Unidad 3. Fuerzas internas, esfuerzos y defor deformaciones maciones torsionantes. Ing. Ana Isabel Rosado Gruintal, M.I.
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Competencia Fuerzas internas torsionantes en barras y vigas. Diagramas de las fuerzas internas de torsión. Ecuaciones de las fuerzas internas de torsión. Esfuerzos y deformaciones torsionantes. Deducción de las ecuaciones de torsión. Moment Momento o polar de inercia de secciones planas. Cálculo de esfuerzos y deformaciones por torsión en secciones circular circulares. es. Cálculo de esfuerzos por torsión en secciones no circulares. Alabeo de vigas.
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Competencia •
Determ Dete rmin ina a la lass fu fuer erzzas in inte tern rnas as to torrsi sion onan ante tes, s, es esfu fuer erzzos y defo de forma rmaci cion ones es en el elem emen ento toss es estr truc uctu turral ales es,, ut util iliz izan ando do lo loss principios de la mecánica.
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Fuerzas torsionantes en barras y vigas. •
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En la unidad anterior se presento el método de análisis para dete de term rmin inar ar lo loss es esfu fuer erzzos y la lass de deffor orma maci cion ones es en ba barr rras as cargadas axialmente. En es estta un unid idad ad se de defi fini nirrán la lass re rellac acio ione ness an anál álog ogas as pa parra elementos sometidos a momentos de torsión respecto a sus ejes longitudinal longitudinales. es. Se estudiarán elementos de sección circular maciza y tubular utilizando los conceptos de mecánica de materiales. Para los elem el emen ento toss de sec secci ción ón tr tran ansv sver ersa sall no ci cirrcu cula larr se em empl plea ean n métodos de la teoría de la elasticidad (elementos finitos).
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Fuerzas externas torsionantes en barras y vigas. •
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Par Para a el ca calc lcul ulo o de re reac acci cion ones es (e (equ quil ilib ibri rio) o) de un el elem emen ento to sometido a cargas de torsión, se utilizara la siguiente ecuación (si el eje x esta dirigido a lo largo de un elemento):
= 0 Por Por co consi nsigui guien ente te en sis sistem temas as es está tátic ticame ament nte e de deter termin minado adoss solamente hay hay un momento momento de torsión torsión de reacción. reacción. La convención de signos para los momentos torsionantes se regirá por la regla de la mano derecha.
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Fuerzas externas torsionantes en barras y vigas. •
Ejemplo 1. Encontrar las resultantes en el punto O.
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Fuerzas externas torsionantes en barras y vigas. •
Ejemplo 2. Encontrar las reacciones en el apoyo A.
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Fuerzas externas torsionantes en barras y vigas. •
Ejemplo 3. Encontrar las reacciones en el apoyo.
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Fuerzas externas torsionantes en barras y vigas. •
Ejemplo 4. Encontrar las reacciones en el apoyo B.
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Fuerzas internas torsionantes en barras y vigas. •
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Al an anal aliz izar ar lo loss el elem emen ento toss ba bajo jo mo mome men ntos tor orsi sion onan anttes es,, independientemente del tipo de sección transversal que se tenga, se emplea el método básico de las secciones. Si el eje x esta dirigido dirigido a lo larg largo o de un elemento elemento,, la ecuac ecuación ión de equilibrio que se utilizará es:
= 0 •
Des Despu pués és de ha habe berr ca calc lcul ulad ado o la lass rea eacc ccio ione ness (e (en n es este te cas aso o sola so lame men nte ha hay y una rea eacc cciión de tor orsi sión ón en estr tru uct ctu uras isostáticas), se procede al calculo de las fuerzas internas. 10
Fuerzas internas torsionantes en barras y vigas. •
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El aná nállis isis is de fu fuer erzzas in inttern rnas as com omie ienz nza a se sep par aran and do un elemento por una sección perpendicular al eje del elemento. Entonces cualquier lado de un elemento puede ser aislado cons co nserv ervan ando do su eq equi uili libr brio io y en enco cont ntra rarr as asíí el mom momen ento to de torsión interno. Este momento de torsión interno debe equilibrar los momentos torsionantes aplicados externamente (es decir, los momen mom ento toss de to tors rsió ión n in inte tern rno o y ext xter erno no so son n ig igua uale les) s) pe pero ro tienen sentido opuesto.
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Fuerzas internas torsionantes en barras y vigas.
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Ecuaciones de las fuerzas internas de torsión. •
Para examinar las condiciones internas de una viga es preciso estudiar un cuerpo libre en el que se ponga de manifesto las fuer fu erzzas qu que e de debe ben n es esttar pr pres esen ente tess pa parra qu que e es ese e cu cuer erpo po permanezca en equilibrio, para esto se seguirán los siguientes pasos:
1. Determinar las reacciones en la estructura. 2. Cortar la estructura hasta una posición de x, cada vez que la carga cambia a lo largo de la estructura. 3. Definir el diagrama de cuerpo libre de cada segmento para determinar la incógnita incógnita T en la sección de corte como función de x. 13
Ecuaciones de las fuerzas internas de torsión. •
Como se observa en la siguiente viga, se realizará realizará un corte corte a-a en una distancia x para dividir la estructura en dos secciones.
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Ecuaciones de las fuerzas internas de torsión. •
Justo en el corte aparecerán dos fuerzas internas que equilibraran cada sección.
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Ecuaciones de las fuerzas internas de torsión. •
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Utilizando la sección izquierda o derecha, procedemos a equilibrar utilizando la ecuación:
= 0
Observar que cualquier cualquier sección que se elija la fuerza interna interna es igual, la distancia x se mide desde el inicio hacia el corte.
0≤≤3 = 2 − = 0
0≤≤3 = − 3 + 1 = 0
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Ecuaciones de las fuerzas internas de torsión. •
Ejemplo 5. Encontrar las ecuaciones de fuerza interna de torsión de la siguiente viga.
x
x
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Diagramas de las fuerzas Diagramas internas de torsión. •
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Un diagrama de fuerzas torsionantes es una gráfica que muestra las magnitud de la fuerza a lo largo de la viga. Las gráficas gráficas de las fuerz fuerzas as inte internas rnas torsionant torsionantes es se puede pueden n obte obtener ner de graficar cada una de las ecuaciones de fuerza interna interna de torsión. El método usual para obtener los diagramas de fuerza interna de torsión es construirlo a base de las propiedades de las cargas. Usar las relaciones es mucho mas rápido que graficar las ecuaciones, especialmente especialment e cuando hay cargas múltiples. Se utilizará el lado derecho de la convención de fuerzas internas para graficar.
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Diagramas de las fuerzas Diagramas internas de torsión. •
Ejemplo 6. Encontrar los diagramas de fuerza interna de torsión de la siguiente viga.
x
x
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Diagramas de las fuerzas Diagramas internas de torsión. •
Tarea 3.1 Encontrar los diagramas y ecuaciones de fuerza interna con el método de secciones.
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Esfuerzos y deforma deformaciones ciones torsionantes. •
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Un momento de torsión genera una distribución no uniforme de es esfu fuer erzzos en la lass se secci ccion ones es tr tran ansv sver ersa sale less de dell el elem emen ento to sobre el que actúa. Las hipótesis en las que se basa la deducción de la fórmula de la torsión son: 1. Las secciones circulares de un elemento antes de que se presente la torsión, permanecen circulares durante y después de la torsión.
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Esfuerzos y deforma deformaciones ciones torsionantes. •
2. Las secciones transversales transversales planas de un elemento elemento antes de que qu e se pr pres esen ente te la to tors rsió ión, n, pe perm rman anec ecen en pl plan anas as du durran ante te y después de la torsión.
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Esfuerzos y deforma deformaciones ciones torsionantes. •
3. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección antes de la torsión, permanece radial después de la torsión.
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Esfuerzos y deforma deformaciones ciones torsionantes.
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Esfuerzos y deforma deformaciones ciones torsionantes. •
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4. El el elem emen ento to es esttá so some meti tido do ún únic icam amen ente te,, a la ac acci ción ón de momentos de torsión que actúan en planos perpendiculares a su eje longitudinal longitudinal.. 5. Los esfuerzos no sobrepasan el valor correspondiente al esfuerzo límite de proporcionalidad.
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Deducción de las ecuaciones de torsión. •
En En la fi figu gurra se mue uesstr tra a un el elem eme ento ma maci cizzo de se secc cciión transversal circular. Sobre su superficie se marca una línea AB para pa rale lela la al ej eje e lo long ngit itud udin inal al de dell el elem emen ento to.. Al ap apli lica carl rle e do doss momentos de torsión en los extremos, la línea AB se tuerce formando la hélice CB, la sección en la que se localiza el punto A gira un ángulo α respecto de la sección en la que se localiza el punto B.
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Deducción de las ecuaciones de torsión. •
Seccionando al elemento elemento mediante un plano S y considerando considerando la porción del elemento a la izquierda de dicho plano, se observa que el radio OD paralelo al radio OA gira un ángulo θ hasta la posición OE.
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Deducción de las ecuaciones de torsión. •
Consid Cons ider eran ando do un una a fi fibr bra a a un una a di disstan anci cia a ρ de desde el eje longitudinal del elemento y tomando en cuenta las hipótesis 1, 2 y 3, se produce una deformación total δs igual al arco FG.
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Deducción de las ecuaciones de torsión. •
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La longitud del arco arco FG puede calcularse como:
= = Y el ángulo de distorsión: distorsión: = =
De acuerdo con la Ley de Hooke (esfuerzos directamente proporcionales a las deformaciones), el esfuerzo cortante:
== =
Esta es un Esta una a ec ecua uaci ción ón de co comp mpat atib ibil ilid idad. ad. Nó Nóte tese se qu que e lo loss va valo lore ress dent de ntrro de dell pa parrén énte tesi siss so son n to todo doss co cons nsttan anttes pa parra un una a se secc cció ión n específica; la única variable es la distancia de la fibra en la que se investiga el esfuerzo y que se mide desde el eje longitudinal de la pieza. Puede concluirse que los esfuerzos varían linealmente desde cero en el centro de la sección transversal hasta un valor máximo en
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Cálculo de esfuerzos y deformaciones por torsión en secciones circulares. circulares. •
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Debido a que las fuerzas (externas (externas e internas) que afectan a la porción en estudio se ubican en planos perpendiculares a su eje longitudinal, únicamente debe satisfacerse la ecuación de equilibrio: ΣMx = 0 El esfuerzo cortante en cada diferencial de área actúa en dirección perpendicular al radio y su intensidad varía con su distancia al centro, la ecuación de equilibrio queda como:
=−+ =−+ =0 30
Cálculo de esfuerzos y deformaciones por torsión en secciones circulares. circulares. •
De acuerdo con la ecuación: ecuación:
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Por definición:
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Entonces: 31
Cálculo de esfuerzos y deformaciones por torsión en secciones circulares. circulares.
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La ecuación sólo puede utilizarse cuando la sección transversal transversal circular de la barra y el momento de torsión que actúa sobre ella son constantes. La magnitud del ángulo de giro está en radianes.
La expresión anterior se conoce como la fórmula de la torsión para secciones transversales circulares y únicamente puede utiliz uti lizar arse se cua cuando ndo los es esfue fuerz rzos os no sob sobre repas pasan an el lím límit ite e de proporcionalidad del material de que está hecha la pieza.
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Cálculo de esfuerzos y deformaciones por torsión en secciones circulares. circulares.
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Momento polar de inercia de secciones planas. •
El momento polar de inercia de una sección circular maciza y de una sección circular hueca son, respectivamente:
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Cálculo de esfuerzos y deformaciones por torsión en secciones circulares. circulares. •
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El esfuerzo cortante máximo para barras circulares de sección maciza:
El esfuerzo cortante máximo para barras circulares de sección hueca con radio exterior R y radio interior r:
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Cálculo de esfuerzos y deformaciones por torsión en secciones circulares. •
Ejemplo 7. Un eje de acero de sección circular maciza se encuentra cargado como se muestra en la figura. Para G = 83 GN/m2, calcule el diámetro requerido para que el esfuerzo cortante no exceda de 60 MN/m2 y el ángulo total de torsión en el extremo libre no exceda de 4°.
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Cálculo de esfuerzos y deformaciones por torsión en secciones circulares. circulares. •
Eje Ejemp mplo lo 8. Un ár árbo boll co comp mpue uest sto o es está tá con onst stru ruid ido o con tr tres es materiales diferentes y sujeto a dos pares aplicados como se muestra en la figura. (a) Calcule el máximo esfuerzo cortante desa de sarr rrol olllad ado o en cad ada a ma matteri rial al.. (b) Cal alcu cule le el án ángu gulo lo de rota ro taci ción ón de dell extr xtrem emo o li libr bre e de dell ár árbo bol. l. Ut Util iliz iza a lo loss si sigu guie ient ntes es valores: Galuminio = 28 GPa; Gacero = 83 GPa y Gbronce = 35 GPa.
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Cálculo de esfuerzos y deformaciones por torsión en secciones circulares. circulares. •
Ejemplo 9. Determinar el diámetro diámetro de la viga de la sección circular maciza ABC, para que no se sobrepase un esfuerzo cortante cortant e de 1,000 kg/cm2. Suponer G= 800,000 kg/cm2.
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Cálculo de esfuerzos y deformaciones por torsión en secciones circulares. circulares. •
Tarea 3.2 A) Determinar el máximo momento de torsión que puede soportar un eje de sección circular hueca de 10 cm de diámetro exterior y 7 cm de diámetro interior, sin que se sobrepase un esfuerzo cortante de 100 MPa y sin que la defform de rmac ació ión n se sea a ma may yor qu que e me med dio grad ado o por me metr tro o de longitud. Considere un módulo de elasticidad al cortante G = 80x109 N/m2.
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Cálculo de esfuerzos y deformaciones por torsión en secciones circulares. circulares. •
Tarea 3.2 B) Calcular el diámetro mínimo de un eje circular macizo de acero, que sometido a un momento torsionante de 20 kN kN-m -m no de debe be exp xper erim imen enta tarr un una a de deffor orma maci ción ón an angu gula larr superior a 3° en una longitud de 6 metros. ¿Cuál es el esfuerzo esfuerzo cortante máximo que aparecerá en él? Considere G = 80x10 3 MPa.
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Cálculo de esfuerzos y deformaciones por torsión en secciones circulares. circulares. •
Tarea 3.2 C) Un eje de transmisión de acero consta de una parte tubular de 2 m de longitud y diámetros de 7 y 10 cm, y otra parte maciza de 7 cm de diámetro y 1.5 m de longitud. Detter De ermi mina narr el má máxi ximo mo mo mome men nto tor orsi sion onan antte qu que e pu pued ede e soportar sin que se sobrepase un esfuerzo cortante de 100 MPa ni un ángulo total de torsión de 2.5° en la longitud total de 3.5 m. Suponer G = 80x103 MPa.
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Cálculo de esfuerzos por torsión en secciones no circulares. •
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La deducción de las expresiones para calcular los esfuerzos cortantes por torsión y el ángulo de torsión en elementos cuyas secciones transversales no son circulares, queda fuera del alcance de un curso de mecánica de materiales. Las suposiciones enunciadas en la introducción de esta unidad, no se aplican a elementos de sección transversal no circular.
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Alabeo de vigas. •
Las secciones transversales no circulares se pandean (o alabean) cuando el elemento se somete a torsión.
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Cálculo de esfuerzos por torsión en secciones no circulares. •
Sección rectangular.
A di differ eren enci cia a de dell es esfu fuer erzzo cor orttan antte má máxi ximo mo po porr tor orsi sión ón en secciones circulares que se presenta en el punto más lejano del centro, en la sección rectangular dicho punto (que corresponde al vértice de la sección) tiene esfuerzo cero; el esfuerzo máximo se presenta en los puntos más ce cerrcanos al centro (que corr co rres espo pond nden en a lo loss pu pun nto toss me medi dios os de lo loss la lado doss de ma may yor longitud).
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Cálculo de esfuerzos por torsión en secciones no circulares. •
Sección rectangular.
Se han des desarr arrol ollad lado o ex expr presi esione oness par para a ca calcu lcular lar los esf esfue uerz rzos os cortantes y el ángulo de torsión en secciones rectangulares, con métodos cuyo planteamiento queda fuera del alcance de estas notas.
= ℎ •
= ℎ
En las ecuaciones ecuaciones anteriores, anteriores, T es el momento de torsión; h y b son los lados mayor y menor (respectivamente) de la sección rectangular; α y β son parámetr parámetros os cuyo valor depende de la relación entre el lado mayor y el lado menor (h/b).
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Cálculo de esfuerzos por torsión en secciones no circulares.
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Cálculo de esfuerzos por torsión en secciones no circulares. •
Eje Ejemp mplo lo 10 10.. Ca Calc lcu ula larr el di diám ámet etrro de un una a se secc cció ión n ci cirrcu cula larr sólida, de manera que su esfuerzo cortante máximo sea igual al de una sección rectangular cuyos lados miden 100 mm y 300 mm y que soporta un momento de torsión de 5 kN-m.
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Cálculo de esfuerzos por torsión en secciones no circulares. •
Otras secciones.
En la tabla se presentan los resultad resultados os del análisis realizado para secciones transversales triangulares y elípticas. En todos los casos el esfuerzo cortante máximo se produce en un punto punto sobre sobre el bord borde e de la sección que que es el mas cercano cercano a la línea central del eje .
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Cálculo de esfuerzos por torsión en secciones no circulares. •
Ejemplo 11. El eje de aluminio mostrado en la figura tiene una sección transversal con forma de triangulo equilátero. Determine el momento de torsión T que puede aplicarse sobre el extremo del eje, si el esfuerzo cortante cortante permisible es τperm=8 ksi y el ángulo de giro en su ex extr trem emo o es esta ta re restr string ingido ido a φperm= 0.02 rad ¿De que tamaño puede ser el momento de torsión aplicado a un eje con sección tran tr ansv sver ersa sall ci circ rcul ular ar he hech cho o co con n la mi mism sma a ca cant ntid idad ad de ma mate teri rial al? ? G=3.7x106 lb/in2.
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Cálculo de esfuerzos por torsión en secciones no circulares. •
Tarea 3.3 a) Calcular el esfuerzo máximo por torsión que se presenta en un poste de sección cuadrada de 40 cm de lado, que será utilizado para soportar un anuncio de 2x5 m, a una altura de 10 m. Considere que el viento genera una presión unif un ifor orme me (p (per erpe pend ndic icul ular ar a la su supe perf rfic icie ie de co con nta tact cto) o) de 2 kN/m2.
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Cálculo de esfuerzos por torsión en secciones no circulares. •
Tarea 3.3 b) Obtener el diámetro de una sección circular sólida de manera que tenga el mismo esfuerzo cortante que el de una sección rectangular de 10x40 cm de sección, sometida a un momento torsionante de 5 kN-m.
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Cálculo de esfuerzos por torsión en secciones no circulares. •
Tarea 3.3 c) El eje esta hecho de latón y tiene una sección tran tr ansv sver ersa sall el elíp ípti ticca. Si se so some mette a la lass car arg gas de tor orsi sión ón mostradas, determine el esfuerzo cortante máximo dentro de las regiones AC y BC, también encuentre el ángulo de giro del extremo B con respecto al extremo A. Considere G=37 GPa.
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Bibliografía •
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Beer, F. Beer, F. E., Johnston, J. y De Wolf, Wolf, D. M. (2013). Mecánica Me cánica de Materiales. México: Mc Graw Hill. Fitzgerald (2010).Mecánica de Materiales. México: Alfaomega.
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