1).- COMBINACIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y POR FLEXIÓN. La Viga simplemente apoyada de la figura (fig. 9-a) soporta una carga concentrada
.
Supongamos que la vida está unida a los apoyos en el centro de gravedad de las secciones extremas. En el punto , el esfuerzo normal de flexión es
. =
Es una tensión dirigida
perpendicularmente al plano plan o de la sección recta, como indica en la figura, y la fuerza f uerza que actúa sobre un elemento diferencial de área es
.
Si la misma vida apoyada en la misma forma se somete solamente a la sección de una fuerza axial
(fig. 9-b) los esfuerzos axiales se distribuyen uniformemente sobre cualquier sección
transversal. Su valor es
=
y también es una tensión perpendicular a la sección recta. La
fuerza que actúa en el mismo elemento es .
Si ambas cargas que actúan simultáneamente en La Viga (fig.9-c) el esfuerzo resultante en
se obtiene como superposición de los dos efectos aislados. En efecto la fuerza resultante que actúa sobre el elemento diferencial es el vector suma de las dos fuerzas coaxiales
.
Dividiendo es la fuerza entre el área
se
deduce el esfuerzo resultante
y = +
dirigido perpendicularmente a la sección recta. Análogamente, en un punto
de la misma sección, también a distancia y de la línea neutra,
pero por encima de ella, el esfuerzo resultante es la diferencia entre los esfuerzos axial y por flexión. Si a los esfuerzos de tensión se les da signo positivo y a los de compresión, negativos, el esfuerzo resultante en un puto cualquiera de la viga dado por la suma algebraica de los esfuerzos axial y de flexión en aquel punto:
= ± De la cual se obtiene.
Obsérvese que el esfuerzo axial puede ser de tensión o de compresión. Este es el motivo de poner los signos positivo y negativo delante de P/A, y el rodearlos con un círculo es para recordar que el esfuerzo axial es uniforme en toda la sección recta.
Figura 9-2
En la ecuación se ha aplicado el método de superposición. Aho ra bien, hay que tener en cuenta la modificación que la carga axial puede introducir en el momento flexionante, como se aclara a continuación. La figura 9-2 muestra, muy exageradamente, la flexión producida por una carga
en una viga. Si es de tensión, como en la figura 9-2a, el momento flexionante producido por En cualquier sección, y que vale , tiende a disminuir el momento producido transversal
por
y,
por tanto, reduce los esfuerzos por flexión, y al contrario ocurre si se trata de una
compresión axial. En otras palabras, los valores dados por la ecuación (9-1) son algo mayores que los reales si es de tensión, y menores que los reales si
es una compresión. Este efecto
es despreciable en muchas ocasiones si las barras o elementos de la estructu ra son tan rígidos
son muy pequeños frente a los producidos por el momento flexionante de las fuerzas transversales , es decir, si las deflexiones son muy pequeñas. Pero que los esfuerzos producidos por
si las barras son largas y flexibles, el efecto puede tener su importancia y deben emplearse otros procedimientos más exactos de cálculo.
2).- NÚCLEO CENTRAL DE UNA SECCIÓN Un caso particular de esfuerzos axiales y de flexión combinados es el que representa la figura 9-5a en la que un puntal de pequeña longitud (a) soporta una carga
aplicada con una cierta
con respecto a uno de los ejes principales de la sección (b). La superposición de un sistema nulo, dos fuerzas iguales y opuestas del mismo módulo que , aplicadas en el excentricidad
centro de gravedad de la sección, da lugar al sistema equivalente indicado en la figura 9-5b.
Los esfuerzos en una sección cualquiera m-n son el resultado de la superposición del
= ,
de compresión, que aparece en la figura 9-5c, y del esfuerzo por
= =
que se ve en la figura 9-5d. si el esfuerzo por flexión máximo es
esfuerzo axial flexión
mayor que el esfuerzo axial, el esfuerzo resultante tiene la forma de la| figura 9-5e. El punto de esfuerzo nulo es la nueva posición de la línea neutra y se encuentra fácilmente hallando la distancia
a la que el esfuerzo por flexión (positivo) es igual al esfuerzo axial (negativo).
Por tanto,
= = De donde:
=
Es evidente que, si el esfuerzo axial de comprensión es igual o mayor que el máximo esfuerzo de flexión, no existirá zona alguna que trabaje a tensión. Para conseguir esto en una sección rectangular de ancho b y altura h con P aplicada con una excentricidad e (sobre la altura h, figura 9-6) se ha de tener:
ℎ 2 = = ℎ 3 12
En estas condiciones, la excentricidad máxima paro no tener tensión es:
=
ℎ 6
Esta fórmula es el fundamento de la regla usual en diseño de obras de ladrillo o de otros materiales muy poco resistentes a tensión, de que la resultante de las cargas debe pasar por el tercio central de la sección.
Consideremos ahora el caso general (c) en el que la carga P se aplica en un punto arbitrario de una sección cualquiera, siendo sus coordenadas
y
con
respecto a los ejes principales de la sección, como indica la figura 9-7. Los momentos de P con respecto a los ejes X y Y son , respectivamente,
y
.
Por superposición, el esfuerzo en un punto cualquiera (x, y) de la sección viene dado por:
( ) =− − −
Para determinar la línea neutra, o línea de esfuerzo nulo, se resuelve la ecuación
0. Teniendo
en cuenta que
=
e
= , siendo
y
=
los radios de giro
respecto de los ejes los radios de giro respecto de los ejes Y y X , se tiene:
0 = 1 + −
(a)
Que es la ecuación de una recta cuyas intersecciones con los ejes (ordenada y abscisa en el origen) se obtienen anulando y para obtener u, y luego x para obtener v , en la ecuación (a). Se tiene:
=−
=−
Quiere esto decir que E.N. pasa por el cuadrante opuesto aquel adonde actúa P y, en general, no es perpendicular a la dirección OP. Por ejemplo, en la figura 9-8b se representa la distribución de esfuerzos en una sección rectangular cuando la fuerza P se aplica en un punto fuera de los ejes principales (Fig. 9-8a). Si se calculan los esfuerzos en A, B y C , la intersección de la línea neutra con AB y con BC se calcula por semejanza de triángulos. Obsérvese
que la intersección
puede estar
Vamos a determinar ahora las coordenadas neutra pase por una esquina
= −
y
en las prolongaciones (Fig. 9-8c).
de la carga P para las que la línea
B, como en la figura 9-8c. Sustituyendo
en la ecuación (9-4) resulta:
ℎ ℎ 2 2 0= + + ℎ 3 ℎ 3 ℎ 12 12
=0,
Simplificando,
+ =1 ℎ/6 /6 Resulta la ecuación de la recta m-n de la figura 9-8d.
3).- VARIACIÓN DEL ESFUERZO CON LA ORIENTACIÓN DEL ELEMENTO. Anteriormente se vio que la magnitud y tipo de esfuerzo dependía de la orientación o inclinación del elemento que se considerara. Imaginemos que el sólido de la figura 9.9.a sometido a la acción de unas fuerzas de equilibrio y hagamos pasar por el mismo punto dos secciones de exploración a-a y b-b siendo a-a perpendicular a la dirección de la resultante de R de P1 y P2 como en la figura 9.9.b y b-b inclinada con respecto a R, como en la figura 9.9.c. el elemento rayado de la figura 9.9.b está sometido únicamente a esfuerzo normal, mientras que el elemento (en el mismo punto) de la figura 9.9c.Queda sometido a esfuerzos normal y cortante, producidos por N y T, respectivamente. Así pues, para un mismo punto de un sólido sometido a un estado de esfuerzo, los esfuerzos varían según la orien tación del elemento diferencial que se considere dicho punto.
En general, no es posible hallar directamente los valores de los valores de los esfuerzos en un plano que tenga una dirección cualquiera. En las vigas, por ejemplo, la fórmula de la flexión da los valores del esfuerzo normal que aparece en un plano perpendicular al eje de la viga. También se puede calcular el esfuerzo cortante en estos planos. En la torsión, la formula correspondiente da el valor del esfuerzo cortante en planos perpendiculares al eje de la barra. Así en una barra sometida simultáneamente a flexión y torsión, como en la figura 9.10. Se calculan los esfuerzos correspondientes a ambos tipos de esfuerzos, pero solamente si los elementos están orientados como lo indica la figura, aunque los estudios realizados sobre la figura 9.9 indique que si se gira el elemento de la figura 9.10. Alrededor del eje señalado existirá una determinada posición en la que el esfuerzo normal sea máximo.
Hay dos métodos o procedimientos para la determinación de esta posición y del valor que toma el esfuerzo normal máximo. Uno es analítico y el otro es gráfico, basado en el círculo de Mohr. Se hace, en primer lugar, el estudio analítico para demostrar luego la construcción y la validez del círculo de Mohr.
4).- VARIACION DEL ESFUERZO EN UN PUNTO. El esfuerzo en un punto queda definido por los esfuerzos que actúan sobre las caras del elemento que rodea a dicho punto. Los esfuerzos varían con la orientación de los planos que pasan por el punto, es decir, los esfuerzos en las caras del elemento varían cuando lo que hace la posición angular de este elemento. Para expresar analíticamente esta variación cortemos el elemento inicial mediante un plano, y apliquemos a una cualquiera de las partes las condiciones del equilibrio estático. La figura 9-13b muestra las componentes normal y cortante del esfuerzo que actúa sobre un plano cuya normal N forma un Angulo θ con los ejes X (fig. 9.13a). el elemento estructural de la figura 9-13b está en equilibrio bajo acción de las fuerzas que proceden de los esfuerzos que existen en todas sus caras. Sea A el área de la cara inclinada; en el diagrama de cuerpo libre de la figura 9-13c se representan todas las fuerzas, y en la figura 9-13d aparece la reducción en un punto correspondiente a estas fuerzas. Aplicando las condiciones de equilibrio según los ejes
y se tiene:
Dividiendo ambos miembros de esta ecuación se obtiene las ecuaciones (a) y (b).
Los esfuerzos normales máximo y mínimo se obtiene derivando con respecto de θ.
Y el esfuerzo cortante máximo será.
El esfuerzo cortante nulo cuando T=0.
Relacionando los esfuerzos máximo y mínimo con el esfuerzo cortante máximo con las ecuaciones anteriores se obtiene los esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo.
5).- CARGA CRÍTICA La carga crítica de un elemento estructural unidimensional esbelto corresponde a un esfuerzo axial por encima de la cual cualquier pequeña imperfección impide que exista un equilibrio estable. Para una pieza prismática recta muy esbelta, de material elástico y con extremos articulados, la carga crítica se aproxima mucho a la llamada carga crítica de Euler. La deformación de la columna varía según ciertas magnitudes de cargas, para valores de P bajos se acorta la columna, al aumentar la magnitud cesa el acortamiento y aparece la deflexión lateral. Existe una carga límite que separa estos dos tipos de configuraciones y se conoce como carga crítica Pcr. (Véase en la figura).
Fórmula aplicada:
Dónde: es el módulo de Young del material. es el segundo momento de área. la longitud total de la pieza.
Los factores que influyen en la magnitud de la carga crítica son la longitud de la column a, las condiciones de los extremos y la sección transversal de la columna. Estos factores se conjugan en la relación de esbeltez o coeficiente de esbeltez, el cual es el parámetro que mide la resistencia de la columna. De esta forma para aumentar la resistencia de la columna se debe buscar la sección que tenga el radio de giro más grande posible, o una longitud que sea menor, ya que de ambas formas se reduce la esbeltez y aumenta el esfuerzo crítico. Suponga mos que un elemento recto vertical sometido una carga H, esta carga produce una deflexión. Si se aplica una fuerza vertical P que va aumentado y se disminuye el valor de H, de tal forma que la deflexión sea la misma al caso de la Figura 2 (véase Figura), el valor de P
cr es
la carga
necesaria para mantener la columna deformada sin empuje lateral H. Para valores mayores a la carga crítica aumentan la deflexión hasta que falla por pandeo, limitando la capacidad de la columna.
En resumen, la carga crítica es la que representa la frontera entre las condiciones estables e inestables. Esta es la máxima carga de compresión a la que puede someterse una columna, de manera que un pequeño empuje lateral haga que falle por pandeo. Su valor depende de la rigidez y la longitud de la columna. La estabilidad se incrementa al aumentar la rigidez y disminuir la longitud.
6).- FÓRMULAS DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS Y ESBELTAS. Se determina el valor de la carga crítica (Pcr) que genera la falla por pandeo:
La aplicación de esta fórmula requiere que se aplique un factor de seguridad F.S. = 1.92. Por tanto, para diseño es:
Según lo expuesto esta ecuación es aplicable para una razón de esbeltez limitada por 200 y (KL/r)c. Si se exige que se utilice la fórmula de Euler solo para comportamiento de material elástico se obtiene un valor especifico de (KL/r)c. Si se utilizan las formulas anteriores para diseñar una columna, es decir, para determinar el área de su sección transversal para una carga y una longitud efectiva dadas, entonces, por lo general debe seguirse un procedimiento de tanteos, si la columna tiene una configuración compuesta, tal como una sección de patín ancho, en ello es necesario porque el esfuerzo permisible y depende de la razón de esbeltez, tal como lo indican las formulas. En cada caso, siempre que se repita un procedimiento de tanteo, la selección de un área se determina mediante el área requerida previamente calculada. (Se hace mención de esto ya que es muy importante a la hora de estudiar y elaborar columnas de diferentes tipos de materiales).
PANDEO ELÁSTICO DE COLUMNAS CON DIFERENTES RESTRICCIONES EN SUS EXTREMOS. Hay procedimientos que se pueden utilizar para determinarlas cargas de pandeo elástico de columnas con diferentes condiciones de borde. Las soluciones de tales problemas son muy sensibles a las restricciones de extremo. Por ejemplo, la carga crítica de pandeo para una columna empotrada (véase en la figura), con una carga vertical en su extremo libre superior, es:
En este caso la carga crítica es ¼ de la correspondiente al caso fundamental. Por lo tanto, para una columna empotrada en un extremo y articulada en el otro extremo.
En tanto para una columna empotrada en ambos extremos es:
Las dos últimas ecuaciones indican que mediante la restricción en los extremos las cargas de pandeo críticas van aumentando notablemente por encima del caso fundamental. Todas las fórmulas anteriores pueden asemejarse al caso fundamental siempre que en vez de la longitud real de la columna se utilice la longitud efectiva de la misma.
Grafico donde se demuestra los distintos tipos de restricciones:
