3736_Diktat Algoritma dan Komputasi Numerik Matlab 2019.pdf

MODUL PRAKTIKUM ALGORITMA DAN KOMPUTASI NUMERIK

LABORATORIUM KOMPUTASI PROGRAM STUDI FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PADJADJARAN 2019

KATA PENGANTAR Diktat ini disusun untuk pedoman dalam melaksanakan praktikum Algoritma dan Komputasi Numerik di Program Studi Fisika FMIPA Universitas Padjadjaran, khususnya untuk mahasiswa Fisika semester empat. Diktat ini terdiri dari duabelas modul yang terdiri dari 3 modul pengenalan matlab dan 8 modul metoda numerik, ditambah dengan satu modul untuk proyek mandiri dimana proyek tersebut merupakan penerapan pe nerapan dari seluruh metode yang telah dipelajari. Diharapkan dengan adanya diktat ini mahasiswa dapat mempelajari metode numerik dengan baik. Kami menyadari bahwa diktat ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan diktat ini menjadi lebih baik. Semoga diktat inidapat bermanfaat untuk perkembangan ilmu komputasi di Program Studi Fisika.

Jatinangor, Februari 2019

Dr. Sahrul Hidayat

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ..........................................................................................................................

2

DAFTAR ISI ........................................................................................................................................

1

Modul 1. ...............................................................................................................................................

4

1.1.

Tujuan ..................................................................................................................................

4

1.2.

Percobaan ............................................................................................................................

4

1.3.

Tugas Pendahuluan ........................................................................................................... 10

1.4.

Tugas Akhir .......................................................................................................................

10

Modul – 2. 2. ..........................................................................................................................................

11

2.1.

Tujuan ................................................................................................................................ 11

2.2.

Percobaan ..........................................................................................................................

2.3.


2.4.

Tugas Akhir .......................................................................................................................

13

Modul – 3 3 ...........................................................................................................................................

15

11

3.1.

Tujuan ................................................................................................................................ 15

3.2.

Percobaan ..........................................................................................................................

3.3.


3.4.

Tugas Akhir .......................................................................................................................

18

Modul – 4 4 ...........................................................................................................................................

20

15

4.1.

Tujuan ................................................................................................................................ 20

4.2.

Teori ...................................................................................................................................

20

4.2.1.

Metode Tertutup .......................................................................................................

20

4.2.2.

Metode Terbuka ........................................................................................................

21

4.3.

Percobaan ..........................................................................................................................

22

4.4.


4.5.

Tugas Akhir .......................................................................................................................

23

Modul – 5 5 ...........................................................................................................................................

24

5.1.

Tujuan ................................................................................................................................ 24

5.2.

Teori ...................................................................................................................................

24

5.2.1.

Metode Pangkat (Power Method) ............................................................................

5.2.2.

Metode Pangkat Inversi (Invers Power Method) ............................ ........................ 26

5.2.3.

Spektral Radius .........................................................................................................

Diktat Praktikum Algoritma dan Komputasi Numerik N umerik – LABKOM LABKOM 2019

24

26

1

5.3.

Percobaan ..........................................................................................................................

5.4.


5.5.

Tugas Akhir .......................................................................................................................

27

Modul – 6 6 ...........................................................................................................................................

28

26

6.1.

Tujuan ................................................................................................................................ 28

6.2.

Teori ...................................................................................................................................

28

6.2.1.

Metode Iterasi Jacobi ................................................................................................ 29

6.2.2.

Metode Iterasi Gauss-Seidel ..................................................................................... 29

6.2.3.

Successive Over Relaxation (SOR) ...........................................................................

30

6.3.

Percobaan ..........................................................................................................................

30

6.4.


6.5.

Tugas Akhir .......................................................................................................................

31

Modul – 7 7 ...........................................................................................................................................

32

7.1.

Tujuan ................................................................................................................................ 32

7.2.

Teori ...................................................................................................................................

32

7.2.1.

Interpolasi Polinomial dan Polinomial Taylor ........................................................ 33

7.2.2.

Interpolasi Lagrange ................................................................................................. 33

7.3.

Percobaan ..........................................................................................................................

7.4.


7.5.

Tugas Akhir .......................................................................................................................

34

Modul – 8 8 ...........................................................................................................................................

35

34

8.1.

Tujuan ................................................................................................................................ 35

8.2.

Teori ...................................................................................................................................

35

8.3.

Percobaan ..........................................................................................................................

36

8.4.


8.5.

Tugas Akhir .......................................................................................................................

37

Modul – 9 9 ...........................................................................................................................................

38

9.1.

Tujuan ................................................................................................................................ 38

9.2.

Teori ...................................................................................................................................

38

9.2.1.

Metode Trapesium ....................................................................................................

38

9.2.2.

Metode Simpson ........................................................................................................

38

9.3.

Percobaan ..........................................................................................................................

39

9.4.


9.5.

Tugas Akhir .......................................................................................................................

Diktat Praktikum Algoritma dan Komputasi Numerik N umerik – LABKOM LABKOM 2019

39

2

Modul – 10 .........................................................................................................................................

41

10.1.

Tujuan ............................................................................................................................

41

10.2.

Teori ...............................................................................................................................

41

10.3.

Percobaan ......................................................................................................................

42

10.4.

Tugas Pendahuluan ....................................................................................................... 42

10.5.

Tugas Akhir ...................................................................................................................

42

Modul – 11 .........................................................................................................................................

43

11.1.

Tujuan ............................................................................................................................

43

11.2.

Teori ...............................................................................................................................

43

11.2.1.

Metode Forward Euler .............................................................................................

43

11.2.2.

Metode Runge-Kutta Orde Empat ...........................................................................

44

11.3.

Percobaan ......................................................................................................................

44

11.4.

Tugas Pendahuluan ....................................................................................................... 45

11.5.

Tugas Akhir ...................................................................................................................

45

Modul – 12 .........................................................................................................................................

46

12.1.

Tujuan ............................................................................................................................

46

12.2.

Percobaan ......................................................................................................................

46

Daftar Pustaka ..................................................................................................................................... 47

Diktat Praktikum Algoritma dan Komputasi Numerik – LABKOM 2019

3

Modul 1 Pengenalan Matlab 1.1. Tujuan

Dalam modul ini mahasiswa diharapkan mengetahui dan memahami konsep-konsep dasar pemrograman dengan matlab yang diindikasikan dengan kemampuan membuat program sederhana, mampu menggunakan statement input dan output , serta mampu membuat visualisasi grafik dan animasi sederhana. 1.2. Percobaan a. Pengenalan windows matlab

Ketika memulai menjalankan MATLAB, window utama akan terlihat seperti gambar berikut:

Keterangan : o o o o

Current Folder – untuk mengakses file-file pada direktori saat ini. Command Window – untuk menuliskan perintah (sintak program). Workspace – untuk mengeksplorasi data yang dibuat atau diimport dari file lain. Command History – untuk melihat atau menjalankan kembali perintah yang pernah

dimasukkan sebelumnya pada command line. Dalam melakukan pemrograman menggunakan bahasa MATLAB, Anda dapat menggunakan beberapa cara sebagai berikut : Menggunakan Command Window

Cara ini adalah yang paling sering dilakukan oleh pemula. Perintah akan dieksekusi secara langsung baris perbaris. Untuk membuat program, Anda hanya perlu mengetikkan perintah pada prompt MATLAB dalam Command Window Contoh:


4

>> p = 10; >> l = 7; >> luas = p * l

Tekan tombol enter kemudian ketikkan : Tekan tombol enter kemudian ketikkan : Hasil akhir :

>> luas = 70 >> Jika Anda mengakhiri perintah dengan tanda (;) titik koma, MATLAB akan melakukan komputasi namun tidak menampilkan display output pada Command Window. Anda dapat memanggil kembali perintah sebelumnya dengan menekan tombol up dan down-arrow ( ↑ dan ↓). Jika perhitungan menggunakan langkah-langkah yang cukup panjang, maka menggunakan Command Window menjadi kurang efisien. Menggunakan M-File

Tekan enter, selanjutnya akan muncul MATLAB editor. Disini Anda dapat mengetikkan program yang akan dijalankan. % MATLAB programming % by : (tuliskan nama anda) clear all; clc; disp(‘Selamat Pagi Fisika! Selamat belajar MATLAB’); p = 10; l = 7; area = p * l; disp([‘Luas area : ‘ num2str(area)]);

Langkah selanjutnya adalah menyimpan file tersebut, misalnya simpan dengan nama latihan1.m. Untuk menjalankannya, buka kembali Command Window, kemudian ketikkan nama file (tanpa ekstensi) sebagai berikut : >> latihan1 Tekan enter. Program Anda selesai dijalankan b. Sintak Dasar pada MATLAB

Seperti bahasa pemrograman lainnya, MATLAB juga memiliki sintak tersendiri. Pada MATLAB hanya terdapat dua tipe data, yaitu numerik dan string. Tidak dibutuhkan pendeklarasian secara eksplisit karena tipe data akan dikenali oleh MATLAB secara otomatis. Namun demikian terdapat beberapa hal penting yang harus diperhatikan dalam penulisan sintak: • Penamaan variabel bersifat case sensitive. Penamaan variabel harus selalu diawali dengan huruf, tidak boleh dengan simbol atau • angka. Penamaan variabel dan M-File tidak boleh sama dengan nama-nama default yang • dikenal MATLAB. Cara Penulisan Variabel

Data Numerik Tunggal: x = 20; Data Numerik Berdimensi Banyak (Array/Matrik): x = [ 20 11; 20 13 ]; Diktat Praktikum Algoritma dan Komputasi Numerik – LABKOM 2019

5

Data String: x = ‘bonjour’; Operasi dan Fungsi-Fungsi Matematika

Berikut ini adalah tabel operator matematika yang digunakan dalam pemrograman MATLAB: Operasi Simbol Contoh Penjumlahan + X+Y Pengurangan X – Y Perkalian * X*Y Pembagian / atau \ X / Y atau X \ Y Perpangkatan ^ X^Y Selain itu MATLAB juga menyediakan fungsi-fungsi matematika, di antaranya: Fungsi Keterangan exp Eksponensial log Logaritma natural log10 Logaritma basis 10 log2 Logaritma basis 2 sqrt Akar pangkat cos Kosinus sin Sinus tan Tangen Input dan Output

Untuk meminta input dari user, MATLAB menyediakan fungsi input. Contoh sintak penulisannya sebagai berikut: rho = input('Masukkan nilai hambatan: ') kalimat = input('Masukkan kata/kalimat: ','s') Baris pertama digunakan jika input yang diharapkan berupa angka sedangkan baris kedua digunakan jika input yang diharapkan berupa string. Sedangkan untuk menampilkan output program ke layar, MATLAB menyediakan fungsi disp dan fprintf. Sintak penulisannya sebagai berikut: a=input ('masukkan panjang sisi bujur sangkar: '); luas=a*a; disp ('Luas persegi adalah: '); disp (luas)

Atau: a=input ('masukkan panjang sisi bujur sangkar: '); luas=a*a; fprintf('Luas bujur sangkar adalah: %5.2f \n', luas) Kontrol Aliran a. Kondisional dengan (if … elseif … else … end)

Kondisional digunakan untuk mengontrol alur suatu program. Kondisional if-else sering digunakan di dalam program. Cara penulisannya sebagai berikut:


6

if syarat1 perintah-perintah elseif syarat2 perintah-perintah else perintah-perintah end

Contoh 1: a=input(Masukkan bilangan a: '); if rem(a,2) == 0 disp('a adalah bilangan genap') end

Contoh 2: n=input('Masukkan nilai n: '); if n < 0 % jika n negatif disp('Masukan harus bilangan positif'); elseif rem(n,2) == 0 % jika n posisif dan bulat A = n/2; fprintf('A= %3.0f \n', A); else A = (n+1)/2; % jika n positif dan ganjil fprintf('A= %3.0f \n', A); end b. Perulangan dengan (for … end)

Sintak ini digunakan untuk melakukan pengulangan proses yang telah diketahui banyaknya perulangan yang harus dijalankan. Cara penulisannya sebagai berikut: for variabel = mulai: interval: akhir perintah-perintah end

Contoh : N=5; for i=1:N fprintf ('%i. Saya mahasiswa Fisika \n',i); end

c. Perulangan dengan (while … end)

Sintak ini digunakan untuk melakukan pengulangan proses yang tidak diketahui banyaknya perulangan yang harus dijalankan. Yang diketahui hanyalah syarat atau kondisi kapan program akan tetap dijalankan. Cara penulisannya sebagai berikut: while syarat perintah-perintah end

Cara penulisan syarat, menggunakan ekspresi matematika yang meliputi : == sama dengan ~= tidak sama dengan


7

> lebih besar dari >= lebih besar atau sama dengan < lebih kecil dari <= lebih kecil atau sama dengan Sedangkan untuk mengkombinasikan menggunakan operator logika berikut ini : & and | or Contoh : %Program mencetak deret bilangan i=1; while(i<=6) x=1; while(x<=i) fprintf('%i',x); x=x+1; end fprintf('\n'); i=i+1; end

d. K ondisional dengan (switch … case … otherwise … end)

Penulisan sintak switch-case sebagai berikut : switch variabel case nilai1 perintah-perintah case nilai2 perintah-perintah . . . otherwise perintah-perintah end

Contoh : fprintf('Pilih salah satu program..\n'); fprintf('1: menghitung luas bujur sangkar: \n '); fprintf('2: menghitung luas persegi panjang: \n '); fprintf('3: menghitung luas persegi panjang: \n '); fprintf('4: menghitung luas persegi panjang: \n '); no=input('Anda ingin menghitung luas 1,2,3 atau 4 \n'); switch no case 1 a=input('masukkan panjang sisi bujur sangkar:'); luas=a*a; fprintf('Luas bujur sangkar adalah %5.2f \n',luas); case {2,3,4} a=input('masukkan panjang persegi panjang: '); b=input('masukkan lebar persegi panjang: '); luas=a*b;


8

fprintf('Luas persegi panjang adalah %5.2f',luas); otherwise fprintf('Ulangi pilihan yang ada...!!') end

e. Pernyataan continue

Pernyataan continue berfungsi melewatkan kendali ke iterasi berikutnya di dalam perulangan for maupun while. N=20; for i=1:N if (i<5) continue; end fprintf('%i. Saya mahasiswa Fisika \n',i); end

f. Pernyataan break

Pernyataan break berfungsi untuk menghentikan eksekusi loop for maupun loop while. N=20; for i=1:N if (i>5) break; end fprintf('%i. Saya mahasiswa Fisika \n',i); end

g. Interaksi dengan File MAT

File dengan ekstensi MAT adalah file biner yang hanya dapat dibuka oleh MATLAB. Jenis file MAT dapat menyimpan informasi data berupa variabel beserta nilai-nilainya tanpa merepotkan Anda untuk mengatur format datanya. Satu file MAT dapat menyimpan beberapa variabel sekaligus beserta nilainya. Berikut ini adalah sintak untuk menggunakan fungsi save: save [nama_file] var1 var2;

Nama_file diisi dengan nama file yang akan kita simpan, diketikkan tanpa ekstensi. File tersebut akan otomatis berekstensi MAT dan menyimpan data nilai-nilai var1 dan var2. Contoh: clear all; clc; X = rand(20,20); Y = rand(10,10); save datarandom X Y; disp('Data telah disimpan!');

Setelah script tersebut dijalankan maka pada directori aktif saat ini akan ada file baru dengan nama datarandom.mat. Untuk mengambil kembali data yang telah disimpan tadi, gunakan fungsi load dengan sintak sebagai berikut: load datarandom.mat disp(X)

h. Interaksi dengan File Teks

Untuk menyimpan dalam format teks ascii menggunakan sintak sebagai berikut : save nama_file variabel – ascii

Contoh:


9

disp('Program save file txt'); A = input('masukkan nama depan : ','s'); B = input('masukkan nama belakang : ','s'); save namadepan.txt A -ascii; save namabelakang.txt B -ascii; disp('Data telah disimpan!');

Untuk memanggil dan membaca file script nya sama seperti membaca file mat. i. Interaksi dengan Ms. Excel

Anda dapat membaca sebuah file Ms. Excel dari MATLAB dengan cara sebagai berikut: num = xlsread(filename)

Sintak tersebut bertujuan untuk membaca data dari worksheet pertama pada file Ms. Excel dengan nama sesuai dengan filename dan mengembalikan data numerik yang akan disimpan pada array num. Apabila yang akan dibaca adalah worksheet tertentu maka sintaknya sebagai berikut: num = xlsread(filename,sheet)

Untuk menuliskan data pada sebuah file Ms. Excel menggunakan cara sebagai berikut: xlswrite('filename',A)

Sintak tersebut bertujuan untuk menuliskan array A ke dalam worksheet pertama pada file Excel, dimulai pada cell A1. Apabila akan dituliskan bukan pada worksheet pertama maka menggunakan sintak sebagai berikut : xlswrite('filename',A,sheet)

Contoh: d = {'waktu', 'suhu'; 1 23; 2 25; 3 27}; xlswrite('contoh.xls',d);

Untuk membaca file Excel yang telah anda simpan, ketikan perintah berikut: A = xlsread('contoh.xls')

Jika muncul error, perhatikan direktori tempat anda menyimpan file, pastikan di direktori Document. 1.3. Tugas Pendahuluan

1. Pelajari program yang dituliskan pada Modul 1 dan cobalah jalankan setiap contoh tersebut. 2. Buatlah Algoritma ( flow chart ) dari Tugas membuat program pada Tugas Akhir di bawah 1.4. Tugas Akhir

1. Buatlah script matlab yang meminta inputan dari user untuk menghitung luas dan volume dari bangun ruang (Balok, Tabung dan kerucut). Contoh tampilan: Pilihan bangun ruang : 1. Balok 2. Tabung 3. Kerucut (jika 1) Masukkan Panjang, lebar dan tinggi Balok:

2. Buatlah program untuk menampilkan solusi dari persamaan kuadrat ( ax2 + bx + c ) dengan meng-inputkan koefisien a, b dan c. Solusi terdiri dari 3 kemungkinan: akar kembar, akar berbeda dan solusi komplek. 3. Buatlah algoritma dan program untuk menampilkan Tabel perkalian dari 1 sampai 100 dengan menggunakan perulangan.


10

Modul – 2 Array dan Matrik

2.1. Tujuan

Dalam modul ini mahasiswa diharapkan dapat mengoperasikan array dalam berbagai macam pengolahan data matriks. 2.2. Percobaan

Untuk memasukkan matrik pada MATLAB, ada beberapa cara yang dapat dilakukan : • Memasukkan secara langsung dengan menuliskan semua elemennya. • Meng-load matrik dari file eksternal • Meng-generate matrik menggunakan fungsi-fungsi built-in • Membuat matrik dengan fungsi yang Anda buat sendiri dan disimpan dalam file Untuk membuat array dengan empat elemen pada satu baris, setiap elemen harus dipisahkan dengan koma (,) atau spasi. Contohnya sebagai berikut : A = [1 2 3 4]

Untuk membuat matrik yang memiliki beberapa baris, maka setiap barisnya harus dipisahkan dengan tanda titik koma (;). Contohnya sebagai berikut : A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10]

Selain itu MATLAB juga menyediakan empat buah fungsi untuk membuat matrik : • zeros : semua elemennya bernilai nol. • ones : semua elemennya bernilai satu. • rand : elemen-elemennya bernilai random dengan distribusi uniform. randn : elemen-elemennya bernilai random dengan distribusi normal. • Sebagai contoh perintah untuk menampilkan matrik berukuran 5x1 dengan elemennya semua bernilai nol : Z = zeros(5,1)

Sedangkan contoh untuk menampilkan matrik berukuran 3x3 dengan elemen-elemennya dibangkitkan secara random : R = rand(3,3)

a. Operasi-Operasi pada Array dan Matrik

MATLAB memungkinkan pemrosesan semua nilai pada sebuah matrik menggunakan sebuah operator matematika atau fungsi tunggal. A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10]; A + 10 Untuk melakukan transpose pada sebuah matrik, gunakan tanda petik atas (‘) : A’

Untuk melakukan perkalian pada matrik, gunakan operator (*). Sebagai contoh, sebuah matrik apabila dikalikan dengan hasil inversnya maka akan menghasilkan matrik identitas : P = A * inv(A)

Untuk melakukan perkalian elemen by elemen pada matrik (bukan perkalian matrik), gunakan operator (.*) : P = A .* A

Berikut ini daftar operator pada array :


11

Operator + .* ./ .\ .^

Deskripsi Penambahan Pengurangan Perkalian per elemen Pembagian per elemen Pembagian kiri per elemen Perpangkatan per elemen

Operasi pada array sangat bermanfaat untuk pembentukan tabel. Misal diberikan n sebuah vector kolom sebagai berikut : n = (0:9) ';

kemudian fungsi berikut ini akan membuat sebuah table yang berisi bilangan kuadrat dan perpangkatan dari 2 : B = [n n.^2 2.^n]

Selain operasi-operasi yang telah dijelaskan di atas, MATLAB memiliki beberapa fungsi yang sering digunakan untuk operasi pada matrik, di antaranya : Fungsi diag inv size sort

Deskripsi Untuk mengambil elemen diagonal pada sebuah matrik Untuk melakukan operasi inverse pada matrik Untuk mengetahui dimensi sebuah matrik Untuk melakukan pengurutan pada matrik

Untuk mengetahui lebih detail cara penggunaan dari masing-masing fungsi tersebut, pada Command Window ketikkan : help nama_fungsi

b. Konkatenasi

Konkatenasi merupakan proses penggabungan dua buah array sehingga diperoleh sebuah array dengan ukuran yang lebih besar. Tanda [ ] merupakan operator untuk konkatenasi. A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10]; B = [A, A]

Operasi di atas disebut dengan konkatenasi horizontal dan dapat dilakukan apabila banyaknya baris kedua array sama. Selain itu, apabila banyaknya kolom pada dua buah array sama maka dapat dilakukan operasi konkatenasi vertikal sebagai berikut : B = [A; A]

c. Indeks pada Array

Setiap variabel pada MATLAB merupakan sebuah array yang dapat terdiri atas beberapa bilangan. Jika Anda ingin mengakses sebuah elemen pada array, maka harus menggunakan indeks. Sebagai contoh, diberikan matrik magic square 4x4 sebagai berikut : A = magic(4)

Terdapat dua buah cara untuk mengakses suatu elemen tertentu pada sebuah array. Cara paling umum adalah dengan menyebutkan baris dan juga kolomnya seperti contoh berikut : A(3,4)

Cara kedua adalah dengan melakukan iterasi ke bawah pada setiap kolom secara berurutan : A(15)

Anda juga dapat menambahkan satu elemen baru pada matrik di luar ukuran dimensi saat ini. Secara otomatis ukuran matrik akan bertambah sehingga dapat menampung elemen tersebut. Diktat Praktikum Algoritma dan Komputasi Numerik – LABKOM 2019

12

A(4,5) = 17

Untuk mengakses beberapa elemen pada array, gunakan operator (:) yang memungkinkan Anda untuk menspesifikasikan rentang dalam format start:end. Sebagai contoh, berikut ini akan ditampilkan tiga elemen pertama pada kolom ke-2 matrik A : A(1:3,2)

Jika tidak dituliskan nilai awal maupun nilai akhir, maka penggunaan tanda (:) akan menspesifikasikan semua elemen pada baris atau kolom yang dimaksud. Sebagai contoh, berikut ini akan ditampilkan semua elemen pada baris ke-3 matrik A : A(3,:)

d. Menghapus Baris dan Kolom

Anda dapat menghapus baris atau kolom dari sebuah matrik dengan menggunakan sepasang tanda kurung siku ([]). Misalkan terdapat matrik X sebagai berikut : X = magic(4);

Kemudian akan dihapus kolom kedua dari matrik X, menggunakan : X(:,2) = []

Untuk menghapus baris pertama dari matrik X, menggunakan : X(1,:) = []

Jika yang ingin dihapus hanya satu buah elemen saja, maka hasilnya bukan lagi sebuah matrik, sehingga ekspresi seperti berikut ini : X(1,2) = []

akan menghasilkan error. 2.3. Tugas Pendahuluan

1. Pelajari program yang dituliskan pada Modul 2 dan cobalah jalankan setiap contoh tersebut. 2. Pelajari dan jelaskan fungsi dari beberapa script matlab berikut: pascal, round, ceil, fix, floor, eye, eig, repmat 2.4. Tugas Akhir

1. Buat program untuk menginput angka sebanyak N, dimana N ditentukan oleh inputan user. Output program adalah bilangan maksimum, minimum dan rata-rata dari angkaangka tersebut. (Gunakan array untuk menyimpan data angka-angka tersebut) Contoh: input N: 4 angka[1]: 3 angka[2]: 11 angka[3]: 8 angka[4]: -5 Nilai maksimum= 11 Nilai minimum=-5 Rata-rata= 4.25

2. Buatlah program untuk menyimpan inputan berupa N buah bilangan integer ke dalam array, kemudian dari bilangan-bilangan yang disimpan tersebut dapat ditampilkan bilangan-bilangan yang habis dibagi 4, bilangan ganjil, bilangan genap dan bilangan prima. Contoh: input: 1 1 2 2 8 6 3 4 2 18 16 7 4


13

output bilangan yang habis dibagi 4: 8 4 16 4 output bilangan ganjil: 1 1 3 7 output bilangan genap: 2 2 8 6 4 2 18 16 4 output bilangan prima: 3 7


14

Modul – 3 Visualisasi Data 3.1. Tujuan

Mahasiswa diharapkan mampu menampilkan data dalam bentuk grafik dengan beragam jenis tampilan 1D, 2D dan 3D. 3.2. Percobaan

Terdapat beberapa bentuk dari fungsi plot, tergantung pada argumen inputnya. • Jika y adalah sebuah vector, maka sintak plot(y) akan menghasilkan sebuah grafik linear dengan sumbu x merupakan nilai index dari elemen y, sedangkan sumbu y merupakan nilai y itu sendiri. Jika terdapat dua vector sebagai argumennya, maka sintak plot(x,y) akan • menghasilkan grafik y versus x. Sebagai contoh, sebuah vektor x bernilai antara 0 sampai dengan 2 , hitung nilai sinusnya, kemudian plot hasilnya : x = 0: 0.01: 2*pi; y = sin(x); plot(x,y)

Tambahkan label axis dan judul grafik : xlabel('x = 0 s.d 2\pi') ylabel('sinus dari x') title('Plot grafik sinus','FontSize',12) Karakter \ pi digunakan untuk membuat simbol π dan properti FontSize digunakan untuk

memperbesar ukuran text yang digunakan untuk judul. Hasilnya sebagai berikut :

a. Membuat Plot Multiple Dataset pada Satu Gambar

Beberapa pasangan argumen x-y akan menghasilkan beberapa grafik dengan menggunakan sekali pemanggilan fungsi plot. MATLAB akan menggunakan warna yang berbeda untuk masing-masing garis. Sebagai contoh, perintah berikut ini akan melakukan plot terhadap tiga buah fungsi yang berbeda : x = 0:pi/100:2*pi; y = sin(x); y2 = sin(x-.25); y3 = sin(x-.5); plot(x,y,x,y2,x,y3) legend('sin(x)','sin(x-.25)','sin(x-.5)')


15

Tampilannya adalah sebagai berikut:

b. Mengubah Bentuk dan Warna Garis

Anda dapat mengubah warna, bentuk garis, dan juga marker (seperti tanda plus dan lingkaran) ketika Anda melakukan plot data menggunakan perintah berikut ini : plot(x,y,'color_style_marker')

color_style_marker merupakan sebuah string yang terdiri atas satu sampai empat buah karakter yang merepresentasikan warna, bentuk garis, dan tipe marker. Sebagai contoh : plot(x,y,'r:+')

Perintah di atas akan melakukan plot data menggunakan dotted line berwarna merah dan menempatkan sebuah marker + pada setiap titik data. Berikut ini tabel simbol yang dapat digunakan:


16

c. Menampilkan Beberapa Plot dalam Satu Figure

Perintah subplot memungkinkan Anda untuk menampilkan beberapa plot pada sebuah window yang sama. Perintah berikut ini, subplot(m,n,p)

akan membagi figure window ke dalam matrik subplot berukuran mxn dan memilih subplot ke-p untuk plot saat ini. Penomoran plot dimulai dari baris pertama pada figure window, kemudian baris kedua, dst. Sebagai contoh, perintah berikut ini akan melakukan plot data ke dalam empat buah bagian subregion pada figure window: t = 0:pi/10:2*pi; [X,Y,Z] = cylinder(4*cos(t)); subplot(2,2,1); mesh(X) subplot(2,2,2); mesh(Y) subplot(2,2,3); mesh(Z) subplot(2,2,4); mesh(X,Y,Z)

d. Visualisasi Data 2D dengan Fungsi Bar

Fungsi bar digunakan untuk menampilkan data dalam grafi k batang. Sintak penulisannya sebagai berikut : bar(x,y);

Contoh: sudut = [0:5:180]; y = cos(sudut*pi/180); bar(sudut,y) title('Grafik Cosinus'); xlabel('Sudut dalam derajat'); ylabel('Nilai cosinus');


17

e. Visualisasi Data 3D

Plot tiga dimensi biasanya digunakan untuk menampilkan suatu permukaaan yang didefinisikan oleh fungsi dengan dua buah variabel, z = f(x,y). Untuk memperoleh z, pertamatama buatlah sekumpulan titik (x,y) pada domain fungsi menggunakan meshgrid. [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2); Z = X .* exp(-X.^2 - Y.^2);

Kemudian buat plot permukaannya. surf(X,Y,Z)

Selain surf, dapat juga menggunakan fungsi mesh untuk menampilkan data dalam bentuk permukaan 3D. Cirinya berupa grid-grid yang menghubungkan 4 titik terdekat dalam ruang 3D. Sintak penulisannya sebagai berikut : mesh(Z)

Dapat juga menggunakan pcolor untuk menampilkan data 3D dalam bentuk permukaan 2D (tampak atas). Cirinya berupa grid berwarna yang menunjukkan bobot nilai tertentu. Sintak penulisannya sebagai berikut : pcolor(Z) Fungsi contourf digunakan untuk membuat garis kontur dari data 3D. Garis-garis kontur ini

dibuat dengan teknik interpolasi dari titik-titik terdekat dan pada setiap level kontur diberikan warna sesuai bobot garis konturnya. Sintak penulisannya sebagai berikut : obj_handle = contourf(Z) clabel(obj_handle)

obj_handle adalah object handle yang dibutuhkan untuk menampilkan label pada garis kontur. Hasilnya sebagai berikut :

3.3. Tugas Pendahuluan

1. Pelajari contoh-contoh pada latihan di atas 2. Pelajari dan cobalah fungsi marker untuk menghasilkan plot grafik dengan beragam variasi warna dan style (seperti di tuliskan di table di atas). 3.4. Tugas Akhir

Berikut ini adalah data nilai matakuliah pemrograman dari sekelompok mahasiswa :


18

No mhs

Kuis

UTS

UAS

81 65 86 1 90 75 78 2 91 93 79 3 63 67 54 4 50 75 48 5 27 74 44 6 7 54 39 64 8 95 65 70 9 96 71 75 10 15 70 27 11 97 75 67 12 95 72 65 13 48 46 32 14 80 97 88 15 14 28 49 16 42 69 59 17 91 85 68 18 79 95 58 19 95 68 66 20 80 76 86 Salinlah data tersebut ke dalam file excel, kemudian bacalah file excel tersebut menggunakan MATLAB. Hitunglah nilai akhir tiap mahasiswa dengan rumus sebagai berikut :

Nilai akhir = 40% x UTS + 40% x UAS + 20% x Kuis

a. Plot grafik nilai mahasiswa, sumbu Y terdiri dari nilai kuis, UTS dan UAS, sedangkan sumbu X menyatakan no. mahasiswa b. Laporkan nilai akhir mahasiswa dalam bentuk grafik batang, sumbu x menyatakan no. mahasiswa dan sumbu y menyatakan nilai akhir dari mahasiswa


19

Modul – 4 Solusi Persamaan Non-linier 4.1. Tujuan

Mahasiswa diharapkan mampu menemukan solusi persamaan non-linier menggunakan metode terbuka dan tertutup, mengetahui bagaimana menentukan laju konvergensi setiap metode, serta mengetahui perbedaan dan cara penggunaan setiap metode. 4.2. Teori

Persamaan non-linier banyak digunakan dalam bidang teknik maupun sains. Secara umum, semua persamaan pada permasalahan dalam bentuk ini akan diubah menjadi bentuk

 0

, dengan f yang merupakan bentuk fungsi non-linier dari variabel x. Contoh dari

bentuk fungsi non-linier adalah : a. b.

 20  .2     0  0

Bentuk umum dari

merupakan persamaan dengan variabel tunggal yaitu



.

Akan tetapi, persamaan non-linier juga dapat terdiri dari variabel ganda (multivariabel) atau lebih dari satu variabel. Nilai dari x pada persamaan

 0

merupakan penyelesaian dari

persamaan tersebut yang kemudian disebut sebagai akar persamaan. Sebagai contoh, bentuk persamaan kuadrat

  0  ±√ ,  2 4

mempunyai akar-akar persamaan dengan

bentuk penyelesaian secara analitis dengan menggunakan Persamaan 2.1

2.1

Metode penyelesaian akar-akar persamaan secara komputasi numerik dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu metode tertutup dan metode terbuka. Setiap metode memiliki karakteristik penggunaan masing-masing serta memiliki kelebihan tersendiri. 4.2.1. Metode Tertutup

Salah satu jenis dari metode tertutup adalah metode bisection. Tahap pertama metode bisection adalah menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas segmen nilai fungsi yang


20

           × <0

dicari. Batasan a dan b memberikan harga bagi fungsi selanjutnya adalah memeriksa apakah

untuk

dan

. Langkah

. Apabila terpenuhi syarat tersebut,

berarti terdapat akar fungsi dalam segmen tinjauan.

 +  <10−    × <0     × >0  <10−  ≈0 Dengan rumusan

, diperiksa apakah nilai mutlak

simpangan kesalahan). Jika benar, nilai

adalah solusi yang dicari. Jika tidak, ditetapkan

batasan baru dengan mengganti nilai bila

(batas

apabila

, dan mengganti

. Begitu seterusnya hingga kondisi

terpenuhi.

Dalam proses perulangan, khususnya menentukan nilai

, suatu kriteria untuk

menghentikan proses tersebut akan diperlukan. Kriteria tersebut antara lain : 1.

Jumlah iterasi maksimum.

2.

Tingkat kesalahan maksimum atau nilai



minimum.

4.2.2. Metode Terbuka a. Metode Iterasi Titik Tetap

Metode ini menawarkan pencarian akar-akar persamaan dari persamaan non-linier

    0 +  

dengan metode iterasi. Tahap pertama metode ini adalah menyusun persamaan

        0 

menjadi bentuk

sebuah nilai awal sehingga

. Lalu, bentuklah menjadi prosedur iterasi

, lalu hitung nilai

dan

,

,

dan tebaklah

, …, yang akan konvergen ke akar sejati

atau diperoleh hasil yang divergen. Kondisi berhentinya

iterasi dinyatakan bila memenuhi Persamaan 2.2 atau Persamaan 2.3 jika menggunakan perumusan kesalahan relatif.

|+ | < ++< Sebagai contoh, untuk mendapatkan akar persamaan

 3200 

pertama yang dilakukan adalah mengubah persamaan dalam bentuk dapat dilakukan melalui empat cara : 1. 2.

2.2 2.3 , langkah

. Perubahan ini

/  320  20/3


21

20/ 3/ 3    3200

3. 4.

Semua persamaan di atas harus diuji secara numerik yang akan menghasilkan solusi yang sama dengan persamaan

.

b. Metode Newton-Raphson

Salah satucara untuk menentukan akar persamaan non-linier adalah dengan menggunakan metode Newton-Raphson yang dasarnya menggunakan uraian deret Taylor. Pada mulanya, nilai awal



akan diperkirakan, kemudian titik tersebut dipotongkan dengan

kurva dari persamaan non-linier yang diketahui. Selanjutnya garis singgung ditarik dari titik tersebut sehingga memotong sumbu x di titik

+

. Garis singgung tersebut pada dasarnya

merupakan tangen atau slope pada titik yang ditentukan sebelumnya. Slope merupakan turunan pertama dari



sehingga hubungan yang didapatkan adalah

′   +

2.4

Apabila Persamaan 2.4 diatur kembali, akan menghasilkan Persamaan 2.5 yang disebut dengan persamaan Newton-Raphson.

+   ′

2.5

4.3. Percobaan

Buatlah program dengan menggunakan bahasa matlab untuk menentukan solusi dari persamaan non-linier berikut menggunakan metode Bisection, iterasi titik tetap, dan NewtonRaphson : a. b. c. d. e.

 3100  1≤≤1 sin 0   ≤≤  −3200 1 ≤≤4 4 0 ≤≤1 − cos2 0 ≤≤1 1 ≤≤2 1≤≤1 untuk

untuk

untuk

untuk

untuk

dan

dan


22


Hitunglah berapa iterasi yang diperlukan untuk mencapai konvergensi dalam mencari solusi persamaan

 3100 10−

menggunakan metode Bisection dengan tingkat

kesalahan yang diperbolehkan bernilai

serta nilai

1 3, 5 dan

. Bandingkan

dengan hasil yang didapat jika dikerjakan secara analitik menggunakan Persamaan 2.1. 4.5. Tugas Akhir

1. Buatlah program dengan menggunakan bahasa matlab untuk menentukan solusi dari persamaan non-linier pada bagian Percobaan menggunakan metode Secant dan Regula Falsi. 2. Buatlah tabel perbandingan untuk metode Bisection, iterasi titik tetap, NewtonRaphson, Secant, dan Regula Falsi dalam menentukan solusi persamaan

0

− 4

dengan parameter yang sama ( error , toleransi, batas/tebakan awal, dan hasilnya

apakah

konvergen/divergen)

untuk

setiap

metode.

Sertakan

pula

jumlah

langkah/jumlah iterasi yang terjadi saat melakukan proses perhitungan. Kemudian buatlah analisa berdasarkan tabel tersebut.


23

Modul – 5 Nilai dan Vektor Eigen 5.1. Tujuan

Mahasiswa diharapkan mampu menghitung nilai dan vektor eigen dari suatu matriks bujursangkar menggunakan metode pangkat ( Power Method ) dan metode pangkat inversi ( Invers Power Method ). 5.2. Teori

Nilai eigen atau nilai karakteristik dan vektor eigen atau vektor karakteristik yang sesuai dari suatu matriks

×



nol dan memenuhi Persamaan 3.1

,   × dengan



yaitu A didefinisikan sebagai nilai skalar dan vektor yang bukan

↔   0 0

3.1

disebut sebagai pasangan eigen danada sejumlah N pasangan eigen dari matriks

. Bagaimana cara menentukan nilai eigen? Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan,

yaitu :

  

a. Agar Persamaan 3.1 berlaku untuk matriks bukan nol , matriks singular. Artinya, nilai determinan dari matriks b. Determinan dari matriks



.



harus bersifat

harus bernilai 0.

merupakan deret polynomial derajat N dalam bentuk

Hal yang pertama kali harus dilakukan untuk menghitung nilai eigen menemukan solusi dari persamaan karakteristik seperti pada Persamaan 3.2.

|  |  −− ⋯ 0 



adalah

3.2

Lalu substitusikan nilai , satu per satu, kedalam Persamaan 3.1 untuk menentukan vektor eigen



.

5.2.1. Metode Pangkat (Power Method)

Secara teoritis, metode pangkat dapat dijelaskan sebagai berikut :


24

×    |  || > || >⋯>   |        ⋯   3. 3    =  ,  , … ,    ,     1, 2, … ,        3. 4   =        ( )  3. 5  = || > ||   1, 2, … ,  →∞  →0   3.6   1      3.7     •

Untuk matriks persegi A yang berukuran dimana

mempunyai nilai eigen

dengan N vektor eigen bebas

maka ada suatu vektor

,

,

, …,

, …,

,

yang dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari vektor-

vektor eigen tersebut.

Dengan mengalikan kedua sisi Persamaan 3.3 dengan ,

dan menggunakan

, kita bisa peroleh Persamaan 3.4.

Faktorkan nilai eigen terbesar

Tetapi karena

keluar

untuk

, jika

maka

dan Persamaan

3.5berubah menjadi Persamaan 3.6.

Pada Persamaan 3.6 dengan menggunakan

dapat diekspresikan

, sehingga

diperoleh Persamaan 3.7 untuk nilai salah satu vektor eigen.

Setelah

dihitung,

diambil dari nilai elemen terbesar vektor

sehingga

akan

mempunyai sebuah elemen unitas. Proses ini terus diulang hingga memenuhi kondisi rasio

perbedaan nilai eigen lebih kecil dari toleransi yang diinginkan sesuai dengan Persamaan 3.8.

+     < Diktat Praktikum Algoritma dan Komputasi Numerik – LABKOM 2019

3.8 25

5.2.2. Metode Pangkat Inversi (Invers Power Method)

Tujuan dari penggunaan metode pangkat inversi adalah untuk menentukan nilai eigen terkecil dengan menerapkan metode pangkat pada matriks

−

. Metode ini digunakan pada

kasus dimana matriks A bersifat non singular dan tidak memiliki nilai eigen bernilai nol. Asal pemikiran dari metode ini adalah Persamaan 3.9

→−− − 1  −     

Ini berarti bahwa matriks invers

3.9

memiliki nilai-nilai eigen yang merupakan kebalikan dari

nilai-nilai eigen matriks A.

3.10

5.2.3. Spektral Radius

Spektral radius





dari matriks definisikan degan Persamaan 3.11.

  max||

3.11

5.3. Percobaan

Buatlah program dengan menggunakan bahasa matlab untuk menentukan nilai dan vektor eigen menggunakan metode pangkat serta metode pangkat inversi untuk matriksmatriks berikut: (Tidak diperbolehkan menggunakan toolbox eigen dari matlab )

a.

b.

c.

4 1 0  [00 12  11] 3 1 0  [20 14 31 ] 20 4 8  [4060 128 2026]


26


1. Buatlah program dengan menggunakan bahasa matlab untuk mencari invers dari sebuah matriks

3×3

. (tidak menggunakan toolbox invers dari matlab )

2. Hitung nilai dan vektor eigen dari matriks no (a) yang terdapat pada bagian Percobaan secara analitik menggunakan bantuan persamaan karakteristik.

5.5. Tugas Akhir

1. Bagaimana cara menentukan semua nilai eigen dari matriks A yang berukuran

3×3

?

(Sebagai catatan: metode pangkat hanya menghitung nilai eigen terbesar sedangkan metode pangkat inversi hanya menghitung nilai eigen terkecil. Bagaimana jika kita ingin menghitung nilai eigen diantara nilai eigen terbesar dan terkecil?) Buatlah program dengan menggunakan bahasa matlab untuk menghitung semua nilai eigen dari matriks A yang berukuran

3×3

. (Matriks yang digunakan ditentukan oleh asisten)


27

Modul – 6 Metode Iterasi Untuk Sistem Persamaan Linier 6.1. Tujuan

Mahasiswa diharapkan mampu menentukan solusi dari sistem persamaan linier menggunakan metode iterasi serta mampu membedakan penggunaan metode langsung dan metode tidak langsung dalam menentukan solusi persamaan linier. Selain itu, mahasiswa juga diharapkan mampu menentukan laju konvergensi dari metode iterasi yang digunakan.

6.2. Teori

Sistem persamaan linier (SPL) terdiri dari banyak persamaan, metode langsung seperti eliminasi Gauss menjadi tidak efisien jika digunakan dalam perhitungan komputasi karena ukuran matriks yang besar. Untuk permasalahan seperti ini, metode iterasi menjadi lebih efisien untuk digunakan dalam perhitungan komputasi. Bentuk umum dari SPL ditunjukkan oleh Persamaan 4.1.

  ⋯    ⋯    ⋯  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮   ⋯  

4.1 4.2

Persamaan 4.1 dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi Persamaan 4.2

 ×    dengan

merupakan matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien pada SPL dan berukuran

, merupakan matriks vektor yang merupakan solusi dari SPL, serta matriks

terdiri dari nilai-nilai pada sisi kanan SPL. Elemen-elemen pada matriks

 

yang dan

vektor mempunyai nilai yang didapat dari formulasi permasalahan sedangkan elemen-elemen pada vektor merupakan jawaban permasalahan yang harus dihitung.


28

Metode iterasi melibatkan sebuah proses yang mengonversi sistem



menjadi

    {}=   − ,   1,2, 3,… 4.3   4.4    sistem ekuivalen

, untuk matriks

dan vektor yang tetap. Metode ini diawali

dengan aproksimasi awal

untuk mencapai solusi dengan menggenerasi vektor barisan

yang konvergen terhadap , atau dapat ditulis

Persamaan 4.3 dapat didekomposisi menjadi Persamaan 4.4.

dengan merupakan matriks lower triangular dengan nilai nol pada diagonal, matriks diagonal dengan elemen yang tidak nol, dan

merupakan

merupakan matriks upper triangular

dengan nilai nol pada elemen diagonalnya. 6.2.1. Metode Iterasi Jacobi

Metode iterasi Jacobi dilakukan dengan mengubah Persamaan 4.2 menjadi Persamaan

  −− −, 1, 2,…

4.3 dengan terlebih dahulu didekomposisikan matriks sesuai dengan Persamaan 4.4. Metode ini dapat ditulis dalam bentuk matriks menjadi Persamaan 4.5.

4.5

Secara komponen, Persamaan 4.5 dapat ditulis menjadi Persamaan 4.6.

 −   1           ,   1, 2 ,…,        = =+   <1  

Norm yang sering digunakan adalah

4.6

norm. Sedangkan kriteria konvergensi untuk metode

iterasi ditunjukkan oleh Persamaan 4.7.

dengan

4.7

menyatakan spektral radius dari matriks .

6.2.2. Metode Iterasi Gauss-Seidel

Metode ini merupakan perbaikan dari metode iterasi Jacobi yang dianggap memiliki laju konvergen yang lambat. Metode ini dapat dilakukan dengan cara yang sama pada metode Iterasi Jacobi, namun dengan mengubah Persamaan 4.5 menjadi Persamaan 4.8.


29

  −−  −,  1, 2,…

4.8

Secara umum, Persamaan 4.8 dapat ditulis menjadi Persamaan 4.9.

 −   1 +     , 1,2,…,  4.9         = =+ 6.2.3. Successive Over Relaxation (SOR)

Metode ini diperoleh dengan cara mengekstrapolasi metode iterasi Gauss-Seidel sehinga

   −   1+ − 4.10 1

muncul faktor relaksasi . Secara matriks, metode ini dapat dituliskan dalam Persamaan 4.10.

Jika nilai

, maka metode ini akan kembali menjadi metode iterasi Gauss-Seidell.

6.3. Percobaan

Buatlah program dengan menggunakan bahasa matlab untuk menentukan solusi persamaan linier dari persamaan-persamaan berikut menggunakan metode Iterasi Jacobi, Gauss-Seidel, dan SOR : a. b.

c.

26395 30.1 0.710. 0.3219.  7.835 0.30. 3 0.2 10  71.4 3 28 9. 8 12 3422 1.42.43


1. Turunkan Persamaan 4.5, 4.8, dan 4.10 menggunakan metode dekomposisi matriks serta nyatakan dalam bentuk komponen. 2. Apakah yang dimaksud dengan norm matriks dan norm vektor? 3. Hitunglah solusi dari sistem persamaan linier di bawah menggunakan iterasi Jacobi hingga iterasi ke-3.


30

30.1 0.710. 0.3219.  7.835 0.3 0.2 10 71.4 6.5. Tugas Akhir

Tentukan besar masing-masing arus listrik (I1, I2, dan I3) pada rangkaian dibawah ini, dengan menggunakan sistem persamaan linier.


31

Modul – 7 Interpolasi 7.1. Tujuan

Mahasiswa diharapkan mampu menentukan solusi dari permasalahan interpolasi dengan menggunakan metode Polinomial, Lagrange, dan Newton Forward Difference , serta mampu membedakan penyelesaian masalah dengan metode interpolasi dan ekstrapolasi.

7.2. Teori

Interpolasi digunakan untuk menghubungkan titik data diskrit dengan cara yang dapat diterima sehingga seseorang bisa mendapatkan perkiraan yang beralasan dari suatu titik data diantara data-data yang diberikan. Kurva yang dibentuk oleh proses interpolasi akan selalu melewati seluruh titik data yang ada. Sebagai ilustrasi, terdapat data tentang jumlah penduduk pada suatu daerah dalam kurun waktu 1950 hingga 2000 dengan pengambilan data setiap 10 tahun. Hal itu dijelaskan pada Tabel 5.1 Tabel 5.1 Jumlah penduduk di daerah X pada tahun 1950-2000

Tahun

1950

1960

1970

1980

1990

2000

Jumlah

34.704

69.168

97.115

148.442

211.707

264.002

Penduduk

Jika dilihat berdasarkan tabel data di atas, akan muncul pertanyaan yang baru bagaimana jika kita ingin mengetahui jumlah penduduk pada tahun 1955 atau pada tahun 1998? Bila hubungan fungsional antara kedua variabel, tahun dan jumlah penduduk, diketahui maka masalah ini tentunya mudah untuk diselesaikan. Tetapi pada umumnya hubungan tersebut tidak diketahui atau bila diketahui maka hanya dalam bentuk umumnya saja dimana koefisien-koefisien dari hubungan fungsional itu tetap tidak diketahui. Dalam situasi seperti ini, biasanya yang dapat dilakukan untuk menentukan solusi permasalahan tersebut adalah menggunakan metode


32

interpolasi. Dengan kata lain, interpolasi mengijinkan kita untuk membuat suatu fungsi pendekatan yang mampu merepresentasikan hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat secara pasti. Fungsi pendekatan itu dapat berupa fungsi polynomial maupun fungsi trigonometri. Dasar pemilihan fungsi pendekatan tersebut dapat ditetapkan dengan teorema Weierstrass : Teorema I

Bagi setiap fungsi



,     |  | <

kontinu dalam suatu interval

dalam interval tersebut suatu fungsi polynomial tertentu sedemikian rupa sehingga



, maka dapat dinyatakan

dengan suatu derajat ketelitian

untuk setiap nilai x dalam

dimana merupakan bilangan positif.

,

Teorema II

   sin 2 sin2⋯ sin cos      |    |  cos2⋯     <  ,    cos  Setiap fungsi

trigonometri

kontinu periodik dapat disajikan dalam bentuk fungsi seri

hingga

dengan

untuk

dalam interval

dimana merupakan bilangan positif.

7.2.1. Interpolasi Polinomial dan Polinomial Taylor

Salah satu teknik interpolasi yang sering digunakan untuk menghampiri suatu fungsi kontinu adalah interpolasi polynomial yang dirumuskan dengan Persamaan 5.1.



  ⋯−−  , ,…,

dengan merupakan bilangan integer non-negatif dan

5.1

merupakan konstanta riil.

7.2.2. Interpolasi Lagrange

Apabila pengamatan data tidak berjarak sama atau interval antar variabel bebas tidak seragam, perumusan interpolasi yang digunakan mengacu pada penurunan rumusan oleh Lagrange. Polinomial Lagrange dapat dinyatakan dalam bentuk Persamaan 5.2.

  ∑=    ⋯


(5.2)

33

Dengan

 ,  0, 1 , 2 , … ,     ∏=   ≠

7.3. Percobaan

  sin   l+     21  + 

1. Untuk fungsi

di bawah ini dengan diketahui data

 0,  0.6, 0.0.459

gunakan interpolasi polynomial derajat satu dan dua untuk menghampiri nilai

, .

Buatlah dalam program dengan menggunakan bahasa matlab. 1. 2. 3. 4.

2. Gunakan metode Interpolasi Lagrange derajat satu, dua dan tiga untuk memprediksi populasi daerah “X” sesuai dengan Tabel 5.1 pada tahun 1945, 1955, 1965, 1975, 1985,

1995, 2005.


Jelaskan apa yang dimaksud dengan ekstrapolasi. Apa perbedaan ekstrapolasi dan interpolasi? 7.5. Tugas Akhir

Buatlah program menggunakan bahasa matlab untuk soal-soal yang ada pada Percobaan dengan menggunakan metode Newton Forward Difference.


34

Modul – 8 Regresi 8.1. Tujuan

Mahasiswa mampu mengaproksimasi suatu kelompok data dengan pendekatan suatu fungsi menggunakan metode regresi. 8.2. Teori

Regresi adalah teknik pencocokan kurva yang dilakukan untuk mengaproksimasi suatu kelompok data berketilitian rendah dengan suatu fungsi. Contoh data berketelitian rendah adalah hasil pengamatan, percobaan di laboratorium atau data statistik. Tabel 6.1Contoh data hasil percobaan

X Y

1 1.8

2 3.5

3 4.2

4 4.9

5 5.3

6 6

7 6.8

8 6.5

9 6.4

10 6.9

Jika data di dalam tabel 6.1 diplotkan ke dalam grafik, maka dapat terlihat hubungan antara variabel x dan y cenderung memiliki hubungan yang linier . 8 7 6 5 Y 4

3 2 1 0 0

2

4

6

8

10

12

X

Gambar 6.1.Grafik hubungan y terhadap x pada data Tabel 6.1

Garis putus-putus pada grafik diatas merupakan hasil dari interpolasi, sedangkan garis lurus merupakan hasil dari regresi. Bagaimana bentuk fungsi yang cocok untuk mewakili tren data tersebut? Bagaimana error yang dihasilkan oleh fungsi yang kita buat dalam mengaproksimasi data tersebut?


35

Salah satu pendekatan dalam menentukan approksimasi linier terbaik dengan cara meminimasi penjumlahan kuadrat error yang dihasilkan antara nilai yang dibuat

 , =|   |



dengan kurva linier

6.1

Pendekatan ini disebut dengan metoderegresi kuadrat terkecil. Untuk menentukan konstantakonstanta

  dan

kita gunakan pendekatan turunan parsial Persamaan 6.1 terhadap masing-

masing konstanta, lalu kita set persamaan tersebut sama dengan nol. Persamaan terakhir yang diperoleh disebut dengan persamaan normal. Dengan cara ini kitaakan bertemu kembali dengan masalah aljabar linier seperti dalam percobaan Metnum-4. Adakalanya aproksimasi linier bukan merupakan aproksimasi terbaik.Oleh karena itu digunakan aljabar polinum seperti pada Persamaan 5.1, sehingga Persamaan 6.1 akan berubah menjadi Persamaan 6.2, yang merupakan formulasi umum untuk menghitung error pada metoderegresi kuadrat terkecil.

 ,…, =| |

6.2

Dari Persamaan 6.2 dapat pula kita turunkan persamaan normal untuk pendekatan Regresi Kuadrat Terkecil untuk polinom derajat ke n. 8.3. Percobaan

1. Gunakan aproksimasi linier menggunakan metode regresi kuadrat terkecil untuk mencocokan kurva dengan data pada tabel 6.1. 2. Amati kurva yang dihasilkan apabila pendekatan kurva tabel 6.1 menggunakan metode regresi kuadrat terkecil untuk polinom derajat 2. 3. Plot kurva yang dihasilkan oleh percobaan 1 dan 2 4. Aproksimasi data pada tabel 6.2 di bawah ini menggunakan metode regresi kuadrat terkecil untuk polinom derajat 1, 2 dan 3. Plot data beserta polinomnya. Tabel 6.2. Data percobaan

1.3 2.54

1.5 2.21

1.9 2.18

2.1 2.6


36


1. Turunkan persamaan normal untuk metode regresi kuadrat terkecil untuk polinom derajat ke-n. 2. Bagaimana cara kita mengaproksimasi suatu data yang mempunyai tren eksponensial? 8.5. Tugas Akhir

Buat program dengan Bahasa matlab untuk menyelesaikan contoh kasus yang diberikan oleh asisten! Plot kurvanya!


37

Modul – 9 Integrasi Numerik 9.1. Tujuan

Mahasiswa mampu menghitung integral secara numerik suatu fungsi menggunakan metode segiempat, trapesium, titik tengah dan simpson. 9.2. Teori 9.2.1. Metode Trapesium

Metode trapesium merupakan metode integrasi numerik yang diturunkan melalui interpolasi linier yang dituliskan dengan Persamaan 7.1.

     2    

7.1

Metode ini mengaproksimasi suatu fungsi dengan pendekatan trapesium, dalam Persamaan 7.1 terlihat bahwa suatu fungsi f ( x) dihampiri dengan perhitunganluas trapesium. Persamaan 7.1 merupakan formulasi integrasi numerik menggunakan satu buah trapesium, dengan demikian error E yang dihasilkan cukup besar. Oleh karena itu Persamaan 7.1 diperluas, sehingga jumlah

trapesium yang digunakan sebanyak N buah, shingga persamaan 7.1 berubah menjadi Persamaan 7.2.

−  ℎ     2   2 = ℎ   

7.2

ℎ −

dengan

9.2.2. Metode Simpson

Metode ini diturunkan melalui polinom Newton orde dua yang dirumuskan melalui Persamaan 7.3.


38

− −  ℎ    4  ℎ 2  ℎ  7. 3  3  = = Persamaan 7.3 merupakan formulasi Simpson 1/3 dimana penjumlahan pertama dikhususkan untuk i yang ganjil dan penjumlahan kedua untuk i genap. Metode ini hanya berlaku untuk nilai N genap, dan nilai hyang sama dengan yang dirumuskan pada metode trapesium. Kekurangan

      38 ℎ   3 3    ℎ −

metode Simpson 1/3 yang hanya berlaku untuk

genap diperbaiki oleh metode Simpson 3/8

yang dirumuskan sebagai berikut :

dengan

7.4

. Persamaan 7.4 hanya berlaku untuk satu interval saja. Jika interval data yang

digunakan lebih dari satu, persamaan 7.4 harus diubah ke dalam bentuk umum persamaan metode Simpson 3/8. Metode simpson 3/8 berlaku untuk nilai N berupa bilangan kelipatan 3. 9.3. Percobaan

1. Aproksimasi integral-integral berikut menggunakan metode trapesium dengan nilai

∈{2,4,6,8,16,32,64} ∫− l+  ∫   ∫ −  a.

b. c.

2. Ulangi percobaan no.1 dengan menggunakan metode Simpson 1/3 3. Ulangi percobaan no.1 dengan menggunakan metode Simpson 3/8 9.4. Tugas Pendahuluan

1. Jelaskan bagaimana nilai N sangat berpengaruh terhadap error yang dihasilkan! 2.

Kerjakan soal pada percobaan no.1 dengan menggunakan metode persegi dan titik tengah secara numerik. Bandingkan dengan hasil yang diperoleh secara analitik.

9.5. Tugas Akhir

1. Laju seorang penerjun payung selama melayang di udara setelah payungnya mengembang adalah


39

dimana

− 9, 8  12,5 .−

penerjun,

   1 − /

adalah percepatan gravitasi,

68,1 

adalah massa

adalah hambatan oleh udara. Berapa jarak yang ditempuh

oleh penerjun tersebut selama 10 detik? Jarak yang ditempuh penerjun dapat dihitung dengan menggunakan hubungan

 ℎ  

buatlah program menggunakan bahasa matlab dengan metode yang telah dipelajari pada modul ini. 2. Bandingkan hasil percobaan untuk metode trapesium dan simpson 1/3. 3. Diberikan tabel sebagai berikut :

 

0 0.25 0.625 0.75 0.875 1

1 0.8 0.6 0.57 0.53 0.5

Bagaimana cara mencari integral dari data dengan interval yang tidak seragam seperti pada tabel di atas?


40

Modul – 10 Diferensiasi Numerik 10.1. Tujuan

Mahasiswa mampu mendiferensiasi numerik suatu fungsi dengan menggunakan metode aproksimasi beda hingga.

10.2. Teori

Diferensiasi numerik adalah proses perhitungan turunan fungsi dari data suatu fungsi. Untuk beberapa kasus, suatu fungsi memiliki bentuk yang rumit sehingga perhitungan dengan cara analitik merupakan pekerjaan yang tidak praktis. Namun fungsi tersebut dapat kita cari turunannya dengan pendekatan numerik, salah satu metodenya adalah metode aproksimasi beda hingga. Metode aproksimasi beda hingga untuk menentukan turunan suatu fungsi didasari oleh ekspansi deret Taylor dari suatu fungsi f(x) disekitar titik x. Dari ekspansi deret taylor akan diperoleh Persamaan 8.1 – 8.3

′  ℎℎ   ℎ2 ′  ′   ℎℎ  ℎ2 ′  ′    ℎℎ   ℎ6 ′ ′

8.1 8.2 8.3

Persamaan 8.1 merupakan persamaan untuk forward difference orde pertama. Persamaan 8.2 merupakan persamaan untuk backward difference orde pertama. Persamaan 8.3 merupakan persamaan untuk central difference orde pertama. Dimana suku kedua pada ruas kanan persamaan-persamaan ini merupakan error pemotongan. Untuk orde kedua atau orde yang lebih tinggi, ekspansi deret taylor dapat digunakan kembali.


41

10.3. Percobaan

32   1     sin ℎ∈{0.001 , 0.005 ,0.05 , 0.1 , 0.5}      1 {0.001 ,0.005 ,0.05 , 0.1 , 0.5}

1. Hitung turunan pertama dari fungsi

pada

dengan nilai

untuk setiap metode. Hitung pula error yang

dihasilkan.

2. Hitung turunan pertama dari fungsi

pada

dengan nilai

ℎ∈

untuk setiap metode. Hitung pula error yang

dihasilkan.


1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan h, dan apa pengaruhnya terhadap nilai error ! 2. Hitunglah nilai turunan untuk soal No. 1 dan No. 2 pada Percobaan praktikum dengan cara analitik.

10.5. Tugas Akhir

1. Selidiki apa yang terjadi apabila step size h(intervalnya) berbeda. 2. Sebuah mobil dengan massa

1200 

melaju dengan kecepatan yang berubah-ubah.

Diperoleh data jarak yang ditempuh mobil terhadapa waktu sebagai berikut: t (s) 0 0.1 0.25 0.38 0.56

x (m) 0 2 2.8 3.5 4

Tentukan impuls yang terjadi yang dihasilkan mobil saat

0,0.25, 0.56 dan

.

3. Dalam kondisi seperti apa setiap metode dapat digunakan? jelaskan


42

Modul – 11 Persamaan Diferensial Biasa 11.1. Tujuan

Dalam modul ini mahasiswa diharapkan mampu memecahkan masalah persamaan diferensial biasa menggunakan metode Euler dan Runge – Kutta.

11.2. Teori

Kasus persamaan diferensial biasa (PDB) merupakan salah satu kasus yang sering dijumpai dalam bidang sains maupun teknik. Persamaan diferensial biasa menggambarkan suatu bentuk persamaan matematis yang mengandung turunan dari suatu fungsi terhadap satu variabel bebas. Secara sederhana, persamaan diferensial biasa dapat dituliskan sebagai berikut

′   ,

0 

Dalam Persamaan9.1 turunan pertama dari y diketahui sebagai fungsi

  0 

fungsi dari dan dengan

9.1

,

yang merupakan

merupakan nilai awalnya. Untuk menghitung fungsi



yang tidak diketahui maka kita dapat secara langsung mengintegrasi secara numerik Persamaan9.1. Akan tetapi bila berbeda.

merupakan fungsi dari



maka proses integrasi menjadi

11.2.1. Metode Forward Euler

Metode Forward Euler ini diturunkan melalui deret Taylor (lihat modul 7), bila ditulis kembali menggunakan pendekatan forward difference, maka metode Euler dapat ditulis menjadi Persamaan 9.2

′ ≈ +ℎ +  ℎ , 

Seringkali Persamaan 9.2 ditulis dalam bentuk Persamaan 9.3


9.2 9.3 43

dengan h menyatakan interval waktu. Untuk memecahkan Persamaan 9.1, maka Persamaan 9.3



diselesaikan secara rekursif sampai dengan akhir interval waktu . Selain itu Persamaan 9.2 dapat dinyatakan dalam bentuk backward difference. Meskipun metode forward Euler sangat sederhana, namun kita harus hati-hati terhadap dua kemungkinan error yang muncul, pertama adalah error dalam pemotongan deret ( truncation error ) dan yang kedua adalah konstanta waktu yang berharga negatif. Hal ini bisa kita atasi dengan menggunakan nilai kecil sekali.

ℎ

yang sangat

11.2.2. Metode Runge-Kutta Orde Empat

Metode ini merupakan metode yang cukup handal dalam menyelesaikan masalah persamaan diferensial biasa. Beberapa pendahulunya seperti metode RK orde 1,2 dan 3, telah ditutupi oleh metode RK-4, karena metode ini mempunyai orde akurasi yang lebih tinggi dibandingkan yang lainnya. Metode RK-4 diturunkan melalui pendekatan integral Simpson 1/3 atau 3/8. Melalui integral Simpson 1/3 maka metode RK-4 dapat ditulis menjadi Persamaan 9.4.

 ℎ1,  1  ℎ(  2 ℎ,  2 )  ℎ(  12 ℎ,  12 )  ℎ1 ℎ,   +   6  2 2 

9.4

11.3. Percobaan

1. Diketahui PDB sebagai berikut: a. b. c.

 5exp0.2  0 0    1 0 1  10exp 0 5 dengan

dengan

dengan

   0. 1 {0.01 ;0.001 ;0.0001} Tentukan

menggunakan metode Forward Euler! Gunakan variasi


ℎ∈ 44

2. Selesaikan persoalan no. 1 untuk menentukan

0.1

menggunakan metode RK-4!

Kemudian bandingkan hasilnya dengan metode Forward Euler. 11.4. Tugas Pendahuluan

1. Turunkan formulasi error untuk masing-masing metode di atas! 2. Jelaskan mengapa nilai

ℎ    4   107

sangat berpengaruh terhadap error yang dihasilkan!

Selesaikan persamaan diferensial biasa di atas secara analitik!

11.5. Tugas Akhir

1. Pergerakan suatu sistem massa, pegas dan damper mengalami pergerakan setelah gaya aktuasi F(t) diberikan seperti gambar dibawah ini.

Jika persamaan pergerakan oleh massa ini diberikan oleh hukum Newton berupa persamaan :

̈ ̇        0  ̇0 50000 ,   50000 ≤≤1 ,   5000/0 ,  50000/ >1  1exp 1 10 ℎ∈ {0.1 ;0.01} 0! Jika

dan

gaya aktuasi sebesar

untuk

detik dan

untuk

detik. Maka

hitunglah pergerakan dari massa benda selama 10 detik ! 2.

dengan

dan


. Tentukan nilai

45

Modul – 12 Proyek 12.1.

Tujuan

Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah dalam fisika melalui pendekatan solusi numerik. 12.2.

Percobaan

Buatlah program numerik yang dapat menyelesaikan permasalahan fisika. Percobaan pada modul ini dilakukan dalam dua pertemuan. Permasalahan yang diajukan akan dipresentasikan di hadapan asisten pada pertemuan pertama. Jika tidak disetujui maka praktikan perlu mencari topik baru untuk dijadikan kajian pada proyek ini dan dipresentasikan pada waktu yang disepakati. Jika telah disetujui maka praktikan akan membuat program dan program yang telah dibuat akan dipresentasikan pada pertemuan kedua. Proyek ini dikerjakan secara berkelompok yang diatur oleh asisten. Masalah yang diajukan harus menggunakan metode numerik yang telah diajarkan selama kuliah/praktikum dan TIDAK BOLEH SAMA antara satu kelompok dengan kelompok lainnya. Laporan proyek dikumpulkan pada pertemuan ketiga dengan sistematika sebagai berikut : 1. Pendahuluan 1.1.Latar Belakang 1.2.Rumusan Masalah 1.3.Tujuan 2. Teori Dasar 1.1.Tinjauan pustaka secara fisika 1.2.Tinjauan pustaka secara metode numerik 2. Deskripsi program 3. Flowchart 4. Pembahasan (program, tampilan, analisa) 5. Kesimpulan 6. Daftar Pustaka


46

3736_Diktat Algoritma dan Komputasi Numerik Matlab 2019.pdf

Recommend Documents