PENGUKURA PENGUKURAN N KEME K EMENCE NCENGAN NGAN (SKEWNESS) (SKEWNESS) 1. KEMEN K EMENCENG CENGA A N SUATU DISTRIBUSI FREKUENSI a. Simetris Distribusi dapat berbentuk simentris, yang berarti luas kurva di s eb el ah k i r i n i l ai r at a – r at a s am a d en g an l u as k u r v a d i s eb el ah k an an nila ni laii rata rata – rata rata.. Distri is tribu busi si freku frekue ensi ns i yang yang sime si metr tris is diga di gamb mba arka rk an sbb sb b :
b. Mence nc eng ke kiri ki ri Dapat pat pula pula menc mence eng ke kiri ki ri.. Suatu uatu dist di stri ribu busi si fre fr ekue kuensi ns i dika di kata taka kan n m en c en g k e k i r i j i k a n i l ai –n i l ai o b s er v as i y an g b er f r ek u en s i r en d ah l eb i h b an y ak b er ad a d i s eb el ah k i r i d ar i r at a – r at a, at au “ ek o r “ n y a m en j u l ar k e k i r i . Gam b ar b erik rik u t men men u n juk juk k an d ist ist r ibu ibu s i fre frek u en s i y an g menc mence eng ke k iri. ir i.
c. Menceng ke kanan Suatu distribusi frekuensi dikatakan menceng ke kanan apabila sebagian besar nilai–nilai observasi yang berfrekuensi rendah lebih banyak berada di sebelah kanan dari nilai rata – rata, atau dikatakan “ ekor “ nya menjular ke kanan. Gambar berikut menunjukkan distribusi frekuensi yang menceng ke kanan. Untuk memudahkan pembaca mengingat kemencengan suatu distribusi frekuensi, mahasiswa akan senang jika mendengar bahwa nilai ujian di kelas memiliki distribusi yang menceng ke kiri karena ini berarti nilai – nilai yang berada di bahwah rata – rata (nilai jelek) tidak banyak. Sebaliknya mereka akan sedih jika mengetahui bahwa distribusi nilai ujian kelas menceng ke kanan karena nilai – nilai dengan frekuensi rendah (jarang) terdapat di sebelah kanan rata – rata (nilai bagus).
2. METODA PENGUKURAN KEMENCENGAN Untuk mengukur kemencengan suatu distribusi frekuensi, dapat digunakan rumus Koefisien Karl Pearson sebagai berikut :
Sk = Di mana :
(x - mo) s
Sk = kemencengan. x = mean.
mo = modus. s = deviasi standar.
Jika Sk positif artinya distribusi frekuensi menceng ke kanan, Jika Sk negatif artinya distribusi frekuensi menceng ke kiri, dan Sk = O artinya distribusi frekuensi simetris. Rumus Koefisien Karl Pearson di atas dapat dimodifikasi sebagai berikut :
x , mo dan md adalah : x - [x - 3(x - md)] Sk = x - mo = 3 ( x - md ) s mo = x – 3 ( x - md )
Diketahui Hubungan antara
Sk
= ( x - mo ) / s
Sk =
3(x - md)] s
a. Gambar Kemencengan
`
x
M0 Md _
_
Sk negatif, x < mo dan x < md Gambar Menceng ke kiri
Sk = 0, x = Mo = Md Gambar simetris
Mo Md x _ _ Sk positif, x > mo dan x > md Gambar Menceng ke kanan
Contoh : Hitunglah tingkat kemencengan dari distribusi berikut ini : No.
Upah / Jam
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
300 ─ 349
350 – 399 400 – 449 450 – 499 500 – 549 550 – 599 600 - 649
Titik Tengah Jumlah Karyawan f i.xi (xi ) ( f i ) 68 324, 5 22.066
374, 5 424, 5 474, 5 524, 5 574, 5 624, 5
Jawab : a) Menghitung Median 440 n = 220 = Letak Median = 2 2
142 100 60 40 20 10 440
Nilai observasi ke 220 terdapat di kelas 440, maka kelas tersebut merupakan ” kelas median“ .
⎡ ( N / 2 − fk ) ⎤ Md = Lmd + ⎢ x C i ⎥ ⎣ fmd ⎦ ⎡ (440 / 2 − 210 ⎤ = 399,5 + ⎢ x 50⎥ 100 ⎣ ⎦
2 f i.(xi – x )
622.778 296.568 1.850 176.910 435.139,6 58.969,8 108.785 1.700.99,4
53.179 42. 450 28.470 20.980 11.490 6.245 184.880
b) Menghitung rata-rata n
x = =
∑ f i . xi
i =1
n 184.880 440
= 420 18
c) Menghitung Modus
⎡ d 1 ⎤ Mo = Lmo + ⎢ x C i ⎥ ⎣ d 1 + d 2 ⎦ Kelas 350 – 399 merupakan “ kelas modus” karena memiliki frekuensi yang paling tinggi (142).
⎡ 74 ⎤ x 50 ⎥ ⎣ 74 + 42 ⎦
M o = 349 ,5 + ⎢
= 381,39
d) Menghitung deviasi standar (s) S =
=
∑ f i ⋅ ( xi − x ) 2 n −1
1.700.999,4
440 − 1 = 62,25
Menghitung Koefisien Karl Pearson 3( x − md ) Sk = ( x − m0 ) / s atau Sk = S = ( 420 ,18 − 381,39 ) / 62 ,25 3 (420 ,18 − 404 ,5 ) = = 0,6231 62 , 25 = 62 ,31 % = 75 ,56 %
●
Hasil perhitungan permencengan di atas berbeda karena median tidak sama dengan modus. Rumus mana yang sebaiknya digunakan tergantung pada kondisi distribusi frekuensinya. Jika kita merasa bahwa modus bukan suatu nilai sentral yang baik, misalnya terjadi bimodus, maka sebaiknya
Hasil perhitungan di atas dapat diinterpretasikan sebagai berikut: Semakin besar persentase koefensien Karl Pearson, semakin tinggi tingkat kemencengannya. Sk = 75,56% menunjukkan bahwa distribusi frekuensi tersebut menceng cukup berarti ke kanan. Hal ini dapat dibuktikan dengan cara menggambar histrogram dari distribusi frekuensi tersebut.
140 120 100 80 60 40 20 0
300.5 349,5 399,5 499,5 549,5 599,5 649,5
Gambar Kemencengan
Kemencengan suatu distribusi juga dapat diukur menggunakan rumus koefisien Bowley sebagai berikut :
Sk ( Bowley ) =
(Q3 − Q2 ) − (Q2 − Q1 ) (Q3 − Q1 )
;
Di mana : Q1 = Nilai Kwartil 1 Q2 = Nilai Kwartil 2 Q3 = Nilai Kwartil 3
Jika nilai koefisien Bowley positif, artinya ( Q3 – Q2 ) > ( Q2
– Q1 ) maka
dist ribusi frekuensi menceng ke kanan. Sedangkan bila koefisien Bowley negatif, artinya ( Q3 – Q2 ) < ( Q2 – Q1 ), maka distribusi frekuensi menceng ke kiri. Bila nilai koef. Bowley = 0, artinya ( Q3 – Q2 ) = ( Q2 – Q1 ), maka simetris. f
f
f
y
Q1 Q2
y
x
Q3
Sk (B) positif ( Q3 - Q2 ) > ( Q2 - Q1 ) x > y Gambar 6.8
Q1
x
Q2 Q3
Sk (B) negatif ( Q3 - Q2 ) < ( Q2 - Q1 ) x < y Gambar 6.9
y
x
Q1 Q2 Q3 Sk (B) = 0, ( Q3 - Q2 ) = ( Q2 - Q1 ) x = y Gambar 6. 10
Soal di depan akan kita hitung tingkat kemencengannya dengan menggunakan rumus koefisien Bowley. a) Mencari Q1 : Letak Q1
n
440
4
4
= =
= 110
Nilai observasi ke 110 terdapat di kelas 350 - 399, maka kelas tsb. merupakan “kelas kwartil 1”,
⎡ n / 4 − fk ⎤ Q1 = LQ1 + ⎢ x Ci ⎥ ⎢⎣ f Q1 ⎥⎦ ⎡ 440 / 4 − 68 ⎤ x 50 ⎥ = 349 ,5 + ⎢ 142 ⎣ ⎦ = 364 ,3 b) Mencari Q2 Nilai Q2 adalah sama dengan nilai median, yaitu 404,5.
c) Mencari Q3 : 3n 3(440) Letak Q3 = = = 330 4 4 Nilai observasi ke 330 terdapat pada kelas 450 - 499, maka kelas tersebut merupakan “ kelas kwartil 3 “ . ●
Q3
⎡ ( 3 n / 4 − fk ) ⎤ = LQ 1 + ⎢ x C ⎥ f Q 3 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ 3 x 440 / 4 − 310 ⎤ x 50 ⎥ = 449 ,5 + ⎢ 60 ⎣ ⎦ = 466 ,1
Menghitung koefisien Bowley. Sk ( Bowley ) =
=
(Q3 − Q2 ) − (Q2 − Q1 ) (Q3 − Q1 )
( 466,1 − 404,5) − ( 404 − 364,3) ( 466,1 − 364,3)
= 21,02 % Selanjutnya menurut Bowley, bila Sk (Bowley) > + 30% atau < - 30%, maka distrubusi frekuensinya menunjukkan tingkat kemencengan yang sangat tinggi.
