OPTIMASI BERSYARAT DENGAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER
LAGRANGE DAN APLIKASINYA PADA BERBAGAI KASUS DALAM BIDANG EKONOMI
SKRIPSI Disusun Dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1 untuk memperoleh Gelar Sarjana Sains
Disusun Oleh : Nama
: Mochamad Ridwan
Nim
: 4150403040
Program Studi : Matematika S1 Jurusan
: Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2007
PENGESAHAN SKRIPSI Optimasi Bersyarat dengan Menggunakan Multiplier Lagrange Lagrange dan Aplikasinya pada Berbagai Kasus dalam Bidang Ekonomi.
Telah dipertahankan dihadapan Sidang Panitia Ujian Skripsi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada: Hari
: Kamis
Tanggal
: 23 Agustus 2007 Panitia Ujian
Ketua,
Sekretaris,
Drs. Kasmadi Imam S, M.S NIP. 130781011 130781011
Drs. Supriyono, M.Si NIP. 130815345
Pembimbing Utama,
Ketua Penguji,
Drs. Mashuri, M.Si NIP.131993875
Drs. Wardono, M.Si NIP.131568905
Pembimbing Pendamping,
Anggota Penguji,
Drs. Supriyono, M.Si NIP. 130815345 130815345
Drs. Mashuri, M.Si NIP.131993875 Anggota Penguji,
Drs. Supriyono, M.Si NIP. 130815345
ii
PERNYATAAN
Saya menyatakan bahwa yang tertulis di dalam skripsi ini benar-benar hasil karya saya sendiri, bukan jiplakan dari karya tulis orang lain baik sebagian atau seluruhnya. Pendapat atau temuan orang lain yang terdapat dalam skripsi ini dikutip dan dirujuk berdasarkan kode etik ilmiah .
Semarang, Agustus 2007 Penulis,
Mochamad Ridwan NIM. 4150403040 4150403040
iii
MOTTO DAN PERUNTUKAN
MOTTO
Akal kal
i t u ment er i
yan yang menaseha sehat i .
r aj a yang yang menen enentt ukan ukan..
Hat i
i t u adal ah
Har t a i t u sat u t amu yan yang g akan akan
ber ang angkat kat . Kesenan esenang gan i t u masa yan yang di t i nggal kan kan. Wakt u ki t a l ahi r , s ek ekel i l i ng
ki t a
ki t a menangi s da dan or ang- or ang di hi dup
ki t a
sede sedemi ki an sehi sehi ngga pad pada a wakt u ki ki t a meni eni nggal ,
ki t a
t er s en enyum
ki t a
dan
t er s en enyum.
J al ani l ah
or ang- or ang
di
s ek ekel i l i ng
menan enang gi s. Ber mi mpi l ah
t ent ent ang ang
ap apa
per gi l ah ke t empat - t empat
yan yang
i ngi n
kam kamu
i mpi kan, kan,
kam kamu i ngi n per gi . J adi l ah
s eper eper t i
yang yang
kamu
i ngi ngi nkan, nkan,
memi l i ki
s at u
keh kehii dupan upan dan dan
kar ena ena sat u
kam kamu
hanya hanya
kesem kesempat pat an unt uk
mel aku akukan kan h hal al - hal yan yang i ngi n kam kamu l aku akukan kan.
PERUNTUKAN
Puji syukur kepada Allah swt atas terselesainya skripsi ini. Inilah karya yang harus kulakukan untuk menjadikan diriku sebaik-baiknya. Kuperuntukan karya ini kepada: 1. Bapak ali achmadi dan ibu wahyuningsih 2. Mochamad zamroni 3. Revillia ardhi 4. Drs. Khaerun, M.Si, alm 5. Semua saudara dan kerabat 6. Guru dan sahabatku 7. The MATe 8. Semua dosen dan sahabatku di juruasan matematika angkatan 2003 9. All my lovely friends.
iv
ABSTRAK Mochamad Ridwan (4150403040), Optimasi Bersyarat Dengan Menggunakan Multiplier Lagrange Dan Aplikasinya Pada Berbagai Kasus Dalam Bidang Ekonomi, Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Semarang
Sering kali kita diharuskan untuk mengoptimumkan suatu fungsi, tetapi ada syarat yang harus dipenuhi. Dengan kata lain fungsi yang hendak dioptimumkan menghadapi suatu kendala (constraint). Kasus optimasi bersyarat semacam ini banyak dijumpai dalam bidang ekonomi. Misalnya seseorang hendak memaksimumkan utilitas, atau tingkat kepuasannya tetapi terikat pada fungsi pendapatan, atau sebuah perusahaan yang ingin memaksimumkan labanya namun terikat pada fungsi produksi. Untuk menentukan nilai optimum kasus tersebut kita dapat menggunakan Multiplier Lagrange, yakni dengan membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan di tambah hasil kali pengganda Lagrange λ dengan dengan fungsi kendalanya. Permasalahan yang diangkat dalam penulisan skripsi ini adalah Bagaimana mencari nilai optimum suatu fingsi dengan kendala fungsi lain dengan menggunakan Multiplier Lagrange serta Bagaimana menerapkan optimasi bersyarat menggunakan Multiplier Lagrange dalam kasus (contoh) khususnya dalam bidang ekonomi. Sedangkan tujuan penulisan skripsi ini adalah menentukan nilai optimum suatu fungsi dengan kendala fungsi lain dengan menggunakan Multiplier Lagrange, serta menerapkan metode tersebut untuk menyelesaikan berbagai kasus (contoh) yang berhubungan dengan optimasi bersyarat khususnya dalam bidang ekonomi. ekonomi. Penelitian ini dilakukan melalui tinjauan pustaka terhadap buku-buku atau literatur yang terkait dengan permasalahan yang diangkat. Dari tinjauan pustaka tersebut, kemudian dibahas materi-materi yang terkait dengan permasalahan tersebut secara mendalam. Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa dalam langkahlangkah mentukan nilai ekstrim bersyarat dengan metode Multiplier Lagrange syarat perlu bagi masalah optimasi tanpa kendala masih bisa diterapkan untuk optimasi dengan kendala. Sedangkan untuk mengetahui sifat fungsi Lagrange pada nilai kritisnya digunakan matriks Hessian Berkendala ( Bordered Bordered Hessian). Contoh penerapan Multiplier Lagrange dalam bidang ekonomi adalah menentukan keseimbangan konsumsi dan keseimbangan produksi. Keseimbangan konsumsi artinya suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan kepuasan optimum. Sedangkan keseimbangan produksi artinya suatu keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum, yakni suatu tingkat pencapaian produksi dengan kombinasi biaya terendah ( least cost combination)
v
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan petunjuk dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul ”Optimasi Bersyarat dengan Menggunakan Multiplier Lagrange dan Aplikasinya pada Berbagai Kasus dalam Bidang Ekonomi” . Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada: 1. Prof. Dr. Sudijono Sastroatmojo, M. Si, Rektor Universitas Negeri Semarang. 2. Drs. Kasmadi Imam S., M.S, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang. 3. Drs. Supriyono, M.Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang. 4. Drs. Mashuri, M.Si, Pembimbing I, yang telah memberikan bimbingan, dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini. 5. Drs. Supriyono, M.Si, Pembimbing II, yang telah memberikan bimbingan, dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini. 6. Drs. Khaerun, M.Si, Dosen wali dan dan
”bapak” saya, yang yang senantiasa
membimbing penulis selama menjalani masa studi di Universitas Negeri Semarang. 7. Ayah, ibu serta Adikku yang senantiasa mendoakan serta memberikan dorongan baik secara moral maupun spiritual dan segala yang tak ternilai. 8. Revillia Ardhi yang telah memberikan waktu, perhatian dan semua yang tak terlupakan sehingga penulis ingin segera menyelesaikan skripsi ini. 9. Sahabat serta adikku di The MATe (IM,MP,AM,BB,SG) yang tak hentihentinya memberikan semangat kepada penulis.
vi
10. Teman-temanku Tjokro, Ubaedi, Aryo, Boim, Bisma dan semua Mahasiswa Matematika angkatan 2003, terima kasih atas semuanya. 11. Kelurga Besar ” Baitul Jannah Cost ” Mbah Dukun, Mas Amin, Sugeng W, Mas Azinar, U.D. Gandi dan Bambang yang selalu memberi teladan yang baik bagi penulis. 12. Orang-orang yang tanpa sengaja memberikan inspirasi, motivasi, dan semangat agar cepat diselesaikannya skripsi ini. Akhirnya penulis berharap skripsi ini bermanfaat dan dibaca.
Semarang, Agustus 2007
vii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL.................... JUDUL .......................................... ............................................ ........................................... ......................... .... i PENGESAHAN ............................................. ................................................................... ............................................ ............................. ....... ii PERNYATAAN...................................... PERNYATAAN............... ............................................. ............................................ .................................... .............. iii MOTTO DAN PERSEMBAHAN ......................................... .............................................................. ........................... ...... iv ABSTRAK .......................................... ................................................................ ............................................ ........................................ .................. v KATA PENGANTAR .......................................... ............................................................... .......................................... ....................... .. vi DAFTAR ISI ........................................... ................................................................. ............................................ .................................... .............. viii DAFTAR GAMBAR ........................................... ................................................................. ........................................... ....................... .. xi BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah..................................................... Masalah........................................................................ ................... 1 B. Permasalahan ............................................. .................................................................... ........................................... .................... 4 C. Batasan Masalah ............................................. .................................................................... ...................................... ............... 4 D. Tujuan Penelitian ............................................ .................................................................. ...................................... ................ 4 E. Manfaat Penelitian ............................................. ................................................................... ................................... ............. 5 F. Sistematika Penulisan Skripsi ............................................... ............................................................... ................ 6 BAB II. LANDASAN TEORI A. Fungsi........................................ Fungsi.............................................................. ............................................. ...................................... ............... 8 B. Limit Fungsi...................... Fungsi ............................................. .............................................. ............................................. ...................... 9 C. Kekontinuan Fungsi ............................................ ................................................................... .................................. ........... 14 D. Turunan Fungsi Satu Variabel ........................................... .............................................................. ................... 18 E. Konsep Turunan.................... Turunan .......................................... ............................................ .......................................... .................... 21
viii
F. Turunan Parsial ........................................... ................................................................. .......................................... .................... 25 G. Fungsi Naik dan Fungsi Turun......................................... Turun.............................................................. ..................... 26 H. Maksimum Relatif dan Minimum Minimum Relatif Fungsi Satu Variabel .......... 30 I.
Kecekungan..................................................... Kecekungan.............................. ............................................. ...................................... ................ 35
J. Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel....................................................... Variabel....................................................... 37 K. Matrik Definit Definit Positif .............................................. ..................................................................... .............................. ....... 38 L. Matriks Hessian.................... Hessian .......................................... ............................................. ........................................... .................... 41 M. Utilitas Marjinal .......................................... ................................................................ .......................................... .................... 47 N. Produk Marjinal ............................................... ...................................................................... ..................................... .............. 49 BAB III. METODE PENELITIAN A. Menentukan Masalah ........................................... ................................................................. ................................. ........... 52 B. Penarikan Simpulan ............................................. .................................................................... ................................. .......... 52 C. Studi Pustaka..................... Pustaka ............................................ ............................................. ............................................ ........................ 52 D. Analisis dan Pemecahan Masalah ................................................ ......................................................... ......... 53 E. Merumuskan Masalah .............................................. ..................................................................... ............................. ...... 53 BAB IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. Nilai Extrim Fungsi Bersyarat ............................................. .............................................................. ................. 54 B. Menentukan Nilai Ekstrim Suatu Fungsi Bersyarat dengan ...................................................... ........... 55 Menggunakan Multiplier Lagrange ...........................................
C. Syarat Perlu dan Syarat Cukup Untuk Menghitung Nilai Ekstrim Bersyarat .......................................... ................................................................ ............................................. ............................... ........ 56 D. Penerapan Multiplier Lagrange dalam Bidang Ekonomi Ekonomi .......... ............... .......... ..... 60 1.
Utilitas Utilitas Marjinal Marjinal Persial dan Keseimbangan Keseimbangan Konsumsi Konsumsi .......... ............... ....... .. 60
ix
2.
Produk Marjinal Persial dan Keseimbangan Produksi.................... 69
BAB V. PENUTUP A. Simpulan ............................................... ...................................................................... .............................................. ......................... .. 79 B. Saran................................................ Saran....................................................................... ............................................. ............................... ......... 82 DAFTAR PUSTAKA ......................................... ............................................................... ........................................... ........................ ... 83
x
DAFTAR GAMBAR
f :X Gambar 1. Fungsi f :X
→
Y.............................................................................. 8
Gambar 2. ilustrasi tentang limit....................... limit .............................................. .............................................. ....................... 10 Gambar 3. lim x → 2
2 x 2
−
3 x − 2
x − 2
=
5 ............................................ ................................................................... .......................... ... 11
Gambar 4. Fungsi kontinu ............................................ ................................................................... .................................... ............. 14 Gambar 5. Fungsi naik dan fungsi turun..................... turun ........................................... ..................................... ............... 27 Gambar 6. Ilustrasi nilai stasioner fungsi...................................................... fungsi......................................................... ... 28 Gambar 7 . Garfik Garfik fungsi fungsi f ( x ) = 3 x 5
−
5 x 3 ............................................ ................................................... ....... 29
Gambar 8. Maksimum Maksimum relatif dan minimum relatif ......................................... ......................................... 31 Gambar 9 . Garfik fungsi f ( x ) = x 3
−
6 x 2
+
4 ........................................... .............................................. ... 34
Gambar 10. Flowchart menentukan maksimum relatif dan minimum relatif.. relatif .. 35 Gambar 11. cekung ke atas dan cekung ke bawah........................................... bawah........................................... 36 Gambar 12. grafik fungsi Z = f(x) = x3 + xy2 - 4xy +1.................................... 44 Gambar 13. Bentuk kurva fungsi utilitas .......................................... ......................................................... ............... 47 2 Gambar 14. Bentuk kurva fungsi U = 90 Q – 5 Q dan MU = 90 – 10 Q ....... 48
Gambar 15. Kurva fungsi f (X) = 9 X 2 – X 3 dan MP = P’ = 18 X – 3X 2 ...... ........ 50
xi
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Seperti yang kita ketahui bahwa matematika terapan berperan sebagai ilmu pengetahuan pembantu yang sangat penting bagi ilmu pengetahuan lainnya, terutama bagi ilmu pengetahuan eksak, dan akhir-akhir ini juga bagi ilmu pengetahuan sosial, termasuk didalamnya ilmu ekonomi. Peranan itu sekarang semakin bertambah meluas dan mendalam. Dengan beratnya tugas yang dibebankan kepada matematika sebagai alat, maka alat itu sendiri telah mengalami berbagai pembaharuan dan perkembangan. Meluasnya penggunaan matematika juga dalam ilmu sosial jelas terlihat pada ilmu ekonomi. Sebelum perang dunia kedua, analisis ekonomi terutama dilakukan secara verbal. Perlu dikemukakan bahwa ekonomika verbal pun tidak luput sama sekali dari pemakaian matematika yaitu dalam bentuk analisis geometri dengan diagram-diagram, namun pemakaian hitung diferensial dan integral, persamaan diferensial dan diferensi, aljabar vektor dan matriks pada umumnya belum digunakan. Harus diakui bahwa sejak akhir abad 19 memang sudah ada juga ahliahli ekonomi yang menggunakan matematika untuk analisis ekonomi, dan ahli-ahli matematika yang menerapkan analisis matematika pada ilmu ekonomi seperti Jevons, Marshall, Walras, namun jumlahnya masih sedikit. Baru
setelah
perang
dunia
kedua
1
ekonomika
matematis
mengalami
2
perkembangan yang pesat. Buku-buku ekonomi banyak mengandung analisis analis is matematika
dan
banyak
karangan
dalam
majalah-majalah
ekonomi
berorientasikan matematika. Matematika adalah suatu cabang logika yang menyediakan suatu kerangka sistematis. Dalam matematika, definisi, aksioma, dan anggapananggapan dinyatakan secara tepat dengan menggunakan lambang-lambang sedangkan kesimpulannya dapat ditarik dengan proses analisis deduktif. Sedangkan ilmu ekonomi adalah ilmu yang memusat pada konsep-konsep kuantitatif, misalnya: harga, biaya, tingkat upah, investasi, penghasilan, dan laba. Dari kedua hal diatas dapat disimpulkan bahwa analisis ekonomi tidak bisa dilepaskan dari matematika. Apabila variabel e konomi dinyatakan dengan lambang-lambang maka nilainya dinyatakan secara matematis. Matematika menyediakan teknik untuk menganalisis arti diantara lambang-lambang tersebut, yang berarti juga arti dari variabel-variabel yang diwakilinya. Oleh karena itu banyak analisis ekonomi yang kemudian menggunakan analisis matematika terapan. Didalam matematika maupun ekonomi kita mengenal masalah optimasi (masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum atau paling… , jika ada banyak kemungkinan, bagaimana kita mendapatkan yang terbaik ter baik ?, mana yang paling baik ?). Dalam kehidupan sehari hari, baik disadari maupun tidak, sebenarnya orang selalu melakukan optimasi untuk untuk memenuhi memenuhi kebutuhannya. kebutuhannya. Tetapi
opimasi yang
3
dilakukan masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori optimasi. Pada diferensial fungsi majemuk kita mengenal konsep diferensial parsial. Dalam diferensial fungsi majemuk kita juga dapat melakukan penyelidikan mengenai kedudukan-kedudukan khusus dari sebuah fungsi seperti halnya diferensial pada sebuah fungsi dengan satu variabel bebas. Nilai-nilai ekstrim (maksimum atau minimum) dari sebuah fungsi majemuk dapat dicari dengan menggunakan konsep diferensial parsial. Dalam
penerapannya
sering
kali
kita
diharuskan
untuk
mengoptimumkan (menentukan nilai ekstrim) dari sebuah fungsi, yakni menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi, tetapi ada syarat yang harus dipenuhi. Dengan kata lain fungsi yang hendak dioptimumkan menghadapi suatu kendala (constraint). Kasus optimasi bersyarat semacam ini banyak dijumpai dalam bidang ekonomi. Misalnya seseorang hendak memaksimumkan utilitas, atau tingkat kepuasannya tetapi terikat pada fungsi pendapatan, atau sebuah perusahaan yang ingin memaksimumkan labanya namun terikat pada fungsi produksi. Maka suatu cara yang dapat digunakan untuk menentukan titik ekstrim dari suatu fungsi yang bersyarat adalah dengan menggunakan Pengganda Lagrange, yakni dengan cara membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan di tambah hasil kali pengganda Lagrange kendalanya.
λ
dengan fungsi
4
Berdasarkan permasalahan tersebut penulis mencoba menuangkannya kedalam penulisan skripsi dengan judul “Optimasi Bersyarat dengan Menggunakan Multiplier Lagrange dan Aplikasinya pada Berbagai Kasus dalam Bidang Ekonomi”.
B. Permasalahan
Rumusan masalah yang diangkat dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut. a. Bagaimana mencari nilai optimum suatu fungsi dengan kendala fungsi lain dengan menggunakan Multiplier Lagrange? b. Bagaimana penerapan optimasi bersyarat dengan menggunakan Multiplier Lagrange dalam berbagai kasus (contoh) dalam bidang ekonomi?
C. Batasan Masalah
Dalam
penyusunan
skripsi
ini,
membahas
tentang Multiplier
Lagrange. Metode tersebut digunakan untuk menentukan nilai ekstrim suatu
fungsi dengan kendala fungsi lain. Selanjutnya menerapkan metode tersebut untuk menyelesaikan optimasi bersyarat dalam contoh, khususnya dalam bidang ekonomi.
D. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
5
a. Mengetahui penggunaan Multiplier Lagrange dalam menentukan nilai optimum suatu fungsi dengan kendala fungsi lain. b. Menerapkan Multiplier Lagrange dalam menyelesaikan berbagai kasus (contoh) yang berhubungan dengan optimasi bersyarat khususnya dalam bidang ekonomi.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut. a. Bagi Penulis 1) Membantu penulis dalam menerapkan ilmu-ilmunya sehingga dapat semakin memantapkan pemahaman mengenai teori-teori yang di peroleh selama mengikuti perkuliahan serta mampu menerapkan ilmunya dalam kehidupan nyata. 2) Menambah wawasan penulis tentang metode Multiplier Lagrange, serta dapat mencari solusi Optimal dari kasus yang berhubungan dengan Multiplier Lagrange. b. Bagi Jurusan 1) Dapat dijadikan sebagai bahan studi kasus bagi pembaca dan acuan bagi mahasiswa. 2) Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak melakukan penelitian serupa.
6
F. Sistematika Penulisan Skripsi
Sistematika penulisan skripsi ini dibagi dalam 3 bagian yaitu bagian awal, bagian isi, dan bagian akhir. Bagian awal skripsi berisi halaman judul, lembar pengesahan, lembar pernyataan, motto dan persembahan, perse mbahan, abstrak, kata pengantar, daftar isi, daftar gambar. Bagian isi terdiri dari 5 bab, meliputi hal-hal sebagai berikut. BAB I
: PENDAHULUAN
Pada bab I berisi latar belakang ,permasalahan, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian serta sistematika penulisan skripsi. BAB II
: LANDASAN TEORI
Pada bab II berisi tentang materi dan teori-teori yang berhubungan dengan permasalahan yang dibuat dalam penelitian peneli tian ini yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah. BAB III
: METODE PENELITIAN
Pada bab III Memaparkan tentang prosedur dan langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini meliputi menentukan masalah, merumuskan masalah, studi pustaka, analisis dan pemecahan masalah, penarikan simpulan. BAB IV
: HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Pada bab IV berisikan pembahasan dan analisis dari penelitian. BAB V
: PENUTUP
7
Pada bab V Berisi tentang kesimpulan dari hasil pembahasan dan saran yang ditujukan untuk pembaca umumnya dan bagi penulis sendiri khususnya. Bagian akhir berisikan daftar pustaka sebagai acuan penulis dan lampiran-lampiran yang mendukung kelengkapan skripsi.
BAB II LANDASAN TEORI
A. Fungsi Definisi 1
Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi (padanan) yang menghubungkan setiap obyek x dalam x dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari f(x) dari suatu himpunan kedua. Himpunan
nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi. (Purcell and Varberg, 2003: 39). Ilustrasi fungsi diberikan pada gambar 1
Gambar 1. Fungsi f Fungsi f :X :X → Y Definisi 2
Fungsi adalah relasi antara dua himpunan, untuk setiap elemen di domain berkorespondensi domain berkorespondensi tepat satu dengan elemen di range. range. (Harshbarger and Reynold,1989:52)
8
9
Definisi 3
Notasi Fungsi. Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f atau g (dapat diganti dengan huruf yang lain). Maka f(x), yang dibaca “ f dari x dari x”” atau “ f pada x pada x”, ”, menunjukan nilai yang diberikan oleh f kepada x kepada x.. (Purcell and Varberg, 1987: 48). Contoh fungsi dalam bidang ekonomi seperti fungsi permintaan, fungsi penawaran, fungsi biaya, fungsi utilitas, fungsi produksi dan lain lain. B. Limit Fungsi Definisi 4.
Misalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka I , I ⊆ R yang memuat a, kecuali mungkin pada a itu sendiri. Maka limit f(x) untuk x untuk x mendekati mendekati a adalah L adalah L,, ditulis: lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 ∋ f(x) − L < ε apabila 0 < x − a < δ
x → a
(Stewart, 1998:105). Penafsiran geometri tentang limit dapat diberikan dalam bentuk grafik fungsi. Jika diketahui ε > 0 , maka kita gambarkan garis mendatar y = L + ε dan grafik f (lihat gambar 2(a)). Jika lim f ( x) = L , maka kita dapat y = L − ε dan grafik f x →a
menemukan suatu bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga jika kita batasi x batasi x berada dalam selang
(a − ε , a + ε ) dan
ambil x ≠ a , maka kuva y=f(x)
terletak antara garis y = L + ε dan y = L − ε .(lihat gambar 2(b)). Dapat dilihat
10
bahwa jika suatu δ yang demikian telah ditemukan, maka hal ini juga akan berlaku untuk δ yang lebih kecil.
(a)
(b) Gambar 2. ilustrasi tentang limit
Contoh 1
Buktikan bahwa lim
2 x 2 − 3 x − 2 x − 2
x → 2
=5
Bukti Analisis pendahuluan Kita mencari delta sedemkian hingga 0 < x − 2 < δ ⇒
2 x 2 − 3 x − 2 x − 2
− 5 < ε
Untuk x ≠ 2 2 x 2 − 3 x − 2 x − 2
− 5 < ε ⇔
( 2 x + 1)( x − 2) x − 2
− 5 < ε
⇔ (2 x + 1) − 5 < ε
11
⇔ 2( x − 2) < ε ⇔ 2 x − 2 < ε ⇔ x − 2 < Ini menunjukan bahwa δ =
ε
2
ε
2
akan memenuhi
Bukti resmi Andaikan diberikan ε > 0 .Pilih δ = ( 2 x + 1)( x − 2) x − 2
− 5 =
ε 2
( 2 x + 1)( x − 2) x − 2
. Maka 0 < x − 2 < δ mengimplikasikan
− 5 = (2 x + 1) − 5
= 2( x − 2) = 2 x − 2 < 2δ = = ε Pencoretan factor x-2 sah karena 0 < x − 2 mengimplikasikan x ≠ 2 ; jadi
pembagian dengan 0 dapat dihindari, dihindari, dan
x − 2 x − 2
=1.
Ilustrasinya dapat dilihat pada gambar 3. (Purcell and Varberg, 1987: 72).
Gambar 3. lim x → 2
2 x 2 − 3 x − 2 x − 2
=5
12
Definisi 5.
Misalkan f Misalkan f terdefinisi pada selang buka (a, ( a, b) b ) maka limit f limit f untuk x untuk x mendekati mendekati a dari kanan adalah L adalah L,, ditulis:
lim+ f ( x) = L jika ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ f ( x ) − L < ε apabila a < x < a + δ .
x → a
( Stewart, 1998:109). Definisi 6.
Misalkan f Misalkan f terdefinisi pada selang buka (a, ( a, b) b) maka limit f limit f untuk x untuk x mendekati a dari kiri adalah L adalah L,, ditulis: lim− f ( x) = L jika ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ f ( x ) − L < ε apabila a − δ < x < a .
x → a
( Stewart, 1998:109). Teorema 1 (Teorema Limit)
Andaikan n adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c 1. lim k = k . x → c
2. lim x = c x→c
3. lim kf ( x) = k lim f ( x) x→c
x→c
4. lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) x→c
x→c
x→c
5. lim[ f ( x) − g ( x)] = lim f ( x) − lim g ( x) x→c
x→c
x→c
6. lim[ f ( x). g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x) x→c
7. lim x→c
x→c
f ( x) g ( x)
lim f ( x)
= x→c
lim g ( x)
x→c
x→c
, asalkan lim g ( x) ≠ 0 x→c
13
Bukti (point 4)
Misalkan lim f ( x) = L dan lim g ( x) = M . x→c
x →c
maka ∀ ε > 0 , terdapat δ 1 > 0 dan δ 2 > 0 sehingga f ( x) − L <
ε
2
apabila 0 < x − c < δ 1
Dan g ( x) − M <
ε
2
apabila 0 < x − c < δ 2
Pilih δ = min {δ 1 , δ 2 } . 0 < x − c < δ < δ1 ⇒ f(x) − L <
ε
2
0 < x − c < δ < δ2 ⇒ g(x) − M <
ε
2
Pandang (f + g)(x) − (L + M) = f(x) + g(x) − L − M = f(x) − L + g(x) − M
≤ f(x) − L + g(x) − M <
ε
2
+
ε
2
= ε Jadi
∀ε > 0, ∃ δ > 0 , δ = min{δ 1 , δ 2 } ∋ [ f(x) − g(x)] − (L + M) < ε ,
x − c < δ
Ini berarti lim[ f ( x) + g ( x)] = L + M x → c
Jadi lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) x→c
x→c
x →c
apabila
14
C. Kekontinuan Fungsi Definisi 7
Fungsi f Fungsi f dikatakan dikatakan kontinu dititik x dititik x = a jika a jika memenuhi memenuhi kondisi kondisi berikut : 1. f(a) ada 2. lim f ( x) ada x → a
3. lim f ( x) = f (a) x → a
Jika satu atau lebih kondisi diatas tidak dipenuhi maka fungsi f dikatakan diskontinu di titik x titik x = a. a. (Harshbarger and Reynold,1989:127) Ilustrasi kekontinuan fungsi pada gambar 4.
Gambar 4. Fungsi f(x) Fungsi f(x) kontinu dititik a Contoh 2
Apakah fungsi f ( x) = Penyelesaian 1. f(1) = 0 2. lim f ( x) = 0 x →1
x 2 − 1 x + 1
, untuk x ≠ −1 kontinu dititik x dititik x = = 1 ?
15
3. lim f ( x) = 0 = f (1) x →1
Jadi f(x) Jadi f(x) kontinu dititik x = 1 Teorema 2.
Jika f dan g kontinu pada a, dan c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga juga kontinu di di a: (i)
f + g
(ii)
f – g
(iii) cf (iv) fg (v)
f g
, jika g (a) ≠ 0 . ( Stewart, 1998:119).
Bukti:
(i) Dipunyai f Dipunyai f dan g dan g kontinu kontinu di a Ditunjukan f Ditunjukan f + g kontinu kontinu di a Karena f Karena f dan g dan g kontinu kontinu di a maka lim f ( x) = f (a) dan lim g ( x) = g (a)
x → a
x → a
Diperoleh: lim( f + g )( x) = lim[ f ( x) + g ( x)]
x → a
x → a
= lim f ( x) + lim g ( x) x →a
x → a
= f (a) + g (a) = ( f + g )(a) .
16
Jadi terbukti f terbukti f + g kontinu kontinu di a. (ii) Dipunyai f Dipunyai f dan g dan g kontinu kontinu di a Ditunjukan f Ditunjukan f - g kontinu kontinu di a Karena f Karena f dan g dan g kontinu kontinu di a maka lim f ( x) = f (a) dan lim g ( x) = g (a)
x → a
x → a
Diperoleh: lim( f − g )( x) = lim[ f ( x) − g ( x)]
x →a
x → a
= lim f ( x) − lim g ( x) x →a
x → a
= f (a) − g (a) = ( f − g )(a) . Jadi terbukti f terbukti f - g kontinu kontinu di a. (iii)Dipunyai f (iii)Dipunyai f kontinu di a, c adalah konstanta Ditunjukan cf kontinu di a Karena f Karena f kontinu di a maka lim f ( x) = f (a)
x → a
Diperoleh: lim cf ( x) = c lim f ( x)
x →a
x → a
= c f (a) Jadi terbukti c f kontinu di a. (iv)Dipunyai (iv) Dipunyai f f dan g dan g kontinu kontinu di a Ditunjukan f Ditunjukan f g kontinu kontinu di a Karena f Karena f dan g dan g kontinu kontinu di a maka
17
lim f ( x) = f (a) dan lim g ( x) = g (a)
x → a
x → a
Diperoleh: lim( fg )( x) = lim[ f ( x). g ( x)]
x →a
x → a
= lim f ( x). lim g ( x) x → a
x →a
= f (a). g (a) = ( f g )(a) Jadi terbukti f terbukti f . g kontinu kontinu di a. (v) Dipunyai f Dipunyai f dan g dan g kontinu kontinu di a Ditunjukan
f g
kontinu di a
Karena f Karena f dan g dan g kontinu kontinu di a maka lim f ( x) = f (a) dan lim g ( x) = g (a )
x → a
x →a
Diperoleh:
⎡ f ( x) ⎤ f lim( )( x) = lim⎢ ⎥ x →a g x →a g ( x ) ⎣ ⎦ =
lim f ( x )
x → a
lim g ( x)
,dengan lim g ( x) ≠ 0
x →a
=
f (a) g (a)
⎛ f ⎞ ⎟⎟(a) g ⎝ ⎠
= ⎜⎜
Jadi terbukti
f g
kontinu di a.
x → a
18
D. Turunan Fungsi Satu Variabel Definisi 8
Turunan fungsi f fungsi f pada pada bilangan a dinyatakan dengan f’(a) dengan f’(a) adalah adalah : f’(a) = f’(a) = lim
f (a + h) − f (a)
h →0
h
, jika limitnya ada.
Jika kita menuliskan x = a + h, maka h = x – a a dan h mendekati 0 jika dan hanya jika x x mendekati a. Maka turunan juga dapat ditentukan dengan persamaan persamaan berikut : f’(a) = f’(a) = lim
f ( x) − f (a) x − a
x →0
(Stewart, 1998:146). Contoh 3 2
Jika f(x) Jika f(x) = 4 x , tentukan f’(x) tentukan f’(x) Penyelesaian
Dari definisi didapat f’(x)
= lim
f ( x + h) − f ( x)
h→ 0
= lim
h 4( x + h) 2 − 4 x 2
h →0
= lim
h 4( x 2 + 2 xh + h 2 ) − 4 x 2
h →0
= lim
h 4 x 2 + 8 xh + 4h 2 − 4 x 2
h →0
= lim h →0
h 8 xh + 4h 2 h
19
= lim 8 x + 4h h →0
= 8x Definisi 9
Turunan sebagai fungsi. Diberikan sebarang bilangan x yang bersifat limit ini ada maka kita berikan nilai f’(x) f’(x) pada x. x. Sehingga f’ dipandang sebagai fungsi baru, disebut turunan dari f karena fungsi f’ telah diturunkan dari f dari f dengan menggunakan operasi limit. Dareah definisi f’ adalah adalah himpunan { x│ f’(x) ada}. f’(x) ada}. Sehingga turunan dari f(x) dari f(x) dituliskan dituliskan : f’(x) = f’(x) = lim
f ( x + h) − f ( x)
h →0
h (Stewart, 1998:153).
Contoh 4 3
Jika f(x) Jika f(x) = x – 2x, 2x, carilah rumus untuk f’(x) untuk f’(x).. Penyelesaian
Dari definisi dipunyai f’(x)
= lim
f ( x + h) − f ( x)
h →0
= lim
h [( x + h) 3 − 2( x + h)] − [ x 3 − 2 x]
h →0
h
x 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 − 2 x − 2h − x 3 + 2 x = lim h →0 h = lim
3 x 2 h + 3 xh 2 + h 3 − 2h
h →0
h 2
2
= lim 3x + 3xh + h – 2 h →0
20
= 3x2 –2. Definisi 10 Notasi Turunan. Jika kita menggunakan notasi tradisional y = f(x)
untuk menunjukan variabel bebas adalah x x dan variabel takbebas adalah y, y, maka beberapa notasi alternatif yang dapat digunakan sebagai notasi turunan adalah sebagai berikut: f’(x) = f’(x) = y’ y’ = =
dy dx
=
df dx
d f(x) = f(x) = Df(x) Df(x) = = D D x f(x) dx
=
(Stewart, 1998:158). Teorema 3
Turunan mengimplikasikan kekontinuan Jika f’(c) Jika f’(c) ada maka f maka f kontinu kontinu di c (Purcell and Varberg, 1987: 114). Bukti
Kita perlu memperlihatkan bahwa lim f ( x) = f (c) . Kita mulai dengan x →c
melukiskan f(x) melukiskan f(x) secara khas f ( x) = f (c) +
f ( x) − f (c) x − c
.( x − c),
x ≠ c
Oleh karena itu
⎡ ⎣
lim f ( x) = lim ⎢ f (c) + x → c x →c
f ( x) − f (c)
= lim f (c ) + lim x → c
x → c
= f(c) + f’(c) . 0
x − c
f ( x) − f (c) x − c
⎤ ⎦
.( x − c )⎥
. lim( x − c) x → c
21
= f(c) Kebalikan teorema ini tidak benar. Jika fungsi f kontinu di c, maka tidak berarti bahwa f mempunyai turunan di c. Hal ini dapat ditunjukan dengan meninjau fungsi f ( x ) = x dititi itik 0. fungsi ini kontinu di 0, namu amun tidak idak mempunyai turunan dititik tersebut. Perhatikan bahwa f (0 + h) − f (0) h
=
0+h − 0 h
=
h h
Jadi lim+
f (0 + h) − f (0) h
h→ 0
= lim+ h →0
h h
= lim+ h →0
h h
=1
Sedangkan lim−
h→ 0
f (0 + h) − f (0) h
= lim− h →0
h h
= lim− h →0
−h h
= −1
Karena limit kiri dan limit kanan berlainan, lim h →0
f (0 + h) − f (0) h
Oleh karena itu f’(0) itu f’(0) tidak ada. E. Konsep Turunan
1. Aturan Fungsi Konstan Jika f(x) Jika f(x) = k, dimana k dimana k adalah konstanta , maka f’(x) maka f’(x) = 0. 2. Aturan Fungsi Identitas Jika f(x) Jika f(x) = x, maka f’(x) maka f’(x) = 1. 3. Aturan Perpangkatan Jika f(x) Jika f(x) = xn, dengan n bilangan riil, maka f’(x) maka f’(x) = nxn-1. 4. Aturan Kelipatan konstan
tidak ada.
22
Jika f(x) Jika f(x) = ku(x), dimana k adalah konstanta, maka f’(x) maka f’(x) = ku’(x). 5. Aturan Jumlah Jika f Jika f dan g dan g fungsi yang terdiferensialkan, maka ( f+g)’(x) = f’(x) + g’(x). 6. Aturan selisih Jika f Jika f dan g dan g fungsi yang terdiferensialkan, maka ( f-g)’(x) = f’(x) - g’(x). 7. Aturan Perkalian Jika f dan g fungsi yang terdiferensialkan , maka maka (f.g)’(x) = f(x). g’(x) + f’(x). g(x). 8. Aturan Hasilbagi Jika
f
dan g
fungsi
yang
terdiferensialkan
dengan g(x) ≠ 0
'
⎛ f ⎞ g ( x ) f ' ( x) − f ( x ) g ' ( x ) maka ⎜⎜ ⎟⎟ ( x) = g 2 ( x) ⎝ g ⎠ (Purcell and Varberg, 1987: 117). Bukti
1. f’(x) = f’(x) = lim
f ( x + h) − f ( x )
h →0
2. f’(x) = f’(x) = lim
3. f’(x) = f’(x) = lim
h →0
h f ( x + h) − f ( x )
h →0
= lim
f ( x + h) − f ( x )
h
= lim
n(n − 1) 2
= lim
=0
x + h − x
= lim h →0
h
h h
=1
( x + h) n − x n
h →0
h x n + nx n −1h +
h
x n − 2 h 2 + ... + nxh n −1 + h n − x n
h →0
h
⎡ ⎣ = lim
h ⎢nx n −1 +
h →0
− k k −
h →0
h
h →0
= lim
n( n − 1) 2
⎤ ⎦
x n − 2 h + ... + nxh n − 2 + h n −1 ⎥ h
23
= lim nx n −1 h →0
= nx n −1 4. Andaikan F(x) Andaikan F(x) =k . f(x) maka F ( x + h) − F ( x ) F’(x)= lim h→ 0 h = lim
k . f ( x + h) − k . f ( x)
h→ 0
h
= lim k .
. f ( x + h) − f ( x)
h →0
= k . lim
h f ( x + h) − f ( x )
h→ 0
h
= k . f’(x) 5. Andaikan F(x) Andaikan F(x) = f(x)+g(x) maka F ( x + h) − F ( x ) F’(x)= lim h→ 0 h = lim
[ f ( x + h) + g ( x + h)] − [ f ( x) + g ( x)]
h →0
h
⎡ f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) ⎤ + ⎥⎦ h →0 h h ⎣
= lim ⎢
= lim h→ 0
f ( x + h) − f ( x ) h
+ lim
g ( x + h) − g ( x )
h →0
h
= f’(x) + g’(x) 6. Andaikan F(x) Andaikan F(x) = f(x) - g(x) maka g(x) maka F ( x + h) − F ( x ) F’(x)= lim h→ 0 h = lim h →0
[ f ( x + h) − g ( x + h)] − [ f ( x) − g ( x)] h
24
⎡ f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) ⎤ − ⎥⎦ h→ 0 h h ⎣
= lim ⎢
= lim
f ( x + h) − f ( x )
h→ 0
− lim
g ( x + h) − g ( x )
h →0
h
h
= f’(x) - g’(x) 7. Andaikan F(x) Andaikan F(x) = f(x).g(x) maka f(x).g(x) maka F ( x + h) − F ( x ) F’(x)= lim h→ 0 h = lim
f ( x + h). g ( x + h) − f ( x ). g ( x )
h→ 0
= lim
h f ( x + h). g ( x + h) − f ( x + h). g ( x) + f ( x + h). g ( x) − f ( x). g ( x)
h→0
h
g ( x + h) − g ( x ) f ( x + h) − f ( x ) ⎤ ⎡ = lim ⎢ f ( x + h). + g ( x). ⎥⎦ h→ 0 h h ⎣ = lim f ( x + h). lim h →0
g ( x + h) − g ( x)
h →0
+ g ( x). lim
f ( x + h) − f ( x)
h →0
h
h
= f ( x ). g ' ( x) + g ( x). f ' ( x ) 8. Andaikan F(x) Andaikan F(x) =
f ( x) g ( x )
maka
F ( x + h) − F ( x ) F’(x)= lim h→ 0 h f ( x + h) = lim h →0
= lim h →0
g ( x + h)
−
f ( x ) g ( x )
h . g ( x). f ( x + h) − f ( x). g ( x + h) h
1 . g ( x). g ( x + h)
g ( x). f ( x + h) − g ( x). f ( x ) + f ( x). g ( x) − f ( x). g ( x + h)
= lim h →0
h
1 . g ( x). g ( x + h)
25
⎧
= lim⎨⎡ g ( x) h →0 ⎢ ⎩⎣
f ( x + h) − f ( x) h
− f ( x)
⎫ 1 ⎥⎦ g ( x). g ( x + h) ⎬ ⎭
g ( x + h) − g ( x) ⎤ h
1 = [ g ( x ) f ' ( x) − f ( x ) g ' ( x) ] g ( x ). g ( x ) =
g ( x ) f ' ( x) − f ( x) g ' ( x) g 2 ( x )
F. Turunan Parsial Definisi 11.
Misalkan f suatu fungsi dua variabel x x dan y. y. Turunan parsial f terhadap x terhadap x adalah adalah suatu fungsi, yang dinyatakan oleh D1 f, yang f, yang nilai fungsinya disetiap titik (x, y) dalam y) dalam domain f domain f diberikan oleh : D1 f(x, y) = y) =
∂ f ( x, y ) f ( x + Δ x, y ) − f ( x, y ) , apabila limit ini ada. = lim Δ x →0 ∂ x Δ x
Dengan cara yang sama, turunan parsial f parsial f terhadap y terhadap y adalah adalah suatu fungsi, yang dinyatakan oleh D2 f , yang nilai fungsinya disetiap
(x, y) y) dalam domain f
diberikan oleh : D2 f(x, y) = y) =
∂ f ( x, y ) f ( x, y + Δ y ) − f ( x, y ) , jika limit ini ada. = lim Δ y →0 ∂ y Δ y (Leithold, 1991:313).
Contoh 5
Dipunyai f(x,y) Dipunyai f(x,y) =x2 - 2x2 y + y2 tentukan
Penyelesaian
Dari definisi didapat
∂ f ( x, y ) ∂ f ( x, y ) dan ∂ x ∂ y
26
f ( x + Δ x, y ) − f ( x, y ) ∂ f ( x, y ) = lim Δ x →0 ∂ x Δ x ( x + Δ x) 2 − 2( x + Δ x ) 2 y + y 2 − ( x 2 − 2 x 2 y + y 2 )
= lim
Δ x
Δ x →0
x 2 + 2 xΔ x + (Δ x) 2 − 2 x 2 y − 4 xyΔ x − 2 y(Δ x) 2 + y 2 − x 2 + 2 x 2 y − y 2 = lim Δ x→0 Δ x = lim
2 xΔ x − (Δ x ) 2 − 4 xyΔ x − 2 yΔ x 2
Δ x
Δ x →0
= lim 2 x − Δ x − 4 xy − 2 yΔ x Δ x →0
= 2x - 4xy f ( x, y + Δ y ) − f ( x, y ) ∂ f ( x, y ) = lim Δ y →0 ∂ y Δ y
= lim
x 2 − 2 x 2 ( y + Δ y ) + ( y + Δ y ) 2 − ( x 2 − 2 x 2 y + y 2 )
Δ y →0
lim
=
Δ y
x 2 − 2 x 2 y − 2 x 2 Δ y + y 2 + 2 yΔ y + (Δ y ) 2 − x 2 + 2 x 2 y − y 2
Δ y →0
Δ y
− 2 x 2 Δ y + 2 yΔ y + (Δ y ) 2 = lim Δ y →0 Δ y = lim ( −2 x 2 + 2 y + Δ y ) Δ y →0
= -2x2 + 2y G. Fungsi Naik dan Fungsi Turun Definisi 12
Dipunyai y Dipunyai y = f(x) fungsi yang terdefinisi pada interval I interval I , maka: a. y = f(x) naik pada I pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x bilangan x1 , x2 dalam I dalam I x1 < x2 ⇒ f(x1 ) < f(x2 ).
27
b. y = f(x) turun pada I pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x bilangan x1 , x2 dalam I dalam I x1 >x2 ⇒ f(x1 ) > f(x2 ). (Purcell and Varberg, 1987: 173). Ilustrasi fungsi naik dan funsi turun diberikan pada gambar 5
(a)
(b)
Gambar 5. Fungsi naik dan fungsi f ungsi turun Tes untuk Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Jika f Jika f fungsi fungsi yang terdiferensial pada selang (a,b), (a,b), kemudian Jika f’(x) Jika f’(x) >0 >0 untuk setiap x setiap x di di (a,b), (a,b), maka f maka f naik naik di (a,b) Jika f’(x) Jika f’(x) <0 <0 untuk setiap x setiap x di di (a,b), (a,b), maka f maka f turun turun di (a,b) Jika f’(x) =0 atau =0 atau f’(x) f’(x) tidak tidak terdefinisi maka f maka f bukan bukan fungsi turun atau fungsi naik. Titik x Titik x dinamakan dinamakan titik kritis (stasioner). (Mizrahi and Sullivan, 1976: 141)
28
Nilai Stasioner Fungsi
Gambar 6.
Misal grafik fungsi y fungsi y = f(x) tersaji f(x) tersaji dalam gambar 6 Pada ketiga titik A,B,C diperoleh f’(a)= f’(b)= f’(c)=0, f’(c)=0, ketiga garis singgungnya sejajar dengan sumbu x sumbu x,, dan f dan f stasioner pada ketiga titik tersebut. Untuk titik A, f’(a) f’(a) berubah tanda dari positif-nol-negatif, f dikatakan mempunyai nilai balik maksimum f(a) f(a) pada x = a. Untuk titik B, f’(b) berubah tanda dari negatif-nol-negatif, f dikatakan mempunyai nilai belok horisontal f(b) pada f(b) pada x x = b. b . Untuk titik C, f’(c) berubah f’(c) berubah tanda dari negatif-nol-
positif, f dikatakan mempunyai nilai balik minimum f(c) pada f(c) pada x x = c Kesimpulan
Jika f’(c) =0 =0 maka f(c) f(c) disebut nilai stasioner dari f pada x=c, x=c, dan nilai stasioner mungkin berupa nilai balik maksimum, nilai belok horisontal, atau nilai balik minimum. Contoh 6
Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) fungsi f(x) = 3x5-5x3 dan tentukan pula jenisnya
29
penyelesaian: f’(x) = 15x4-15x2 = 15x 2 (x+1)(x-1) nilai stasioner dicapai apabila f’(x) apabila f’(x) =0 15x2 (x+1)(x-1)=0 Diperoleh x Diperoleh x = 0 atau x atau x = -1 atau x atau x = 1 Untuk x Untuk x = 0, f (0) = 0 Untuk x Untuk x = 1, f (1) = -2 Untuk x Untuk x = -1, f (-1) = 2 f (0) = 0 adalah 0 adalah nilai belok horisontal f (1) = -2 adalah nilai balik minimum f (-1) = 2 adalah nilai balik maksimum untuk lebih jelasnya dapat dilihat dalam gambar 7
Gambar 7 . Garfik fungsi f ( x ) = 3 x 5 − 5 x 3
30
H. Maksimum Relatif dan Minimum Relatif Fungsi Satu Variabel Definisi 13
1. Fungsi f Fungsi f dikatakan dikatakan maksimum relatif pada x pada x = x1 jika ada suatu interval disekeliling x disekeliling x1 dimana f(x dimana f(x1 ) ≥ f(x) untuk setiap x setiap x didalam didalam interval tersebut. 2. Fungsi f dikatakan minimum relatif pada x = x2 jika ada suatu interval disekeliling x disekeliling x2 dimana f(x dimana f(x2 ) ≤ f(x) untuk setiap x setiap x didalam didalam interval tersebut. (Harshbarger and Reynolds, 1989:200) Tes Derivatif Pertama
Andaikan f Andaikan f kontinu kontinu pada selang buka (a, b) yang memuat titik krtiis c krtiis c.. 1. Jika f’(x) Jika f’(x) >0 untuk >0 untuk semua x semua x dalam dalam (a, c) dan f’(x) dan f’(x) <0 untuk semua x semua x dalam dalam (c, b), b), maka f(c) maka f(c) adalah nilai maksimum relatif f. f. Gambar 8(a) 2. Jika f’(x) Jika f’(x) <0 untuk semua x dalam dalam (a, c) dan f’(x) dan f’(x) >0 untuk semua x semua x dalam dalam <0 untuk semua x (c, b), b), maka f(c) maka f(c) adalah nilai minimum relatif f f . . Gambar 8(a) 3. Jika f’(x) Jika f’(x) bertanda bertanda sama sa ma pada kedua pihak c, maka f(c) maka f(c) bukan bukan nilai extrim lokal f. lokal f. Gambar Gambar 8(c) dan Gambar 8(d) (Purcell and Varberg, 1987: 181). Bukti :
1. Karena f’(x) Karena f’(x) >0 untuk >0 untuk semua x semua x dalam dalam (a,c), (a,c), maka f maka f naik naik pada (a, c], Karena f’(x) Karena f’(x) <0 untuk <0 untuk semua x semua x dalam dalam (c,b), (c,b), maka f maka f turun turun pada [c, b). Jadi f(x) < f(c) f(c) untuk semua x x dalam (a, b), b), kecuali di x = c. Dapat disimpulkan bahwa f(c) bahwa f(c) adalah adalah maksimum relatif. 2. Karena f’(x) Karena f’(x) <0 untuk <0 untuk semua x semua x dalam dalam (a,c), (a,c), maka f maka f turun turun pada (a, c], Karena f’(x) Karena f’(x) >0 untuk >0 untuk semua x semua x dalam dalam (c,b), (c,b), maka f maka f naik naik pada [c, b).
31
Jadi f(x) > f(c) f(c) untuk semua x x dalam (a, b), b), kecuali di x = c. Dapat disimpulkan bahwa f(c) bahwa f(c) adalah adalah minimum relatif.
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 8. Maksimum relatif dan minimum relatif Tes Derivatif Kedua
Andaikan f’ Andaikan f’ dan f’’ dan f’’ ada ada pada setiap titik pada selang buka (a, b) yang b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) andaikan f’(c) = 0 1. Jika f’’(c) Jika f’’(c) <0 maka <0 maka f(c) f(c) adalah adalah nilai maksimum relatif f. relatif f. 2. Jika f’’(c) Jika f’’(c) >0 maka >0 maka f(c) f(c) adalah adalah nilai minimum relatif f. relatif f. (Purcell and Varberg, 1987: 181).
32
Bukti :
1. Dipunyai f’(c) Dipunyai f’(c) = 0, 0, f’’(c) <0 Akan ditunjukan f(c) ditunjukan f(c) nilai nilai maksimum relatif f relatif f Dari definisi diperoleh f ' ' (c ) = lim
f ' ( x ) − f ' (c) x − c
x → c
f ' ' (c ) = lim x → c
f ' ( x) − f ' (c ) x − c
f ' ( x ) − 0
= lim
x − c
x → c
<0
Dapat disimpulkan bahwa terdapat selang (α , β ) (mungkin pendek) disekitar c dengan f ' ( x) x − c
<0
≠c
Ketaksamaan ini mengimplikasikan bahwa f’(x) bahwa f’(x) > 0 untuk α <
< c dan
f’(x) < 0 untuk 0 untuk c < x < β . Jadi menurut tes derivatif pertama , f(c) adalah f(c) adalah nilai maksimum relatif. 2. Dipunyai f’(c) Dipunyai f’(c) = 0, 0, f’’(c) >0 Akan ditunjukan f(c) ditunjukan f(c) nilai nilai minimum relatif f relatif f Dari definisi diperoleh f ' ' (c ) = lim
f ' ( x ) − f ' (c)
x → c
f ' ' (c ) = lim x → c
f ' ( x) − f ' (c ) x − c
= lim x → c
x − c
f ' ( x) − 0 x − c
>0
Dapat disimpulkan bahwa terdapat selang (α , β ) (mungkin pendek) disekitar c dengan f ' ( x ) x − c
>0
≠c
33
Ketaksamaan ini mengimplikasikan bahwa f’(x) bahwa f’(x) < 0 untuk α <
< c dan
f’(x) > 0 untuk 0 untuk c < x < β . Jadi menurut tes derivatif pertama , f(c) adalah f(c) adalah nilai minimum relatif Contoh 7
Temukan semua nilai maksimum relatif dan minimum relatif dari fungsi f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 4 Penyelesaian: Dengan tes derivatif pertama:
f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 4 kontinu disetiap titik f ' ( x ) = 3 x 2 − 12 x Titik kritis didapat jika f’(x) jika f’(x) = 0 3 x 2 − 12 x = 0 x (3 x − 12) = 0 x = 0 atau x = 4 Jelas bahwa f ' ( x ) = 3 x 2 − 12 x = x (3 x − 12) > 0 pada (−∞,0) f ' ( x ) = 3 x 2 − 12 x = x (3 x − 12) < 0 pada (0, 4) f ' ( x ) = 3 x 2 − 12 x = x(3 x − 12) > 0 pada (4, ∞) Menurut tes derivatif pertama f(0) = 4 adalah nilai maksimum relatif dan f(4) = -28 adalah -28 adalah nilai minimum relatif ( gambar 9)
34
Gambar 9 . Garfik fungsi f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 4 Dengan tes derivatif kedua:
f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 4 f ' ( x ) = 3 x 2 − 12 x Titik kritis didapat jika f’(x) jika f’(x) = 0 3 x 2 − 12 x = 0
x(3 x − 12) = 0 x = 0 atau x = 4 f ' ' ( x ) = 6 x − 12 Sekarang kita menguji masing-masing titik kritisnya
f ' ' (0) = 6(0) − 12 = −12 < 0 f ' ' ( 4) = 6( 4) − 12 = 12 > 0 Menurut tes derivatif kedua karena f’’(0) < 0 maka 0 maka f(0) = 4 adalah 4 adalah nilai maksimum relatif
35
karena f’’(0) > 0 maka 0 maka f(4) = -28 adalah -28 adalah nilai minimum relatif Untuk mempermudah menentukan titik maksimum relatif dan minimum relati f suatu fungsi, alurnya dapat dilihat dalam flowchart berikut :
Gambar 10. Flowchart menentukan maksimum relatif dan minimum relatif (Mizrahi and Sullivan, 1976: 149) I. Kecekungan Definisi 14
a. Fungsi y=f(x) Fungsi y=f(x) dikatakan dikatakan cekung ke atas pada selang (a,b) jika garis tangen setiap titik pada selang (a,b) selalu berada di bawah grafik y=f(x) grafik y=f(x).. (gambar 11(a)) b. Fungsi y=f(x) y=f(x) dikatakan cekung ke bawah pada selang (a,b) jika garis tangen setiap titik pada selang (a,b) selalu berada di atas grafik y=f(x). y=f(x). (gambar 11(b)) (Mizrahi and Sullivan, 1976: 165)
36
(a)
(b)
Gambar 10. cekung ke atas dan cekung ke bawah Definisi 15
Asumsikan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi f(x) fungsi f(x) ada. Jika f’’(x) Jika f’’(x) > 0 untuk setiap x pada x pada interval I interval I , maka maka f(x) cekung ke atas pada interval I interval I Jika f’’(x)< Jika f’’(x)< 0 untuk setiap x setiap x pada pada interval I interval I , maka maka f(x) maka f(x) cekung ke bawah pada interval I interval I (Harshbarger and Reynolds, 1989:217) Definisi 16 (inflection point)
Titik (b,f(b)) dinamakan titik balik (inflection (inflection point ) jika kurva f cekung ke bawah pada satu sisi titik (b,f(b)) dan cekung ke atas pada sisi yang lain. Turunan kedua dari f dari f akan sama dengan 0 atau tidak terdefinisi. (Harshbarger and Reynolds, 1989:218)
37
J. Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel Definisi 17
1. Fungsi f dari dua peubah dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif pada titik (x0 ,y0 ) ) jika ada bola buka B((x0 ,y0 );r) );r) demikian hingga f(x0 ,y0 ) ≥ f(x,y) untuk f(x,y) untuk semua (x,y) didalam B. didalam B. 2. Fungsi f dari dua peubah dikatakan mempunyai nilai minimum relatif pada titik (x0 ,y0 ) ) jika ada bola buka B((x0 ,y0 );r) );r) demikian hingga f(x0 ,y0 ) ≤ f(x,y) untuk f(x,y) untuk semua (x,y) didalam B. didalam B. (Leithold, 1991:380). Tes untuk Menentukan Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Variabel (uji parsial kedua)
Dipunyai z Dipunyai z = f(x,y) suatu f(x,y) suatu fungsi dua variabel
∂ z ∂ z = = 0 pada titik (a,b) ∂ x ∂ y Dan semua turunan kedua kontinu disana. untuk D = Z xx . Z yy – (Z xy )2
∂ 2 z ∂ 2 z a. Jika D>0 dan >0 >0 dan >0 >0 pada (a,b), (a,b), maka terjadi minimum ∂ x 2 ∂ y 2 relatif pada (a,b)
∂ 2 z ∂ 2 z b. Jika D>0 dan <0 <0 dan <0 <0 pada (a,b), (a,b), maka terjadi maksimum ∂ 2 ∂ y 2 relatif pada (a,b) c. Jika D<0 Jika D<0 pada pada (a,b), (a,b), maka tidak terjadi minimum relatif atau maksimum relatif pada (a,b), (a,b) adalah sebuah titik pelana.
38
d. Jika D=0 Jika D=0 pada pada (a,b), (a,b), maka tes gagal. (Harshbarger and Reynolds, 1989:420) K. Matrik Definit Positif Definisi 18
Bentuk kuadrat pada x pada x1 , x2 , ..., xn adalah ekspresi yang dapat kita tulis sebagai
⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ [ x1 , x 2 ,...., xn ] A ⎢ 2 ⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ x n ⎦ Dengan A Dengan A adalah adalah matriks simetrik n x n
⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ 2 t Jadi misalkan X = ⎢ ⎥ maka bentuk diatas dapat ditulis sebagai X sebagai X A X ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦ (Howard Anton, 1992:316) Contoh 8
Bentuk kudrat dalam dua peubah ( x x dan y) y) didefinisikan terhadap ekspresi yang dapat kita tulis sebagai ax2 + 2bxy + cy 2 dengan mengambil nilai a = 2, b = 3, c= 7 diperoleh 2x2 + 6xy +7y 2
⎡2 3⎤ ⎡ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎣3 7 ⎦ ⎣ y ⎦
bentuk tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk [ x y ] ⎢
39
Definisi 19. t t Bentuk kuadrat X A X disebut definit positif jika X A X> 0 untuk semua t simetri A kita kita sebut matrik definit positif jika X jika X A X x ≠ 0 , sedangkan matrik simetri A
adalah bentuk kuadrat definit positif. (Howard Anton, 1992:318) Contoh 9
Dipunyai matrik simetrik berikut :
⎡ 2 −1 0 ⎤ ⎢ ⎥ A = − 1 2 − 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 − 1 2 ⎥⎦ Untuk mengkaji apakah matrik A bersifat definit positif, maka :
t X A X = [ x1 x 2
= [ x1 x 2
⎡ 2 − 1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ x3 ] ⎢− 1 2 − 1⎥ ⎢ x 2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 − 1 2 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎡ 2 x1 − x 2 ⎤ ⎢ ⎥ x3 ] − x1 + 2 x 2 − x 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣ − x 2 + 2 x3 ⎥⎦
= x1 (2 x1 − x 2 ) + x 2 ( − x1 + 2 x 2 − x 3 ) + x 3 ( − x 2 + 2 x3 ) = 2 x12 − x1 x 2 − x1 x 2 + 2 x 22 − x 2 x 3 − x 2 x3 + 2 x32 = 2 x12 − 2 x1 x 2 + 2 x22 − 2 x 2 x3 + 2 x32
= x12 + ( x12 − 2 x1 x 2 + x 22 ) + ( x 22 − 2 x 2 x3 + x32 ) + x32 = x12 + ( x1 − x 2 ) 2 + ( x 2 − x3 ) 2 + x32 Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat definit positif karena memenuhi:
40
x12 + ( x1 − x 2 ) 2 + ( x 2 − x3 ) 2 + x32 >0 Kecuali jika x1 = x 2 = x3 = 0 t
Sebaliknya matrik A dan bentuk kuadrat X kuadrat X A X disebut : t 1. Definit negatif jika X jika X A X < 0 , untuk semua x ≠ 0 . t 2. Semidefinit positif jika X jika X A X ≥ 0 , untuk semua x semua x.. t 3. Semidefinit negatif jika X jika X A X ≤ 0 , untuk semua x semua x..
4. Indefinit bila tidak termasuk golongan diatas. (Leon,1998 : 309) Himpunan syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk-bentuk definit positif dan negatif. 1. Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definit positif t Suatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk X A X sebagai
definit positif adalah
a11 > 0 ,
a11
a12
a 21
a 22
a11
a12
> 0 , a 21 a 22 a 31
a32
a13 a 23 > 0 ,......, A > 0. a33
t Jika n minor dari A adalah positif, maka X A X adalah definit positif . Dan t
X A X hanya definit positif, jika minor-minor ini positif. 2. Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definit negatif t
Suatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk X A X menjadi definit negatif atau negatif atau setaranya untuk X t (-A) X sebagai X sebagai definit positif adalah
a11 < 0 ,
a11
a12
a 21
a 22
a11
a12
> 0 , a 21 a 22 a 31
a 32
a13 a 23 < 0 ,......, (-1)n A > 0. a33
41
Dimana aij adalah elemen-elemen dari A (bukan –A) (hadley,1992 : 221) L. Matriks Hessian Definisi 20.
Matrik Hessian Hessian adalah matrik yang setiap elemennya dibentuk dari turunan parsial kedua dari suatu fungsi. Milsalkan f(x) f(x) fungsi dengan n variabel yang memiliki turunan parsial kedua dan turunan-turunanya kontinu, Matriks Hessian dari Hessian dari f(x) f(x) ditulis ditulis H adalah
⎡ ∂ 2 f ⎢ ∂ x 2 ⎢ 21 ⎢ ∂ f ⎢ H = ⎢ ∂ x2 ∂ x1 ⎢ ... ⎢ ⎢ ∂ 2 f ⎢ ⎢⎣ ∂ xn ∂ x1
∂ 2 f ∂ x1∂ x2 ∂ 2 f ∂ x22 ...
∂ 2 f ∂ xn ∂ x2
∂ 2 f ⎤ ... ∂ x1∂ xn ⎥⎥ ∂ 2 f ⎥ ... ∂ x2 ∂ xn ⎥ ⎥ O ... ⎥ ⎥ 2 ... ∂ f ⎥ ⎥ ∂ xn2 ⎥⎦
Matrik Hessian Hessian dapat digunakan untuk melakukan uji turuanan kedua fungsi lebih dari satu variabel, yaitu untuk mengidentifikasi optimum relatif dari nilai fungsi tersebut. Penggolongan titik stasioner fungsi dua variabel dengan menggunakan Matriks Hessian
Misalkan f(x)= F(x1 ,......,xn ) adalah ) adalah fungsi bernilai real dimana semua turunan parsialnya kontinu. Misalkan Misalkan x0 adalah titik stasioner dari F dan kita definisikan H definisikan H = H(x0 ) dengan ) dengan persamaan H ijij = F xi , y j ( x 0 ) H (x0 ) adalah ) adalah hessian dari F dari F pada x pada x0.
42
Titik stasioner dapat digolongkan sebagai berikut : 1. x0 adalah suatu minimum relatif dari F dari F jika H jika H (x0 ) definit ) definit positif 2. x0 adalah suatu maksimum relatif dari F dari F jika H jika H (x0 ) definit ) definit negatif 3. x0 adalah suatu titik pelana dari F dari F jika H jika H (x0 ) indefinit ) indefinit (Leon,1998 : 313) Untuk lebih memahami penggunaan uji parsial kedua dan matrik Hessian diberikan contoh berikut. Contoh 10
Dipunyai Z Dipunyai Z = f(x,y) = x3 + xy2 - 4xy +1 Tentukan titik kritis dan jenisnya dari Z. Penyelesaian ( Dengan uji parsial kedua )
1) Tentukan
∂ Z ∂ Z dan ∂ x ∂ y
∂ Z = 3x2+y2-4y ∂ x
;
∂ Z = 2xy - 4x ∂ y
2) Tentukan titik stasioner
∂ Z =0 ∂ y 2xy - 4x = 0 2x(y – 4)=0 x = 0 atau y atau y = 2
∂ Z =0 ∂ x 2
2
3x +y -4y = 0,
2 2 x= 0 → 3(0) +y -4y = 0
y (y-4) = 0
43
y = 0 atau y atau y = 4 y= 2 → 3x2+22-4(2) = 0 2
3x -4= 0 3x2 = 4 4
x12 = ±
x12 = ±
x =
2
3
2 3
3 atau x atau x = −
3
Titi Titik k sta stasi sion oner erny nyaa ada adala lah h (0, (0, 0), 0), (0, (0, 4), 4), (
2 3
3 ,2), ( −
3) Tentukan semua turunan parsial kedua
∂ 2 Z = 6x ∂ x 2
∂ 2 Z ; = 2x ∂ y 2
∂ 2 Z ∂ 2 Z = = 2 y − 4 ∂ y∂ x ∂ x∂ y 4) Hitung D pada titik stasioner D = Z xx . Z yy – (Z xy )2 a. Pada (0, 0), D = ( 0) . ( 0) - 0 = -16 b. Pada (0, 4), D = ( 0) . ( 0) - 16 = - 16 c. Pada (
2 3
3 ,2), D = ( 4 3 ) . (
∂ 2 Z 2 = 6 ( 3)= 4 3 3 ∂ x 2
4 3
3
3 ) - 0 = 16
2 3 2 3
3
3 ,2)
44
2 4 ∂ 2 Z = 2 ( 3 ) = 3 3 3 ∂ y 2 d. Pada (-
2 3
3 ,2), D = (- 4 3 ) . (-
4 3
3 ) - 0 = 16
∂ 2 Z 2 = 6 (3 ) = -4 3 2 3 ∂ x ∂ 2 Z 2 4 3)=3 = 2 (2 3 3 ∂ y 5) Klasifikasi titik stasioner (0, 0) = titik pelana (0, 4) = titik pelana (
2
3 ,2) = minimum relatif
3
(−
2 3
3 ,2) = maksimum relatif
Grafikn Grafiknya ya dapat dapat dilihat dilihat dalam dalam gamba gambarr 12. 12.
3
2
Gambar 12. grafik fungsi Z fungsi Z = f(x) = x + xy - 4xy +1
45
Dengan matrik Hessian
1) Tentukan
∂ Z ∂ Z dan ∂ x ∂ y
∂ Z 2 2 = 3x +y -4y ∂ x
;
∂ Z = 2xy - 4x ∂ y
2) Tentukan titik stasioner
∂ Z =0 ∂ y 2xy - 4x = 0 2x(y – 4)=0 x = 0 atau y atau y = 2
∂ Z =0 ∂ x 3x2+y2-4y = 0,
x= 0 → 3(0)2+y2-4y = 0 y (y-4) = 0 y = 0 atau y atau y = 4 y= 2 → 3x2+22-4(2) = 0 2
3x -4= 0 3x2 = 4 4
x12 = ±
x12 = ±
x =
2 3
3
2 3
3
3 atau x atau x = −
2 3
3
46
Titi Titik k sta stasi sion oner erny nyaa ada adala lah h (0, (0, 0), 0), (0, (0, 4), 4), (
2 3
3 ,2), ( −
2 3
3 ,2)
3) Untuk mengetahui jenis titik stasionernya, harus diselidiki matrik Hessiannya. Hessiannya. Turunan kedua dari Z dari Z adalah adalah
∂ 2 Z ∂ 2 Z = 6x ; = 2x ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ 2 Z ∂ 2 Z = = 2 y − 4 ∂ y∂ x ∂ x∂ y 4) Jadi matrik Hessian matrik Hessiannya nya menjadi 2 y − 4⎤ ⎡ 6 x ⎥ 2 x ⎦ ⎣2 y − 4
H= ⎢
Sehingga diperoleh H1 = [6x0 ] , 2 y 0 − 4⎤ ⎡ 6 x 0 ⎥ 2 x0 ⎦ ⎣2 y 0 − 4
H2 = ⎢
Nilai matrik matrik Hessian untuk Hessian untuk masing-masing titik ekstrim disajikan dibawah ini : Titik stasioner (x0, y0) (0,0) (0,4)
⎛ 2 ⎞ ⎜ 3 ,2 ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎛ 2 ⎞ 3 ,2 ⎟ ⎜− ⎝ 3 ⎠
Matrik H
⎡ 0 − 4⎤ ⎢− 4 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡0 4⎤ ⎢ 4 0⎥ ⎣ ⎦
H1
H2
Sifat H
Sifat (x0, y0)
0
-16
Indefinit I ndefinit
Titik pelana
0
-16
Indefinit I ndefinit
Titik pelana
16
Definit positif
Minimum relatif
16
Definit negatif
Maksimum relatif
⎡4 3 0 ⎤ ⎢ ⎥ 4 4 3 0 3 ⎢ ⎥ 3 ⎣ ⎦ ⎡− 4 3 0 ⎤ ⎢ ⎥ 4 − 3⎥ − 4 3 ⎢ 0 3 ⎣ ⎦
47
M. Utilitas Marjinal.
Fungsi utilitas ialah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah. Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Persamaan utilitas total (total utility, U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah. Utilitas marginal (marginal utility, MU) ialah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marginal merupakan derivatif pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f (Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya : MU =U’ =
dU dQ (Dumairy, 1996 :226)
48
Gambar 13. Bentuk kurva fungsi utilitas Karena fungsi utilitas total yang non linier pada umumnya berbentuk fungsi kuadrat, fungsi utilitas marjinalnya akan berbentuk fungsi linier. Kurva utilitas marjinal (MU) (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada pada posisi puncaknya. puncaknya. Contoh 11.
U = f (Q) = 90 Q – 5 Q
2
MU = U’ = 90 – 10 Q U maksimum maksimum pada MU pada MU = 0 MU = 0 → Q = 9 U maksimum maksimum = 90 (9) – 5(9)
2
= 810 – 405 = 405 Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar 14
49
Gambar 14. Bentuk kurva fungsi U = 90 Q – 5 Q2 dan MU dan MU = 90 – 10 Q N. Produk Marjinal.
Produk marjinal (marjinal (marjinal product, MP) ialah produk tambahan ysng dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan P = f (X) dimana P melambangkan jumlah produk total dan X adalah jumlah masukan, maka produk marjinalnya marjinalnya : MP = P’ =
dP dX
Karena fungsi produk total yang non-linier pada umumnya berbentuk fungsi kubik, fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat (parabolik). Kurva produk marjinal (MP) selalu mancapai nilai ekstrimnya, dalam hal ini nilai maksimum, tepat pada saat kurva produk total (P) berada
50
pada posisi titik beloknya. Produk total mancapai mancapai puncaknya ketika produk marjinalnya nol. Sesudah kedudukan ini, produk total menurun bersamaan dengan produk marjinal menjadi negatif. Area dimana produk marjinal negatif menunjukan bahwa penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan akan mengurangi mengurangi jumlah jumlah produk total. total. (Dumairy, 1996 :227) Contoh 12.
Produksi total : P = f (X) = 9 X 2 – X 3 Produk marjinal : MP = P’ = 18 18 X – 3X
2
P maksimum pada P’ pada P’ = 0 yaitu pada X = 6 , dengan P dengan P maksimum maksimum = 108 pada P” = (MP)’ = 0 yaitu pada P berada dititik belok dan MP maksimum pada X=3. (gambar 15).
51
Gambar 15. Kurva fungsi f fungsi f (X) = 9 X 2 – X 3 dan MP dan MP = P’ = 18 18 X – 3X 2
BAB III METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini ini metode metode yang yang digunakan penulis adalah studi pustaka. pustaka. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut. A. Menentukan Masalah
Dalam tahap ini dilakukan pencarian sumber pustaka dan memilih bagian dalam sumber pustaka tersebut yang dapat dijadikan sebagai permasalahan. B. Merumuskan Masalah
Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan yang telah ditemukan, yakni bagaimanakah penggunaan Multiplier Lagrange untuk menentukan nilai ekstrim (maksimum atau minimum) fungsi
bersyarat
dengan fungsi kendala berbentuk persamaan, serta mencari contoh kasus nyata dalam bidang ekonomi yang merupakan terapan dari Multiplier Lagrange. C. Studi Pustaka
Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara mengumpulkan data atau informasi yang berkaitan dengan permasalahan, mengumpulkan konsep pendukung seperti definisi dan teorema serta membuktikan permasalahan.
teorema-teorema Sehingga
yang
didapat
suatu
pengembangan upaya pemecahan masalah
52
diperlukan ide
untuk
mengenai
menyelesaikan bahan
dasar
53
D. Analisis dan Pemecahan Masalah
Analisis dan pemecahan masalah dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Mempelajari dan mengkaji dengan menggunakan referensi yang ada tentang bagaimana menurunkan model matematikanya. b. Mengetahui secara jelas tentang langkah-langkah menentuan nilai ekstrim suatu fungsi, baik fungsi satu variabel maupun fungsi dua variabel. c. Mencari nilai ekstrim dari suatu fungsi bersyarat dengan menggunakan Multiplier
Lagrange, serta menerapkannya dalam kasus (contoh),
khususnya dalam bidang ekonomi. E. Penarikan Simpulan
Tahap ini merupakan tahap akhir dari penelitian. Penarikan simpulan dari
permasalahan
pembahasanya.
yang
dirumuskan
berdasarkan
studi
pustaka
dan
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
A. Nilai Extrim Fungsi Bersyarat
Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk optimasi yaitu, optimasi fungsi tak bersyarat dan optimasi fungsi bersyarat. Kita sudah mengenal beberapa cara untuk menyelesaikan bentuk yang pertama seperti uji turunan pertama, uji turunan kedua, untuk fungsi satu variabel, serta uji parsial kedua untuk fungsi dua variabel, semuanya telah diuraikan pada bab sebelumya. Sedangkan untuk jenis yang kedua merupakan jenis yang paling banyak kita jumpai dalam kehidupan nyata. Banyak aplikasi dari pemodelan matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk diperoleh suatu solusi optimal. Syarat ini yang mengoptimumkan fungsi tujuan. Persoalan dengan model tersebut dinamakan optimasi bersyarat. Bentuk umum dari optimasi fungsi dengan kendala adalah sebagai berikut: Tentukan nilai dari variabel keputusan (nilai ekstrim) X = {x 1 , x2 , …, x n } yang memaksimumkan (meminimumkan) fungsi dari permasalahan: Maksimumkan (Minimumkan) z = f(X) Dengan kendala g 1(X)( ≤ ≤ , =, ≥ ) b1 g 2(X)( ≤ ≤ , =, ≥ ) b2 ………………. g i(X)( ≤ ≤ , =, ≥ ) bi , i = 1, 2, …, m
54
55
dimana f (X) (X)
merupakan
fungsi
tujuan
(objective
function),
dan
g i(X)( ≤ ≤ , =, ≥ ) bi merupakan fungsi kendala.
Tapi dalam penulisan skripsi ini akan diuraikan optimasi fungsi dengan kendala persamaan. B. Menentukan
Nilai
Ekstrim
Suatu
Fungsi
Bersyarat
dengan
Menggunakan Multiplier Lagrange.
Metode Multiplier Lagrange merupakan salah satu cara yang dapat digunakan untuk menentukan titik ekstrim fungsi berkendala, dimana semua fungsi kendalanya berbentuk persamaan. Teknik matematika Multiplier Lagrange telah dikembangkan untuk mengatasi masalah optimasi dengan
kendala persamaan dalam suatu bentuk sedemikian hingga syarat perlu bagi masalah optimasi tanpa kendala masih bisa diterapkan. Metode ini paling banyak dipakai dengan pertimbangan prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Bentuk persoalan dari optimasi fungsi dengan kendala persamaan dirumuskan sebagai berikut: Maksimumkan (Minimumkan) z = f(X),
X = {x1 , x2 , …, xn }
Dengan kendala g 1(X) = b1 g 2(X) = b2 ………… g i(X) = bi , i = 1, 2, …, m.
Dimana f(X) fungsi yang hendak dioptimumkan (fungsi tujuan) dan g i(X) = b i adalah fungsi kendala (equality constraint ). ). Untuk menentukan nilai ekstrim
56
dari persoalan tersebut digunakan pangganda
λ i dengan
fungsi kendala ke i
dan persamaan fungsi lagrangenya: L ( X , λ ) = f ( X ) +
m
∑ λ g ( X ) . i
i
i =1
Fungsi baru lagrange dapat pula dibentuk dengan cara mengurangkan fungsi yang hendak dioptimumkan terhadap hasil kali
λ
dengan fungsi kendala,
hasilnya tetap sama kecuali pada tanda hasil perhitungan bahwa pengali pe ngali lagrange lag range
λ disini
λ .
Perlu diketahui
adalah suatu variabel tak – tentu yang hanya
bersifat pembantu. C. Syarat Perlu dan Syarat Cukup Untuk Menghitung Nilai Ekstrim Bersyarat
Seperti yang telah dijelaskan diatas bahwa Teknik matematika Multiplier Lagrange telah dikembangkan untuk mengatasi masalah optimasi
dengan kendala persamaan dalam suatu bentuk sedemikian hingga syarat perlu bagi masalah optimasi tanpa tanp a kendala masih bisa diterapkan. di terapkan. Uraian Uraia n dari syarat sy arat perlu serta syarat cukup cu kup tersebut adalah sebagai berikut. 1. Syarat perlu (necessary conditions) untuk ekstrim relatif Syarat perlu bagi sebuah fungsi f ( X) dengan kendala g i ( ) = 0 , dengan i X = 1,2,...,m agar mempunyai extrim relatif dititik X * adalah derivasi
pertama
dari
fungsi
lagrangenya
yang
didefinisikan
sebagai
L = L( x1 , x 2 ,..., x n , λ 1 , λ 2 ,..., λ m ) , terhadap setiap argumennya mempunyai
nilai 0 atau
∂ L ∂ L ∂ L ∂ L ∂ L ∂ L = = ... = = = = ... = =0 ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x n ∂λ 1 ∂λ 2 ∂λ m
57
2. Syarat cukup ( sufficient sufficient conditions) untuk ekstrim relatif Seperti pada kasus optimasi tanpa kendala, syarat cukup pada kasus ini juga diekspresikan dalam bentuk determinan. Posisi determinan matriks Hessian pada optimasi dengan kendala persamaan digantikan dengan apa
yang disebut Bordered Hessian. Syarat cukup ini diterapkan setelah syarat perlu dipenuhi dan digunakan untuk mengetahui prilaku dari L ( X , λ i ) pada nilai kritisnya. Bentuk Bentu k dari Bordered Hessian yang dilambangkan HB tersebut sebagai berikut :
⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ∂ g ⎢ ∂ x 1 H b = ⎢ ∂ g ⎢ ⎢ ∂ x 2 ⎢ M ⎢ ∂ g ⎢ ∂ x ⎣ n
∂ g ∂ x 1 ∂ L ∂ x 12 ∂ L ∂ x 2 x 1
∂ g ∂ x 2 ∂ L ∂ x 1 x 2 ∂ L ∂ x 22
M
M
∂ L
∂ L
∂ x n x 1
∂ x n x 2
L L L O L
∂ g ∂ x n ∂ L ∂ x 1 x n ∂ L ∂ x 2 x n M
∂ L ∂ x n2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
Syarat tersebut harus diekspresikan dalam bordered principal minor. Dari nya adalah : Bordered Hessian diatas, maka bordered principal minor nya
⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ∂ g H 2 = ⎢ ∂ x ⎢ 1 ⎢ ∂ g ⎢ ∂ x 2 ⎣
∂ g ∂ x1 ∂ 2 L ∂ x12 ∂ 2 L ∂ x 2 ∂ x1
∂ g ⎤ ⎥ ∂ x 2 ⎥ ∂ 2 L ⎥ ∂ x1 ∂ x 2 ⎥ ⎥ ∂ 2 L ⎥ ∂ x 22 ⎥⎦
58
⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ∂ g ⎢ ∂ x1 H3 = ⎢ ⎢ ∂ g ⎢ ∂ x 2 ⎢ ∂ g ⎢ ⎢⎣ ∂ x3
∂ g ∂ x1 ∂ 2 L ∂ x12 ∂ 2 L ∂ x 2 ∂ x1 ∂ 2 L ∂ x 3 ∂ x1
∂ g ∂ x 2 ∂ 2 L ∂ x1 ∂ x 2 ∂ 2 L ∂ x 22 ∂ 2 L ∂ x 3 ∂ x 2
∂ g ⎤ ∂ x 3 ⎥ ⎥ ∂ 2 L ⎥ ∂ x1 ∂ x 3 ⎥ ⎥ ∂ 2 L ⎥ ∂ x 2 ∂ x3 ⎥ ∂ 2 L ⎥ ⎥ ∂ x 32 ⎥⎦
Dan seterusnya. Kemudian, a. Jika H2 , H3 , ....., H n = H < 0 , Bordered Hessian adalah definit positif, yang merupakan syarat cukup untuk minimum relatif, sehingga X * adalah minimum relatif. b. Jika H2 > 0 , H3 < 0 , H4 > 0 , dan seterusnya, Bordered Hessian adalah definit negatif, yang merupakan syarat cukup untuk maksimum relatif, sehingga X * maksimum relatif. Perlu diingat bahwa pemeriksaan dimulai dari H2 bukan dari H1 Contoh 1.
Carilah nilai extrim dari fungsi f(x,y) = x3 + y3 + xy dengan syarat x + y -4 = 0 Penyelesaian :
Optimumkan
: f (x,y) = x3 + y3 + xy
Dengan kendala
: g (x, y) = x + y – 4.
Diperoleh fungsi baru Lagrange : F (x, y, λ ) ) = f (x,y)+
λ g g
(x, y) atau
F (x, y, λ ) ) = x3 + y3 + xy +
λ (
x + y – 4)
Syarat perlu untuk mendapatkan titik extrim :
59
∂ F ∂ F ∂ F = = =0 ∂ x ∂ y ∂λ ∂ F = 3x2 + y + ∂ x
λ
∂ F = 3y2 + x + ∂ y
λ =
= 0 ............................................ .........................................................(1) .............(1)
0 ........................................................ ........................................................ (2)
∂ F = x + y - 4 = 0 ................................ ....................................................... ...............................(3) ........(3) ∂λ Dari persamaan (1) dan (2) λ =
- (3x 2 + y )
λ =
- (3y 2 + x )
3x2 + y = 3y 2 + x ......................................... ............................................................... ........................(4) ..(4)
Dari persamaan (3) diperoleh y = 4 – x , subtitusikan ke persamaan (4) 3 x2 + (4 – x) = 3 ( 4 - x) 2 + x 3 x2 + 4 – x
= 48 – 24x + 3x 2 + x
22 x = 44 x = 2 x = 2 → x + y – 4= 0 → y = 2
Pada x =2 dan y = 2 Fungsi tujuannya memberikan nilai ekstrim f (x,y) = 20 Syarat cukup untuk menguji sifat titik stasioner : Untuk mengetahui perilaku fungsi F (x, y, λ ) ) = x3 + y3 + xy +
λ (
x + y – 4) pada x =2 , y = 2
60
⎡ ∂ g ⎢0 ∂ x ⎢ ⎢ ∂ g ∂ 2 L H 2 = ⎢ ∂ x 2 ⎢ ∂ x ⎢ ∂ g ∂ 2 L ⎢ ⎣⎢ ∂ y ∂ y∂ x
∂ g ⎤ ⎥ ∂ y ⎥ ∂ 2 L ⎥ ⎥ ∂ x ∂ y ⎥ ∂ 2 L ⎥ ⎥ ∂ y 2 ⎦⎥
⎡0 1 1 ⎤ ⎢ ⎥ H 2 = 1 6 x 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣1 1 6 y ⎥⎦ Pada titik (2, 2) diperoleh nilai H2
⎡0 1 1 ⎤ ⎢ ⎥ H 2 = 1 12 1 = -22 ⎢ ⎥ ⎢⎣1 1 12⎥⎦ jadi nilai L pada (2,2) adalah minimum relatif. D. Penerapan Multiplier Lagrange dalam Bidang Ekonomi. 1. Utilitas Marjinal Persial dan Keseimbangan Konsumsi.
Dalam kenyataan sehari-hari, seorang konsumen tidak hanya mengkonsumsi satu macam barang tetapi berbagai macam. Jika kepuasan konsumen
dilambangkan
dengan
U
dan
barang-barang
yang
dikonsumsinya dilambangkan dengan qi (i = 1, 2, 2, ,..., n ), maka fungsi utilitasnya dapat dituliskan dengan notasi U = f (q1 , q2 , ......, qn ). Seandainya untuk menyederhanakan dianggap bahwa seorang konsumen hanya mengkonsumsi dua macam barang, katakanlah X dan Y , maka fungsi utilitasnya adalah : U = f(x, y)
Derivatif pertama dari U merupakan utilitas marjinal parsialnya
61
∂U adalah utilitas marjinal berkenaan dengan barang X ∂ x ∂U adalah utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y ∂ y Untuk U = konstanta tertentu, fungsi utilitas U = f(x, y) merupakan suatu persamaan kurva indiferensi, yaitu kurva yang menunjukan berbagai kombinasi konsumsi barang X dan Y yang memberikan tingkat kepuasan yang sama. Keseimbangan konsumsi maksudnya adalah suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan kepuasan optimum. Secara geometri, keseimbangan konsumsi terjadi pada persinggungan kurva indiferensi ind iferensi dengan d engan garis gar is anggaran anggara n konsumen (budget line). Garis anggaran adalah garis yang mencerminkan kemampuan
konsumen membeli berbagai macam brang berkenaan dengan harganya masing-masing dan pendapatan konsumen. Jika pendapatan konsumen berjumlah M serta serta harga barang X dan dan barang Y masing-masing P x dan P y per unit, persamaan budget line-nya dapat ditulis dengan notasi M = x.P x + y.P y
Tingkat kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum atau keseimbangan konsumsi dapat dicari dengan Multiplier Lagrange. Dalam hal ini fungsi utilitas U = f (x,y) dimaksimumkan terhadap fungsi anggaran M = x.P x + y.P y. Diperoleh fungsi baru Lagrange : F (x, y) = f (x, y) +
λ (
Agar F maksimum :
x.P x + y.P y – M)
62
F x (x, y) =0 → f x (x, y) +
λ .P x=
0 ......................................... ...............................................(1) ......(1)
F y (x, y) =0 → f y (x, y) +
λ .P y=
0 ......................................... ...............................................(2) ......(2)
Selanjutnya perhatikan : Utilitas total
: U = f(x, y)
Utilitas marjinal
: MU = U’ = f ‘ (x, y)
Utilitas marjinal barang X : : MU x = f x (x, y) =
∂U ∂ x
Utilitas marjinal barang Y : : MU y = f y (x, y) =
∂U ∂ y
Dari persamaan (1) : f x (x, y) +
λ .P x =
Dari persamaan (2) : f y (x, y) +
λ .P y=
0 → − λ =
0 → − λ =
f x (x, y) P x
f y (x, y) P y
diperoleh f x (x, y) P x
=
f y (x, y) P y
berakibat
MU x P x
=
MU y P y
Dapat diartikan pula bahwa keseimbangan konsumsi akan tercapai apabila hasil bagi utilitas marjinal masing-masing barang terhadap harganya bernilai sama. Contoh 2.
Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y dicerminkan oleh fungsi U = x2 y3. jumlah pendapatan konsumen 1.000 rupiah, harga X dan harga Y per unit masing masing 25 rupiah dan 50 rupiah. a) Bentuklah fungsi utilitas marjinal untuk masing-masing barang.
63
b) Berapa utilitas marjinal tersebut jika konsumen mengkonsumsi 14 unit dan 13 unit Y ? X dan c) Jelaskan apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y kepuasan konsumen optimum atau tidak? d) Hitunglah kombinasi konsumsi X dan Y yang memberikan kepuasan optimum, buktikan pula bahwa pada tingkat kepuasan optimum tersebut
MU x P x
=
MU y P y
Penyelesaian :
a) U = x2 y3 Utilitas marjinal barang X : MU x =
∂U = 2 x y 3 ∂ x
Utilitas marjinal barang Y : : MU y =
∂U = 3 x2 y2 ∂ y
b) Jika x = 14 dan y = 13 3 MU x = 2(14).(13) = 61516 2 2 MU y = 3(14) .(13) = 99372
c)
MU x P x MU y P y MU x P x
61516
=
25
=
≠
= 2460,64
99372 = 1987,44 50
MU y P y
Berarti kombinasi konsumsi 14 unit X dan dan 13 unit Y tidak tidak memberikan kepuasan optimum, tidak terjadi keseimbangan konsumsi.
64
d) U = x2 y3 M = x.P x + y.P y
1000 = 25 x + 50 y 25 x + 50 y -1000 = 0 Dari dua persamaan di atas diperoleh fungsi baru Lagrange : F (x, y)= x2 y3 +
λ (
25 x + 50 y -1000 )
x + 50 λ y -1000 λ = x2 y3 + 25 λ x
Agar F maksimum: 2xy 3
F x = 2x y + 25 λ = 0 → - λ = 3
25
F y = 3 x y + 50 λ = 0 → - λ = 2
2
3x 2 y 2 50
Berdasarkan (1) dan (2) , 2xy 3 25
=
3x 2 y 2 50
→ 100 x y3 = 75 x2 y2
y =
3 4
x
25 x + 50 y -1000 = 0 3 25 x + 50 ( x ) -1000 = 0 4 x = 16 x = 16 , y =
3 4
(16) = 12
2 3 U = x2 y3 = (16) (12) = 442368
..................................(1)
.............................(2)
65
Kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum adalah 16 unit X dan dan 12 unit Y , dengan nilai kepuasan U = = 442368. Untuk x = 16 dan y = 12, MU x = 2(16).(12)3 = 55296 2 2 MU y = 3(16) .(12) = 110592
MU x P x MU y P y MU x P x
=
=
=
55296 25
= 2211,84
110592 50 MU y P y
= 2211,84
( terbukti )
Contoh 3.
Kepuasan seorang konsumen dari kombinasi dua barang pakaian dan makanan ditunjukan oleh fungsi U = 4x2+2y2+5, dengan x menyatakan pakaian dan y menyatakan menya takan makanan. Jumlah pendapatan pe ndapatan konsumen konsu men 90.000 rupiah, harga pakaian dan harga makanan per unit masing masing 5.000 rupiah dan 1.000 rupiah. Hitunglah kombinasi konsumsi pakaian dan makanan yang memberikan kepuasan optimum. Penyelesaian :
U = 4x 2+2y2+5 M = x.P x + y.P y
90000 = 5000 x + 1000 y 5000 x + 1000 y -90000 = 0 Dari dua persamaan di atas diperoleh fungsi baru Lagrange :
66
F (x, y)= 4x2+2y2+5+
λ (
5000 x + 1000 y -90000 )
= 4x2+2y2+5 + 5000 λ x x + 1000 λ y -90000 λ Agar F maksimum: F x = 8 x + 5000 λ = 0 → - λ =
F y = 4 y + 1000 λ = 0 → - λ =
8x 5000 4y 2500
..................................(1)
..................................(2)
Berdasarkan (1) dan (2) , 8x 5000
=
4y 1000
→ 20000 y = 8000 x
y =
2 5
x
5000 x + 2500 y -90000 = 0 2 5000 x + 2500 ( x ) -90000 = 0 5
6000 x = 90000 x = 15 x = 15 , y =
2 5
(15) = 6
2 2 U = 4x 2+2y2+5= 4(15) +2(6) +5 = 977
Kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum adalah 16 unit pakaian dan 6 unit makanan, dengan nilai kepuasan U = = 977. Contoh 4.
Dipunyai fungsi utilitas untuk dua komoditas yang diberikan oleh fungsi U= x 2 y dan anggaran pengeluaran 3x + 6y =18 , berapa nilai x dan y yang
memberikan kepuasan optimum
67
Penyelesaian :
Maksimumkan U= x2 y Dengan kendala 3x + 6y =18 Dari dua persamaan di atas diperoleh fungsi baru Lagrange : L = x2 y + λ ( 3x + 6y -18) L = x2 y + 3 λ x x + 6 λ y y -18 λ Agar L makasimum L x = 2 x y + 3
2
L y = x + 6
λ =
λ =
0 → - λ =
0 → - λ =
x 2 6
2xy 3
............................................(1)
.................................................(2)
Berdasarkan (1) dan (2) , 2xy 3
=
x 2 6
→ y =
1 4
x
3x + 6y =18 3x + 6 (
1 4
x ) =18
x = 4 x = 4 → y =
1 4
(4) = 1
U= x2 y= 42 . 1= 16
Kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum adalah 16 unit = 16. x dan 6 unit y, dengan nilai kepuasan U =
68
Contoh 5.
Seorang konsumen mempunyai 280 $ untuk membayar dua komoditas, komoditas pertama seharga 2 $ per unit dan komoditas ke dua seharga 5 $ per unit. Kepuasan konsumen dari mengkonsumsi dua komoditas tersebut dicerminkan oleh fungsi U =100 x 0.25 y0.75. Hitunglah kombinasi konsumsi dua komoditas tersebut yang memberikan kepuasan optimum. Penyelesaian :
Maksimumkan U =100 x 0.25 y0.75 Dengan kendala 2x + 5y = 280 Diperoleh fungsi baru Lagrange: L (x, y) = 100 x0.25 y0.75 + λ (2x + 5y – 280)
Agar L maksimum : L x (x, y) = 25 x
-0.75 0.75
L y (x, y) = 75 x
0.25 -0.25
y
y
+2 λ =0 → - λ =
+5 λ = 0 → - λ =
L λ (x, y) = 2x + 5y – 280 = 0
Berdasarkan (1) dan (2) , 25x -0.75 y 0.75 2
=
25x 0.25 y -0.25 5
10 x 0.25 y -0.25 = 25 x -0.75 y 0.75 10x 0.25 y 0.25
=
25y 0.75 x 0.75
10x = 25 y
25x -0.75 y 0.75 2 25x 0.25 y -0.25 5
........................(1)
......................(2)
69
x=
5 2
y
2x + 5y – 280 = 0 5 2( y ) + 5y – 280 = 0 2 y = 28 y = 28 → x =70
artinya untuk mencapai kepuasan optimum dari dua komoditas tersebut, konsumen harus membeli 70 unit komoditas pertama dan 28 unit komoditas kedua. 2. Produk Marjinal Persial dan Keseimbangan Produksi.
Untuk memproduksi suatu barang pada dasarnya diperlukan beberapa macam faktor produksi seperti tanah, t anah, modal, moda l, tenaga kerja, bahan baha n baku, mesin-mesin dan sebagainya. Jika jumlah keluaran yang dihasilkan dilambangkan dengan P dan masukan yang diguanakan dilambangkan dengan x j (j= 1, 2, ,..., n ), maka fungsi produkasinya dapat dituliskan dengan notasi P = f(x1 , x2 , x3 , ......, xn ). Sebagian dari masukan yang digunakan sudah barang tentu merupakan masukan tetap, sementara sebagian lainnnya adalah masukan variabel. Selanjutnya jika untuk memproduksi suatu barang dianggap hanya ada dua macam masukan variabel ( misalkan K dan dan L), maka fungsi produksinya secara seca ra pasti dapat dinyatakan dinyata kan dengan, P = f (k, l)
Derivatif pertama merupakan produk marjinal parsialnya.
70
∂ P adalah produk marjinal berkenaan dengan masukan K . ∂k ∂ P adalah produk marjinal berkenaan dengan masukan L. ∂l Untuk P = konstanata tertentu, fungsi produksi P = f (k, l) merupakan suatu persamaan isoquant, yaitu kurva yang menunjukan berbagai kombinasi penggunaan masukan K dan L yang menghasilkan keluaran dalam jumlah sama. Keseimbangan Produksi maksudnya adalah suatu keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum, yakni suatu tingkat pencapaian produksi dengan kombinasi biaya terendah ( least cost combination). Secara geometri, keseimbangan produksi terjadi pada persinggungan isocost dengan isoquant. Isocost adalah kurva yang mencerminkan kemampuan produsen membeli berbagai macam masukan berkenaan dengan harga masing-masing masukan dan jumlah dana yang dimilikinya. Jika jumlah dana yang dianggarkan untuk membeli masukan dan masukan L adalah sebesar M, serta harga masukan K dan dan masukan L K dan masing masing P k -nya dapat dituliskan dengan k dan P l l, persamaan isocost -nya notasi M = k . P k l . P l l . k + Tingkat kombinasi penggunaan masukan yang optimum atau “least cost combination” dapat dicara dengan Multiplier Lagrange. Dalam hal ini
fungsi produksi P = f (k, l) dimaksimumkan terhadap fungsi isocost M = k . P k l . P l l . k +
Fungsi tujuan yang hendak dioptimumkan : P = f (k, l)
71
Fungsi kendala yang dihadapi
: M = k . P k l . P l l . k + k . P k l . P l l -M =0 k +
Fungsi baru Lagrange : F ( k,l) = f (k,l) +
λ (k
. P k l . P l l –M) k +
Syarat perlu agar F ( k,l) maksimum : F k 0...............................................(1) ........(1) k ( k,l) = 0 → f k k ( k,l) + λ .P k k = 0....................................... F l l ( 0................................................(2) .......(2) k,l) = 0 → f l l ( k,l) + λ .P l l = 0.........................................
Dari (1) dan (2) nilai k dan nilai l dapat dicari. Selanjutnya nilai P maksimum dapat dihitung. Selanjutnya perhatikan : Produksi total :
P = f (k, l)
Produksi marjinal barang K : MP K = f k (k, l) =
Produksi marjinal barang L : MP L = f l (k, l) =
∂ P ∂k
∂ P ∂l
Pengembangan lebih lanjut dari persamaan (1) dan (2) diatas akan menghasilkan (1) f k 0 → f k k ( k,l) + λ .P k k = k ( k,l) = - λ .P k k , → − λ =
(2) f l l ( 0 → f l l ( k,l) + λ .P l l = k,l) = - λ .P l l , → − λ =
f k (k,l) P k
f l (k,l) P l
Dengan demikian, syarat keseimbangan produksi dapat juga dirumuskan : f k (k,l) P k
=
f l (k,l) P l
berakibat
MP K P k
=
MP L P l
72
Dapat diartikan pula bahwa produksi optimum dengan biaya kombinasi biaya terendah akan tercapai apabila hasil bagi produk marjinal masingmasing masukan terhadap harganya bernilai sama. Contoh 6.
Seorang produsen mencadangkan 96 rupiah untuk membeli masukan K dan masukan L. Harga per unit masukan K adalah adalah 4 rupiah dan masukan L adalah 3 rupiah. Fungsi produksinya adalah P = 12 kl . a) Berapa unit masing-masing masukan seharusnya ia gunakan agar produksinya optimum, dan berapa unit keluaran yang dihasilkan dari kombinasi tersebut. b) Buktikan bahwa untuk mencari tingkat produksi optimum berlaku ketentuan
MP K P k
=
MP L P l
.
Penyelesaian :
a) Fungsi produksi yang akan dioptimumkan : P = f(k, l) = 12 kl Fungsi isocost yang menjadi kendala
: M = k . P k l . P l l . k + 96 = 4.k + 3.l 96 - 4.k - 3.l = 0
Dari dua persamaan diatas diperoleh fungsi baru Lagrange : F (k, l)= 12 kl +
λ (
96 - 4.k - 3.l)
F (k, l)= 12 kl +
λ .
96 -
λ .4.k
- λ . 3.l
Agar F maksimum : F k (k, l) = 0 dan F l (k, l) = 0 F k (k, l) = 12 l - 4 λ = 0 → λ =3 l
73
F l (k, l) = 12 k - 3 λ = 0 → λ =4 k 3l=4k 96 = 4.k + 3.l 96 = 4 k + 4 k → k = 12 l=
4 3
(12) = 16
P = 12 kl = 12(12)(16) 12(12)(16) = 2304
Jadi agar produksinya optimum seharusnya digunakan kombinasi 12 unit K dan dan 16 unit L. Dengan hasil 2304 unit. b) P = 12 kl MP K = f k (k, l) =
∂ P = 12 l ∂k
MP L = f l (k, l) =
∂ P = 12 k ∂l
Untuk P k 4, P l l = 3, k = 12, l = 16: k = MP K P k MP L P l MP K P k
=
=
=
12.l 4
=
12.k 3 MP L P l
=
12 (16) 4 12 (12) 3
= 48
= 48
( terbukti )
Contoh 7.
Suatu pabrik memproduksi dua jenis mesin , x dan y, fungsi biaya gabungan dari dua mesin tersebut adalah C (x, y) = x 2 + 3xy -6y , untuk
74
meminimalkan biaya, berapa banyak mesin dari keduanya harus diproduksi, jika total mesin yang diproduksi 42. Penyelesaian :
Minimalkan C (x, y) = x 2 + 3xy -6y Dengan kendala : x + y = 42 Dari dua persamaan diatas diperoleh fungsi baru Lagrange : F (x, y)= x2 + 3xy -6y +
λ (
x + y - 42 )
Agar F minimum : F x (x, y)= 2x + 3y +
λ =
0 → - λ = 2x + 3y......................................(1) 3y......................................(1)
F y (x, y)= 3x – 6 + λ = 0 → - λ = 3x – 6............................................(2) 6............................................(2) F λ (x, y)= x + y – 42 = 0 → x = 42 – y................................... y............................................(3) .........(3)
Berdasarkan (1) dan (2) , 2x + 3y = 3x – 6 x = 3 y + 6................................ 6...................................................... ............................................ ....................................(4) ..............(4)
Berdasarkan (3) dan (4) , 42 – y = 3 y + 6 y = 9 y = 9 → x = 33
jadi biaya minimum diperoleh dipero leh jika x = 33 dan x= 9 Contoh 8.
Fungsi produksi dari pabrik “ABC” adalah P (x, y) = x2 + 3 xy - 6x , dimana x dan y mewakili dua masukan yang berbeda, tentukan nilai x dan y yang memaksimumkan produksi jika x + y = 40
75
Penyelesaian :
Maksimumkan P (x, y) = x2 + 3 xy - 6x Dengan kendala x + y = 40 Diperoleh fungsi baru Lagrange : L (x, y) = x2 + 3 xy - 6x +
λ (
x + y – 40)
Agar L maksimum : L x (x, y) = 2x + 3y - 6 + L y (x, y) = 3x +
λ =
λ
= 0 → - λ = 2x + 3y - 6 ...........................(1)
0 → - λ = 3x ........................................................(2)
L λ (x, y) = x + y – 40 = 0 → x = 40- y
Berdasarkan (1) dan (2) , 2x + 3y - 6 = 3x
2 (40- y) + 3 y – 6 = 3(40- y) y = 11,5 y = 11,5 → x = 28,5
jadi produksi maksimum diperoleh dipe roleh jika x = 11,5 dan x= 28,5 Contoh 9.
Seorang petani mempunyai dua tanaman, X dan dan Y . Ditunjukan biaya untuk memproduksi x unit tanaman X adalah x2 + 1200 dan biaya untuk memproduksi y unit tanaman Y adalah 3y2 + 800. jika dia mempunyai pesanan 1200 unit. Berapa banyak masing-masing tanaman harus diproduksi untuk memenuhi pesanan, yang meminimumkan biaya produksi.
76
Penyelesaian :
Minimumkan C(x, y) = (x2 + 1200) +(3y 2 + 800) = x2 + 3y2 +2000 Dengan kendala : x + y =1200 Diperoleh fungsi baru Lagrange: F (x, y)= x2 + 3y2 +2000 +
λ (
x + y -1200)
Agar F maka minimum F x (x, y)= 2x +
λ =
0 → - λ = 2x ............................................. .......................................................(1) ..........(1)
F y (x, y)= 6y + λ = 0 → - λ = 6y........................................... 6y.........................................................(2) ..............(2) F λ (x, y)= x + y -1200 = 0 → x = 1200 - y
Berdasarkan (1) dan (2) , 2x = 6y x = 3y 1200 – y = 3y y = 300 y = 300 → x = 1200 – 300 = 900
jadi masing-masing tanaman yang harus diproduksi yang meminimumkan biaya produksi adalah ada lah y = 300 dan x = 900 Contoh10.
Sebuah perusahaan mempunyai tiga pabrik yang memproduksi barang dagangan yang sama. Jika pabrik A memproduksi x satuan, pabrik B memproduksi y satuan, pabrik C mamproduksi z satuan, berturut-turut dengan biaya pembuatan ( 3x2 + 200) dolar, (y2 + 400 ) dolar, ( 2z 2 + 300)
77
dolar. Jika harus mengisi permintaan sebanyak 1100 satuan, tentukan bagaimana produksi produk si tersebut harus h arus dibagikan kepada ketiga pabrik itu agar ag ar dicapai biaya pembuatan yang minimum. Penyelesaian
Minimumkan C(x, y) = ( 3x 3x2 + 200 ) +( y y2 + 400 ) +( 2z2 + 300) = 3 x2 + y2 +2z2 + 900 Dengan kendala : x + y + z = 1100 Diperoleh fungsi baru Lagrange: 2 F (x, y) = 3 x2 + y2 +2z + 900 +
λ (
x + y + z – 1100)
Agar F maka minimum F x (x, y)= 6x +
λ =
0 → - λ = 6x ............................................ .......................................................(1) ...........(1)
F y (x, y)= 2y + λ = 0 → - λ = 2y ......................................... .........................................................(2) ................(2) F z (x, y)= 4z + λ = 0 → - λ = 4z ............................................ .........................................................(3) .............(3) F λ (x, y)= x + y + z – 1100 = 0 → x = 1100 – y – z ........................(4) ........................(4)
Berdasarkan (1) dan (2) , 6x = 2y → y = 3x
Berdasarkan (1) dan (3) , 6x = 4z → z =
3 2
x
Dari persamaan (4) x = 1100 – 3x –
3 2
x = 200 x = 200 → y = 600
x
78
x = 200 → z = 300
jadi agar dicapai biaya pembuatan pe mbuatan yang minimum, pabrik pabri k A memproduksi mempr oduksi 200 satuan, pabrik B memproduksi 600 satuan dan pabrik C memproduksi 300 satuan.
BAB V PENUTUP
A. Simpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Langkah-langkah menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dengan kendala fungsi lain menggunakan Multiplier menggunakan Multiplier Lagrange adalah Lagrange adalah sebagai berikut : a. Maksimumkan (Minimumkan) z (Minimumkan) z = f(X),
X = {x1 , x2 , …, xn }
Dengan kendala g kendala g 1(X) = b1 ………… g i(X) = bi , i = 1, 2, …, m. b. Diperoleh fungsi baru Lagrange baru Lagrange : : L ( X , λ ) = f ( X ) +
m
∑ λ g ( X ) i
i
i =1
c. Syarat perlu untuk mendapatkan titik ekstrim :
∂ L ∂ L ∂ L ∂ L ∂ L ∂ L = = ... = = = = ... = =0 ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x n ∂λ 1 ∂λ 2 ∂λ m Dengan menyelesaikan persamaan diatas diperoleh titik ekstrim X * d. Syarat cukup untuk ekstrim relatif Syrat cukup untuk ekstrim relatif diekspresikan dalam bentuk Bordered bentuk Bordered Hessian yang dilambangkan H B sebagai berikut :
79
80
⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ∂ g ⎢ ∂ x 1 H B = ⎢ ∂ g ⎢ ⎢ ∂ x 2 ⎢ M ⎢ ∂ g ⎢ ∂ x ⎣ n
∂ g ∂ x 1 ∂ L ∂ x 12 ∂ L ∂ x 2 x 1
∂ g ∂ x 2 ∂ L ∂ x 1 x 2 ∂ L ∂ x 22
M
M
∂ L
∂ L
∂ x n x 1
∂ x n x 2
∂ g ∂ x n ∂ L
L L L
∂ x 1 x n ∂ L ∂ x 2 x n
O L
M
∂ L ∂ x n2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
Syarat tersebut harus diekspresikan dalam bordered principal minor. Dari Bordered Hessian Hessian diatas, maka bordered principal minor nya nya adalah :
⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ∂ g H 2 = ⎢ ∂ x ⎢ 1 ⎢ ∂ g ⎢ ∂ x 2 ⎣
∂ g ∂ x 1 ∂ 2 L ∂ x 12 ∂ 2 L ∂ x 2 ∂ x 1
⎡ ⎢ 0 ∂ g ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ∂ g ∂ x 2 ⎥ ∂ 2 L ⎥ , H = ⎢ ∂ x1 ⎢ 3 ∂ x 1 ∂ x 2 ⎥ ⎢ ∂ g ⎥ ⎢ ∂ x2 ∂ 2 L ⎥ ⎢ ∂ g ∂ x 22 ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣ ∂ x3
∂ g ∂ x1 ∂ 2 L ∂ x12 ∂ 2 L ∂ x2 ∂ x1 ∂ 2 L ∂ x3 ∂ x1
∂ g ∂ x2 ∂ 2 L ∂ x1∂ x2 ∂ 2 L ∂ x22 ∂ 2 L ∂ x3 ∂ x2
∂ g ⎤ ∂ x3 ⎥ ⎥ ∂ 2 L ⎥ ∂ x1∂ x3 ⎥ ⎥ ∂ 2 L ⎥ ∂ x2 ∂ x3 ⎥ ∂ 2 L ⎥ ⎥ ∂ x32 ⎥⎦
Dan seterusnya. Kemudian, 1) Jika H2 , H3 , ....., H n = H < 0 , Bordered Hessian Hessian adalah definit positif, yang merupakan syarat cukup untuk minimum relatif, sehingga X sehingga X * adalah minimum relatif. 2) Jika H2 > 0 , H3 < 0 , H4 > 0 , dan seterusnya, Bordered Hessian adalah definit negatif, yang merupakan syarat cukup untuk maksimum relatif, sehingga X sehingga X * maksimum relatif. 2. Contoh penerapan Multiplier Lagrange dalam bidang ekonomi adalah menentukan keseimbangan konsumsi dan keseimbangan produksi.
81
a. Langkah-langkah untuk mencari keseimbangan konsumsi 1) Maksimumkan U Maksimumkan U = f (x,y) Dengan kendala M kendala M = x.P x + y.P y 2) Diperoleh fungsi baru Lagrange baru Lagrange F (x, y) = f (x, y) +
λ (
x.P x + y.P y – M)
3) Agar F maksimum : F x (x, y) =0 → f x (x, y) +
λ .P x=
0 ...............................................(1)
F y (x, y) =0 → f y (x, y) +
λ .P y=
0 ...............................................(2 )
4) Dari persamaan (1) : f : f x (x, y) +
Dari persamaan (2) : f : f y (x, y) +
λ .P x =
0 → − λ =
0 → − λ =
λ .P y=
f x (x, y) P x
f y (x, y) P y
...........(3)
.............(4)
5) Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh f x (x, y) P x
=
f y (x, y) P y
berakibat
MU x P x
=
MU y P y
Dapat diartikan pula bahwa keseimbangan konsumsi akan tercapai apabila hasil bagi utilitas marjinal masing-masing barang terhadap harganya bernilai sama. b. Langkah-langkah untuk mencari keseimbangan konsumsi 1) Maksimumkan P Maksimumkan P = f (k, l) Dengan kendala M kendala M = k . P k l . P l l k + 2) Diperoleh fungsi baru Lagrange baru Lagrange F ( k,l) = f (k,l) +
λ (k
3) Agar F maksimum :
. P k l . P l l –M) k +
82
F k 0...............................................(5) 0...............................................(5) k ( k,l) = 0 → f k k ( k,l) + λ .P k k = F l l ( 0.................................................(6) 0.................................................(6) k,l) = 0 → f l l ( k,l) + λ .P l l = 4) Dari persamaan (5) sdan (6) f k 0 → f k k ( k,l) + λ .P k k = k ( k,l) = - λ .P k k , → − λ =
f l l ( 0 → f l l ( k,l) + λ .P l l = k,l) = - λ .P l l , → − λ =
f k (k,l) P k
f l (k,l) P l
.............(7)
................(8)
5) dari persamaan (7) dan (8) diperoleh : f k (k,l) P k
=
f l (k,l) P l
berakibat
MP K P k
=
MP L P l
Dapat diartikan pula bahwa produksi optimum dengan biaya kombinasi biaya terendah akan tercapai apabila hasil bagi produk marjinal masing-masing masukan terhadap harganya bernilai sama.
B. Saran
Dalam skripsi ini, penulis hanya menguraikan tentang optimasi bersyarat dengan kendala persamaan, serta penerapannya. Bagi pembaca yang berminat untuk mendalami teknik optimasi bersyarat, ber syarat, dapat mengembangkan skripsi ini lebih lanjut, khususnya optimasi bersyarat dengan kendala pertidaksamaan. Metode yang dapat digunakan adalah metode Kuhn-Tucker , metode Kuhn-Tucker metode Kuhn-Tucker merupakan merupakan pengembangan dari Multiplier dari Multiplier Lagrange.
83
DAFTAR PUSTAKA
Pene rapannya. Jakarta: gramedia Cullen, Charles G. 1993. Aljabar Linier dengan Penerapannya. Pustaka Utama ekono mi dan bisnis. Jakarta: Rieneka Cipta Desmizar, 2000. Matematika untuk ekonomi
Dumairy, 2003. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta. Hadley, G. 1992. Aljabar Linier. Jakarta : Erlangga Harini, A. W.2004. ”Applied math”. 203.130.205.68/dosen/asih/applied akses 2 maret 2007.
math/aplied20%math.doc . math/aplied20%math.doc.
tanggal
Harshbarger, R. J. & J. J. Reynolds. 1989. Applied Calculus For Management, Life, and Social Science. Toronto: D. C. Heath and Company. Hillier, F.S & Gerald J. L. 1990. Pengantar Riset Operasi Terjemahan Ellen Gunawan dan Ardi Wirda Mulia. Jakarta: Erlangga. H. Johanes & Budiono Sri Handoko, 1980. Pengantar matematika untuk ekonomi. Jakarta : LP3ES Leithold, L. 1991. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Edisi Kelima Terjemahan S. M. Nababan, dkk . Jakarta: Erlangga Luknanto, J. 2000. ”pengantar optimasi non linier”. http:/luk.staff.ugm.ac.id/optimasi/pdf/nonlinier2003.pdf . tanggal akses 20 Februari 2007. Mizrahi, A. & M. Sullivan. 1976. Calculus With Application To Business and Life nd Science 2 Ed . Canada: John Wiley & Son, Inc. Purcell, E. J. & D. Varberg. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Terjemahan I. Nyoman, S., Bana, K., dan Rawuh. Jakarta: Erlangga. kalku lus”. Setiawan. 2004. ” pengantar kalkulus”. www.p3gmatyo.go.id/download/SMA/kalkulus1.pdf . Maret 2007.
tanggal
akses
2
kalkul us”. Setiawan. 2004. ” pengantar kalkulus”. www.p3gmatyo.go.id/download/SMA/kalkulus2.pdf . Maret 2007.
tanggal
akses
2
84
Mulyono, Sri. 2003. Riset Operasi. Jakarta : Universitas Indonesia Stewart, J. 1998. Kalkulus Edisi Keempat Terjemahan I. Nyoman, S. dan Hendra. G. Jakarta: Erlangga.
