Unidad 2. Fuerzas internas, esfuerzos y deformaciones axiales

Unidad 2. Fuerzas internas, esfuerzos y deformaciones axiales. Ing. Ana Isabel Rosado Gruintal, M.I.

Contenido • Competencia • Fuerzas internas en armaduras.  Definición de armadura plana.  Grado de indeterminación.  Método de nodos.  Método de las secciones. • Teoría de la elasticidad lineal.  Definición de elasticidad.  Ley de Hooke.  Diagramas esfuerzo-deformación.  Módulo de elasticidad.  Módulo de cortante. • Esfuerzos y deformaciones axiales.  Deducción de las ecuaciones de esfuerzo y deformación por carga axial.  Cálculo de área y centroide de secciones planas.  Cálculo de esfuerzos y deformaciones por carga axial • Bibliografía

2

Competencia • Determina las fuerzas internas axiales, esfuerzos y deformaciones en elementos estructurales, utilizando los principios de la mecánica.

3

Fuerzas internas en armaduras. • Definición de armadura: Estructura formada por elementos estructurales dispuestos en forma de uno o mas triángulos; conectados entre sí por medio de pasadores sin fricción (el triangulo es la única forma estable).

4

Definición de armadura plana. Hipótesis para el análisis de armaduras: • Los elementos están conectados por pasadores sin fricción. • Lo elementos de la estructura son rectos para evitar los momentos flexionantes. • El desplazamiento de la armadura es pequeño. • Las cargas se aplican solo en los nudos. El efecto de las hipótesis anteriores es producir una armadura ideal, cuyos elementos trabajen solo a fuerzas axiales figura a) y b); no esta presente el momento flexionante c). 5

Definición de armadura plana Hipótesis para el análisis de armaduras: • Los elementos están conectados por pasadores sin fricción. • Lo elementos de la estructura son rectos para evitar los momentos flexionantes. • El desplazamiento de la armadura es pequeño. • Las cargas se aplican solo en los nudos. El efecto de las hipótesis anteriores es producir una armadura ideal, cuyos elementos trabajen solo a fuerzas axiales figura a) y b); no esta presente el momento flexionante c). 6

Definición de armadura plana Elementos de una armadura: • Cuerdas.- Barras que forman el perímetro de la armadura; por ejemplo, las barras U1U2 y L4L5. • Verticales.- Barras que por su orientación dentro de la armadura reciben este nombre; por ejemplo, las barras U1L1 y U3L3. • Diagonales.- Barras que por su orientación dentro de la armadura reciben este nombre; por ejemplo, las barras U1L2 y L4U5. • Postes extremos.- Barras en los extremos de la armadura; por ejemplo, las barras L0U1 y U5L6.

7

Definición de armadura plana

8 Techos

Puentes

Grado de indeterminación. Las armaduras pueden ser indeterminadas externa o internamente. Indeterminación estática externa: GIE = 𝑟 − (𝑛 + 𝑐) Indeterminación estática interna: ocurre cuando el numero de miembros es mayor que el mínimo necesario para que la armadura sea estable. GIT = 𝑟 + 𝑏 − 2𝑗 b es el numero de barras j es el numero de nudos r es el numero de componentes de reacción GII = GIT − GIE

9

Grado de indeterminación. Tipo de Interminación

GIE = 𝑟 − (𝑛 + 𝑐)

GII = GIT − GIE (GIT = 𝑟 + 𝑏 − 2𝑗)

Grado de indeterminación

Condición estática

GIE = 0

• Isostática • Determinada • Estable

GIE > 0

• Hiperestática • Indeterminada • Estable

GIE < 0

• Hipostática • Inestable

GII = 0

• Isostática • Determinada • Estable

GII > 0

• Hiperestática • Indeterminada • Estable

GII < 0

• Hipostática • Inestable

10

𝐺𝐼𝐸 = 𝑟 − 𝑛 + 𝑐 = 3 − 3 + 0 = 0 Isostática Determinada Externamente

Armadura

r

b

j

Condición estática

3

3

3

𝐺𝐼𝑇 = 𝑟 + 𝑏 − 2𝑗 = 0 𝐺𝐼𝐼 = 𝐺𝐼𝑇 − 𝐺𝐼𝐸 = 0 Isostática Determinada Internamente

3

5

4


3

7

5


3

8

5

𝐺𝐼𝑇 = 𝑟 + 𝑏 − 2𝑗 =1 𝐺𝐼𝐼 = 𝐺𝐼𝑇 − 𝐺𝐼𝐸 =1 Hiperestática Indeterminada Internamente

3

4

4

𝐺𝐼𝑇 = 𝑟 + 𝑏 − 2𝑗 =-1 𝐺𝐼𝐼 = 𝐺𝐼𝑇 − 𝐺𝐼𝐸 =-1 Hipostática Inestable Internamente

11

Grado de indeterminación. Estructura

r

n

c

b

j

Condición estática 𝑟− 𝑛+𝑐 >0 𝐺𝐼𝐸 = 2 Hiperestática Indeterminada Externamente

5

3

0

17

10

𝑟 + 𝑏 − 2𝑗 > 0 𝐺𝐼𝑇 =2 𝐺𝐼𝐼 = 𝐺𝐼𝑇 − 𝐺𝐼𝐸 = 0 Isostática Determinada Internamente 𝑟− 𝑛+𝑐 =0 𝐺𝐼𝐸 = 0 Isostática Determinada Externamente

3

3

0

15

8

𝑟 + 𝑏 − 2𝑗 > 0 𝐺𝐼𝑇 =2 𝐺𝐼𝐼 = 𝐺𝐼𝑇 − 𝐺𝐼𝐸 =2 Hiperestática Indeterminada Internamente

12

Grado de indeterminación. • Tarea 2.1. Calcular el grado de indeterminación estática interna y externa de las siguientes armaduras. Determinar su estabilidad, condición estática e indeterminación internas y externas.

a)

b)

c)

13

Método de nodos Es aconsejable adoptar una convención de signos al analizar armaduras y usar consistentemente esta convención en todas las armaduras. • Se suponen que todas las fuerzas desconocidas en una armadura son de tensión. • Las fuerzas de tensión y compresión se indican con un signo mas y menos (+ y -) respectivamente. • Las flechas superpuestas sobre las barras indican la acción de la barra sobre los nodos.

14

Método de nodos • El nudo en una armadura se puede aislar completamente en un cuerpo libre que esta en equilibrio bajo la acción de las fuerzas aplicadas a él. • Las ecuaciones de equilibrio aplicables en cada nudo son: Σ𝐹𝑉 = 0

Σ𝐹𝐻 = 0 (2 ecuaciones , 2 incógnitas)

• Se aplica a nudos que no tengan mas de dos barras desconocidas. • Las fuerzas desconocidas siempre se consideran de tensión. 15

Método de nodos Los pasos a seguir para calcular las fuerzas internas en una armadura por el método de los nodos son los siguientes: 1.- Revisar si la estructura es estáticamente determinada 2.- Calcular los elementos que definan perfectamente la geometría de la estructura. 3.- Calcular las reacciones de la estructura. 4.- Calcular las fuerzas concurrentes en cada nodo: - Escogiendo los nodos en los que no existen más de dos fuerzas desconocidas. - Proponiendo un sentido para estas fuerzas que se quieren calcular. - Planteando dos ecuaciones de equilibrio en cada nodo y - Resolviendo el sistema de ecuaciones resultante. 5.- Representar los resultados en un diagrama. Desventajas: • Un error en alguno de los nodos produce resultados equívocos en los siguientes nodos. • Si se requiere conocer la fuerza generada en una barra específica, muy probablemente se tienen que calcular los valores de varias barras con anterioridad.

16

Método de nodos • Ejemplo 1.

17

Método de nodos • Ejemplo 2.

18

Método de nodos • Ejemplo 3. La siguiente armadura soporta una carga vertical P. Determinar el ángulo θ para que la máxima tensión no exceda 1.25 P y la máxima compresión no exceda 0.8 P.

19

Método de nodos • Tarea 2.2. • A) Calcular las fuerzas internas en cada una de las armaduras. Dibujar los diagramas de cuerpo libre de cada nodo.

20

Método de nodos • B) Los elementos AB y BC pueden soportar cada uno, una fuerza de compresión máxima de 800 lb, y los miembros AD, DC, y BD pueden soportar una fuerza de tensión máxima de 2000 lb. Si a=6 ft determinar la máxima carga P que la armadura puede soportar.

21

Método de las secciones • El método de los nodos es el mas eficiente cuando se deben determinar las fuerzas en todos los elementos de una armadura. Sin embargo, si solo se desea encontrar la fuerza en un numero muy reducido de elementos, el método de secciones es el mas eficiente. • Se desea determinar la fuerza U1L2 con el método de los nodos se deben analizar tres nodos como cuerpo libre.

22

Método de las secciones • Se selecciona como cuerpo libre a una porción mas grande de la armadura, compuesta por varios nodos y elementos. • Se pasa una sección a través de tres elementos de la armadura, de los cuales uno debe ser el elemento deseado, esto se obtienen dibujando una línea que divida la armadura en dos partes.

23

Método de las secciones • El hecho de que el cuerpo rígido U1L0L1 esta en equilibrio se puede expresar con tres ecuaciones, las cuales pueden resolverse para encontrar tres fuerzas desconocidas. • Las ecuaciones de equilibrio aplicables en cada sección son: Σ𝐹𝑉 = 0

Σ𝐹𝐻 = 0 Σ𝑀 = 0 (3 ecuaciones , 3 incógnitas)

24

Método de las secciones Los pasos que se requieren para resolver determinadas barras de una armadura por el método de las secciones son: 1.- Revisar si la estructura es estáticamente determinada. 2.- Calcular los elementos que definan perfectamente la geometría de la sección de estructura elegida. 3.- Definir la línea de corte: - Cortando las barras que se desean calcular. - No cortando más de tres barras. 4.- Seleccionar una de las dos partes en que queda dividida la armadura para trabajar. 5.- Calcular las reacciones de la estructura. 6.- Hacer un diagrama de cuerpo libre de la sección elegida, proponiendo sentidos a las fuerzas internas desconocidas (incógnitas). 7.- Plantear las ecuaciones de equilibrio necesarias y resolver el sistema.

25

Método de las secciones • Ejemplo 4: Determinar la fuerza interna en los elementos EF y GI de la armadura.

26

Método de las secciones • Ejemplo 5: Determinar la fuerza interna en los elementos BC y DF de la armadura.

27

Método de las secciones • Ejemplo 6: Determinar la fuerza interna en los elementos GF, FC y CD de la armadura.

28

Método de las secciones • Ejemplo 7: Determinar la fuerza interna en los elementos BC y MC. •

29

Método de las secciones • Tarea 2.3. • A) Determinar la fuerza en los elementos FH, GH y GI de la siguiente armadura.

30

Método de las secciones • Tarea 2.3. • B) Determinar la fuerza en los elementos IH, BC y BH de la siguiente armadura.

31

Fuerzas internas axiales en vigas • Viga.- Elemento estructural diseñado para soportar cargas que sean aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento. En la mayoría de los casos las cargas son perpendiculares al eje de la viga y únicamente ocasionaran corte y flexión. Cuando las cargas no formen ángulo recto con la viga, producirán fuerzas axiales en ella.

32

Fuerzas internas axiales en vigas • Las vigas se clasifican de acuerdo con la forma en que estén apoyadas. • Determinadas (𝐺𝐼𝐸 = 𝑟 − (𝑛 + 𝑐))

• Indeterminadas 33

Fuerzas internas axiales en vigas • Tipos de cargas:

Concentrada

Uniformemente distribuida

Momento

Variable

Combinación

34

Fuerzas internas axiales en vigas • Fuerza normal: la suma algebraica de las fuerzas externas que son paralelas al eje de la viga. Normalmente la fuerza normal se considera positiva si la suma de las fuerzas a la izquierda de la sección esta dirigida hacia la izquierda, la fuerza interna a la izquierda necesaria para el equilibrio esta dirigida hacia la derecha.

35

Fuerzas internas axiales en vigas

• El diseño de una viga requiere un conocimiento detallado de las variaciones de la fuerza normal N en cada punto a lo largo del eje de la viga.

• Las variaciones de N como una función de la posición x de un punto arbitrario a lo largo del eje se conoce como ecuaciones de fuerza normal. 𝑁 𝑥 = −𝑃 • Un diagrama de fuerzas normales es una gráfica que muestra las magnitud de la fuerza a lo largo de la viga.

36

Fuerzas internas axiales en vigas • Ejemplo 8. Calcular los diagramas y ecuaciones de fuerzas internas normales (axiales) de la siguiente viga.

37

Teoría de la elasticidad lineal. • Uno de los casos mas simples en la deducción de las ecuaciones para calcular la intensidad de los esfuerzos es, sin duda, el de una barra recta sometida a la acción de una carga axial asilada. • Su estudio logra facilitar tanto el entendimiento del concepto de esfuerzo como la transición para trabajar con él, en lugar de continuar haciéndolo con las fuerzas internas.

38

Definición de elasticidad. • Para establecer el tipo de comportamiento que presenta un material cuando se le somete a la acción de cargas, se utilizan los diagramas denominados esfuerzo–deformación unitaria, o simplemente diagramas esfuerzo-deformación. • Para generar un diagrama esfuerzo-deformación, es necesario llevar a cabo ensayes de laboratorio. En estos diagramas, las intensidades de los esfuerzos se grafican sobre el eje de las ordenadas y las deformaciones unitarias correspondientes, sobre el eje de las abcisas. • Se dice que un material es elástico, cuando posee la capacidad de recuperar completamente sus dimensiones originales al eliminar las causas que originaron su deformación.

39

Definición de elasticidad. • Cuando un material tiene un comportamiento elástico y existe una relación lineal entre los esfuerzos y las deformaciones unitarias correspondientes, se dice que el material es elásticolineal. • La mayoría de los materiales utilizados en la fabricación de estructuras, tiene un etapa inicial en la que se comportan linealmente elásticos.

40

Ley de Hooke. • La ley de Hooke establece la proporcionalidad entre los esfuerzos y las deformaciones unitarias correspondientes. En un diagrama esfuerzo-deformación, la ley de Hooke está representada por la parte recta. • El módulo de elasticidad de un material es la pendiente de la parte recta del diagrama esfuerzo-deformación.

𝜎 𝐸= 𝜀 41

Módulo de elasticidad. • La ecuación se conoce bajo el nombre de módulo de Young, modulo de elasticidad o simplemente módulo elástico. • Si la parte recta del diagrama esfuerzo-deformación es asintótica al eje de las abcisas estaríamos ante el caso de un material con poca rigidez (grandes deformaciones a niveles bajos de esfuerzo); por el contrario si la parte recta es asintótica al eje de las ordenadas el material sería clasificado como de mucha rigidez (deformaciones pequeñas a grandes niveles de esfuerzo).

42

Módulo de cortante. • La expresión equivalente de la ley de Hooke para los esfuerzos cortantes puede expresarse como: 𝜏 𝐺= 𝛾 • La ecuación se conoce bajo el nombre de módulo de elasticidad al cortante.

43

Diagramas esfuerzodeformación. • Un diagrama esfuerzo-deformación unitaria, posee una gran cantidad de información relacionada con las propiedades mecánicas de un material. Estas propiedades se obtienen mediante ensayes de laboratorio cuyos resultados se comparan con patrones previamente establecidos.

44

Diagramas esfuerzodeformación. • A continuación se muestra el diagrama esfuerzo-deformación de un acero con bajo contenido de carbono, obtenido mediante un ensaye a carga axial de tensión.

45

Diagramas esfuerzodeformación. • En la figura observamos que desde el origen de coordenadas hasta el punto de ordenada σp (llamado esfuerzo límite de proporcionalidad) el diagrama esfuerzodeformación es una línea recta de donde se deduce la Ley de Hooke. • El punto de ordenada σe (llamado esfuerzo limite de elasticidad) establece el valor del esfuerzo por encima del cual el material no es capaz de recuperar su forma original, aun cuando se elimine completamente toda la carga que sobre él actuaba. • El punto de ordenada σy (denominado como esfuerzo límite de fluencia), establece el valor del esfuerzo para el cual el material presenta un alargamiento considerable o fluencia sin el correspondiente aumento de la carga. • El punto de ordenada σu (conocido como el esfuerzo último) representa la máxima ordenada teórica de la curva esfuerzo-deformación. • El punto final de la curva representa el punto teórico de ruptura del material que ocurre para un esfuerzo teóricamente más bajo que el esfuerzo último (en realidad, el punto real de ruptura está por encima del esfuerzo último; su valor se obtiene dividiendo la carga de ruptura entre la magnitud real de la sección transversal al momento que esta se presenta).

46

Esfuerzos y deformaciones axiales. • Para que en la sección transversal de un elemento se desarrollen esfuerzos normales de intensidad uniforme, es necesario que la carga externa sea perpendicular a las secciones transversales y pase por el centroide de todas ellas. • Si se aplica una carga en el centroide de la sección transversal (carga axial) de un elemento, las fibras de él se deformarán la misma cantidad (estarán sometidas a estados simples de esfuerzo uniaxial). • Para el caso de esfuerzos normales, la ley de Hooke pude rescribirse como: 𝑃 𝜎 = 𝐸𝜀 = 𝐴 𝛿 𝑃 𝐸 = 𝐿 𝐴 𝑃𝐿 𝛿= 𝐴𝐸

47

Cálculo de esfuerzos y deformaciones por carga axial. • Las ecuaciones que permiten calcular la intensidad de los esfuerzos por carga axial y las deformaciones correspondientes están limitas para su aplicación: 1. La carga P debe ser axial (es decir, su recta de acción debe ser perpendicular a las secciones transversales del elemento y pasar por los centroides de todas ellas). 2. La barra debe ser homogénea. 3. La sección transversal del elemento debe ser uniforme. 4. El esfuerzo no debe sobrepasar el límite de proporcionalidad del material. 48

Cálculo de esfuerzos y deformaciones por carga axial. • Ejemplo 9. Calcular la dimensión de la sección transversal de la barra, si el esfuerzo máximo de tensión es de 250 MPa y la deformación total no debe ser mayor que 1 cm. Suponer E = 100 GPa.

49

Cálculo de esfuerzos y deformaciones por carga axial. • Ejemplo 10. Calcular la deformación total de la barra, conformada por tres barras concéntricas (los ejes de las tres barras están alineados), todas con secciones transversales circulares, si el modulo de elasticidad para todas ellas es E = 200 GPa.

50

Cálculo de esfuerzos y deformaciones por carga axial. • Ejemplo 11. La barra rígida AB tiene una masa de 1,000 kg. Está soportada por dos barras AC (acero) y BD (aluminio), cuyas secciones transversales son de 2 cm2 y 4 cm2, respectivamente. Determine la magnitud y la posición de la carga adicional P que se puede aplicar si la barra AB debe permanecer horizontal y si los esfuerzos axiales máximos son de 100 MPa (acero, E = 200x103 MPa) y 50 MPa (aluminio, E = 70x103 MPa).

51

Cálculo de esfuerzos y deformaciones por carga axial. • Ejemplo 12. La barra de acero (E = 200x103 MPa) con un diámetro de 30 mm está sometida a la carga mostrada. Determine el desplazamiento del extremo C con respecto al extremo A.

52

Cálculo de esfuerzos y deformaciones por carga axial. • Tarea 2.4 A) Una barra compuesta por tres secciones de bronce, aluminio y acero, soporta el sistema de fuerzas axiales en la posición que se muestra en la figura. Calcular el máximo valor de P, si la deformación total del elemento debe ser menor que 0.2 cm y los esfuerzos axiales en el bronce, aluminio y acero no deben exceder de 120 MPa, 80 MPa y 140 MPa, respectivamente. Considere los módulos elásticos del bronce E =83x103 MPa; del aluminio E = 70x103 y del acero 200x103 MPa.

53

Cálculo de esfuerzos y deformaciones por carga axial. • Tarea 2.4 B) Las barras rígidas AB y CD mostradas en la figura están apoyadas mediante pernos en A y en C y conectadas mediante las varillas mostradas. Determine la máxima fuerza P que puede aplicarse si el movimiento vertical del extremo de la barra CD está limitado a 4 mm. Desprecie los pesos de todos los elementos.

54

Cálculo de área y centroide de secciones planas. • Para el calculo de esfuerzo y deformación bajo carga axial, se debe cumplir que la carga pase por los centroides de todos los elementos. • La localización del centroide de un área plana es una importante propiedad geométrica del área. El centroide de un área se refiere al punto que define el centro geométrico del área. • Para definir las coordenadas del centroide, refirámonos al área A y al sistema de ejes coordenados xy. La siguiente figura muestra un elemento diferencial de área dA con coordenadas x y y, y el área total A.

55

Cálculo de área y centroide de secciones planas. • Las coordenadas x y y que definen la ubicación del centroide C se definen mediante las formulas: 𝑥𝑑𝐴

• 𝑥=

𝑦=

𝑑𝐴

𝑦𝑑𝐴

𝑑𝐴

• Los numeradores de estas ecuaciones son formulaciones del primer momento de área, los denominadores representan el área total de la figura. • 𝑄𝑥 = • 𝐴= • 𝑥=

𝑦𝑑𝐴

𝑄𝑦 =

𝑥𝑑𝐴

𝑑𝐴 𝑄𝑦 𝐴

𝑦=

𝑄𝑥 𝐴

56

Cálculo de área y centroide de secciones planas. • Los primeros momentos de un área también son útiles para determinar los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas transversales. • Si un área es simétrica respecto a un eje, el centroide estará en tal eje, ya que el primer momento respecto a un eje de simetría es igual a cero

57

Cálculo de área y centroide de secciones planas. • Si un área tiene dos ejes de simetría, la posición del centroide puede determinarse mediante la intersección de los ejes de simetría.

• Un área que es simétrica respecto a un punto, no tiene ejes de simetría pero hay un punto tal que cualquier línea del área que pase por ese punto será simétrica al mismo. El centroide coincide con el centro (punto) de simetría. 58

Cálculo de área y centroide de secciones planas. • Centroide de áreas compuestas. • A menudo un área puede seccionarse o dividirse en varias partes que tienen figuras mas simples. Siempre que se conozca el área y la ubicación del centroide de cada una de estas figuras compuestas, es posible evitar integrar para determinar el centroide de toda el área. 𝐴𝑖 𝑥𝑖 𝐴𝑖

• 𝑥=

• 𝑄𝑦 = • 𝑥=

𝑄𝑦 𝐴

𝐴𝑖 𝑥𝑖

𝑦=

𝐴 𝑖 𝑦𝑖 𝐴𝑖

𝑄𝑥 = 𝑦=

𝐴𝑖 𝑦𝑖 𝑄𝑥 𝐴

59

Cálculo de área y centroide de secciones planas. • Procedimientos para calcular el centroide de un área compuesta: 1. Se descompone el área en formas geométricas simples para las cuales se conocen los centroide . 2. Se escogen los ejes de referencia vertical y horizontal, a partir de los cuales se hacen todas las medidas. 3. Se determinan 𝑥 y 𝑦 de las áreas elementales.

60

61

Cálculo de área y centroide de secciones planas. • Ejemplo 13. Calcular el área, los primeros momentos de área y el centroide de las siguientes figuras.

62

Cálculo de área y centroide de secciones planas. • Ejemplo 14. Calcular el área, los primeros momentos de área y el centroide de la siguiente figura compuesta.

63


64


65


66

Cálculo de área y centroide de secciones planas. • Tarea 2.5 A. Calcular el área, los primeros momentos de área y el centroide de la siguiente figura compuesta.

67

Cálculo de área y centroide de secciones planas. • Tarea 2.5 B. Calcular el área, los primeros momentos de área y el centroide de la siguiente figura compuesta. • a=5

68

Cálculo de área y centroide de secciones planas. • Tarea 2.5 C. Calcular el área, los primeros momentos de área y el centroide de la siguiente figura compuesta.

69

Bibliografía • Beer, F. E., Johnston, J. y De Wolf, D. M. (2013). Mecánica de Materiales. México: Mc Graw Hill. • Fitzgerald (2010).Mecánica de Materiales. México: Alfaomega. • Singer, F. L. Pytel, A., “Resistencia de Materiales”, 4a Edición, Alfaomega Grupo Editor. México, 1994. • Popov, E. P., “Mecánica de Sólidos”, 2ª Edición, Editorial Pearsons Educación, México, 2000. • Gere, J. M., “Mecánica de Materiales”, 6ª Edición, Thomson Learning. México, 2006. • Riley, W. F., Sturges, L. D., “Mecánica de Materiales”, Limusa Wiley. México, 2001. • Ortiz, B. L., “Resistencia de Materiales”, 1ª Edición, McGraw Hill Interamericana de España, 1991.

70

Unidad 2. Fuerzas internas, esfuerzos y deformaciones axiales

Recommend Documents