Mekanika Hamiltonian

Mekanika Hamiltonian

Mekani Mekanika ka

Hamilt Hamilton on

adal adalah ah

refo reform rmul ulas asii

dari dari

meka mekani nika ka

klas klasik ik yang

diperkenalka diperkenalkan n pada 1833 oleh matematikaw matematikawan an Irlandia Irlandia William Rowan Hamilton . Ini muncul dari mekanika Lagrangian , sebuah reformulasi reformulasi sebelumnya sebelumnya mekanika klasik diperkenalka diperkenalkan n oleh Joseph Louis Lagrange pada 1788, tetapi dapat dirumuskan tanpa recourse pada mekanika Lagrangian menggunakan ruang symplectic (lihat formalisme Matematika , di bawah) bawah)..

Metode Metode Hamilto Hamilton n berbed berbedaa dari dari metode metode Lagran Lagrangia gian n dalam dalam

bahwa bahwa alih-a alih-alih lih mengung mengungkapk kapkanan-dif difere erensi nsial al kendala kendala kedua kedua pada n-dimensi ruang koordinat (dimana n adalah jumlah jumlah derajat derajat kebebasan kebebasan sistem), sistem), itu mengungkapkan mengungkapkan kendala-order pertama n 2 -dimensi ruang fase . Seper Seperti ti deng dengan an meka mekani nika ka Lagr Lagran ange ge,, Hamilton persamaan dan dan seta setara ra menyediakan menyediakan cara baru dalam memandang memandang mekanika klasik. klasik. Secara umum, umum, persamaan ini tidak menyediakan cara yang lebih mudah untuk menyelesaikan masalah tertentu. Sebaliknya, mereka memberikan wawasan yang lebih mendalam ke kedua struktur umum mekanika mekanika klasik klasik dan hubungannya dengan mekanika kuantum sebagai dipahami melalui mekanik Hamilton, serta hubungannya ke area lain dari ilmu pengetahuan.

Sekilas Sederhana penggunaan Nilai Nilai Hamiltonian Hamiltonian adalah energi total total sistem sedang dijelaskan dijelaskan.. Untuk sistem sistem tertutup, tertutup, itu adalah jumlah dari kinetik dan kinetik dan energi potensial dalam sistem. sistem. Ada satu satu set set persamaan persamaan diferensial diferensial yang yang dikena dikenall sebaga sebagaii persamaan persamaan Hamilton Hamilton yang memberikan memberikan evolusi evolusi waktu dari sistem. sistem.

Hamiltonia Hamiltonians ns dapat digunakan untuk menjelaska menjelaskan n sistem

sederhana seperti bola memantul, pendulum atau osilasi pegas di mana perubahan energi dari dari kineti kinetik k ke waktu waktu potensi potensi dan kembali kembali lagi berakh berakhir. ir.

Hamilt Hamiltoni onians ans juga dapat

digunakan untuk model energi lain dinamis sistem yang lebih kompleks seperti orbit planet di mekanika langit dan juga dalam mekanika kuantum.

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.







Persamaan Hamilton umumnya ditulis sebagai berikut:

Dalam persamaan di atas, dot menunjukkan derivatif biasa terhadap waktu dari fungsi p fungsi p = p (t) (momentum umum disebut) dan q = q (t) (disebut umum koordinat ), nilai mengam mengambil bil di beberap beberapaa ruang ruang vektor, vektor, dan

=

Hamil Hamilto ton, n, atau atau (skal (skalar ar dini dinila lai) i) fungs fungsii Hami Hamilt ltoni onian an..

adalah adalah apa yang yang disebu disebutt Jadi Jadi,, lebi lebih h ekspl eksplis isit it,, satu satu

dipersamakan bisa menulis

dan menentukan domain nilai di mana parameter t parameter t (waktu) (waktu) bervariasi. Untuk derivasi rinci dari persamaan dari mekanika Lagrangian , lihat di bawah.

fisik interpretasi Dasar Inte Interp rpre reta tasi si seder sederha hana na dari dari Pers Persam amaa aan n Hami Hamilt lton on adal adalah ah sebag sebagai ai beri beriku kut, t, menerapkannya ke sistem satu dimensi yang terdiri dari satu partikel dengan massa m dalam dalam waktu waktu kondisi kondisi batas batas indepen independen den dan menunj menunjukka ukkan n konservasi konservasi energi : The The Hamiltonian Hamiltonian

merupakan merupakan energi dari dari sistem sistem,, yang yang merupak merupakan an jumlah jumlah kinetik dan

T dan V, masing-masing. Berikut q adalah xenergi potensial , dilambangkan tradisional T dan adalah xkoordinat dan koordinat dan p p adalah momentum, mv. Kemudian







Perhatikan bahwa T adalah T adalah fungsi dari p dari p saja, sedangkan V adalah V adalah fungsi dari x dari x (atau q) saja. Sekara Sekarang ng waktu waktu turunan turunan dari dari p moment momentum um sama sama dengan dengan gaya Newtonian, Newtonian, dan sebagainya di sini Persamaan Hamilton pertama berarti bahwa gaya pada partikel sama dengan tingkat di mana ia kehilangan energi potensial terhadap perubahan x, lokasi. (Angkatan sama dengan negatif gradien negatif gradien energi potensial.) The-turunan terhadap waktu dari q di sini berarti kecepatan: Hamilton kedua Persamaan di sini berarti bahwa partikel kecepatan sama dengan turunan dari energi kinetik yang berkaitan berkaitan dengan momentum. momentum. (Karena (Karena derivatif derivatif sehubungan sehubungan dengan p dengan p p

2

/

2

m sama

dengan p dengan p / m / m = v mv =.)

Menggunakan's persamaan Hamilton 1.

Pert Pertam amaa men menul ulis is kelu keluar ar Lagrangian Lagrangian L L = T T - V. T Express T Express dan V seolah-olah V seolah-olah Anda akan menggunakan persamaan Lagrange's.

2.

Hitu Hitung ng mome moment ntum um deng dengan an memb membed edak akan an Lagr Lagran angi gian an sehu sehubu bung ngan an deng dengan an

kecepatan: 3.

.

Expr Expres esss kece kecepat patan an dalam dalam hal hal mome moment ntum um denga dengan n memb membal alik ik ekspr ekspres esii dalam dalam langkah (2).

4.

Hitung Hitung Hamil Hamilton ton menggu menggunak nakan an definis definisii biasa biasa H sebagai sebagai transformasi Legendre

L: dengan menggunakan hasil pada langkah (3). 5.

Hamil Hamilton ton Terapk Terapkan an persam persamaan aan..

.

Peng Pengga gant ntii untu untuk k kece kecepa pata tan n







Teman-persamaan Hamilton yang menarik mengingat kesederhanaan yang indah dan (sedikit rusak ) simetri . Mereka telah telah dianalisis dianalisis di bawah dibayangkan dibayangkan hampir hampir setiap sudut pandang, dari fisika dasar sampai ke geometri symplectic . Banyak yang diketahui tentang solusi persamaan ini, namun tepat solusi umum kasus persamaan gerak tidak dapat diberikan secara eksplisit untuk sistem lebih dari dua partikel titik masif. masif. Temuan jumlah jumlah kekal memainkan peranan penting dalam mencari solusi atau informasi tentang alam mereka. Dalam model dengan jumlah tak tak terbatas derajat kebebasan , ini tentu saja lebih lebih rumit rumit..

An dan menjan menjanjik jikan an daerah daerah yang menarik menarik dari dari peneli penelitia tian n adalah adalah studi

tentang sistem sistem terintegra terintegrall , dima dimana na juml jumlah ah tak tak terb terbat atas as juml jumlah ah yang yang kekal kekal yang yang independen dapat dibangun.

Hamilton persamaan Menderivasi Kita dapat memperoleh's persamaan Hamilton dengan melihat bagaimana diferensial total dari Lagrangian tergantung pada waktu, posisi umum dan kecepatan umum:

Sekarang momentum umum didefinisikan sebagai memberitahu kita bahwa

Kita dapat mengatur ulang ini untuk mendapatkan

dan persamaan Lagrange's







Kita dapat menulis ulang ini sebagai

dan mengatur ulang lagi untuk mendapatkan

Istil Istilah ah di sisi sisi sebela sebelah h kiri kiri adalah adalah hanya hanya Hamil Hamilton ton yang yang kita kita telah telah mendef mendefini inisik sikan an sebelumnya, jadi kami menemukan bahwa

di mana mana pers persam amaa aan n kedua kedua meme memega gang ng kare karena na defin definis isii dari dari deri deriva vati tiff pars parsia ial. l. Mengaso Mengasosia siasik sikan an istila istilah h dari dari kedua kedua sisi sisi persam persamaan aan di atas atas persam persamaan aan mengha menghasil silkan kan Hamilton

Sebagai reformulasi mekanika Lagrangian Dimulai Dimulai dengan mekanika mekanika Lagrangian Lagrangian , maka maka persamaan persamaan gerak gerak didasa didasarkan rkan pada koordinat umum







dan mencocokkan kecepatan umum

Kami menulis Lagrangian sebagai

dengan variabel subscript dipahami untuk mewakili semua variabel N variabel N tipe tipe itu. mekanika Hamilt Hamilton on bertuj bertujuan uan untuk untuk mengga mengganti ntikan kan variab variabel el kecepat kecepatan an umum umum dengan dengan variab variabel el momentum umum, juga dikenal sebagai momentum konjugat. Dengan demikian, adalah mungkin untuk menangani sistem tertentu, seperti aspek mekanika kuantum, yang lain akan lebih rumit. Untuk setiap kecepatan umum, ada satu sesuai momentum konjugat , didefinisikan sebagai:

Dalam koordi koordinat nat Carte Cartesian sian , mome moment ntum um umum umum adala adalah h just justru ru lini linier er fisi fisik k momentum .

Dal Dalam lingka lingkaran ran kutub koordi koordinat nat , moment momentum um umum umum sesuai sesuai dengan dengan

kecepatan angular adalah fisik momentum fisik momentum sudut . Untuk pilihan sewenang-wenang dari koordin koordinat at umum, umum, tidak tidak mungki mungkin n untuk untuk mendapa mendapatka tkan n interp interpret retasi asi intuit intuitif if moment momentum um konjugat. Satu hal yang tidak terlalu terlalu jelas dalam koordinat koordinat ini formulasi formulasi terikat terikat adalah koordinat koordinat umum yang berbeda benar-benar tidak lebih dari coordinatizations berbeda dari yang sama manifold symplectic . Perumusan Hamiltonian Perumusan Hamiltonian adalah transformasi Legendre dari Lagrangian :









Jika persamaan transformasi mendefinisikan koordinat umum independen t, dan Lagrangian Lagrangian adalah jumlah jumlah produk fungsi (dalam koordinat umum) yang homogen homogen order 0, 1 atau 2, maka dapat ditunjukkan bahwa H bahwa H adalah adalah sebesar E energi E energi total = T + T + V. Setiap sisi dalam definisi

menghasilkan diferensial:

Menggantikan definisi sebelumnya momentum konjugat ke dalam persamaan dan koefisien yang sesuai, kita memperoleh persamaan gerak mekanika Hamiltonian, yang dikenal sebagai persamaan kanonik Hamilton:

Teman-persamaan Hamilton adalah orde pertama persamaan diferensial , dan dengan demiki demikian an lebih lebih mudah mudah untuk untuk memecah memecahkan kan persam persamaan aan Lagran Lagrange ge dari dari itu, itu, yang yang orde orde kedua. persamaan persamaan Hamilton Hamilton memiliki keuntungan keuntungan lain atas persamaan persamaan Lagrange's: jika jika sistem memiliki simetri, seperti yang koordinat tidak terjadi di Hamilton, momentum







Geometri sistem Hamiltonian Sebuah sistem Hamiltonian dapat dipahami sebagai bundel serat E serat E selama selama waktu R, waktu R, dengan serat t E, t ∈ R sebagai ruang posisi. The Lagrangian dengan demikian fungsi E; mengambil fiberwise transformasi Legendre dari Lagrangian pada bundel pada bundel jet J jet J atas atas E; menghasilkan fungsi pada berkas ganda dari waktu ke waktu yang serat di t adalah t adalah ruang kotangens T * E t, yang dilengkapi dengan alami symplectic bentuk , bentuk , dan fungsi yang terakhir adalah Hamiltonian.

Generalisasi untuk mekanika kuantum melalui braket Poisson Hamilton persamaan di atas bekerja dengan baik untuk mekanika klasik , tapi tidak untuk mekanika kuantum , sejak dibahas persamaan diferensial mengasumsikan bahwa seseorang dapat menentukan posisi yang tepat dan momentum partikel secara simultan pada setiap titik waktu. Namun, persamaan dapat lebih lebih umum untuk kemudian diperluas untuk diterapkan ke mekanika kuantum serta mekanika klasik, melalui deformasi dari aljabar Poisson lebih dari p dari p dan q ke aljabar kurung aljabar kurung Moyal . Secara khusus, bentuk yang lebih umum dari persamaan Hamilton reads







ruang ruang fase fase untuk kuasi-probab kuasi-probabilit ilitas as distribus distribusii Wigner Wigner , namun, namun, pada pada braket braket Poisso Poisson n pengaturan klasik belaka, juga menyediakan lebih banyak kekuatan dalam membantu menganalisis relevan jumlah relevan jumlah dilestarikan dalam suatu sistem.

formalisme Matematika Setiap halus -nilai fungsi nyata H pada manifold symplectic dapat digunakan untuk menentukan sistem Hamiltonian . Fungsi H dikenal sebagai Hamiltonian atau fungsi energi. symplectic tersebut manifold ini kemudian disebut dengan ruang fase . The The

Hamilton Hamilton menginduksi menginduksi khusus medan medan vektor vektor di manif manifold old symple symplecti ctic, c, yang yang dikenal dikenal sebagai medan vektor symplectic . Bidang vektor symplectic, juga disebut medan vektor Hamilton, menginduksi aliran Hamiltonian pada manifold. manifold. Para kurva integral integral dari medan vektor adalah parameterkeluarga salah satu transformasi dari manifold, parameter kurva ini biasanya disebut waktu. Evolusi waktu diberikan oleh symplectomorphisms . Dengan Teorema Liouville

, setiap symplectomorphism menjaga bentuk volume pada ruang fase . Pengumpulan Pengumpulan symplectomo symplectomorphis rphisms ms disebabkan disebabkan oleh aliran aliran Hamilton Hamilton umumnya umumnya disebut disebut mekanika Hamiltonian sistem Hamiltonian.

Struktur symplectic menginduksi kurung Poisson . Braket Poisson Poisson memberi memberikan kan ruang ruang fungsi pada struktur manifold dari suatu aljabar Lie .







Hal ini disebut disebut Teorema Liouville . Setiap fungsi halus G selama symplectic manifold menghasilkan parameter-keluarga salah satu symplectomorphisms dan jika {G, H} = 0, maka G adalah kekal dan symplectomorphisms adalah transformasi simetri . Sebuah Hamilton dapat memiliki beberapa dilestarikan jumlah

i

G. Jika symplectic

manifold memiliki dimensi 2 n dan ada n fungsional independen dilestarikan jumlah i G yang dalam involusi (yaitu, {G

i,

G j} = 0), maka Hamilton Liouville integrable . The

-Arnol'd Teorema Liouville mengatakan mengatakan bahwa secara lokal, setiap setiap integrable integrable Liouville Liouville Hamilt Hamiltonia onian n dapat dapat diubah diubah melalu melaluii symple symplecto ctomor morphis phism m di sebuah sebuah Hamil Hamilton tonian ian baru baru dengan jumlah i G dilestarikan sebagai koordinat, koordinat yang baru disebut tindakan sudut koordinat. The Hamilton berubah tergantung hanya pada

i

G, dan karenanya

persamaan gerak memiliki bentuk sederhana

untuk beberapa fungsi F (Arnol (Arnol'd 'd et al 1988.,). 1988.,). Ada seluruh seluruh bidang bidang berfokus berfokus pada penyimpangan kecil dari sistem integrable diatur oleh teorema KAM . The integrabili integrability ty bidang vektor Hamilton Hamilton pertanyaan pertanyaan terbuka. Secara Secara umum, sistem Hamilton Hamilton adalah chaos ; konsep ukuran, kelengkapan, integrability dan stabilitas yang







mana

adalah lancar lancar bervariasi bervariasi hasil kali dalam pada serat

, Yang ruang

kotangens ke q titik di ruang konfigurasi , kadang-kadang disebut cometric . Hamiltonian ini terdiri seluruhnya dari istilah kinetik . kinetik . Jika seseorang mempertimbangkan manifold Riemann atau manifold pseudo-Riemann , yang Riemann Riemann metrik menginduksi menginduksi isomorfisma isomorfisma linier linier antara dan kotangens kotangens bundel tang tangen. en.

(Lih (Lihat at isomorfis isomorfisma ma Musik ).

menent menentuka ukan n cometr cometric. ic.

Meng Menggun gunak akan an isom isomor orfi fism smaa ini, ini, kita dapat dapat

(Dalam (Dalam koordin koordinat, at, matrik matrikss mendef mendefini inisik sikan an cometr cometric ic adalah adalah

kebalik kebalikan an dari dari matrik matrikss mendef mendefini inisik sikan an metri metrik.) k.) Solusi Solusi-so -solus lusii terhad terhadap ap persamaan Hamilton-Jacobi untuk Hamilton adalah maka sama dengan geodesics di manifold. manifold. Secara khusus, aliran Hamiltonian dalam hal ini adalah hal yang sama dengan aliran geodesic . Adanya solusi tersebut, tersebut, dan kelengkapan dari himpunan solusi, solusi, dibahas secara rinci dalam artikel di geodesics . Lihat juga Geodesics sebagai arus Hamiltonian .

Sub-manifold Riemann Ketika Ketika cometric cometric sudah mati, mati, maka maka tidak tidak invert invertibl ible. e.

Dalam Dalam hal ini, seseora seseorang ng tidak tidak

memi memili liki ki mani manifo fold ld Riem Rieman ann, n, seba sebagai gai sala salah h satu satu tidak tidak memi memili liki ki metr metrik ik..

Namu Namun, n,

Hamiltonian masih ada. Dalam kasus di mana mana cometric sudah mati di setiap q titik ruang konfigurasi Q manifold, manifold, sehingga sehingga peringkat dari dari cometr cometric ic kurang kurang dari dari dimens dimensii Q manifold, satu memiliki sub-Riemann manifold .









p z tidak terlibat dalam Hamiltonian.

aljabar Poisson Hamilton sistem sistem dapat digeneralisir digeneralisir dalam berbagai cara. Bukan hanya melihat melihat aljabar dari fungsi mulus selama manifold symplectic , mekanik Hamilton dapat dirumuskan pada umumnya umumnya komutatif unital nyata aljabar Poisson . Sebuah negara adalah kontinu linier fungsional pada aljabar Poisson (dilengkapi dengan beberapa sesuai topologi ) sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen A elemen A aljabar, A peta ² ke bilangan real tak negatif. Sebuah generalisasi lebih lanjut diberikan oleh dinamika Nambu .

partikel Dibebankan dalam medan elektromagnetik







Pengaturan ulang, kita dapat menyatakan kecepatan dalam hal momentum, seperti:

Jika kita mengganti definisi momentum, dan definisi kecepatan dalam hal momentum, ke defini definisi si dari dari Hamilt Hamiltoni onian an diberi diberikan kan di atas, atas, dan kemudi kemudian an menyed menyederh erhana anakan kan dan mengatur ulang, kita mendapatkan:

Persamaan ini sering digunakan dalam mekanika kuantum .







Jadi Hamilton adalah

Dari sini kita mendapatkan persamaan gaya (setara dengan -Lagrange persamaan Euler ) Euler )

dari yang satu dapat memperoleh







Referensi •

Arnol'd, VI (1989), Metode Matematika Mekanika Klasik, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96890-3

•

Ibrahim, R. ; Marsden, JE (1978), Yayasan Mekanika, London: BenjaminCummings, ISBN 0-8053-0102-X

•

Arnol'd, VI ; Kozlov, VV; Neĩshtadt, AI (1988), aspek Matematika dan langit mekanika klasik, 3, Springer-Verlag

•

Vinogradov, AM; Kupershmidt, BA (1981) ( DjVu ), Struktur mekanika Hamiltonian , London Math. Soc. Lek. Catatan Ser:., 60, London Cambridge Univ. Tekan, http://diffiety.ac.ru/djvu/structures.djvu

Pranala luar •

Binney, James J. , Mekanika Klasik (catatan kuliah) , Universitas Oxford , http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/users/JamesBinney/cmech.pdf ,, diakses 27 http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/users/JamesBinney/cmech.pdf

Mekanika Hamiltonian

Recommend Documents