TUGAS MATA KULIAH FISIKA STASTISTIK
STATISTIK FERMI - DIRAC
OLEH KELOMPOK VII
Angela Maro (1201057060) Marselina Jehomo (1201051025)
Desy Kumala Sari (1201051013) Salverius Jagom (1201057029)
Frengki U. B. L. Pada (1201052027) Werensfridus Naifeto (1201057064)
Indrayanti Njurumana (1201055057)
PROGRAM STUDI PENDIDKAN FISIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS NUSA CENDANA
KUPANG
2015
KATA PENGANTAR
Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa, atas berkat, rahmat, dan hidayatNya sehingga penyusunan makalah tugas mata kuliah fisika statistik : STATISTIK FERMI – DIRAC dapat diselesaikan.
Tidak lupa kami menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu kami dalam penulisan ini.
Kami menyadari atas segala kekurangan dalam penuliasan materi ini, karena itu sangat diharapkan kritik dan saran dari pembaca sekalian.
Penulis
BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Oleh Pauli, menyatakan bahwa di dalam suatu sistem tidak aka nada dua partikel yang bersama – sama memiliki sekelompok bilangan kuantum yang sama. Partikel yang memenuhi tuntutan Pauli adalah partikel Fermion. Satu keadaan energi hanya boleh ditempati maksimum dua fermion dengan syarat arah spin harus berlawanan. Dengan kata lain fungsi gelombang secara keseluruhannya akan menjadi nol jika ada status yang diisi oleh lebih dari satu partikel.
Statistik Fermi – Dirac, menentukan distribusi statistik bagi fermion pada berbagai tingkat energi untuk sebuah sistem di dalam kesetimbangan termal. Dengan kata lain, statistika ini merupakan probabilitas bagi suatu tingkat energi untuk dihuni fermion.
Fermion adalah zarah tak terbedakan berspin tengah dank arena itu mematuhi aturan Pauli. Contoh partikel fermion antara lain: partikel jenis electron, proton, dan positron.
Rumusan Masalah
Apa yang dimaksudkan dengan Statistik Fermi - Dirac?
Apa aplikasi dari Statistik Fermi - Dirac?
Tujuan
Untuk mengetahui Statistik Fermi - Dirac.
Untuk mengetahui aplikasi dari Statistik Fermi - Dirac.
BAB II
PEMBAHASAN
Bobot Statistik
Koordinat suatu bilik dalam ruang fase dapat di analogikan sebagai bilangan kuantum. Berdasarkan prinsip larangan Pauli, tidak boleh ada dua partikel yang memiliki 4 bilangan kuantum yang sama. Larangan Pauli berimplikasi bahwa ada dua partikel dalam satu bilik. Alasannya, bilangan kuantum spin untuk partikel fermion hanya ada dua kemungkinan yaitu + ½ atau – ½.
Untuk keperluan perumusan bobot statistik, setiap bilik dibagi atas dua sub – bilik, dimana masing – masing sub-bilik hanya dapat diisi oleh satu fermion. Dengan demikian jumlah maxsimum titik representasi dalam satu sel adalah dua kali dari jumlah bilik. Tentu saja jika ada bilik yang kosong, jumlah sesungguhnya akan berbeda.
Konfigurasi Fermion
Untuk sistem kuantum fermion dengan bilangan kuantum spin merupakan kelipatan ganjil dari h / 4π. Dan perlu diingat, salah satu sifat yang dimiliki fermion adalah memenuhi prinsip ekslusi Pauli. Tidak boleh ada fermion memiliki keadaan kuantum yang sama. Satu keadaan hanya boleh kosong atau hanya ditempati oleh satu fermion.
Konsekuensi dari prinsip eksklusi Pauli adalah jumlah fermion harus lebih sedikit atau sama dengan jumlah keadaan. Ini berbeda dengan sistem klasik atau boson di mana tidak ada pembatasan jumlah partikel yang menempati keadaan tertentu. Berapa pun jumlah keadaan yang tersedia, maka keadaan tersebut dapat menumpang partikel klasik maupun boson yang jumlah berapa pun.
Untuk menurunkan fungsi distribusi Fermi – Dirac kita pun akan memulai dengan membagi keadaan – keadaan atas kelompok – kelompok sebagai berikut:
Kelompok ke – 1 mengandung g1 keadaan dengan energi rata – rata E1
Kelompok ke – 2 mengandung g2 keadaan dengan energi rata – rata E2
- -
- -
- -
Kelompok ke – M mengandung gM keadaan dengan energi rata – rata E2
Jumlah sistem maisng – masing yang menempati keadaan misalkan
n1 sistem menempati keadaan – 1
n2 sistem menempati keadaan – 2
- -
- -
- -
nM sistem menempati keadaan – M
karena satu keadaan maksimum menampung satu sistem maka harus terpenuhi n1 g1, n2 g2, ………….. nM gM.
Selanjutnya kita akan menentukan berapa cara menyusun n1 sistem pada g1, n2 kepada sistem pada g2, …………………, nM kepada sistem pada gM keadaan. Tinjau kelompok – 1. Di sini ada g1 keadaan dan menampung n1 sistem. Kembali kita menganalogikan keadaan sebagai wadah dan bola sebagai benda yang akan di tempatkan pada wadah masing – masing.
Dan seterusnya …………………………….
Untuk menentukan jumlah cara menempatkan bola ke wadah, kita menempatkan bola pada wadahnya masing – masing. Pada satu wadah hanya boleh diletakan satu bola. Penempatan ini menjamin bahwa tidak boleh lebih dari satu bola berada pada stu wadah. Akibatnya didapat:
Ada n1 wadah yang ditempatkan bola
Ada g1 – n1 wadah yang kosong.
Kemudian dilakukan permutasi semua wadah yang ada, baik kosong maupun yang di tempati bola. Karena bola sudah ditempati pada kursi, maka permutasi tidak memungkinkan munculnya satu wadah yang mampu menampung lebih dari satu bola. Jumlah wadah yang dipermutasi adalah g1 bola sehingga menghasilkan jumlah permutasi sebanyak g1! Cara. Tetapi karena (g1 – n1) buah wadah kosong dan n1 buah wadah yang ditempati bola untuk mendapatkan penyusunan yang berbeda. Jadi, jumlah penyusunan yang berbeda hanyalah
g1 !g1- n1!n1!
Dengan cara yang sama di dapatkan jumlah cara penyusunan secara bersama – sama n1 sistem pada g1 keadaan, n2 sistem pada g2 keadaan ……… nm sistem pada gm keadaan adalah:
s=1mgs!gs- ns!ns!
Selanjutnya kita perlu menentukan berapa cara membawa N sistem dari luar untuk didistribusikan ke dalam keadaan-keadaan di dalam assembli. Seperti yang kita bahas pada assembli boson, untuk partikel tidak terbe- dakan jumlah cara tersebut adalah N!/N! = 1. Akhirnya, jumlah cara penyusunan fermion untuk konfigurasi di atas adalah
W = s=1mgs!gs- ns!ns!
Dalam notasi logaritma
ln W = s=1Mln gs!gs- ns!ns!
ln W = s=1Mlngs!-ln(gs- ns)!-lnns!
Selanjutnya kita gunakan pendekatan Stirling untuk menyederhanakan fak- torial, yaitu
ln gs ! = gs ln gs gs
ln(gs ns )! = (gs ns ) ln(gs ns ) (gs ns )
ln ns ! = ns ln ns ns
Konfiurasi Peluang Maksimum
Jumlah total sistem dalam assembli dan energi total assembli masing – masing adalah N = s=1Mns dan U = s=1MEsns. Untuk sistem terisolasi di mana tidak pertukaran partikel maupun energi antara assembli dan lingkungan maka jumlah partikel selalu konstan dan energi total juga konstan. Dengan demikian bentuk diferensial dari N dan U adalah
δN = s=1Mδns=0
δU = s=1MEsδns=0
Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan memak- simalkan W atau ln W dengan memperhatikan konstrin pada dua persamaan di atas. Solusi yang di gunakan dengan persamaan δ ln W + αδN + βδU = 0, atau
S=1Mln [ gs - ns ns ] δns+ α s=1Mδns+ β s=1MEsδns=0
Agar persamaan diatas selalu nol untuk variasi δns , yang sembarang maka harus terpenuhi
ln [ gs- nsns ]+ α+ βδEs=0
gs- nsns = exp ( -α – β Es)
Yang memberikan ungkapan untuk ns sebagai
ns= gsexp-α – β Es+ 1
ns= gsexp-α + Esk T + 1 , yang merupakan bentuk umum fungsi distribusi Fermi – Dirac untuk fermion.
Aplikasi Distribusi F – D
Fungsi distribusi F – D pada suhu 0 K
Ada satu ciri yang menarik dari fungsi Fermi – Dirac ( F – D ), yang tidak dijumpai pada distrubusi Maxwell-Boltzmann atau Bose-Einstein. Pada suhu 0 K, fungsi dtribusi Fermi-Dirac tiba-tiba diskontinu pada energi tertentu (energi maksimum). Semua fermion terkumpul pada tingkat energi di bawah energi maksimum tersebut dengan kerapatan yang persis sama. Tiap keadaan energi diisi oleh dua fermion dengan arah spin berlawanan. Di atas energi batas tersebut tidak ditemukan satu fermion pun. Artinya di atas energi tersebut, keadaan energi kosong. Sifat ini dapat ditunjukkan sebagai berikut.
Kita dapat menulis ulang fungsi distribusi Fermi-Dirac
f (E) = 1e- α-βE + 1
Dalam bentuk yang lebih mudah, yaitu
f (E) = 1exp[E-EFk T ] + 1
dari bentuk fungsi di atas, dapat di ketahui, jika ketika assembli 0 K, maka:
Jika E > EF , maka nilai distribusinya adalah 0.
Jika E < EF, maka nilai distribusinya adalah 1.
Jika E = EF, maka nilai distribusinya adalah ½.
Energi Fermi
Terlebih dahulu menghitung jumlah total fermion dengan integral
N = V 0 n EdE
= V 0 gEf EdE
Jumlah fermion dapat dihitung dengan mudah pada suhu 0 K karena fungsi distribusi F – D memiliki bentuk sederhana. Jia perhitungan dilakukan pada suhu 0 K, maka
N = V 0EFg EfEdE+VEF g EfEdE
= V 0EFg E×1 × dE+VEF g ×0 ×dE
= V 0EFg EdE
Khusus untuk elektron, karena satu keadaan dapat ditempati dua fermion dengan spin yang berlawanan, maka rapat keadaan g E = 2 ( 1h3 4π2m3/2 E1/2 )
N = Vh3 8π 2m3/2 × 23 EF3/2
3N8πV =(2mh2EF)3/2
EF = h22m (3N8πV )2/3
Hubungan k TF = EF , maka
TF = EFk = h22mk (3N8πV )2/3
Distribusi F – D pada suhu T > 0 K
Jika T > 0 maka sudah mulai ada fermion yang memiliki energi di atas energi Fermi. Sebagai konsekuensinya, jumlah fermion yang memiliki energi di bawah energi Fermi mulai berkurang. Tetapi belum ada fermion yang memiliki energi jauh di atas energi Fermi dan belum ada electron yang memiliki energi jauh di bawah energi Fermi meninggalkan tempat semula. Akibatnya terjadi distorsi fungsi F – D hanya disekitar energi Fermi saja. Distorsi tersebut hanya berada pada daerah yang ordenya sekitar k T disekitar energi Fermi.
SOAL DAN PEMBAHASAN
Lima partikel terdistribusi dalam keadaan – keadaan dengan empat tingkat energi yang berjarak energi sama satu sama lain: E1 = e, g1 = 2, E2 = 2e, g2 = 3, E3 = 3e, g3 = 4, dan E4 = 4e, g4 = 5, dengan energi total U adalah 12e. Partikel – partikel tersebut mematuhi statistika Fermi – Dirac, bagaimana peluang untuk setiap keadaan makro?
Jawab:
Peluang termodinamika masing – masing keadaan makro:
WF-D = jgj!gj- Nj! Nj! ; gj Nj
W1 = 2!2-0 !0! . 3!3-3 !3! . 4!4-2 !2! . 5!5-0 !0! = 1 . 1 . 6 . 1 = 6
W2 = 2!2-1 !1! . 3!3-1 !1! . 4!4-3 !3! . 5!5-0 !0! = 2 . 3 . 4 . 1 = 24
W3 = 2!2-1 !1! . 3!3-2 !2! . 4!4-1 !1! . 5!5-1 !1! = 2 . 3 . 4 . 5 = 120
W4 = 2!2-2 !2! . 3!3-0 !0! . 4!4-2 !2! . 5!5-1 !1! = 1 . 1 . 6 . 5 = 30
W5 = 2!2-2 !2! . 3!3-1 !1! . 4!4-0 !0! . 5!5-2 !2! = 1 . 3 . 1 . 10 = 30
Bagaimana keadaan sistem partikel berdasar statistika Fermi – Dirac?
Jawab:
Partikel Fermi – Dirac merupakan partikel identik tak terbedakan, memenuhi prinsip Pauli, berspin ½, 3/2, 5/2, …. Fungsi gelombang anti simetri terhadap pertukaran label partikel, pendistribusi tidak lebih dari satu partikel per keadaan.
Atom stronsium memiliki struktur FCC dengan sisi kubus a = 6, 08 angstrm. Tiap atom menyumbang dua electron yang hamper bebas pada pita energi. Anggap bahwa electron berperilaku benar – benar bebas. Berapa energi Fermi electron dalam material tersebut?
Jawab:
Volume sel V = a3 = ( 6,08 × 10 -10 )3 = 2,25 x 10 – 28 m3. Dalam struktur FCC, jumlah atom tiap sel adalah 4 atom. Tiap atom menyumbang 2 elektron. Maka jumlah electron dalam sel adalah 8 elektron. Atau kerapatan electron adalah
NV = 82,25 X 10-28 = 3,56 x 1028 elektron/m3.
Karena electron dianggap hampir bebas maka massa efektif electron sama dengan massa electron bebas. Energi Fermi elektron menjadi
EF = h22m x ( 3 N/V8π)2/3
= (6,625 x 10-34)22 x (9,1 x 10-31) x 3 x 3,56 x 1028 8π 2/3
= 6,33 x 10- 19 J = 3,96 e V.
Bagaimana perbedaaan statistika Bose – Einstein dan Fermi – Dirac?
Jawab:
Berdasarkan diterapkan dalam sistem
Bose – Einstein : partikel identik tak dapat terbedakan, tidak memenuhi prinsip Pauli.
Fermi – Dirac : partikel identik tak terbedakan, memenuhi prinsip Pauli.
Berdasarkan kategori partikel.
Bose – Einstein : boson.
Fermi – Dirac : fermion.
Berdasarkan sifat partikel
Bose – Einstein : spin berupa bilangan bulat. Fungsi gelombangnya simetrik terhadap pertukaran label partikel.
Fermi – Dirac : spin ½, 3/2, 5/2, …. Fungsi gelombang anti simetri terhadap pertukaran label partikel.
Berdasarkan sifat distribusi
Bose – Einstein : tidak ada batas pada jumlah partikel per keadaan.
Fermi – Dirac : tidak lebih dari satu partikel per keadaan.
Misalkan suatu keadaan elektron memiliki peluang terisi 0,95 pada suhu T. turunkan ungkapan untuk E – μ. Hitung nilai tersebut untuk T = 100 K!
Jawab:
Probabilitas mendapatkan elektron pada eenrgi E adalah
f (E) = 1exp[E-EFk T ] + 1
E – μ = k T ln (1f (E)- 1 )
k T ln (10,95- 1 ) = - 2,94 kT
Pada suhu 100 K maka
E – μ = - 2,94 x ( 1,38 x 10-23) x 100 = 4, 0610-21 J.
DAFTAR PUSTAKA
Abdullah, Mikarajuddin. 2009. Fisika Statistik untuk Mahasiswa MIPA. (tidak diterbitkan)
Brotosiswojo, Suprapto. Tanpa tahun. Pengantar Fisika Statistik. Tanpa penerbit
Supu, Amiruddin. 2010. Bahan Ajar FISIKA STATISTIK. Kupang : UNDANA
