LAPORAN AKHIR PRAKTIKUM METODE NUMERIK II
Modul 6 Proyek Persamaan Hiperbolik a!er Hammer
Nama
: M Nur Firdaus Firdaus Zayyed Akhmed Denis Candra
NPM
: 140710140026 140710140026 140710140032 140710140033
Hari, an!!a"
: #um$a%, 3 #uni 2016
&ak%u
: 0'(00 ) 11(00 &*+
Asis%en
:
LA"ORATORIUM TEORI DAN KOMPUTA#I DEPARTEMEN $EO%I#IKA %AKULTA# %AKULTA# MATEMATIKA DAN ILMU PEN$ETAHUAN ALAM UNI&ER#ITA# PAD'AD'ARAN ()*6
I+
Tu,uan Proyek
1( Men!!unakan me%de -eda hin!!a un%uk men.ari s"usi numerik /ersamaan hi/er-"ik( 2( Mene%ukan dis%ri-usi %ekanan dan ke.e/a%an dari /ersamaan waterhammer da"am se-uah /i/a %an/a riksi(
II+ Teori Dasar (+* Me!ode "eda Hin--a
Me%de ini di!unakan un%uk meme.ahkan /ersamaan dierensia" /arsia"
se.ara numerik, den!an me!!unakan dere% ay"r yan! di/u%us /ada rde %er%en%u sesuai ke-u%uhan yan! ada( e-a!ai .n%h uraian dere% ay"r ada"ah: 2
3
Δ x ' Δ x ' ' Δ x '' ' f ( x + ∆ x )= f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x )+ … 1! 2! 3! 2
3
Δ x ' Δ x ' ' Δ x ' ' f ( x − ∆ x ) =f ( x )− f ( x )+ f ( x )− f ' ( x ) + … 1! 2! 3!
Pendeka%an dari
∂ f ∂x
da/a% di%u"is se-a!ai:
a( +eda mau rard dieren.e5 f ( x + ∆ x )− f ( x ) f ( x )= ∆x
-( +eda mundur -a.kard dieren.e5 f ( x )− f ( x −∆ x ) f ( x )= ∆x
.( e"isih /usa% .en%ra" dieren.e5 f ( x + ∆ x ) − f ( x −∆ x ) f ( x )= 2∆x
2
∂ f 2 ∂ x , maka uraian dere% ay"r
+i"a dierensia"nya sam/ai rde 2 sam/ai rde 2 kemudian dium"ahkan: 2
3
Δ x ' Δ x ' ' Δ x ' ' f ( x + ∆ x )= f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ' ( x ) + … 1! 2! 3! 2
3
Δ x ' Δ x ' ' Δ x ' ' f ( x − ∆ x ) =f ( x )− f ( x )+ f ( x )− f ' ( x ) + … 1! 2! 3!
f ( x + ∆ x ) + f ( x − ∆ x ) =2 f ( x ) + Δ x f ( x ) 2
f ( x ) = ' '
' '
f ( x + Δx )−2 f ( x ) + f ( x − Δx ) 2
Δ x
(+( Persamaan $elombanII+(+* #olusi Anali!ik
Persamaan waterhammer 2
2
∂ P 2 ∂ P =0 c 2 2 ∂ t ∂x
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
15 yara% aa" P8,059P0 arena P0 9 0, maka P8,05 9 0 ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( 25 yara% -a%as P0,%5 9 P0 arena P0 9 0, maka P0,%5 9 0 (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( 35 Persamaan 15 dan 35 disederhanakan den!an me%de se/arasi ;aria-e" P8,%5 9 <85=%5 Disu-s%i%usikan ke /ersamaan 15 2
∂ P = X ( x ) T ' ' ( t ) dan 2 ∂ t
2
∂ P = X ' ' ( x ) T ( t ) 2 ∂ t
Maka /ersamaan waterhammer menadi 2
C X ' ' T = T ' ' X
A%au X ' ' T ' ' = =− λ X C 2 T
Den!an λ kns%an%a se/arasi ;aria-e" dari /ersamaan di/er"eh dua -uah /ersamaan $$C λ 90> 0?% Dan <$$ λX 9 0> 0?8?@ emudian di%u"iskan kem-a"i syara% -a%as menadi P0,%5 9 <05%5 9 0 P@,%5 9 <@5%5 9 0 ehin!!a <05 9 <@5 9 0 (+. a!er/ammer
&a%er Hammer ada"ah a"iran "uida yan! -erhen%i mendadak menim-u"kan kenaikan %ekanan yan! san!a% %aam sehin!!a menyeru/ai sua%u /uku"an( Fenmena keadaan uns%eady ini da/a% dika%akan se-a!ai /eru-ahan ener!i kine%ik dan ener!i %ekanan yan! -isa menadi /si%i a%au ne!a%i( ek ne!a%i yan! dihasi"kan "eh enmena %erse-u% dian%aranya ada"ah merusak ;a";e, menim-u"kan !e%aran /ada /i/a, men!!e%arkan %um/uan /i/a, menye-a-kan ka;i%asi /ada im/e""er /m/a, dan mem/er/endek umur /emakaian /era"a%an( rusak a%au /e.ah( Fenmena a%er hammer da/a% %eradi ham/ir di se%ia/ sis%em ins%a"asi /er/i/aan( Fenmena ini mem/unyai dam/ak -uruk a/a-i"a sis%em /er/i/aan %erse-u% %idak mem/erha%ikan aki-a% Adari a%er hammer(
Fenmena a%er hammer di/en!aruhi "eh ak%u /enu%u/an ka%u/( Penu%u/an ka%u/ yan! .e/a% men!aki-a%kan !e"m-an! %ekanan yan! %eradi akan semakin -esar( Ha" ini men!aki-a%kan /eru-ahan dermasi /ada dindin! /i/a akan semakin -esar( Pada /er.-aan ini di;ariasikannya ak%u /enu%u/an ka%u/ a!ar da/a% men!e%ahui eek a%er hammer %erhada/ dermasi /ada dindin! /i/a( Puku"an air %eradi karena adanya /enu%uan a"iran se.ara %i-a%i-a a%au /er"ahan"ahan( Ada -e-era/a ha" yan! da/a% menye-a-kan %eradinya enmena /uku"an air, an%ara "ain: Penu%u/an ka%u/ %i-a%i-a Pada ak%u /er%ama ka"i /m/a dinya"akan er-"knya a"ur /i/a Peru-ahan %ekanan se.ara %i-a%i-a aki-a% /enu%u/an a"iran "eh ka%u/ /ada sua%u k"am air mem/unyai massa m5 dan /eru-ahan kee/a%an dv / dt 5 sesuai den!an hukum Ne%n ** %en%an! !erak /ar%ike" yan! di%u"i da"am /ersamaan -eriku% : F9m
dv dt
#ika ke.e/a%an yan! me"a"ui k"am air da/a% diredusir menadi n", /ersamaan dia%as menadi: F9
m ( v ° −o ) 0
9
mv ° 0
9 B
Persamaan ini menunukan -aha !aya %ekanan5 %idak da/a% di%en%ukan( Ha" yan! /er"u diin!a% /erasi /enu%u/an ka%u/ /ada sua%u sis%em /er/i/aan mem/unyai kera!aman /erasi %er!an%un! dari sua%u kndisi yan! di/er"ukan( +erdasarkan ha" ini da/a% di/ahami -aha e"as%isi%as dindin! /i/a dan /eru-ahan k"am air meru/akan ha" yan! san!a% /e%in! da"am meninau /uku"an air( Den!an memandan! /anan! /i/a ada"ah @ den!an diame%er -a!ian da"am ada"ah D, ke%e-a"an dindin! /i/a % dan mdu"us e"as%isi%as
/, kenaikan %ekanan aki-a% /enu%u/an ka%u/ meru/akan %rasrmasi %ekanan keener!i ke%in!!ian( e.e/a%an /er"am-a%an %ekanan !e"m-an! da"am /i/a %er!an%un! /ada mdu"us e"as%isi%as air /, yan! hu-un!annya dinya%akan da"am /ersamaan -eriku% : C9
√
Ec ρ
Den!an : 9 ra/a% massa 1
=
1
+
Dk
. 9 .am/uran an%ara / dan -, Ec Eb Ept Da"am ha" ini D ada"ah diame%er /i/a dan % ada"ah ke%e-a"an dindin! /i/a( Den!an mem/erha%ikan /enu%u/an ka%u/ se.ara .e/a%
C t ≤ 2 L /¿
¿
,
;"ume %am-ahan dari air ;"ume yan! me"a"ui /i/ase"ama /eride /er%ama ( t =− L / C ) ada"ah se-a!ai -eriku%: L
¿
C
¿ ∆ Vol =−Vo A ¿
Da"am ha" ini ada"ah ke.e/a%an aa" a"iran air da"am /i/a dan A ada"ah "uas /enam/an! me"in%an! /i/a( Penam-ahan %ekanan
∆P
diaki-a%kan "eh /enam-ahan ;"ume air dan dihi%un! den!an /ersamaan: ∆ Vol − Ec ∆ Vol ∆ P =− E c = Vol
AL
Da"am ha" ini " ada"ah ;"ume as"i dari sua%u k"um air da"am /i/a dan . ada"ah mdu"us e"as%isi%as .am/uran( Den!an /en!e""aan da%a sehin!!a da/a% di/er"eh:
C E c Vo L /¿= C Ec ∆ P= Vo A ¿ AL
Penye-aran %ekanan !e"m-an! se/anan! /i/a di-a!ian hu"u /ada ke.e/a%an C akan menim-u"kan !e"m-an! /ermukaan sam/ai a"iran da"am keadaan diam den!an ke.e/a%an aa" ( %a" massa air men!iku%i /eru-ahan ke.e/a%an se.ara %i-a)%i-a dari sam/ai n" da"am ak%u ∆ t m = ρAC ∆ t
Den!an men!!unakan hukum Ne%n ** di/er"eh: ( Vo −0 ) ∆ V = ρ A C ∆ t = ρ A C Vo ∆ P A=m ∆ t
∆ t
a%au C =
∆ P ρVo
Dari rumus dia%as disu-s%i%usikan di/er"eh: 2
( ∆ P ) = Ec Vo
ρVo ∆P
Ean! mana %in!!i %ekanan H %erse-u% se-a!ai /enye-a- /uku"an air( Formula tersebut digunakan untuk kondisi penetupan katup secara cepat ( t ≤ 2 L / C ) !
%a" %ekanan kese"uruh /ermukaan /i/a ada"ah:
P= ∆ P + Po
(+0 Mekanisme Ter,adinya Pukulan Air (Water Hammer)
Dimisa"kan /ada sua%u ins%a"asi /m/a sen%riu!a" yan! di!unakan un%uk mendis%ri-usikan "uida dari sa%u %em/a% ke %em/a% "ain serin! di%emukan %eradinya ke!a!a"an -er/erasi /ada ins%a"asi %erse-u%( e!a!a"an %erse-u% nan%inya akan menye-a-kan kenaikan %ekanan yan! san!a% %aam sehin!!a menyeru/ai sua%u /uku"an yan! dise-u% !ea"a /uku"an air (water hammer). Water hammer
da/a% %eradi /ada /m/a a/a-i"a /m/a sedan!
-ekera %i-a ) %i-a ma%i mendadak karena dima%ikan a%au "is%rik /adam5, maka a"iran air akan %erha"an! im/e""er a%au ;a";e sehin!!a men!a"ami /er"am-a%an se.ara .e/a%( Disini %eradi "nakan %ekanan /ada /m/a dan /i/a se/er%i /enu%u/an ka%u/ se.ara %i-a ) %i-a( @nakan %ekanan da/a% %eradi ika /m/a dia"ankan den!an %i-a %i-a a%au ka%u/ di-uka se.ara .e/a%( +esarnya "nakan a%au -esarnya %ekanan karena -en%uran air mmen%um dari "uida5, %er!an%un! /ada "au /eru-ahan ke.e/a%an a"iran( Da"am ha" ini, kndisi ka%u/ %er!an%un! /ada ke.e/a%an /enu%u/an a%au /em-ukaan, sedan!kan /ada /m/a %er!an%un! /"a mena"ankan dan men!hen%ikan /m/a( e"ain ha" %erse-u% ada -e-era/a ak%r "ain yan! da/a% mem/en!aruhi -esarnya %ekanan karena water hammer an%ara "ain : a( /anan! /i/a -( ke.e/a%an a"iran .( karak%eris%ik /m/a( Di da"am mem-ahas /rses %eradinya a%er hammer -erar%i harus mem-ahas men!enai /era"anan !e"m-an! %ekanan me"a"ui medium air di da"am sa"uran /i/a( Pada !am-ar akan die"askan /rses /ena"aran !e"m-an! %ekanan %erse-u% un%uk kasus /enu%u/an ka%u/ se.ara %i-a%i-a(
e%eran!an
:
a( am-ar a5 Air di da"am reser;ir men!a"ir ke da"am /i/a masih da"am keadaan sem/urna dimana ke.e/a%an a"iran kns%an karena %idak ada /er"akuan -( am-ar -5 eradi /enu%u/an se.ara %i-a%i-a sehin!!a ke.e/a%an a"iran sama den!an n" di daerah deka% ka%u/( ekanan u!a akan -er%am-ah ser%a !e"m-an! akan da/a% menuu reser;ir .( am-ar .5 ekanan -a"ik yan! %eradi akan %erus -er%am-ah memenuhi se"uruh /i/a sehin!!a !e"m-an! aa" yan! %eradi /ada /i/a -er%am-ah sam/ai memenuhi /i/a dan ke.e/a%an da"am /i/a menadi sama den!an n"
d( am-ar d5 e"m-an! yan! memenuhi /i/a akan -er%am-ah dan ke.e/a%an a"iran !e"m-an! %er%en%u menuu kearah sum-u /enu%u/an dan -erakhir /ada ak%u % 9 21G. dan !erakan !e"m-an! -a"ik men!aki-a%kan adanya a"iran yan! di%ekan menuu reser;ir den!an ke.e/a%an s e( am-ar e5 e"m-an! %erse-u% akan %erus kearah sum-u /enu%u/an sam/ai -a%as ak%u %er%en%u sehin!!a menekan air un%uk kem-a"i ke reser;ir den!an ke.e/a%an menuu keadaan s%a-i"
( am-ar 5 e"m-an! yan! %e"ah sam/ai ke sum-er /enu%u/an akan men!a"ami si"asi ke-aah, dimana 9 , 9 ( eradi kem-a"i kearah seki%ar sum-er /enu%u/an( Ha" ini akan -er"an!sun! sam/ai %ekanan air akan men.a/ai keadaan s%a-i"( In%uk kasus sederhana /ada /eris%ia a%er hammer, da/a% di"iha% /ada !am-ar dia%as yai%u ke%ika ka%u/ di%u%u/ se.ara %i-a%i-a( Pada ak%u D% ka%u/ di%u%u/, !e"m-an! %ekanan menin!ka% hin!!a /ada %i%ik 8 9 . D% dimana . ada"ah !e"m-an! ke.e/a%an( e"m-an! meram-a% den!an ke.e/a%an 0 dan air -er!erak /er"ahan( ekanan /ada daerah 0< akan menin!ka% se.ara si!niikan dan diame%er /i/a akan menin!ka% %e!an!annya( ekanan "uida akan menin!ka% karena dikm/resi( ner!i %e!an!an da"am /i/a %idak %eradi %erus menerus dan akan menim-u"kan !aya -"ak -a"ik a"iran da"am reser;ir aki-a% /enu%u/an ka%u/ se.ara %i-a %i-a da"am arah %ekanan radiasi( e"m-an! akan kem-a"i ke ka%u/ den!an ke.e/a%an . !am-ar d dan e 9 21G.5 !-r e( e"anu%nya !e"m-an!
%ekanan akan men!a"ami /enurunan dan men!iku%i reser;ir dan se"uruh ran!kaian akan diu"an! kem-a"i( Da"am kenya%aannya !esekan meredam si"asi( III+ Modul yan- Di-unakan
Mdu" yan! di!unakan /ada /er.-aan ka"i ini ada"ah mdu" J yai%u
/ersamaan !e"m-an! a%au /ersamaan hidr"ik
I&+ Lis!in- Pro-ram ''' Program Water Hammer Dengan Menggunakan prinsip Wave Equation Muhammad Nur firdaus (140101400!"# $a%%ed &khmed & (140101400!# Denis andra (140101400# Departemen )eofisika *aku+tas Matematika dan ,+mu Pengetahuan &+am -niversitas Pad.ad.aran ''' import nump% as np from math import / import matp+ot+ip%p+ot as p+t import matp+ot+ianimation as animation d2301 spa5e in5rement dt3006 time in5rement tmin300 initia+ time tma23!00 simu+ate unti+ 2min374+eft ound 5310 speed of sound rho 3 10 rsq3(5/dt8d2#//! appears in finite diff so+ n2 3 int((72min#8d2# 910 numer of points on 2 grid nt 3 int((tma27tmin#8dt# 9 10 numer of points on t grid p 3 np:eros((nt;n2## so+ution to WE u 3 np:eros((nt;n2## set initia+ pu+se shape def init001= return 0
e+se= return va+
for
a in range(0;n2#= p?0;a@3init
simu+ate d%nami5s for t in range(1;nt71#= for a in range(1;n271#= p?t91;a@ 3 !/(17rsq#/p?t;a@7p?t71;a@9rsq/(p?t;a 1@9p?t;a91@# u?t91;a@ 3 (p?t91;a@8rho#//06
fig 3 p+tfigure(# p+ts 3 ?@ p+tho+d(AoffA# for i in range(nt#= f; 3 p+tp+ot(p?i;=@;'k'# p+tsappend( ?f@ # p+ttit+e (A)rafik Water Hammer Bekanan terhadap CaktuA# p+tgrid(# p+t%+ae+('Bekanan(N8m#'# p+t2+ae+('Waktu (s#'# ani 3 animation&rtist&nimation(fig; p+ts; interva+360; repeat
&+ Hasil
Analisa
Disini ki%a me"akukan /er.-aan a%er hammer den!an men!!unakan /rinsi/ a;e eKua%in 1D( In%uk mendeka%i /ersamaan a%er hammer den!an a;e eKua%in, /er%ama ki%a harus menurunkan /ersamaan %ekanan dan ke.e/a%an yan! kemudian di dierensia" /arsia" dimana hasi" dierensia" an%ara /ersamaan %ekanan dan ke.e/a%an menadi /ersamaan !e"m-an! dimana %ekanan dan ke.e/a%an memi"iki hu-un!an dimana ;9LPGrh( #adi dari /ersamaan ini ki%a da/a% men!e%ahui -aha ; -er-andin! "urus den!an P( Dari /r!ram da/a% di"iha% -aha /ena"aran !e"m-an! dimu"ai dari sisi kanan menuu sisi kiri( Disini ki%a men!!unakan /anan! "in%asan 891( Dimana ka%u/ -erada dise-e"ah kanan, adi ke%ika ka%u/ di%u%u/ !e"m-an! /er%ama mun.u" di sisi kanan dan -er!erak ke kiri( Disini di!unakan /ersamaan ini%ia" im/u"se sin825e8/8250(25, dimana ini%ia" im/u"se ini -erun!si un%uk -en%uk muka !e"m-an! yan! dihasi"kan( #ika ki%a "iha% dari /ermasa"ahan a%er hammer, %idak ada /ersamaan !aya !esek, adi da"am /r!ram ini %am/i"an /r!ram akan menam/i"kan !e"m-an! yan! %erus -er!erak( Da"am /er.-aan ini ki%a menam/i"kan !raik %ekanan %erhada/ ak%u( Dari %am/i"an /r!ram da/a% ki%a "iha% -aha di de%ik n" muka !e"m-an! %in!!i karena ke%ika de%ik 0 ka%u/ di%u%u/ maka !e"m-an! me"nak %in!!i( emudian
dide%ik -eriku%nya -en%uk muka !e"m-an! sama, karena %idak adanya !aya !esek menye-a-kan -en%uk muka !e"m-an! %idak ada yan! %eredam( e%ika men.a/ai di -a%as, !e"m-an! akan -a"ik dan kem-a"i "a!i ke aa"( Ha" i%u karena ke%ika di-a%as, ni"ainya %idak n" dan !e"m-an! akan %erus -"ak-a"ik sam/ai /r!ram -erhen%i ke%ika ak%u /r!ram yan! di%en%ukan( &I+
Kendala
ami masih -e"um men!e%ahui inisia" /u"se a%au /ersamaan -en%uk /u"sa !e"m-an! dari a%er hammer dan masih -e"um men!e%ahui un%uk mem/"% !raik ke.e/a%an di!a-un! den!an !raik %ekanan(
&II+
Kesimpulan
Persamaan a%er hammer da/a% dike%ahui dari /ersamaan hi/er-"ik yai%u
/ersamaan !e"m-an! 1D yan! dida/a% dari %urunan /arsia" dari /ersamaan %ekanan dan ke.e/a%an dimana hasi" dierensia" dari kedua /ersamaan 1
%erse-u% menadi /ersamaan !e"m-an!( e.e/a%an dan %ekanan -er-andin! "urus sehin!!a dis%ri-usi ke.e/a%an dan %ekanan ham/ir sama di se%ia/ daerah(
Da2!ar Pus!aka http://www.wseas.us/e-library/conferences/2012/CambridgeUSA/.../!U"#A$%0&.pdf ()ia*ses pada tanggal 2& #ei 201& pu*ul 1+.1, ib http://www.win.tue.nl/analysis/reports/rana0-2,.pdf ()ia*ses pada tanggal 2 #ei 201& pu*ul 20.20 ib http://www.math.ucsb.edu/grigoryan/12$/lecs/lec1,.pdf ()ia*ses pada tanggal 2 uni 201& pu*ul 1+.20 ib
