BAB 5
Momen, Kemiringan, & kurtosis
1. MOMEN
Misalkan diberikan variable x dengan harga-harga: x1, x2, …., xn. Jika A = sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, ……., n, maka momen ke-r sekitar A, disingkat mr, didefinisikan oleh hubungan:
(1) ……………
Untuk A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r:
(2) ..............................
Dari rumus (2), maka untuk r = 1 didapat rata-rata . Jika A = kita perolehmomen ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat dengan mr. Jadi didapat:
(3) …………………………...
Untuk r = 2, rumus (3) memberikan varians s2
Untuk membedakan apakah momen itu untuk sampel atau untuk populasi, maka dipakai simbul: mr dan mr' untuk momen sampel dan µr dan µr' untuk momen populasi.
Jadi, mr dan mr' adalah statistik sedangkan µr dan µr' merupakan parameter. Jika data telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka rumus-rumus di
atas berturut-turut berbentuk:
(4) ………………………..
(5) ………………………..
(6) ………………………..
dengan n = fi, xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan xi.
Dengan menggunakan cara sandi, rumus 4 menjadi:
(7) ………………………
Dengan, p = panjang kelas interval, ci = variabel sandi
Dari mr', harga-harga mr untuk beberapa harga r, dapat ditentukan berdasarkan hubungan:
m2 = m2' – (m1')2
m3= m3' – 3m1'm2' + 2(m1')3
m4= m4' - 4 m1'm3' + 6(m1')2 m2' - 3(m1')4
contoh untung menghitung 4 buah momen sekitar rata-rata untk data dalam daftar distribusi frekuensi sbb:
2. kemiringan
Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan
atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan
memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng.
Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri
maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif.
Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke
kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.
Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng
positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).
Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau menceng ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut :
1. Koefisien Kemencengan Pearson
Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien Kemencengan Pearson dirumuskan sebagai berikut:
Keterangan :
Sk = koefisien kemencengan pearson
Aoabila secar empiris didapatkan hubungan antarnilai pusat sebagai:
Maka rumus kemenccengan diatas dapat dirubah menjadi:
Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka:
1) Sk =0 kurva memiliki bentuk simetris
2) Sk>0 Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan ( terletak di sebelah kanan Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif;
3) sk< 0 Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri (terletak di sebelah kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif.
Contoh soal :
Berikut ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah universitas.
Nilai Ujian Statistika pada Semester 2, 2010
a) Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) !
b) Gambarlah kurvanya !
Penyelesaian:
Oleh karena nilai sk-nya negatif (-0,46) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif.
b. Gambar kurvanya :
2. Koefisien Kemencengan Bowley
Koefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1, Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan :
Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien
Kemencengan.Apabila nilai skB dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :
1) Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng secara
positif.
2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara
negatif.
3) skB positif, berarti distribusi mencengke kanan.
4) skB negatif, nerarti distribusi menceng ke kiri.
5) skB = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan skB> 0,30
menggambarkan kurva yang menceng berarti.
Contoh soal :
Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut :
Nilai Ujian Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997
Penyelesaian :
Kelas Q1 = kelas ke -3
Karena skB negatif (= 0,06) maka kurva menceng ke kiri dengan kemencengan yang berarti.
3. Koefisien Kemencengan Persentil
Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P90,P50 dan P10) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil dirumuskan :\
Keterangan :
skP = koefisien kemecengan persentil , P = persentil
4. Keofisien Kemencengan Momen
Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3
dengan pangkat tiga simpang baku. Koefisien menencengan momen dilambangkan
dengan α3. Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif.
Apabila nilai α3dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :
1) Untuk distribusi simetris (normal), nilai α3= 0,
2) Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 = positif,
3) Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α3= negatif,
4) Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α3> ±0,50 adalah distribusi
yang sangat menceng
5) Menurut Kenney dan Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2 bagi distribusi yang menceng.
Untuk mencari nilai α3, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.
a. Untuk data tunggal
Koefisien Kemencengan Momen untuk data tunggal dirumuskan :
α3 = koefisien kemencengan momen
b. Untuk data berkelompok
Koefisien kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan :
5. KERUNCINGAN ATAU KURTOSIS
Keruncingan atau kurrtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secararelatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut :
1) Leptokurtik
Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.
2) Platikurtik
Merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar
3) Mesokurtik
Merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar
Bila distribusi merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik ianggap sebagai distribusi normal.
Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan
adalah koefisien kurtosis persentil.
1. Koefisien keruncingan
Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan a4 (alpha 4).
Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh :
1) Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik
2) Nilai lebih besar dari 3, maka distibusinya adalah distribusi leptokurtik
3) Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik
Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan
data kelompok.
a. Untuk data tunggal
Tentukan keruncingan kurva dari data 2, 3, 6, 8, 11 !
Penyelesaian :
Karena nilainya 1,08 (lebih kecil dari 3) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik.
b. Untuk data kelompok
2. Koefisien Kurtosis Persentil
Koefisien Kurtosis Persentil dilambangkan dengan K (kappa). Untuk distribusi normal, nilai K = 0,263. Koefisien Kurtosis Persentil, dirumuskan :
Contoh soal :
Berikut ini disajikan tabel distribusi frekuensi dari tinggi 100 mahasiswa
universitas XYZ.
a. Tentukan koefisien kurtosis persentil (K) !
b. Apakah distribusinya termasuk distribusi normal !
Tinggi Mahasiswa Universitas XYZ
SKEWNESS & KURTOSIS
Pengertian SkewnessSkewness atau disebut juga ukuran kemiringan yaitu suatu bilangan yang dapat menunjukanmiring atau tidaknya bentuk kurva suatu distribusi frekuensi. Skewness adalah derajatketidaksimetrisan suatu distribusi. Jika kurva frekuensi suatu distribusi memiliki ekor yang lebihmemanjang ke kanan (dilihat dari meannya) maka dikatakan menceng kanan (positif) dan jikasebaliknya maka menceng kiri (negatif). Secara perhitungan, skewness adalah momen ketigaterhadap mean. Distribusi normal (dan distribusi simetris lainnya, misalnya distribusi t atauCauchy) memiliki skewness 0 (nol).Batas – Batas nilai ukuran kemiringan0 " Sk = α3 " < 0,1 artinya bentuk kurva DF dianggap normal .
0,1 " Sk = α3 " < 0,3 artinya bentuk kurva DF miring ke kiri atau kanan.
0,3 " Sk = α3 " artinya bentuk kurva DF sangat miring ke kiri atau kanan.
Rumus Skewness :
PearsonPopulasi : Sk = α3 = µ - Mo/ atau Sk = α3 = 3(µ - Mo)/
Sampel : Sk = α3 = - Mo/S atau Sk = α3 = 3( - Mo)/S
ẋ ẋ
BowleySk = α3 = Q3 – 2Q3 + Q1 / Q3-Q1
Matematis / Moment populasi : Sk = α3 = Σf(x-µ)3 / N – 3
Sampel : Sk = α3 = Σf(x-)3 / N – S3
ẋ
Pengertian Kurtosis
Ukuran keruncingan atau yang disebut juga kurtosis adalah
suatu bilangan yang dapatmenunjukan runcing tidaknya bentuk kurva distribusi frekuensi.
Kurtosis adalah derajatkeruncingan suatu distribusi (biasanya diukur relatif terhadap distribusi normal). Kurva yanglebih lebih runcing dari distribusi normal dinamakan leptokurtik, yang lebih datar platikurtik dan
distribusi normal disebut mesokurtik. Kurtosis dihitung dari momen keempat terhadap mean.Distribusi normal memiliki kurtosis = 3, sementara distribusi yang leptokurtik biasanyakurtosisnya > 3 dan platikurtik <>dengan :Rumus matematika / moment populasi : Kt = α4 = Σf(x-µ)4 / N – 4
sampel : Kt = α4 = Σf(x-)4 / N – S4
ẋ
Untuk memberikan gambaran visual, berikut ini diberikan ilustrasi Skewness (Gambar 1) danKurtosis (Gambar 2) :Gambar 1
