UKBM MTKP 3.2-4.2-2.9

MTKP-3.2/4.2/2/3-9

3.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga 4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

3.2.22 3.2.23 3.2.24 3.2.25 3.2.26 4.2.1

Menjelaskan konsep vektor satuan Menjelaskan sendiri rumus proyeksi skalar dua buah vektor Menjelaskan sendiri rumus proyeksi orthogonal dua buah vektor Menentukan hasil proyeksi skalar dua buah vektor Menentukan hasil proyeksi orthogonal dua vektor Menyelesaikan masalah konstektual yang berkaitan dengan proyeksi vektor

Apa sich tujuan kita belajar “proyeksi vektor dan bagaimana penerapannya dalam kehidupan sehari-hari ?”

Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, presentasi dan analisis, peserta didik dapat menemukan rumus proyeksi skalar, proyeks i orthogonal dan dapat menyelesaikan masalah kontekstual kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi vektor, sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, mengembangkan sikap jujur, peduli, dan bertanggungjawab, serta dapat mengembangankan kemampuan

UKBM/MTKP/SKS Lampung/2017

89

Faktual





Konseptual



  

Prosedural

 

Metakognitif

Ketika upacara bendera, pasukan pengibar bendera mengibarkan bendera dari bawah ke atas, aplikasi vektor bendera seperti sudut 90O Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin Proyeksi vektor Menjelaskan konsep vektor satuan Menjelaskan sendiri rumus proyeksi skalar dua buah vektor Menjelaskan sendiri rumus proyeksi orthogonal dua buah vektor Menentukan hasil proyeksi skalar dua buah vektor Menentukan hasil proyeksi orthogonal dua vektor

Menganalisis kebermanfaatan vektor dalam kehidupan untuk kepentingan pendidikan

Agar Anda lebih optimal dalam menguasai konsep dan prosedur dalam UKBM MTKP-3.2/4.2/2/3-9 ini, sebaiknya bacalah terlebih dahulu Buku Teks Pelajaran berikut : (1) Buku Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Yrama Widya, hal 239 - 251 (2) Buku Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam Jakarta: Erlangga, hal 135-146 Anda juga dapat menggunakan buku matematika lain yang berkaitan dengan materi proyeksi vektor dengan mencarinya di internet.

Proyeksi Dua buah Vektor

Konsep Vektor Satuan

Proyeksi Skalar Dua Buah Vektor

Proyeksi Skalar Dua Buah Vektor


90

1.

Melalui UKBM ini Anda akan mengembangkan kemampuan kemampuan menganalisis dan berpikir kritis serta kreatif dalam dalam menjelaskan menjelaskan konsep vektor satuan, menjelaskan sendiri rumus proyeksi skalar dua buah vektor, menjelaskan sendiri rumus proyeksi orthogonal dua buah vektor, menentukan hasil proyeksi skalar dua buah vektor, dan menentukan hasil proyeksi orthogonal dua vektor agar dapat menyelesaikan masalah masalah kontekstual. Aktivitas berpikir yang akan Anda Anda latihkan dalam UKBM ini adalah menjelaskan m enjelaskan konsep vektor satuan, menjelaskan sendiri rumus proyeksi skalar dua buah vektor, menjelaskan sendiri rumus proyeksi orthogonal dua buah vektor, menentukan hasil proyeksi skalar dua buah vektor, dan menentukan hasil proyeksi orthogonal dua vektor. vektor . Agar mencapai hasil yang y ang memuaskan dengan mampu menguasai operasi vektor dengan benar, Anda harus belajar dengan tekun sehingga Anda bisa tahu, mau, dan mampu melakukan aktifitas berpikir kritis dan kreatif. 2. Baca dan pahami materi pahami materi pada buku : Buku Matematika untuk SMA/MA Kelas X Kelompok Peminatan Matematika dan  Ilmu-Ilmu Alam. Bandung: Yrama Widya, hal 239 - 251 Buku Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam Jakarta:  Erlangga, hal 135-146 https://belajar.kemdikbud.go.id/SumberBelajar ttps://belajar.kemdikbud.go.id/SumberBelajar dan dan buku lain yang sekiranya Anda  temukan berkaitan dengan materi vektor, untuk keperluan ini Anda boleh mencarinya di internet. 3. Kerjakan UKBM UKBM ini dibuku kerja atau langsung mengisikan pada bagian yang telah disediakan. Anda bisa bekerja sendiri, namun akan lebih baik apabila bekerjasama dengan teman lain sekaligus berlatih untuk berkolaborasi dan berkomunikasi dengan baik. 4. Anda dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan ayo kegiatan ayo berlatih, berlatih, apabila Anda yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar 1,2, dan 3 Anda boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif agar Anda dapat belajar ke tes sumatif berikutnya.

Untuk mengingat dan memahami materi, cobalah amati gambar di bawah ini !.

1 Aplikasi proyeksi vektor Sumber : https://pixabay.com/id/


91

Cermati gambar dan permasalahan di atas. Apakah ada hal-hal yang ingin Anda ketahui lebih jauh? Buatlah pertanyaan-pertanyaan berkaitan dengan kejadian pada tiap gambar yang disajikan dan tulislah pada bagian berikut. Pertanyaan-pertanyaan yang Anda buat tentu harus berkaitan dengan materi, dan keluasan p ertanyaan dapat menunjukkan kemampuan Anda dalam aspek berpikir tingkat tinggi.

..................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................... .Setelah Anda sudah membuat pertanyaan-pertanyaan yang berkaitan dengan kejadian pada gambar, tunjukkanlah hasil Anda kepada guru Anda untuk mengetahui pemahaman Anda tentang pembagian uas garis . Apabila belum paham, mintalah kepada guru atau rekan Anda untuk membimbing kembali terkait proyeksi vektor.

“Pak

Yunus, bersama anak didiknya mengadakan kegiatan karyawisata ke Jatim Park 2, Batu . Di dalam ruangan geografi, Pak Yunus menunjukkan sebuah kristal kalium karbonat yang memiliki bentuk sebuah segidelapan (Oktagon) seperti ditunjukkan dalam gambar

Jika titik-titik sudutnya sumbu koordinat yang sesuai A (1, -5, 2), B (6, -3, 4), C (7, 1, 0), D (2, -1, -2), E (-4, 9, 10)dan F (12, -13, -8). Analisa dan temukan jawaban, hipotesa bahwa pernyataan diagonal ruang AC dan EF

dari kristal ini saling berpotongan ?” Gambar Kristal Kalium Karbonat

Teman-teman, Kegiatan belajar ini berisikan kegiatan-kegiatan yang harus Anda kerjakan berdasarkan literasi, literasi, pengamatan, dan kinerja kinerja ilmiah. Ayo, ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan konsentrasi !!!


92

Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh konsentrasi!

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dalam arah ditulis

NO



, Demikian juga vektor satuan dalam arah

ditulis

Permasalahan



Penyelesaian

1.

Berapa panjang vektor AB ...................... ................................... .......................... .................. ..... Berapa panjang vektor CD. ...................... ................................... .......................... .................. ..... Nyatakan vektor CD dalam AB ...................... ................................... .......................... ........................ ...........

2.

Berapa panjang vektor AB ...................... ................................... .......................... .................. ..... Berapa panjang vektor CD. ...................... ................................... .......................... .................. ..... Nyatakan vektor CD dalam vektor AB ...................... ................................... .......................... ............................ ....................... ........

3.

Berapa panjang vektor AB ...................... ................................... .......................... .................. ..... Berapa panjang vektor CD. ...................... ................................... .......................... .................. ..... Nyatakan vektor CD dalam vektor AB ...................... ................................... .......................... ............................ ....................... ........

⃗ 

⃗

Vektor di atas adalah vektor satuan dari vektor . Apakah panjang vektor pada permasalahan no. 1, no. 2 dan no. 3 di atas sama.? ........................ .................................... .......................... ........................... ........................ ......................... .......................... ......................... ............................ ........................... ......................... ......................... ............ Sebutkan perbedaan vektor pada permalahan no1, no. 2 dan no.3! ........................ ..................................... ........................... .......................... ....................... ......................... ........................... ......................... ......................... ......................... ........................... ........................... ............ Nyatakan vektor CD ah rumus untuk vektor satuan di bawah ini.

⃗

⃗ Anal i s i s l a h permasal a han no. 1, no 2 dan no. 3 pada bagi a n “ dalam vektor AB” kemudian tulisl | |      Diberikan vektor = xi xi +y +z , panjang vektor = dari vektor a tuliskan vektor

, jika

adalah vektor satuan


93

̂, ̂, 

Vektor-vektor satuan dan termasuk dan vektor satuan karena besar vektor-vektor ini sama dengan satu. Jadi,

Diketahui = Penyelesaian

(132 )

|̂| = | ̂| =  = 1

. Tentukan vektor satuan dari vektor

− ) − ) ( ( 1      = ||= − −++− = √  = √  ( 23 )

Agar lebih memahami operasi perkalian skalar dua vektor maka ayo berlatih agar lebih paham

Agar lebih memahami tentang proyeksi vektor, ayo berlatih !

Setelah Anda memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, coba diskusikan dengan teman Anda soal berikut ini :

Soal terbuka ( No. 1 dan 2 ) 1. 2.

Buatlah dua buah vektor sebarang yang unsur vektornya berbeda dengan unsur vektor temanmu. Dari dua buah vektor yang kalian buat di atas, tentukan masing-masing vektor satuannya.

3.

Perhatikan gambar berikut!

Berapa panjang vektor

⃗ 

?


94

Vektor mana yang merupakan vektor satuan dari vektor Lengkapi titik-titik di bawah ini! a. b. c.

4.

⃗ 

?

⃗  =⋯….⃗ ⃗  =⋯….⃗ ⃗  =⋯….⃗

–

–

Diberikan tiga buah vektor, a = 3 i 2 j +5k +5k , b = i 7 j + + ak, c 10 i +6 +6 j -2k. -2k. Dari ketiga k, c = 10i vektor di atas, vektor satuan mana yang paling besar(panjang), dan mengapa vektor satuan tersebut yang terpanjang?

Apabila kalian telah mampu menyelesaikan soal di atas maka lanjutkan pada

Glosarium Orthogonal Skalar Proyeksi vektor

= tegak lurus = bilangan yang memiliki nilai tetapi tidak memiliki arah. = bayangan vektor

Proyeksi vektor a pada b adalah panjang vektor hasil proyeksi vektor a pada b

Sekarang perhatikan gambar berikut ! Pada Kegiatan ini, kalian diharapkan dapat menemukan sendiri rumus proyeksi skalar vektor pada vektor.

yaitu

|| = ..

serta dapat menerapkan dalam kontekstual sehari-hari terkait proyeksi

⃗ = ⃗ ⃗⃗ ==  ⃗ ⃗ == ⃗

Vektor , proyeksi vektor

dan pada

.

adalah vektor

⃗ = 

.


95

Selanjutnya Perhatikan segitiga OAC , Cos

 = ………………… …………………

…………….. || ………………. . =

......................... ....................................... ........................... ........................ ........... ( 1 )

Perhatikan vektor dan ,

 ⃗ .

= ......................... ....................................... ........................... ......................... ......................... ................ ... ( 2 ) = .......................... ...................................... ........................... ............................ ......................... ................

Substitusikan (1) ke (2)

||

= ......................... ..................................... ......................... ........................... .......................... ................. .....

Diskusikan dengan teman, mintalah penjelasan tambahan apabila engk au masih menemukan kesulitan dalam melengkapi titik-titik di bawah ini. Permasalahan di bawah ini adalah berbagai kasus pada proyeksi skalar dua buah vektor.

Tuliskan hasil proyeksi pada ? ........................ .................................... .......................... ............................ ..................... ....... ........................ .................................... .......................... ............................ ..................... ....... 1.

Bagaimana panjang vektor hasil proyeksi dengan panjang vektor






96

Apa yang bisa bisa kalian simpulkan simpulkan dari ketiga hasil jawaban permasalahan di atas. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

1.

   ⃗ ⃗  –  ⃗

Tentukan proyeksi skalar vektor = 3 +4 +6 pada =

3 +2

!

Penyelesaian:

|| = .. c 

2.

(3)(1)  (4)(3)  (6)(2) (1) 2



(3) 2



(2) 2



3 14



3

14

14

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A( -2,1,3), B(3, -1, 4) dan B(-4, 2, -1). Tentukan Proyeksi skalar vektor pada !

⃗ ⃗ 

⃗  ⃗ 

= =

2 3 (14 )  ( 13 ) 5 (21 )

⃗⃗  = ⃗  

 =4 2 ⃗  (12 )  ( 13 ) 2 ⃗  (41 ) =

=

c



AB. AC AC



(5)(2)  (2)(1)  (1)(4) (2)

2



(1)

2



(4)

2



16 21



16 21

21


97


Setelah Anda memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, coba diskusikan dengan teman Anda soal berikut ini : 1. Diketahui = -2i -2i +3 +3 j + + k , = i - 2 j +3k +3k dan dan = 3i 3i + 2 j - 4k 4k Tentukan proyeksi skalar vektor ( a + b) pada ( b c ).

–

2. Diberikan dua vektor Misalkan

= 2i 2i - 3 j +6k +6k , dan

      =     

–

= -2i -2i + + 2 j k



. Tentukan nilai !

3. Ditentukan koordinat titik-titik A (-2,6,5); B (2,6,9) dan C (5,5,7); AP : PB = 3 : 1. Tentukan : a. Vektor PC b. Panjang proyeksi vektor PC pada AB.

Apabila kalian telah mampu menyelesaikan soal di atas maka lanjutkan pada

Ayo…sekarang

perhatikan lagi rumus proyeksi skalar vektor dan , dengan baik, selanjutnya kita akan berusaha menemukan rumus proyeksi orthogonal vektor a pada b, misalkan c = vektor hasil proyeksi vektor pada . Kita akan membuktikan bahwa : c

 a.b    2 .b !    b 

Perhatikan gambar berikut:

Panjang vektor AB = 2, panjang vektor AC= 5. Jika panjang vektor AB dinyatakan dengan panjang vektor AC.

⃗ = 25 . ⃗

Vektor

⃗

=

……… .  ………. ⃗ UKBM/MTKP/SKS Lampung/2017

98

Mengingatkan pada kegiatan Belajar 2,

⃗ = 

Perlu kalian ketahui bahwa vektor adalah vektor hasil proyeksi vektor pada vektor Vektor c itu biasanya disebut sebagai proyeksi orthogonal vektor pada . Kita sudah menemukan rumus proyeksi skalar vektor a pada b , c

a.b 

b

...................... ................................... .......................... ........................... ......................... ....................... .......................... .................... ...... ( 1 )

Pada gambar di atas terlihat

⃗ = |||| . ⃗  = |||| . ⃗ |||| . ⃗  = ………………..  = ……………… . …⃗ … ……………….. . …⃗ .  = …………………  = ……………….. ………………. . …⃗ … atau

......................... ...................................... ......................... .........................( .............( 2 )

Ayo Kamu Pasti Bisa ! Substitusikan persamaan ( 1) ke persaman ( 2)

Tuliskan hasil akhir sebagai rumus proyeksi orthogo nal vektor pada di dalam kotak di bawah ini.


99

Diskusikan dengan teman, mintalah penjelasan tambahan apabila engkau kesulitan dalam melengkapi titik-titik di bawah ini.

masih menemukan

Tuliskan proyeksi orthogonal vektor pada ?

…………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………….

Bagaimana arah vektor hasil proyeksi atau vektor

dengan arah vektor

Tuliskan proyeksi orthogonal vektor pada ? ....................... ................................... ......................... ........................... .......................... .......................... ........................... ................... ...... ....................... ................................... ......................... ........................... .......................... .......................... ........................... ................... ...... Bagaimana arah vektor hasil proyeksi atau vektor dengan arah vektor

Tuliskan proyeksi orthogonal vektor pada ? ....................... ................................... ......................... ........................... .......................... .......................... ........................... .................. ..... ....................... ................................... ......................... ........................... .......................... .......................... ........................... ................. .... Bagaimana arah vektor hasil proyeksi atau vektor dengan arah vektor

Apa yang bisa kalian simpulkan dari ketiga gambar di atas. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

1. Tentukan proyeksi orthogonal vektor a = 2i+4j- 3k pada b = i +2j +5k! Penyelesaian: c

a.b 

b

2

.b


100

 1   1   61  (2)(1)  (4)(2)  (3)(5)    1    1  c   2   2   3  ((1) 2  (2) 2  (5) 2 )   6    5   5   5   6 

2. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(3,-1,2), B(-2, -1, 3) dan B(-5,- 2, 1). Tentukan Proyeksi orthogonal vektor pada ! Penyelesaian :

⃗ ⃗  ⃗⃗  = = ⃗  (213 )  (132 ) ⃗  (521 )  (132 ) ⃗  (501 ) ⃗  (811) =

=

=

=

  8     (5)(8)  (0)(1)  (1)(1)    AB. AC  c  . AC   (8) 2  (1) 2  (1) 2    1   AC     1        8   41      1 66     1  3.

Diketahui vektor a = -3i- j+xk pada b =3 i- 2j +6k! Jika Proyeksi skalar vektor a pada b adalah 5. Hitunglah nilai x ! Penyelesaian :

a  3i  j  xk b  3i  2 j  6k ab



(3)(3)  (1)(2)  x(6) 9  2  6 x

 

7  6 x

 

b



32



49



(2) 2





62

7

Proyeksi skalar orthogonal vektor a pada b adalah 5, ini berarti;


101

a.b

5



b 

7  6 x





5

7  7  

6 x



x

6 x







35

42

7

Jadi nilai x = 7


Setelah Anda memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, coba diskusikan dengan teman Anda soal berikut ini : 1.

Diketahui A(1,1), B(5,4), C(11,-1), D(8,3) dan E(-1,5) Tentukan; a. Proyeksi orthogonal vektor AB pada vektor AC. b. Proyeksi orthogonal vektor AD pada vektor AC. c. Proyeksi orthogonal vektor AE pada vektor AC.

Analisislah jawaban-jawaban dari 3a., 3b, dan 3c. Hasil proyeksi orthogonal mana yang berlawanan arah dengan arah vektor AC. ....................... ................................... ......................... ........................... ......................... ......................... ........................... ......................... ........................... ........................... ......................... .......................... ........................... ................... ..... ....................... ................................... ......................... ........................... .......................... .......................... ........................... ......................... ......................... ......................... ......................... ........................... ............................ ................... ..... 2.

Diberikan sebuah belah ketupat PQRS. Seperti pada gambar di bawah ini!

PQRS adalah belah ketupat dengan panjang sisi 4 satuan. Titik K, L, M dan N berturut-turut titik tengah PQ, QR, RS, dan SP. Jika vektor SN mewakili u dan vektor SM mewakili v. Buktikan bahwa

⃗ ⃗ =516 .


102

Ayo...Browsing Ayo...Browsin g !! Ayo Bereksplorasi!! Untuk lebih memahami aplikasi vektor satuan, kalian bisa melihat atau browsing di laman di bawah ini.

Kerjakan bersama teman kalian di buku kerja masing-masing!Periksakan seluruh pekerjaan kalian kepada Guru agar dapat diketahui penguasaan materi sebelum kalian diperbolehkan belajar ke UKB berikutnya setelah melakukan tes formatif

Bagaimana Anda sekarang ?

Setelah Anda belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2, dan 3, berikut berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri Anda terhadap materi yang sudah Anda pelajari. Jawablah terkait dengan penguasaan materi pada UKBM MTKP-3.2/4.2/2/3-9 ini pada tabel berikut.

1.

Apakah kalian telah memahami pengertian vektor satuan?

2.

Dapatkah kalian menjelaskan proyeksi skalar dua buah vektor?

3.

Dapatkah kalian menjelaskan proyeksi orthogonal dua buah vektor??

4.

Dapatkah kalian menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan proyeksi vektor.

Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi Apabila Anda menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan kegiatan tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 1,2, dan 3 yang sekiranya perlu Anda ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat.

berikut !.

dalam rentang

dalam menguasai materi tentang proyeksi vektor , tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.


103

Lanjutkan kegiatan berikut untuk mengevaluasi vektor!

Anda terhadap materi proyeksi

Agar dapat dipastikan bahwa Anda telah menguasai materi proyeksi vektor, maka kerjakan soal berikut secara mandiri di buku kerja Anda masing-masing. 1) Buktikanlah bahwa

i  j 2

dan (cos  )i  (sin



) j adalah vektor vektor satuan.

2) Diberikan tiga titik O, P dan Q sedemikian sehingga

 2   q     .  OQ dan  3    2q 

OP  

Jika

⃗

adalah suatu vektor satuan. Carilah nilai q yang

memungkinkan ! 3) Diketahui kubus ABCD. EFGH. Misalkan vektor-vektor

⃗ == 1,0,0, ⃗ == 0,1,0, ⃗ = ⃗ = 1,0,0,

Titik P adalah titik pusat sisi BCGF.

Tentukan proyeksi vektor FP pada vektor AC.

4) Kerjakan soal ini secara aljabar dan geometri !

Pada gambar di atas adalah kubus ABCDEFGH dengan panjang rusuk 2 satuan, M titik tengah HG dan N titik tengah CD, tentukan a. b. c. d.

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗  ⃗⃗

panjang proyeksi vektor panjang proyeksi vektor proyeksi vektor pada proyeksi vektor pada

pada pada ? ?

? ?


104

Setelah menyelesaikan soal di atas dan mengikuti kegiatan belajar 1, 2, dan 3. pendapat Anda tentang penjelasan proyeksi vektor ?

menurut

Ini adalah bagian akhir dari UKBM MTKP-3.2/4.2/2/3-9 dan bagian akhir semester 2, mintalah kepada Guru Anda sebelum berikutnya. Sukses untuk Anda !

Aku Pasti Bisa !!!


105

UKBM MTKP 3.2-4.2-2.9

Recommend Documents