ángulos interiores de in triángulo equiláteros es de ̅ , la misma recta divide al ángulo 60º. Posteriormente, se traza la mediatriz a la base opuesto a la base en dos ángulos congruentes de 30º cada uno. Finalmente, quedan trazados los triángulos congruentes ∆BCD y ∆ABD, por tener ángulos congruentes y el lado ̅ en común, cuyos ángulos agudos son respectivamente de 30° y 60°.
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Título Subtítulo 5.
Sean los ángulos ∢, y ∢ tales que AB EF y 145°, hallar la medida de hallar la medida del ∢
AC DE . Si
m( ∢ ) =
Tal como se observa en el gráfico, la m( ∢ ) = 145°, el segmento AB EF y AC DE . Lo que si obtiene, de acuerdo a las condiciones previamente establecidas, es el ángulo ∢. Por lo tanto, tal como se observa en el trazo del problema, no existe una relación coherente que permita hallar la medida del ángulo ∢.
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Título Subtítulo 6.
̅ ≅ ̅ y ̅ ≅ ̅, ̅ ≅ En el triángulo ̅. Determina la medida del ángulo x.
Los triángulos ∆ ACD, ∆ ABC y ∆ ABD, son isósceles, por tener un par de lados congruentes entre sí. Por lo tanto, se pueden establecer las siguientes igualdades que permitirán la resolución del problema: 1) ∡ = ∡ 2) ∡ = ∡ 3) ∡ + ∡ = ∡
Por ser el triángulo ∆ABD isósceles. Por ser el triángulo ∆ACD isósceles. Por ser el triángulo ∆A BD isósceles.
Con el propósito de simplificar los cálculos, los ángulos se sustituirán por las siguientes letras: ∡ = , ∡ = , ∡ = , ∡ = , ∡ = , ∡ =
1) a = 180 − 2b 2) c = 180 − 2d 3) b = 180 − b − c − d 4) b + b + c + d = 180 5) 2b + c + d = 180 6) a + d = 180 7) d = b + c 8) c = 180 − 2(b + c) 9) c = 180 − 2b − 2c 10) a + b + c = 180 11) 2b + c + b + c = 180 12) 3b + 2c = 180 13) 180 − 2b + b + c = 180 14) 180 − b + c = 180 15) c = 180 − 180 + b 16) c = b 17) b = 180 − 2b − 2b
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Trasponiendo términos en 3). Reduciendo términos semejantes. Por ser ángulos suplementarios. Sustituyendo el valor d en 2). Efectuando la operación indicada en 8). Sustituyendo el valor de d en 6) Sustituyendo el valor de d en 5) Reduciendo términos semejantes. Sustituyendo el valor de a en 10) Reduciendo términos semejantes. Trasponiendo términos para determinar el valor de c. Reduciendo términos semejantes. Sustituyendo el valor de c en 9).
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18) b + 2b + 2b = 180 19) 5b = 180 20) b = 36
Trasponiendo términos para determinar el valor de c. Reduciendo términos semejantes. Dividiendo ambos miembros de la igualdad entre 5.
Finalmente, como m∡ = = 36°, entonces m∡ = 36°. REFERENCIAS BILIOGRÁFICAS. Clemens, S. R. (1998). Geometría. Ciudad de México, D. F.: Addison Wesley Longman. Moise, E. E. (1970). Geometría Moderna. Ciudad de México, D. F.: Fondo Educativo Interamericano. Rich, B. (1997). Geometría (2ª ed.). Ciudad de México, D.F.: McGraw-Hill.
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