Modul Metnum Matlab

MODUL 1 PEMROGRAMAN DASAR MATLAB Pengantar Matlab Matlab merupaka merupakan n bahasa bahasa pemrogra pemrograman man yang menyedia menyediakan kan fasilita fasilitas-fasi s-fasilita litas s untuk untuk komputasi, visualisasi dan pemrograman. Matlab memiliki beberapa feature berdasarkan aplikasi tertentu yang dinamakan Toolbox. Program yang ditulis dengan matlab memiliki ekstensi m (.m) dan dapat dilakukan dengan MATA! "#$T%&. Bagian Penting Matlab a. 'endel 'endela a Perinta Perintah h (omm (ommand and indo indo*) *) +ita dapat dapat menulisk menuliskan an sekalig sekaligus us mengekse mengeksekusi kusi perintah perintah yang diperluk diperlukan an seperti seperti perhitungan perhitungan biasa, memanggil memanggil fungsi, menari informasi tentang sebuah fungsi (help), demo program dan sebagainya. b. 'endel 'endela a &uang &uang +era +era (o (orks rkspa pae) e) 'endela ini berisi tentang informasi pemakaian variabel di dalam memori matlab. ntuk melihat variabel yang sedang aktif, kita dapat menggunakan perintah who . 'end 'endel ela a /ist /istor ory y 'endela ini merupakan endela yang berisi informasi tentang perintah yang pernah dituliskan sebelumnya. d. Prefe refere ren nes es Preferen Preferenes es merupaka merupakan n fasilita fasilitas s yang digunaka digunakan n untuk mengatur mengatur segala segala sesuatu sesuatu tent tentan ang g matl matlab ab,, sepe sepert rtii peng pengat atur uran an eni enis, s, ukur ukuran an maup maupun un *arn *arna a font font.. ntu ntuk k membukanya, membukanya, pilih menu file selanutnya pilih prefernes. e. urr urren entt #ire #ireto tory ry 0asilitas ini digunakan untuk menentukan direktori aktif yang digunakan matlab. 'ika akan menalankan sebuah fungsi, maka pastikan bah*a fungsi berada dalam direktori aktif. f.

aunh Pad 0asilita 0asilitas s ini digunaka digunakan n untuk untuk memudahk memudahkan an kita dalam dalam mengaks mengakses es produk-p produk-produ roduk k matlab seperti demo dan dokumentasi. dokumentasi.

g. !erb !erbag agai ai

maa maam m

tool toolbo box x

yang yang

digu diguna naka kan n

untu untuk k

memb memban antu tu

meny menyel eles esai aika kan n

permasal permasalaha ahan n sesuai sesuai bidangny bidangnya a masing-m masing-masin asing g seperti seperti neural neural net*ork, net*ork, statisti, statisti, *avelet, dan sebagainya.

A. VARIAB IABEL Pada Pada MATA MATA! ! varia variabe bell digun digunaka akan n tanpa tanpa harus harus mende mendekla klaras rasika ikan n lebih lebih dulu. dulu. Apabila suatu variabel telah digunakan sebelumnya sebelumnya maka seara otomatis MATA! MATA! akan mereplae variabel lama. 1ama variabel didahului dengan karakter, bisa diikuti denga dengan n karak karakter ter,, angka angka atau atau under underso sore re ( 2 ). Penam Penamaan aan varia variabe bell bersi bersifat fat sensitive (variabel

case

A berbeda dengan a).

B. TIPE TIPE DAT DATA MATA! mengenal bilangan dan karakter. Penulisannya dapat dilakukan dengan 3

________________________________ Modul Praktikum Metode Numerik dengan MATLAB

1



Bilangan !ilangan real dituliskan seperti biasa. Misal 3 4.56

-7.85

9

.479 (:;.479)

!ilangan imainer ditulis seperti bilangan real ditambah huruf i atau . Misal 3 -
Karakter Penulisan karakter atau string diapit dengan tanda > ?. Misal 3 >A?

>'umlah 1ilai?

C. KONSTANTA 1. pi :

4.8=

. eps

: presisi relatif dari floating point (5 @75)

!. realmin : floating point terkeil (5-8;55) ". realmax : floating point terbesar ((5-eps)58;54) #. 1a1

: 1ot a 1umber, teradi bila suatu komputasi menghasilkan tidak nol dibagi nol atau inf - inf

$. inf :

infinity, teradi bila suatu komputasi menghasilkan ; dibagi ;, atau overflo*, misalkan lebih dari realmax atau kurang dari realmin

D. %UNGSI&%UNGSI DASAR Ada beberapa fungsi dasar pada MATA! yang langsung dapat digunakan, diantaranya3 1. %'ng(i Trig)n)*etri N) 8 5 4

%'ng(i inus osinus Tangen

S+nta, sin(x) cos(x) tan(x)

Keterangan ntuk menari nilai sinus x, dimana x sudut dalam radian ntuk menari nilai osinus x, dimana x sudut dalam radian ntuk menari nilai tangen x, dimana x sudut dalam radian

. %'ng(i E,-)nen(ial N) 8 5 4 =

%'ng(i "ksponensial

S+nta, exp(x)

Keterangan ntuk menari nilai ex, dengan e bilangan natural

(:5.B895) log(x) ogaritma ntuk menari nilai logaritma berbasis bilangan e (: elog(x)) og basis 8; log10(x) ntuk menari nilai logaritma berbasis 8; dari x (: 8;log(x)) akar pangkat 5 sqrt(x) ntuk menari nilai akar pangkat 5 dari x (: x )

E. M&%ile M-file merupakan sederetan perintah matlab yang dituliskan seara berurutan sebagai sebuah file. ntuk membuka endela m-file pilih menu %ile kemudian pilih Ne / M& %ile. M-file dapat ditulis dalam dua tipe, yaitu3 a. ript ript adalah m-file yang sederhana karena tidak memerlukan argumen input atau output. b. 0ungsi ________________________________ Modul Praktikum Metode Numerik dengan MATLAB

2

0ungsi adalah m-file yang memerlukan argumen input dan menghasilkan output. !agian-bagian fungsi3 funtion hasil : luas (p,l) Argument input 1ama fungsi Argumen output key*ord

%. MEMBENTUK MATRIKS Ada beberapa ara membentuk matriks, antara lain 3 1. Me*bent'k

*atrik(

0engan

*e*a('kkan

ele*en&ele*enn+a

(eara

lang('ng 

Antara satu elemen dengan elemen lainnya dalam satu kolom dipisahkan dengan spasi atau koma (,).



ntuk memisahkan baris dengan tanda titik koma (C)



Penulisan elemen terletak dalam tanda kurung siku (D E)

ontoh 3 A=[6 3 8; 7 1 6; 1 5 3; 6  !2"

. Membentuk matriks dengan built-in functions N) S+nta, eye(N) 8 5 ones(N,M)

Keterangan Membentuk matriks identitas ukuran 1x1 Membentuk matriks dengan semua

#=e$e(5) %=ones(2&3)

diag(V)

elemennya bernilai 8, berukuran 1xM Membentuk matriks diagonal, dengan

'=iag([ 2 6 5")

= magic(N)

elemen-elemen diagonalnya adalah vektor F Membentuk matriks 1x1 dengan umlah

*=+agic(5)

4

elemen

untuk

setiap

baris,

kolom

C)nt)2

dan

7 rand(N,M)

diagonalnya sama Membentuk matriks 1xM, elemen-elemennya

,=ran(3&)

< randn(N,M)

bilangan random berdistribusi uniform(;,8) Membentuk matriks 1xM, elemen-elemennya

-=rann(&5)

bilangan random berdistribusi normal(;,8) !. Me*bent'k *atrik( 0engan 3'ng(i *&3ile +ang kita b'at (en0iri Misalkan dipunyai file ./at*atris+ dengan oding sebagai berikut 3 clear; n=5; =2; i=[1n"; x=[1n4"; $=[n41"; A=[i x $ x$ x$ x4$ x4x $4$"


3

+ita dapat memanggil file tersebut dengan mengetikkan nama filenya yaitu ./at*atris

MANIPULASI MATRIKS

Apabila telah dipunyai suatu matriks kita dapat memanipulasi matriks tersebut, diantaranya disajikan pada tabel berikut : N) 8

S+nta, reshape(&-&*)

%'ng(i Mengubah ukuran matriks dari matriks G berukuran PxH menadi matriks I berukuran 1xM dimana PxH:1xM dengan

5 4

iag() tril()

ata/

urutan per kolom. Mengambil diagonal matriks G yang berukuran 1x1 Membentuk matriks segitiga ba*ah dari matriks G yang

ata/

berukuran 1x1 Membentuk matriks segitiga atas dari matriks G yang berukuran

tril(&)

=

tri/() tri/(&)

7

x(&12en)

1x1 Membentuk matriks dengan elemen tertentu dari matriks G

G. IN%ORMASI&IN%ORMASI 4ANG DIPEROLE5 DARI SUATU MATRIKS N) 8

IN%ORMASI kuran matriks G

S+nta, sie()

KETERANGAN [n +" = sie() n : umlah baris, m : umlah kolom

5 4

Panang vetor F Mean dari matriks G

length(9) +ean() atau



+ean(&)

'ika k:8 mean dilakukan thd elemen-elemen dalam satu kolom, ika k:5 dalam satu baris.



ntuk

mean

total

instruksinya

+ean(+ean())

=

st()

td deviasi



atau

matriks G

st(&:lag&)

'ika flag:;, std dev ternormalisasi thd (1-8) ika flag:;, ternormalisasi thd 1.



'ika k:8, std dev diari thd elemen dlm satu kolom, ika k:5 dlm satu baris.



ntuk mengetahui std dev total, instruksinya adalah st(st())

7

ar()

Fariansi matrik G

5. OPERASI&OPERASI PADA MATRIKS N) 8 5 4 = 7

O-era(i Transpose $nvers Penumlahan Pengurangan Perkalian

O-erat)r

KETERANGAN

< in()   4

Matriks G bisa diinvers ika G matriks buur sangkar #ua matriks bisa diumlahkan ika berukuran sama #ua matriks bisa dikurangkankan k ukuranya sama Matriks A dan ! bisa dikalikan ika umlah kolom A sama dengan umlah baris ! #ua matriks bisa dikalikan antar elemen ika berukuran sama #ua matriks bisa dibagikan ika umlah kolomnya sama #ua matriks bisa dibagikan antar elemen ika berukuran

<

Perkalian antar

4

B 9

elemen Pembagian Pembagian

 

antar elemen


sama



I.

%LO6 KONTROL N) 8

STATEMENT IF

KETERANGAN mengeksekusi sekumpulan

ntuk instruksi

apabila

kondisi

yang

CONTO5 x=125 i: re+(x&2) == 0 .ilangan = >genap<

disyaratkan bernilai benar. tatement ini diakhiri dengan en. 'ika ada kondisi 5

SWITCH

berla*anan

(false)

dapat

else .ilangan = >gan?il< en;

diikuti dengan else atau elsei: ntuk mengeksekusi sekumpulan

clear;

instruksi didasarkan pada nilai dari

 = 120;

suatu ekspresi atau variabel. ntuk

sisa = re+(&8);

menunukkan suatu grup, statement s*ith

diikuti

dengan

otherwhise.

case

tatement

ini

dan uga

diakhiri dengan en.

switch sisa& case 6 -ilai%isa = >A< case 7 -ilai%isa = >.< otherwhise -ilai%isa = int2str(sisa)

Loop: FOR

4

mengulang

en; x = ran(50&1);

sekumpulan instruksi hingga n kali.

+ax = real+in;

tatement ini uga diakhiri dengan

:or i=150&

#igunakan

untuk

i: x(i) @ +ax&

en.

+ax = x(i);

en;

en;

=

Loop: WHIL

#igunakan

untuk

mengulang

sekumpulan instruksi apabila dipenuhi suatu kondisi tertentu. tatement ini 7

!R"#

uga diakhiri dengan en. #igunakan untuk keluar lebih a*al dari suatu iterasi yang menggunakan

:or atau while 7. STRUKTUR LAINN4A N) 8

STRUKTUR Arra+ M'lti0i*en(i

KETERANGAN Array yang terdiri dari 4 subsript atau

CONTO5 x=ran(3&&5) aalah

lebih

instr/si

/nt/

+e+/at 5 +atris //ran

5

Str't're(

Array

multidimensi

elemennya beberapa field


yang

tersimpan

elemendalam

3x *hs-#*=
5

K. MENGGAMBAR GRA%IK yntax 3 plot(I)

3 menggambar grafik I terhadap indeksnya

plot(G,I)

3 menggambar grafik I terhadap G, panang G dan I harus sama

plot(G,I,)

3 menggambar grafik I terhadap G,  merupakan string karakter yang menunukkan *arna, tipe titik dan tipe garis.

ontoh 3

D = [ 3 8 6 5   2 7 5"; Blot(D)

ontoh 3 clear; t=0pi10024pi; $1=sin(t) $2=sin(t05); $3=sin(t025); plot(t&$1&<>&t&$2&); title(>Fra:i :/ngsi %in/s<&<:ontsie<&16&<:ontna+e<&'ata e>&<:ontsie<&1&<:ontna+e<&<erana<); $lael(>.esarn$a sin/s<&<:ontsie<&1&<:ontna+e<&t<&

6

MODUL  AKAR PERSAMAAN NON LINIER Metode bagi dua (bisection) ini didasarkan pada teorema nilai antara fungsi kontinu, yaitu bahwa suatu selang [a,b harus mengandung f(x) ! ",bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda misalnya f(a)#" dan f(b)$"% &roses dilakukan dengan pengulangan membagi selang [a,b menjadi dua dalam setiap langkah diambil setengah selang yang memenuhi persyaratan tersebut% &roses ini didapatkan ketelitian yang sama dengan inter'al [a,b terakhir% alam algoritma digunakan 'ariabel : a sebagai batas bawah selang b sebagai batas atas selang c sebagai titik tengah ila f(a)#" dan f(b)$" maka perkalian keduanya menghasilkan bilangan yang kecil dari " atau f(a)·f(b)$" ini berarti selang [a,b terdapat paling sedikitnya satu akar% Metode ini memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal, sebut a dan b, a $ b, yang harus memenuhi f(a) f(b) $ " * selang (a,b) mengandung satu akar% Mula-mula ditentukan titik tengah selang (a,b) atau selang (a,b) dibagi dua sama panjang, sebut titik tengahnya c% ua selang baru yang diperoleh yakni (a,c) dan (c ,b), salah satu diantaranya pasti mengandung akar% &roses diulangi dengan membagi dua selang tersebut dan memeriksa setengah selang yang mana yang mengandung akar% &embagi-duaan selang ini dilanjutkan sampai lebar selang yang ditinjau cukup kecil%

intaks Matlab a. 0ile bisetion.m sebagai fungsi utama untuk menari akar persamaan dengan metode bisetion :/nction isection(:na+e&xa&x) clc; isp(============================================================= ); isp(= *encari Aar Bersa+aan engan *etoe .isection =); isp(============================================================= ); :a=:eal(:na+e&xa); :=:eal(:na+e&x); i: (:a4:G0) epsilon = 10e6; +axHiter=inp/t(#terasi *asi+/+=); iter =0; :print:(iter xa x xc :a : as(:a:) In); while 1 iter = iter1; xc=(xax)2; :c=:eal(:na+e&xc); :print:(J3 J106: J106:&iter&xa&x);


7

:print:(J106: J106: J106:&xc&:a&:); :print:(J106: In&as(:a:)); i: (as(:a:)G=epsilon) :print:(toleransi error terpen/hiIn);rea en i: (iter@+axHiter) :print:(*asi+/+ #terasiIn);rea en i: (:c4:aG0) x=xc; :=:c; else xa=xc; :a=:c; en

en :print:(Aar Bersa+aan J106:In&xc); else isp(Aar tia iapit); en

b. 0ile f.m sebagai fungsi yang akan diari akar persamaannya :/nction $=:(x) $=xK234x2;

. &unning sintaks Tuliskan sintaks berikut di ommand indo*, misalkan akan diari nilai akar dari persamaan f dengan pada interval (;,4) dengan iterasi maksimal 8;;

@@ isection(:&0&3) ============================================================= = *encari Aar Bersa+aan engan *etoe .isection = ============================================================= #terasi *asi+/+=100

d. %utput ============================================================= = *encari Aar Bersa+aan engan *etoe .isection = ============================================================= #terasi *asi+/+=100 iter xa x xc :a : as(:a:) 1 0000000 3000000 1500000 2000000 16000000 18000000 2 0000000 1500000 0750000 2000000 750000 6750000 3 0000000 0750000 0375000 2000000 0812500 2812500  0375000 0750000 0562500 073375 0812500 156875 5 0375000 0562500 068750 073375 000306 0738281 6 068750 0562500 0515625 037023 000306 037730 7 0515625 0562500 053063 0187256 000306 011162 8 053063 0562500 0550781 00222 000306 006130  0550781 0562500 055661 0026 000306 008203 10 055661 0562500 055570 002022 000306 002136 11 055570 0562500 0561035 0008170 000306 0012076 12 0561035 0562500 0561768 000213 000306 000600 13 0561035 0561768 056101 000213 0000886 0003020 1 056101 0561768 056158 000062 0000886 0001510 15 056101 056158 05613 000062 0000131 0000755 16 05613 056158 056153 000027 0000131 0000377 17 056153 056158 0561562 0000058 0000131 000018 18 056153 0561562 0561550 0000058 0000036 00000 1 0561550 0561562 0561556 0000011 0000036 000007 20 0561550 0561556 0561553 0000011 0000013 000002 21 0561550 0561553 0561552 0000011 0000001 0000012 22 0561552 0561553 0561552 0000005 0000001 0000006 toleransi error terpen/hi Aar Bersa+aan 0561552


8

MODUL  METODE NE6TON RAP5SON Metode +ewton aphson didasarkan pada aproksimasi linear fungsi dan menggunakan prinsip kemiringan (angen) kur'anya% .alkulasi dengan metode +ewton diawali dengan x" yang tidak terlalu jauh dari sebuah akar, bergerak sepanjang garis linear (kemiringan atau tangen garis) ke perpotongannya di sumbu- x, dan mengambilnya sebagai titik aproksimasi untuk yang berikutnya% &erlakuan ini diteruskan hingga nilai-nilai x dirasakan sukses cukup dekat ke fungsi bernilai nol% /kema kalkulasinya mengikuti segitiga yang dibangun dengan sudut inklinasi dari kemiringan garis pada kur'a di x x" yaitu =

( ) = f 1 ( x )

tan q

"

=

f ( x" ) x" - x0

atau

x0

=

x"

-

f ( x" ) f

1

(x ) "

Aproksimasi berikutnya diteruskan dengan menghitung x2 dengan skema yang sama dimana nilai x" digantikan oleh x0 % /ecara umum metode +ewton dirumuskan oleh skema berikut ini: f ( n ) xn 0 = xn f 1 ( n ) +

intaks Matlab a. 0ile ne*ton2raphson.m sebagai fungsi

utama untuk menari

akar

persamaan dengan metode ne*ton raphson :/nction newtonHraphson(:na+e&:na+e&xa) clc; isp(============================================================= ); isp(= *encari Aar Bersa+aan engan *etoe -ewton ,aphson =); isp(============================================================= ); eps=10e6; x(1)=xa; +axHiter=inp/t(#terasi *asi+/+=); iter = 1; :print:(iterasi x In); :print:(J5 J106:In&1&x(1)); while 1 iter = iter  1; x(iter) = x(iter1)  (:eal(:na+e&x(iter1)))(:eal(:na+e&x(iter 1))); :print:(J5 J106:In&iter&x(iter)); i: (as(x(iter)x(iter1))G=eps); :print:(Loleransi error terpen/hiIn);rea en i:(iter@+axHiter) :print:(*asi+/+ #terasiIn);rea en en




:print:(Aar Bersa+aann$a aalah J106:In&x(iter)); isp(============================================================= );

b. 0ile f.m sebagai fungsi yang akan diari akar persamaannya :/nction $=:(x) $=xK234x2;

. 0ile df.m sebagai turunan fungsi yang akan diari akar persamaannya :/nction $=:(x) $=24x3;

d. &unning sintaks Tuliskan sintaks berikut di ommand indo*, misalkan akan diari nilai akar dari persamaan f dengan turunan df, dengan nilai a*al akar x:; dan iterasi maksimal 8;;

@@ newtonHraphson(:&:&0) ============================================================= = *encari Aar Bersa+aan engan *etoe .isection = ============================================================= #terasi *asi+/+=100

e. %utput ============================================================= = *encari Aar Bersa+aan engan *etoe -ewton ,aphson = ============================================================= #terasi *asi+/+=100 iterasi x 1 0000000 2 0666667 3 056103  056155 5 0561553 Loleransi error terpen/hi Aar Bersa+aann$a aalah 0561553 =============================================================


10

MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINIER A. Pendefinisian Sistem Persamaan Linier Suatu sistem dari m persamaan linier dan n variabel berbentuk: a00 x0

+

a02 x 2

a 20 x0

+

a 22 x 2

 a m0 x0

 +

a m 2 x 2

+

 +  +

+

a0n x n

=

b0

+

a 2 n x n

=

b2

 +



a mn x n

=

bm

dimana x1, x2, ..., xn adalah variabel dan a11, a12, ..., a mn adalah koefisien persamaan sedangkan b1, b2, ... b m adalah konstanta persamaan. Sekumpulan nilai dari variabel , misalkan x 1 = k 1, x 2 = k2, ..., xn = kn disebut solusi dari sistem persamaan linier tersebut. Solusi ini dapat disaikan dalam bentuk vektor !ang disebut dengan vektor solusi. "agan solusi sistem persamaan linier: /istem &ersamaan 3inier A4!

5omogen !6

/elalu Ada /olusi

/olusi ri'ial (/olusi +ol)

/olusi +ontri'ial

ak 5omogen 76

ak Ada /olusi r(A) 7 r(A,)

/olusi unggal r!n

Ada /olusi r(A) ! r(A,)

/olusi anyak r$n

#etode !ang digunakan dalam pen!elesaian sistem persamaaan linier antara lain: 1. $liminasi %auss &ordan 2. 'terasi %auss Seidel Sintaks #atlab: 1. #etode $liminasi %auss (disimpan dengan nama %auss)ordan.m* clear;clc; isp(============================================================= ); isp(= *encari %ol/si %iste+ Bersa+aan Minier *etoe Fa/ss Noran= ); isp(============================================================= ); n=inp/t(ore +atris=);


11

isp(*as/an o+ponen +atris oe:isien); :or i=1n :or ?=1n a(i&?)=inp/t(sprint:(A(J&J)=&i&?)); en en isp(*as/an o+ponen etor t/?/an); :or =1n ()=inp/t(sprint:(.(J)=&)); en clc; isp(============================================================= ); isp(= *encari %ol/si %iste+ Bersa+aan Minier *etoe Fa/ss Noran= ); isp(============================================================= ); isp(*atris oe:isien); A = a isp(9etor t/?/an); . =  isp(======%ol/si %iste+ Bersa+aan Fa/ss Noran ================== ); :print:(In) [+ n"=sie(A); i: +O=n isp([.aris = &n/+2str(+)& ; Colo+ = &n/+2str(n)") isp(./an *atris Bersegi) isp(*atri [A" Lia *e+p/n$ai #nersPPP) ret/rn en etA=et(A); i: etA==0 isp(A aalah *atris sing/lar) isp(*atri [A" Lia *e+p/n$ai #nersPPP) ret/rn en isp(Mangah awal  *e+/at +atris * = AQ.Q#) isp(=================================================================== =) *AL,# = [A . e$e(+)" :or i=1+ isp([Rli+inasi Colo+  n/+2str(i)") isp(================================================================ ) isp([. n/+2str(i) a n/+2str(i) n/+2str(i)") *AL,#(i&)=*AL,#(i&)*AL,#(i&i) io=i1; J.aris i atas i in=+i; J.aris i awah i :or ii=1io isp([. n/+2str(ii)   a n/+2str(ii) n/+2str(i) 4. n/+2str(i)") *AL,#(ii&)=*AL,#(ii&)*AL,#(i&)4*AL,#(ii&i) en :or ??=1in isp([. n/+2str(i??)   a n/+2str(i??) n/+2str(i) 4. n/+2str(i)") *AL,#(i??&)=*AL,#(i??&)*AL,#(i&)4*AL,#(i??&i) en en isp(#ners +atri A aalah ) #ners=*AL,#(&+2en) isp(%SMT%# BR,%A*AA- %#*TMLA- A'AMAU ) isp( ) :or i=1+ isp([ n/+2str(i)  =  n/+2str(*AL,#(i&+1)) ") en


12

2. #etode 'terasi %auss Seidel (disimpan dengan nama gausseidel.m* clear;clc; isp(============================================================= ); isp(= *encari %ol/si %iste+ Bersa+aan Minier *etoe Fa/ss seiel= ); isp(============================================================= ); n=inp/t(ore +atris=); isp(*as/an o+ponen +atris oe:isien); :or i=1n :or ?=1n a(i&?)=inp/t(sprint:(A(J&J)=&i&?)); en en isp(*as/an o+ponen etor t/?/an); :or =1n ()=inp/t(sprint:(.(J)=&)); en isp(*as/an nilai inp/t awal); :or i=1n x(1&i)=inp/t(sprint:((1&J)=&i)); en iter=inp/t(#terasi *asi+/+=); clc; isp(============================================================= ); isp(= *encari %ol/si %iste+ Bersa+aan Minier *etoe Fa/ss seiel= ); isp(============================================================= ); isp(*atris oe:isien); A = a isp(9etor t/?/an); . =  isp(#np/t Awal); x isp(=============== #terasi Fa/ss %eiel =======================); :print:(In) :print:(J10s&iterasi e); :print:(In) :or  = 1iter; :or i=1n ?/+1=0; ?/+2=0; :or ?=1n i: ?Gi ?/+1=?/+1a(i&?)4x(1&?); en i: ?@i ?/+2=?/+2a(i&?)4x(&?); en ?/+ = ?/+1 ?/+2; en x(1&i)=((i)?/+)a(i&i); en  = x(1&); :print:(J6&); :print:(J12:&); :print:(In) en isp(============================================================= );

Selesaikan SPL berikut dengan kedua metode diatas+ 8 x - y + z = 9 8 x - : y

+

z = -20

x + y + ;z = 0;

-2

MODUL V ________________________________ Modul Praktikum Metode Numerik dengan MATLAB

13

TURUNAN DAN INTEGRAL NUMERIK Tujuan Instruksional Umum: #ahasisa mampu memahami dan menerapkan dasar-dasar teknik numerik untuk men!elesaikan permasalahan matematis !ang tidak analitis. Tujuan Instruksional Umum: a. #ahasisa mampu melakukan diferensiasi seara numerik b. #ahasisa mampu melakukan integrasi seara numerik A. TURUNAN NUMERIK 1. /umus-rumus 0urunan Pertama

2. /umus-rumus 0urunan edua


1

. /umus-rumus 0urunan etiga

Tuas !.": x 1, 1,3 1,4 1,5 2,1 2, 2,3 f(x* ,665 7,782 3,747 6,686 8,166 5,547 12,182 1. 0entukan nilai turunan pertama dan kedua di titik 1, dengan menggunakan rumus-rumus selisih mau+ 2. 0entukan nilai turunan pertama dan kedua di titik 1,5 dengan menggunakan rumus-rumus selisih pusat+ . 9ungsi tersebut adalah f ( x )

=

e x , buatlah analisis errorn!a+

#. INTEGRAL NUMERIK 1. Pendekatan kaidah 0rapeoidal b

f ( � a

h� x ) dx � �f " 2

�

n -0

+

�f

2

f n

i +

i =0

2. Pendekatan kaidah Simpson 1; b

h

( x ) dx � ( � a f

<

f"

8

+

f0

+

2

f2

+

8

f<

+

2

f8

+

L

+

2

fn

-2

+

8

fn

-0

+

f n )

. Pendekatan kaidah Simpson ;8 b

( x ) dx � ( � a

f"

Tuas !.$: x 1, f(x* ,665

1,3 7,782

f

:

+

< f0

+

< f2

1,4 3,747

+

2

f<

+<

f8

1,5 6,686

+

L

+<

2,1 8,166

fn

-2

+<

2, 5,547

fn

-0

+

f n )

2,3 12,182

2%;

1. 0entukan nilai

� f ( x ) dx

dengan menggunakan rumus-rumus integrasi

0%<

numerik diatas+ (gunakan h=<.2 dan h=<.7* 2. 9ungsi tersebut adalah f ( x )

=

e x , buatlah analisis errorn!a+

Sintaks #atlab: a. 'ntegral umerik 'nt)0rapeoidal.m*

#etode

0rapeoidal

(disimpan

dengan

nama

clear;clc; isp(============================================================= ); isp(= *encari -ilai #ntegral engan *etoe Lrapeoial=); isp(============================================================= ); isp('ata Benga+atan Vx&:(x)W); x=[13 15 17 1 21 23 25"; :=[366 82 57 6686 8166 7 12182"; ata=[x; :"; ________________________________ Modul Praktikum Metode Numerik dengan MATLAB

15

ata h=x(2)x(1); :print:(h J2:In&h); J *enghit/ng -ilai #ntegral n= length(x); int = (h2)4(:(1):(n) s/+(:(2(n1)))); :print:(-ilai #ntegral -/+eriJ106:In&int); isp(============================================================= );

b. 'ntegral umerik 'nt)Simpson1.m*

#etode

Simpson

1;

(disimpan

dengan

nama

clear;clc; isp(============================================================= ); isp(= *encari -ilai #ntegral engan *etoe %i+pson 13=); isp(============================================================= ); isp('ata Benga+atan Vx&:(x)W); x=[13 15 17 1 21 23 25"; :=[366 82 57 6686 8166 7 12182"; ata=[x; :"; ata h=x(2)x(1); :print:(h J2:In&h); J *enghit/ng -ilai #ntegral n= length(x); int = (h3)4(:(1)4:(2)24:(3)4:()24:(5)4:(6):(7)); :print:(-ilai #ntegral -/+eriJ106:In&int); isp(============================================================= );

a. 'ntegral umerik 'nt)Simpson.m*

#etode

Simpson

;8

(disimpan

dengan

nama

clear;clc; isp(============================================================= ); isp(= *encari -ilai #ntegral engan *etoe %i+pson 38=); isp(============================================================= ); isp('ata Benga+atan Vx&:(x)W); x=[13 15 17 1 21 23 25"; :=[366 82 57 6686 8166 7 12182"; ata=[x; :"; ata h=x(2)x(1); :print:(h J2:In&h); J *enghit/ng -ilai #ntegral n= length(x); int = (h3)4(:(1)34:(2)34:(3)24:()34:(5)34:(6):(7)); :print:(-ilai #ntegral -/+eriJ106:In&int); isp(============================================================= );


16

Modul Metnum Matlab

Recommend Documents