Ukbm Transformasi Rev1

Unit Kegiatan Belajar Matematika, Pasangan KD 3.5/4.5

TRANSFORMASI GEOMETRI 1. Identitas a. Nama Mata Pelajaran b. Semester c. Kompetensi Dasar

: Matematika XI (Wajib) : 3 (tiga) :

3.5 Menganalisis dan membandingkan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan dengan menggunakan matriks. 4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan dengan matriks transformasi geometri geometri (translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi). d. Indikator Pencapaian Kompetensi : 3.5.1 Menentukan translasi (pergeseran) suatu titik ke arah kanan dan atau kiri (searah sumbu X). 3.5.2 Menentukan translasi (pergeseran) suatu titik ke arah atas dan atau bawah (searah sumbu Y). 3.5.3 Menentukan translasi (pergeseran) suatu titik yang dinyatakan dengan dengan matriks. 3.5.4 Menentukan refleksi (pencerminan) suatu titik terhadap pusat (0, 0). 3.5.5 Menentukan refleksi (pencerminan) suatu titik terhadap sumbu X. 3.5.6 Menentukan refleksi (pencerminan) suatu titik terhadap sumbu Y. 3.5.7 Menentukan refleksi (pencerminan) suatu titik terhadap garis y = x. 3.5.8 Menentukan refleksi (pencerminan) suatu titik terhadap garis y = - x. 3.5.9 Menentukan refleksi (pencerminan) suatu titik terhadap garis x = h. 3.5.10 Menentukan refleksi (pencerminan) suatu titik terhadap garis y = h. 3.5.11 Menentukan rotasi (perputaran) suatu titik dengan pusat (0, 0) , sudut putar istimewa, dan arah sudut putar berlawanan dengan dengan arah putar jarum jam. 3.5.12 Menentukan rotasi (perputaran) suatu titik dengan pusat (a, b), sudut putar istimewa, dan arah sudut putar berlawanan dengan dengan arah putar jarum jam. 3.5.13 Menentukan dilatasi (perkalian) suatu titik dengan pusat ( 0, 0) dan dengan skala tertentu. 3.5.14 Menentukan dilatasi (perkalian) suatu titik dengan pusat (a, b) dan dengan skala tertentu. 3.5.15 Menentukan komposisi dua translasi (pergeseran) suatu t itik. 3.5.16 Menentukan komposisi dua refleksi (perputaran) suatu titik. 4.5.1 Menentukan translasi (pergeseran) suatu kurva menggunakan matriks. 4.5.2 Menentukan refleksi (pencerminan) suatu kurva terhadap garis y = h. 4.5.3 Menentukan rotasi (perputaran) suatu kurva dengan pusat (0, 0), sudut putar istimewa, dan arah sudut putar berlawanan dengan dengan arah putar jarum jam. 4.5.4 Menentukan rotasi (perputaran) suatu kurva dengan pusat (a, b), sudut putar istimewa, dan arah sudut putar berlawanan dengan dengan arah putar jarum jam. 4.5.5 Menentukan dilatasi (perkalian) suatu kurva dengan pusat (0, 0) dan dengan skala tertentu. 4.5.6 Menentukan dilatasi (perkalian) suatu kurva dengan pusat (a, b) dan dengan skala tertentu. 4.5.7 Menentukan komposisi transformasi suatu titik atau kurva. 4.5.8 Menentukan transformasi suatu kurva menggunakan invers matriks.

e. Materi Pokok : Transformasi Geometri f. Alokasi Waktu : g. Tujuan Pembelajaran : Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, presentasi dan analisis, peserta didik dapat menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks serta menyelesaikan masalah yang yang berkaitan dengan matriks transformasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi) sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya, mengembangkan sikap jujur, peduli, dan bertanggungjawab, serta dapat mengembangankan kemampuan berpikir kritis, berkomunikasi, berkolaborasi, berkreasi(4C) . h. Materi Pembelajaran 

Lihat dan baca pada Buku Teks Pelajaran (BTP) : Sudianto Manullang, Andri Kristianto S., Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga, Bornok Sinaga, Mangaratua Marianus S., Pardomuan N. J. M. Sinambela. 2017. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan dan Kebudayaan.

Matematika-by 4515

Hal - 1

Aku berfikir, berarti aku ada.

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.










2. Peta Konsep

3. Kegiatan Pembelajaran a. Pendahuluan Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami cerita di bawah ini.

Pantograf adalah alat untuk menggambar ulang suatu gambar dengan cara membesarkan dan mengecilkan gambar tersebut. Dengan menggunakan pantograf, Miko Sagala menggambar peta Pulau Sulawesi. Gambar peta yang dibuatnya memiliki bentuk yang sama dengan peta Pulau Sulawesi sesungguhnya dengan ukuran lebih besar. Dengan menggunakan pantograf ini, Miko Sagala telah mendilatasi peta sesungguhnya. Agar kalian lebih paham tentang dilatasi, pelajarilah bab berikut. berikut. Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam ukbm ini. b.

Kegiatan Inti

1)

Petunjuk Umum a) Baca dan pahami materi pada buku Sudianto Manullang, dkk. 2017. Buku Siswa Matematika X Wajib. Wajib. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. b) Setelah memahami isi materi dalam bacaan berlatihlah untuk berfikir tinggi melalui tugastugas yang terdapat pada UKB ini baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya. c) Kerjakan UKB ini dibuku kerja atau langsung mengisikan pada bagian yang telah disediakan. d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan ayo berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar 1, 2, dan 3 kalian boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif agar kalian dapat belajar ke UKB berikutnya.










Kegiatan Belajar-1

Untuk dapat menyelesaikan permasalahan pendahuluan, terlebih dahulu Anda harus memahami konsep operasi matriks. Dalam kegiatan belajar 1, Anda akan diarahkan untuk mempelajari jarak dalam ruang. Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan p enuh konsentrasi ! A. TRANSFORMASI Ada dua macam transformasi yaitu transformasi Isometri dan transformasi Non Isometri. Transformasi Isometri adalah transformasi yang tidak mengubah bentuk/ukuran, hasil transformasi kongruen dengan bangun semula. Transformasi Non Isometri adalah transformasi yang mengubah bentuk/ukuran, hasil transformasi tidak sama dengan bangun semula. Adapun jenis-jenis transformasi yang pernah dibahas adalah pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi), perputaran (rotasi), dan perkalian (dilatasi). 1. Mengingat Sistem Koordinat Cartesius

Dalam matematika, Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dalam bidang dengan menggunakan dua pasangan bilangan dalam tanda kurung “(x, y)” yang biasa disebut titik koordinat, dimana x (disebut (disebut dengan absis) dengan absis) dan dan y (disebut (disebut dengan ordinat) dengan ordinat) dari dari titik tersebut. Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 1). Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).

Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk geometri seperti kurva dapat diekspresikan dengan persamaan dengan persamaan aljabar. aljabar. Sebagai Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4 (lihat Gambar 2). Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis dari Perancis Descartes, Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi. dan kartografi.










2. Pergeseran (Translasi) Suatu pergeseran ditentukan dua hal, yaitu jarak dan arah pergeseran dimana jarak dan arah dapat disimbulkan dengan garis berarah (vektor). Selain dengan vektor padat pula pergeseran dinyatakan d engan

suatu pasangan bilangan, misalnya

 a  yang artinya digeser sejauh “a” satuan ke arah k anan, dan digeser    b 

sejauh “b” satuan ke arah atas. Diagram: Dari diagram tersebut pergeseran A menjadi A’ terdapat hubungan: x’ = x + a y’ = y + b Ditulis dalam bentuk matriks:

 x '   x   a           y'   y   b 

 x '    x  a       y'   y  b 

Jadi matriks

 a   a    bersesuaian dengan transformasi pergeseran terhadap T=    b   b 

Tunjukkan secara gambar pada bidang cartesius bayangan titik berikut dengan translasi yang diminta.

Asumsikan arah ke kanan adalah arah sumbu x positif dan arah ke atas adalah ke arah sumbu y positif. a. b. c. d.

Titik A(2, – A(2, – 3) 3) bila digeser 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke bawah. Titik B(3, 4) bila digeser 4 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas. Titik C(1, 2) bila digeser 2 satuan ke kiri dan 3 satuan ke atas . Titik D( – – 3, – 3, – 4) 4) bila digeser 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas.

Contoh-1: Diketahui suatu titik K(2, 8) dilakukan translasi

Contoh-2:

  3   adalah  2 

Bayangan suatu titik akibat tr anslasi T  

 4   . Tentukan bayangan titik K. T     6 

(8, 3) maka titik mula- mula adalah …

P enyeles nyelesaian: aian: Benda

P enyeles nyelesaian: aian: Benda

K(x, y) K(2, 8)

Bayangan K’(x’, y’)

A(x, y)

 x '   x   a           y'   y   b 

 x '   x   a           y'   y   b 

 x '   2   4   6              y'   8    6   2 

 8   x    3           3   y   2   x   8    3   11              y   3   2   1 

Jadi bayangan titik K adalah K’(x’, y’) yaitu K’(6, 2)

Bayangan A’(x’, y’) A’(8, 3)

Sehingga titik semula adalah: (11, 1)










Contoh-3:

Contoh-4:

Garis lurus 4x  3y  2  0 digeser 3 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas.

P enyeles nyelesaian: aian: Benda 4x  3y  2  0

  3   adalah garis 2  

Bayangan garis akibat translasi T  

4x  3y  20  0 maka garis mula-mula mula- mula adalah …

Bayangan … x  x’ y  y’

 x '   x   a           y'   y   b 

 x '   x    3           y'   y   2   x '    3   x           y'   2   y   x   x '3        y y ' 2     x  x'3 y  y'2 Garis 4 x  3y  2  0 menjadi:

4( x '3)  3( y'2)  2  0 4x '12  3y'6  2  0

P enyeles nyelesaian: aian: Benda …

Bayangan 4 x '3y'20  0

x’  x y’  y

 x '   x   a           y'   y   b 

 x '   x    3           y'   y   2   x '   x  3        y ' y 2     x'  x  3 y'  y  2 Sehingga garis 4 x '3y'20  0 adalah:

4( x  3)  3( y  2)  20  0 4x  12  3y  6  20  0 4 x  3y  2  0

4x '3y'20  0 Sehingga: 4 x  3 y  20  0

Latihan-1:

1. Tentukan bayangan titik berikut dengan translasi yang diminta.   3   . a. Titik A(2, – A(2, – 3) 3) bila ditranslasikan oleh T   9  

  3   . 9     3   . c. Titik C(1, 2) bila ditranslasikan oleh T    9 

b. Titik B( – – 3, 3, 4) bila ditranslasikan oleh T  

2. Tentukan bayangan garis lurus 2 x  3y  4  0 digeser 2 satuan ke kiri dan 3 satuan ke bawah.

  3   . 9    1  4. Tentukan bayangan lingkaran x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 ditranslasikan dengan T    .  2  3. Tentukan bayangan parabola dg persamaan y  x 2  2 x  8 ditranslasikan oleh T  










Kegiatan Belajar-2 3. Pencerminan (Refleksi).

a. P encer ncer mi nan te ter hadap hadap titik titi k Pusat P usat O(0, O( 0, 0). 0) . Dari diagram tersebut pencerminan A menjadi A’ terdapat hubungan: x’ = – x y’ = – y Ditulis dalam bentuk matriks:

 x '    1x  0 y       y ' 0 x 1 y       x '    1 0  x         y ' 0 1     y  Jadi matriks

  1 0    bersesuaian dengan transformasi pencerminan pencerminan terhadap titik Pusat O(0, 0). 0 1   

b. P encer ncer mi nan ter ter hadap hadap sumbu sumbu x. x. Dari diagram tersebut pencerminan A menjadi A’ terdapat hubungan: x’ = x y’ = – y Ditulis dalam bentuk matriks:

 x '   1x  0 y       y ' 0 x 1 y       x '   1 0  x        y ' 0 1      y  Jadi matriks

 1 0    bersesuaian dengan transformasi pencerminan pencerminan terhadap sumbu X. 0 1   

c. Pencerminan terhadap sumbu y. Dari diagram tersebut pencerminan A menjadi A’ terdapat hubungan: x’ = – x y’ = y Ditulis dalam bentuk matriks:

 x'    1x  0 y       y ' 0 x 1 y       x '    1 0  x        y ' 0 1     y 












e. P encer ncer mi nan ter ter hadap hadap g aris ari s y = x Dari diagram tersebut pencerminan A menjadi A’ terdapat hubungan: x’ = y y’ = x Ditulis dalam bentuk matriks:

 x '   0x  1y        y'   1x  0 y   x '   0 1  x         y'   1 0  y  Jadi matriks

f.

 0 1    bersesuaian dengan transformasi pencerminan pencerminan terhadap garis y = x. 1 0  

Pencerminan terhadap garis y = – x Dari diagram tersebut pencerminan A menjadi A’ terdapat hubungan: x’ = – y y’ = – x Ditulis dalam bentuk matriks:

 x '   0x  1y       y ' 1 x 0 y        x '   0  1  x         y'    1 0  y 

 0  1   bersesuaian dengan transformasi pencerminan pencerminan terhadap garis y = – = – x. x.   1 0 

Jadi matriks 

g. P encer ncer mi nan ter ter hadap hadap g aris ari s x = h Dari diagram tersebut pencerminan A menjadi A’ terdapat hubungan: x’ = 2h – x x y’ = y










h. Pencerminan terhadap garis y = h Dari diagram tersebut pencerminan A menjadi A’ terdapat hubungan: x’ = x y’ = 2h – 2h – y y

A(x, y)

yh

    A’(x, 2h– y) y)

Ditulis dalam bentuk matriks:

 x '   1 0  x   0            y'   0  1  y   2h 

Contoh-1: Tentukan bayangan titik A(6, 2) terhadap: a. pencerminan terhadap titik pusat (0, 0). b. pencerminan terhadap sumbu x. c. pencerminan terhadap sumbu y. d. pencerminan terhadap garis garis y = x.

e. pencerminan terhadap garis garis y = – = – x. x. f. pencerminan terhadap garis garis x = h. g. pencerminan terhadap ga garis ris y = h.

P enyeles nyelesaian: aian:  6  Diketahui A     2   6  a. pencerminan A    terhadap pusat.  2 

 6  c. pencerminan A    terhadap sumbu y.  2 

 x '    1 0  x         y ' 0 1     y 

 x '    1 0  x        y ' 0 1     y 

 x '    1 0  6    6  0    6              y ' 0 1 2 0 2            2 

 x '    1 0  6    6  0            y'   0 1  2   0  2   x '    6        y'   2 

Jadi A’(– 6, – 6, – 2) 2)

 6  b. pencerminan A    terhadap sumbu x.  

Jadi A’(– 6, 6, 2)










 6  e. pencerminan A    terhadap garis y = – = – x. x.  2 

 6  g. pencerminan A    terhadap garis y = 5.  2 

 x '   0  1  x         y'    1 0  y 

 x '   1 0  x   0            y'   0  1  y   2h 

 x '   0  1  6   0  2            y'    1 0  2    6  0   x '    2        y'    6 

 x '   1 0  6   0   6  0   0                   y ' 0 1 2 2 . 5 0 2           10   x '   6   0           y'    2   10 

Jadi A’(– 2, – 2, – 6) 6)

 x '   6        y'   8 

 6  f. pencerminan A    terhadap garis x = 5.  2 

Jadi A’(6, 8)

 x '    1 0  x   2h           y ' 0 1     y   0 

 x '    1 0  6   2.5    6  0   10                  y'   0 1  2   0   0  2   0   x '    6   10           y'   2   0   x '   4        y'   2  Jadi A’(4, 2)

Contoh-2:

Tentukan bayangan y   x 2  2 x  8 jika dicerminkan terhadap garis y = 5. Penyelesaian:

Benda

Bayangan

y   x 2  2x  8

… x  x’ y  y’










Latihan-2A: 1. Tentukan bayangan pencerminan dari beberapa titik bila d icerminkan terhadap sumbu x. a. K(2, – K(2, – 3) 3) b. L( – – 3, 3, 4) c. M(1, 2) 2. Tentukan bayangan pencerminan dari beberapa titik bila dicerminkan terhadap terhadap garis y = 4. a. K(2, – K(2, – 3) 3) b. L( – – 3, 3, 4) c. M(1, 2) 3. Tentukan bayangan pencerminan dari beberapa titik bila dicerminkan terhadap sumbu y. a. P(3, – P(3, – 4) 4) b. Q( – – 6, 6, 2) c. R(10, 3) 4. Tentukan bayangan pencerminan dari beberapa titik bila dicerminkan terhadap terhadap garis x = 10. a. P(3, – P(3, – 4) 4) b. Q( – – 6, 6, 2) c. R(10, 3) 5. Tentukan bayangan pencerminan dari beberapa titik bila dicerminkan terhadap terhadap garis y = x. a. G( – – 3, 3, 8) b. H(9, – H(9, – 4) 4) c. I(5, 5) 6. Tentukan bayangan pencerminan dari beberapa titik bila dicerminkan terhadap terhadap garis y = – x. x. a. G( – – 3, 3, 8) b. H(9, – H(9, – 4) 4) c. I(5, 5) Latihan-2B: 1. Tentukan bayangan pencerminan kurva berikut dicerminkan terhadap sumbu x. a. garis lurus 2 x  3y  4  0

b. parabola y   x 2  2 x  8 c.

lingkaran x 2  y 2  2 x  2 y  23  0

2. Tentukan bayangan pencerminan kurva berikut dicerminkan terhadap sumbu y. a. garis lurus 2 x  3y  4  0










c.

2 2 lingkaran x  y  9

2. Diketahui bayangan pencerminannya, tentukan kurva sebelum dicerminkan terhadap garis x = 2. 2. a. garis lurus x  2 y  3  0 b. parabola y  x 2  x  6 c.

2

2

lingkaran x  y  9

3. Diketahui bayangan pencerminannya, tentukan kurva sebelum dicerminkan terhadap garis y = 0. 0. a. garis lurus x  2 y  3  0 b. parabola y  x 2  x  6 c.

2 2 lingkaran x  y  9

Kegiatan Belajar-3 4. Perputaran (Rotasi)

Dalam perputaran ditentukan oleh tiga hal, yaitu titik pusat perputaran, besar sudut putar, dan arah sudut putar ( berlawanan dengan arah putar jarum jam ). Dari diagram tersebut perputaran A menjadi A’ terdapat hubungan: x’ = x Cos

– y y Sin

y’ = x Sin

+ y Cos


 x'   xCos  ySin           y ' xSin yCos     Sin   x   x'   Cos  Sin       Sin  Cos  y   y'   Sin Sin    Cos  Sin  bersesuaian dengan transformasi perputaran Jadi matriks  perputaran sebesar  dengan pusat O(0, 0)   Sin Si n Cos  

Untuk rotasi dengan sudut istimewa matriksnya dapat ditemukan sebagai berikut: Rotasi dengan pusat O(0, 0)

Diputar sejauh 90 o

 x '   0  1  x        y ' 1 0     y 












Contoh-1: Tentukan bayangan dari A(2, 5) akibat rotasi dengan pusat O(0, 0) dengan sudut pusat sebesar 90 o. Penyelesaian:

 a   0   x   2  Diketahui A       , P        b   0   y   5   x '   0  1  x         y'   1 0  y   x '   0  1  2   0.2  1.5    5              y ' 1 0 5 1 . 2 0 . 5          2  Jadi A’(– 5, 5, 2) Contoh-2: Tentukan bayangan dari A(2, 5) akibat rotasi dengan pusat (3, 4) dengan sudut pusat sebesar 90 o. Penyelesaian:

 a   3   x   2  Diketahui A       , P        b   4   y   5   x '   0  1  x  a   a            y ' 1 0 y b       b   x '   0  1  2  3   3   0  1   1   3   0  1   3    1   3   2                                  y'   1 0  5  4   4   1 0  1   4    1  0   4    1   4   3  Jadi A’(2, A’(2, 3) Contoh-3:

Tentukan bayangan y   x 2  2x  8 jika dirotasi dengan pusat (3, 4) dengan sudut pusat sebesar 90 o. Penyelesaian:










Latihan-3B:

Tentukanlah persamaan kurva oleh rotasi R berikut! 1. Garis lurus 2 x  3y  4  0 dirotasi sebesar 90 o dengan pusat rotasi O(0, 0). rotasi P(1, – P(1, – 1). 1). 2. Garis lurus 2 x  3y  4  0 dirotasi sebesar 90 o dengan pusat rotasi

3. Parabola y  x 2  3x  4 dirotasi sebesar 180 o dengan pusat rotasi O(0, 0). 4. Parabola y  x 2  3x  4 dirotasi sebesar 180 o dengan pusat rotasi O(1, 3). pusat rotasi pada titik O(0, 0). 5. Lingkaran x 2  y 2  2x  4 y  20  0 dirotasi sebesar 90 o dengan pusat

6. Lingkaran x 2  y 2  2x  4 y  20  0 dirotasi sebesar 90 o dengan pusat pusat rotasi pada titik P(6, 3). Kegiatan Belajar-4 5. Dilatasi (Perkalian) dengan pusat O(0, 0). Perkalian atau dilatasi dengan pusat dilatasi (0, 0), sedangkan k adalah faktor skalanya. Dari diagram tersebut perkalian A menjadi A’ terdapat hubungan: x’ = kx = kx y’ = ky


 x'   kx        y'   ky 

 x '   k 0  x         y'   0 k  y   k 0   bersesuaian dengan transformasi perkalian Jadi matriks  perkalian sebesar k dengan pusat O(0, 0)  0 k 










Kegiatan Belajar-5 B. KOMPOSISI TRANSFORMASI Yang dimaksud dengan komposisi transformasi adalah gabungan dua atau lebih transformasi yang dilaksanakan secara berurutan. Contoh-1:

  2   3  Diketahui T1=   dan T2=   dan titik A(4, 5). Tentukan bayangan titik A jika ditransasikan oleh T 2oT1.  3   4 

P enyele nyelesaian: saian: Kedua translasi dikomposisikan terlebih dahulu, maka:

  2   3   1         3    4   7 

T = T2 o T1 = 

 4   1   5           5   7   12  Jadi A’(5, 12)

Contoh-2:

 4   2  Tentukan bayangan dari B(-5, 2) pada pergeseran terhadap T 1=   dilanjutkan T2=    6   3 

P enyele nyelesaian: saian:   5   4   2   1              2   6   3   11  Jadi B’(1, 11)

Contoh-3:










 x '    1 0  x   2h           , maka:  y'   0 1  y   0   x"    1 0  5   2.6    5  0   12   8                    y " 0 1 6 0 0 6             0    6  Jadi Q”(8, -6)

Latihan-5: 1. Tentukan bayangan dari K(2, 5) pada pergeseran terhadap:

 4   4   dilanjutkan T2=    6   3    3    3   dilanjutkan T2=   b. T1=   2   4  a.

T1= 

2. Tentukan bayangan dari A(6, 2) pada pencerminan terhadap: a. garis y = 3 dilanjutkan pada pencerminan terhadap garis y = 6 b. garis x = 2 dilanjutkan pada pencerminan terhadap garis x = 4

 1   kemudian dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat  2  

3. Diketahui titik A(3, – A(3, – 2) 2) dipetakan oleh translasi 

O(0, 0) sejauh 90 o. Koordinat titik hasil peta A adalah .... 4. Diketahui titik A( – 3, 3, 1) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90 o, kemudian dilanjutkan oleh

 3  translasi   Koordinat titik hasil peta A adalah ....  4  5. Koordinat titik A(8, – 12) 12) dipetakan oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2, kemudian dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 180 o. Koordinat titik hasil peta A adalah ....










Kegiatan Belajar-6 C. TRANSFORMASI MENGGUNAKAN INVERS MATRIKS Untuk menentukan bayangan suatu kurva oleh transformasi yang ditulis dalam bentuk matriks, digunakan transformasi invers. Misal: Tentukan bayangan dari garis x  2 y  5  0 oleh transformasi yang dinyatakan dalam bentuk

 1 1   . 2 3  

matriks 

Penyelesaian:

P enyele nyelesaian: saian: Benda x  2y  5  0

Bayangan … x  x’ y  y’

1 1  x   x '       y'      2 3  y  Karena yang dicari adalah Sehingga:

1 1  x   x '       y'      2 3  y  3  1  x '   x   1     y  3  2  y' 2 1        x    3x ' y'       y    2 x ' y' 

Sehingga: x  2y  5  0

x  ... -1 y  ... , maka harus menggunakan invers matriks dimana: A = BX maka X = B .A












RANGKUMAN TRANSFORMASI No 1

Transformasi titik (x , y)

Matrik bersesuaian

Translasi (Pergeseran)

Terhadap T(a, b)

2

Koordinat Hasil (x’ , y’)

x’ = x + a y’ = y + b

 x '   x   a           y'   y   b 

Terhadap pusat O(0, 0)

x’ = – x y’ = – y

 x '    1 0  x         y ' 0 1     y 

Terhadap sumbu X

x’ = x y’ = – y

 x '   1 0  x        y ' 0 1      y 

Terhadap sumbu Y

x’ = – x y’ = y

 x '    1 0  x        y ' 0 1     y 

Terhadap garis y = x

x’ = y y’ = x

 x '   0 1  x        y ' 1 0     y 

Terhadap garis y = – = – x

x’ = – y y’ = – x

 x '   0  1  x        y ' 1 0      y 

Refleksi (Pencerminan)










7

Rotasi (Perputaran) dengan sudut α

Rotasi dengan pusat O(0, 0) Diputar sejauh α

x’ = x Cos  – y y Sin 

Rotasi dengan pusat P(a, b) Diputar sejauh α

x’ = (x– a)Cos a)Cos  – (y (y – b) Sin  +a

y’ = x Sin  + y Cos 

y’ = (x– a)Sin a)Sin  + (y – b) Cos  +b

Catatan: Matematika SMA Kelas 12 IPA_Pesta-e-s

Sin   x   x'   Cos  Sin       Sin  Cos  y   y'   Sin

 x '   Cos  Sin  x  a   a           y ' Sin Cos y b          b 

Ukbm Transformasi Rev1

Recommend Documents