Esfuerzos y Cargas Axiales

•

• • •

σ 1, σ 2=¿

Capitulo 1: Esfuerzos y cargas axiales

esfuer$o

normal

en

la

dirección

%

longitudinal,

respectivamente. 2e supone que es constante a través de la pared del cilindro % que someten el material a tensión. + 5 presión manométrica interna desarrollada por el gas o (uido contenido r 5 radio interior del cilindro t 5 espesor de la pared

+or compa comparac ración ión,, éste éste es el mismo mismo resulta esultado do que el o#teni o#tenido do para para el esfuer$o longitudinal en el recipiente cilíndrico. 4demás, de acuerdo con el análisis, este esfuer$o será el mismo sea cuál sea la orientación del diagrama de cuerpo li#re &emisférico. En consecuencia, un elemento de material está sometido al estado de esfuer$o mostrado en la gura a. 6inalmente, téngase en cuenta que las fórmulas anteriores son válidas sólo para recipientes sometidos a una presión e*terna, ésta puede ocasionar que se vuelva inesta#le % pueda fallar a causa del pandeo.

ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PRESION DE PARED PARED DELGADA Los Los reci recipi pien ente tess de pare paredd delg delgad adaa cons consti titu tuyyen una una aplica aplicació ciónn import important antee del análi análisis sis de esfuer esfuerzo zo plano. plano. Como sus paredes oponen poca resistencia a la flexión, puede suponerse que las fuerzas internas ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie del recipiente. El análisis de esfuerzos en recipientes de pared delgada se limitará a los dos tipos que se encuentran con mayor frecuencia recipientes cil!ndricos y esf"ricos.

Considerando recipiente cil!ndrico de radio interior ry espesor de pared t, que contiene un fluido a presión #e $an a determinar los esfuerzos ejercidos sobre un peque%o elemento de pared con lados respecti$amente paralelos y perpendiculares al eje del cilindro. &ebido a la simetr!a axial del recipiente y de su contenido, no se ejercen esfuerzos cortantes sobre el elemento.

Resistencia de Materiales Materiales

Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo 


Los esfuerzos ' ( y ' ) mostrados en la figura son por tanto esfuerzos principales. El esfuerzo ' ( se conoce como esfuerzo de costilla y se presenta en los aros de los barriles de madera. El esfuerzo ' ) es el esfuerzo longitudinal. *ara determinar los esfuerzos de costilla se reti retira ra una una porc porció iónn del rec recipie ipient ntee y su cont conten enid idoo limi limita tado do por por el plan planoo xyy xyy por por dos dos planos paralelos al plano yz con una distancia ΔX de separación entre ellos. #e aclara que p

es la presión manom"trica del fluido.

La resultante de las fuerzas internas es igual al producto de σ y del área trans$ersal 2 tx . Con la ecuación de sumatoria de fuerza en z se concluye que para el esfuerzo de costilla

Con el propósito de determinar el esfuerzo longitudinal σ 2 , +aremos un corte perpendicular al eje eje x y se considerará considerará el cuerpo libre que que consta de la parte del recipiente y de su contenido a la izquierda de la sección. omando en cuenta las fórmulas del área y Resistencia de Materiales Materiales

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longitud del cilindro y la sumatoria de fuerzas en z, finalmente se concluir!a que σ = pr / 2 t 2

El esfuerzo en la costilla es el doble del esfuerzo longitudinal. Luego se dibuja el C!rculo de -o+r y se llega a qu" σ max max ( enel plano )=½ σ 2= pr / 4 t

Este Este esfu esfuer erzo zo corre corresp spon onde de a los los punt puntos os & y E y se ejer ejerce ce sobr sobree un elem elemen ento to obte obteni nido do mediante la rotación de /0 del elemento original de dic+a figura, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente. EL esfuerzo cortante máximo en la pared del recipiente es mayor. Es igual al radio del c!rculo de diámetro 12 y corresponde a una rotación de /0 alrededor de un eje longitudinal y fuera del plano del esfuerzo. Pr τ max =σ 2= 2 t

Considerando a+ora un recipiente esf"rico, de radio interior

r y espesor de pared

t , que

contiene un fluido bajo presión manom"trica p. 3aciendo un corte por el centro del recipiente determinamos el $alor del esfuerzo.

Concluye que, para un recipiente σ 1= σ 2 = pr / 2 t


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4a que los esfuerzos principales ' ( y ' )son iguales, el circulo de -o+r para la transformación de esfuerzos, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente, se reduce a un punto. El esfuerzo normal en el plano es constante y que el esfuerzo máximo en el plano es cero. *odemos concluir σmax =½ σ 1= pr / 4 t

TRANSFORMACION DE DEFORMACION PLANA

En este este tema tema se +a de analiz analizar ar las transfor transformac macion iones es de la deform deformaci ación ón cuand cuandoo los ejes coord coordena enados dos giran. giran. Este Este anális análisis is se limitar limitaráá a estad estados os de deform deformaci ación ón plana, plana, es decir, decir, a situaciones en donde las deformaciones del material tienen lugar dentro de planos paralelos y son las mismas en cada uno de estos planos. #i se escoge el eje z 5$er figura 67 perpendicular a los planos en los cuales la deformación tiene lugar, tenemos Ez 8 94zx8 94zy8 :, las ;nicas componentes de deformación que restan son Ex, Eyy 94xy. al situación ocurre en una placa Resistencia de Materiales Materiales

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sometida a cargas uniformemente distribuidas a lo largo de sus bordes y que este impedida para expandirse o contraerse lateralmente mediante soportes fijos, r!gidos y lisos 5$er figura 67. ambi"n se encontraran en una barra de longitud infinita sometida, en sus lados, a cargas uniformemente distribuidas ya que, por razones de simetr!a, los elementos situados en un plano trans$ersal no pueden salirse de el. Este modelo idealizado muestra que en el caso real de una barra larga sometida a cargas trans$ersales uniformemente distribuidas 5$er figura 667, existe un estado de esfuerzo plano en cualquier sección trans$ersal que no est" localizada demasiado cerca de uno de los extremos de la barra.


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#upóngase que existe un estado de esfuerzo plano en el punto < 5z 8 94zx 8 94z8 :7, definido por las Componentes Componentes de deformación Ez, Eyy 94xyasociadas 94xyasociadas Con los ejes x y y. y. Esto significa que un elemento cuadrado de centro <, con lados de longitud =s respecti$amente paralelos a los ejes ejes x y y, se transf transform ormaa en un paral paralelo elogra gramo mo con lados de longitud longitud =s 5( >Ex7 y =s 5( >Ey7, formando ángulos de =?) @94xyy f > 94xyentre si5$ea figura 6677.Como resultado de las deformaci deformaciones ones de los otros elementos elementos localizados localizados en el plano plano xy, xy, el elemento elemento considerado considerado tambi" tambi"nn pue puede de exp experi erimen mentar tar un mo$imie mo$imiento nto de cuerpo cuerpo r!gido r!gido,, pero pero tal mo$imi mo$imien ento to es insignificante en lo referente a la determinación de las deformaciones en el punto < y no se tendrá en cuenta en este análisis. El propósito es determinar en t"rminos de Ex,Ey, 94xyy : las Componentes de deformación Ex, Ey. y94x9y9 y94x9y9 asociadas con el marco de referencia x9 y 9 obtenido mediante la rotación de los ejes ejes xyy u n áng ángulo ulo.. Como Como se muestr muestraa en la figura figura 6A, 6A, estas estas nue nue$as $as compone componente ntess de la defo deform rmac ació iónn defi define nenn el para parale lelo logr gram amoo en que que se trans transfo form rmaa un cuad cuadra rado do con con lado ladoss respecti$amente paralelos a los ejes x9yy9.

PROBLEMA Nº1 :

Calcular el descenso $ertical del punto B.


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#1LC6D (7 &iag &iagram ramaa del del cuer cuerpo po lib libre re

∑ Fy =0 ´ senα CB senα −4 = 0 ´ senα CB senα = 4 ´ = CB

4 4 = senα 3 5

´ =6.66 Tn (Traccion ) CB

∑ Fx =0 ´ + CB ´ cos α =0 − AB ´ =CB ´ cosα AB cosα ´ =6.66 AB

() 4 5

⇒

´ =5.328 Tn (Compr AB Compresi esi ó n )

)7 2ná 2nális lisis is del del descen descenso so $erti $ertical cal en en FBG.

 B= B´B 2+ B´1 B " " # ( $ ) !

%enα =

& CB B ´B2

⇒

B´B2=

& CB %enα

Tanα =

& AB B´1 B

!

⇒

B ´1 B =

& AB

!

Tanα

Heemplazando en 567  B=

∆B =

& CB

+

& AB

%enα Tanα

6660 Kg x 500 cm 6

2

2

2x10 Kg / cm x 4 cm x0.6


+

5328 Kg x 400 cm 6

2

2

2x10 Kg / cm X 4 cm x0.75 Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo 1%


 B= 0.6937 + 0.7104  B=1.4041 cm PROBLEMA Nº2:

Calcular el descenso $ertical del punto B

#1LC6D (7 &iagra &iagrama ma del del cuerp cuerpoo libre libre 5 2@B7

∑ Fx =0 ´ + sen 37 ' CB ´ =0 − AB ´ =sen 37 ' CB ´ AB

∑ Fy =0 ´ cos37 ' = 0 −4 + CB ´ = CB

4 ´ = 4 ⇒ CB cos37 ' 3 5

´ =6.66 AB

() 4 5

⇒

´ =5.328 Tn (Compr AB Compresi esi ó n )




∑ Fx =0 ´ + CB ´ cos53 ' =0 − AB ´ cos ´ ⇒ AB ´ =( 5 ) CB cos 53( = AB

() 3 5

⇒

´ =3 Tn (Tracc AB raccii ó n)

∑ Fy =0 ´ sen ´ = 4 −4 + CB sen 53 ' =0 CB ⇒

4

⇒

´ =5 Tn (Comp CB Comprresió esi ó n )

5

)7 2na 2nalis lisis is de las las deform deformaci acione ones s

´ 1 + B ´2 B " "# ( $ )  B= BB !

α =¿

& CB

´1 BB

⇒

´ 1= BB

& CB

& AB ´2 ! & AB ⇒B B = )Tanα = ! %enα Tanα B ´2 B sen ¿

 B=

 B=

& CB

+

& AB

%enα Tanα

⇒

%i α = 53 '

5000 *+ x 500 cm 6

2

2

2 x 1 0 *+ / cm x 4 cm x 0.79

+

3000 *+ x 300 cm 6

2

2

2 x 1 0 *+ / cm x 2 cm x 1.327

 B= 0.39556 + 0.1695




 B= 0.5651cm

PROBLEMA Nº 3:

Calcular el descenso $ertical de B.

#1LC61  (7 &iagrama &iagrama del cuerpo libre 5B7

∑ F =0 X

´ cos60 ' + CB ´ cos30 ' =0 AB 5.196

´ = AB ´ cos60 ' ⟹ CB ´ = AB ´ 6 √ 3 CB cos30 ' 5.196 6

( )´

´ = CB

√ 3 AB " ( $ ) 3

∑ F =0 y




´ %en 60 ' +CB ´ %en AB %en 30 ' = 4 ´ %en 60 ' + AB ´ AB

´ AB

[

9 6 √ 3

( ) √ 3 3

]

+ √ 3 = 4 3

´ =2.772 CB

( ) √ 3 3

%en 30 '=4

´ =2.772 Tn ( trac AB tracci ci ó n )

⟹

⟹

´ =1.6 Tn ( compr CB compresió esió n )

)7 2nalisis de las deformaciones

 B= B´B 1+ B´2 B

%en 60 '=

B´B1 B1= %en 60 ' & AB ⟹ B´ & AB

B´2 B cos60 '= ⟹ B´ B= cos60 ' & 2 CB & CB

 B= %en 60 ' & AB + cos60 ' & CB

 B=

( )( 9

6 √ 3

2.772 ,+ - 6 √ 3 - 100 cm 5

2

1.1 - 10 ,+ / cm - 3 cm

2

) ( )[

1.600 - 100 cm + 6 1 - 106 ,+ / cm2 - 2 cm2 1 - 106 ,+ / cm2 - 4 cm2

+ 3

1.600 ,+ - 200 cm

]

 B= 0.756 + 0.5 ( 0.2772 + 0.16 )  B= 0.9746 cm

PROBLEMA Nº 4:


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo 1


El bastidor que se muestra cuyos cu yos miembros 2CE 2CE y BC& están conectados por un perno FCG y por el miembro &E, con la carga que se muestra determine la fuerza en el miembro &E y las componentes de la fuerza ejercida en FCG sobre el miembro BC&.

ota todas las medidas están están dadas en mm.

#1LC6D  (7 B2#6&1H C1-*LE1 C1-*LE1 &iagrama &iagrama del cuerpo libre de todo sistema sistema por solo in$olucrar I incógnitas.

∑ F =0 y

A y − 480 . ( / ) =0

A y = 480 . ( /)

+ ∑ 0 A =0 480 ( 100 )− B x ( 160 ) =0

480 ( 100 ) = B x ( 160 )

B x =300 .

∑ F = 0 x


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo 1!


A x + B x = 0

A x + 300 =0 ⟹ A x =−300 .

&esarticulando los miembros y +aciendo &.C.L. )7 &iagrama del cuerpo libre. 5BC&7

tan α =

80 150

∑ F = 0

+ ∑ 0 C =0

C x − F 12 cos α + 300= 0

F 12 %enα ) ( 250 ) + 300 ( 60 ) + 480 ( 100 )= 0 ( F

C x −( −561cos 28.072 28.072 )=−300

F 12 %en 28.072 ( 250 )+ F 12 ( 0.47058 ) ( 250 )=−

x

C x + ( 561cos28.072 ) =−300

−66.00

F 12=

117.645

F 12 =−561.00 .

⟹

C x =−300− 495

C x =−795.00 .

∑ F =0 y

α =28.072

∑ F =0 y


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo #"


C y −480 − F 12 %enα =0

C y −480 −(−561 %en 28.072 ) =0 C y −480 + ( 561 %en 28.072 )= 0 C y =480 −263.995

C y =216.00 .

+ ∑ 0 A =0 C x ( 220 )− F 12 %enα ( 100 )− F 12 cos α ( 300 ) = 0

(−795 ) ( 220 ) 3 561 %en 28.072 ( 100 )−(−561cos28.072 ) (300 )=0 −174900 + 26399.57932 + 148500.6731 = 0 0≅0

ota la comprobación se +ace +ace con cantidades anteriores con sus signos.

PROBLEMA Nº :

&eterm!nese las componentes de las fuerzas que act;an sobre cada miembro del bastidor que se muestra.


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo #1


#1LC6D (7 &.C.L. de todo el bastidor por que tiene solo tres incógnitas.

+ ∑ 0 2 =0 2400 ( 4.8 ) − F y ( 4.8 ) =0

F y =2400 .

+ ∑ 0 2 =0 2400 ( 3.6 )− F y ( 4.8 )= 0

F y =

2400 ( 3.6 ) 4.8

F y =1800 .

⟹

)7

∑ F =0 y

2 y + F y −2400= 0 2 y + 1800− 2400=0 ⟹ 2 y = 600 .


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo ##


∑ F = 0 x

2 x =0 5.4 2.7 = ⟹ x =2.40 m 4.8 x

´ =3.60 −2.40 =1.20 m

∴ C1

I7 &.C.L. 5BC&7

+ ∑ 0 B =0 −C y ( 2.4 ) + 2400 ( 3.6 )= 0

⟹

C y =3600 .

+ ∑ 0 C =0 2400 ( 1.2 )−B y ( 2.4 )=0 ⟹ B y =1200 .

∑ F = 0 x

−B x + C x =0 " ( $ ) 4.8 −2.4 =2.4

7 &.C.L. 52BE7

+ ∑ 0 A =0 −B x ( 2.9 ) =0

⟹

B x =0 " ( $$ )

∑ F = 0 x

− A x + B x = 0

⟹

− A x + 0=0

A x =0

∑ F =0 y

− A y + B y + 600=0 Resistencia de Materiales Materiales

Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo #$

− A y + 1200 + 600= 0

⟹

A y =1800 .


( ) en ( $ )

∴ $$

0 + C x = 0 ⟹ C x =0

/7 &.C.L. 52CJ7 Comprobación para que en miembro este en equilibrio

+ ∑ 0 C =0 A x ( 2.2 ) + A y ( 2.4 ) −1800 ( 2.40 )=0 0

+ 1800 ( 2.4 )−1800 ( 2.40 )=0

0 =0

PROBLEMA Nº!:

na fuerza +orizontal de K:: lb se aplica al nodo 2 del bastidor que se muestra. &etermine las fuerzas que act;an en los dos miembros $erticales del mismo.

#1LC61 (7 &.C.L. de todo el bastidor

+ ∑ 0 2 =0 600 ( 10 )− F y ( 6 )=0 ⟹ F y =1000 l4

∑ F =0 y


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo #%


2 y + F y =0 ⟹ 2 y =−1000 l4

)7

&.CL. 52CE7

∑ F =0 y

−5 13

F AB +

5 13

F C1−1000 =0 " ( $ )

+ ∑ 0 2 =0

(

) (

)

−600 ( 10 ) − 12 F AB ( 10 )− 12 F C1 (2.5 )=0 " ( $$ ) 13

13

Hesol$iendo 567 en 5667 F AB =−1040 l4)F C1 =1560 l4

∑ F = 0 x



Capitulo 1: Esfuerzos y cargas axiales 600 +

12 13

(−1040 )+

12 13

( 1560 )+ 2 x =0

2 x =−1080 l4

&el &.C.L. del bastidor completo

∑ F = 0 x

600 + 2 x + F x =0 600−1080 + F x =0

F x = 480 l4

⟹

I7 &.C.L. 5B&J7 Comprobación para que este en equilibrio

+ ∑ 0 B =0 −12 13

F C1 ( 2.5 ) + F x (7.5 )=0

−12 13

( 1560 ) ( 2.5 ) + ( 480 ) ( 7.5 ) =0

0 =0

PROBLEMA Nº":

#e quiere punzonar una placa, tal como se indica en la fig. que tiene un esfuerzo cortante que tiene un esfuerzo ;ltimo de gm*a. 5a7 si el esfuerzo de compresión admisible en el punzón es (m*a, determine el máximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de (:: mm de diámetro. 5b7 #i la placa tiene un espesor de (: mm, calcule el máximo diámetro que puede punzonarse.




7 5 8m+o 8m+o

)π

d .T )

= π dt

4cordado 7.L 7.L 5 7

a

=

π b

)

.

) )

( M .

#i σ 8 (m*o el

σ

σ

=

N

.

π

mL 

.d )

=L

N m)

.π dt

P A

= ( M

d 8 . N M ) . ∆ m) 

t =

(:: L

mm

t = ((,( mm

a7 #i  8 (: mm mm ,Calc ,Calcula ularr el máxim máximoo diáme diámetro tro Llegamos a la ecuación d 8 t d 8 (: mm d 8 : mm

∅ 0AX

8 : mm

PROBLEMA Nº#:

La figura muestra la unión de un tirante y la base de una armadura de madera. &espreciando el rozamiento, 5a7 determine la distancia b si el esfuerzo cortante admisible es de :: M*a 5b7 Calcule tambi"n la dimensión c si el esfuerzo de contacto no debe de exceder de N -*a.




S$%&'()*:

La fuerza que desplace el tirante * 8 /: cos I:O P * 8 I.I P

5a7 #6 el esfuerzo cortante es τ promedio 8 *?2 armadura

2 armadura 8 *? promedio 2 armadura armadura 8 I.I P ? :: P?m) 2 armadura 8 :.:Q m) 2 armadura armadura 8 (/: x (:@I m x b 8 :.:/ m ) b 8 I): mm

5b7 #i el esfuerzo de contacto es σ 8 *?2 contacto

2 contacto 8 *? σ 2 contacto 8 I.I x (:I ?N mm) 2 contacto 8 K(Q/.N mm)

2 contacto 8 K(Q/.N mm) 8 (/: mm x c c 8 (.)I mm PROBLEMA Nº+:

En el dispositi$o del tren de aterrizaje descrito, los pernos 2 y B trabajan a cortante simple y el perno en C a cortante doble. &etermine los diámetros necesarios si el esfuerzo cortante admisible es de /: -?m).


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo #


2+ora 0oP =0 9 2n x ( 0.65 )= By ( 0.45) 9 x 0.65 x *. =By By=13 ,n

B x % e n ( 53.1 )=13 B=13 / %en ( 50.1 )=16.25 *n

Entonces Fy =09 – 13 Cy =0 Cy =4

Fx =0 Bx =Cx5 peroBx =16,25 *n x cos (53.1 )=9.75 *n=Cx

2+ora calculando para B2

¿ P / A =¿ 50 x 10 6 =16.25 *. a =16.25 x 10− 3=16.25 m 2 =3.25 x 10− 4 m 2 I.)/ × (:

−

=

π d



)

→ d = :.:):IN m → d = ):.INmm

Entonces )φ N?QG 2+ora para C C 2=Cx 2 + Cy 2 C =10,54 ,.


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo #!


N K

 8 /: x (:

m

)

= (:,/ Kn → a = (:./ Kn = (:./m ) × (: − 



)) π

(:: x (:Q ?m)

d ) 

@

d 8 (.(/Q x (:@) m

(.:/ x (: 8



d 8 ((./Q mm



(φ ((?IQG PROBLEMA Nº1,:

na palea de N/: mm sometido a la reacción de las fuerzas que indica la figura está montada mediante una cu%a en un eje de /: mm de diámetro. Calcule el anc+o b de la cu%a si tiene N/ mm de longitud y el esfuerzo cortante admisible es de  m*a. &atos Lp 8 /: mm 3allar FbG

 8 mB

t = =

h T

Entonces *ero el área cortada 8 N/ mm.b Resistencia de Materiales Materiales

Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo $"


omando momento 0o=6

(: M.IN/ mm R KPn .IN/ R p.)/ mm I/: Mn R ))/: Mn 8 )/ * (/:: Mm 8 )/:  8 K: Mn Entonces A =

K:kN N L M ) h

8S *ero 2 8 N/ mmL b 8 K:.(II.m) g.(:K N/.(:@Im b 8 :.:QQ m b 8 QQ.Q mm PROBLEMA Nº11:

La palanca acodada que representa la figura está en equilibrio 5a7 &etermine diámetro de la barra 2B si el esfuerzo normal está imitado a (:: -?m ), 5b7 &etermine el esfuerzo cortante en el pasador situado en &, de ): mm de diámetro.


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo $1


#olución Ecuación de equilibrio en & -2 8 : 200 mm ( P ) – 30 sen 60 7 ( 240 )=0

* 8 I(.(Q P Fy =0

1y – 30 sen 60 7 = 0

1y =15 *.

Fx =0−31.18 *. + 1x – 30cos60 7 =0

1x= 46.18 *.

1= 48.56 *.


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo $#

5a7 %i= 100 0. / / m 2= 31.18 x 10 . / / A


A =311.8 mm 2=d 2 / 4

1 =19.92 mm

5b7 Como es un corte doble

¿ d / 2 / A =24.28 x 10 3 . /( 20) 2 mm 2 / 4 ¿ 762.78 0Pa PROBLEMA Nº12:

La masa de la barra +omog"nea 2B mostrada en al figura es ::: Mg la barra está apoyada mediante un perno en B y mediante una superficie $ertical lisa en 2. &etermine diámetro del perno más peque%o que pueda usarse en B. #i el esfuerzo cortante está limitado a K:-*b. El detalle del apoyo en B es un pasador.

0 =9000 *a

8 = 88,29 *9

Fy =0 :y=88,29 ,9


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo $$


Fx =0 :x – :eac =0 := :eac #

%iendo :

¿ > :senx = :y :sen= 88,29 *n

R:

QQ.)L Kn Q ? NI

=

QQ.)L × NI Kn Q

= L.)L Kw

Entonces analizando

K: × (:

K

8S

a

=

→

N

=

m)

L,)L

(: 

=

π d

I

)a

= N.Q/N × (: − m )

) × K: × (:

N.Q/N

L.)L × (: a

)



→ d = :.:I(KIKm

∴ d 8 I(.KI mm PROBLEMA Nº13:

Las piezas de madera de /: mm de anc+o y ): mm de espesor, están pegados como indica la figura. 5a7 &eterminar la fuerza cortante y el esfuerzo cortante en la unión si * 8 :::  5b7 Teneralice el procedimiento para demostrar que el esfuerzo cortante en una sesión inclinada un ángulo θ respecto a una sección trans$ersal del área 2, tiene un $alor dado por  8 5*?)275#en)θ7 Entonces analizando el gráfico para las fuerzas 2nálisis del área en el gráfico.


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo

%$ Capitulo 1: Esfuerzos y cargas axiales

Entonces el área donde recaen 6 cortante % 6 4nálisis del área en el gráco tracción es 49 49 2en:0; 5 4

A9 =

A Sen K: O

Entonces reemplazando para T = Pc / Ac

cos 607 / ¿ T = P # cos

T =¿

Tomando 60 7 como como

entonces

¿ > Para el caso 4

omando omando para el caso FaG Heemplazando

Entonces

P=9000 .

T =7.7910 −6 Pa

¿ 60 7

T =7.794.2 7.794.2 *Po

;=50 mm# mm # 20 mm Resistencia de Materiales Materiales



T =

)::: N (::mm )

.Sen():O

PROBLEMA Nº14:

n cuerpo rectangular de madera trans$ersal de /: mm x (:: mm, se usa como elemento de comprensión, seg;n se muestra en la figura. &etermine la fuerza axial máxima * que pueda aplicarse con confianza al cuerpo si el esfuerzo de comprensión en la madera está limitado a ): -?m) y el esfuerzo cortante paralelo a las $etas o está a / -?m ). Las $entas forman ángulos de ):O con la +orizontal, seg;n se muestra.

&ibujando

La fuerza que desliza es de *sen):O #i el esfuerzo comprensión limitado a ): -?m) c 8 *Cos):O

*cos):O






):

2 comp..

(:: x /: mm) U

N mn )

Cos): * ≤ (:: P 2+ora el esfuerzo cortante está limitado a /-?m)

¿ Psen 20 7 5 . / mm 2

(:: Cos ):

× /: mm )

Psen 40 7 5 .

)(:: x /: * ≤ NN.NQ , es el * máximo PROBLEMA Nº1:

En la figura (@(( se supone que el remac+e tiene ): mm de diámetro y une placas de (::mm de anc+o. 5a7 #i los esfuerzos admisibles son de : -?m ) para el aplastamiento y /: -n?m) para el esfu esfuer erzo zo cort cortan ante te,, dete determ rmin inar ar el m!nim m!nimoo espe espeso sorr de cada cada plac placa. a. 5b7 5b7 #eg; #eg;nn las las cond condic icio ione ness especificadas en la parte a, VCuál será el máximo esfuerzo medio de tensión t ensión en las placasW




&atos 2 8 ): mm

*ara b

*ara FaG

Esfuerzo máximo de tensión

σ b 8 : -?m)

en las placas.

&eterminar

3allando t 8 d. -?m)

Xrea de aplastamiento dit.

* 8 ): mmQ.)KK.Q:-?m)

π



d W

Xrea de corte

Xrea de tensión N.(::

∴ *b 8 2b. σ b

σ 8 (/N:/.QK

Q.N)KK.(:I mm)

*b 8 .2c

σ 8 (Q -?m) π

d : -?m) 8 /: -?m  8 /:π ): mm



ed W

.Q:

 8 Q.N)KK mm PROBLEMA Nº1!:

&emuestre que el esfuerzo en un cascarón esf"rico de pared delgada, de diámetro & y espesor t, sujeto a una presión interna *, está está dado por t 8 p x &?t


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo $


=

p

F

→ F = p × A

A

,

28 &x L

#i & 8 )H

2+ora J 8 )* p × D × L

= ) P → P =

p × D × L )

* por unida de consumo P =

p × D

T =

)

8S

P A

=

p × D )t

Esfuerzo unitario

Esfuerzo longitudinal

D )

J( 8 p x 2 8 px π x



J( 8 JY



F ( A

( 8 p × D

J( 8 ( x 2 8 ( x  x & x t

( 8

t



PROBLEMA Nº1":

3allar la $elocidad perif"rica l!mite de un anillo giratorio de acero si el esfuerzo normal admisible es de (: -?m) y la densidad del acero, NQ/: Mg?mI. #i el radio medio es de )/: mm. V2 qu" $elocidad angular se alcanzará un esfuerzo de ):: -?m )W Resistencia de Materiales Materiales

Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo $!

Capitulo 1: Esfuerzos y cargas axiales )

#e tiene J 8 )p.2.$ 2demás σ 8 $).p

#i el esfuerzo es admisible entonces p$) ≤ (: -?m) NQ/:

k g mI

≤ (: × (: K

v)

kg .m σ

)

.m )

$ ≤ (II.K m?s

*or lo tanto La $elocidad perif"rica (I m?s 2demás t 8 p$) N

):: × (: K

):: × (:

K

m

= (Q/:

)

kg .m )

:.)/ × (: I

σ

m J

)

kg m

I

.v )

= (Q/k g .v )

= V = )//

m σ

A 8 re.Z )//

m σ

= )/: x(: −I m.w

Z 8 (:I σ@( PROBLEMA Nº1#:

&emuestre que el esfuerzo en un cascarón esf"rico de pared delgada, de diámetro & y espesor t, sujeto a una presión interna *, está está dado por t 8 p x &?t

p

=

F A

→ F = p × A ,

28 &x L

#i & 8 )H

2+ora J 8 )*


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo %"

p × D × L


p × D × L

= ) P → P =

)

* por unidad de longitud P =

p × D

T =

)

P A

=

p × D )t

8S Esfuerzo unitario

Esfuerzo longitudinal D

)



J( 8 p x 2 8 p x π x J( 8 JY



F (

( 8

A π

J( 8 ( x 2 8 ( x & x p × π ×

D

x t

)



= T ( × π × D × t

T (

=

p × D t



PROBLEMA Nº1+:

n depósito cil!ndrico de agua de eje $ertical tiene Q de diámetro y () m de altura. #i +a de $enderse +asta el total determinado el m!nimo respecto de las blancas que le corresponde si el esfuerzo está limitado a : -*a. #olución 2a#emos que T T

= p × D )t

Esfuer$o transversal! T T

=

p × D t Esfuer$o longitudinal!

4&ora p 5 p. g. & t espesor del tanque. Resistencia de Materiales Materiales

Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo %1


Entonces

T t

= : MPa =

p × D )t

=

p. g .h × D )t

*or lo tanto : ×

(: I

m

: × (: )

= =

L.Q(× () xQ )t N:.QL

t



t 8 :,:((NN) m



∴t 8 ((,NN) mm

→ t =

N:,QQ : × (: )

= :,:((NN)m

pero tm 8 (:Imm

PROBLEMA Nº2,:

Calcule el m!nimo espesor de la placa que forma el depósito del producto anterior, si el esfuerzo admisible es de : -?m) y la l a presión interior $ale (./ -?m) #olución

*iden tmin

p

= (./ × (: K

N

∧ T r = : × (: K

m)

N m)

2+ora calculando V =


p × 5)r + d 7 )t

Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo %#


: × (:

K

N m)

=

(./ × (: K

((

m)

× 5:: + K::7mm )t



si (::: mm 8 ( m

)t 8 (./ ? : R t 8 5(./ x Q:7m t 8 :,:(N/ m

∴ tmin 8 (Q,N/ m

PROBLEMA Nº21:

Las barras r!gidas 2B y C& mostradas en la figura están apoyadas mediante pernos en & y C mediante las ranllas mostradas. &etermine la máxima pieza * que pueda aplicarse como se muestra si el mo$imiento $ertical de las barras está limitadas a / mm. &esprecie los pesos de todos los miembros.

4luminio

4cero

L5m

L5m

4 5 >00 mm

4 5 <00 mm

E 5 =+a

E 5 00 =+a =+a

10


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo %$


&e la barra B&

-B 8 : @I* > H &5K7 8 : H & 8 :./ * &e la barra 2C

-& 8 : 5I7 R H&5K7 8 :  8 )H & 8 *

#i el desplazamiento de las deformaciones es #al > Ka ≤ / mm PT .) × (: I mm N × /::mm ) N: × (: I ) mm

P (N/::

+

:./ P I::::

+

P a .) × (: I mm I::mm

)

× ):: × (:

I

N

≤ /mm

mm )

≤ / N


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo %%

Capitulo 1: Esfuerzos y cargas axiales /

* ≤ :.N x (:  * ≤ N: P

PROBLEMA Nº22:

&os $arillas de aluminio 2B y BC articuladas en 2 y C a soportes r!gidos, como dice en la figura, están unidas en B mediante un pasador y soportan la carga * 8 . #i las $arillas tiene una sección de :: mm) y E 8 N: x (: I ?mm), determine las deformaciones totales de cada una y el desplazamiento +orizontal y $ertical del punto B.

&el conjunto

Σ6* 5 0

-?@" cos<0; A ?@4 "os <0; 5 0



?@' 5 ?@" Σ6% 5 0

-?@4 sen<0; A ?@" sen B .


?@4 5 .


Cálculo de las deformaciones

S A

=

QQ.I N × I × (: I mm ) I N ::mm × N: × (: mm )

= L.K × (: −I mm 5se alarga7

S C

=

Q :.I × ) × (: ) mm N ::mm ) × N: × (: I mm )

= K.I(× (: −I mm 5se acorta7

Cálculo de los desplazamientos 8.C: * 10 -! B 40.8! :.<1 * 10 -< mm 5 4D 0.>! A 4 0.8! 1>.FF * 10 -< 5 4D 4D 1.F> * 10 -< 5 4

PROBLEMA Nº23:

n pilar de concreto de poca altura se refleja axialmente con seis barras de K:: mm) de sección colocada sim"tricamente en c!rculo alrededor del eje del pilar. #e aplica una carga de  P. &eterminar los esfuerzos en el concreto y en el acero teniendo en cuenta los módulos elásticos 2 a =200.109 . / m 2 #




tipo a 8 K5K::7mm)

*a x *c 8 Pn PaL !aAa

K: K× "

K: K"

=

=

P"L !"A"

I

)::(: n ? m L

(.(: N ? m

)

= (,)Q/N

Entonces utilizando en la ecuación 5(7

(.)Q/N x K.K:: mσc > QK::(:@Kmσ 8 P σc 8 K/.) M*a

σa 8 (.)Q/N σc σa 8 I).I() M*a

Entonces Hpta σconcreto 8 K/.)Q M*a Resistencia de Materiales Materiales



σ2cero 8 I).I M*a

PROBLEMA Nº24:

En el problema anterior y suponiendo que las esferas admisibles son (): -?m ) en el acero y K-?m) en el +ormigón. &eterminar la máxima carga axial * que se puede aplicar.

44l5:00mm

Las deformaciones son iguales Aar 8 $ L ! AC

L

= σ #

! #

Aac 8 V AC

=

! AC ! #

V M

=

σ2C 8 (): -?m) σ3 8 K -?m)



(:: (



θ #

σ- 8 Q. -?m)

σ2C 8 Q./σ -?m)



Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo %


K *2C > *- 8 * K2. σ2C > 2 σ3 8 * N

K.K:: mm) x Q/.σ

mm

)

+ 5I:: × I:: − K5K::77.K

N mm )

= P

* 8 Q)N)Q:  * 8 Q)N.I P PROBLEMA Nº2:

na barra +orizontal de peso despreciable y que se supone absolutamente r!gido, está articulado en 2 como indica la figura y cuelga de una $arilla de bronce de ) m y otra de acero de ( m de longitud. #i los módulos elásticos son de QI y )::.K ?m ) para el bronce y el acero respecti$amente y los l!mites de proporcionalidad son de ): -n?m) para el acero y (: -n?m ) para el bronce, determinar los esfuerzos en cada $arilla.


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo %!


σ a

:.K

=

σ 

:.N

...5(7

que en (./ m 8 *2 :.K > *B 8 :.N PL !R:,K

=

P  L !A:.N

ω A .(m ) )::K N ? m

$ A $  $ A $ 

=

=

σ  )m ) QIQ N ? m :.N

)::.LK × ) QI.LN

= .I

(I./ 8 5.(I σB7 5K::mm)7:.K @ σB.I::mm) 5:.N7 (I./P 8 (QK.Q(:@Km σB > I::,N(:@KmN σB Resistencia de Materiales Materiales


Capitulo 1: Esfuerzos y cargas axiales @K

)

(I./P 8 (NQN./(: m σB N.//-?m) σB *ara σ2 8 .(I x N.// -?m) σ2 8 I( -n?m) PROBLEMA Nº2!:

na barra de acero de /: mm de diámetro y ) m de longitud se en$uel$e con un cascarón de +ierro fundido de / mm de espesor. Calcular la pieza de comprensión que es preciso aplicar para producir un acotamiento de ( mm en la longitud de ) m de la barra compuesta. *ara el acero, E 8 ):: x (:  ?m) y para el +ierro fundido. E 8 (:: (:: x (: ?m).

Como el +ierro fundido está en$uelto en la barra

) *re > *2C 8 * 2fe 8 5)./7)π 8 K)/ mm) Resistencia de Materiales Materiales



)

2al 8 5I:7 π @ 5)/7 π 8 ::π @ K)/π 8 )N/π

2demás Afe 8 Aal 8 ( mm Afe 8 ( mm mm 8 *re x ( 8 *fe *fe x )::: mm E x 2 (:: x (:I ?mm) x K)/π mm) K)/:::π  8 *Je

Aal 8 ( mm 8 *22 x L

*2C x )::: mm E x 2 ):: x (:I  x )N/ π mm) )N/::: π  8 *2l

*or lo tanto )*Je x *2B 8 * PROBLEMA Nº2":

na columna de madera de sección ):: 8 ):: min se refuerza mediante placas de acero de )/: mm de anc+o y espesor > en sus cuatro caras laterales. &eterminar el espesor de las placas de manera que en conjunto pueda soportar una carga axial de ():: P si que excedan los esfuerzos admisibles de Q -?m) en la madera y de (: -?m ) en el acero. Los módulos elásticos son E m 8 (:.(:I -?m) y Ea 8 )::.(:I -?m).

*m > *a 8 ()::P

σ- ≤ Q-?m)

2- 8 K./.(:@Im)

σ- ≤ (:-?m)

2a 8 N.)/: mm




Entonces σ- 8 σa

P M L ! M A M

=

PaL !aAa

omando es σ- ≤ Q-?m) *- 8 /:: P *a 8 N:: P

/::CN (:.(: I K)./(: −I m )

=

a

σ

)::.(: I

(K: -?m) 8 σ #obrepasa

Enlace σacero 8 (: m?m) (: MN ? m ) .(:.(: I

σ M

=

σ M

= N MN ? m )

)::.(: I

dentro del rango

Entonces σa 8 ( -?m) σ- 8 N-?m)

*- 8 N-?m) .K)./.(:@Im) *- 8 I.N./ P *- 8 K)./ P

Entonces A =

NK)./ KN (: MN ? m )



Capitulo 1: Esfuerzos y cargas axiales @I

)

2 8 /,K (: m

N.)/:(:@Im 8 /.K(:@I m)  8 /. mm

∴Hpta  8 /. mm PROBLEMA Nº2#:

n bloque completamente r!gido de masa - se apoya en tres $arillas situadas en un mismo plano, como indca la figura. Las $arillas de acero tiene una sección de ::mm), E 8 (): T*a, y esfuerzo admisible de ):3*a. La $arilla de acero tiene sección de ():: mm ), E 8 (:: T*a y el esfuerzo admisible es (: -*a. Calcular el máximo $alor de -.

Como el bloque es r!gido, significa que está en equilibrio, por lo tanto t anto σen 8 σ2C σ C%

.

σ C%

.

L !

= σ AC .

(K: mm ():$Pa

L !

= σ AC .

(:mm )::$Pa

σC 8 :. σ2C

#i

σC 8 N: -*a



σ2C 8 (: -*a

σ2C 8NN.Q -*a



σC 8()K -*a

&iagrama de cuerpo libre del conjunto


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo 5%


+"G A +"G A +4" 5 H +H A +4" 5 H  4σ"G 5 σ4" 5 H ) × L::mm ) × N:

N mm )

+ ()::mm ) × NN.Q

N mm )

= &

18<:0 ? 5 H

& = M × L.Q

m σ

)

→

)(LIK: N = M = )).(:I kg m L.Q ) σ

*ero PROBLEMA Nº2+:

Los extremos inferiores de las partes de la figura están en el mismo ni$el antes de colgar de ellos un bloque r!gido de masa (Q -g. -g. Los bonos de acero tienen tienen una sección e K:: mm).




2cero

Bronce

2 8 K::.(:@Km)

2 8 ::(:@Km)

E 8 ):: K?m)

E 8 QIK ?m)

L 8 (: m

E 8 (.K m

Entonces asumimos

entonces +allando los esfuerzos NI.L KN

σacero 8 σ bronce

Pa.(m )::.K::

Pa (L):

=

=

σa 8

K::.(: − K m )

P  (,Km N(N

σa 8 ()I,( -?m)

P 

)Q.N KN

N(N

L::.(: −K m )

σ b 8

*a 8 ():

σB 8 I(.Q -?m)

*B 8 )Q,N P PROBLEMA Nº3,:

La plataforma r!gida de la figura tiene masa despreciable y descansa sobre ) barras de aluminio, cada una de )/:.:: mm de longitud. La barra central es de acero y tiene una longitud de ).: mm. Calcule el esfuerzo en la barra de acero una $ez que la carga central * se +aya aplicado. Cada barra de aluminio tiene un área de (): mm) y un módulo E de N:: x (: ) -*a. La barra de acero tiene un área de ):: mm) y un módulo E de ):: T*a.




Cuando se descarga, ocurre el equilibrio.

 +or A +a 5 8G 5 0  +or B +a 5 800 I? +a 5 -800 I? A  +ar.

En las deformaciones

*a 8 )N. mm ):: mm) 8 ):: x (:I ?mm) *al x )/: mm

Da 5 Da A # +a. La 5 +ar .La A 0.1 mm E. 4a 5 E. 4a

():: mm) x (: x (:I ?mm) > :.( mm /.)( x (:@N *a? 8 ).Q x (:@K *or? > :.( K.Q x (:@) R (:.Q x (:@N 8 *or? 8 ).Q x(:@K *a? > :.(

σ a

=

N(K × (: I N )::mm )

8 )Q.I -*a PROBLEMA Nº31: Resistencia de Materiales Materiales



El conjunto de la figura consiste de una barra r!gida 2B, de masa despreciable articulada en 1 mediante un perro y fija a las $arillas de aluminio al uminio y de acero. E la configuración mostrada, la barra 2E está en posición +orizontal y +ay +a y en claro 28 mm entre la punta inferior de la l a $arilla de aluminio y su articulación en &. calcule el esfuerzo en la $arilla de acero cuando la punta inferior de la $arilla de aluminio se articula en el apoyo 2. 2.

*ara la articulación en 2, la de formación de aluminio alu minio es de tracción

σ AC

:.K

σ AC

=

σ AC

(.)

= :./σ AC

&iagrama de cuerpo libre de la barra

Entonces

'JK 5 0 -+4" 5 0.: * 10 < mm! A + @'1. * 10
σ2C 8 *2C (./ x (: Imm 8 :.)/ x

+@' 5 0.> + 4"

@

(: σ2C I:: mm) > ):: x (: I ?mm)

*2L σ2C 8 *2L (.K x (:Imm 8 :.:/ x (:@I *2L :: mm) x (: x (:I ?mm)

)σ2C > σ2C 8 :.: mm :./ x (:@ *2C > :.:/ x (: @I *2L 8 :: mm Resistencia de Materiales Materiales


Capitulo 1: Esfuerzos y cargas axiales @

@

:./ x (: *2C > :.) x (: *2C8 :: mm :.N/ x (:@ *2C 8 :.:  *2C 8 :.:/I x (:  

σ AC

=

:.:(I × (:  N I::mm

)

8 (.NN *a PROBLEMA Nº32:

na barra +omog"nea se empotra, determinar el esfuerzo en el segmento BC.

3allar *BC

∴ R A =

).(m. P (

). (

).N

R A

=

R A

= (L. KN

).N

× )/ KN

Healizando cortes en la barra

*BC 8 *( R H 2 *BC 8 )/ P R (, P Resistencia de Materiales Materiales



*BC 8 @/,// P

*or lo tanto σ 8 @/.// Mn

/::.(:@K m) σ 8 ((,( -*a

Hpta ((,( -*a PROBLEMA Nº33:

La barra representada en la figura está firmemente empotrada en sus extremos. &eterminar los esfuerzos en cada material se aplica la fuerza axial * 8  .

Cálculo de los esfuerzos @H 2 > * R H C 8 : * 8 H 2 > H C H 2 > H C 8 

Cálculo de las deformaciones Como no se alarga no se acorta. σ2L 8 σ2C

− RA RA.)::mm (: × (: I

− RA =

N mm

)

× L::mm )

=

5 − RA + L N 7.I::mm N × ()::mm ) ):: × (: I ) mm

KI5 − RA + L N 7 (K:

@H 2 8 @:.I H 2 > I./ Resistencia de Materiales Materiales



@:.K( H 2 8 I./  H 2 8 /.Q 

Entonces H 2 > * R H C 8 : /.Q 2 >  8 H C (.Q  8 H C PROBLEMA Nº34:

na $arilla está formada de tres partes distintos como indica la figura y soporta unas fuerzas axiales * ( 8 (): P y *) 8 /: P. &eterminar los esfuerzos en cada material si los extremos están firmemente empotrados en muros r!gidos e indeformables.

Entonces

"ompresión +@ 5 4

"ompresión +4l 5 +1 B 4

7racción 7racción +ac 5 +1 A + B 4




8 : σ bronce @ σalum > σacer 8 R A . L  !  . A 

+

R:.K:: QI.):: R: .K QI)

+

5 P ( − R A 7

=

! A' . A A'

+

5 P ( + P ) − P  7 La" !a + Aa

5(): KN − R R 7:: N:.()::

5():k − P  7 N:.()

=

=

(N: − R A K::.)::

5(N: − R A 7 ()::

.I::

I

&espejando :.:::N/ *B 8 @:.(K H 2 8 @(/.(K

∴ σ  =

(L/.(K N )::(: −K m )

∴ σ AL =

∴ σ a =

I(:.(K N ()::(/K m ) IK/.(K N

K::(/K m )

= Q(.I(k Pa

= )K).KI k Pa

kP a = K:Q.K kPa

PROBLEMA Nº3:

Hesol$er el problema anterior si los muros ceden, separándose :.K: mm al aplicar las fuerzas dadas * ( 8 P ( y *) 8 (

Cálculo de los esfuerzos H 2 R *( R *) > H 2 : H 2 > H & 8 (: P Resistencia de Materiales Materiales



Cálculo de las deformaciones σ2B > σBC > σC& 8 : R A .K::mm N QI × (: I × )::mm ) ) mm

R A II)

+

R A

− L KN

)((Q

+

R A

5 R A

+

N:K × (:

− (: KN ::

− L KN 7.::mm N

I

mm )

× ()::mm

+ )

5 R A

− (: KN 7.I::mm

):: × (:

I

N mm )

× K::mm

=: )

=:

I.:( x (:@I H 2 > :.N x (:@I H 2 R .)/ x (:@I>)./ x (:@I H2R:.:)/8: /.Q x (:@I H 2 8 :.:)/ P H 2 8 .(Q P

Entonces H 2 > H 2 8 (: P H & 8 (: P R .(Q P H & 8 /.Q) P PROBLEMA Nº3! :

na $iga r!gida de masa despreciable está articulada en un extremo y sus p"rdidas de dos $arillas. Calcular el mo$imiento $ertical de * 8 (): P.

a

σ

=

Im

σ AL

/

=

4luminio

4 5 :00 mm 

4 5 800 mm 

E 5 00 =+a

E 5 F0.: +a

Km

&e la relación se obtiene P (

4cero

L5Cm

P )

L 5
/

*( 8 / M

*)

8

(:M *( 8 /: P σ a

=

*) 8 N: P

/: KN m )::$Pa .K::mm




σa 8 (.KK mm

&el gráfico Entonces σ a

I

=

AL /

4L 5 .FC mm 2e movió una longitud de .CC mm PROBLEMA Nº3"

na barra r!gida de masa despreciable está articulada en sus extremos y suspendida de una $arilla de acero y una de bronce, seg;n se muestra en la figura. Cuánto $ale la máxima carga * que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de (): -?m) ni uno de bronce de N:-?m).

4 5 00 mm  E 5 <: =+a L5m

Cálculo de los esfuerzos

@J' 5 0 7@ A >7" B=+ 5 0 7@ A >74 B=+




Capitulo 1: Esfuerzos y cargas axiales σ AC

)

=

σ R

/ L

)

σ AC

=

σ AC

=

σ AC

= :.Kσ R

!

=

/

I

σ R

=

)::

) /

.

L !

σ R

.

) QI

#i σ AC

= (): → σ R = (::

σ R

= N: → σ AC = )

σ R

=

σ (C

= )

N:. N mm )

=

N mm )

P R ) Q::mm

=

→ P R = /K KN

(:C L:: mm )

→ P AC = IN KN

*or lo tanto )5IN P7 > /5/KP7 8 T* * 8 / P PROBLEMA Nº3#:

res $arillas situados en un piano, se forman conjuntamente una fuerza de (: P como se indica en la figura, determinar las tensiones que aparecen en cada una.




σa. "os<0; 5 σ@

*.P (I . CosI: ):: P A )::.)

=

=

*b.)K QI

P  QI.(/

7enemos 7enemos +a 5 C00  +# 5 1F> 

*or estad!stica obtenemos Σ 6% 5 0

+a A +# . 2en:0 5 In C00  0,< I 5 8 In I 5 1C,C ?

Entonces las tensiones *a 8 :: M *a 8 /K  *b 8 ()N,/ P *b 8 (QN 

Entonces Las tensiones son +a 5 >F8: ? +# 5 1C,FC ?

PROBLEMA Nº3+:

res barras 2B, 2B, BC y 2& se articulan en 2 para soportar juntas una carga * 8  como co mo se indica en la figura. El desplazamiento +orizontal del punto 2 está impedido por una corta $arilla +orizontal 2E que se supone infinitamente r!gida. &eterminar los esfuerzos en cada barra y lo pesa total en 2E. *ara la barra de acero, 2 8 ):: mm) y E 8 ):: T*a y para cada una de las barras de aluminio, 2 8 :: mm) y E 8 N:T*a.




&iagrama de cuerpo libre

Σ6* 5 0

-?a2en<0; A ?a 2enC>; - ?de 5 0



?al2enC>; 5 ? 'E B ?al2en<0; Σ6% 5 0

?ac A ?a11 A "os<0; A ?al "os C> B 8? 5 0



?a1 A ?a1"os<0; A ?al "osC>; 5 8?

Cálculo de los esfuerzos σ4@ 5 σ4@ "os<0; σ4@ 5 σ4@ 2enC>;

P A . L A. !

=

P A . I Resistencia de Materiales Materiales

:: × N:

P AC A. ! .

=

CosI:O

P AC . R. I

→ P Mendoza A = :.N P AC gadillo Dr. G Gerardo erardo Del Delgadillo × ):: )::.)

67


P A .) ) :: × N:

=

P AC .). ) ):: × )::.)

→ P AD = :.I/ P AC

:.) *2C > :.K( *2C > *2C 8 

*2C 8 .QK , *2& 8 (N, *2B8I.



Entonces 1E

8 (.N#en/ > I. #enI:O #enI:O 8 (.)  > (.N 

1E

8 ).  57

Cálculo de los esfuerzos σ A

=

N A A

=

I. N ::mm

)

8 :.:Q/ *a σ AC

=

N AC A

=

.QK N )::mm )

8 :.:) *a σ AD

=

N AD A

=

(.N N ) ::mm

8 :.:: *a PROBLEMA Nº4,:

na $arilla de acerote )./ m de longitud está firmemente sujeta entre dos muros. #i el esfuerzo en la $arilla es nula a ):OC, determinar el esfuerzo que aparecerá al descender la temperatura +asta @):OC, la sección es de ():: mm ), α 8 ((,N um 5mOC7 y E 8 ):: K?m ). Hesol$er el problema en los casos siguientes Resistencia de Materiales Materiales



a7 -uros completame completamente nte r!gido r!gidoss e indeformab indeformables. les. # 8 αL527 47 5 C0;" 4 5 100 mm  α 5 11,F umMm;"

Entonces #p 8 #t 8 :

* 8 α 2 . E2

#p 8 #

# 8 α 2 . E

PL !A

= α LAT

((,N

)m mO C

.:O C .)::

#8

K N m)

# 8 IK::.P*a

b7 -uros que seden ligeramente, acordándose su distancia en :,/ mm al descender la temperature de la barra.

2 7 5 2p A 0,> m PL tA

= :,/

αL47 -

Entonces Hpta a7 IK: P*a

((.N(: − K

m mO C

.)/m.: O C − :,/mm

b7 σ 8 /I,K -?m

K.),/m K::$Pa

K.),/ )::$p -:

PROBLEMA Nº41:

-<

11F00.10 m B 0.>.10 m 5 α 5 ><: J?Mm 

n bloq loque qu quee tien tienee una carg cargaa de -a pendiente de tres $arillas sim"tricamente colocadas, como se indica en la figura. 2ntes de colgar el bloque, los extremos inferiores estaban al mismo ni$el. &eterminar la tensión en cada $arilla, despu"s Resistencia de Materiales Materiales


de suspender el bloque y de una ele$ación de temperatura de :OC emplear lo siguiente

1: Esfuerzos y cargas axiales Aarilla Capitulo 2 cero Bronce

Xrea 5mm)7

/::

::

E 5?m)7

):: x (:

QI x (:

α5um?mOC7

((.N

(Q.

27 5 αL47 L47 47 5 C0;"

Entonces #*2C *2C > #2C 2C 8 #*B > #B Resistencia de Materiales Materiales



P AC .:./m N )::.(: L ) ./::(:−K m ) m

P AC )::.(: K N

P AC K

)::.(: N

P AC )::

−

+ )I.(: −K =

−

P  N.N

P  K

N.N(: N

+ ((.N(: −K ?O C .:./m.:O C =

P  N.N(:K N

+ N/K.(: −K

P  (m N QI.(: L ) .L::mm ) m

+ (Q.L(: −K.(m:O C

+ N/K.(: −K

)I.(:

−K

/)).....5(7

N.N *2C R ):: *B 8 NNQ,KQ P )*2C > *B 8 ,:/: P Entonces *ac 8 I,K P *B 8 @)/,(IQN P

σa 8 I,:Q P 8 N,:-?m) 5tensión7 σ b 8 @)/,(IQN P 8 )N,Q )N,Q ?m) 5compresión7

::.(:@Q PROBLEMA Nº42:

. n bloque r!gido que tiene una carga de  -g pende de I $arillas sim"tricamente colocadas, como se indica en la figura. 2ntes de colgar el bloque, los extremos inferiores de las $arillas estaban al mismo ni$el. &eterminar la tensión en cada $arilla despu"s de suspender el bloque y de una ele$ación de temperatura de :OC. Emplear los datos de la tabla siguiente

Xrea 5mm)7 E 5?m)7 α5um?mOC7 Resistencia de Materiales Materiales

-.r(%%. /0 .' .'0r$

.r(%%. /0 /0 r$*'0

/:: ):: x (: ((.N

:: QI x (: (Q. Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo 71


2nalizando

2 74L A 24@L 5 2 7@ A 2+@ P AL . L ! . A.

= α AT . L +

P  . L ! . A.

α.47.L A

P AL .:./ × (: I mm

11.F * 10 -:M;" . 0.> * 10 < mm A

):: × (: I N × /::

P  × (: I mm

(Q. x (:K x : x (:I mm >

QI × (: I N × L::

)/ x (:@I mm > :.:I x (:@I *2L 8 N/K x (:@I mm> :.:( x (:@I *E :.:I *2L R :.:( *B 8 /))  Resistencia de Materiales Materiales



I*2H R R *B 8 /)) x (:  ) *2C > *B 8 I):  /*2C 8 (:  R *2C 8 (Q)QQ  ∧ *B 8 )KK  PROBLEMA Nº43:

Con los mismos datos del problema )/ determinar la ele$ación de temperatura necesaria para que la carga aplicada sea soportada ;nicamente por las $arillas de acero. #i m 8 -g

peso 8  x .Q( 7 QQ.) P



&atos

Xrea 5mm)7 E 5?m)7 α5u?OC7

A'0r$

Br$*'0

/:: ):: x (: ((.N

:: QI x (: (Q.

#olución #i ( 8 ) ) ) 8 QQ.) P



( 8 ) 8 .(/ P



σb 8 σa > σ*a

Entonces

5α. 2. Lo7b 8 5 α. 2. Lo7 ac > −K

 P . L.  α    ! . A 

(Q.L × (: 5(7 × AT = ((.N × (:

(Q.L × AT = /.Q/ AT +

−K

(

.(/ × (: I × 5:./7

)

5/:: × (: −K 75):: × (: L 7

× × AT +

.(/ ): × (: − )

(I.:/ 2 8 )):.N/ 2 8 (K.(0C



PROBLEMA Nº44: Resistencia de Materiales Materiales



na $arilla de acero de (/: mm de sección está sujeto en ss extremos a dos puntos 5(/:7 estando estirada con una fuerza total de /::  o ):0C, calcular el esfuerzo de la $arilla a @):0C V2 qu" temperatura se anulará el esfuerzoW 4 5 1> mm 

E 5 00 * 10 8 ?Mm

0N" 5 7o "alcular el esfuer$o 76 5 -0N" 47 5 C0N" Entonces se deduce que PL !A

= α AT . L

+ 5 E4 . α. 47 47 P = )::.(: L

N m

)

.(/:mm ) .((.N.(: −K.:°C

+ 5 1C0C0.000 ?

Entonces * 8 (::.::: > /::: * 8 (::  σ 8 (:: 

(/:.(/Km)

# 8 ()N - ?m )

Entonces +allando en el caso 5b7 2 2 oda oda la deformación producto será igual a la deformación producida por la . σ > σ* 8 σ requerida α . LAT +

PL !A

= α AT

)I.(:@K > (KK.(:@K 8 ((.N(:.(:@K2 ::.(:@K 8 ((.N.(:@K L( 2 8 I.(Q PROBLEMA Nº4: Resistencia de Materiales Materiales



na $arilla de acero anclado cubre ) muros r!gidos queda sometida a una tensión de  a ):0C. si el esfuerzo admisible es de (I: -?m), +allar el diámetro m!nimo de la $arilla para que no se sobrepase aquel al descender la temperatura +asta ):0C suponga α8((.N um?m0C y E 8 )::K*a.

2nalizando *2C σ2C 8 σ*2C P . L. A. ! .

α.L.2 8 AC .

σ

α.L.2 8

L. ! .

σ2C 8 α.2.E σ2C 8 ((.N x (:@K ?0C 5:0C7.):: x (: I -?mm) σ2C 8 I.K -?m) AC =

σ

PAC PAC A

L N N LIK mm )

:.(mm

:. π

)

mm )

≤ LI.K MN ? m )

≤ A

 D )  ≤ A π      ≤ D )

:.IK mm U & Es el diámetro m!nimo :.IK mm




PROBLEMA Nº4!:

Los rieles de una $!a f"rrea de (: m de longitud, se colocan a una temperatura de (/0C con una +olgura de I mm Va qu" temperatura quedarán al topeW Calcular el esfuerzo que adquirir!an una temperatura si no existiera la +olgura se%alada α 8 ((.N[?0C y E 8 )::T*a.

#olución Espacio 8 (./ x (:@I para cada riel Entonces (./ x (:@I m 8 α. 2 x Lo ((.N ×

(: −K

@I

(./ x (: m 8 (./ × (: ((.N

)

°C

× AT × (:m → (./ × (: −I = ((.N × (: −I × (: −I × AT × (:

= AT → AT = ().Q)°C

∴J 8 (/0C > ().Q/: 8 )N.Q):

*ara el segundo caso

σ 8 )* 8 ((.N x (:@K x ().Q) x ):: (:

* 8 ((.N x ().Q) x (:/ * 8 (. x (:K*a Resistencia de Materiales Materiales



∴* 8 (. -*a PROBLEMA Nº4":

2 una temperatura de :0 se coloca una planc+a r!gida que tiene una masa de  -g sobre dos $arillas de bronce y una de acero, como se indica en la figura V2 qu" temperatura quedará descargada de la $arilla de aceroW &atos 2 8 K::: mm), E 8 ):: x (: ?m ), α 8 ((.N um?5m.0C7. Bronce 2 8 K::: mm), E 8 QI x (: ?m), α 8 (.: um?5m0C7.

705 0N" + 5 8 * 10 -< g * 8.1 mMs 5 .8 I?

Σ6% 5 0 7 A 71 5 +, pero 7 1 5 7

7 5 .8 I?



7 5 CC.1C> I?



2+ora σ5acero7 8 σ5bronce7 @ σ*5bronce7

((.N ×

(: −K

°C

−I

× AT × I:: × (: = (L ×

(: −K

°C

× AT × )/: × (: −L − .(/ × )/: × (: −I × (: −K

QI x (:I x K x (:@I ((.N x 2 x I:: 8 ( x 2 x )/: R .(/ x )/: x (:I x QI x K I/( 12 8 N/: 2 R )(K(.( (): 2 8 ))(K(.(0C 2 8 (N.QN0C (N. QN0C 

∴  8 ):0C > (N.QN 8 IN.QN0C

PROBLEMA Nº4#:

2lta temperatura de ):OC +ay un claro 2 8 :.) mm entre el extremo inferior de la barra de bronce, determinar el esfuerzo en cada barra cuando la l a temperatura del conjunto se ele$a a (::OC. Resistencia de Materiales Materiales



47 5 0;" @ronce

4 5 :00mm  t 5 <.10 8 ?Mm α 5 1.8 m nMm;"

4cero

4 5 C00mm  t 5 .00 * 10  ?Mm α 5 11.F u mMm;"

Lo acero 5 00 mm Lo #ronce 5 F8. mm

L2 δ 8 α L2

Helacionando δB @ δ b @ δa @ δa 8 :.) mm PbNLLQmm L

QI.(: N ? m.::mm

)

− ((.N(:−L.Q::mm.Q:O C −

Pa.Q::mm L M ) )::.(:− .::mm n

= :.)mm

(Q..(:@K RNQm?nQ:OC@ ():)N.K(:@K R (K.:K *b? R NQQ::.(:@K R (:*a? 8 :.Q :.K: R (K.:K *b? R (:*a? 8 :.Q (K.:K *b > (:*a 8 :.)K @ *B > )*a 8 :

Entonces del siguiente sistema de ecuaciones. 1btenemos *b 8 :.:()I  *a 8 :.::K)  PROBLEMA Nº4+:

n cilindro de aluminio y otro de bronce, perfectamente centrados se aseguran entre dos placas r!gidas que se aseguran entre dos placas r!gidas que se pueden apretar mediante dos tornillos de acero, como se obser$a en la figura. 2 (:OC no existen fuerzas axiales en conjunto del dispositi$o. &eterminar las tensiones en cada material a :OC con los siguientes datos 2luminio, 2 8 ():: mm), E 8 N: x (: ?m), α 8 )I unm?mOC Resistencia de Materiales Materiales





)

Bronce, 2 8 (Q:: mm , E 8 QI x (: ?m , α 8 ( unm?mOC Caja tornillo, 2 8 /:: mm), E 8 ):: x (: ?m), α 8 ((.N unm?mOC

Como el acerop comprime a los l os cilindros de 2l y Bronce, estos producen una carga )*ac 8 * *al 8 *



*ac 8 *?)

*br 8 *

2demás 4Lal B Dal A 4L@r B D@r 5 4Lac A Dal 4demás

7i 5 10;" 7f 5 80;" 80;"

7f B 7i 5 0;"



α2t.L *2L.L > α.2.L R *B.L 8 α2.L > *2L.L Resistencia de Materiales Materiales



E.2. )I × (: −K O C

E.2.

P .N/mm .Q:O C .N/mm − N × ()::mm ) N: × (: I. ) mm

((.N × (: −K O C

(.IQ × (:

E.2.

−(

.Q:O C .)(/mm −

−

:.QL P × (: −K

N

+

(L × (: −K O C

.(::mm −

P .(::mm N × (Q::mm ) QI × (: I ) mm

P ().)(/mm N × /::mm ) ):: × (: I ) mm

−(

+ (./) × (: −

:.KN × (: −K P

N

−(

= ).:(× (: −

(.:Q P × (: −K

N

:.Q x (:@  8 :.Q x (:@K * (.Q/ x (:/  8 * (Q/:::  8 *

*ara determinar las tensiones o esfuerzos *al 8 (Q/:::  *Br 8 8 (Q/:::  *a 8 )/:: 

σ A'

=

(Q/::: N

σ r

=

(Q/::: N

σ AC

=

(): mm )

(Q:: mm ) L)/:: N /:: mm )

= (/.) MPa

= (:).Q MPa

= (Q/ MPa

PROBLEMA Nº,:

n cilindro de acero está dentro de un mangilo de bronce, ambos a mbos de la misma longitud y los l os dos juntos soportan una fuerza $ertical de compresión de )/: P que se aplica por intermedio de una placa de apoyo +orizontal. &eterminar 5a7 la $ariación de temperatura con lo que el acero queda totalmente cargado. 5b7 La que descarga por completo el bronce.


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo "

=


2cero 2 8 N):: mm

4 5 1.10 < mm

@ronce

E 8 ):: T*a

E 5 <: +a % E 5 < =+a

α 8 ((.N um?m.OC

α 5 18.0 umMm.;"

a! 4nali$ando el caso σ 7@ - σ+@ 5 σ 74" el acero L. AT −

α

PL !A

(L.(: −K AT −

5b7 2nalizando para el caso FbG

para que no e*iste + en



= α LAT )/: KN I

QIKK .().(: mm

)

= ((.N(: − K AT

F.<10-:4 5 0.>1.10 -< 47 5 

σB 8 σa @σ*a PL !A

α2 8 α2 @

(Q.(:@K 2 8 ((.N(:@K 2 R )/: P )::T*a N):: mm) N.I 2 (:@K 8 :.:::(NIK 2 8 )I.NQ).:: Entonces Hpta a7 2 8 I.IQ

b7 2 8 @)I.NQ)

PROBLEMA Nº1:

n manguito de bronc ese monta sobre un tornillo y se sujeta mediante una tuerca. Calcule el cambio de temperature que causara que el esfuerzo en el bronce sea de ): 3*a. *ara el tornillo de acero. 2 8 /: mm), 2 8 /: mm), E 8 ):: T*a y α 8 ((.N um?mOC para el manguito de bronce. 2 8 :: mm ), E 8 QI T*a y α 8 (.: um?mOC.


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo 1


σ (

= α  . AT . L

σ I

=

P  . L A. !

σ 8 σ( @ σI 8 σ) > σ α  . AT . L

,

σ )

= α A . AT . L

,

σ 

=

P A . L A. !

5ecuación de compatibilidad7

L

P A . L

!

A. !

− α  . = α A . AT . L +

*or ecuación de equilibrio *b 8 *a ): N ? mm )

−K

(L × (: . AT −

QI × (: / N ? mm )

= ((.N × (: − K ?O C . AT +

: N ? mm ) ):: × (: I N ? mm )

2b. 2 8 2a. σa N

:: mm) x ):

mm )

= /:mm ) .σ a → σ a = : ( (:

+

): QI

N mm )

= :.)K

2. N.I x (:@I?OC 8 2 8 I/.KOC PROBLEMA Nº2:


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo #


En el problema anterior Va que temperatura alcanzará el esfuerzo en el aluminio y el acero el mismo $alor num"ricoW

2luminio

2cero

E 8 N: x (: ? ?m

E 8 ):: x (:/ ?m

2 8 :: mm)

2 8 ():: mm)

α 8 )I: m?mOC

α 8 ((.N m?mOL

*or el m"todo de superposición

tilizando las secciones σ( 8 >H (.L(

5acortamiento7 σ1 5 σ porque no se acorta ni se alarga!

2(. E( σ) 8 5@H (>7.L) 5alargamiento7

2). E)

R( . L( A( . ! (

=

− R( + L N . L) A) . ! )

→

Q:: H ( 8 (Q: 5@H( > 7

R( .)::mm N × L::mm ) N: × (: I ) mm



KK:

5− R(

=

+ L N 7.I::mm

):: × (: I

N mm

)

× ()::mm )

H ( 8 (N:(:  H ( 8 )./  H ) 8 K.K 


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo $


&el sistema 2l 8 α(.L(.2 > α).L).2 )::mm I::mm  ∆ L = σ T → )I × (: −K ?O C . AT .)::mm + ((.N × (: −K ?O C AT = F  +   I I  L::.N: × (: ()::.):: × (: N 

2.x(:@).Q(.(?OC 8 :.:I/ J J 8 ).I/ 2 ?OC PROBLEMA Nº3:

*ara el conjunto mostrado en la figura, determine determine el esfuerzo en cada una de las dos $arillas $erticales si la temperatura se ele$a :OC despu"s que se aplica la carga * 8 /: P-. &esprecie la deformación y la masa de la barra +orizontal.

&atos. 2luminio

2cero

2 8 :: mm)

2 8 K:: mm)

E 8 N:: ?m)

E 8 )::x (: ?m

α 8 )I um?mOC

α 8 ((.N um?mOC

2 8 :O

3allando la (era ecuación *or estático momento I*( > K*e 8 Q* 8 :

...


5(7 Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo %


Entonces por proporcionalidades δ T

+ δ F ( I

=

+

δ T δ p

K

)α A' . L A' . AT +

) P ( L ! ( A(

= α . LAT +

) P ( I

−K

).)I.(: .:.Im +

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P ) L ! ( A(

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:./)I *( R :.III*) 8 @IKQ *( > )*) 8 ).)/ *( 8 @I.))N  *) 8 (.N)K 

2 8 *B R *2 ((.N x (:) OC

2demás *2 R *B > *C R  8 : *C R  8 *B R *2

2 8 *C R  ((.N x (:) ?OC ((.N × (: )

N O C

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PC − L N AT

H B 8 H 2 2) 8 2( R' − F R(+ F A(

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A)

K.K N − F

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=

RJ*N RJ*N + + F L::



(.IK R IJ 8 (:.(K > J Resistencia de Materiales Materiales



.) 8 NJ (I( 8 J

Entonces (.I(  8 H.I/ 2  (0 C :./K0C 8 2 2

2demás  8 (: > & 8 ):0 C > :,/K0 C 8 ):./K0C PROBLEMA Nº4:

La barra r!gida 2B está articulada mediante un perno en 1 y conectada a dos $arillas seg;n se muestra en la figura. #i la barra 2B se mantiene en posición +orizontal a determinada temperatura, calcule la relación de áreas de las $arillas para la barra 2B se mantenga +orizontal a cualquier temperatura. &esprecie la masa de la barra 2B.

2luminio

2cero

E 8 N: T*a

E 8 ):: T*a

σ 8 )I mm

σ 8 ((.N um?mOC

L8Qm

L8Qm

Equilibrio de la barra.




En un aumento de temperatura, se dilata 1 31 8 : @*2L 5Im7> *2C5 m7 8 : *2C 8 :.N/ *2L

*ara que la barra permanezca r!gida σ2l 8 σ*al . AT . La

σ

)I × (: −K O C

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∧ Pa' . L

σ . AT . La"

! .a' . Aa'

Pa'

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(K( × (: − ). AT . Aa' =

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N

I

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Pa

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6gualando )I. (:

AT . Aa

Aa"ero Aa')m

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N mm ) O C

=

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AT . Aa'

N mm ) O C

().:N/ )I.

8 :./) PROBLEMA Nº:




n eje macizo de aluminio de Q: mm de diámetro diá metro se introduce concentradamente dentro de un tubo de acero. &eterminar el diámetro interior del tubo de manera que no exista presión alguna de contacto entre eje y tubo, aunque el aluminio soporta una fuerza axial de compresión compresión de  Mn. *ara *ara el aluminio  )  8 (?I y Eq 8 N: x (: ?m

S$%&'()*:

φ 8 Q: mm % =

Jaxial 5:7 8 P \ Tx =

F A

(

= N: x(I ? m )

/

→ Tx = −

L x(:I N π



#i

5:,:Q7 )

=

L::: π



5K, + (: − I 7

x 8 @(.N -?m)



2+ora ! ,

= −)

Tx !

(

(.NL × (: K N ? m )

I

N: × (: L N ? m )

= − ×−

( (.NL × (: K

= × I

N: × (: L

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(.NL )(: × (: I

Ey 8 Q./) x (:@K



Entonces x E x L

y 8 Q./) x (:@K 5Q:7



8 K,:(K x (:@ 8 :,:::K mm

∴ &6nterior 8 8 Q: > :,:::Q mm 8 Q:,:::K mm


Dr. Gerardo Gerardo Mendoza Delgadillo Delgadillo 

Esfuerzos y Cargas Axiales

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