UNAM. Facultad de Ingeniería. 1 Distribución de Fermi Dirac en semiconductores.
DISTRIBUCION DE FERMI DIRAC EN MATERIALES SEMICONDUCTORES. Honorato Navarrete Emmanuel
RESUMEN Este artículo ilustra ilustra la importancia de la utilización utilización de las diversas distribuciones de probabilidad probabilidad para determinar el comportamiento de algún material semiconductor dependiendo el dopaje de este. Se hace hincapié en las más importantes a considerar, sin embargo, se analizara y epondrá en especí!ico la distribución de "ermi # $irac. El objetivo de esta distribución es analizar el comportamiento de las características eléctricas de un material a nivel cuántico.
ABSTRACT %his paper illustrates the importance o! the use o! the di!!erent probability distributions to determine the behavior o! a semiconductor material depending on this doping. &t is stress in the more important to consider, ho'ever, is analyze and epose speci!ic "ermi ( $irac distribution. %his distribution aims to analyze the behavior o! the electrical characteristics characteristics o! a material at the )uantum level. INTRODUCCIÓN *n material semiconductor es un elemento )ue, dependiendo diversos !actores, puede comportarse como un material conductor o como un material aislante, por ejemplo, el campo eléctrico y+o magnético, la presión atmos!érica del ambiente, la temperatura, la radiación, y, lo )ue mayormente in!luye para determinar su característica conductiva, es el dopaje al )ue es sometido, ya )ue, este dopaje promueve un eceso de electrones, o su caso contrario, una !alta de estos.
Imagen 1 - Elementos de la tabla periódica considerados como semiconductores. semiconductores.
UNAM. Facultad de Ingeniería. 2 Distribución de Fermi Dirac en semiconductores.
a estructura de esos materiales es cristalina. -uánticamente, eisten dos tipos de semiconductores semiconductores etrínsecos y semiconductores intrínsecos. os primeros tienen una estructura !ormada por enlaces covalentes. os segundos tienen la característica de )ue sólo tienen un solo tipo de átomos, es decir, n / p / n 0. Son generados por un par electrón(hueco.
Imagen 2 - Estructura de enlaces covalentes. Núcleo atómico de un semiconductor (Ge Germanio! sometido a una temperatura "#$ %& con electrones internos. Electrón de valencia ligado.
MECANICA ESTADISTICA. $entro de este análisis eiste la mecánica estadística. El objetivo de la mecánica estadística es analizar el comportamiento de un gran número de partículas en una !orma estadística y probabilística encontrando los valores más probables de las propiedades del conjunto sin eaminar en detalle los valores de estas propiedades para una partícula dada en un determinado momento. -omo es de gran interés el cálculo de las propiedades del conjunto de partículas, se necesita conocer cómo se distribuyen las partículas cuando se tiene una energía E, lo cual implica una !unción de distribución !1E2 )ue da la probabilidad de )ue un estado )ue tiene energía E se encuentre ocupado. En la !ísica clásica se considera )ue todas las partículas son distinguibles y pueden ocupar el mismo estado. Esta consideración está dada por la distribución de 3a'ell(4oltzmann. E kT
−
fMB ( E )= C e
$onde E/Energía, 5/ -onstante de 4oltzmann /6.789:(;? -/ -onstante )ue depende del sistema.
UNAM. Facultad de Ingeniería. 3 Distribución de Fermi Dirac en semiconductores. -omo ejemplo más común de una aplicación ligada a esta distribución es el comportamiento de las moléculas de un gas dentro de un recipiente. En la mecánica cuántica eiste una restricción )ue debe cumplir la partícula el spin. El spin es también considerado el momento angular. as partículas )ue nos interesa analizar son las )ue poseen un spin de @ 1h+8, Ah+8,..2. estas partículas son los electrones, protones, neutrones, etcB y re rigen por la distribución de "ermi $irac. Esta distribución dicta )ue un estado de energía puede ser ocupado por un único electrón. Cero, un spin medio, puede ser tanto positivo como negativo, es decir, D9+8 o (9+8, esto da como resultado )ue dos electrones puedan situarse en un nivel energético particular. a ecuación de la distribución de "ermi $irac está dada por 1
fFD ( E )=
+e
1
E− Ef kT
$onde E! es el nivel energético de "ermi. a probabilidad )ue tiene este nivel de ser ocupado por un electron a cual)uier temperatura es :.;. -uando la temperatura %/: > • •
!"$1E2 / D9 cuando E˂E! !"$1E2 / : cuando E˃E!
Cara %/: >, la !unción se comporta de la siguiente manera
Gr'ca 1 - ) # % los electrones est'n a su nivel m's ba*o de energ+a. ,a probabilidad de ue un estado cu'ntico est ocupado es uno para E menor a E/ 0 cero para E ma0or a E/. "odas las energ+as ue tienen los electrones est'n deba*o de los # %. -uando %: >, donde / E(E!, la distribución se comporta asi
UNAM. Facultad de Ingeniería. 4 Distribución de Fermi Dirac en semiconductores.
Gr'ca 2 - omportamiento de la distribución si " toma valores distintos #
$e lo anterior puede verse )ue si E/E!
fFD ( E = E f )=
1 1+e
1 0
=
1+1
1 =
2
Cara temperaturas mayores a los : > eiste una probabilidad )ue algunos estados energéticos superiores a de E ! sean ocupados por electrones, por lo tanto, algunos estados por debajo estén vacíos. DOPAJE DEL MATERIAL %omando como punto de análisis al Silicio, se sabe )ue su último orbital molecular está incompleto, debido a )ue solo tiene cuatro electrones, estos se les llama electrones de valencia. Estos átomos !orman una red cristalina, en la )ue cada átomo compartes sus cuatro electrones de valencia con los cuatro átomos circundantes, !ormando así enlaces covalentes. F temperatura ambiente, algunos electrones de valencia absorben su!iciente energía calorí!ica para librarse del enlace covalente y moverse a través de la res cristalina, convirtiéndose en electrones libres. -uando se les somete a una di!erencia de potencial de una pila, se dirigen al polo positivo.
UNAM. Facultad de Ingeniería. 5 Distribución de Fermi Dirac en semiconductores.
Imagen - 3olcula siendo sometida a una di/erencia de potencial de una pila. 4e observa ue los portadores de carga tienden a despla5arse al punto positivo de la pila.
-uando un electrón libre abandona el átomo de un cristal de Silicio, deja en red cristalina un hueco, )ue con respecto a los electrones próimos tiene e!ectos similares a los )ue provocaría una carga positiva. os huecos tienen la misma carga )ue el electrón pero con signo positivo.
Imagen 6 - electrón de valencia rompiendo enlace covalente.
UNAM. Facultad de Ingeniería. 6 Distribución de Fermi Dirac en semiconductores. F partir de a)uí, se empieza a dar el caso de )ue a ciertos eementos base 1semiconductores2, se les dopa o contamina a propósito para darles alguna característica especial, comúnmente, para alterar su propiedad conductiva, es decir, alterar la probabilidad de )ue sus electrones de valencia ocupen cierto estado energético. Esto se puede representar mediante un diagrama de bandas
Diagrama 1 - Diagrama de bandas. Est' compuesta por tres bandas7 ,a banda de conducción& una intermedia llamada banda pro8ibida 0 una última llamada la banda de valencia.
$e nueva cuenta, la distribución de "ermi $irac nos ayuda a calcular la probabilidad de saber cómo se comportara cierto material con un cierto dopaje, esto es , por)ue, calculamos con esto la probabilidad de )ue los electrones de valencia salten a la banda de valencia, tornándose así, como un material conductor, en caso contrario, si se presenta mayor cantidad de huecos en la banda de valencia, el material ad)uiere una característica aislante. o importante a considerar es )ue cambia un poco el cálculo, ya )ue, la distribución de "ermi $irac, nos permite saber la probabilidad de )ue los electrones se encuentren en la banda de conducción, mas sin embargo, para conocer la probabilidad en la banda de valencia, basta con calcular el complemento, esto es
1
− fFD ( E )=
1
1
+e
E − E f kT
UNAM. Facultad de Ingeniería. 7 Distribución de Fermi Dirac en semiconductores.
CONCLUSIONES En primer lugar, el conocer esto es !undamental para una correcta implementación de semiconductores en algún circuito eléctrico, llámese el caso de algún transistor, por ejemplo, ya )ue es una herramienta etraordinariamente útil, la cual si se aplica como es debido nos ahorra tiempo, costo, y nos bene!icia con una gran e!iciencia en un circuito, siguiendo con el ejemplo. %ambién, el utilizar la distribución de "ermi $irac de manera correcta en una medida de seguridad indiscutible en cual)uier proyecto de la ingeniería eléctrica y electrónica. Cor)ue si utilizamos un material semiconductor al cual nuestra necesidad es implementarlo como aislante, y no calculamos la probabilidad de )ue los portadores de carga se hallen en la banda de valencia, nos da como resultado un material !uncionando como conductor, provocando así un cortocircuito, en el mejor de los casos, ya )ue si la consecuencia es grave, podemos lesionar, inclusive de manera letal a la gente con la )ue colaboremos en el proyecto, o a !uturos operarios de tal o cual instalación, siendo esto no solo una responsabilidad como je!e o coordinador de proyecto o diseGo, sino también una responsabilidad social enorme. REFERENCIAS HFI&-J>F, Caul. K&ntroducción a la electrónica cuántica.L Editorial Meverté, EspaGa, 9NNO. C&EMME% M.". K"undamentos de semiconductoresL.8P edición. Iilmington. Fddison(Iesley &beroamericana, 9NNA.
.
