Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
1
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
12.1 PENDAHULUAN Dalam bab-bab sebelumnya, kami jelas menunjukkan dan menetapkan penngnya hukum Newton. Dengan menggunakan hukum kedua Newton dan kondisi awal yang diberikan, kami mampu mendapatkan persamaan gerak dari sistem tertentu dan menggambarkan gerak sistem. Hukum Newton dapat digunakan hanya jika semua gaya yang bekerja pada sistem yang diketahui, yaitu kondisi dinamis yang dikenal. Selain itu, kami menggunakan koordinat persegi panjang, dengan penggunaan sesekali polar, silinder, atau koordinat bola. Dalam kebanyakan situasi, masalahnya dak sesederhana itu untuk memecahkan dengan cara dinamis dan kondisi awal, misalnya, massa yang dibatasi untuk bergerak pada permukaan bola atau manik yang meluncur pada sebuah kawat. Dalam situasi ini, dak hanya bentuk yang dak diketahui kendala membuat masalah sulit untuk memecahkan, tetapi menggunakan empat persegi panjang atau lainnya yang biasa digunakan Koordinat dapat membuat dak mungkin untuk mengatasi masalah itu (bahkan jika gaya kendala yang dikenal). Dua metode yang berbeda, persamaan Lagrangangian dan persamaan Hamilton, telah dikembangkan untuk menangani masalah tersebut. Kedua teknik ini bukan hasil dari teori-teori baru. Mereka berasal dari hukum kedua Newton dan mereka menawarkan banyak kemudahan dalam menangani masalah yang sangat sulit yang bersifat sik. Pertama, teknik ini menggunakan koordinat umum. Arnya, bukan dari yang terbatas pada penggunaan koordinat persegi panjang atau kutub dan sejenisnya, kuantas apapun yang cocok, seper kecepatan, momentum linier, momentum sudut, atau (panjang)2, yang digunakan dalam memecahkan masalah. Koordinat umum tersebut biasanya dilambangkan dengan qK, di mana q1 mungkin v, q2 mungkin x, q3 mungkin sudut , dan seterusnya. Selanjutnya, teknik ini menggunakan pendekatan energi, memiliki keuntungan utama berurusan dengan skalar , bukan vektor. Kita akan membahas ini secara rinci dalam bagian berikut. Kita mungkin menyebutkan secara singkat perbedaan antara Lagrange dan metode Hamilton. Dalam formalisme Lagrange koordinat umum digunakan adalah posisi dan kecepatan, sehingga persamaan diferensial linear orde kedua. Di Hamilton formalisme koordinat umum digunakan adalah posisi dan momentum, sehingga diferensial linear orde pertama persamaan. Metode ini dak hanya membantu dalam memecahkan persamaan gerak menggambarkan sistem, tetapi juga dapat digunakan untuk menghitung kendala dan gaya reaksi.
12.2 KOORDINAT KOORDINAT UMUM DAN KENDALA Untuk menemukan posisi parkel, kita membutuhkan ga koordinat. Koordinat Koordinat ini bisa Cartesian koordinat x , y , dan z, silinder koordinat r , , dan z, bulat koordinat r , , dan f, atau ga koordinat lain yang cocok. Jika ada beberapa batasan atau kendala terhadap mosi parkel, kita membutuhkan kurang dari ga koordinat. Misalnya, jika parkel dibatasi untuk bergerak pada permukaan pesawat, hanya dua koordinat yang cukup, sedangkan jika parkel tersebut dibatasi untuk bergerak dalam garis lurus, hanya satu koordinat sudah cukup untuk menggambarkan gerakan parkel. DENDY SITI KAMILAH
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
2
Mari kita mempermbangkan sistem mekanis yang terdiri dari N parkel. Untuk menentukan posisi seper sistem pada waktu tertentu, kita perlu N vektor, sementara seap vektor dapat digambarkan oleh ga koordinat. Dengan demikian, secara umum, kita perlu 3N koordinat untuk menggambarkan suatu sistem mekanik yang diberikan. Jika ada kendala, jumlah koordinat yang diperlukan untuk menentukan sistem akan berkurang. Sebagai contoh, misalkan sistem adalah tubuh yang kaku, dan seper yang kita tahu, jarak antara parkel yang berbeda adalah tetap. Ini jarak tetap dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan. Seper yang kita dijelaskan dalam Bab 9, tubuh kaku dapat sepenuhnya dijelaskan oleh hanya enam koordinat, yaitu, hanya enam koordinat diperlukan untuk menentukan kongurasi yang kaku tubuh sistem. Dari enam, ga koordinat memberikan posisi beberapa k acuan yang nyaman di tubuh, biasanya pusat massa sehubungan dengan asal beberapa sistem koordinat yang dipilih, dan sisanya ga koordinat menggambarkan orientasi tubuh dalam ruang. Kami tertarik untuk menemukan jumlah minimum koordinat diperlukan untuk menggambarkan system N parkel. Biasanya, kendala pada seap sistem yang diberikan dijelaskan dengan cara persamaan. Misalkan ada sejumlah m persamaan seper yang menggambarkan kendala. Minimum jumlah koordinat, n, harus benar-benar menggambarkan gerakan atau kongurasi dari sistem tersebut pada waktu tertentu diberikan oleh (12.1) Dimana n adalah jumlah derajat kebebasan dari sistem. Hal ini dak perlu bahwa n ini koordinat harus persegi panjang, silinder, atau koordinat lengkung lainnya. Sebagai soal Bahkan, n bisa seap parameter, seper panjang, (panjang)2, sudut, energi, berdimensi kuantas, atau kuantas lainnya, asalkan benar-benar menggambarkan kongurasi sistem. Itu Nama umum koordinat diberikan untuk seap set jumlah yang benar-benar menggambarkan keadaan atau kongurasi sistem. Koordinat umum n ini lazim ditulis sebagai
atau
q1, q2, q3, . . . qn
(12.2a)
qk, dimana k= 1,2, 3 . . . . n
(12, 2b)
Koordinat umum n ini dak dibatasi oleh kendala. Jika seap koordinat dapat bervariasi independen yang lain, sistem ini dikatakan holonomic. Dalam sistem nonholonomic, yang koordinat dak bisa bervariasi secara independen. Oleh karena itu dalam sistem tersebut jumlah derajat kebebasan adalah kurang dari jumlah minimum yang diperlukan untuk menentukan koordinat kongurasi sistem. Sebagai contoh, bola dibatasi untuk menggulung pada permukaan pesawat sempurna kasar kebutuhan hanya lima koordinat untuk menentukan kongurasi, dua untuk posisi pusat massa dan ga untuk orientasi. Tapi lima koordinat dak bisa semua bervariasi secara independen. Keka gulungan bola, sedaknya dua koordinat harus berubah. Oleh karena ini adalah sistem nonholonomic. Itu invesgasi dan deskripsi sistem nonholonomic terlibat dan dak akan dipermbangkan di sini. Kita akan membatasi diri pada pembahasan sistem holonomic untuk sementara waktu. Satu set cocok koordinat umum dari sebuah sistem adalah yang menghasilkan persamaan gerak yang mengarah ke interpretasi mudah gerak. Ini qn bentuk koordinat umum ruang kongurasi, dengan seap dimensi diwakili oleh koordinat q K. Jalur system diwakili oleh kurva dalam ruang kongurasi. Jalan di ruang kongurasi dak meminjamkan dirinya untuk interpretasi yang sama sebagai jalur dalam ruang
DENDY SITI KAMILAH
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
3
ga dimensi biasa. Di analogi dengan koordinat Cartesian, kita dapat menentukan turunan dari qk yang ̇1 , ̇2 . . , Atau ̇k sebagai kecepatan umum. Mari kita mempermbangkan parkel tunggal yang koordinat persegi panjang x, y, dan z adalah fungsi dari umum koordinat q1 , q2 , dan q3, yaitu (12.3)
Misalkan perubahan sistem dari kongurasi awal yang diberikan oleh (qh q2, q3) ke lingkungan Kongurasi yang diberikan oleh (qx + 8QU q2 + sq2, q3 + 8q3). Kita dapat mengekspresikan sesuai perubahan dalam koordinat Cartesian oleh hubungan berikut: (12.4)
dengan ekspresi yang sama untuk y dan z, dimana n adalah sama dengan ga dan derivaf parsial x/ xK, .. . adalah fungsi dari q itu. Nilai n tergantung pada derajat kebebasan. Sebagai contoh, jika dak ada kendala, m = 0, dan dari Persamaan. (12.1) untuk N = 1, n = 3, karena kami telah menggunaka di atas, n akan kurang dari 3 jika ada kendala pada sistem. Mari kita mempermbangkan kasus yang lebih umum di mana sistem mekanis terdiri dari sejumlah besar parkel yang memiliki derajat kebebasan n. Kongurasi sistem yang ditentukan oleh umum koordinat q1 , q2 , . . qn. Misalkan kongurasi perubahan sistem dari ( q1 , q2 , . . qn) ke kongurasi baru {q1 + q1 . q2 + q2,. . . , qn + qn). Koordinat kartesian parkel i berubah dari (xi, y i zi) ke (xi + Xiyi + yi zi, + zi). pemindahan ini Xi, Yi dan zi dapat dinyatakan dalam hal umum koordinat q k sebagai (12.5)
dengan ekspresi yang sama untuk yi dan zi. Sekali lagi turunan parsial adalah fungsi dari umum koordinat qk. Hal ini penng pada saat ini untuk membedakan antara dua jenis pemindahan: yang sebenarnya perpindahan dri dan virtual (dak dalam kenyataannya atau nama) perpindahan ri. Misalkan massa m i yang berndak oleh gaya eksternal Fi dan menyebabkan massa mi bergerak dari ri ke ri + d ri dalam waktu Interval dt. Perpindahan ini harus konsisten dengan kedua persamaan gerak dan persamaan kendala yang menggambarkan sistem ini secara massal, maka perpindahan tersebut sebenarnya perpindahan. Di sisi lain, perpindahan virtual konsisten dengan persamaan dari kendala tetapi dak memenuhi persamaan gerak atau waktu. Misalnya, bob pendulum panjang mungkin dipindahkan dari ( , ) untuk (, + ) dalam seap interval waktu sewenang-wenang selama sebagai bob tetap pada busur lingkaran dengan jari-jari . Dengan demikian ri dan qi adalah perpindahan virtual. Kita akan memanfaatkan prinsip kerja virtual di bawah ini. Kami akan menyebabkan maya perpindahan ri sehingga maya W kerja. Pada dasarnya, dalam pemindahan tersebut, relave or ientasi dan jarak antara parkel tetap dak berubah. DENDY SITI KAMILAH
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
4
12.3 GAYA UMUM Parkel Tunggal Permbangkan gaya F yang bekerja pada satu parkel bermassa m dan menghasilkan perpindahan maya r parkel. Usaha yang dilakukan W dengan gaya ini diberikan oleh (12.6) di mana Fx, F y, dan Fz adalah komponen persegi panjang F. Kita dapat mengekspresikan perpindahan x, y, dan zin hal qk koordinat umum. Memanfaatkan Pers. (12.4) dan (12.6), kita dapat menulis (12.7)
Dimana (12.8) Q k disebut gaya umum terkait dengan koordinat umum qK. dimensi dari Q k tergantung pada dimensi qK. Dimensi Qk qk adalah kerja. Jika terjadi kenaikan qK memiliki dimensi jarak, Q k akan memiliki dimensi jara, jika Q k memiliki dimensi sudut , Q k akan memiliki dmensions torsi . Ini mungkin menunjukkan bahwa kuantas QK dan jumlah x, y, dan z disebut perpindahan virtual sistem karena dak perlu bahwa pemindahan tersebut mewakili pemindahan sebenarnya.
Sistem Parkel Mari kita menerapkan ide-ide sebelumnya untuk kasus umum dari sistem yang terdiri dari N parkel berndak oleh gaya Fi = (i = 1, 2, … , N). Total kerja yang dilakukan W untuk sebuah r perpindahan virtual, system adalah (12.9) Sekali lagi, mengekspresikan perpindahan virtual dalam hal koordinat umum, menggunakan Persamaan. (12.5), kita mendapatkan (12.10a)
Bertukar urutan penjumlahan, kita mendapatkan
(12.10b) atau (12.11)
DENDY SITI KAMILAH
5
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian Dimana
(12.12)
Q k disebut gaya umum yang terkait dengan koordinat umum q k. Sekali lagi, dimensi gaya umum Q k tergantung pada dimensi qk tapi produk Q k qk selalu bekerja.
Sistem Konservaf Mari kita menuliskan ungkapan gaya umum yang konservaf. Misalkan seorang konservaf medan gaya diwakili oleh fungsi potensial V = V (x, y, z). Komponen persegi panjang dari gaya yang bekerja pada sebuah parkel diberikan oleh (12.13)
Persamaan Qk untuk gaya umum yang diberikan oleh pers. (12.8) menjadi
(12.8) Ekspresi dalam tanda kurung adalah turunan parsial dari fungsi V sehubungan dengan qk. Arnya, (12.14)
Ini mengungkapkan hubungan antara gaya umum dan potensi mewakili konservaf System Perhakan gerak parkel bermassa m bergerak dalam pesawat. Menggunakan pesawat koordinat polar (r, ) sebagai koordinat umum, menghitung (a) perpindahan x dan y, dan (b) gaya umum untuk parkel berndak dengan gaya
Solusi Karena koordinat kutub pesawat (r, ) adalah koordinat umum
DENDY SITI KAMILAH
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
6
(a) perubahan dalam koordinat Cartesian adalah
(b) Dari denisi umum,
kita dapatkan
LATIHAN 12.1 Permbangkan gerak sebuah parkel bermassa m bergerak di angkasa. Menggunakan umum koordinat (r, , z), menghitung (a) perpindahan x, y, dan z, dan (b) gaya umum untuk parkel berndak dengan gaya
12.4 PERSAMAAN LAGRANGE GERAK UNTUK SATU PARTIKEL Kami tertarik dalam menggambarkan gerak sebuah parkel tunggal dengan cara persamaan ditulis dalam hal koordinat umum. Hal ini membawa kita untuk persamaan Lagrange. Kita bisa mulai dengan Hukum kedua Newton, F = ma. Tapi lebih mudah untuk memulai dengan ekspresi untuk energi kinec T dalam hal koordinat Cartesian dan kemudian menulis Tin hal koordinat umum. (Catatan bahwa kita menggunakan T bukannya K untuk energi kinek.) Mari x, y, dan z menjadi koordinat Cartesian, sementara q1, q2, … , qn adalah koordinat umum. Energi kinek parkel dalam Cartesian koordinat adalah (12.15) Karena
(12.16)
Sama seper
(12.17)
DENDY SITI KAMILAH
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian kita dapat mengevaluasi
7
dalam qk dengan prosedur berikut:
(12.18)
Dengan demikian kita dapat menggambarkan berbagai komponen kecepatan dalam hal koordinat umum qk dan umum kecepatan ; yaitu, (12.19) Kita sekarang dapat menulis persamanaan (12.15) untuk energy kinec sebagai (12.20) Mengambil turunan yang berhubungan dengan kecepatan umum ̇k
(12.21) Gunakan persamaan (12.18), kita bisa menuliskan (12.22)
Perhakan bahwa x/qk adalah koesien ̇k dalam ekspresi ̇ dalam persamaan (12.18) substusikan ini dan ekspresi yang sama untuk islah lain dalam Pers. (12.21), (12.23)
Sekarang membedakan kedua sisi dari persamaan ini terhadap t:
(12.24) Untuk menyederhanakan ga islah terakhir di sisi kanan, kita menggunakan fakta bahwa d/dt dan /qk adalah yang dapat dipertukarkan (12.25)
DENDY SITI KAMILAH
8
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian Dengan demikian islah keempat di sebelah kanan persamaan. (12.24) dapat ditulis sebagai
(12.26)
dengan ekspresi yang sama untuk islah lain. Juga mencatat bahwa (12.27) Menggabungkan Pers. (12,25) dan (12,26) dengan Persamaan. (12.24), kita memperoleh (12.28)
Menggunakan denisi gaya umum dan energi kinek yang diberikan oleh Pers. (12.8) dan (12,20), (12.8) (12.20) pada persamaan (12.28), memberikan (12.29) Persamaan diferensial ini dalam koordinat umum menggambarkan gerak parkel dan dikenal sebagai persamaan Lagrange gerak . Persamaan Lagrange mengambil bentuk yang lebih sederhana jika gerakan berada dalam medan gaya konservaf sehingga (12.30) yang pada menggan dalam Pers.
(12.29) menghasilkan (12.31)
Mari kita mendenisikan fungsi Lagrangian L sebagai perbedaan antara energi kinek dan potensial energi, yaitu, (12.32) Hal ini penng untuk mengetahui bahwa, jika V adalah fungsi dari koordinat umum dan bukan dari yang umum kecepatan, maka (12.33) [Jika V dak terlepas dari kecepatan q, maka V = V (q, q) akan menyebabkan gaya tensor, yang kita dak akan membahas di sini.] Jadi kita dapat menulis
DENDY SITI KAMILAH
9
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
Subsitusikan hasil ini pada persamaan (12.31), menghasilkan (12.34)
Dimana persamaan Lagrange menggambarkan gerak parkel dalam medan gaya konservaf . Untuk memecahkan persamaan ini, kita harus mengetahui fungsi Lagrangian L dalam umum yang sesuai koordinat. Karena energi adalah kuantas skalar, Lagrangian L adalah fungsi skalar. Demikian Lagrangian L akan invarian terhadap transformasi koordinat. Ini berar bahwa Lagrangian memberikan deskripsi yang sama dari sistem dalam kondisi tertentu dak peduli yang koordinat umum digunakan . Jadi Pers. (12.34) menggambarkan gerakan parkel yang bergerak dalam medan gaya konservaf dalam hal apapun koordinat umum. Permbangkan sebuah parkel bermassa m bergerak dalam pesawat dan tunduk pada gaya yang menarik kuadrat terbalik. Cari persamaan gerak dan ekspresi bagi gaya umum. Larutan Biarkan pesawat koordinat polar (r, ) menjadi koordinat umum untuk digunakan dalam m asalah ini. Kutub koordinat (r, ) dan koordinat Cartesian (x, y) terkait dengan x = r cos
dan
y = r sin
(i)
Menggunakan hubungan ini, kita memperoleh ungkapan berikut untuk energi kinek dan potensial: (ii)
(iii) Dengan demikian Lagrangian di koordinat (r, ) adalah (iv) Pada persamaan Lagrangian
Mari kita subsitusi q 1 = r dan q2 = , sehingga
(v) Dan
(vi)
Dari persamaan (iv) Dan
DENDY SITI KAMILAH
1 0
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian Subsitusikan ini ke persamaan (v), k ita dapatkan
(vii) Karena parkel bergerak dalam bidang konservaf, kita dapat menulis (viii)
Dan kita ambil persamaan (vii) untuk , F(r) = F r (ix) Sekali lagi dari persamaan (iv) Dan Oleh karena itu Persamaan Lagrange [Eq. (vi)] mengambil bentuk (x) Atau
(xi)
dimana J, yang dapat diidenkasi sebagai momentum sudut, adalah konstan. Arnya, integrasi Persamaan (xi) hasil = Konstan
(xii)
Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa dalam medan gaya konservaf momentum sudut J adalah konstanta gerak. Juga, seper dari contoh sebelumnya,
Q r = F r dan Q = r F kita mungkin ba di berikut menggunakan Persamaan. (12.33), (xiii) (xiv)
Maka, Dan
Dimana Q = adalah torsi dan sama dengan nol.
LATIHAN 12.2 Ulangi contoh untuk kasus gaya kuadrat terbalik menjijikkan. Bagaimana situasi dalam lahan ini berbeda dengan yang ada dalam contoh?
DENDY SITI KAMILAH
1 1
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian Contoh 12.3
Permbangkan mesin Atwood terdiri dari katrol tunggal momen inersia terhadap suatu sumbu melalui pusatnya dan tegak lurus terhadap pesawat tersebut. Panjang tali inextensible menghubungkan dua massa dan akan lebih dari katrol adalah . Hitung percepatan sistem.
Solusi Misalkan x adalah jarak verkal variabel dari katrol untuk m 1 massa sedangkan m2 massa di kejauhan X dari katrol, seper ditunjukkan pada Gambar. Contoh 12.3. Jadi hanya ada satu derajat kebebasan x yang mewakili kongurasi sistem. Kecepatan dari dua massa dan kecepatan sudut dari disk dapat ditulis sebagai (i)
Gambar Contoh 12.3
Dan
,
dimana
(ii)
demikian, total energi kinek dari sistem adalah (iii) sedangkan energi potensial dari sistem ini adalah (iv) System Lagranian adalah
Hanya ada satu derajat kebebasan, yang merupakan umum koordinat q = x. Persamaan Lagrange adalah (vi) Dari peresamaan (v)
DENDY SITI KAMILAH
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
1 2
Dan Subsitusikan ini ke persamaan (vi), persamaan Lagranian menjadi
Jika Jika m1 > m2 , massa m1 turun dengan percepatan konstan Jika m1 > m2 , massa m1 Jika m1 > m2 , massa m1 naik dengan percepatan konstan
Contoh 12.3 Permbangkan mesin Atwood ganda, seper ditunjukkan pada Gambar. Exer. 12.3. Dengan asumsi gesekan puli, yaitu I1 = I2 = 0, menghitung percepatan massa. Asumsikan dua derajat kebebasan X1 dan x2, seper yang ditunjukkan.
Gambar contoh 12.3
Lahan 12.4 Permbangkan mesin Atwood dibahas dalam Contoh 12.3. Asumsikan bahwa katrol adalah gesekan, dan menghitung ketegangan S dalam tali, seper ditunjukkan pada Gambar. Ex. 12.4.
Gambar contoh 12.4
DENDY SITI KAMILAH
1 3
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian Solusi
Dalam Contoh 12.3, sementara membahas mesin Atwood, kami hanya tertarik pada gerakan sistem; maka koordinat dibatasi untuk memiliki nilai konstan. Untuk menemukan ketegangan dalam tali, panjang harus disertakan sebagai koordinat. Karena katrol adalah gesekan, dak ada energi kinek rotasi. Oleh karena itu ekspresi untuk energi kinek diberikan oleh (i) Dua gaya yang bekerja pada sistem adalah ketegangan S dalam tali dan gaya gravitasi, seper yang ditunjukkan. Itu kerja yang dilakukan keka x meningkat menjadi x + Sx, sementara tetap konstan,
membandingkan dengan
kita dapatkan Pekerjaan dilakukan keka meningkat menjadi + 1, sedangkan x tetap konstan, adalah
bandingkan dengan kita dapatkan Perhakan bahwa umum gaya Qx dak mengandung S, sementara g, tergantung pada S. Untuk memecahkan S, kita harus memecahkan berikut dua persamaan Lagrange. Persamaan Lagrangian untuk koordinat x dan 1, diberikan oleh Persamaan. (12.29), dan umum gaya yang diberikan oleh Pers. (Ii) dan (iii), adalah
Kami memecahkan persamaan dengan menggankan T dan menyederhanakan
Subsitusi untuk v1=0 dan a1=0, kita dapat dua hasil persamaan
Kita pecahkan persamaan (vi) dan (vii) untuk S dan ax, seper berikut
DENDY SITI KAMILAH
Dinamika Lagrangian dan Hamiltonian
1 4
Diberikan
Didapatkan
Nilai S diberikan oleh Persamaan. (viii), sedangkan nilai x dihitung dari Persamaan. (ix), sebagai ditunjukkan di bawah ini Biarkan ax = (vf - VO)/tl, danmenggunakan ini dalam Persamaan. (ix) kita mendapatkan Diintegralkan dari x0 sampai x dan t0 sampai t
Kami mendapatkan perpindahan x se bagai
LATIHAN 12.4 Ulangi contoh asumsi bahwa katrol dak gesekan dan bahwa ia memiliki sesaat inersia I
DENDY SITI KAMILAH
