RESUME “GALAT”
Disusun Oleh : Nama
: YOGIE MUHARMAN LUBIS
Nim
: 150203011
Mata Kuliah
: FISIKA KOMPUTASI 1
Dosen Pengampu
: YULIA FITRI, M.Si
PROGRAM STUDI FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA ILMU PENGETAHUAN DAN KESEHATAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH RIAU PEKANBARU 2017
GALAT DALAM KOMPUTASI NUMERIK Komputasi numerik merupakan suatu pendekatan penyelesaian masalah matematika dengan menggunakan beberapa metode numerik. Metode numerik adalah suatu metode untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika dengan menggunakan sekumpulan operasi aritmatika sederhana dan operasi logika pada sekumpulan bilangan atau data numerik yang diberikan. Operasi-operasi tersebut biasanya merupakan operasi-operasi yang dapat dilakukan oleh komputer. Metode komputasi yang digunakan disebut algoritma . Komputasi numerik menjadi sangat penting, khususnya dalam kaitannya dengan meningkatnya peranan metode-metode matematika dalam berbagai bidang sains dan teknologi serta hadirnya teknologi pendukung berupa komputer berkemampuan tinggi. Apabila dalam suatu proses mungkin memerlukan puluhan sampai jutaan operasi tergantung pada kompleksitas masalah yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang diinginkan,metode yang dipakai,dan seterusnya. Apabila banyaknya operasi hitung yang diperlukan hanya berjumlah itu bisa dilakukan dengan cara manual atau kalkulator, jika penyelesaian suatu masalah memerlukan jutaan operasi hitung, maka pemakaian computer berkecepatan tinggi merupakan kebutuhan yang tidak dapat dihindari. Di sinilah kemajuan teknologi computer memegang peranan penting dalam komputasi numerik. Pentingnya galat (kesalahan) telah diperkenalkan dalam pembahasan tentang penerjun payung. Ingat kembali bahwa kecepatan jatuh penerjun yang ditentukan dengan metode analitis maupun numerik. Walaupun teknik numerik menghasilkan taksiran yang dekat ke penyelesaian analitis yang eksak, tetapi terdapat ketidakcocokan atau galat disebabkan oleh kenyataan bahwa metode numerik melibatkan suatu hampiran (aproksimasi). Penyelessaian analitis mampu menghitung galat dengan tepat. Sering terjadi pada soal-soal teknik terapan penyelsaian analitis
tidak tercapai. Sehingga galat di dalam metode numerik tidak dapat dihitung dengan tepat. Dalam hal ini kita harus menetapkan hampiran atau taksiran dari galat.
Contoh 1.1 Hitunglah
√ 2 sampai empat angka decimal.
Penyelesaian : Terdapat lebih daipada satu algoritma, yang hanya menggunakan empat operasi aritmatika dasar (penjumlahan/pengurangan dan perkalian/pembagian). Salah satunya yang cukup popular adalah
1 + − , untuk 2,3,4
1
Dengan menggunakan algoritma diatas kita peroleh, untuk
,
,
2,3,4
+ + ,
atau,dalam bentuk pecahan decimal
1,5000000 , 1,4166667,
1,4142157 , 1,4142136
Jadi, hampiran sampai empat angka decimal untuk
√ 2 adalah 1,4142.
1.1 Definisi Galat Galat numerik timbul dari penggunaan hampiran (aproksimasi) untuk menyatakan operasi dan besaran matematis yang eksak. Ini mencakup galat pemotongan (truncation errors) akan terjadi jika aproksimasi digunakan untuk menyatakan suatu prosedur matematis, dan galat pembulatan, yang akan terjadi jika bilangan aproksimasi digunakan untuk menyatakan bilangan eksak. Untuk kedua jenis galat tersebut, hubungan antara hasil yang eksak, atau yang sejati, dan aproksimasinya dapat diumuskan sebagai
̅
Misalkan adalah suatu nilai hampiran numerik untuk nilai numerik eksak , yang tidak diketahui. Nilai
̅ ̅ (1.5) Disebut galat,
| ̅ | disebut galat mutlak, dan nilai
̅ | ̅ |− (1.6) Asalkan
≠ 0 disebut galat relatif. Oleh karena nilai biasanya tidak
diketahui,dalam perhitungan, penyebut pada galat relatif sering menggunakan hampiran,yakni
̅ | ̅ ≈ |− (1.7) Dengan kata lain,
ℎ + Dan
Nilai-nilai
∗ ̅ dan ∗ ̅ yang sudah diketahui, dan memenuhi
| ̅ | ≤ ∗ ̅
dan
| ̅ | ≤ ∗ ̅
Disebut berturut-turut batas galat mutlak dan batas galat relatif, dan jika
≠ 0 , hubungan keduanya didefenisikan sebagai ∗ ̅ || (1.8)
Contoh 1.1 Hampiran yang sering dipakai adalah hampiran terhdapa nilai-nilai
√ 2 dan ;
√ 2 1.414214 + , 3.1415926536 + . Galat relatif pada nilai hampiran
1.414 untuk nilai √ 2 sekitar
. 0.0002 1.414 0.00014 Sedangkan hampiran yang lebih besar kasar Hampiran lain yang cukup terkenal adalah
1.41 mempunyai galat relatif 0.003
≈ 3.142857. Nilai
3.1415926535…, sehingga / 0.0012644892, 0.004024994
/ −/
Contoh 1.2 Tentukan galat dan galat relatif pada nilai-nilai hampiran di bawah ini jika nilai eksaknya diketahui :
̅ 3.14 3.141592 Hampiran 999,996 1,000,000 Hampiran ̅ 0.00009 0.000012
1. Hampiran 2. 3. Jawab: 1. 2. 3.
̅ 3.141592 3.14 0.001592 dan ̅ . . ≈ 0.000507 1,000,000 999,96 4 dan ,, 0.000004 ̅ 0.000012 0.00009 0.000003 dan ̅ . . 0.25
̅ tidak terlalu besar, sehingga masingmasing dapat digunakn untuk menentukan tingkat keakuratan ̅ . Pada nomor 2, nilai y cukup besar. Sekalipun relatif besar tetapi kecil, sehingga dapat dikatakan Pada nomor 1,selisih
̅
dan
sebagai hampiran yang cukup baik untuk y. Pada nomor 3, nilai z terkecil disbanding
, meskipun galat ̅ kecil, galat relatif ̅
cukup besar, yakni
25% . Jadi, ̅
merupakan hampiran yang jelek untuk z. DEFINISI 1.2 (ANGKA SIGNIFIKAN) 1. Misalkan suatu hampiran bilangan x dinyatakan sebagai
̅ ± − … .−− … − ∑=− 10 Jika > 0 dan 0 untuk > , maka digit-digit , − ,…, − , dikatakan angka signifikan
dikatakan benar jika ̅ ≤ 10− . Misalkan adalah nilai eksak. Hampiran ̅ untuk dikatakan menghampiri sampai k angka signifikan jika bilangan bulat positif
1. Suatu digit 2.
terbesar yang memenuhi
| | |− ̅| < . || || Contoh 1.1
25.047memiliki 5 angka signifikan Bilangan 0.00250 memiliki 3angka signifikan, yakni 2,5,0 Bilangan 0.00068 memiliki angka signifikan, yakni 6 dan 8. Bilangan 0.100068 memiliki angka signifikan.
1. Bilangan 2. 3. 4.
̅ | −. Jadi, 3.141592 dan ̅ 3.14 , maka |− 0.000507 ≈ 10 ̅ menghampiri sampai 3 angka signifikan. |− ̅| 0,25 < 10−/ Jika 1000000 dihampiri oleh 999996 , maka jadi, hampiran ̅ tidak memiliki angka signifikan.
5. Jika
6.
Jadi, galat mutlak suatu nilai hampiran seutuhn ya ditentukan oleh cacah digit benar di sebelah kanan titik pecahan, sedangkan galat relatifnya ditentukan oleh cacat digit signifikan.
1.2 Galat Pembulatan ( Rounding Off Error) Pembulatan bilangan sering dilakukan di dalam proses komputasi. Cara pembulatan dilakukan suatu nilai hampiran menggunakan aturan sebagai berikut. ● jika digit pertama yang dibuang kurang dari 5 digit, digit kedepannya tidak berubah ● jika digit pertama yang dibuang lebih atau sama dengan 5, maka digit di depannya ditambah 1 nilainya.
1.3 Galat Pemotongan (Trunction Error) Galat ini biasanya merujuk galat yang disebabkan oleh penggantian eskspresi matematika yang rumit dengan rumus yang lebih sederhana. Istilah ini berawal dari kebiasaan mengganti suatu fungsi rumit dengan deret taylor terpotong (hanya diambi berhingga suku).
Contoh 1.3 1. Anda tahu bahwa deret
+ + + ⋯ konvergen ke 1. Jika hanya diambil
10 suku pertama, maka diperoleh hampiran
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1023 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 1024
Dalam hal ni terdapat galat pemotongan sebesar
2. Dari kalkulus anda tahu bahwa Misalkan diketahui
cos1.5 0.070737. jika nilai ini dihampiri dengan
mengambil 4 suku pertama deret tersebut, maka diperoleh hampiran senilai,
(1.5) (1.5) 50.534375 (1.5) 1 2! + 4! 6! 720 ≈ 0.70187 Dibulatkan sampai enam angka decimal. Galat hampiran tersebut sebesar
0.000550 0.55010−. Dan galat relatifnya senilai 0.007753 < 0.510−. Jadi, nilai hampiran tersebut benar sampai 1 angka signifikan.
