NAMA/ ABSEN:
UKBM MAT_3.1/4.1/3/1_ MAT_3.1/4.1/3/1_1 1 SMA NEGERI 1 TUBAN | 2018
| KELAS:
MATA PELAJARAN SEMESTER MATERI ALOKASI WAKTU
Matematika Wajib 3 (Tiga) Induksi Matematika 12 JP
KOMPETENSI DASAR
3.1
4.1
Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika.
Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian.
TUJUAN PEMBELAJA PEMBELAJARAN RAN Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, peserta didik dapat menjelaskan metode pembuktian
pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika dan terampil menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian sehingga peserta didik dapat mengembangkan sikap jujur, disiplin, dan bertanggungjawab, serta dapat mengembangkan kemampuan .
PETA KONSEP
1
P R O S E S
B E L A J A R
PETUNJUK UMUM PENGGUNAAN UKBM
Untuk bisa melaksanakan UKBM ini, pahami alur proses belajar ini. MULAI
Belum menguasai
Formatif Sudah menguasai
UKBM selanjutnya
Selama mengerjakan kegiatan belajar ini, kejujuran,
kesabaran dan ketekunan sangatlah dijunjung tinggi. Kalian juga diminta untuk mengembangkan pola berpikir
kritis, kreatif, kolaboratif dan komunikatif sebagai bentuk konkret dari literasi.
2
PENDAHULUAN
“
Pernahkah kalian melihat permainan kartu domino yang diletakkan berjajar kemudian dirubuhkan?
Apa yang terjadi ketika kartu pertama dirubuhkan? Jelaskan!
______________________ _________________________________ _________________________ __________________________ ___________________ _______
”
KEGIATAN INTI
Dalam matematika, prinsip domino effect tersebut digunakan untuk membuktikan rumus suatu deret, keterbagian dan ketaksamaan. Bagaimana bisa? Mari kita simak penjelasan berikut!
3
Prinsip Induksi Matematika Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini: a. Langkah Awal (Basic Step): P(1) benar. b. Langkah Induksi ( Induction Step): Jika P(k ) benar, maka P(k+1) benar, untuk setiap k bilangan asli. Apabila kalian sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kalian sudah membuktikan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan asli n.
Kegiatan Belajar 1
Penerapan Induksi Matematika pada Barisan Bilangan Bukalah BTP Sinaga, Bornok, dkk. 2017. BukuSiswaMatematikaXIWajib BukuSiswaMatematikaXIWajib.. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan cetakan ke II, edisi revisi, .
Untuk memperkaya pengetahuan kalian tentang penerapan induksi matematika pada barisan bilangan, bukalah link berikut: https://m.youtube.com/watch?v=mHOcXr6Js8E
Ayo latih kemampuanmu dengan mengerjakan latihan berikut! LATIHAN
1. Untuk setiap rumusan P(n) yang diberikan, tentukan masing-masing P (n+1). a. b. 2. Buktikan bahwa 3. Buktikan bahwa : a) c)
untuk setiap n bilangan bulat positif. untuk setiap bilangan asli positif. 4
HEBAT! Mari
KALIAN
lanjutkan pada berikutnya!
kita Kegiatan
Kegiatan Belajar 2
Penerapan Induksi Matematika pada Keterbagian Buku Siswa Siswa Matem Matemati atika ka XI Wajib Wajib.. Jakarta: Bukalah BTP Sinaga, Bornok, dkk. 2017. Buku Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan cetakan ke II, edisi revisi, dan pahamilah contoh soal berikut! Jika mengalami kesulitan, mintalah
Untuk memperkaya pengetahuan kalian tentang penerapan induksi matematika pada keterbagian, bukalah link berikut: https://m.youtube.com/watch?v=71UuRKM7QbM
bantuan guru.
Mari cek pemahamanmu dengan melengkapi titik-titik berikut! Contoh soal: Untuk n bilangan asli,
a)
Langkah Awal Untuk n=1 maka
buktikan dengan induksi matematika bahwa
habis dibagi
habis dibagi (x-y)
Dengan demikian P(1) habis dibagi (x-y) b) Langkah Induksi Karena P(1) benar, maka P(2) benar, sedemikian sehingga disimpulkan
benar, untuk k bilangan asli.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa habis dibagi (x-y). Karena dimisalkan
habis dibagi (x-y) maka dapat , untuk m bilangan bulat positif, CATATAN: sehingga penambahan tersebut tidak merubah apapun. Penambahan ini disebut manipulasi matematika.
Dengan demikian dalam bentuk kelipatan (x-y) yaitu
dapat dinyatakan
INGAT: , untuk m bilangan bulat positif.
. Jadi benar
bahwa:
5
habis dibagi (x-y). Karena
memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka terbukti
,
habis dibagi (x-y) untuk n bilangan asli.
Cek pemahaman kalian dengan mengerjakan soal berikut! LATIHAN Kerjakan soal berikut di buku kerja dengan cermat dan jujur!
Buktikan dengan menggunakan induksi matematika untuk pernyataan berikut: 1.
habis dibagi oleh
n bilangan asli.
2.
Salah satu faktor dari
3. 4.
Salah satu faktor dari adalah 5, n bilangan asli. adalah kelipatan 27, n bilangan asli.
5.
adalah 3, n bilangan asli.
habis dibagi 2003, n bilangan asli.
Yay! Kalian berhasil menyelesaikan kegiatan belajar 2. Mari kita lanjutkan ke Kegiatan Belajar selanjutnya!
Kegiatan Belajar 3
Bukalah BTP Sinaga, Bornok, dkk. 2017. BukuSiswaMatematikaXIWajib . Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan cetakan ke II, edisi revisi, dan pahamilah contoh soal berikut! Jika mengalami kesulitan, mintalah bantuan guru.
Untuk memperkaya pengetahuan kalian tentang penerapan induksi matematika pada keterbagian, bukalah link berikut: https://m.youtube.com/watch?v=yLe5_8svWOU
Contoh Soal:
Buktikan
untuk setiap
bilangan asli.
Alternatif penyelesaian: Misalkan Akan ditunjukkan bahwa P(n) memenuhi kedua prinsip i nduksi matematika. a) Langkah awal 6
Karena
maka akan disubstitsikan n=4
Terbukti bahwa P(4) benar b) Langkah induksi Karena P(4) benar, maka
juga benar. Demikian seterusnya sehingga
dapat disimpulkan bahwa untuk
maka
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk Perhatikan bahwa sebelumnya
juga benar. maka:
adalah benar.
Bentuk (kalikan kedua ruas dengan 2)
............... (i) Selanjutnya, pernyataan ini berlaku untuk
, sehingga:
CATATAN: Jika ab>c maka a>c
Maka: Sehingga:
.................. (ii) Dari pernyataan (i) dan (ii) maka dapat disimpulkan bahwa Dengan
demikian
terbukti
bahwa
adalah benar. Karena
memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka terbukti bahwa .
Sekarang yuk cek pemahamanmu tentang materi ini. Semangat!!
LATIHAN
Kerjakan di buku kerja kalian dengan cermat dan lengkap! 1. Buktikan 2. Diberikan 3. Diketahui Diketah ui
, untuk setiap buktikan buktikan
bilangan asli. , n bilangan bulat
positif.
7
Mari cek pengetahuanmu setelah melaksanakan kegiatan pembelajaran ini! Kerjakan dengan mandiri! 1.
, untuk setiap n bilangan asli.
2. 3. 4. 5.
, untuk setiap n bilangan asli. habis dibagi 7 untuk setiap n bilangan asli. habis dibagi 4 untuk setiap n bilangan asli. Buktikan bahwa
untuk
.
8
PENUTUP Setelah melakukan kegiatan belajar 1, 2 dan 3, cobalah mengukur kemampuan diri dengan mengisi tabel berikut dengan penuh kejujuran. Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi
No.
Pernyataan
1.
Saya telah mampu menerapkan induksi matematika untuk menguji kebenaran rumus deret.
2.
Saya telah mampu menerapkan induksi matematika untuk menguji kebenaran rumus keterbagian.
3.
Saya telah mampu menerapkan induksi matematika untuk menguji kebenaran rumus ketaksamaan.
Ya
Tidak
Jika kalian menjawab “TIDAK” pada salah satu pernyataan tersebut, maka bukalah kembali materi
tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) atau sumber lain yang relevan dan dengan meminta bantuan guru. Jika kalian sudah melakukan semua kegiatan UKBM ini, maka kalian dapat meminta tes formatif kepada guru kalian.
DIMANA POSISIKU? Dari rentang 1-10, kira-kira dimana posisi pemahaman kalian saat ini untuk materi induksi
9
