Statistik Fermi Dirac

FISIKA STATISTIK ” STATISTIK KUANTUM (STATISTIK FERMI-DIRAC) ”

KOMANG SUARDIKA (0913021034)

JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA SINGARAJA 2012

1

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.







BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar belakang

Dalam mekanika statistik, statistik Fermi-Dirac merupakan kasus tertentu dalam statistik partikel yang dikembangkan oleh Enrico Fermi dan Paul Dirac dalam menentukan distribusi statistik keadaan energi fermion dari sistem kesetimbangan termal. Dengan kata lain distribusi peluang tiap kemungkinan level-level energi yang diduduki oleh suatu fermion. Pada umumnya, statistik Fermi-Dirac membahas tentang fungsi gelombang dari fermion yang antisimetris di bawah pengaruh pertukaran fermion. Fermion merupakan partikel yang tak dapat dibedakan dan mengikuti asas larangan Pauli: tidak boleh suatu partikel mepunyai bilangan kuantum yang sama dalam waktu yang sama. Fermion mempunyai spin setengah. Statistik thermodinamika digunakan untuk mendeskripsikan perilaku partikel dalam jumlah besar. Kumpulan dari fermion tanpa interaksi disebut dengan gas fermi. Statistik FermiDirac diperkenalkan pada tahun 1926 oleh Enrico Fermi dan Paul Dirac yang diaplikasikan pada tahun yang sama oleh Ralph Fawler dalam menggambarkan kehancuran bintang kerdil putih. Dan pada tahun 1927 oleh Arnold Sommerfeld digunakan untuk menggambarkan elektron dalam logam. Mempelajari statistik FermiDirac mengikuti aturan larangan pauli. Namun ketentuan dalam statistik Fermi-Dirac ini lebih ketat dalam pengisian titik fase. Misalkan suatu kompartemen bervolume h3 tidak boleh lebih dari dua titik fase. Implikasinya, prinsip larangan pauli ini mempengaruhi susunan elektron di dalam atom yang sama yang mempunyai bilangan kuantum yang sama. Koordinat kompartemen di dalam ruang fase berkorespondensi dengan bilangan kuantum. Dengan alasan itu, maka boleh terdapat dua titik fase di dalam kompartemen yakni elektron-elektron yang mana titik representatif mempunyai arah spin yang berlawanan. Jumlah maksimum titik representatif mempunyai arah spin yang berlawanan.







masing bagian tidak boleh lebih dari satu titik. Jumlah setengah kompartemen di dalam masing-masing sell yaitu: n = 2H / h

3

dan jumlah titik maksimum di dalam masing-masing cell adalah n.

1.2

Rumusan masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, maka dapat dirumuskan masalah sebagai berikut. 1. Bagaimana perbedaan statistik Maxwell-Boltzmann,Bose-Einstein Maxwell-Boltz mann,Bose-Einstein dan statistik statisti k Fermi-Dirac? 2. Bagaimana Menghitung peluang thermodinamika statistik Fermi-Dirac? 3.

1.3

Bagaimana Menjabarkan fungsi distribusi partikel menurut statistik Fermi-Dirac?

Tujuan

Adapun tujuan dari makalah ini adalah: 1. Untuk menjelaskan perbedaan statistik Maxwell-Boltzmann,Bose-Einstein dan statistik Fermi-Dirac. 2. Untuk menjelaskan peluang thermodinamika statistik Fermi-Dirac. 3. Untuk menjelaskan fungsi distribusi partikel menurut statistik Fermi-Dirac.







BAB II PEMBAHASAN

2.1 Membedakan statistik statistik Maxwell-Boltzmann,Bose-Einstein dan statistik Fermi-Dirac 

Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi partikel klasik yang “terbedakan”. Sistem partikel klasik terbedakan merupakan sistem partikel yang konfigurasinya

berbeda

ketika

dua

atau

lebih

partikel

dipertukarkan.

Pada

statistik statistik Maxwell-Boltzmann dipandang enam dimensi dari pergerakan molekul, yakni tiga dimensi kedudukan dan tiga dimensi kecepatan. Ruang enam dimensi seperti yang dimaksudkan ini disebut ruang fasa 

Staistik Bose-Einstein adalah statistik kuantum di mana partikel-partikel dipandang identik dan tak dapat dibedakan tetapi Tidak mengikuti prinsip eksklusi Pauli. Seperti Partikel disebut boson; misalnya foton, inti helium.



Staistik Staistik Fe r m i - D i r a c pertama pertama kali kali diterb diterbitka itkan n pada pada tahun tahun 1926 1926 oleh oleh Enrico Enrico Fermia Fermian n Paul Dirac Dirac Staistik Staistik F e r m i - D i r a c adalah adalah stati statistik stik kuan kuantum tum di di mana mana partike partikel-pa l-partik rtikel el dipandang identik dan tak dapat dibedakan tetapi mengikuti prinsip eksklusi Pauli. Seperti Partikel disebut Fermion; misalnya elektron

2.2 Menghitung peluang thermodinamika statistik Fermi-Dirac.

Marilah kita ambil contoh sebuah sistem dengan dua cell i dan j, masing-masing dibagi menjadi empat kompartemen, dan anggaplah makrostate N i = 3, dan N j = 1. Gambar 4-1 menunjukkan cell i dan j dan kita lihat bahwa tidak boleh lebih dari satu titik tiap kompartemen, dengan demikian ada 4 cara susunan tiga titik fase di dalam cell i, dan empat cara susunan sebuah titik di dalam cell j. cell i

.

. .

.

.

.

.

.

. .

.

.

W i = 4







Gambar 4-1: Susunan titik fase yang berbeda di dalam sebuah cell di dalam ruang fase menurut Statistik Fermi-Dirac

Peluang thermodinamika masing-masing cell adalah: Wi = 4, W j = 4 Untuk setiap susunan di dalam cell i kita dapat memiliki salah satu susunan di dalam cell j. Dengan demikian jumlah total kemungkinan susunan atau peluang thermodinamika dari makrostate adalah : W = Wi W j = 16 Berbeda dengan hasil statistik Mxwell-Boltzmann untuk kasus yang sama di mana diperoleh W = 4, serta untuk staistik Bose-Einstein W = 80. Secara umum untuk sejumlah cell dalam statistik Fermi-Dirac dapat dirumuskan : W=



Wi

Penurunan pernyataan untuk sembarang W i lebih mudah daripada untuk statistik BoseEinstein. Untuk n kompartemen dari sebuah cell, jika ada N i yang ditempati, maka ada (n - N i) yang tak ditempati (kosong). Perhitungan jumlah cara untuk n kompartemen yaitu dapat dibagi di dalam dua kelompok, satu kelompok dengan kompartemen yang ditempati, dan kelompok yang lain untuk kompartemen yang kososng. Di dalam pembahasan statistik sebelumnya telah dikaji jumlah cara untuk N partikel yang didistribusikan didistribusi kan diantara cell-cell dalam ruang fase, dengan N 1, N2, dst. Jumlah tersebut yaitu: N ! N 1 ! N 2 ! N 3 !.. .



N !



N i !

(2.1)

Secara umum, persamaan di atas memberikan jumlah cara untuk sesuatu N yang yang disusun dalam suatu kelompok, jumlah N 1, N2, dst. menyatakan jumlah di dalam tiaptiap kelompok. Di dalam statistik Maxwell-Boltzmann Maxwell- Boltzmann “sesuatu” yang disusun adalah titik fase, jumlah “kelompok” sama dengan jumlah cell di dalam ruang fase, dan jumlah cara dari susunan “sesuatu” disebut peluang thermodinamika dari makrostate. Dengan cara yang sama, peluang thermodinamika untuk cell tertentu didefinisikan







pembagian kompartemen ke dalam kelompok ditempati dan kelompok kosong, atau peluang thermodinamika W i adalah : Wi



n

(2.2)

N i  n  N i 

Sebagai contoh kita ambil, N i = 3, N j = 1, n =4, maka akan diperoleh : Wi



 =4    

W j



 =4    

Jadi, sesuai dengan hasil yang diperoleh dengan cara menghitung. Secara umum pernyataan untuk peluang thermodinamika dari makrostate tertentu dalam statistik Fermi-Dirac adalah : W 

n!

 N !(n  N ) ! i

(2.3)

i

2.3 Menjabarkan fungsi distribusi partikel menurut statistik Fermi-Dirac.

Selanjutnya, untuk setiap jenis statistik, kita asumsikan bahwa entropi adalah sebanding dengan logaritme peluang thermodinamikanya, dan bahwa keadaan kesimbangan adalah entropinya maksimum, ini berarti ln W juga maksimum atau  ln W = 0. Berdasarkan persamaan (2.3), maka diperoleh : ln W = =[nln(n)! - ln N i! - ln (n-N i)!]

(2.4)

Karena jumlah cell sangat besar, dengan demikian n dan N i merupakan bilangan yang sangat besar, kita dapat pergunakan pendekatan Stirling. ln W = =[nln(n) - N i ln N i - n ln (n-N i)- N i ln (n-N i] 0

0

Misalkan W menyatakan probabilitas maksimum, dan N i berkaitan dengan jumlah titiktitik dalam cell ke i, dan n adalah konstan, maka :



N o 









N = Ni Ni = 0, U = wi Ni = 0 Kalikan persamaan pertama dengan - ln B dan persamaan ke dua dengan - , kemudian tambahkan dengan pers (2.5), maka diperoleh :

 n  N  B w l n  l n     N  Ni = 0  o

i

i

o

i

dan karena efek  efek Ni sekarang independen, maka akan diperoleh : o

Ni n



 Bexp w i   

(2.6)

Hal ini dikenal sebagai : fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk keadaan probabilitas thermodinamika maksimum. Bandingkan fungsi statistik Fermi-Dirac dengan fungsi statistik Maxwell-Boltzmann yaitu : o

Ni n



1 Bexpβw

i



dengan berharga 1, dan bandingkan pula dengan fungsi statistik Bose-Einstein : N io n



1 Bexp β w i   1

Pembahasan selanjutnya adalah menentukan B dan . Untuk menentukan , kita kembali menggunakan hubungan thremodinamika dalam keadaan setimbang, dalam suatu proses pada volume konstan, yakni : dU = TdS. Dengan menggunakan hubungan thermodinamika untuk sistem keseimbangan ini, akan







6

d N=

 h

1 B exp( w / kT )

1

dxdydzdp xdpy dpz

Sekarang integrasi seluruh nilai x, y, dan z, hasilnya adalah : 3

d N=

2V h

3

1 B exp( w / kT )

1

dpxdpy dpz

(2.7)

Sekarang kita mempunyai fungsi distribusi dalam ruang momentum tiga dimensi. 3

Langkah selanjutnya adalaha nyatakan w dalam bentuk p, atau sebaliknya, dan integrasi d N untuk seluruh p (atau w) sama dengan N. Jika B exp(w/kT) >> 1, faktor 1 pada penyebut dapat diabaikan dan sama seperti statistik Bose-Einstein, maka kita akan dapatkan statistik Maxwell-Boltzmann. Untuk gas elektron aprokmasi ini tak dapat dilakukan, dan B harus ditentukan dari persamaan (2.7). Berikut ini akan dikaji pernyataan untuk B. Untuk kasus B kecil, pertama kali diturunkan oleh Sommerfeld, dengan mengambil bentuk : B = exp(-wm /kT) dengan demikian persamaan (2.7) menjadi : 3

d N=

1

2V h

3

exp[( w  wm ) / kT ]  1

dpxdpy dpz

(2.8)

=  dpxdpy dpz 0

Bila T = 0 K, fungsi distribusi ini dapat direduksi menjadi sangat sederhana. Misalkan 0

wmo menyatakan harga w m bila T = 0 K. Untuk sebuah cell di dalam ruang momentum yang mana w lebih kecil daripada w mo, maka suku di dalam kurung siku pada persamaan (2.8) adalah , dan karena exp(- exp(- ) = 0, maka akan diperoleh :







Interpretasi fisis dari w mo adalah merupakan energi maksimum dari elektron-elektron pada nol absolut .

Hubungan antara energi w dan momentum p dapat dinyatakan sebagai :  

2

mv = w =

p

2

m

,

2

p = 2mw

Energi maksimum w mo berkaitan dengan momentum maksimum yang diberikan oleh : 1/2

pmo = (2m wmo)

dan, di dalam ungkapan secara geometri, kita dapat mengatakan bahwa pada ruang momentum nol absolut populasinya secara uniform dalam sebuah bola yang jejarinya p

mo

da n

tidak ada titik-titik fase di luar bola ini. Proses integrasi kerapatan untuk seluruh ruang momentum dapat direduksi menjadi perkalian kerapatan konstan 0 dengan volume bola yang jejarinya jejarinya pmo, dan perkalian ini sama dengan jumlah total dari elektron N.

V  3  p mo h3 

=N

Selanjutnya akan diperoleh :

   h 3      V  

 

 3N  wmo= 8m  V 



pmo = dan

h2

(3.0)

Marilah kita coba hitung besarnya w mo dari persamaan (4.9). Konstanta h adalah konstanta Planck yang besarnya 6,62 x 10

-34

Joule-sekon, dan m







-19

= 9,0 x 10

Joule

= 5,6 elektron-volt. Harga ini merupakan energi kinetik maksimum dari elektron bebas pada nol absolut. Energi rata-rata w pada nol absolut (lihat pasal 2.8) adalah 3/5 dari energi maksimum, yakni :

w = (3/5)(5,6) = 3,46 eV = 5,75 x 10 -19 Joule. Menurut statistik Maxwell-Boltzmann, energi kinetik rata-rata dari molekul gas adalah 3kT/2 dan berharga nol pada suhu nol absolut. Bila kita terapkan statistik Maxwell-Boltzmann, maka untuk energi 5,75 x 10

-19

0

Joule, diperlukan temperatur 27.000 K.

Untuk selanjutnya kita akan mengevaluasi w m pada temperatur selain 0 K. Hasil yang diperoleh oleh Sommerfeld adalah : wm = wmo

  2  kT  2   ... 1   12 w    

(3.1)

mo

Bila T=0 K, akan direduksi menjadi w mo. Demikian pula dengan penambahan temperatur, perbedaan antara w m dan wmo adalah kecil, karena suku kT hanya beberapa seper elektron-volt, sedangkan w mo dalam orde 2 sampai 10 elektron-volt. Jadi, di dalam mengevaluasi fungsi distribusi  pada pers (2.8), sama halnya pada temperatur tinggi beberapa ribu derajat Kelvin, akan terjadi kesalahan kecil untuk substitusi w mo dengan wm. Gambar 4-2 adalah grafik fungsi distribusi yang diplot sebagai fungsi w. dN v x v y vz

dNv /dv

dv x dv ydv z T=0 K

T=0K T1







energi bertambah, dan tidak ada batas atas yang lebih tajam untuk energi atau momentum. Harga wm tidak menyatakan energi maksimum pada temperatur T, tetapi harga w mo menyatakan energi maksimum pada T = 0 K.









BAB III KESIMPULAN

3.1 Kesimpulan

Dari uraian diatas maka di dapat kesimpulan sebagai berikut: 

Perbedakan statistik Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein Bose-Einstein dan

statistik Fermi-Dirac

yaitu: Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi partikel klasik yang “terbedakan”. Pada statistik statistik Maxwell-Boltzmann dipandang enam dimensi dari pergerakan molekul, yakni tiga dimensi kedudukan dan tiga dimensi kecepatan. Ruang enam dimensi seperti yang dimaksudkan ini disebut ruang fasa. Sedangkan Bose-Einstein adalah statistik kuantum di mana partikel-partikel dipandang identik dan tak dapat dibedakan tetapi Tidak mengikuti prinsip eksklusi Pauli. Seperti Partikel disebut disebut boson boson;; misalny misalnyaa foton, foton, inti inti helium. helium. Dan Dan Fe F e r m i - D i r a c pertama pertama kali kali diterbit diterbitkan kan pada tahun tahun 1926 1926 oleh oleh Enric Enrico o Fermia Fermian n Paul Paul Dirac Dirac Stais Staistik tik Fe r m i - D i r a c adalah adalah statistik kuantum di mana partikel-partikel dipandang identik dan tak dapat dibedakan tetapi mengikuti prinsip eksklusi Pauli. Seperti Partikel disebut Fermion; misalnya







DAFTAR PUSTAKA Rizqidiaz. 2012. Sekilas Tentang Fisika Statistik . http://rizqidiaz.blogspot.com/2012/01/sekilastentang-fisika-statistik.html

Sujanem,Rai. 2004. Buku Ajar Fisika Statistik Bagian 2. Singaraja : Institut Keguruan Dan Ilmu Pendidikan.

Statistik Fermi Dirac

Recommend Documents