ANALISA NUMERIK Referensi: 1. Steven Steven C. Chapra, Chapra, 1988, Raymond Raymond P. Canale, Canale, Numeric Numerical al Methods Methods for Engineers Engineers , McGraw-Hi McGraw-Hill. ll. 2. Amrinsya Amrinsyah h N & Hasaball Hasaballah ah Z, 2001, Metode Metode Numerik Numerik dalam dalam Ilmu Rekayasa Rekayasa Sipil, Sipil, Penerbit Penerbit ITB, ITB, Bandung. Bandung. 3. Bambang Bambang Triatmo Triatmojo, jo, 1996, 1996, Metode Metode Numerik, Numerik, Beta Offse Offset, t, Yogyakar Yogyakarta. ta.
METODE NUMERIK: Teknik/Metode penyelesaian permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (aritmatik) dengan proses penghitungan yang berulang-ulang (iteratif). Memerlukan alat bantu komputer 1. Memerlukan pemodelan matematis dari situasi nyata. 2. Penyediaan input dan data yang cukup bagi pemodelan. 3. Pembuatan algoritma dan penulisan program Persoalan yang ada di alam: Lendutan yang terjadi pada pelat p elat lantai. (Struktur) • Gaya tekan air pada dinding kolam.(hidroteknik) • Kepadatan lalu lintas di suatu titik jalan.(Transportasi) • Gaya tekan tanah pada didnding turap.(Geoteknik) • SISTEM ANGKA DAN KESALAHAN
Dalam keseharian, angka digunakan berdasarkan sistem desimal. Misalnya 369 dapat dinyatakan: 369 =3*100 + 6*10+9*1 = 3*102 + 5*101 +7*100 Angka 10 disebut basis sistem. Setiap angka bulat dapat dinyatakan sebagai suatu polinomial po linomial basis 10 dengan koefisien integral antara 0 dan 9. Digunakan notasi: N =(anan-1 .... a0)10=an10n + an10n-1 + . . . . +a 0100 untuk menyatakan setiap angka bulat dalam basis 10. Komputer membaca angka berdasarkan impuls listrik mati-hidup (on dan off ). ). Pada Pada komput komputer er impuls impuls ini menyat menyataka akan n angka angka berdas berdasark arkan an siste sistem m binari binari;; yaitu yaitu sistem sistem berbasis 2 dengan koefisien bilangan bulat 0 atau 1. Suatu bilangan bulat bukan negatif dalam sistem binari adalah: N =(anan-1 .... a0)2=an2n + a n2n-1 + . . . . +a020 hal mana koefisien ak adalah 0 atau 1. N merupakan merupakan polinomial berbasis berbasis 2. Komputer Komputer menggunakan menggunakan unit dasar bit menyimpan data pada memori. Bit adalah singkatan binary digit. Bit ini hanya bisa nyala (on (on)) atau mati (off (off ). ). Untuk mesin dengan 32 bit, kombinasi biner nyala (1) dan mati (0) disusun sebanyak 32 pada satu baris lokasi memori. Dengan demikian angka 369 dalam sistem binari. Notasi Nyala/padam Koef. Pangkat Bil. Dasar 2
0 o 16 20
0 o 15 20
0 o 14 20
0 o 13 20
0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 o o o � o � � � o o � 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 9 8 7 6 2 2 2 2 2 2 25 24 23 22 21 20
369 = 1*28 +0*27+1*26+1*25+1*24+0*23+0*22 +0*21+1*20 =256+0+64+32+16+0+0+0+1 369 = (101110001)2 Konversi bilangan bulat berbasis � kepada berbasis 10 dapat secara langsung dilakukan dengan menggunakan algoritma dengan koefisien: an , an-1 , an-2. . . . ,a2 , a1, ao P(x)= anXn + an-1Xn-1 + . . . . + a2X2 +a1X +a0 Dan suatu bilangan �, maka perhitungan bilangan: bn , bn-1 , bn-2. . . . ,b2 , b1, bo bn = an bn-1 = an-1+ bn.� bn-2= an-2 +bn-1.� bn-3= an-3+ bn-2.� . . . bo =a0+b1.�
dengan demikian bo =p(�) -> hasil akhir hasil akhir contoh: (1101)2 b3=1 b2=1+1*2=3 b1=0+3*2=6 b0= 1+6*2=13 jadi bilangan (1101)2 =13 contoh (10001)2 b4=1 b3=0+1*2=2 b2=0+2*2=4 b1=0+4*2=8 b0= 1+8*2=17 jadi bilangan (10001)2 =17 Konversi Bilangan Bulat Desimal Ke Sistem Bilangan Biner Ada beberapa metode untuk un tuk mengkonversikan dari sistem bilangan desimal ke sistem bilangan biner. Metode yang pertama dan paling banyak digunakan adalah d engan cara membagi nilai 2 dan sisa setiap pembagian merupakan digit biner dari bilangan biner hasil konversi. Metode ini disebut metode sisa (remainder (remainder method ). ). Contoh : 45 = ��2 maka : 45 : 2 = 22 + sisa 1 22 : 2 = 11 + sisa 0 11 : 2 = 5 + sisa 1 5 : 2 = 2 + sisa 1 2 : 2 = 1 + sisa 0 1 0 1 1 0 1 maka bilangan desimal 45 dalam sistem bilangan biner bernilai 101101
125 : 2 = 62 + sisa 1 62 : 2 = 31 + sisa 0 31: 2 = 15 + sisa 1 15: 2 = 7 + sisa 1 7 : 2 = 3 + sisa 1 3: 2 = 1 + sisa 1 Maka bilangan desimal 125 dalam bentuk bilangan biner adalah 1111101. KESALAHAN (ERROR)
Sumber Kesalahan: Bawaan data, • Pembulatan (rounding), dan • Pemotongan (chopping) • Bawaan data Kekeliruan dalam memberikan data Kesalahan dalam asumsi terhadap data Pembulatan (rounding) Penentuan jumlah angka di belakang koma Misal bilangan 0.6123467 -> sebanyak 7 digit Menjadi 0.612347 -> 6 digit karena pembatasan alokasi digit bilangan Angka signifikan 1. Merupakan angka 1 s/d 9. 2. Angka 0 dibelakang koma sebelum ada angka 1 s/d 9 di abaikan
Contoh 0.0005813 ada 4 angka signifikan 0.700124 ada 6 angka signifikan
dengan demikian bo =p(�) -> hasil akhir hasil akhir contoh: (1101)2 b3=1 b2=1+1*2=3 b1=0+3*2=6 b0= 1+6*2=13 jadi bilangan (1101)2 =13 contoh (10001)2 b4=1 b3=0+1*2=2 b2=0+2*2=4 b1=0+4*2=8 b0= 1+8*2=17 jadi bilangan (10001)2 =17 Konversi Bilangan Bulat Desimal Ke Sistem Bilangan Biner Ada beberapa metode untuk un tuk mengkonversikan dari sistem bilangan desimal ke sistem bilangan biner. Metode yang pertama dan paling banyak digunakan adalah d engan cara membagi nilai 2 dan sisa setiap pembagian merupakan digit biner dari bilangan biner hasil konversi. Metode ini disebut metode sisa (remainder (remainder method ). ). Contoh : 45 = ��2 maka : 45 : 2 = 22 + sisa 1 22 : 2 = 11 + sisa 0 11 : 2 = 5 + sisa 1 5 : 2 = 2 + sisa 1 2 : 2 = 1 + sisa 0 1 0 1 1 0 1 maka bilangan desimal 45 dalam sistem bilangan biner bernilai 101101
125 : 2 = 62 + sisa 1 62 : 2 = 31 + sisa 0 31: 2 = 15 + sisa 1 15: 2 = 7 + sisa 1 7 : 2 = 3 + sisa 1 3: 2 = 1 + sisa 1 Maka bilangan desimal 125 dalam bentuk bilangan biner adalah 1111101. KESALAHAN (ERROR)
Sumber Kesalahan: Bawaan data, • Pembulatan (rounding), dan • Pemotongan (chopping) • Bawaan data Kekeliruan dalam memberikan data Kesalahan dalam asumsi terhadap data Pembulatan (rounding) Penentuan jumlah angka di belakang koma Misal bilangan 0.6123467 -> sebanyak 7 digit Menjadi 0.612347 -> 6 digit karena pembatasan alokasi digit bilangan Angka signifikan 1. Merupakan angka 1 s/d 9. 2. Angka 0 dibelakang koma sebelum ada angka 1 s/d 9 di abaikan
Contoh 0.0005813 ada 4 angka signifikan 0.700124 ada 6 angka signifikan
Pemotongan (chopping) Pada angka pecahan nilai diambil sebagai angka pecahan yang dinormalisir (mis. 543.8 menjadi 0.5438(103)
Contoh: pemotongan : X=2/3; maka jika x=0.67 merupakan pembulatan, jika x=0.66 merupakan pemotongan. Kesalahan Mutlak: Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran, atau perhitungan adalah perbedaan numerik nilai sesungguhnya terhadap nilaii pendekatan yang diberikan, atau yang diperoleh dari hasil perhitungan atau pengukuran. Kesalahan(Error)= Nilai Eksak - Nilai Perkiraan
Ee=P - P* Dimana Ee : Kesalahan Absolut P : Nilai eksak P* : Nilai Perkiraan Kesalahan Relatif: Kesalahan relatif adalah kesalahan mutlak dibagi terhadap nilai eksak
ξe= Ee/P atau ξe= (P - P*)/P Dimana ξe : Kesalahan relatif terhadap nilai eksak Ee : Kesalahan Absolut P : Nilai eksak P*: Nilai Perkiraan Prosentase Kesalahan Prosentase kesalahan adalah 100 kali k ali kesalahan relatif. ξa=(/p*)100% dimana: ξ:kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaik P*: nilai perkiraan terbaik Dalam operasi numerik: ξa=((P*n+1-P*n)/(P*n+1))100% P*n: nilai perkiraan pada iterasi ke - n P*n+1: nilai perkiraan pada iterasi ke - n+1 Kecermatan dari suatu pengukuran atau hasil perhitungan dengan angka signifikan dari bilangan. Misalnya -pengukuran diameter 32 mm tulangan -pengukuran 1.60 km jalan tulangan baja diukur pada nilai terdekat pada satuan mm. Kesalahan mutlak dari pengukuran diameter tulangan baja 0.05 mm. pengukuran 1.60 km jalan diukur terhadap nilai terdekat cm, dengan kesalahan mutlak 0.5 cm kesalahan relatif yang terjadi: pada baja tulangan pada jalan = Latihan Konversikan bilangan biner di bawah ke dalam desimal (111000011)2 (11010011)2 (10000011)2 AKAR PERSAMAAN (ROOT FINDING) Referensi: - Steven C. Chapra, 1988, Raymond P. Canale, Numerical Numerical Methods for Engineers , McGraw-Hill. McGraw-Hill. - Amrinsyah N & Hasaballah Z, 2001, Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil, Penerbit ITB, Bandung. - Bambang Triatmojo, 1996, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta.
Definisi Akar : Suatu akar dari persamaan f(x)=0 adalah suatu nilai dari x yang bilamana nilai tersebut
dimasukkan dalam persamaan memberikan identitas 0=0 (nilai x memberikan hasil nol pada fungsi F(x)). Penentuan Akar: - f(x)=0 mempunyai paling sedikit satu akar dalam interval a=x= b jika: - f(x) kontinyu pada [a,b]. - f(a).f(b)<0, yaitu f(x) berubah tanda pada [a,b].
Gambar 1. Tinjauan Interval [a,b] dalam Penentuan Akar Fungsi F(X) METODE BISECTION
Tahap pertama proses adalah menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas segmen nilai fungsi yang dicari. Batasan a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x) untuk x = a dan x = b. Langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a).f(b) < 0. Apabila terpenuhi syarat tersebut, berarti terdapat akar fungsi dalam segmen tinjauan. Jika tidak demikian, kembali harus ditetapkan nilai a dan b sedemikian rupa sehingga terpenuhi ketentuan perkalian f(a) x f(b) < 0. Dengan rumusan m = (a+b)/2 , diperiksa apakah nilai mutlak f(m) < 10 -6 (batas simpangan kesalahan). Jika benar, nilai x = m adalah solusi yang dicari. Jika tidak terpenuhi, ditetapkan batasan baru dengan mengganti nilai b = m apabila f(a)*f(m) < 0 , dan mengganti a = m bila f(a) x f(m) > 0; proses menemukan m baru dilakukan seperti prosedur yang telah dijelaskan.
Gambar 2. Penentuan nilai tengah m interval metode Bisection Algoritma program untuk metode Bisection: 1. Tentukan a, b, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. 2. Periksa apakah f(a).f(b) > 0; jika ya, keluar dari progam karena pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan. 3. Hitung nilai m = (a+b)/2. 4. Jika nilai mutlak (b-a) < toleransi, tuliskan m sebagai hasil perhitungan, dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. 5. Jikajumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. 6. Jika f(a) x f(m) < 0, maka b = m; jika tidak, a = m. 7. Kembali ke langkah (c). Contoh: Persamaan, f(x) = xx-5. cari akarnya:
a 2
f(a) -1
2
m
f(m)
2.5
4.8821
-1 2.25
2
b 3
F(b) 22
2.5
4.8821
2.25
1.2003
2.25
1.2003
1.2003
-1 2.125 -0.0382
2.125 -0.0382 Kelebihan: Konvergen • Mudah untuk dibuat program • Tingkat kesalahan kecil • Kekurangan: Konvergensi bersifat linier • Menghasilkan satu akar saja dalam perhitungan • Lambat dalam proses perhitungan. • METODE REGULA FALSI atau INTERPOLASI LINIER
algoritmanya sama seperti metode Bisection, kecuali mengganti penentuan m dengan rumusan :
Gambar 4. Penentuan nilai m dari perpotongan garis lurus melalui dua titik. Proses dengan cara ini memberikan perhitungan yang lebih cepat dibandingkan dengan metode Bisection. Pada algoritma, proses memang dihentikan jika dicapai nilai mutlak f(m)<10-6. Algoritma: a). Tentukan a, b, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. b). Periksa apakah f(a) x f(b) > 0; jika ya, keluar dari progam karena pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan. c). Hitung nilai :
d). Jika nilai mutlak (m-a) < toleransi, tuliskan m sebagai hasil perhitungan, dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. Contoh : cari akar persamaan f (x) = x3-x2 -1 Dengan nilai awal =0 dan b=2 a f(a) m f(m) b F(b) a
f(a)
m
f(m)
0 -1
2 3 0.5
0.5 -1.125
b F(b)
-1.125 23
0.90909091 0.909
-1.07513148
23 1.19690265
1.197
2 3 -0.356636546
-0.356636546
23 1.42082993
1.352
-0.717921989
-0.717921989 1.35197886
1.352
-1.07513148
-0.150446331
-0.356636546
23 1.42082993
-0.150446331
Gambar 6. Kurva hasil perhitungan dengan Regula Falsi. METODE NEWTON-RAPHSON
Metode yang lebih baik dalam memilih g'(x) adalah dengan membuat garis singgung dari f(x) untuk nilai x yang dipilih, dan dengan menggunakan besaran x dari perpotongan garis singgung terhadap absis sehingga diperoleh nilai x baru. Metode ini diperlihatkan pada gambar berikut.
Gambar 7. Garis singgung f(xk) memotong di xk+i. Dari diagram ini terlihat tangensial (garis singgung) f(x) adalah :
atau
sehingga
dimana k=0, 1, 2, 3,
… Metode ini dikenal dengan METODE NEWTON-RAPHSON dan merupakan salah satu cara yang paling dikenal dalam metode penyelesaian fungsi f(x) = 0. Keuntungan cara ini adalah sifat
konvergensi kuadratik dalam proses iterasi, karena terjadinya koreksi digit ganda di setiap proses. Algoritma program untuk metode Newton-Raphson: 1. Tentukan Xo, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. 2. Hitung Xbaru = x - f'(x0)/f(X0). 3. Jika nilai mutlak (X baru - X0) < toleransi, diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil perhitungan; 4. jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. 5. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. 6. X = X baru, dan kembali ke langkah (b). Kekurangan metode ini adalah : - Harus mencari f(x), dan nilainya mungkin 0. - Tidaklah sederhana melacak proses untuk konvergen. - Dalam perhitungan ada kemungkinan besar proses memberikan hasil divergen, kecuali nilai perkiraan awal x cukup tepat. Contoh f(x) = x3 - 3x - 20, maka f1(x) = 3x2- 3 Dengan demikian x k+1 = xk - (x3k - 3xk - 20) / (3x2k - 3). Perkiraan awal xo = 5 Maka: f(5)=53-3.(5)-20 =90 f'(5)=3(5)2-3 =72 xbaru=5-(90/72)=3.75 iterasi Xk
Xk+1
f(xk )
f'(xk )
F(xk+1)
1
5
3.75
90
72
21.484375
2
3.75
3.201754 21.48438 39.1875
3
3.201754 3.085854 3.216661 27.75369344 0.127469447
4
3.085854 3.080868 0.127469 25.5674865
5
3.080868 3.080859 0.00023
3.216661132 0.000229985
25.47525192 7.53268E-10
METODE SECANT
Merupakan perbaikan dari kekurangan yang dimiliki oleh metode newton, yaitu nilai turunan f'(x) didekati dengan beda hingga (∆)
gambar 9. Penentuan nilai turunan fungsi dengan metode Secant. Dimana
Sehingga dalam persamaan Newton-Rhapson menjadi:
Algoritma program untuk metode Secant: 1. Tentukan X0, X1 , toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. 2. Hitung X baru = X1 - f(X1)( X1- X0)/f(X1 - X0). 3. Jika nilai mutlak (X baru - X1) < toleransi, diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil perhitungan;
4. jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. 5. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. 6. X = X baru, dan kembali ke langkah (b). Contoh: f(x) = x3 - 3x - 20, Perkiraan awal X1=6 ' f(6)=178 X2 = 2 ' f(2)=-18 iterasi pertama: x3= x3=178-6 =2.3673469 iterasi kedua: X2 = 2 ' f(2)=-18 x3=2.3673469' f(2.3673469)= -13.83464426 x4= 2.3673469--13.83464426 =3.587438053 iterasi X1
X2
X3
f(x1)
f'(x2)
F(x3)
1
6
2
2.367346900 178
-18
13.83464426
2
2
2.367346900 3.587438053 -18
3
2.367346900 3.587438053 2.944590049 -13.83464426 15.40697963
4
3.587438053 2.944590049 3.058058742 15.40697963 -3.302376572 0.576057128
5
2.944590049 3.058058742 3.082034087 -3.302376572 -0.576057128 0.029936467
5
3.058058742 3.082034087 3.080849690 -0.576057128 0.029936467 0.000248906
5
-1.06044E3.082034087 3.080849690 3.080859456 0.029936467 -0.000248906 07
-13.83464426 15.40697963 3.302376572
METODE ITERASI merupakan Metode perkiraan awal untuk satu variabel. Dalam hal ini fnngsi f(x) ditulis sebagai: f(x) = x - g(x) = 0, sehingga λ= g(λ), kemudian Xk+1 = g(Xk ), k= 0,1,2,... Untuk mendapatkan akar persamaan x3 - 3x - 20 = 0, langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah persamaan dalam bentuk f(x) = x - g(x). Perubahan ini dapat dilakukan melalui empat cara: (i). x-(3x+20)1/3 =0 (ii).x-(x3 -20)/3 =0 (iii).x-20/(x2 -3) =0 (iv).x-(3+20/x)1/2 =0 Dengan menggunakan bentuk pertama dapat dinyatakan rumusan : Xk+i=(3xk +20)1/3 , k= 0,1,2,.... dan dengan perkiraan awal xo = 5, diperoleh x0 =5 X1 =(3*5+20)1/3 =3.2771 X2 = (3 * 3.2771 + 20)1/3 = 3.1008 X3 =3.0830 X4 =3.0811 ; x6 =3.0809 Xs = 3.0809 ; X7 = 3.0809
gambar 10. Geometri f(x) = x - g(x) = 0 Terlihat mudah mendapatkan akar persamaan dengan proses tersebut, bila dipahami benar perilaku fungsi. Jika diamati tiga cara penulisan f(x) sebagai x - g(x): (ii). x-(x3 -20)/3 =0 (iii). x-20/(x2 -3) =0 (iv). x - (3 + 20/x)1/2= 0, dan menggunakan perkiraan awal X0 = 5, maka seri besaran Xk, k = 0, 1, 2, ..., memberikan hasil seperti tercantum dalam Tabel k Cara ii Cara iii Cara iV 0555 1 35 0.9091 2.6458 2 14285 -9.2015 3.2495 3 (tidak banyak manfaatnya untuk dilanjutkan) 3.0257 4 3.1 5 3.0743 6 3.0831 7 3.0801 8 3.0811 9 3.0808 Dari contoh hitungan dapat dilihat bahwa cara iterasi tidak selalu dapat digunakan. Guna mengetahui pada awal proses bahwa metode ini dapat dipakai, perlu diperiksa bentuk fungsi. Sajian grafik bentuk fungsi cara ii - iv adalah seperti pada Gambar berikut
Gambar 11. Sajian fungsi y = g(x) cara (iii) dan (iv) Dengan meneliti grafik tampak bahwa bagi cara ii dan iii, garis singgung y = g(x) lebih tajam daripada garis singgung y = x dekat nilai akar; sedangkan pada cara i dan cara iv, garis singgung y = g(x) tidaklah setajam garis singgung y = x dekat nilai x = 3. ini berarti nilai absolut g'(x) < 1 di dekat nilai akar. Dengan demikian, konvergensi dari solusi metode iterasi dapat dilacak dari perilaku turunan pertama fungsi. Perhatikan gambar berikut. Turunan fungsi g(x) berada pada
nilai 0 < g'(x) < 1 untuk jaminan hasil iterasi konvergen.
Gambar 12. Turunan fungsi g'(x) < 1 = y' = 1. Algoritma program dengan metode Iterasi a). Tentukan X0, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. b). Hitung X baru= g(X0). c). Jika nilai mutlak (X baru - X0) < toleransi, diperoleh tulisan x baru sebagai hasil perhitungan;jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. d). Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. e). X0 = X baru, dan kembali ke langkah (b). Contoh penerapan dalam bidang teknik sipil 1. Frekuensi alami dan getaran balok uniform yang terjepit pada salah satu ujungnya dan bebas pada ujungnya yang lain dapat dicari dan persamaan berikut: cos(ßl).cosh(ßl)+1=0 ß= ρω2/El l=panjang elemen balok = 1 meter ρ= berat jenis elemen balok = 2.4 x 104 ω= frekuensi pribadi balok (sec-1) El = kekakuan lentur balok= 2.5 x 106 Tetapkan nilai ß dari persamaan dengan l=1 meter, Sehingga: cos(ß).cosh(ß)+1=0 kemudian ganti ß dengan variabel bebas x Sehingga: cos(x).cosh(x)+1=0 sebagai persamaan umum yang akan dicari akarnya. dan seterusnya
CURVE FITTING (PENCOCOKAN KURVA) Referensi: 1. Steven C. Chapra, 1988, Raymond P. Canale, Numerical Methods for Engineers , McGrawHill. 2. Amrinsyah N & Hasaballah Z, 2001, Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil, Penerbit ITB, Bandung. 3. Bambang Triatmojo, 1996, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta. Problem: Data dijumpai dalam bentuk sekumpulan nilai (berupa angka dalam tabel). Kita perlu : - Mencari bentuk kurva yang dapat mewakili data diskret tersebut, - Mencari nilai data pada titik-titik diantara nilai-nilai yang diketahui. Metode ini dikenal sebagai Curve Fitting (pencocokan Kurva) Dua metode pendekatan yang didasarkan pada jumlah kesalahan yang terjadi pada data. - Regresi kuadrat terkecil ( least square method ): Apabila data menunjukkan kesalahan cukup besar - Interpolasi : Apabila data yang diketahui cukup benar ANALISIS REGRESI
Proses penentuan suatu fungsi dekatan menggambarkan kecenderungan data dengan simpangan nunimum antara nilai fungsi dengan data, disebut regresi.
Contoh. Dalam percobaan benda uji tulangan baja untuk mendapatkan hubungan antara besaran gaya dan perpindahan, sehubungan dengan penentuaan sifat bahan, diperoleh data sebagai berikut. Pengamatan gaya aksial perpanjangan [ton] [mm] 7.7 10.0 18.5 23.9 28.5
2.4 3.4 7.0 11.1 19.6
Jika absis - x menyatakan perpanjangan dan ordinal , - y sebagai besaran gaya aksial, maka persamaan y = ae bx dapat merupakan fungsi kurva untuk menyatakan hubungan x dan y. Konstanta a dan b dapat ditentukan sehingga analisis kurva bagi hasil benda uji dapat diuji ketelitiannya sebagai rumusan pendekatan hubungan antara gaya dan perpanjangan. REGRESI KUADRAT TERKECIL (LEAST SQUARES METHOD)
Gambar 1. Analisis kurva data pengamatan. Metode ini berasumsi bahwa kurva terbaik yang dihasilkan adalah kurva yang mempunyai jumlah total kuadrat kesalahan minimum (least square error) dari data. Misal data :(x1,y1), (x2,y2) , ..., (xn,yn), dimana adalah variable bebas dan adalah variable terikat. pencocokan Kurva mempunyai deviasi (error) e dari setiap titik data e1=y1-f(x1), e2=y2-f(x2), ..., en=yn-f(x n). Menurut metode ini, kurva terbaik mempunyai karakteristik:
∏= (e1)2+(e2)2+…+(en)2= minimum dimana f(x) merupakan suatu polinomial pendekatan: Y= a0 + a1.x +a2.x2 + ... + an.xn Dimana: n: derajat dari polinomial yang dipergunakan maka bila: f(x)=a+ a1.x merupakan bentuk linier f(x)= a0 + a1.x +a2.x2 merupakan bentuk kurva derajat dua f(x)= a0 + a1.x +a2.x2+a3.x3 merupakan bentuk kurva derajat tiga KOEFISIEN KORELASI
Untuk mengetahui derajat kesesuaian dari persamaan yang didapat, dihitung nilai koefisien korelasi yang berbentuk:
dimana r: koefisien korelasi
Untuk perkiraan yang sempurna nilai r = 1. Apabila r = 0 perkiraan suatu fungsi sangat jelek.
Koefisien korelasi ini juga dapat digunakan u ntuk memilih suatu persamaan dari beberapa alternatif yang ada, terutama di dalam regresi garis tidak lurus. REGRESI LINIER
Metode ini memakai Suatu garis lurus y=a+ b.x Untuk menentukan harga pendekatan terhadap sekumpulan data: (x1,y1), (x2,y2) , ..., (xn,yn) dimana n≥2 Mempunyai kuadrat kesalahan:
∏= dimana a dan b adalah koefisien yang tidak diketahui, sedangkan semua dan sudah ada. Untuk memperoleh kesalahan kuadrat terkecil maka koefisien a dan b harus menghasilkan turunan pertama NOL. (I) (III) dari persamaan sebelah (II kiri maka (IV) ) akan dihasilkan : Selanjutnya dari (III): n.a + ∑ xi b = ∑ yi a = 1/n (∑ yi - ∑ xi b) atau selanjutnya a dan b dapat ditentukan dengan cara substitusi dari persamaan (IV):
contoh. Sebuah studi yang dilakukan untuk menentukan lebar jalur yang aman untuk pengendara sepeda serta jaraknya dari lalu-lintas kendaraan umum. Data ya ng dikumpulkan dari sebelas jalan adalah : Lebar jalur sepeda x(ft)
Jarak dari lalulintas
5
4
10
8
7
5
7.5
8
7
6
6
6
10
10
9
10
5.54
5
15
7
Pertanyaan: Gambarkan kurva dari data dan dari hasil persamaan regresi linear dalam satu grafik. Jika jarak minimum jalur sepeda dari lalu-lintas umum adalah 6 ft, berapak ah lebar jalur sepeda yang aman. NO
X
Y
X.Y
X2
1
5
4
20
25
2
10
8
80
100
3
7
5
35
49
4
7.5
8
60
56.25
5
7
6
42
49
6
6
6
36
36
7
10
10
100
100
8
9
10
90
81
9
5.54
5
27.7
30.6916
10
15
7
105
225
jumlah
82.04
69
595.7
751.9416
b=296.24/788.8544= 0.3755 a= =6.9-0.3755x8.204=3.819398 persamaan garis: y= 3.819398+ 0.3755X untuk y=6 ft maka x=5.807195739
gambar 01. kurva hasil regresi LINIERISASI KURVA TIDAK LINIER
Data tidak cocok untuk linier
Garis Lengkung lebih cocok
Untuk itu perlu dilakukan pendekatan, Yaitu dengan dua cara: FUNGSI EKSPONENSIAL
Diberikan dalam bentuk: Y= a.ebx
dimana a dan b adalah konstanta, Persamaan tersebut menjadi Ln y = ln a + ln e . b.x ; karena ln e= 1, maka: Ln y = ln a + b.x
PERSAMAAN BERPANGKAT
Diberikan dalam bentuk: Y= a.xb
Dimana a dan b adalah konstanta Persamaan tersebut menjadi Log y = log a + b. log x
ALGORITMA: Transformasi Log Transformasi Ln 1. Persamaan yang dicari Y= a.x b 1. Persamaan yang dicari Y= a.e bx 2. Transformasi dengan Log: Log y = log a + 2. Transformasi dengan Ln: Ln y = ln a + b. x b.log x 3. Dilakukan transformasi : 3. Dilakukan transformasi : p= ln y A= ln a p= log y A= log a q=x B= b q=log x B= b 4. Persamaan sementara diubah menjadi: p= A + 4. Persamaan sementara diubah menjadi: p= A + B .q B .q 5. nilai A dan B dicari dengan menggunakan 5. nilai A dan B dicari dengan menggunakan rumus regresi linier biasa rumus regresi linier biasa 6. setelah A dan B ketemu persamaan 6. setelah A dan B ketemu persamaan dikembalikan lagi ke : dikembalikan lagi ke : Y= a.e bx Y= a.x b
contoh : suatu test pembebanan
Pengamatan gaya Pengamatan aksial [ton] perpanjangan [mm] 7.7 10.0 18.5 23.9
2.4 3.4 7.0 11.1
28.5
19.6
Maka: NO X
Y
Q=X P=ln(y)
Q2
PxQ
1
7.7
2.4
7.7
0.875469
59.29
6.7411113
2
10
3.4
10
1.223775
100
12.23775
3
18.5 7
18.5
1.94591
342.25 35.999335
4
23.9 11.1 23.9
2.406945
571.21 57.5259855
5
28.5 19.6 28.5
2.97553
812.25 84.802605
9.427629
1885
jumlah
88.6
rerata
17.72 1.8855258
197.306787
B= =(986.533934-835.2879294)/( 9425-7849.96)= 151.2460046/1575.04=0.09602677 A= Persamaan yang dicari adalah b=B=0.09602677 karena: A=ln(a)--> maka 0.183931416=ln(a) a=1.20193 sehingga persamaan: Y= a.ebx --> Y=1.20193.e 0.09602677.x
Gambar Fungsi linear pada skala logaritma. x
Ydata
0.0
Y hitungan 1.201934
7.7
2.4
2.517681
10.0
3.4
3.139928
18.5
7.0
7.102364
23.9
11.1
11.929000
28.5
19.6
18.554190
Gambar. Data dan fungsi eksponensial pada skala linear Jika persoalan di atas dijadikan transformasi dengan logaritma: 1. buat tabel untuk melakukan perhitungan komponen-komponennya. NO X Y Q=log(X) P=log(Y) Q2 PxQ
2. B=
, setelah B diketemukan masukkan dalam persamaan
3. sehingga , 4. B=b 5. karena A=log(a), maka nilai a dapat dicari. 6. Kemudian masukkan dalam persamaan Y= a.x b REGRESI POLINOMIAL
Persamaan polinomial order n adalah: Y= a0 + a1.x +a2.x2 + ... + an.xn Mempunyai kuadrat kesalahan:
. .
persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk:
kemudian selesaikan persamaan linier diatas untuk mendapatkan a0, a1, a2, ..., an. contoh misal untuk polinomial orde 2 : maka persamaan kurva yang dicari akan menjadi seperti dibawah ini y=a+b.x+c.x2 Mempunyai kuadrat kesalahan:
turunan pertama dari masing-masing koefisien :
sehingga menjadi persamaan linier dibawah ini
koefisien a, b, dan c dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan linier di bawah ini (karena matrik berbentuk simetris, maka penggunaan dekomposisi matrik cholesky sangat membantu).
setelah nilai a, b dan c diketahui, masukkan dalam persamaan: y=a+b.x+c.x2 INTERPOLASI
Referensi: - Steven C. Chapra, 1988, Raymond P. Canale, Numerical Methods for Engineers , McGrawHill. - Amrinsyah N & Hasaballah Z, 2001, Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil, Penerbit ITB, Bandung. - Bambang Triatmojo, 1996, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta. PENDAHULUAN
Untuk memperkirakan nilai (tengah) di antara titik-titik dari satu set nilai yang sudah diketahui. Dalam arti yang lebih luas, interpolasi merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan analitiknya. Apabila y = f(x) adalah suatu fungsi dengan nilai-nilai: y0
untuk
x0
y1
x1
y2
x2
:
:
yn
xn
dan jika ф(x) adalah fungsi sederhana sembarang sedemikian rupa sehingga untuk variabel X0 ,X1..... Xn memberikan nilai yang sama dengan f(x), maka bila f(x) digantikan oleh ф(x) pada interval yang diketahui, hal ini disebut proses interpolasi dan fungsi ф(x) adalah rumusan interpolasi bagi fungsi. Gambar 01. posisi titik-titik data dalam (x,y)
Polinomial orde pertama Polinomial orde kedua Gambar 02. Polinomial Interpolasi
Polinomial orde ketiga
INTERPOLASI LINIER
ide dasar dari interpolasi linier: pada saat data dalam bentuk tabel tidak begitu bervariasi, sehingga memungkinkan untuk dilakukan pendekatan dengan menggunakan sebuah garis lurus di antara dua titik yang berdekatan.
Gambar 03. Interpolasi Linear Pada gambar, dua titik [x0, f(x0)] dan [x1, f(x1)] dihubungkan oleh sebuah garis lurus. Nilai X antara x0 dan x1 dapat ditentukan Dari keadaan dua segitiga sebangun ABC dan ADE seperti tampak dalam gambar di atas, terdapat hubungan berikut.
atau
sehingga
Persamaan di atas adalah rumus interpolasi linier, yang merupakan bentuk interpolasi polinomial order satu. Suku [f(x1)-f(x0)]/(x1-X0) adalah kemiringan garis yang mcnghubungkan dua titik data dan merupakan perkiraan beda hingga dari turunan pertama. Semakin kecil interval antara titik data, hasil perkiraan akan semakin baik. Contoh. Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan. Kecepatan (mil/jam)
10 20 30 40 50 60
70
Jarak henti (feet)
12 21 46 65 90 111 148
Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam. Jawab. maka untuk mencari nilai x=45 maka,
=
feet
INTERPOLASI KUADRAT
Untuk memperbaiki kekurangan dari interpolasi linier (karena k urva tersebut didekati dengan garis lurus). Misal tiga titik yang berdekatan x0, x1, dan x2 , maka nilai f (x) dapat didekati dengan: f 2(x)=b0 + b1(x-x0) + b2(x-x 0)(x-x1)
Sehingga: b0 dapat dihitung dengan memasukkan nilai x=x0 f(x0)=b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) f(x0)=b0 + b1(x-x) + b2(x-x)(x-x1) b0= f(x0) b1 dapat dihitung dengan memasukkan nilai x=x1 f(x1)= f(x0) + b1(x1-x0) + b2(x-x0)(x1-x1) f(x1)= f(x0) + b1(x1-x0)
b2 dapat dihitung dengan memasukkan nilai x=x2 sehingga didapat :
contoh: Ulangi persoalan di atas dengan interpolasi kuadrat Kecepatan (mil/jam)
10 20 30 40 50 60
Jarak henti (feet)
12 21 46 65 90 111 148
jawab.
b0= f(x0)=65 ;
70
f 2(45)=65 + 2.5(45-40) + (-0.04)(45-40)(45-50) f 2(45)=65+12.5+0.1=77.6 feet BENTUK UMUM POLINOMIAL INTERPOLASI NEWTON
Bentuk umum polinomial derajat n adalah: Fn(x)= b0 + b1(x-x0) + … + bn(x-x0)(x-x1) …(x-xn-1) Dimana : b0= f(x0) b1= f[x1 , x0] b2= f[x2, x1 , x0] : bn= f[xn, xn-1 ,…, x0]
bila ditinjau dari fungsi diferensi terbagi hingga yang pertama :
Untuk orde yang kedua: secara grafis:
Contoh Soal: Ulangi persoalan di atas dengan interpolasi newton gunakan 4 data terakhir x0 x1 Kecepatan (mil/jam) Jarak henti (feet)
X2
X3
40 50 60
70
y0 y1 y2
y3
65 90
148
111
jawab.
F[x1,x0]=
F[x2,x1]=
F[x3,x2]=
F[x2,x1,x0]=
F[x3,x2,x1]= Dalam bentuk tabel iterasi
xi
f(xi) Pertama
0
40 65
1
50 90
Kedua
Ketiga
2.5
-0.02
0.001666667
2.1
0.03
2
60 111
3
70 148
3.7
Maka: b0=65 b1=2.5 b2=-0.02 b3=-0.001666667 f3 (45)=65+2.5x(45-40)+(-0.02)x(45-40)x(45-50)+0.001666667x(45-40)x(45-50)x(45-60) f3 (45)=65+12.5+0.5+0.625 f3(45)=78.625 feet INTERPOLASI LAGRANGE
Hampir sama dengan metode Newton, dapat langsung diturunkan dari metode Newton (misal kasus untuk orde pertama): dengan pembagi beda hingga:
atau
sehingga: f 1(x)= f(x0) + (x-x0).f[x1, x0] menjadi
--> polinomial Lagrange Orde Pertama Bentuk umum:
dimana: untuk derajat dua:
dimana ∏ berarti hasil perkalian dari:
untuk derajat tiga:
Contoh. Selesaikan untuk kecepatan 45 mil/jam dengan interpolasi Lagrange derajat tiga x0 x1
X2
X3
Kecepatan (mil/jam) Jarak henti (feet)
40 50 60
70
y0 y1 y2
y3
65 90
148
111
f3(45)= 7.8125+84.375-34.6875+9.25=66.75 kesimpulan : Interpolasi Lagrange tidak bagus untuk interpolasi dengan (range) selang yang besar SISTEM PERSAMAAN LINEAR (BAGIAN I)
Referensi: - Steven C. Chapra, 1988, Raymond P. Canale, Numerical Methods for Engineers , McGrawHill. - Amrinsyah N & Hasaballah Z, 2001, Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil, Penerbit ITB, Bandung. - Bambang Triatmojo, 1996, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta. - Suprajitno Munadi, 1990, Perhitungan Matriks dengan Fortran, Andi Offset, Yogyakarta. PENDAHULUAN
Sekumpulan persamaan : f1 (X1, X2, ..., Xn) = 0 f2 (X1, X2, ..., Xn) = 0 f3 (X1, X2, ..., Xn) = 0 . . f n(X1, X2, ..., Xn) = 0 memerlukan suatu cara untuk menentukan nilai-nilai X1, X2, ..., Xn Bentuk umum persamaan Aljabar linear a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn =b1 a21X1 + a22X2 + ... + a1nXn =b2 . . . am1 X1 + am2 X2 + ... + amnXn =bm dimana: a: koefisien konstanta; X: Variable ; n: jumlah variabel; b: konstanta; Dalam matrik ditulis:
JENIS MATRIK BUJUR SANGKAR ISTIMEWA
Triangular Atas :
Triangular Bawah :
Matrik Identitas :
Matrik Pita:
Matrik diagonal : OPERASI PADA MATRIK
1. Penjumlahan Rumus Umum: - A+B = B+A - (A+B)+C = A + (B+C)
Contoh:
2. Perkalian Rumus Umum: - (AB)C = A (BC) - (A+B)C = AC + BC - A(B+C) = AB + AC Contoh:
atau:
METODE ELIMINASI GAUSS
Dasar utamanya adalah menjadikan persamaan linear yang terdiri beberapa bilangan yang tidak diketahui menjadi satu bilangan tak diketahui (dengan membuat suatu matrik triangular atas) Contoh persamaan Linear :
Selanjutnya:
Selanjutnya:
Selanjutnya:
Sehingga dengan mudah bisa disimpulkan: Ringkasan dari Prosedur Eliminasi Gauss 1. Susun matrik untuk persamaan yang akan diselesaikan. 2. Gunakan operasi penjumlahan sederhana antar baris untuk memperoleh matrik triangular atas. 3. Tulis kembali baris terbaru dalam persamaan matrik. 4. Selesaikan sistim persamaan terbaru dengan cara substitusi mundur. Contoh Struktur rangka bidang sebagaimana tergambar dibebani oleh gaya sebesar 1000 kg. Hitunglah gaya dalam batang serta reaksi di perletakan
Gambar 01. Sistem struktur rangka bidang
Langkah Penyelesaian: 1. Tentukan penomoran elemen batang, titik kumpul, dan reaksi perletakan seperti pada ifigurasi sistem struktur. 2. Selesaikan dengan cara kesetimbangan gaya pada titik kumpul, gaya yang bekerja pada setiap titik 1,2, dan 3 dapat digambarkan seperti pada gambar berikut. Nodal 1: ∑Fh = -F1cos(30) + F3cos(60) = 0 ∑Fv =-F1Sin(30)-F3Sin(60)-1000=0 Nodal 3 : ∑Fh =-F2-F3cos(60)=0 ∑Fv =F3sin(60)+V3=0 Nodal 2: ∑Fh =F1cos(30)+F2+H2=0 ∑Fv =F1Sin(30)+V2=0 dalam bentuk matrik menjadi Dengan: sin (300)=0.5 cos (300)= 0.866 sin (600)=0.866 cos (600)=0.5 Dengan eliminasi gauss maka, melakukan operasi aritmatis antar baris
Langkah 1 : mengubah posisi baris R2 dan R3
Langkah 2 : melakukan operasi aritmatik dengan pivot [R1, K1]
Langkah 3 : melakukan operasi aritmatik dengan pivot [R2, K2]
Langkah 4 : melakukan operasi aritmatik dengan pivot [R3, K3]
sehingga diperoleh:
METODE GAUSS-JORDAN
bila pada eliminasi Gauss persamaan dasar diubah menjadi matriks triangulasi atas dengan menol-kan unsur matriks segitiga bawah [A], maka cara eliminasi Gauss-Jordan dilakukan pula pada bagian segitiga atas matriks. Pada akhir eliminasi, yang tinggal hanyalah suku-suku pada diagonal matriks saja. Bentuk akhir matriks gabungan setelah eliminasi dinyatakan
Langkah Penyelesaian dengan metode gauss-Jordan: 1. Tulis sistem persamaan dalam bentuk Matrik Augmentasi [system] ===> [ A | B ] 2. Ubah matrik [ A | B ] ke dalam bentuk: [ A | B ] ===> [ I | C ] dimana I adalah matrik identitas 3. ketika langkah ke-dua sudah selesai, tulis matrik [ I | C ] sebagai hasil akhir persamaan. Contoh: Sistem persamaan Linear
Langkah 1
Matrik augmentasi
Hasil
Elemen pivot
dimana baris 1angka pertama dilingkari sebagai elemen pivot
yang akan diselesaikan
Matrik di bawah adalah hasil pivot yang kedua
Di bawah adalah matrik hasil pivot ketiga
pivot pertama menjadi berikutnya adalah matrik angka 5 berikut
Operasi pada matrik
Angka 7 sebagai pivot Operasi untuk membuat yang ketiga angka -7 menjadi 1
Operasi pada matrik
Hasil pivot terakhir Matrik hasil operasi Gaussadalah sebuah matrik Jordan identitas disisi kiri
METODE INVERS MATRIK
Matrik Identitas Merupakan matrik diagonal dimana semua elemen pada diagonal utama adalah 1(satu), sedang elemen selainnya adalah 0(nol). Untuk sembarang matrik bujursangkar [A] diperoleh: [A][ I] = [I] [A] = [A] Jika Perkalian suatu matrik [A] dan [B]: [A][B]=[B][A]=[I] Maka Matrik B adalah Matrik Inversi dari A Contoh:
maka:
dalam operasi perkalian: ([A].[B])-1=[B]-1[A]-1=[I] Misal Matrik A, X dan B, dimana kita hendak mencari nilai X SISTEM PERSAMAAN LINEAR (BAGIAN II)
Referensi: - Steven C. Chapra, 1988, Raymond P. Canale, Numerical Methods for Engineers , McGrawHill. - Amrinsyah N & Hasaballah Z, 2001, Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil, Penerbit ITB, Bandung. - Bambang Triatmojo, 1996, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta. - Suprajitno Munadi, 1990, Perhitungan Matriks dengan Fortran, Andi Offset, Yogyakarta.
([A].[X])=[B] dengan menambahkan unsur invers [A]-1 maka: [A]-1.([A].[X])= [A]-1.[B] [I].[X]= [A]-1.[B] [X]= [A]-1.[B] --> sehingga nilai [X]dapat dicari untuk memperoleh matrik invers [A]-1 unsur [A] disandingkan dengan unsur matrik identitas [I]
dengan eliminasi Gauss-Jordan unsur matrik diubah menjadi
unsur elemen matrik invers [A]-1
Contoh: Tentukan hasil dari persamaan di bawah ini:
solusi: Unsur matrik [A] disandingkan dengan matrik [I] dalam satu larik
Menghasilkan:
Menghasilkan:
Menghasilkan:
Menghasilkan:
unsur diagonal dijadikan satu satuan menjadi:
sehingga invers matrik [A]-1 adalah:
chek: [A]. [A]-1=[I]
atau [A]-1.[A] =[I]
Algoritma penyelesaian perhitungan invers matriks dengan eliminasi Gauss-Jordan dengan proses pivoting: 1. Masukkan nilai matriks [A]. 2. Bentuk matriks gabungan [G] yang merupakan gabungan matriks [A] dan [I], [I] adalah matriks identitas. 3. Lakukan eliminasi untuk me-nol -kan bagian segitiga bawah dan segitiga atas matriks. Untuk setiap langkah eliminasi lakukan lebih daffluu proses pivoting un tuk mencari persamaan pivot. 4. Lakukan normalisasi sehingga semua elemen diagonal matriks sama dengan 1 (satu). DETERMINAN Definisi Misalkan A adalah matriks bujur sangkar. Fungsi determinan dinyatakan oleh Det(A), dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A. Jumlah det(A) disebut sebagai determinan A, Det(A) atau |A| Contoh.
Aturan Sarus Aturan ini hanya berlaku untuk matriks berukuran 3x3 saja
Teorema 1 Jika A adalah sebarang matriks bujur sangkar yang mengandung sebaris bilangan nol, maka |A| =0 Contoh. dengan elemen pada baris ke 3 semuanya nol, maka :
Jika A = , maka = == 4.4.0 + (-3).(-1).0 + 2.1.0 - 2.4.0 - 4(-1).0 - (-3).1.0 = 0 Teorema 2 Jika A adalah matriks segitiga, baik matriks segitiga atas maupun bawah berukuran nxn, Maka, determinan nya adalah hasil kali semua elemen diagonalnya .
Diketahui A = yang merupakan matriks segitiga bawah.
= = 2.(-1).4 + 0.0.0 + 0.2.(-3) - 0.(-1).0 - 2.0.(-3) - 0.2.4 = -8 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = -8 A adalah matriks segitiga atas sedangkan B adalah matriks segitiga bawah.
Teorema 3
Teorema 4 Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka A dapat diinverskan jika dan hanya jika det(A) 0 Sifat-Sifat Fungsi Determinan 1. det(A) = det (At ) 2. det(k A) = kn det(A) 3. det(A+B) ≠ det(A) + det(B) 4. det(AB) = det(A) det(B) SISTEM PERSAMAAN LINEAR (BAGIAN III)
Referensi: - Steven C. Chapra, 1988, Raymond P. Canale, Numerical Methods for Engineers , McGrawHill. - Amrinsyah N & Hasaballah Z, 2001, Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil, Penerbit ITB, Bandung. - Bambang Triatmojo, 1996, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta. - Suprajitno Munadi, 1990, Perhitungan Matriks dengan Fortran, Andi Offset, Yogyakarta. METODE CRAMER
Definisi Jika Ax = b adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui sehingga det (A) ? 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang tunggal. Pemecahan ini adalah: , , , dimana A j adalah matriks yang didapatkan dengan menggantikan elemen-elemen dari kolom ke-j dari A dengan elemen-elemen dari vektor b, yaitu
contoh: misal suatu persamaan
Maka determinannya adalah Untuk mencari X dibuat bentuk determinan dengan sisi kiri dan sisi kanan persamaan d i tambah kolom yang berisi selain kolom yang mengandung unsur X, sehingga menjadi :
maka:
sehingga Untuk mencari unsur yang lain (Y dan Z), maka:
ALGORITMA 1. Algoritma penyelesaian persamaan linear simultan dengan aturan Cramer: 2. Masukkan nilai matriks [A] dan {b}. 3. Hitung determinan matriks [A]. 4. Untuk i = 1 sampai n (jumlah persamaan) lakukan perhitungan sebag ai berikut Bentuk matriks [A j], yaitu matriks [A] yang kolom ke-i, gantikan dengan matriks {b}. 5. Hitung determinan matriks [Aj]. 6. Hitung Xi = |A j| / |A| METODE ITERASI ITERASI JACOBI
Iterasi Jacobi menggunakan rumusan rekursif untuk menghitung nilai pendekatan solusi persamaan. Proses iterasi dilakukan sampai dicapai suatu nilai yang konvergen dengan toleransi yang diberikan. Contoh: a11X1+a12X2+a13X3=b1 a21X1+a22X2+a23X3=b1 a31X1+a32X2+a33X3=b1 Persamaan ini dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:
dengan syarat a11, a22, a33 tidak sama dengan nol, apabila ditetapkan nilai awal x1, x2, x3 sebagai maka untuk mendapatkan pendekatan pertama dilakukan proses
Pendekatan kedua dengan nilai perhitungan dari iterasi
, mendapatkan koreksi
Untuk iterasi ke-I, perhitungan secara umum dinyatakan sebagai
Penetapan nilai variabel menurut proses ini disebut Iterasi Jacobi. Dengan nilai awal sembarang , ada kemungkinan konvergensi tercapai secara lambat, sehingga perlu ditetapkan syarat terjadinya konvergensi dalam perhitungan iterasi, yaitu :maksimum
Algoritma penyelesaian persamaan simultan dengan iterasi Jacobi: 1. Masukkan nilai matriks [A] dan (b) yang membentuk persamaan simultan linear, serta toleransi perhitungan. 2. Inisialisasi nilai x (0). 3. Hitung harga x(1) dengan rumusan iterasi Jacobi. 4. Periksa basil perhitungan; jika telah memenuhi toleransi yang diberikan cetak, nilai x(1) sebagai hasil akhir perhitungan dan hentikan program. Jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. 5. Gantikan nilai x(0) dengan x(1), dan ulangi langkah (3). Contoh. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode iterasi Jacobi. 3x+ y- z =5 4x+7y-3z=20 2x-2y+5z=10 Sistem persamaan dapat ditulis dalam bentuk: , , Langkah 1. dimasukkan nilai x=0, y=0, z=0, Maka: X(1)=(5-0+0)/3=1.66667, Y(1)=(20-0+0)/7=2.857714, Z(1)=(10-0+0)/5=2 Langkah 2. dimasukkan nilai x=1.66667, y= 2.857714, z= 2, Maka: X(2)=(5-2.857714+2)/3=1.38095, Y(2)=(20-+3x2)/7=2.76190, Z(2)=(10-2x1.66667+2x2.857714)/5=2.47619, Dalam bentuk tabel.
Iterasi X
Y
Z
X'
Y'
Z'
Pros(x) Pros(y) Pros(z)
1
0.000000 0.000000 0.000000 1.666667 2.857143 2.000000
2
1.666667 2.857143 2.000000 1.380952 2.761905 2.476190 20.69% 3.45% 19.23%
3
1.380952 2.761905 2.476190 1.571429 3.129252 2.552381 12.12% 11.74% 2.99%
4
1.571429 3.129252 2.552381 1.474376 3.053061 2.623129 6.58% 2.50% 2.70%
5
1.474376 3.053061 2.623129 1.523356 3.138840 2.631474 3.22% 2.73% 0.32%
6
1.523356 3.138840 2.631474 1.497545 3.114428 2.646194 1.72% 0.78% 0.56%
7
1.497545 3.114428 2.646194 1.510588 3.135486 2.646753 0.86% 0.67% 0.02%
8
1.510588 3.135486 2.646753 1.503756 3.128272 2.649959 0.45% 0.23% 0.12%
9
1.503756 3.128272 2.649959 1.507229 3.133551 2.649807 0.23% 0.17% 0.01%
10
1.507229 3.133551 2.649807 1.505419 3.131501 2.650529 0.12% 0.07% 0.03%
Maka X= 1.505419, Y= 3.131501, Z= 2.650529 ITERASI GAUSS-SEIDEL
Iterasi Gauss-Seidel sebagai cara penyelesaian persamaan linear simultan tidak jauh berbeda dengan iterasi Jacobi. Pada iterasi Gauss-Seidel, nilai hasil perhitungan pad a baris awal langsung digunakan untuk perhitungan nilai selanjutnya di dalam iterasi. Dengan metode ini konvergensi akan tercapai lebih cepat. Bentuk iteratif persamaan iterasi adalah sebagai berikut:
MATRIK DEKOMPOSISI METODE DEKOMPOSISI LU
Jika suatu matrik [A] bukan singular (determinan bukan nol), maka matrik tersebut dapat diuraikan menjadi: matrik triangular [L] dan [U]
Dimana [L] merupakan matrik triangular bawah, dan [U] : matrik triangular atas. Sehingga [A]= [L]. [U] Bila persamaan linear: [A]{x} ={b), maka mengisikan matriks [A] dengan [L] [U] menghasilkan[L][U]{x} ={b} Beiaiti terdapat dua sistem: [L] {z} = {b} untuk mencari {z}, dan (U] {x} = {z} untuk memperoleh {x}. Matriks [U] sama dengan matriks triangulasi yang diperoleh dari metode Ga uss. Algoritma proses dekomposisi LU: a). Mendapatkan matriks [L] dan [U]. b). Menyelesaikan [L]{z) = {b}. c). Menyelesaikan [U]{x} = {z} Sebagai contoh, ditinjau proses dekomposisi LU untuk menyelesaikan persamaan 5X1 - 2X2 +3X3 =5 X1 +4X2 -2X3 =9 3X1 +2X2 -5X3 =8
Dalam bentuk matriks :
untuk proses dekomposisi menggunakan:
Proses membentuk matrik [U] secara simultan diikuti dengan pembentukan matrik [L] pengali mik =aik /akk
menjadi
menjadi
maka
dan
penyelesaian persamaan: a) [L}.{z}={b}
menghasilkan b) [U}.{x}={z}
menghasilkan METODE THOMAS
Algoritma Thomas sangat cocok untuk menyelesaikan persamaan linier simultan yang dapat dibentuk menjadi matriks tridiagonal. Persamaan semacam ini banyak dijumpai dalam perhitungan numerik persamaan differensial parsiil dengan metoda beda berhingga ataupun elemen berhingga. Algoritma proses dekomposisi Thomas: a). Mendapatkan matriks [L] dan [U]. b). Menyelesaikan [L]{Y) = {b}. c). Menyelesaikan [U]{x} = {z} Misalkan persamaan matriks sebagai berikut: [A].{X}={B} Matriks yang paling kiri hanya mempunyai harga ditiga diagonal, sedangkan elemen-elemen di luar itu bernilai nol. Vektor kolom X(X1, X2, X3, X4) diketahui. Penyelesaian persamaan linier simultan dapat dilakukan dengan cara men-dekomposisi matriks tridiagonal A menjadi:
A = LU Apabila kedua matriks diruas kanan persamaan dikalikan, akan didapat:
a11=L11 a12=L11xU12
a21=L21 a22= L21.U12+L22 a23= L22.U23
a32= L32 a33= L32.U23+L33 a34= L33.U34
a43= L43 a44= L44.U34+L44
L21=a21 L22= a22-L21.U12 U23= a23 /L22
L32=a32 L33=a33 -L32.U23 U34=a34/L33
L43=a43 L44=a44- L43.xU34
atau L11= a11 U12= a12/L11
dalam bentuk umum Lij=A11 Lij=A ji , untuk i=2,n; j=1,n-1 Lii=Aii-Lijx U ji , untuk i=2,n; j=i-1,n-1 Uij=Aij/Lii , untuk i=1, n-1; j=i+1,n Jadi elemen-elemen dari matrik L dan U dapat dihitung dari persamaan dengan cara rekursi. Untuk menyelesaikan persamaan terlebih dahulu didefinisikan vektor kolom.
yang memenuhi persyaratan L.Y=B --> akan didapat L11 Y1=b1 L21 .Y1+L22.Y2=b2 L32 .Y2+L33.Y3=b3 L43 .Y3+L44.Y4=b4 atau L11 Y1=b1 atau Y2=(b2 - L21 .Y1)/ L22. atau Y3=(b3 - L32 .Y2)/ L33. atau Y4=(b2 - L43 .Y3)/ L44. Dalam bentuk umum ditulis Y1=b1/L11 Yi=(bi-Lij.Yj)/Lii untuk y i=2,n; j=i-1,n-1 Karena B=L.Y A.X=B=L.Y L.U.X=L.Y U.X=Y Artinya bilangan yang dicari X(X1, X2, X3, dan X4) dalam persamaan dengan matrik tridiagonal dapat diselesaikan secara bertahap =
dalam bentuk umum Xn=Yn Xi=Yi-Uij.Xj untuk i=n-1,1; j=i+1,2 METODE CHOLESKY
Dalam ilmu rekayasa, persamaan linear simultan yang diperoleh dari rumusan matematika berdasarkan teori elastis umumnya mempunyai unsur koefisien variabel yang simetris. Persamaan linear simultan itu dapat dinyatakan sebagai
atau [A]{X}={B} Matriks [A] disebut matriks simetri apabila di luar unsur diagonal, unsur matriks baris sama dengan unsur matriks kolom pada indeks baris dan kolom yang sama. Dengan demikiau unsur matriks simetri dirumuskan sebagai aij =aji;i? j; i= 1,2,3,...n; J= 1,2,3,...n. Matriks simetri dapat dinyatakan dalam produk matriks triangulasi bawah dengan matrik triangulasi atas, dengan kedua matriks satu sama lain a dalah matriks transpose. Faktorisasi matrik [A]=[U]T[U]
hubungan unsur aij dan uij pada baris pertama a11=(u11)2; a12=(u11.u12); a13=(u11.u13);;…; a1n=(u11.u1n) nyatakan unsur u1j dalam aij. u11= ; u12= a12 / ; u13=a13/ ;;…; u1n =a1n / baris kedua a22=(u12)2+=(u22)2 ; a23=(u12.u13)+(u22.u23); nyatakan unsur u2j dalam aij.
U22=
, U23= (a23-(u12.u13))/u22=
U2n= (a2n-(u12.u1n))/u 22= Baris ketiga: a33=(u12)2+(u23)2 +(u33)2; …a3n=(u13.u1n)+(u23.u23) +(u33.u3n) nyatakan unsur u3j dalam aij.
u33=
u3n= Secara umum :
=
dengan nilai uij didapat dari perhitungan sebelumnya
uij=0 (i>j)
contoh:
Tentukan matrik solusi
