Chapter12 LateralEarthPressure Rankine

-

-

′

K 0 =

σ h σ v

′

K 0 = 1 − sin φ ′ K 0 = (1 − sin φ ) OCR

  (1 − sin φ )(OCR)sin φ  K0 =

-

’

-

⎡ γ d  ⎤ − 1⎥ × 5.5 K 0 = (1 − sin φ ) + ⎢ ⎢⎣ γ d ,min ⎥⎦

OCR =

σ c σ v

P0 =

1 2

K 0γ  H 2

′ ′

′

σ h = K 0 ⋅ γ  ⋅ z

′

σ h = K 0 [γ  ⋅ H 1 + γ  ′( z − H 1 )]

u = γ w ( z − H 1 )

′

σ h = σ h + u P0 =

1 2

K 0γ  H 1 + K 0γ  H 1 H 2 +

1 2

( K 0γ ′ + γ w ) H 22

’

z

σ v H

σ h

’

’

’

(σ v − σ a ) / 2 sin φ  = ⎛ σ  + σ a  ⎞ c ⋅ cot φ  + ⎜ v ⎟ 2 ⎝   ⎠

σ a = σ v ⋅

1 − sin φ  1 + sin φ 

’

− 2c ⋅

cos φ  1 + sin φ 

1 − sin φ 

φ  ⎞ ⎛  = tan ⎜ 45 − ⎟ 1 + sin φ  2 ⎠ ⎝  2



φ  ⎞ ⎛  = tan⎜ 45 − ⎟ 1 + sin φ  2 ⎠ ⎝  cos φ 



φ  ⎞ φ  ⎞ ⎛  ⎛  σ a = γ  ⋅ z ⋅ tan ⎜ 45 − ⎟ − 2c tan⎜ 45 − ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝  ⎝  2



φ  ⎞ ⎛  σ a= σ v tan ⎜ 45 − ⎟ 2 ⎠ ⎝  2

K a =



φ  ⎞ ⎛  = tan2 ⎜ 45 − ⎟ σ v 2 ⎠ ⎝ 

σ a





2c K a Z0

H

Pa

1 3 γ  ⋅ HK a − 2c K a

( H − z0 )

σ a = 0 φ  ⎞ ⎛  = = ⋅ tan⎜ 45 + ⎟  z0 = γ  ⋅ K a γ  2 ⎠ γ  K a ⎝  2c K a

P A =

2c

2c



 H 

∫

 z 0

σ a dz

 H 

= ∫ (γ  ⋅ z ⋅ K a − 2c K a )dz  z 0

= [K aγ  ⋅ z / 2] z − [2c K a ⋅ z ] z 2

 H 

 H 

0

0

1

= γ  ⋅ K a ( H 2 −  z02 ) − 2c K a ( H  −  z0 ) 2

 ⎞ ⎛  2 c ⎟ = γ  ⋅ K a ( H  −  z ) − 2c K a ⎜ H  − ⎜ ⎟ 2 γ  K  a ⎝   ⎠ 1

=

1 2 1

2

(

2 0

)

2 4 c γ  ⋅ K a  H  −  z + 2

2 0

= γ  ⋅ K a ( H  −  z0 ) 2 1

2

= γ  ⋅ K a ( H  −  z0 ) 2

2

γ 

− 2c K a ⋅ H 

2 4 c + K a ⋅ γ  ⋅ H  ⋅ z0 − γ  ⋅ K   z + 2 a 0

1 3

γ 

( H  −  z 0 )

− 2c K a ⋅ H 

’

⎛ σ  p − σ v  ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 2  ⎠ sin φ  = ⎝ 

σ  p = σ v

1 + sin φ  1 − sin φ 

1 ⎡ ⎤ ( ) ⋅ + − c cot φ  σ  σ   p v ⎥ ⎢⎣ 2 ⎦

+ 2c

cos φ  1 − sin φ 

’

1 + sin φ 

φ  ⎞ ⎛  = tan ⎜ 45 + ⎟ 1 − sin φ  2 ⎠ ⎝  2



φ  ⎞ ⎛  = tan ⎜ 45 + ⎟ 1 − sin φ  2 ⎠ ⎝  cos φ 



⎛  ⎝ 

σ  p = γ  ⋅ z ⋅ tan 2 ⎜ 45 + 

φ  ⎞

φ  ⎞ ⎛  2 tan 45 c + ⋅ + ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝  

φ  ⎞ ⎛  σ  p = σ v ⋅ tan ⎜ 45 + ⎟ 2 ⎠ ⎝  2

K  p =



φ  ⎞ ⎛  = tan 2 ⎜ 45 + ⎟ σ v 2 ⎠ ⎝ 

σ  p



σ  p = γ  ⋅  z ⋅ K  p + 2c K  p

2c K  p

Ｈ

 H 

2

γ ⋅ HK   p

P p =









 H 

∫

0

σ  p dz =

1 2

γ  ⋅ H 2 K  p + 2c K  p ⋅ H 

 H 

3

-

-

K0 condition

Δ La ’

Δ L p  H 

 H 

σ a = γ  ⋅ zK a Pa =

1 2

γ  ⋅ H 2 K a

σ  p = γ  ⋅ z ⋅ K  p P p =

1 2

γ  ⋅ H 2 ⋅ K  p

’

’

′

′

σ v = σ v = q, σ a = σ a = q ⋅ K a

′

σ a = σ a = (q + γ  ⋅ H 1 ) ⋅ K a

′

σ a = (q + γ  ⋅ H 1 + γ ′ ⋅ H 2 ) K a ·

Pa = qHK a +

1 2

γ  ⋅ H  ⋅ K a + (γ  ⋅ H 1 ⋅ K a ) H 2 + 2 1

1 2

(γ ′ ⋅ K a + γ w ) H 22

P p = K  p ⋅ q ⋅ H  +

1 2

K  p ⋅ γ  ⋅ H 12 + K  p ⋅ γ  ⋅ H 1 ⋅ H 2 + ’

1 2

( K  p ⋅ γ  ′ + γ  w ) H 22

σ a = γ  ⋅ zK a − 2c K a

⇒ σ a = 0 ⇒ γ  ⋅ z0 K a − 2c K a = 0  z0 =

2c γ  K a

K a = 1 , c = cu

φ  = 0

 z0 =

2cu γ 

1 2 Pa = γ  ⋅ H  − 2 c K a ⋅ H  2

1

Pa = γ  ⋅ H 2 − 2cu ⋅ H 

2

Pa =

1

( γ  ⋅ H  ⋅ K  − 2c 2 a

1

K a

)

⎡ 2c ⎤ ⎢ H  − ⎥ K  γ  ⎢⎣ a ⎥ ⎦

= γ  ⋅ H  K a − 2 c  H  K a + 2 2

2

c

2

γ 

Pa =

1 2

γ  ⋅ H 2 − 2 cu ⋅ H  + 2

cu

γ 

σ  p = γ  ⋅  z K  p + 2 c K  p

σ  p = 2 c K  p

σ  p = γ  ⋅ H  K  p + 2 c K  p P p =

1

P p =

1

2

γ  ⋅ H 2 K  p + 2 c  H  K  p

2

2 γ  ⋅ H  + 2 cu  H 

2

Pa =

1 2

γ   H 12 K a

K a = cos α  ⋅

-

-

cos α  − cos 2 α  − cos 2 φ  cos α  + cos 2 α  − cos 2 φ 

δ  ≈ φ 

φ  2

2

≤ δ  ≤ φ  3

downward movement

upward movement