2016
UAS KOMPUTASI NUMERIK Oleh: Diah Laraswati Teknologi Bioproses 1306533674 Dosen: Dr.Ir. Setiadi, M. Eng
Fakultas Teknik Universitas Indonesia Departemen Teknik Kimia Program Studi Teknologi Bioproses Depok 2016 1
KATA PENGANTAR
Pertama-tama penulis mengucapkan puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas kuasa-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik dan tepat pada waktunya. Makalah ini dibuat atas dasar pengerjaan soal-soal untuk mata kuliah komputasi numerik sebagai tugas akhir pengganti UAS (UjianAkhir Semester) mengenai diferensiasi numerik. Dalam penulisan makalah ilmiah ini, banyak hambatan yang terjadi. Namun, hal tersebut tidak menghambat kami untuk terus tekun dalam menyelesaikan makalah ini. Pada kesempatan ini, kami juga berterima kasih kepada seluruh pihak yang terlibat baik secara langsung maupun tidak langsung dalam penyelesaian makalah ilmiah ini, yaitu : 1. Dosen mata kuliah komputasi numerik, Bapak Setiadi yang telah membimbing kami selama proses penulisan makalah ini. 2. Orang tua kami yang senantiasa memberikan dukungan selama proses pembuatan makalah ilmiah ini 3. Seluruh rekan Teknik Kimia dan Teknologi Bioproses UI, seluruh angkatan, serta segala pihak pihak yang telah membantu tim penulis Tim penulis menyadari banyaknya kekurangan yang terdapat dalam pengerjaan ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran, masukan, dan kritik yang bersifat membangun dari para pembaca untuk tulisan ini. Akhir kata, kami mengucapkan terima kasih atas bantuan dari berbagai pihak dan berharap semoga semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.
Depok, 5 Juni 2016
Penulis
2
KATA PENGANTAR
Pertama-tama penulis mengucapkan puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas kuasa-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik dan tepat pada waktunya. Makalah ini dibuat atas dasar pengerjaan soal-soal untuk mata kuliah komputasi numerik sebagai tugas akhir pengganti UAS (UjianAkhir Semester) mengenai diferensiasi numerik. Dalam penulisan makalah ilmiah ini, banyak hambatan yang terjadi. Namun, hal tersebut tidak menghambat kami untuk terus tekun dalam menyelesaikan makalah ini. Pada kesempatan ini, kami juga berterima kasih kepada seluruh pihak yang terlibat baik secara langsung maupun tidak langsung dalam penyelesaian makalah ilmiah ini, yaitu : 1. Dosen mata kuliah komputasi numerik, Bapak Setiadi yang telah membimbing kami selama proses penulisan makalah ini. 2. Orang tua kami yang senantiasa memberikan dukungan selama proses pembuatan makalah ilmiah ini 3. Seluruh rekan Teknik Kimia dan Teknologi Bioproses UI, seluruh angkatan, serta segala pihak pihak yang telah membantu tim penulis Tim penulis menyadari banyaknya kekurangan yang terdapat dalam pengerjaan ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran, masukan, dan kritik yang bersifat membangun dari para pembaca untuk tulisan ini. Akhir kata, kami mengucapkan terima kasih atas bantuan dari berbagai pihak dan berharap semoga semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.
Depok, 5 Juni 2016
Penulis
2
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL................................... JUDUL..................................................... ...................................... ...................................... .................................... ...................... ....1 1 KATA PENGANTAR............. PENGANTAR............................... ................................ ................................ ...................................... ...................................... ............................2 ..........2 DAFTAR DAFTAR ISI .................................. .................................................. ................................. ................................. ................................. ................................. .................... .... 3 BAB I:DIFERENSIAL NUMERIK....................................................................................... 4 BAB II:JAWABAN PERTANYAAN ................................................................................... 8 A. PAKET SOAL A – KUR – KURVA VA 9B ........................... ............................................ .................................. .................................. .................... ... 8 B. SOAL 17.6 17.6 ............................... ................................................ .................................. .................................. .................................. ............................. ............ 19 C. SOAL 3 ............................... ................................................ .................................. ................................. ................................. ................................. .................. .. 24 BAB III:PENUTUP III:PENUTUP ............................... ................................................ .................................. ................................. .................................. ........................... ......... 34 DAFTAR PUSTAKA................................ PUSTAKA.................................................. ...................................... ...................................... .................................... .......................35 .....35 LAMPIRAN............................... LAMPIRAN................................................ .............................. ................................. ...................................... ............................................36 ..........................36
3
BAB I TEORI DASAR METODE DIFERENSIAL NUMERIK Metode diferensiasi numerik adalah metode yang digunakan dengan penentuan nilai pendekatan atau hampiran untuk turunan suatu fungsi f.
Formula Diferensiasi dengan Akurasi Tinggi Rumusan untuk formula diferensiasi terbagi hingga dengan akurasi yang tinggi dapat diperoleh dengan menyertakan suku yang lebih banyak dan Deret Taylor. Sebagai contoh, ekspansi maju Deret Taylor dapat dituliskan:
f ( xi 1 ) f ( xi ) f ' ( xi ).h
f ' ' ( xi ) 2
h2
Yang dapat diselesaikan menjadi:
f ' ( xi )
f ( xi 1 ) f ( xi ) h
f " ( xi ) 2
.h 0(h 2 )
Persamaan Diferensial Biasa Penyelesaian persamaan differensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan differensial dan memenuhi kondisi awal yang diberikan pada persamaan tersebut. Suatu persamaan yang mengandung turunan fungsi terbagi atas: - Persamaan differensial biasa : Mengandung hanya 1 variabel bebas - Persamaan differensial parsial : Mengandung lebih dari satu variabel bebas Derajat (order) dari persamaan differensial ditentukan oleh derajat tertinggi dari turunannya. Contoh: x
dy dx
y
2
d y dx y t
2
3
3
dy dx
2y 0
(Persamaan differensial biasa order satu) (Persamaan differensial biasa order dua)
2
y
x
2
(Persamaan differensial parsial order dua)
Penyelesaian secara analitis: Dicari penyelesaian secara umum yang mengandung konstanta sembarang kemudian mengevaluasi konstanta tersebut sehingga hasilnya sesuai dengan kondisi awal. Penyelesaian secara numerik
Berupa tabel nilai-nilai numerik dari fungsi untuk berbagai variabel bebas.
Dilakukan pada titik-titik yang ditentukan secara berurutan.
4
Untuk mendapatkan hasil yang lebih teliti maka interval antara titik-titik yang berurutan tersebut dibuat semakin kecil.
Metode - Metode Penyelesaian 1. Metode Euler Metoda euler untuk turunan ke-2 dikerjakan dengan menggunakan hasil uraian ( +1 ) di sekitar x ke dalam deret Ta ylor:
y(xr+1) = y(xr ) + (xr+1 −xr ) y'(xr ) + (xr +1 −xr ) + y"(xr ) + ... dan digunakan hingga suku kedua y(xr+1)=y(xr )+hf(xr ,yr ) + h2f’(xr ,yr ) / 2
; r = 0,1,2,…,n
dengan nilai f(xr+1,yr+1) = f (xr ,yr ) + hf’(xr ,yr ) dan dapat dituliskan lebih singkat sebagai
ℎ ℎ ℎ +1
=
+1
+
=
2
+
+
′
′
2. Metode Heun Merupakan modifikasi dari metode Euler, dalam memperkirakan kemiringan. Memperkirakan dua turunan pada interval, yaitu pada ujung awal dan akhir, kemudian diratakan sehingga dapat perkiraan kemiringan yang lebih baik. Dari metode Euler, kemiringan pada ujung awal dari interval:
yi’ = f(xi,yi) digunakan untuk ekstrapolasi linier ke nilai yi+1: y0i+1 = yi + f(xi,yi).Δx
Predictor
Nilai yi+1 digunakan untuk memperkirakan kemiringan pada ujung akhir. y’i+1 = f(xi+1, y0i+1) Kedua kemiringan di atas digabung untuk memperoleh kemiringan rerata pada interval
5
y
'
yi
'
'
y i 1
f ( xi , yi ) f ( xi 1 , y 0i 1 )
2
2
Kemiringan rerata digunakan untuk ekstrapolasi linier dari yi ke yi+1
yi 1
yi
f ( xi , yi ) f ( xi 1, y 0i 1 ) 2
x
Corrector
3. Metode Midpoint Persamaan berikut dapat digunakan untuk mengimplementasikan Metode Midpoint
ℎ 1 + 2
=
+
,
2
4. Metode Runge-Kutta Bentuk umum metode Runge-Kutta
yi+1 = yi + Ф (xi, yi, Δx)Δx dengan Ф (xi, yi, Δx) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada interval dengan bentuk umum. Ф = a1k 1 + a2k 2 + …………. + ank n Dengan a = konstanta dan k adalah: k 1 = f (xi, yi) k 2 = f (xi + p1Δx, yi + g11k 1Δx) k 3 = f (xi + p2Δx, yi + g21k 1Δx + g22k 2Δx ……………. k n = f (xi + pn-1Δx, yi + gn-1,1k 1Δx + gn-1,2k 2Δx + ……+ gn-1,n-1k n-1Δx) a. Metode Runge Kutta Orde Dua (Ralston)
ℎ +1
Dimana :
=
+
1 3
1 +
2
2
3
ℎ ℎ 1
2
=
=
+
,
3 4
,
+
3 4
1
6
b. Metode Runge Kutta Orde 3 Metode Runge Kutta merupakan salah satu algoritma pemecahan diferensial dengan prinsip deret taylor. Runge Kutta orde 3 membutuhkan 1 nilai awal untuk memulainya (x0, y0) dan merupakan potongan dari tiga perhitungan deret taylor. 3 perhitungan tersebut antara lain:
ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ − =
1
2
=
3
=
,
1
+
,
2 + ,
+
1
2 1 +2
1
2
Dan hasilnya atau nilai diferensialnya adalah
+1
=
1
+
(
6
1
+4
2
+
3)
Perubahan pada kedua metode Runge – Kutta dilakukan pada perhitungan seluruh konstanta yang ada, konstanta perubahan dilakukan dengan memperhitungkan turunan pertama fungsi dan juga nilai turunan kedua fungsi, dilakukan juga metode Runge – Kutta terhadap turunan pertama dari fungsi. c. Metode Runge Kutta Orde 4 Metode Runge Kutta merupakan salah satu algoritma pemecahan diferensial dengan prinsip deret taylor. Runge Kutta orde 4 membutuhkan 1 nilai awal untuk memulainya (x0, y0) dan merupakan potongan dari empat perhitungan deret taylor. 4 perhitungan tersebut antara lain:
ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ 1
=
,
2
=
+
3
=
+
3
=
1
,
+
, 2 + ,
+
2 1
1 2 1
1
2
2
+
3
Dan hasilnya atau nilai diferensialnya adalah
+1
=
+
1 6
(
1
+2
2
+ 2
3
+
4)
Perubahan pada kedua metode Runge – Kutta dilakukan pada perhitungan seluruh konstanta yang ada, konstanta perubahan dilakukan dengan memperhitungkan turunan pertama fungsi dan juga nilai turunan kedua fungsi, dilakukan juga metode Runge – Kutta terhadap turunan pertama dari fungsi.
7
BAB II PENYELESAIAN MASALAH
Soal 1 | Studi Kasus Paket Soal A – Grafik 9(b)
Sumber Soal: Hasan Akhtar Zaidi and Kamal Kishore Pant, Combined experimental and kinetic modeling studies for the conversion of gasoline range hydrocarbons from methanol over modified HZSM-5 catalyst, Korean J. Chem. Eng ., 27(5), 1404-1411 (2010). 1. Kasus Model-I The unanimously accepted reaction path for the methanol conversion to hydrocarbons is
The basis for the model I was proposed for the disappearance of DME over ZSM-5 catalyst. The reaction model is represented as follows:
where A represents (Oxygenates (methanol+DME)), B (Olefins) and C (aromatics+paraffins) for methanol to hydrocarbon conversion reaction. This model takes into account the autocatalytic nature of the reactions and considers the reaction rate of disappearance of methanol and DME by reaction of oxygenates with olefins [24]. The kinetic equations for the above model have been formulated by considering the elementary steps for the mechanism and are given in Eqs. (6) and (7) in terms of mass fraction (Y) of species and space time (σ=W/F A0):
The above equations were solved simultaneously using a fourth order Runge-Kutta method as discussed before. The experimental data were fitted at all the temperatures. The final kinetic constants after best fitting are given in Eqs. (8), (9) and (10), respectively.
8
A comparison between experimental data of the weight fraction (water free basis) of oxygenates, light olefins and rest of the hydrocarbons and the values calculated from the model has been plotted at different contact time. As can be seen from Figs. 9(a) to (c), the model proposed by Eqs. (6) and (7) adequately fits the experimental data. The parity plot between experimental and calculated mass fractions at different contact times temperatures is also shown in Fig. 9(d). The weighted least square analysis method was used to calculate the difference between experimental and simulated values. The deviation between experimental and simulated values was 1.1%. This model is simple, establishes olefins as primary products, and proposes the reaction between oxygenates and the olefins as an autocatalytic step. Pertanyaan: a. Cara perhitungan harga slope =υ, k 1, k 2, k 3 dan k 4 pada titik awal dan satu titik atau dua titik setelahnya dengan metode Runge Kutta Orde Empat. Note: Kondisi Awal pada saat σ =0, Mass Fraction Y Ao = 1 dan YBo =0. A adalah komponen metanol dan DME, B adalah komponen Olefin
b. Menyelesaikan persamaan diferensial biasa pada persamaan 6, 7 dengan menggunakan
Runge kuta Orde Empat dengan membuat tabel dalam perhitungan excell slope =υ, k 1, k 2, k 3 dan k 4 , YA dan YB. c. Membuat rentang perhitungan space time dari τ=0 sampai dengan τ =0.2 dengan step size h yang sekecil mungkin. d. Membuat plot kurva hubungan antara σ dengan Mass Fraction Y A dan YB dalam x-y diagram.
9
Penyelesaian:
a. Data fakta Dari kasus diketahui grafik data sebagai berikut:
Dari grafik diatas diperoleh tabel data sebagai berikut Tabel Data Kasus pada Grafik 9 (b) Contact Time (σ) 0.020 0.048 0.058 0.074 0.092 0.130
YA Oxygenates 0.85 0.62 0.45 0.40 0.32 0.24
YB Liq. Hydrocarbons 0.15 0.30 0.45 0.54 0.60 0.68
YC Olefins 0.04 0.08 0.06 0.05 0.03 0.01
Kemudian data-data tersebut diinterpretasikan ke dalam bentuk grafik sebagai berikut
10
y = -0,127x + 1,062
Grafik Data Fakta YA (Oxygenates)
1,2 1
YB (Liq. Hydrocarbons)
1 0,85
0,8 Y
YC (Olefins)
y = 0,113x - 0,065 0,62
0,6
0,6
0,54 0,45
0,4
0,4
0
0,15 0,04
0 0
0,02
0,08
0,06
Linear (YA (Oxygenates))
0,32
0,3 0,2
0,68
0,05
0,24 0,01
0,03
0,048 0,058 0,074 0,092
0,13
Linear (YB (Liq. Hydrocarbons)) Linear (YC (Olefins)) y = -0,000x + 0,041
Contact Time
ya = -0.1271x + 1.0629 yb = 0.1136x - 0.0657 yc = -0.0007x + 0.0414 b. Data Perhitungan Persamaan yang digunakan dalam kasus ini yaitu:
− − =
=
1
+
+
1
2
2
3
1. Menurunkan persamaan Turunan persamaan 6:
− − − − =
=
=
-
ln
=
1
+
1
=
+
+
1
1
+
+
2
2
2
2
=
11
Turunan persamaan 7:
− − − − − − =
+
1
1
=
+
1
=
ln
=
=
2
3
2
3
+
2
+
2
1
1
=
2
3
1
= 8.314
2
3
1,
2,
= 8.45 × 109
dan
3 sebagai
berikut:
103697
80606
67989
= 3.967 × 106
dan = 635, maka : .
= 1.093 x 1013 exp
− − −
= 1.093 × 1013
3
+
2. Mencari harga k Kemudian pada soal diketahui persamaan untuk
dengan
3
− − −
= 8.45x 109exp
103697 RT 80606
= 3.967x 106 exp
RT 67989
= 8.45x 109exp
RT
− − −
= 1.093 x 1013 exp
= 3.967x 106 exp
103697
= 55387.5 8.314 653 80606 = 3011.65 8.314 (653) 67989 = 14.444 8.314 (653)
3. Mencari harga YA dan YB a. Runge Kutta Orde Dua Pada metode ini menggunakan h=0,01 dan σ=0 sampai dengan σ=0.2 . pada σ = 0, Y A0 = 1 dan Y B0 = 0. Metode Heun ini bagian dari metode Runge-Kutta dengan orde dua dan menggunakan persamaan sebagai berikut
ℎ +1
=
+
1 2
1
+
1 2
2
12
Dengan
ℎ ℎ =
1
2
=
,
+ ,
+
1
Pada soal ini memisalkan x = σ dan y = Y i (YA atau YB). Dalam menghitung Y A persamaan yang digunakan adalah
− − ℎ ℎ − − =
Step size 1
+
1
2
= 0,1 = 5.538 0, 0 = = (0, 0.944) =-5.231 2 = 0 + , 0 + 1 1 1 ( 5.538) + ( 5.231) 0.01 = 0.946 1 = 1+ 2 2 Langkah-langkah diatas dilakukan sampai x=0,02 dengan menggunakan program Microsoft excel. Dalam menghitung YB Persamaan yang digunakan adalah 1
− ℎ ℎ =
Step size 1
1
+
2
3
= 0,1 = 5.538 0, 0 = = (0, 0.0553) = 5.555 2 = 0 + , 0 + 1 1 1 (5.538) + (5.555) 0.01 = 0.0553 1 = 0+ 2 2 Langkah-langkah diatas dilakukan sampai x=0,02 dengan menggunakan program Microsoft excel. 1
13
Tabel Perhitungan YA dan YB Metode Runge Kutta Orde Dua stepsize ke 0
x
xi+h
yi+k 1h
k 1
k 2
Ya
Yb
xi+h
yi+hk 1
0
0.01
0.944613
-5.53875
-5.23197
1
0
0.01
0.055388
5.53875
5.555351
1
0.01
0.02
0.893584
-5.25627
-4.96426
0.946146
0.055471
0.02
0.108032
5.256194
5.271096
0.03
0.845178
-4.98656
-4.70875
0.895044
0.108107
0.03
0.157971
4.986408
4.999777
2
0.02
k 1
k 2
3
0.03
0.04
0.799275
-4.72922
-4.46503
0.846567
0.158038
0.04
0.205328
4.728988
4.740977
4
0.04
0.05
0.755758
-4.48382
-4.2327
0.800596
0.205388
0.05
0.250223
4.483525
4.494271
5
0.05
0.06
0.714514
-4.24997
-4.01137
0.757013
0.250277
0.06
0.292773
4.249605
4.259233
6
0.06
0.07
0.675434
-4.02724
-3.80063
0.715707
0.292821
0.07
0.333089
4.026813
4.035435
7
0.07
0.08
0.638415
-3.81522
-3.60007
0.676567
0.333132
0.08
0.371279
3.814734
3.822452
8
0.08
0.09
0.603356
-3.61349
-3.40931
0.639491
0.371318
0.09
0.407448
3.612957
3.619863
9
0.09
0.1
0.57016
-3.42166
-3.22794
0.604377
0.407482
0.1
0.441693
3.421072
3.42725
10
0.1
0.11
0.538736
-3.23932
-3.05559
0.571129
0.441724
0.11
0.474111
3.23868
3.244204
11
0.11
0.12
0.508994
-3.06607
-2.89187
0.539654
0.474138
0.12
0.504792
3.065385
3.070322
12
0.12
0.13
0.480849
-2.90153
-2.73641
0.509865
0.504817
0.13
0.533825
2.9008
2.905212
13
0.13
0.14
0.454222
-2.74532
-2.58885
0.481675
0.533847
0.14
0.561292
2.744547
2.748489
14
0.14
0.15
0.429033
-2.59707
-2.44884
0.4 55004
0.561312
0.15
0.587275
2.59626
2.59978
15
0.15
0.16
0.40521
-2.45643
-2.31603
0.429775
0.587292
0.16
0.611848
2.45558
2.458723
16
0.16
0.17
0.382682
-2.32304
-2.1901
0.405912
0.611864
0.17
0.635085
2.322161
2.324966
17
0.17
0.18
0.361381
-2.19658
-2.07072
0.383347
0.635099
0.18
0.657056
2.195666
2.198169
18
0.18
0.19
0.341243
-2.07672
-1.95759
0.36201
0.657068
0.19
0.677826
2.075771
2.078004
19
0.19
0.2
0.322207
-1.96314
-1.8504
0.341838
0.677837
0.2
0.697459
1.962162
1.964154
20
0.2
0.21
0.304215
-1.85555
-1.74887
0.322771
0.697469
0.21
0.716014
1.854538
1.856314 14
b. Runge-Kutta dengan orde 4 Metode Runge-Kutta keempat klasik memiliki persamaan
ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ +1
Dengan nilai k
=
+
1
1
6
1
+2
=
=
+
3
=
+
=
+2
3
+
4
,
2
4
2
1
,
+
, 2 + ,
+
2 1
+
1 2 1
1
2
2
3
Dalam menghitung Ya Persamaan yang digunakan adalah
− − − =
Step size pertama
1
=
1
0,
0
2
=
1 1 0 + (0.01),1 + ( 5.538)(0.01)
5.538
0.005,0.972
5.385
b. Runge-Kutta dengan orde 4 Metode Runge-Kutta keempat klasik memiliki persamaan
ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ +1
Dengan nilai k
=
1
+
1
6
1
+2
=
2
+
3
=
+
=
+
3
4
,
=
4
+2
2
1
,
+
, 2 + ,
+
2 1
1 2 1
1
2
2
+
3
Dalam menghitung Ya Persamaan yang digunakan adalah
− − − − − − ℎ ℎ ℎ ℎ − − − − − − =
1
2
Step size pertama
1
=
0,
0
=
5.538
1 1 0 + (0.01),1 + ( 5.538)(0.01) = 0.005,0.972 = 5.385 2 2 2 1 1 + , + = 0.005,0.973 = 5.389 3 = 2 2 2 + , + 3 = 5.240 4 = 1 = + 5.538 + 2 5.385 + 2 5.389 5.24 0.01 = 0.946 1 0 6 Dalam menghitung Yb Persamaan yang digunakan adalah =
=
Step size pertama 1 = 0,
1
+
2
3
ℎ ℎ ℎ ℎ
2
=
3
=
0
0+
1
= 5.538
(0.01) +
2 1 + , 2
+
1
(5.538)(0.01) = (0.005, 0.027) = 5.547
2
2
=
=
0.005, 0.0277 = 5.547
+ ,
+
3
= 5.553
5.538 + 2(5.547) + 2(5.547) + 5.553 0.01 = 0.055 6 Langkah-langkah diatas dilakukan sampai x=0,02 dengan menggunakan program Microsoft excel. 1
0
+
2
1 4
=
1
15
Tabel Perhitungan YA dan YB Metode Runge Kutta Orde Empat Stepsize ke 0
x
xi+1/2h
yi+1/2 k 1h
yi+1/2 k 2h
xi+h
yi+k 3 h
k 1
k 2
k 3
0
0.005
0.972306
0.973073
0.01
0.946104
-5.53875
-5.38536
-5.38961
1
0.01
0.015
0.919838
0.920568
0.02
0.894977
-5.25612
-5.11012
2
0.02
0.025
0.870059
0.870754
0.03
0.846478
-4.98627
-4.84737
3
0.03
0.035
0.822848
0.823508
0.04
0.800487
-4.7288
4
0.04
0.045
0.778084
0.778711
0.05
0.756888
5
0.05
0.055
0.735653
0.736249
0.06
6
0.06
0.065
0.695444
0.696011
7
0.07
0.075
0.657351
0.657889
8
0.08
0.085
0.621271
9
0.09
0.095
10
0.1
11
0.11
12
k 4
YA
YB
-5.24023
1
0
-5.11417
-4.972
0.946118
0.055471
-4.85124
-4.71599
0.894991
0.108106
-4.59671
-4.6004
-4.4718
0.846491
0.158042
-4.48329
-4.35775
-4.36126
-4.23903
0.8005
0.205411
0.715565
-4.24934
-4.13006
-4.13341
-4.01729
0.7569
0.250338
0.07
0.676413
-4.02653
-3.91325
-3.91643
-3.80616
0.715577
0.292944
0.08
0.639324
-3.81445
-3.7069
-3.70993
-3.60524
0.676424
0.333343
0.621782
0.09
0.6042
-3.61267
-3.5106
-3.51349
-3.41414
0.639335
0.371644
0.587106
0.58759
0.1
0.570943
-3.4208
-3.32396
-3.32671
-3.23246
0.60421
0.407954
0.105
0.55476
0.555219
0.11
0.53946
-3.23843
-3.14659
-3.14919
-3.05981
0.570952
0.44237
0.115
0.524143
0.524579
0.12
0.509664
-3.06516
-2.97808
-2.98055
-2.89581
0.539469
0.47499
0.12
0.125
0.495169
0.495582
0.13
0.481468
-2.9006
-2.81806
-2.82041
-2.74009
0.509672
0.505903
13
0.13
0.135
0.467754
0.468145
0.14
0.454792
-2.74438
-2.66617
-2.6684
-2.59228
0.481476
0.535196
14
0.14
0.145
0.441819
0.442189
0.15
0.429558
-2.59613
-2.52203
-2.52415
-2.45204
0.4548
0.562952
15
0.15
0.155
0.417288
0.417639
0.16
0.405692
-2.45549
-2.38531
-2.38731
-2.31902
0.429565
0.589249
16
0.16
0.165
0.394089
0.394421
0.17
0.383124
-2.32211
-2.25565
-2.25755
-2.19289
0.405699
0.614162
17
0.17
0.175
0.372152
0.372466
0.18
0.361785
-2.19565
-2.13274
-2.13454
-2.07332
0.38313
0.637762
18
0.18
0.185
0.351412
0.35171
0.19
0.341611
-2.0758
-2.01625
-2.01795
-1.96001
0.361791
0.660116
19
0.19
0.195
0.331806
0.332088
0.2
0.322542
-1.96223
-1.90587
-1.90749
-1.85266
0.341617
0.68129
20
0.2
0.205
0.313275
0.313541
0.21
0.304519
-1.85464
-1.80132
-1.80285
-1.75098
0.322548
0.701343
16
Dengan diperolehnya data Ya dan Yb dengan metode yang diatas, maka nilai Y tersebut dapat dilakukan perbandingan dengan nilai Y sebenarnya. Berikut merupakan table data yang dilakukan perhitungan Tabel Data Perhitungan Contact time (σ)
YA orde dua
YA orde empat
YB orde dua
YB orde empat
0.00
1.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.01
0.946146
0.946118
0.055471
0.055471
0.02
0.895044
0.895140
0.108107
0.108106
0.03
0.846567
0.846909
0.158038
0.158042
0.04
0.800596
0.801276
0.205388
0.205411
0.05
0.757013
0.758102
0.250277
0.250338
0.06
0.715707
0.717254
0.292821
0.292944
0.07
0.676567
0.678607
0.333132
0.333343
0.08
0.639491
0.642043
0.371318
0.371644
0.09
0.604377
0.607449
0.407482
0.407954
0.10
0.571129
0.574718
0.441724
0.442370
0.11
0.539654
0.543752
0.474138
0.474990
0.12
0.509865
0.514454
0.504817
0.505903
0.13
0.481675
0.486734
0.533847
0.535196
Dengan diperolehnya data Ya dan Yb dengan metode yang diatas, maka nilai Y tersebut dapat dilakukan perbandingan dengan nilai Y sebenarnya. Berikut merupakan table data yang dilakukan perhitungan Tabel Data Perhitungan Contact time (σ)
YA orde dua
YA orde empat
YB orde dua
YB orde empat
0.00
1.000000
1.000000
0.000000
0.000000
0.01
0.946146
0.946118
0.055471
0.055471
0.02
0.895044
0.895140
0.108107
0.108106
0.03
0.846567
0.846909
0.158038
0.158042
0.04
0.800596
0.801276
0.205388
0.205411
0.05
0.757013
0.758102
0.250277
0.250338
0.06
0.715707
0.717254
0.292821
0.292944
0.07
0.676567
0.678607
0.333132
0.333343
0.08
0.639491
0.642043
0.371318
0.371644
0.09
0.604377
0.607449
0.407482
0.407954
0.10
0.571129
0.574718
0.441724
0.442370
0.11
0.539654
0.543752
0.474138
0.474990
0.12
0.509865
0.514454
0.504817
0.505903
0.13
0.481675
0.486734
0.533847
0.535196
0.14
0.455004
0.460508
0.561312
0.562952
0.15
0.429775
0.435695
0.587292
0.589249
0.16
0.405912
0.412219
0.611864
0.614162
0.17
0.383347
0.390008
0.635099
0.637762
0.18
0.362010
0.368994
0.657068
0.660116
0.19
0.341838
0.349112
0.677837
0.681290
0.20
0.322771
0.330301
0.697469
0.701343
Kemudian data-data tersebut kita sajikan dengan bentuk grafik sebagai berikut
17
Grafik Data Perhitungan 1,2 1
1
0,8 i Y
0,6 0,4 0,2 0
0
0,946118 0,89514 0,846909 0,801276 0,758102 0,717254 0,701343 0,68129 0,678607 0,660116 0,642043 0,637762 YA orde dua 0,614162 0,607449 0,589249 0,574718 0,562952 0,543752 0,535196 0,514454 0,505903 YA orde empat 0,486734 0,47499 0,460508 0,44237 0,435695 0,412219 0,407954 0,390008 YB orde dua 0,371644 0,368994 0,349112 0,333343 0,330301 0,292944 YB orde empat 0,250338 0,205411 0,158042 0,108106 0,055471
3 4 5 6 7 8 9 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 , 1 1 2 , 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 1 , , , , , , 0 , , , 0 , , , , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Contact Time
Membandingkan antara data perhitungan dengan data fakta
Grafik Perbandingan Data Perhitungan dengan Data Fakta 1
1 0,85
0,9 0,8
0,68 0,62
0,7
0,45
0,6 i Y
0,6
0,5
0,3
0,54
YA orde dua
0,4
YA orde empat YB orde dua
0,32 0,24
0,4 0,3
YB orde empat
0,15
Log. (YA orde dua) Log. (YA orde empat)
0
Log. Y Fakta
0,2
Log. (YB orde empat) Log. (YB orde empat)
0,1 0 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 , 1 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 1 , , , , 0 , , , , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 6 1 1 , , 0 0
7 8 1 1 , , 0 0
9 2 1 , , 0 0
Contact Time
18
Dari grafik kita ketahui bahwanilai Yi dari perhitungan secara numerik memiliki nilai yang tidak terlalu berbeda dengan Yi sebenarnya. Hal ini menunjukkan bahwa metode Runge-Kutta orde dua dan empat menghasilkan solusi yang baik dalam kasus ini.
Soal 2 | Soal No. 17.6 Pertanyaan:
Selesaikan persoalan harga awal yang berikut dari x = 1,5 hingga x = 2,5 :
= −
1+ Gunakan metode Adams orde keempat. Lakukan suatu ukuran langsung sebesar 0,5 dan metode RK orde keempat untuk memprediksikan harga mulai dari y(0) = 2. Penyelesaian : 1. Metode Runge Kutta Orde Lebih Tinggi (Runge Kutta Orde 4)
Metode Runge Kutta adalah orde keempat. Metode tersebut menggunakan rumus yaitu :
ℎ +1
=
+
1 6
1
+2
2
+2
3
+
4
Dimana :
ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ = −
1
= ( ,
)
2
= (
+
3
= (
+
4
= (
+ ,
1 2 1 2
,
+
,
+
+
1 2
1
)
2
)
1 2
3
)
1+
Batas x diambil dari nilai x=0 sampai x=4 dengan rentang 0,5 . Kondisi awal pada x=0 yaitu y=2.
− − 1
=
( 2)
1+ 0
=
2 19
− − − − − − ℎ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
2
=
3
=
4
=
( 2)
1 + 0,25 ( 2)
1 + 0,25 ( 2)
1,
1
0,5 = 1 + ,
=
6
1,6
=
1,6
=
1 + 0,5
Kemudian di subtitusi
=
2,
3,
+1
=
1
2
=
3
=
4
=
+
1 6
1
+2
1,6 + 2
metode Runge Kutta Orde 4 :
2
1,6
+2
3
+
4
1,33 0,5
,
( 2)
1,
( 2)
1 + 0,75 ( 2)
1 + 0,75 ( 2)
1+ 1 1 6
2,
=
1 + 0,5
1 =1+ =
4 kedalam
[ 2+2
Kemudian berikut adalah nilai
=
1,33
3,
1,33
=
1,14
=
1,14
=
4 dengan kondisi awal x=0,5
1
[ 1,33 + 2
1,14 + 2
1,14
1 0,5
,
1,
Kemudian berikut adalah nilai
1
=
2
=
3
=
4
=
( 2)
1+ 1
=
( 2)
1 + 1,25 ( 2)
1 + 1,25 ( 2)
1 + 1,5
2,
3,
4
dengan kondisi awal x=1
1
=
0,88
=
0,88
=
0,8
20
− − − − − − − − − − − − − − − − − 1
1,5 = 1 + ,
=
6
[ 1+2
1
2
=
3
=
4
=
0,88
0,8 0,5
,
1,
Kemudian berikut adalah nilai
=
0,88 + 2
( 2)
1 + 1,5 ( 2)
1 + 1,75 ( 2)
1 + 1,75 ( 2)
1+ 2
2 =1+ =
1 6
=
2,
3,
dengan kondisi awal x=1,5
0,8
=
0,7272
=
0,7272
=
4
0,667
[ 0,8+2
0,7272 + 2
0,7272 + 0,667 0,5
,
Kemudian untuk mendapatkan nilai y orde keempat harus dilakukan penyelesaian sampai rentang mencapai 4. Berikut kesimpulan yang diambil dengan menggunakan perhitungan Ms. Excel . Tabel . Perhitungan RK orde 4
0,5
8,5
4,21875
4,21875
1,25
3,21875
1
1,25
-0,59375
-0,59375
-1,5
3,00000
1,5
-1,5
-1,65625
-1,65625
-1,25
2,21875
2
-1,25
-0,46875
-0,46875
0,5
2,00000
2,5
0,5
1,46875
1,46875
2,25
2,71875
3
2,25
2,65625
2,65625
2,5
4,00000
3,5
2,5
1,59375
1,59375
-0,25
4,71875
4
-0,25
-3,21875
-3,21875
-7,5
3,00000
x 0
2,00000
21
Hubungan Y RK 4 dengan Nilai X 5 y = 0,183x + 1,886 R² = 0,301
4 4 e d r O K R Y
3 2
y = 0,472x - 0,8 R² = 0,991
1 0 -1
0
2
4
6
8
10
12
Nilai X
2. Metode Adams Orde Keempat
Tinjau PDB orde satu
sampai
+1
′
=
,
. Intergrasikan kedua ruas persamaan dari
+1
− − ,
=
+1
+1
=
+1 di
′
=
=
Nyatakan
+1
+1
ruas kiri persamaan dan suku lainnya di ruas kanan :
+1
+1
=
+
, ( )
Persamaan predictor-corrector metode Adam-Bashford-Moulton adalah :
∶ ℎ − − − − − ∶ ∗ ℎ − − − ∗− ℎ ∶ −∗ ≈ ℎ − +1
=
+1
+
=
24
+
9
3
2
24
+ 37 5
2
1
59
+ 19
1
+ 55
+9
1
galat perlangkah metode Adam-Bashford-Moulton adalah dalam orde
=
251
+1
+1
720
5
5
,
3
<
(
5
<
), yaitu: +1
22
∶ − ≈ − ℎ − ℎ =
19
+1
+1
720
5
5
,
3
<
<
+1
dan galat longgokannya adalah dalam orde ( 4 ) . Oleh karena itu, metode AdamBashford-Moulton di atas dinamakan juga metode Adam-Bashford-Moulton orde-4. Persoalan PDB diatas diselesaikan dengan menggunakan program Fortran, Pascal ataupun VBA. Program yang digunakan dalam tugas ini adalah Fortran.
23
Hasil output dari program ini adalah sebagai berikut :
Soal Nomor 3
Ulangi penyelesaian persamaan ODE (Ordinary Diffrential Equation) :
− − ’
=
=
2
3
+ 12
2
20 + 8,5
dengan menggunakan metode Euler, Heun, Midpoint, Runge Kuta order dua (Ralston), serta order Runge Kuta lebih tinggi (3 atau 4). Tunjukkan langkah-langkah perhitungan dengan menampilkan tabel excell secara detail. Dan plot dalam diagram x-y.
Soal ini bersifat
mengulang yg pernah dibahas di perkuliahan. Penyelesaian :
3. Metode Euler
− − − − =
− − =
Dengan kondisi
=
2
3
’
+ 12
2
20 + 8,5
= 0,5 4 + 4 3 10 2 + 8,5 + = 0 dan = 1, maka nilai = 1 =
0,5
4
+4
3
10
2
+ 8,5 + 1
Perhitungan dilakukan menggunakan metode Euler dengan persamaan
ℎ ℎ +1
dari
= 0 sampai
= 4 dengan
=
+
,
= 0,5.
24
0,5
− − − − − − 0,5 = 0 + 0; 1 0,5 0,5 = 1 + 2 0 3 + 12 0 2 20 0 + 8,5 0,5 (0,5) = 5,25
1
1 =
1 = 5,25 +
0,5 +
2 0,5
3
0,5; 5,25 0,5
+ 12 0,5
2
20 0,5 + 8,5 0,5
(1) = 5,875
1,5
1,5 =
1,5 = 5,875 +
1 +
1; 5,875 0,5
2 1 3 + 12 1 2 (1,5) = 5,125
20 1 + 8,5 0,5
Perhitungan y pada nilai x berikutnya dilakukan dengan tahap yang sama, sehingga dihasilkan perhitungan dalam tabel berikut: Tabel . Perhitungan Metode Euler
x
Y
f(x,y) = + + , = + , + , 1 8.5 0 5.25 1.25 0.5 5.875 -1.5 1 5.125 -1.25 1.5 4.5 0.5 2 4.75 2.25 2.5 5.875 2.5 3 7.125 -0.25 3.5 7 -7.5 4 Hasil perhitungan di atas jika dipresentasikan dalam grafik adalah sebagai berikut:
− −
25
Grafik . Perbandingan Nilai Y Analitik dan Y Euler
4. Metode Heun
− − − − =
=
=
=
Dengan kondisi
= 0 dan
3
2
0,5
4
+4
’
2
+ 12
3
2
10
= 1, maka nilai
0,5
4
+4
3
+ 8,5 +
=1
− − =
20 + 8,5
10
2
+ 8,5 + 1
Perhitungan dilakukan menggunakan metode Heun
ℎ ℎ ℎ +1
=
+
1
2
Dari
persamaan
tersebut
= (
dapat
1 2
1
=
+
1 2
2
,
+ ,
dihitung
+
1
dengan Ms.
Excel
dan
hasilnya
dipresentasikan dalam tabel berikut (h = 0.5): 26
Tabel . Perhitungan Metode Heun
x(
+
)
1
1
0,5
8,5
1,25
0,5
3,21875
5,5625
1
1,25
-1,5
1
3
5,8125
1,5
-1,5
-1,25
1,5
2,21875
4,75
2
-1,25
0,5
2
2
4,25
2,5
0,5
2,25
2,5
2,71875
5,0625
3
2,25
2,5
3
4
6,8125
3,5
2,5
-0,25
3,5
4,71875
8
4
-0,25
-7,5
4
3
6
4,5
-7,5
-20,75
0
Hasil perhitungan di atas jika dipresentasikan dalam grafik adalah sebagai berikut:
Grafik 6. Perbandingan nilai y analitis dengan y heun 9 8 7 6 y
5 4 3 2
y analitis y Heun
1 0 0
1
2
3
4
5
x
5. Metode Midpoint
− − − − =
=
=
=
Dengan kondisi
= 0 dan
0,5
2
4
3
+4
’
+ 12 3
= 1, maka nilai
2
10
20 + 8,5
2
+ 8,5 +
=1
27
− − =
4
0,5
+4
3
10
2
+ 8,5 + 1
Perhitungan dilakukan menggunakan metode Midpoint dengan persamaan:
ℎ ℎ +
+ /
=
=
+
Dari persamaan di atas maka nilai x, y,
+
,
+1/2 ,
+1/2 ,
2
+1/2
dan
+1 dapat
dihitung dengan Ms.
Excel dan hasilnya dipresentasikan dalam tabel berikut (h = 0.5) : Tabel . Perhitungan Metode Midpoint
i
0
1
+ /
1
+ /
0.25
+ /
2.560547
+
3.125
3.140625
0.5 3.21875 0.75 3.279297 3.65625 3.765625 2 1 3 1.25 2.591797 3.625 6.078125 3 1.5 2.21875 1.75 1.998047 5.28125 12.70313 4 2 2 2.25 2.248047 10.125 25.51563 5 2.5 2.71875 2.75 3.341797 18.90625 45.64063 6 3 4 3.25 4.529297 31.625 73.45313 7 3.5 4.71875 3.75 4.310547 47.53125 108.5781 8 4 3 4.25 0.435547 65.125 149.8906 9 Hasil perhitungan di atas jika dipresentasikan dalam grafik adalah sebagai berikut: Grafik .
Y
70 60 50 40 30 20 10 0
+ /
=
+
,
Series1 Series2 Analitis
Slope f(x i+1/2 ,y i+1/2 )
0
1
2
3
4
5
Midpoint
X
28
Grafik .
=
+
+
,
+ /
+ /
70 60 50 40
Analitis
Y
30
Series1
Slope f(x i+1/2 ,y i+1/2 )
20
Series2
10
Midpoint
0 0
1
2
3
4
5
X
6. Metode Runge Kutta Orde 2 (Raltson)
− − − − =
− − =
=
Dengan kondisi
= 0 dan
=
=
3
2
0,5
4
+4
’
3
4
+4
3
20 + 8,5
2
10
= 1, maka nilai 0,5
2
+ 12
+ 8,5 +
=1 2
10
+ 8,5 + 1
Perhitungan dilakukan menggunakan metode order 2- Raltson dengan persamaan:
ℎ ℎ ℎ +1
=
+
1
2
Dari
persamaan
tersebut
= (
dapat
1
1 +
3
=
+
2
2
3
,
3 4
,
dihitung
+
3 4
1
dengan Ms.
Excel
dan
hasilnya
dipresentasikan dalam tabel berikut (h = 0.5) :
29
Tabel . Perhitungan Metode Raltson
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
(
1 3,21875 3 2,21875 2 2,71875 4 4,71875 3
, ) 1 4,69401 4,726563 3,722656 3,307292 4,105469 5,742188 6,842448 5,03125
( ) 0,375 0,875 1,375 1,875 2,375 2,875 3,375 3,875 4,375
8,5 1,25 -1,5 -1,25 0,5 2,25 2,5 -0,25 -7,5
2,582031 -1,15234 -1,51172 0,003906 1,894531 2,660156 0,800781 -5,18359 -16,793
Grafik. Perbandingan Analisis dengan f(xi,yi) RK 2-Raltson
Grafik 9. Perbandingan Analisis dengan f(xi,yi) RK 2-Raltson
) x ( f
8 7 6 5 4 3 2 1 0
analisis f(xi,yi) 0
1
2
3
4
5
x
7. Metode Runge Kutta Orde Lebih Tinggi (Runge Kutta Orde 4)
Metode Runge Kutta adalah orde keempat. Metode tersebut menggunakan rumus yaitu :
ℎ +1
=
+
1 6
1
+2
2
+2
3
+
4
Dimana :
ℎ ℎ 1
= ( ,
2
= (
)
+
1 2
,
+
1 2
1
)
30
ℎ ℎ ℎ ℎ 1
3
= (
+
4
= (
+ ,
,
2
1
+
2
2
+
)
)
3
− − − − 2
3
2
+ 12
20 + 8,5
=
4
0,5
+4
3
10
2
+ 8,5 + 1
Batas x diambil dari nilai x=0 sampai x=4 dengan rentang 0,5 . Kondisi awal pada x=0 yaitu y=1.
− − − − ℎ − − − − − − − − − − −
1
=
2
=
3
=
4
=
− − − −
2(0)3 + 12(0)2
2(0,25)3 + 12(0,25)2
20 0,25 + 8,5 = 4,21875
2(0,25)3 + 12(0,25)2
20 0,25 + 8,5 = 4,21875
2(0,5)3 + 12(0,5)2 1,
Kemudian di subtitusi
0,5 = 1 + ,
1 6
2,
3,
+1
=
20 0,5 + 8,5 = 1,25
4 kedalam
+
1 6
1
+2
metode Runge Kutta orde 4 :
2
+2
3
+
4
[8,5 + 2 4,21875 + 2 4,21875 + 1,25 0,5
= ,
Kemudian berikut adalah nilai
20 0 + 8,5 = 8,5
1
=
2
=
3
=
4
=
1,
2,
3,
2(0,5)3 + 12(0,5)2
4 dengan kondisi awal x=0,5 20 0,5 + 8,5 = 1,25
2(0,75)3 + 12(0,75)2
20 0,75 + 8,5 =
0,59375
2(0,75)3 + 12(0,75)2
20 0,75 + 8,5 =
0,59375
2(1)3 + 12(1)2
20 1 + 8,5 =
1,5
− − − − − − − − − − − − − − − 1 =1+
1 6
[1,25 + 2
0,59375 + 2
0,59375
1,5 0,5
= ,
Kemudian berikut adalah nilai
1,
2,
3,
4
dengan kondisi awal x=1
1
=
2(1)3 + 12(1)2
2
=
2(1,25)3 + 12(1,25)2
20 1,25 + 8,5 =
1,65625
3
=
2(1,25)3 + 12(1,25)2
20 1,25 + 8,5 =
1,65625
4
=
20 1 + 8,5 =
2(1,5)3 + 12(1,5)2
1,5
20 1,5 + 8,5 =
1,25 31
− − − − − − − − − − − − − − − − − − 1,5 = 1 + ,
1 6
[ 1,5 + 2
1,65625
1,25 0,5
= ,
Kemudian berikut adalah nilai
1,65625 + 2
1,
2,
3,
4
dengan kondisi awal x=1,5
1
=
2(1,5)3 + 12(1,5)2
2
=
2(1,75)3 + 12(1,75)2
20 1,75 + 8,5 =
0,46875
3
=
2(1,75)3 + 12(1,75)2
20 1,75 + 8,5 =
0,46875
4
=
2(2)3 + 12(2)2
2 =1+
1 6
[ 1,25 + 2
20 1,5 + 8,5 =
1,25
20 2 + 8,5 = 0,5
0,46875 + 2
0,46875 + 0,5 0,5
= ,
Kemudian untuk mendapatkan nilai y orde keempat harus dilakukan penyelesaian sampai rentang mencapai 4. Berikut kesimpulan yang diambil dengan menggunakan perhitungan Ms. Excel . Tabel . Perhitungan RK orde 4
0,5
8,5
4,21875
4,21875
1,25
3,21875
1
1,25
-0,59375
-0,59375
-1,5
3,00000
1,5
-1,5
-1,65625
-1,65625
-1,25
2,21875
2
-1,25
-0,46875
-0,46875
0,5
2,00000
2,5
0,5
1,46875
1,46875
2,25
2,71875
3
2,25
2,65625
2,65625
2,5
4,00000
3,5
2,5
1,59375
1,59375
-0,25
4,71875
4
-0,25
-3,21875
-3,21875
-7,5
3,00000
x
1,00000
0
32
Hubungan Y RK 4 dengan Nilai X 5 y = 0,183x + 1,886 R² = 0,301
4 4 e d r O K R Y
3 2
y = 0,472x - 0,8 R² = 0,991
1 0 -1
0
2
4
6
8
10
12
Nilai X
33
BAB III PENUTUP
A. KESIMPULAN
Kesimpulan yang dapat diambil dari tugas Diferensiasi Numerik ini antara lain: 1) Diferensiasi Numerik membuat penghitungan data-data yang berupa persamaan diferensial menjadi lebih mudah dianalisis dan dievaluasi. 2) Persamaan Diferensial terdiri dari Persamaan Diferensial dengan Akurasi Tinggi dan Persamaan Diferensial Biasa. 3) Persamaan diferensial dapat diselesaikan dengan penyelesaian secara analitis dan penyelesaian secara numerik. 4) Penyelesaian persamaan diferensial secara numerik memiliki beberapa metode, yaitu Metode Euler, Metode Heun, Metode Midpoint, dan Metode Runge-Kutta. 5) Metode Runge-Kutta adalah salah satu metode yang cukup populer karena sangat akurat. Metode Runge-Kutta memiliki beberapa orde (Umumnya Orde II hingga IV). 6) Paket Soal A Kurva 9(b) dapat diselesaikan dengan Metode Runge-Kutta Orde IV sesuai grafik yang terbentuk. 7) Paket Soal 17.6 dapat diselesaikan dengan 2 metode yang diminta yaitu metode Runge kutta orde keempat dan metode Adams orde keempat. 8) Paket Soal 3.1 dapat diselesaikan dengan beberbagai metode diferensial numerik yang ada.
34
DAFTAR PUSTAKA
Chapra, S.C.,dan Canale, R.P.1998. Numerical Methods for E ngineers. McGraw-Hill. Munir, Rinaldi. 2008. Metode Numerik Revisi kedua. Bandung: Informatika Bandung. Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan Matlab. Yogyakata: Penerbit Andy Yogyakarta. Setiawan, Agus .2006. Pengantar Metode Numerik, Yogyakarta: Penerbit Andy Yogyakarta.
35
LAMPIRAN EXCEL Per hi tun gan Nomer 1 Soal 9(b)
