26/03/2017
CAPÍTULO I
CÁLCULO VECTORIAL
CAPÍTULO I
SESIÓN 1
FUNCION VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL
FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL r
: I
finall de la un uniida dadd el al alum umnno LOGRO: Al fina desc de scri ribe be la lass ca cara ract cter erís ísti tica cass ge geo omé métr tric icas as de
n
una cu una curv rvaa pa para ra lue uego go vi visu sual aliz izar arlo lo us usan ando do Matlab. Rosa Ñique Alvarez
2
Rosa Ñique Alvarez
4
La riqueza geométrica de una curva se concreta con los temas de curvatura y torsión las que describen el comportamiento local de la curva curva..
ESPIRAL 3
Rosa Ñique Alvarez
FUNCION VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL r
: I
INTERPRETACION r
: I n t
n
r (t )
t r (t )
r
r
r (t ) x 1 (t ), x 2 (t ),
n
(t)
I
, x n (t ) n
t
x i : I , i 1,2, n Rosa Ñique Alvarez
5
Rosa Ñique Alvarez
6
26/03/2017
Caso particular:
Para n = 3
=3
n
r (t ) x t i r
: I t
y t j
z t k
3
r (t ) r
r (t )
x(t ),
I
y (t ) , z (t )
3
r (t )
t
r (t ) x t i
y t j
z t k 7
Rosa Ñique Alvarez
Grafica de Curvas
DOMINIO RANGO E IMAGEN r
: I t
n
C : r : I
r (t )
r (t ) x 1 (t ), x 2 (t ),
t I
, x n (t ) n
t
xi
r I
C :
y t j
z t k ; t I
P r (t ), t I
10
Rosa Ñique Alvarez
•
HÉLICE CIRCULAR o ESPIRAL CIRCULAR C :
r (t )
cos t ,
sent , t
;
t
0,
6
t I
x cos t C : y sent z t
FORMA PARAMÉTRICA t I
Rosa Ñique Alvarez
n
EJEMPLO 1
r (t ) x t , y t , z t ; x x(t ) C : y y (t ) z z(t )
P
9
CURVAS
n
Rosa Ñique Alvarez
FORMA VECTORIAL C : r (t ) x t i
, x n (t ) n
n Dom i 1
C : Im r
n
t r (t )
r (t ) x 1 (t ), x 2 (t ), Dom r
8
Rosa Ñique Alvarez
x2 11
t 0, 6
+ y2 = 1 Rosa Ñique Alvarez
12
26/03/2017
r (t )
cost ,
;
sent , t
t
0,
6
SUPERFICIES
Hélice Circular
20
CILINDROS
15
Z
SUPERFICIES CUADRÁTICAS
10
5
OTROS
0 1 1
0.5 0.5
0 0 -0.5
-0.5 -1
Y
-1 X
ESPIRAL Rosa Ñique Alvarez
13
CILINDRO CIRCULAR RECTO x
2
y
2
R
2
Rosa Ñique Alvarez
14
CILINDRO Un cilindro se genera al mover una recta que recorre la curva paralela al eje de coordenadas que es representada por la variable que falta en su ecuación.
15
Rosa Ñique Alvarez
16
EJEMPLOS DE CILINDROS
CILINDRO
Rosa Ñique Alvarez
Rosa Ñique Alvarez
17
Rosa Ñique Alvarez
18
26/03/2017
EJEMPLOS DE CILINDROS
SUPERFICIES CUADRÁTICAS ELIPSOIDE x 2 a2
y 2 b2
z 2 c2
1
a>0 ,b>0 ,c>0
19
Rosa Ñique Alvarez
SUPERFICIES CUADRÁTICAS PARABOLOIDE ELÍPTICO
Rosa Ñique Alvarez
SUPERFICIES CUADRÁTICAS PARABOLOIDE CIRCULAR
a≠b
a>0 ,b>0 z
z
x 2 a2
c
a
2
y
2
21
22
CONO CIRCULAR
y 2 b
Rosa Ñique Alvarez
SUPERFICIES CUADRÁTICAS
CONO ELÍPTICO, a ≠ b
2
2
b2
SUPERFICIES CUADRÁTICAS x 2
x
y 2
Rosa Ñique Alvarez
z 2
20
z
2
2
x
2
y
2
a>0 ,b>0 ,c>0
Rosa Ñique Alvarez
23
Rosa Ñique Alvarez
24
26/03/2017
SUPERFICIES CUADRÁTICAS
SUPERFICIES CUADRÁTICAS HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA x 2
a2
y 2 b2
z 2 c2
z 2
1
c2
a>0 ,b>0 ,c>0
25
SUPERFICIES CUADRÁTICAS
y 2 b2
y 2 b2
1
Rosa Ñique Alvarez
26
UNA CURVA TAMBIÉN SE OBTIENE AL INTERSEPTAR DOS O MAS SUPERFICIES
x 2
a2
CURVAS
PARABOLOIDE HIPÉRBOLICO (SILLA DE MONTAR)
x 2
a>0 ,b>0 ,c>0
Rosa Ñique Alvarez
z
a2
a>0 ,b>0
Rosa Ñique Alvarez
27
INTERSECCIÓN DE SUPERFICIES
Rosa Ñique Alvarez
Rosa Ñique Alvarez
28
CURVA DE INTERSECCIÓN DE SUPERFICIES
29
Rosa Ñique Alvarez
30
26/03/2017
EJEMPLO 2: Intersección de superficies Cilindro,
S 1: x2 + y2 = 1
Plano,
S 2: y + z = 2
31
Rosa Ñique Alvarez
S2: y + z = 2
S1: x2 + y2 = 1
32
Rosa Ñique Alvarez
Elipse
C : r (t ) cos t i sent j 2 sen t k
0 t 2
C : S 1 S 2
x cos t 0 t 2 C : y sen t z 2 sen t C : r (t ) cos t i sent j 2 sen t k
0 t 2 Rosa Ñique Alvarez
33
EJEMPLO 3: Intersección de superficies
Rosa Ñique Alvarez
S1:y = x2
y
34
S2 : z = x3
Cilindro, S1: y = x2 Cilindro, S2: z = x3 Rosa Ñique Alvarez
35
Rosa Ñique Alvarez
36
26/03/2017
Cúbica Alabeada C : (t ) t , t , t ;
S1:y = x2 y S2 : z = x3 C : S 1 S 2
2
r
x t 2 C : y t z t 3
3
2 t
2
CUBICA ALABEADA 8
2 t 2
6
4
2
Z
0
-2
C :
r (t ) t i t 2 j t 3 k ;
2 t 2
-4
-6
-8 4
3
37
Rosa Ñique Alvarez
2
1
0
Y
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
X
38
Rosa Ñique Alvarez
C : r (t )) x(t ), y(t ), z(t ); t a, b t
x( t)
y( t)
z( t)
P = r(t ) R3
GRAFICA DE CURVAS USANDO MATLAB
variable=linspace[a, b, n]
plot3( x, y, z)
plot3( x, y, z, S )
x1=x(t 1)
y1=y(t 1)
z1=z(t 1)
( x1, y1, z1)
t 2
x2=x(t 2)
y2= y(t 2)
z2=z(t 2)
( x2, y2, z2)
t 3
x3=x(t 3)
y3= y(t 3)
z3=z(t 3)
( x3, y3, z3)
……
……
……
……
……
t n=b
xn=x(t n)
yn= y(t n)
zn=z(t n)
( xn, yn, zn)
39
Rosa Ñique Alvarez
COMANDO MATLAB
t 1=a
40
Rosa Ñique Alvarez
DESCRIPCIÓN
Define el vector variable cuyo primero y último elementos son a y b, y que tiene en total n elementos uniformemente espaciados entre sí. Dibuja el conjunto de puntos ( x, y, z ) donde x, y, z son vectores fila o matrices del mismo tamaño. Gráfica de plot3( x, y, z) con las opciones definidas en S . Usualmente S se compone de dos valores entre comillas simples, el primero de los cuales fija el color de la línea del gráfico y el segundo es el carácter a usar en el gráfico. Rosa Ñique Alvarez
41
COMANDO MATLAB
DESCRIPCIÓN
comet3( x, y, z)
Gráfica en forma dinámica los puntos ( x(t ), y(t ), z(t )) de la curva C .
quiver3(x,y,z,u,v,w)
Dibuja los vectores de componentes (u,v,w) en los puntos ( x, y, z).
set(H,´ propiedad 1´, ´ propiedad 2´,….)
Sitúa las propiedades especificadas en el objeto H.
clear
Borra todas las variables de la ventana de comandos.
clc
Limpia la ventana de comandos.
Rosa Ñique Alvarez
42
26/03/2017
COMANDO MATLAB
DESCRIPCION
clf
Borra la figura actual de la ventana de gráficos. Restablece las propiedades de objetos gráficos a sus valores predeterminados. Causa la interrupción de la ejecución de un M-fichero hasta que el usuario pulse una tecla para continuar.
reset
pause
hold
2
C : r (t ) t , t
%Grafica una curva
t , t , t ; t 2
44
Rosa Ñique Alvarez
, t 3 ;
t
2, 2
Programa
Grafique la siguiente curva
Sitúa rejillas en los ejes de un gráfico. La opción grid on coloca las rejillas y grid off las elimina. Permite mantener el gráfico existente con todas sus propiedades, de modo que el siguiente gráfico que se realice se situé sobre los mismos ejes y se superponga al existente. La opción hold on activa la opción y hold off la elimina
Solución
EJEMPLO 1
DESCRIPCIÓN
grid on
43
Rosa Ñique Alvarez
C : r (t )
COMANDO MATLAB
3
clear; clc; clf reset t=linspace(-2,2,1000); x=t; y=t.^2; z=t.^3; comet3(x,y,z) pause H=plot3(x,y,z,'b');
2, 2
x t 2 C : y t , t 2, 2 3 z t 45
Rosa Ñique Alvarez
set(H,'lineWidth',2) grid on xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z'); title('curva')
46
Rosa Ñique Alvarez
EJEMPLO 2: Hélice Circular (Espiral Circular)
Gráfica de la Curva curva
r (t ) 10
cost , sent , t ;
x cos t C : y sent z t
5
Z
0
-5
-10 4 3
2 0
1 Y
x2
1
2 -1 0
-2
t
0,
6
t 0, 6
+ y2 = 1
X
EJEMPLO Rosa Ñique Alvarez
47
Rosa Ñique Alvarez
48
26/03/2017
GRÁFICA
Tabulando t 0 /4
x=cost y=sent z=t 1 0 0 0.7072 0.7072 /4
/2 3 /4
0 1 /2 -0.7072 0.7072 3 /4
ESPIRAL
20
15
Z
10
5
0 1
…..
…..
…..
…..
0.5
1 0.5
0
6
1
0
6
0
-0.5
-0.5 -1
Y
-1
X
ESPIRAL 49
Rosa Ñique Alvarez
EJEMPLO 3 r (t ) cosh t , senh t , t ;
ESPIRAL
20
Z
x cosh t C : y senht z t
10
0 1.5 1 0.5
1.5 1
0
0.5 -0.5
x2 - y 2
-1 -1.5
-1.5
X
ESPIRAL 51
Rosa Ñique Alvarez
t
x=cosht
y=senht
z=t
-4
+
-
-4
+ 1 + +
0 + +
……
+
+
4
……
4
t 4, 4
Rosa Ñique Alvarez
=1 52
Rosa Ñique Alvarez
Gráfica
Tabulando
0 1
t 4, 4
0 -0.5
-1 Y
…..
50
Rosa Ñique Alvarez
r
(t ) cosh t , senh t , t ;
t
4, 4
CURVA
1.5
…..
1
0 1
0.5 Z
0 -0.5 -1 2.5
-1.5 4
2 2
1.5 0
curva6 53
1
-2
Y
-4
0.5
Rosa Ñique Alvarez
X
54
26/03/2017
EJEMPLO 4: Concoide
GRÁFICA CONCOIDE
()
r t t
cos( t ), t sen( t ), t ;
0, 6
t
20
x t cos ( t ) C : y t sen ( t ) z t
15
Z
t 0, 6
10
5
0 20 10
20 10
0
x 2
+ y2 = t 2
2 x
+ y2 = z 2
0
-10
-10 -20
Y
-20
X
Concoide Rosa Ñique Alvarez
55
56
Rosa Ñique Alvarez
GRÁFICA
EJEMPLO 5: Espiral Toroidal
ESPIRAL TOROIDAL
x (4 sen20t ) cos t C : y (4 sen20t ) sent ; 0 t 2 z cos 20t
1 0.5
Z
0 -0.5 -1 5 5
0
0
Y
-5
X
-5
EspiralToroidal Rosa Ñique Alvarez
57
EJEMPLO 6: Nudo de Trébol
58
Rosa Ñique Alvarez
GRÁFICA NUDO DE TREBOL
x (2 cos1.5t ) cos t C : y (2 cos1.5t ) sent ; 0 t 4 z sen1.5t
1 0.5
Z
0 -0.5 -1 4 4
2 2 0
0 -2
NudoTrebol Rosa Ñique Alvarez
59
Y
-2 -4
-4
Rosa Ñique Alvarez
X
60
26/03/2017
EJEMPLO 7: Espiral Esférica
GRÁFICA ESPIRAL ESFÉRICA
1
x cos(arctan 0.1t ) cos t C : y cos(arctan 0.1t ) sent ; 10 t 10 z sen(arctan 0.1t )
0.5
Z
0
-0.5
-1 1 0.5
1 0.5
0 0
-0.5
-0.5 -1
Y
-1
X
EspiralEsferica 61
Rosa Ñique Alvarez
Curva C : r :
a, b 3
r
a b ,
C
62
Rosa Ñique Alvarez
Punto inicial de C
A
Punto final de C
B
r
(a)
r
(b)
B
B
r
r
C
C
a
a
A
A
b
b
63
Rosa Ñique Alvarez
EJEMPLO 8 C : r (t ) t , t , t ; t
2
3
64
Rosa Ñique Alvarez
Gráfica
curva
2, 2
B
(2,4,8)
10
5
0
Z
Punto inicial de C
A
r
( 2)
( 2,4, 8)
-5
A
( 2,4, 8)
-10 4
Punto final de C
3
B
r
(2)
(2,4,8)
2 0
1 Y
Rosa Ñique Alvarez
1
2
65
-1 0
-2
Rosa Ñique Alvarez
X
66
26/03/2017
Curva cerrada
Curva con Puntos dobles r
a≠b
( t 1 )
r
( t 2 ),
A r (a) r (b) B
t 1 t 2
punto doble
r
A B t
1
t2
67
Rosa Ñique Alvarez
68
Rosa Ñique Alvarez
Curva simple y cerrada
Curva simple
PUNTO INICIAL A Y FINAL B IGUALES
A=B
B
A
69
Rosa Ñique Alvarez
Rosa Ñique Alvarez
Álgebra de las funciones vectoriales
ÁLGEBRA DE LAS FUNCIONES VECTORIALES 1. r , u : I
70
r
u
(t ) r (t ) u(t ) ;
n
Dom r u Dom r Dom u
: J
2. r u ,
r ,
.
r
u, r x u
y r
r (t ) (t ) r (t );
Dom( r ) Dom Dom r Rosa Ñique Alvarez
71
Rosa Ñique Alvarez
72
26/03/2017
Álgebra de las funciones vectoriales
Álgebra de las funciones vectoriales 3. r
u
t r
5. r
(t ) u(t )
Dom r u
Dom r Dom u
(t ) r (t )
Dom r
t I
(t ) Rang( ) Dom( r )
4. r u (t ) r (t ) u(t );
,
Dom r u Dom r Dom u
solo en
3
73
Rosa Ñique Alvarez
Composición r
I
t
( t ) )
r (
( t )
r Rosa Ñique Alvarez
75
Rosa Ñique Alvarez
74
